2.10. Өзендегі қозғалыс

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 115–120-беттер.

Бұл — қосымша оқуға арналған тармақ. Өзен туралы есептерді олимпиадаларда жиі қояды, сондықтан оларды түсіну өте пайдалы.

Нені үйренесің

• Төрт жылдамдықты ажыратуды: меншікті, ағыс, ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдық.
• Ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықты табуды.
• Басқа екеуін білсең, ағыс жылдамдығы мен меншікті жылдамдықты табуды.
• Салдың неге ағыс жылдамдығымен жүзетінін, ал көлде ағыс болмайтынын түсінуді.
• Өзендегі кездесу және қуып жету есептерін шығаруды.

Ой қозғау

• Моторлы қайық өзен жағасындағы A пунктінен B пунктіне барарда 2 сағ, ал қайтарда 3 сағ жүзді. Өзен ағысы қай бағытта? Барар және қайтар жол бірдей. A-дан B-ға қайық жылдамырақ жүзді — демек, өзен оған көмектесті. Өзен A-дан B-ға қарай ағады.

Тақырыпты талдаймыз

Өзен — құпия жолаушы

Іле өзенінде келе жатқан катерді елестет. Оның моторы бар, және өздігінен қайда да ағып жатқан су бар.

• Меншікті жылдамдық ($v_{\text{м}}$) — катер тынық суда, мысалы, көлде қаншалықты жылдам жүзетінін білдіреді.
• Ағыс жылдамдығы ($v_{\text{ағыс}}$) — судың өзі қаншалықты жылдам қозғалатынын білдіреді. Осы жылдамдықпен сал, бөрене немесе жаңқа жүзеді: олардың өз моторы жоқ.

📌 Ағыспен жүзгенде су итермелейді, жылдамдықтар қосылады: $v_{\text{а-пен}} = v_{\text{м}} + v_{\text{ағыс}}$. Ағысқа қарсы жүзгенде су бөгет жасайды: $v_{\text{а.қ.}} = v_{\text{м}} - v_{\text{ағыс}}$.

Мысал. Қайықтың меншікті жылдамдығы 6 км/сағ, ағыс жылдамдығы 2 км/сағ. Ағыспен ол $6 + 2 = 8$ км/сағ жылдамдықпен, ағысқа қарсы $6 - 2 = 4$ км/сағ жылдамдықпен жүзеді. Сәуледен қара: ағыс жылдамдықты 2-ге бірде оңға, бірде солға жылжытады.

⚠️ Жиі кететін қате. Көлде қайықтың жылдамдығына ағысты қосып жібереді. Бірақ көлде ағыс жоқ: онда қайық өзінің жылдамдығымен жүзеді. Ал өзендегі сал бір орында тұрмайды: ол ағыс жылдамдығымен жүзеді.

3 сағатта кім жылдам

Мынау — қайықтың ағыспен, қайықтың ағысқа қарсы және салдың 3 сағаттағы жолы. Сызық қаншалықты тік болса, жылдамдық соншалықты жоғары.

Ағыспен қайық 3 сағатта $8 \cdot 3 = 24$ км жүреді, ағысқа қарсы — тек $4 \cdot 3 = 12$ км.

Ағыс жылдамдығын қалай табамыз

8 км/сағ пен 4 км/сағ жылдамдықты салыстыр. Айырмасы $8 - 4 = 4$ км/сағ — бұл ағыс жылдамдығының екі еселенгені: бірінде қосылды, екіншісінде азайды. Демек, ағыс жылдамдығы — айырманың жартысы.

📌 $v_{\text{ағыс}} = (v_{\text{а-пен}} - v_{\text{а.қ.}}) : 2$ — айырманың жартысы. Тексеру: $(8 - 4) : 2 = 2$ км/сағ.

Меншікті жылдамдықты қалай табамыз

Енді қосайық: $8 + 4 = 12$. Ағыс бір жылдамдықта қосылды, екіншісінде азайды — және жоғалды. Екі меншікті жылдамдық қалды.

📌 $v_{\text{м}} = (v_{\text{а-пен}} + v_{\text{а.қ.}}) : 2$ — қосындының жартысы. Тексеру: $(8 + 4) : 2 = 6$ км/сағ.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кесінді сызыңыз — бұл меншікті жылдамдық. Ағыспен болғанда оған ағыстың бөлшегін жалғап сызыңыз, ағысқа қарсы болғанда дәл сондай бөлшекті қиып алыңыз. Екі кесіндінің екі бөлшекке айырмасы бар екені бірден көрінеді. Баладан суретке қарап, неге 2-ге бөлетінімізді өзі түсіндіруін сұраңыз.

Өзендегі кездесу және қуып жету

Екі қайық бір-біріне қарсы жүзеді: бірі ағыспен, екіншісі ағысқа қарсы. Жақындау жылдамдығы: $(v_1 + v_{\text{ағыс}}) + (v_2 - v_{\text{ағыс}}) = v_1 + v_2$. Ағыс біреуіне қосты, екіншісінен алды — демек, әсер етпейді!

Қуып жетуде де солай: екі қайық та бір бағытта жүзеді, ағыс екеуіне де бірдей көмектеседі. Жылдамдықтардың айырмасы меншікті жылдамдықтардың айырмасына тең.

💡 Қалпақ суға түсіп кетті ме? Су қайықты да, қалпақты да бірдей алып барады. Сондықтан қайық қалпақтан өзінің меншікті жылдамдығымен алыстайды.

⚠️ Жиі кететін қате. Суға түскен қалпақ немесе қуыршақ туралы есептерде ағысты екі рет есептейді. Былай ойлау оңайырақ: судың өзіне қатысты қалпақ тұр, ал қайық меншікті жылдамдығымен жүзеді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Катердің ағыспен жылдамдығы қалай табылады? Меншікті жылдамдық пен ағыс жылдамдығын қосу керек.
• Теплоходтың ағысқа қарсы жылдамдығы қалай табылады? Меншікті жылдамдықтан ағыс жылдамдығын азайту керек.
• Ағыс жылдамдығы неге тең? Ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықтардың айырмасының жартысына: $(v_{\text{а-пен}} - v_{\text{а.қ.}}) : 2$.
• Меншікті жылдамдық неге тең? Ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықтардың қосындысының жартысына: $(v_{\text{а-пен}} + v_{\text{а.қ.}}) : 2$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 328

Катер қай жағдайда ағыспен жүзді, қай жағдайда ағысқа қарсы жүзді: 1) Катер A айлағынан B айлағына барарда 5 сағ жүзді; 2) Катер B айлағынан A айлағына қайтарда 4 сағ жүзді?

Қалай ойлаймыз. Екі жаққа да жол бірдей. Ағыспен жүзу жылдамырақ — уақыт аз кетеді.

Шешуі. B-дан A-ға катер 4 сағ жүзді — жылдамырақ, демек, ағыспен. A-дан B-ға — 5 сағ, ағысқа қарсы.

Жауабы: 1) A-дан B-ға — ағысқа қарсы; 2) B-дан A-ға — ағыспен.

№ 329

1) Қайық көлде (ағынсыз суда) 7 км/сағ жылдамдықпен 2 сағ жүзді. Қайық көлде неше километр қашықтыққа жүзді? 2) Ағыс жылдамдығы 2 км/сағ өзенде сал 8 сағ жүзді. Сал неше километр қашықтыққа жүзіп барды?

Қалай ойлаймыз. Көлде ағыс жоқ. Ал сал дәл ағыс жылдамдығымен жүзеді.

Шешуі.

1. Көлде: $7 \cdot 2 = 14$ км.
2. Сал: $2 \cdot 8 = 16$ км.

Жауабы: 1) 14 км; 2) 16 км.

№ 330

Меншікті жылдамдығы 32 км/сағ теплоходтың ағыс жылдамдығы 3 км/сағ өзенде: 1) ағыспен жүзгендегі жылдамдығын табыңдар; 2) ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығын табыңдар.

Шешуі.

1. Ағыспен: $32 + 3 = 35$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $32 - 3 = 29$ км/сағ.

Жауабы: 1) 35 км/сағ; 2) 29 км/сағ.

№ 331

Катердің ағыспен жүзгендегі жылдамдығы 24 км/сағ, ал ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығы 20 км/сағ. Катердің меншікті жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Меншікті жылдамдық ағыспен және ағысқа қарсы жылдамдықтардың дәл ортасында тұр.

Шешуі. Қосындының жартысы: $(24 + 20) : 2 = 44 : 2 = 22$ км/сағ. Тексеру: ағыс жылдамдығы $(24 - 20) : 2 = 2$ км/сағ; $22 + 2 = 24$, $22 - 2 = 20$.

Жауабы: 22 км/сағ.

№ 332

Моторлы қайықтың ағыспен жүзгендегі жылдамдығы 30 км/сағ, ал ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығы 26 км/сағ. Ағыс жылдамдығын табыңдар.

Шешуі. Айырманың жартысы: $(30 - 26) : 2 = 4 : 2 = 2$ км/сағ.

Жауабы: 2 км/сағ.

№ 333

Теплоходтың меншікті жылдамдығы 28 км/сағ. Теплоход ағыс жылдамдығы 3 км/сағ өзенде ағыспен жүзіп, 4 сағатта неше километр қашықтыққа барады?

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдық: $28 + 3 = 31$ км/сағ.
2. Жол: $31 \cdot 4 = 124$ км.

Жауабы: 124 км.

№ 334

Меншікті жылдамдығы 18 км/сағ катер ағыс жылдамдығы 2 км/сағ өзенде ағысқа қарсы жүзді. Катер 3 сағатта қанша жол жүреді?

Шешуі.

1. Ағысқа қарсы жылдамдық: $18 - 2 = 16$ км/сағ.
2. Жол: $16 \cdot 3 = 48$ км.

Жауабы: 48 км.

№ 335

Катер ағыс жылдамдығы 3 км/сағ өзенде ағыспен жүзіп, 92 км қашықтыққа барды. Катердің меншікті жылдамдығы 20 км/сағ. Катер неше сағат жүзді?

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдық: $20 + 3 = 23$ км/сағ.
2. Уақыт: $92 : 23 = 4$ сағ.

Жауабы: 4 сағ.

№ 336

Қайық ағыс жылдамдығы 2 км/сағ өзенде ағысқа қарсы жүзіп, 15 км қашықтыққа барды. Қайықтың меншікті жылдамдығы 7 км/сағ. Қайық өзенде неше сағат жүзді? A. 4 сағ; B. 5 сағ; C. 3 сағ; D. 2 сағ.

Шешуі.

1. Ағысқа қарсы жылдамдық: $7 - 2 = 5$ км/сағ.
2. Уақыт: $15 : 5 = 3$ сағ.

Жауабы: C. 3 сағ.

B деңгейі

№ 337

Өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ. Осы өзенде жүзген байдарка қайығының ағыспен жүзгендегі жылдамдығы ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығынан қанша артық?

Қалай ойлаймыз. Меншікті жылдамдық берілмеген — және керек емес. Жылдамдықтардың айырмасы — ағыс жылдамдығының екі еселенгені.

Шешуі. $3 \cdot 2 = 6$ км/сағ. Мысалы, меншікті жылдамдық 10 км/сағ болғанда: $13 - 7 = 6$.

Жауабы: 6 км/сағ-қа.

№ 338

Бала ойыншық моторлы қайық жасап, оны жылғаға жіберді. Жылғадағы судың ағыс жылдамдығы 30 м/мин. Ойыншық моторлы қайық қандай жағдайда жүзеді, қандай жағдайда жүзбейді? Ойыншық моторлы қайық: а) 28 м/мин меншікті жылдамдықпен ағыспен жіберілсе; ә) 40 м/мин меншікті жылдамдықпен ағысқа қарсы жіберілсе; б) 30 м/мин меншікті жылдамдықпен ағысқа қарсы жіберілсе.

Қалай ойлаймыз. Әр жағдай үшін жағаға қатысты жылдамдықты тап. 0 шықса — қайық тұр.

Шешуі.

• а) Ағыспен: $28 + 30 = 58$ м/мин. Қайық ағыспен жүзеді.
• ә) Ағысқа қарсы: $40 - 30 = 10$ м/мин. Қайық ағысқа қарсы баяу жылжиды.
• б) $30 - 30 = 0$ м/мин. Мотор жұмыс істеп тұр, ал қайық жағаға қатысты бір орнында тұр.

Жауабы: а) иә, ағыспен, 58 м/мин; ә) иә, ағысқа қарсы, 10 м/мин; б) жағаға қатысты қозғалмайды.

№ 339

Катер ағыс жылдамдығы 2 км/сағ өзенде жүзіп, 120 км қашықтықтағы айлаққа барып қайтты. Катердің меншікті жылдамдығы 22 км/сағ. Егер катер айлаққа барарда ағыспен жүзсе, ол айлаққа қанша уақытта барды? Катер қанша уақытта айлақтан қайтты? Катер қанша уақытта айлаққа барып қайтты?

Қалай ойлаймыз. Барар және қайтар жол бір, ал жылдамдықтар әртүрлі. Әр бөлікті бөлек есепте.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдық: $22 + 2 = 24$ км/сағ. Уақыт: $120 : 24 = 5$ сағ.
2. Ағысқа қарсы жылдамдық: $22 - 2 = 20$ км/сағ. Қайтар уақыт: $120 : 20 = 6$ сағ.
3. Барлығы: $5 + 6 = 11$ сағ.

Жауабы: ағыспен 5 сағ; қайтарда 6 сағ; бүкіл жол 11 сағ.

№ 340

Моторлы қайық ағыс жылдамдығы 2 км/сағ өзенде 3 сағ жүзіп, содан соң сол өзен құятын көлде 4 сағ жүзді. Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы 30 км/сағ. Моторлы қайық осы уақыт аралығында қанша қашықтыққа жүзді?

Қалай ойлаймыз. Өзен көлге құяды, ал қайық көлге жүзіп келген. Демек, өзенде ол ағыспен жүзген.

Шешуі.

1. Өзенде: $(30 + 2) \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$ км.
2. Көлде: $30 \cdot 4 = 120$ км.
3. Барлығы: $96 + 120 = 216$ км.

Жауабы: 216 км.

№ 341

Қайық 40 км қашықтықты көлде жүзсе, 5 сағ жүреді, ал өзенде ағыспен жүзсе, 4 сағ жүреді. Сал осы қашықтықты неше сағат жүзеді? A. 18 сағ; B. 20 сағ; C. 22 сағ; D. 17 сағ.

Шешуі.

1. Меншікті жылдамдық (көл): $40 : 5 = 8$ км/сағ.
2. Ағыспен жылдамдық: $40 : 4 = 10$ км/сағ.
3. Ағыс жылдамдығы: $10 - 8 = 2$ км/сағ. Сал осы жылдамдықпен жүзеді.
4. Салдың уақыты: $40 : 2 = 20$ сағ.

Жауабы: B. 20 сағ.

№ 342

Теплоход өзенде ағыспен 3 сағ жүзіп, 114 км қашықтыққа барды. Сонан соң 2 сағ ағысқа қарсы жүзіп, 64 км қашықтыққа барды. Теплоходтың меншікті жылдамдығын табыңдар. Ағыс жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі жылдамдықты тап, содан кейін қосындының жартысы мен айырманың жартысын есепте.

Шешуі.

1. Ағыспен: $114 : 3 = 38$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $64 : 2 = 32$ км/сағ.
3. Меншікті жылдамдық: $(38 + 32) : 2 = 35$ км/сағ.
4. Ағыс жылдамдығы: $(38 - 32) : 2 = 3$ км/сағ.

Жауабы: меншікті жылдамдық 35 км/сағ; ағыс жылдамдығы 3 км/сағ.

C деңгейі

№ 343

1) Катер 105 км қашықтыққа ағыспен 5 сағ жүзді, ал ағысқа қарсы 7 сағ жүзді. Катер осы жылдамдықпен 108 км қашықтықты көлде неше сағат жүзеді? A. 6 сағ; B. 4 сағ; C. 7 сағ; D. 5 сағ. 2) Моторлы қайық 36 км қашықтықты ағыспен 2 сағ, ағысқа қарсы 3 сағ жүзді. Сал осы қашықтықты неше сағат жүзеді?

Қалай ойлаймыз. Көлде меншікті жылдамдық (қосындының жартысы) керек, ал салға — ағыс жылдамдығы (айырманың жартысы).

Шешуі.

1. Ағыспен: $105 : 5 = 21$ км/сағ; ағысқа қарсы: $105 : 7 = 15$ км/сағ. Меншікті жылдамдық: $(21 + 15) : 2 = 18$ км/сағ. Көлде: $108 : 18 = 6$ сағ.
2. Ағыспен: $36 : 2 = 18$ км/сағ; ағысқа қарсы: $36 : 3 = 12$ км/сағ. Ағыс: $(18 - 12) : 2 = 3$ км/сағ. Сал: $36 : 3 = 12$ сағ.

Жауабы: 1) A. 6 сағ; 2) 12 сағ.

№ 344

Сал өзенде 280 м қашықтықты 8 минутта жүзеді. Көлде 58 м/мин жылдамдықпен жүзетін бала осы өзенде ағыспен 465 м қашықтықты қанша уақыт жүзеді?

Қалай ойлаймыз. Сал ағыс жылдамдығын айтып береді, ал көл баланың меншікті жылдамдығын береді.

Шешуі.

1. Ағыс жылдамдығы (салдың жылдамдығы): $280 : 8 = 35$ м/мин.
2. Баланың ағыспен жылдамдығы: $58 + 35 = 93$ м/мин.
3. Уақыт: $465 : 93 = 5$ мин.

Жауабы: 5 мин.

№ 345

Өзен жағасындағы A айлағынан қайық және онымен бір уақытта оған қарсы B айлағынан катер шықты. Қайықтың меншікті жылдамдығы 8 км/сағ, катердің меншікті жылдамдығы 17 км/сағ. A айлағы мен B айлағының арақашықтығы 72 км. 2 сағаттан соң қайық катерден неше километр қашықтықта болады? Не себепті ағыс жылдамдығы берілмеді?

Қалай ойлаймыз. Бірі ағыспен, екіншісі ағысқа қарсы жүзеді. Ағыс біреуіне қанша қосса, екіншісінен сонша алады.

Шешуі.

1. Жақындау жылдамдығы — меншікті жылдамдықтардың қосындысы: $8 + 17 = 25$ км/сағ.
2. 2 сағатта олар $25 \cdot 2 = 50$ км-ге жақындайды.
3. Арақашықтық қалады: $72 - 50 = 22$ км.

Жауабы: 22 км. Ағыс жылдамдығы керек емес: қарама-қарсы жүзгенде ол жақындау жылдамдығына әсер етпейді.

№ 346

Ағыспен жүзген катер 42 км қашықтыққа барған соң, оны қуып жету үшін соңынан теплоход шықты. Катердің меншікті жылдамдығы 18 км/сағ, ал теплоходтың меншікті жылдамдығы 32 км/сағ. Ағыс жылдамдығы 2 км/сағ. Теплоход катерді қанша уақыттан соң қуып жетеді? Есептің мазмұнында қандай шама артық берілді?

Қалай ойлаймыз. Ағыс екеуіне де бірдей көмектеседі, сондықтан жылдамдықтардың айырмасына әсер етпейді.

Шешуі.

1. Екеуінің де ағыспен жылдамдығы: катер $18 + 2 = 20$ км/сағ, теплоход $32 + 2 = 34$ км/сағ.
2. Жақындау жылдамдығы: $34 - 20 = 14$ км/сағ (бұл $32 - 18$ санымен бірдей).
3. Уақыт: $42 : 14 = 3$ сағ.

Жауабы: 3 сағаттан соң. Артық шама — ағыс жылдамдығы: ол екеуіне де бірдей көмектеседі және жылдамдықтардың айырмасына әсер етпейді.

№ 347

Қайықтың меншікті жылдамдығы ағыс жылдамдығынан 5 есе артық. Қайық өзенде ағыспен жүзіп отырып, 3 сағатта 36 км қашықтыққа барады. Қайық өзенде ағысқа қарсы жүзіп, 2 сағатта неше километр қашықтыққа барады?

Қалай ойлаймыз. Ағыс жылдамдығын 1 бөлік деп ал. Меншікті жылдамдық — 5 бөлік. Ағыспен — 6 бөлік, ағысқа қарсы — 4 бөлік.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдық: $36 : 3 = 12$ км/сағ. Бұл — 6 бөлік.
2. Бір бөлік: $12 : 6 = 2$ км/сағ — ағыс жылдамдығы. Меншікті жылдамдық: $2 \cdot 5 = 10$ км/сағ.
3. Ағысқа қарсы: $10 - 2 = 8$ км/сағ.
4. 2 сағатта: $8 \cdot 2 = 16$ км.

Жауабы: 16 км.

№ 348

Бала өзенде ағыспен 73 м/мин жылдамдықпен жүзіп бара жатты. Ағыс жылдамдығы 25 м/мин. Кенеттен баланың қалпағы суға түсіп кетті. Бала оны 3 минуттан соң білді. Сол кезде қалпақ баладан неше метр қашықтықта болды? Есепті екі тәсілмен шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. 73 м/мин — бұл ағыспен жылдамдық. Қалпақ ағыс жылдамдығымен жүзеді.

Шешуі.

1-тәсіл. Бала $73 \cdot 3 = 219$ м жүзді, қалпақ — $25 \cdot 3 = 75$ м. Арақашықтық: $219 - 75 = 144$ м.

2-тәсіл. Бала қалпақтан $73 - 25 = 48$ м/мин жылдамдықпен алыстайды (бұл — оның меншікті жылдамдығы). 3 минутта: $48 \cdot 3 = 144$ м.

Жауабы: 144 м.

Жадынама

• Ағыспен жылдам, ағысқа қарсы баяу; айырмасы — ағыс жылдамдығының екі еселенгені.
• Көлде ағыс жоқ. Сал ағыс жылдамдығымен жүзеді.
• Өзендегі кездесу және қуып жету есептерінде ағыс жақындау жылдамдығына әсер етпейді.
• Суға түскен зат қайықтан оның меншікті жылдамдығымен алыстайды.

Шағын тест