3.1. Жай бөлшектер. Жай бөлшектерді оқу және жазу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 121–127-беттер.

Осы тақырыптан III тарау — «Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану» басталады.

Нені үйренесің

• Үлес пен жай бөлшектің не екенін түсінуді.
• Бөлшектерді оқуды және жазуды: $\frac{3}{8}$ — «сегізден үш».
• Алым мен бөлім нені көрсететінін түсіндіруді.
• Бөліндіні бөлшекпен, ал натурал санды кез келген бөлімі бар бөлшекпен жазуды.
• Санның бөлігін және бөлігі бойынша санның өзін табуды.

Ой қозғау

• АВ кесіндісі штрихтармен тең бөліктерге бөлінген, С нүктесі А-дан санағанда үшінші штрихта тұр. АВ кесіндісі неше бөлікке бөлінген? 8 тең бөлікке.
• АС кесіндісінде және СВ кесіндісінде неше бөлік бар? АС-та — 3 бөлік, СВ-да — 5 бөлік. Тексеру: $3 + 5 = 8$.

💡 Демек, АС — АВ кесіндісінің 8 тең бөлігінің 3-еуі. Бөлшектерді дәл осылай жазады: $\frac{3}{8}$.

Тақырыпты талдаймыз

Үлес — әділ кесек

Тортты 4 тең бөлікке кесейік. Әр бөлік — үлес: тордың төрттен бірі, $\frac{1}{4}$. Кесектер тең болмаса, оларды үлес деп атамайды — бұл әділетсіз болады!

📌 Бүтіннің бірнеше тең бөлігінің әрқайсысы үлес деп аталады.

Бөлшек: қанша бөлдік және қанша алдық

Квадратты 8 тең үшбұрышқа бөліп, 3-еуін бояды. Квадраттың «сегізден үші» боялды. Былай жазады: $\frac{3}{8}$. Мұндай жазуды жай бөлшек дейді.

• Бөлім — бөлшек сызығының астындағы сан. Ол бүтіннің неше тең бөлікке бөлінгенін көрсетеді (мұнда 8).
• Алым — бөлшек сызығының үстіндегі сан. Ол неше бөлік алынғанын көрсетеді (мұнда 3).

Дөңгелектермен ойна: алым мен бөлімдегі «+» және «−» батырмаларын бас та, суреттің қалай өзгеретінін қара.

Мысал. Бала алманы 3 тең бөлікке бөліп, 2 бөлігін алды. Ол алманың $\frac{2}{3}$-ін алды: алымы 2, бөлімі 3.

Жалпы түрде бөлшекті былай жазады: $\frac{a}{b}$. Алым $a$ — натурал сан немесе нөл. Бөлім $b$ — тек натурал сан: бүтінді нөл бөлікке бөлуге болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала алым мен бөлімді шатастырмау үшін, одан сұраңыз: «Алдымен не істедік — бөлдік пе, алдық па?» Алдымен бөлдік — бұл бөлім, ол негіздей төменде тұр. Сосын алдық — бұл алым, ол жоғарыда.

Бөлшектерді қалай оқимыз

Алдымен бөлшек сызығының астындағы санды (бөлімін) шығыс септігінде оқимыз. Сосын сызықтың үстіндегі санды (алымын) атау септігінде оқимыз.

• $\frac{1}{4}$ — төрттен бір;
• $\frac{2}{5}$ — бестен екі;
• $\frac{4}{8}$ — сегізден төрт;
• $\frac{17}{100}$ — жүзден он жеті.

⚠️ Жиі кететін қате. Реттілікті шатастырады: $\frac{3}{8}$ дегенді «үштен сегіз» деп оқиды. Бұл — мүлде басқа бөлшек, $\frac{8}{3}$. Дұрысы: алдымен астындағы санды — «сегізден», сосын үстіндегісін — «үш».

Бөлшек сызығы — бөлу

Бөлшек сызығы бөлу таңбасымен бірдей мағына береді. Сондықтан кез келген бөліндіні бөлшекпен жазуға болады: бөлінгіш — жоғарыға, бөлгіш — төменге.

$12 : 4 = \frac{12}{4}$; $\quad 7 : 12 = \frac{7}{12}$.

Демек, натурал санды кез келген бөлімі бар бөлшекпен жазуға болады: $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{12}{4}$. Тексеру: $12 : 4 = 3$.

Санның бөлігі және бөлігі бойынша сан

Бұл — сабақтың екі басты есебі.

Санның бөлігін табу. Сыныпта 30 оқушы бар, олардың $\frac{2}{5}$-і — ұлдар. 30-ды 5 тең бөлікке бөлеміз: $30 : 5 = 6$. 2 бөлікті аламыз: $6 \cdot 2 = 12$ ұл.

📌 Санның бөлігі: бөліміне бөлеміз, алымына көбейтеміз.

Бөлігі бойынша санды табу. 4 оқушы — барлық қатысушылардың $\frac{1}{6}$-і. Алты бөліктің бір бөлігі — 4 оқушы, демек, барлығы $4 \cdot 6 = 24$.

⚠️ Жиі кететін қате. «4 оқушы — барлық қатысушылардың $\frac{1}{6}$-і» есебінде $4 : 6$ деп бөледі. Бірақ 4 — бұл бөліктің өзі, ал бүтін бөліктен үлкен. 6 көзден тұратын жолақ сызып, бір көзге «4» деп жаз: көбейту керек екені бірден көрінеді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $\frac{3}{5}$ бөлшегі қалай оқылады? «Бестен үш».
• Бөлім нені көрсетеді? Алым ше? Бөлім — бүтіннің неше тең бөлікке бөлінгенін. Алым — неше бөлік алынғанын.
• Бөліндіні бөлшекпен қалай жазады? Бөлінгішті бөлшек сызығының үстіне, бөлгішті астына жазады. Мысалы, $5 : 9 = \frac{5}{9}$, $20 : 3 = \frac{20}{3}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 349

$\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{91}{100}$ бөлшектерінің әрқайсысын оқып шығып, олардың бөлімі мен алымын атаңдар, олар нені білдіретінін түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Алым — неше бөлік алдық, бөлім — неше бөлікке бөлдік.

Шешуі.

Жауабы: кестені қара.

A деңгейі

№ 350

Бөлшек түрінде жазыңдар: 3.3-суреттегі фигуралардың: 1) қандай бөлігі боялған? 2) қандай бөлігі боялмаған?

Қалай ойлаймыз. Суретте: а) 4 тең үшбұрышқа бөлінген үшбұрыш, 3-еуі боялған; ә) 6 тең сектордан тұратын дөңгелек, 2-еуі боялған; б) 8 тең үшбұрыштан тұратын квадрат, 5-еуі боялған; в) 7 тең жолақтан тұратын тік төртбұрыш, 4-еуі боялған. Бөлім — барлық бөліктердің саны, алым — боялғандарының саны. Боялмағандары: барлық бөліктен боялғандарын азайтамыз.

Шешуі.

• а) $\frac{3}{4}$ боялған, $\frac{1}{4}$ боялмаған;
• ә) $\frac{2}{6}$ боялған, $\frac{4}{6}$ боялмаған;
• б) $\frac{5}{8}$ боялған, $\frac{3}{8}$ боялмаған;
• в) $\frac{4}{7}$ боялған, $\frac{3}{7}$ боялмаған.

Жауабы: а) $\frac{3}{4}$ және $\frac{1}{4}$; ә) $\frac{2}{6}$ және $\frac{4}{6}$; б) $\frac{5}{8}$ және $\frac{3}{8}$; в) $\frac{4}{7}$ және $\frac{3}{7}$.

№ 351

1) Бөліндіні бөлшек түрінде жазыңдар: $7 : 12$; $9 : 11$; $8 : 7$; $14 : 20$; $30 : 41$; $61 : 100$. 2) Бөлшекті бөлінді түрінде жазыңдар: $\frac{4}{7}$; $\frac{9}{12}$; $\frac{5}{9}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{8}{11}$; $\frac{7}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы. Бөлінгіш жоғарыда, бөлгіш төменде.

Шешуі.

1. $7 : 12 = \frac{7}{12}$; $9 : 11 = \frac{9}{11}$; $8 : 7 = \frac{8}{7}$; $14 : 20 = \frac{14}{20}$; $30 : 41 = \frac{30}{41}$; $61 : 100 = \frac{61}{100}$.
2. $\frac{4}{7} = 4 : 7$; $\frac{9}{12} = 9 : 12$; $\frac{5}{9} = 5 : 9$; $\frac{2}{5} = 2 : 5$; $\frac{8}{11} = 8 : 11$; $\frac{7}{4} = 7 : 4$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 352

1) Оркестрдің 32 мүшесінің $\frac{3}{8}$-і домбыра тартады. Оркестр мүшелерінің нешеуі домбыра тартады? 2) Дәптерде 48 бет бар. Оның беттерінің $\frac{7}{12}$ бөлігі жазылған. Дәптердің неше беті жазылған?

Қалай ойлаймыз. Санның бөлігін іздейміз: бөліміне бөлеміз, алымына көбейтеміз.

Шешуі.

1. $32 : 8 = 4$ — бұл $\frac{1}{8}$; $4 \cdot 3 = 12$ домбырашы.
2. $48 : 12 = 4$ — бұл $\frac{1}{12}$; $4 \cdot 7 = 28$ бет.

Жауабы: 1) 12 домбырашы; 2) 28 бет.

№ 353

1) Жарысқа қатысқан оқушылардан 4 оқушы жеңімпаз атанды. Бұл жарысқа қатысқан оқушылардың $\frac{1}{5}$-і болатын. Жарысқа неше оқушы қатысты? 2) Сыныпта 9 қыз бар. Бұл сыныптағы барлық оқушылардың $\frac{1}{3}$-індей. Сыныпта барлығы неше оқушы оқиды?

Қалай ойлаймыз. Суретте 5 тең бөліктен тұратын кесінді, бір бөлігі — 4 оқушы. Бөлігі бойынша бүтінді іздейміз: көбейтеміз.

Шешуі.

1. $4 \cdot 5 = 20$ оқушы.
2. $9 \cdot 3 = 27$ оқушы.

Жауабы: 1) 20 оқушы; 2) 27 оқушы.

№ 354

1) Бақтағы 120 ағаштың $\frac{1}{5}$-і шырша ағаштары. Бақта неше шырша ағашы бар? 2) Көрмедегі 57 суреттің $\frac{1}{3}$-і бояулы суреттер. Көрмеде неше бояулы сурет бар?

Қалай ойлаймыз. Бір бөлік керек — бөліміне бөлеміз.

Шешуі.

1. $120 : 5 = 24$ шырша.
2. $57 : 3 = 19$ сурет.

Жауабы: 1) 24 шырша; 2) 19 бояулы сурет.

№ 355

Өзіндік тапсырма. Бөлшекпен жазыңдар. Тәуліктің қандай бөлігінде: 1) мектепте боласың; 2) үй тапсырмасын орындайсың; 3) үй шаруасына көмектесесің; 4) ойнайсың; 5) ұйықтайсың?

Қалай ойлаймыз. Тәулікте 24 сағат бар. Бөлім — 24, алым — іске кететін сағат саны. Жауап әркімде өзінше.

Шешуі. Мысал:

1. Мектепте 6 сағ — тәуліктің $\frac{6}{24}$-і;
2. үй тапсырмасы 2 сағ — $\frac{2}{24}$;
3. үй шаруасы 1 сағ — $\frac{1}{24}$;
4. ойын 3 сағ — $\frac{3}{24}$;
5. ұйқы 9 сағ — $\frac{9}{24}$.

Қалған 3 сағ (жол, тамақ) — $\frac{3}{24}$. Тексеру: $6 + 2 + 1 + 3 + 9 + 3 = 24$.

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; барлық алымдардың қосындысы басқа істермен бірге 24 болуы керек.

B деңгейі

№ 356

3.4-суреттегі квадраттың: 1) қандай бөлігі боялған? 2) қандай бөлігі боялмаған? Бөлшекпен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретте: а) 3 × 3 квадрат, 5 торкөз боялған (4 бұрыштағы және ортасындағы); ә) 4 ширектен тұратын квадрат, екі ширегі тағы 4 кішкентай квадратқа бөлінген, 4 кішкентай квадрат боялған; б) осылай, 3 кішкентай квадрат боялған. Кішкентай квадрат — ширектің ширегі, яғни бүкіл квадраттың $\frac{1}{16}$-і: барлық ширекті осылай бөлсек, 16 кішкентай квадрат шығады.

Шешуі.

• а) $\frac{5}{9}$ боялған, $\frac{4}{9}$ боялмаған;
• ә) $\frac{4}{16}$ боялған, $\frac{12}{16}$ боялмаған;
• б) $\frac{3}{16}$ боялған, $\frac{13}{16}$ боялмаған.

Жауабы: а) $\frac{5}{9}$ және $\frac{4}{9}$; ә) $\frac{4}{16}$ және $\frac{12}{16}$; б) $\frac{3}{16}$ және $\frac{13}{16}$.

№ 357

Жұлдызшаның орнына тиісті санды қойып, берілген натурал санды жай бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $2 = \frac{}{3}$, $2 = \frac{14}{}$; 2) $8 = \frac{}{4}$, $8 = \frac{}{9}$; 3) $12 = \frac{}{5}$, $12 = \frac{96}{}$; 4) $27 = \frac{270}{}$, $27 = \frac{}{100}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек — бұл бөлу. Алымы белгісіз болса — санды бөліміне көбейт. Бөлімі белгісіз болса — алымын санға бөл.

Шешуі.

1. $2 \cdot 3 = 6$: $2 = \frac{6}{3}$; $14 : 2 = 7$: $2 = \frac{14}{7}$.
2. $8 \cdot 4 = 32$: $8 = \frac{32}{4}$; $8 \cdot 9 = 72$: $8 = \frac{72}{9}$.
3. $12 \cdot 5 = 60$: $12 = \frac{60}{5}$; $96 : 12 = 8$: $12 = \frac{96}{8}$.
4. $270 : 27 = 10$: $27 = \frac{270}{10}$; $27 \cdot 100 = 2700$: $27 = \frac{2700}{100}$.

Жауабы: 1) 6; 7; 2) 32; 72; 3) 60; 8; 4) 10; 2700.

№ 358

Айжанда үш бүтін алма, екі жарты алма және төрт ширек алма бар. Айжанда барлығы неше алма бар?

Қалай ойлаймыз. Кесектерді бүтін алмаға жина.

Шешуі.

1. Екі жарты — 1 бүтін алма.
2. Төрт ширек — сондай-ақ 1 бүтін алма.
3. Барлығы: $3 + 1 + 1 = 5$.

Жауабы: 5 алма.

№ 359

Гүлшоғында 5 қалампыр гүлі, 13 түймедақ гүлі және бірнеше раушан гүлі бар. Егер гүлшоғында барлығы 27 гүл болса, ондағы раушан гүлі барлық гүлдердің қандай бөлігі?

Қалай ойлаймыз. Алдымен раушан гүлінің санын біл. Сосын бұл 27-нің нешесі екенін тап.

Шешуі.

1. Қалампыр мен түймедақ: $5 + 13 = 18$.
2. Раушан: $27 - 18 = 9$.
3. Бөлігі: 27-нің 9-ы, яғни $\frac{9}{27}$.

Жауабы: гүлшоғының $\frac{9}{27}$ бөлігі.

№ 360

3.5-суретте қабырғасының ұзындығы 4 см квадрат кескінделген. 1) Квадраттың қандай бөлігі боялған? 2) Квадраттың боялған бөлігінің ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретте қабырғалардың ортасы қосылған, ішкі квадрат шыққан. Диагональдар оны 4 тең кішкентай квадратқа бөледі, 2-еуі боялған. Ішкі квадрат үлкен квадраттың жартысы: айналасындағы төрт бұрыштық үшбұрышты тағы бір осындай квадратқа жинауға болады. Демек, әр кішкентай квадрат үлкеннің $\frac{1}{8}$-і.

Шешуі.

1. 8 бөліктің 2-еуі боялған: квадраттың $\frac{2}{8}$-і (бұл $\frac{1}{4}$-пен бірдей).
2. Үлкен квадраттың ауданы: $4 \cdot 4 = 16$ см².
3. Сегізден бірі: $16 : 8 = 2$ см². Сегізден екісі: $2 \cdot 2 = 4$ см².

Жауабы: 1) квадраттың $\frac{2}{8}$-і; 2) 4 см².

№ 361

Үстел үстінде 5 кесе тұр. Егер әрбір ретте 2 кесені төңкеріп қойсақ, барлық кесені төңкеріп қоюға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Түбі жоғары қараған кесе саны жұп па, тақ па — соны бақыла.

Шешуі.

1. Басында түбі жоғары қараған кесе жоқ — 0, яғни жұп сан.
2. Бір жүрісте екі кесені аударамыз. Түбі жоғары қараған кесе саны 2-ге өзгереді немесе өзгермейді (біреуін жоғары, екіншісін төмен аудардық). Ол жұп күйінде қалады.
3. Бізге 5 керек — бұл тақ сан. Бұл мүмкін емес.

Жауабы: болмайды.

№ 362

Марина мен Нұргүл алмұрт жинады. Олардың жинаған барлық алмұрты Маринаның жинаған алмұрттарынан 11-ге артық, ал Нұргүлдің жинаған алмұрттарынан 7-ге артық. Барлық алмұрттың қандай бөлігін Марина жинады? Қандай бөлігін Нұргүл жинады?

Қалай ойлаймыз. Барлық алмұрт минус Маринаның алмұрты — бұл Нұргүлдің алмұрты. Және керісінше.

Шешуі.

1. Барлығы Маринадан 11-ге артық, демек, Нұргүл 11 алмұрт жинады.
2. Барлығы Нұргүлден 7-ге артық, демек, Марина 7 алмұрт жинады.
3. Барлығы: $7 + 11 = 18$ алмұрт.

Жауабы: Марина барлық алмұрттың $\frac{7}{18}$-ін, Нұргүл $\frac{11}{18}$-ін жинады.

№ 363

Тік төртбұрыш алғашқыда өзара тең 3 бөлікке бөлінді. Сонан соң осы бөліктердің әрқайсысы өзара тең 4 бөлікке бөлініп, оның 5 бөлігін бояғанда, тік төртбұрыштың 20 см² ауданы боялды. Тік төртбұрыштың ауданын табыңдар. А. 36 см²; В. 48 см²; С. 60 см²; D. 72 см².

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлығы неше кішкентай бөлік екенін және біреуі неше см² екенін біл.

Шешуі.

1. Барлық бөліктер: $3 \cdot 4 = 12$.
2. 5 бөлік — 20 см², бір бөлік — $20 : 5 = 4$ см².
3. Ауданы: $4 \cdot 12 = 48$ см².

Жауабы: B. 48 см².

№ 364

Талғат Мұсабаев 1998 жылы 29 қаңтарда ғарышқа ұшып, ғарыш кеңістігінде 4992 сағ болды. Оның $\frac{5}{832}$ бөлігін ашық ғарыш кеңістігінде өткізіп, «Мир» станциясында жөндеу жұмыстарын жүргізді. Талғат Мұсабаев ашық ғарыш кеңістігінде неше сағат болды?

Шешуі.

1. $4992 : 832 = 6$ сағ — бұл $\frac{1}{832}$.
2. $6 \cdot 5 = 30$ сағ.

Жауабы: 30 сағат.

🌟 Талғат Мұсабаев — Қазақстаннан шыққан ұшқыш-ғарышкер. Ол ғарышқа үш рет ұшып, ашық ғарышқа бірнеше рет шықты.

№ 365

Жолаушы 140 км қашықтықтағы елді мекенге бармақшы болды. Ол осы қашықтықтың $\frac{5}{7}$-ін автобуспен жүріп, қалғанын мотоциклмен жүрді. Жолаушы неше километр қашықтықты мотоциклмен жүрді?

Қалай ойлаймыз. Мотоциклмен — автобустан кейін қалғаны.

Шешуі.

1. Жолдың $\frac{1}{7}$-і: $140 : 7 = 20$ км.
2. Автобуспен: $20 \cdot 5 = 100$ км.
3. Мотоциклмен: $140 - 100 = 40$ км.

Жауабы: 40 км.

№ 366

Автотұрақта барлығы 48 мәшине тұр. Оның $\frac{1}{6}$-і — автобустар, қалғанының $\frac{3}{4}$-і — жеңіл мәшинелер. Автотұрақтағы мәшинелердің нешеуі жеңіл мәшинелер?

Қалай ойлаймыз. «Қалғанының» деген сөзге назар аудар: $\frac{3}{4}$-ті 48-ден емес, автобустардан кейін қалғанынан аламыз.

Шешуі.

1. Автобустар: $48 : 6 = 8$.
2. Қалғаны: $48 - 8 = 40$.
3. Жеңіл мәшинелер: $40 : 4 \cdot 3 = 30$.

Жауабы: 30 жеңіл мәшине.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. № 366–368 есептерде бөлшек біресе бүтіннен, біресе қалғанынан алынады. Есептеуден бұрын баладан «қалғанының» деген сөздің астын сыздырып, бөліктің қай саннан алынатынын дауыстап айтқызыңыз.

C деңгейі

№ 367*

Жәшікте 48 кубик болды. Төрт бала бірінен соң бірі келіп, әрқайсысы жәшіктегі қалған кубиктердің $\frac{1}{2}$-ін алуға уәделесті. Ең соңғы төртінші бала жәшіктен неше кубик алады?

Қалай ойлаймыз. Әр жолы қалғаны екі есе азаяды.

Шешуі.

1. Бірінші: $48 : 2 = 24$, 24 қалды.
2. Екінші: $24 : 2 = 12$, 12 қалды.
3. Үшінші: $12 : 2 = 6$, 6 қалды.
4. Төртінші: $6 : 2 = 3$.

Жауабы: 3 кубик.

№ 368

Дүкенде электр тігін мәшинесі, аяқ тігін мәшинесі және қол тігін мәшинесі барлығы 580 тігін мәшинесі бар. Дүкендегі барлық тігін мәшинелерінің $\frac{1}{4}$-і электр тігін мәшинелері, қалғанының $\frac{1}{5}$-і — аяқ тігін мәшинелері. Одан қалғаны — қол тігін мәшинелері. Дүкенде неше қол тігін мәшинесі бар?

Қалай ойлаймыз. Мұнда да «қалғанының»: $\frac{1}{5}$-ін электр мәшинелерден кейін қалғанынан аламыз.

Шешуі.

1. Электр мәшинелер: $580 : 4 = 145$.
2. Қалғаны: $580 - 145 = 435$.
3. Аяқ мәшинелері: $435 : 5 = 87$.
4. Қол мәшинелері: $435 - 87 = 348$.

Жауабы: 348 қол тігін мәшинесі.

№ 369

Елдостағы маркалардың жартысы және қалғанының жартысы — спорттық ойын маркалары. Қалған 7 марка — пошта маркалары. Елдоста барлығы неше марка бар?

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап шешеміз — бейнені кері айналдырғандай.

Шешуі.

1. Бірінші жартысынан кейін марканың жартысы қалады. Қалғанының жартысын да алды, қалғанының екінші жартысы — 7 марка қалды.
2. Демек, қалғаны $7 \cdot 2 = 14$ марка болды.
3. Қалғаны — барлығының жартысы: $14 \cdot 2 = 28$ марка.

Тексеру: $28 : 2 = 14$, $14 : 2 = 7$ спорттық, $14 + 7 = 21$ спорттық, $28 - 21 = 7$ пошта маркасы.

Жауабы: 28 марка.

№ 370*

Гүлдана үйге тапсырмаға берілген өлең шумақтарын жаттады. Ол алғашқыда жаттауға тиісті барлық өлең жолдарының $\frac{1}{2}$-ін және 4 жолды жаттады. Сонан соң қалған өлең жолдарының $\frac{1}{2}$-ін жаттағанда, өлеңнің жатталмаған 4 жолы қалды. Өлеңде барлығы неше жол болған?

Қалай ойлаймыз. Мұнда да соңынан бастаймыз.

Шешуі.

1. Қалғанының жартысы — 4 жол, демек, бірінші жаттаудан кейінгі қалғаны: $4 \cdot 2 = 8$ жол.
2. «Жартысы және тағы 4 жол» жатталғаннан кейін 8 қалды. Демек, өлеңнің екінші жартысы — $8 + 4 = 12$ жол.
3. Бүкіл өлең: $12 \cdot 2 = 24$ жол.

Тексеру: $12 + 4 = 16$ жаттады, 8 қалды; жартысы — 4, 4 қалды.

Жауабы: 24 жол.

№ 371

Гауһар мен әкесі өзенде ескекті қайықпен ағысқа қарсы жүзіп келеді. Кенеттен Гауһар суға қуыршағын түсіріп алды. Өзен суының ағыс жылдамдығы 30 м/мин. Қайықтың меншікті жылдамдығы 90 м/мин. 4 минуттан соң қуыршақ қайықтан қандай қашықтықта болады? Есеп шартында қандай шаманың мәні артық берілді?

Қалай ойлаймыз. Бұл — 2.10 тармақшасын қайталау. Қуыршақ ағыспен артқа қарай жүзеді, қайық алға жүзеді.

Шешуі.

1. Қайықтың ағысқа қарсы жылдамдығы: $90 - 30 = 60$ м/мин. 4 минутта: $60 \cdot 4 = 240$ м алға.
2. Қуыршақ 4 минутта: $30 \cdot 4 = 120$ м артқа.
3. Қашықтық: $240 + 120 = 360$ м. Қысқасы: $90 \cdot 4 = 360$ м.

Жауабы: 360 м. Артық берілген шама — ағыс жылдамдығы: қайық қуыршақтан өзінің меншікті жылдамдығымен алыстайды.

№ 372*

Мағжан велосипедпен үйге келе жатты. Оны үйдің жанындағы иті көріп, оған қарсы 10 м/с жылдамдықпен жүгірді. Ит Мағжанға жарты жолда кездесіп, үйге қарай қайта жүгірді. Ит Мағжанға қарай екінші рет тағы да жүгіріп, оны ширек жолда кездестірді де, үйге дейін 50 м қашықтыққа жүгірді. 1) Ит Мағжанды үйден неше метр қашықтықта көрді? 2) Ит барлығы неше метр қашықтыққа жүгірді? 3) Ит неше секунд жүгірді?

Қалай ойлаймыз. Екінші кездесу — үйден жолдың $\frac{1}{4}$-інде, ал ол жерден үйге дейін 50 м.

Шешуі.

1. Жолдың $\frac{1}{4}$-і — 50 м. Бүкіл жол: $50 \cdot 4 = 200$ м.
2. Жолдың ортасы — 100 м. Ит жүгірді: ортасына дейін 100 м, кері 100 м, екінші кездесуге дейін 50 м, кері 50 м. Барлығы $100 + 100 + 50 + 50 = 300$ м.
3. Уақыты: $300 : 10 = 30$ с.

Жауабы: 1) 200 м қашықтықта көрді; 2) 300 м жүгірді; 3) 30 секунд жүгірді.

№ 373

Теңдеуді шешіңдер: 1) $87 : (4x + 5) = 3$; 2) $17 \cdot (3x - 16) = 85$; 3) $9 \cdot (6x - 13) = 153$; 4) $3 \cdot (8x + 51) = 201$; 5) $(46x - 57) : 3 = 27$; 6) $(19x + 62) : 15 = 13$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны бір белгісіз санның орнына қара. Алдымен оны тап, сосын $x$-ті.

Шешуі.

1. $4x + 5 = 87 : 3 = 29$; $4x = 24$; $x = 6$.
2. $3x - 16 = 85 : 17 = 5$; $3x = 21$; $x = 7$.
3. $6x - 13 = 153 : 9 = 17$; $6x = 30$; $x = 5$.
4. $8x + 51 = 201 : 3 = 67$; $8x = 16$; $x = 2$.
5. $46x - 57 = 27 \cdot 3 = 81$; $46x = 138$; $x = 3$.
6. $19x + 62 = 13 \cdot 15 = 195$; $19x = 133$; $x = 7$.

Жауабы: 1) 6; 2) 7; 3) 5; 4) 2; 5) 3; 6) 7.

№ 374

Сырдария өзенінің Қазақстан Республикасы аймағынан өтетін ұзындығы 1400 км. Ақпараттық көздерден Сырдария өзенінің ұзындығын табыңдар (жүздікке дейін дөңгелектеңдер). Сырдария өзені ұзындығының қандай бөлігі біздің республикамыз — Қазақстанның аймағы арқылы өтетінін есептеп табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — интернеттен іздеуге арналған тапсырма. Анықтамалық мән (дереккөзбен тексер): Сырдарияның ұзындығы шамамен 2212 км, жүздікке дейін дөңгелектегенде — 2200 км.

Шешуі.

1. Қазақстан арқылы: 2200 км-дің 1400 км-і, яғни $\frac{1400}{2200}$.
2. Екі санды да 200-ге бөлеміз (II тарауда ортақ бөлгішке бөлгеніміздей): $\frac{7}{11}$.

Жауабы: ұзындығы шамамен 2200 км; Қазақстан арқылы өзен ұзындығының $\frac{14}{22}$-і, яғни $\frac{7}{11}$-і өтеді.

Жадынама

• Үлес — бүтіннің тең бөліктерінің бірі.
• $\frac{a}{b}$ бөлшегі: бөлім $b$ — неше бөлікке бөлдік, алым $a$ — неше бөлік алдық.
• Оқылуы: алдымен бөлім шығыс септігінде, сосын алым атау септігінде: «бестен екі».
• Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы: $a : b = \frac{a}{b}$.
• $\frac{1}{n}$ бөлігі бойынша сан: бөлікті $n$-ге көбейтеміз.

Шағын тест