ІІ тарауды қайталауға арналған жаттығулар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 113–114-беттер.

Нені қайталаймыз

II тарау — сандардың бір-біріне қалай бөлінетіні туралы. Тізімді көзіңмен шолып, ең нашар еске түсіретініңді тап. Бастауды содан бастағаның жөн.

• Бөлгіштер мен еселіктер (2.1). Бөлгіш санды қалдықсыз бөледі. Еселік санға қалдықсыз бөлінеді.
• Жай және құрама сандар (2.2). Жай санның дәл екі бөлгіші бар: 1 және өзі.
• Бөлінгіштік қасиеттері (2.3).
• 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінгіштік белгілері (2.4). Соңғы цифрға қараймыз.
• 3-ке және 9-ға бөлінгіштік белгілері (2.5). Цифрлардың қосындысына қараймыз.
• Санның дәрежесі (2.6). Мысалы, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Жай көбейткіштерге жіктеу (2.7).
• ЕҮОБ және өзара жай сандар (2.8).
• ЕКОЕ (2.9).

Карточкаларды аудар да, басты нәрсені есіңде ұстағаныңды тексер.

💡 ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні қалай шатастырмау керек? Бірдеңені тең бөлсе (ойыншықтарды топтарға) — бұл ЕҮОБ. Бірдеңенің сәйкес келуін күтсе (балалар қайтадан бастауда) — бұл ЕКОЕ.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есепті шығарар алдында баладан ЕҮОБ пен ЕКОЕ-нің айырмашылығын өз сөзімен түсіндіруін сұраңыз. Егер шатасса, «тең бөлуге» және «бір мезгілде кездесуге» арналған есептерді кері шығарады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 316

94, 108, 207, 604, 825, 615, 710 сандарынан: 1) 2-ге бөлінетін сандарды; 2) 5-ке бөлінетін сандарды; 3) 3-ке бөлінетін сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 2 мен 5 үшін соңғы цифр жеткілікті. 3 үшін санның цифрларын қос.

Шешуі.

1. 2-ге — соңғы цифры жұп сандар: 94, 108, 604, 710.
2. 5-ке — 0 немесе 5-пен аяқталатын сандар: 825, 615, 710.
3. Цифрлар қосындылары: 94 → 13; 108 → 9; 207 → 9; 604 → 10; 825 → 15; 615 → 12; 710 → 8. 3-ке 9, 9, 15 және 12 бөлінеді. Демек, 108, 207, 825, 615 жарайды.

Жауабы: 1) 94, 108, 604, 710; 2) 825, 615, 710; 3) 108, 207, 825, 615.

№ 317

Жұлдызшаның орнына тиісті цифрды қойып: 1) 9-ға еселік санды; 2) 3-ке еселік сандардың ең кішісін жазыңдар: 83*; 2*3; 51*; 76*; 64*; 84*.

Қалай ойлаймыз. Белгілі цифрларды қос. Тоғыз үшін қосындыны 9-ға еселік ең жақын санға дейін толықтыр. Үш үшін қосынды 3-ке бөлінетіндей ең кіші цифрды ал.

Шешуі.

Жауабы: 1) 837, 243, 513, 765, 648, 846; 2) 831, 213, 510, 762, 642, 840.

⚠️ Жиі кететін қате. 51* санында үш үшін 513 деп жазады. Бірақ $5 + 1 = 6$ қазірдің өзінде 3-ке бөлінеді! Демек, 0 цифры жарайды, ең кіші сан — 510. Әрқашан алдымен 0-ді байқап көр.

№ 318

Сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табыңдар: 1) 48 және 28; 2) 12 және 15; 3) 45 және 32; 4) 24 және 88; 5) 60 және 75; 6) 78 және 117.

Қалай ойлаймыз. Екі санды да жай көбейткіштерге жікте. Екеуінде де бар көбейткіштерді көбейт.

Шешуі.

1. $48 = 2^4 \cdot 3$, $28 = 2^2 \cdot 7$. Ортағы: $2^2 = 4$.
2. $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. Ортағы: 3.
3. $45 = 3^2 \cdot 5$, $32 = 2^5$. Ортақ көбейткіш жоқ, ЕҮОБ = 1. Сандар өзара жай.
4. $24 = 2^3 \cdot 3$, $88 = 2^3 \cdot 11$. Ортағы: $2^3 = 8$.
5. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$. Ортағы: $3 \cdot 5 = 15$.
6. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $117 = 3^2 \cdot 13$. Ортағы: $3 \cdot 13 = 39$.

Жауабы: 1) 4; 2) 3; 3) 1; 4) 8; 5) 15; 6) 39.

№ 319

Балалар бір мезетте бір жерден бастап шеңбер бойымен жүгірді. Мұхит 4 минутта, Алмас 3 минутта, Нұрлан 6 минутта шеңберді бір рет айналады. Неше минуттан кейін олар үшеуі де бір-бірімен шеңбер бойында кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Мұхит стартта 4, 8, 12… минуттан кейін болады. Алмас — 3, 6, 9, 12… минуттан кейін. 4-ке де, 3-ке де, 6-ға да бөлінетін ең бірінші уақыт керек. Бұл — ЕКОЕ.

Шешуі.

1. $4 = 2^2$, $3 = 3$, $6 = 2 \cdot 3$.
2. ЕКОЕ $(4, 3, 6) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
3. Тексеру: 12 минутта Мұхит 3 шеңбер, Алмас 4 шеңбер, Нұрлан 2 шеңбер жүгіреді.

Жауабы: 12 минуттан кейін.

B деңгейі

№ 320

Сандарды жай көбейткіштерге жіктеп, ең кіші ортақ еселігін табыңдар: 1) 54 және 135; 2) 38 және 114; 3) 150 және 400; 4) 180 және 300; 5) 42, 60 және 70; 6) 18, 63 және 35.

Қалай ойлаймыз. ЕКОЕ-ге әр жай көбейткішті кездесетін ең үлкен дәрежесімен аламыз.

Шешуі.

1. $54 = 2 \cdot 3^3$, $135 = 3^3 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$.
2. $38 = 2 \cdot 19$, $114 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. ЕКОЕ $= 114$ (114 саны 38-ге бөлінеді).
3. $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, $400 = 2^4 \cdot 5^2$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 1200$.
4. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900$.
5. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
6. $18 = 2 \cdot 3^2$, $63 = 3^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.

Жауабы: 1) 270; 2) 114; 3) 1200; 4) 900; 5) 420; 6) 630.

№ 321

Азайғыштың, азайтқыштың коэффициенттерінің ЕҮОБ-ін жақша сыртына шығарып жазыңдар: 1) $42x - 30y$; 2) $56x - 24y$; 3) $60m - 36n$; 4) $75m - 15n$; 5) $95a - 35b$; 6) $88a - 55b$.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің алдындағы екі санның ЕҮОБ-ін тап. Әр санды соған бөліп, шыққанын жақша ішіне жаз. Тексер: жақшаны аш — бастапқы өрнек шығуы керек.

Шешуі.

1. ЕҮОБ $(42, 30) = 6$: $42x - 30y = 6(7x - 5y)$.
2. ЕҮОБ $(56, 24) = 8$: $56x - 24y = 8(7x - 3y)$.
3. ЕҮОБ $(60, 36) = 12$: $60m - 36n = 12(5m - 3n)$.
4. ЕҮОБ $(75, 15) = 15$: $75m - 15n = 15(5m - n)$.
5. ЕҮОБ $(95, 35) = 5$: $95a - 35b = 5(19a - 7b)$.
6. ЕҮОБ $(88, 55) = 11$: $88a - 55b = 11(8a - 5b)$.

Жауабы: 1) $6(7x - 5y)$; 2) $8(7x - 3y)$; 3) $12(5m - 3n)$; 4) $15(5m - n)$; 5) $5(19a - 7b)$; 6) $11(8a - 5b)$.

№ 322

Балалар бақшасындағы топтарға тарату үшін 28 ойыншық мәшине, 35 қуыршақ және 77 доп сатып алынды. Балалар бақшасындағы әрбір топқа ойыншық мәшинелер тең бөлініп, қуыршақтар тең бөлініп, доптар тең бөлініп берілді. Ойыншықтар балалар бақшасындағы неше топқа бөлініп берілді?

Қалай ойлаймыз. Ойыншықтарды тең бөледі — демек, ЕҮОБ іздейміз. Топ саны 28-ді де, 35-ті де, 77-ні де бөлуі керек.

Шешуі.

1. $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, $77 = 7 \cdot 11$.
2. Ортақ көбейткіш біреу ғана — 7. ЕҮОБ $(28, 35, 77) = 7$.
3. Әр топқа $28 : 7 = 4$ мәшине, $35 : 7 = 5$ қуыршақ, $77 : 7 = 11$ доп тиді.

Жауабы: 7 топқа.

№ 323

Маржан дүңгіршектен бағасы 80 тг лотерея билеттерін немесе бағасы 60 тг маркаларды сатып алуы керек. Сатушының қайтаратын ақшасы болмаған жағдайда Маржан үйінен кем дегенде неше теңге ақша алып шығуы керек?

Қалай ойлаймыз. Сома 80-ге де, 60-қа да қалдықсыз бөлінсе, қайтарым қажет болмайды. Ең кіші осындай сома — ЕКОЕ.

Шешуі.

1. $80 = 2^4 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
2. ЕКОЕ $(80, 60) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.
3. Тексеру: $240 : 80 = 3$ билет, $240 : 60 = 4$ марка.

Жауабы: 240 тг (ең кіші сәйкес сома).

C деңгейі

№ 324

Жай көбейткіштерге жіктеліп жазылған сандардың ЕКОЕ-ін табыңдар: 1) $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ және $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$; 2) $c = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$ және $d = 2^2 \cdot 5$; 3) $e = 2 \cdot 3 \cdot 11$ және $f = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$; 4) $h = 2 \cdot 5 \cdot 7$ және $k = 5^2 \cdot 7$; 5) $m = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ және $n = 2^4 \cdot 3$; 6) $x = 2 \cdot 5 \cdot 11$ және $y = 5^2 \cdot 11$.

Қалай ойлаймыз. Жіктеудің енді қажеті жоқ. Әр көбейткішті ең үлкен көрсеткішімен ал.

Шешуі.

1. $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$.
2. $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$.
3. $2^3 \cdot 3 \cdot 11 = 264$ (бұл — $f$-тің өзі, ол $e$-ге бөлінеді).
4. $2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 350$.
5. $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = 1200$.
6. $2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 550$.

Жауабы: 1) 252; 2) 540; 3) 264; 4) 350; 5) 1200; 6) 550.

№ 325

1) 42-ге бөлгіш, ал 7-ге еселік сандарды; 2) 78-ге бөлгіш, ал 13-ке еселік сандарды; 3) 114-ке бөлгіш, ал 19-ға еселік сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Санның барлық бөлгішін жаз. Олардың ішінен 7-ге (13-ке, 19-ға) бөлінетіндерін қалдыр.

Шешуі.

1. 42-нің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. 7-ге еселіктері: 7, 14, 21, 42.
2. 78-дің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. 13-ке еселіктері: 13, 26, 39, 78.
3. 114-тің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114. 19-ға еселіктері: 19, 38, 57, 114.

Жауабы: 1) 7, 14, 21, 42; 2) 13, 26, 39, 78; 3) 19, 38, 57, 114.

№ 326

Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері жай сандармен өрнектелген. Оның көлемі 165 см³. Осы тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көлем — ұзындық × ені × биіктік. Демек, 165-ті үш жай көбейткішке жіктеу керек.

Шешуі.

1. $165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$.
2. Жай көбейткіштерге басқа жіктеу жоқ. Демек, өлшемдері — 3 см, 5 см және 11 см.
3. Тексеру: $3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$.

Жауабы: 3 см, 5 см, 11 см.

№ 327

Үш бөлмеден тұратын үйдің (2.5-сурет) бірінші (I) бөлмесінің ауданы 45 м², ал екінші (II) бөлмесінің ауданы 21 м². Үйдің үшінші (III) бөлмесінің ауданын табыңдар. А. 32 м²; В. 42 м²; С. 48 м²; D. 46 м².

Қалай ойлаймыз. Қабырғалар бүтін метр деп есептейміз. I бөлменің биіктігі де, оң жақ бөліктің биіктігі де бірдей. II және III бөлмелердің ені де ортақ. 45 пен 21-дің бөлгіштерін іріктейміз.

Шешуі.

1. $45 = 5 \cdot 9$, $21 = 3 \cdot 7$.
2. Үйдің биіктігі 9 м болсын. Сонда I бөлменің ені: $45 : 9 = 5$ м.
3. II бөлменің биіктігі 3 м, ені 7 м болсын: $3 \cdot 7 = 21$ м².
4. III бөлменің ені сол 7 м, ал биіктігі $9 - 3 = 6$ м.
5. III бөлменің ауданы: $7 \cdot 6 = 42$ м². Мұндай нұсқа жауаптардың ішінде бар.

Басқа бөлулер (мысалы, биіктігі 5 м) жауап нұсқаларында жоқ аудандарды береді.

Жауабы: B. 42 м².

Жадынама

• Цифры түсіп қалған ең кіші санды іздесең — алдымен 0-ді байқап көр.
• Өзара жай сандардың ЕҮОБ-і 1-ге тең.
• Бір сан екіншісіне бөлінсе, олардың ЕКОЕ-сі — үлкен сан.
• ЕҮОБ-ті жақша сыртына шығару: $42x - 30y = 6(7x - 5y)$.

Шағын тест