2.4. Натурал сандардың 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінгіштік белгілері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 83–86-беттер.

Нені үйренесің

• Жұп цифрларды тақ цифрлардан ажыратуды.
• Соңғы цифрға қарап, санның 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінетінін бір секундта айтуды.
• 10-ға бөлінетін санның 2-ге де, 5-ке де неге бөлінетінін түсінуді.
• Бөлінгіштік белгілерінің көмегімен сатушының қатесін ұстауды.

Ой қозғау

Алдымен өткен сабақты еске түсірейік.

• Көбейтінді санға қашан бөлінеді? Көбейткіштердің кем дегенде біреуі сол санға бөлінгенде. $14 \cdot 9$ көбейтіндісі 7-ге бөлінеді, себебі 14 саны 7-ге бөлінеді.
• Қосынды санға қашан бөлінеді? Әр қосылғыш бөлінгенде. $35 + 21$ қосындысы 7-ге бөлінеді.
• Айырма санға қашан бөлінеді? Азайғыш та, азайтқыш та бөлінгенде. $56 - 14 = 42$ саны 7-ге бөлінеді.

Енді жаңа тақырыпқа сығалап көрейік.

• 10-нан 30-ға дейінгі 2-ге еселік сандарды жаз. Олар қандай цифрмен аяқталады? 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 — тек 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен.
• Ал 10-нан 40-қа дейінгі 5-ке еселік сандар ше? 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 — 0 немесе 5 цифрымен.
• 160, 230, 450 сандары неге 10-ға бөлінеді, ал 146, 213, 381 бөлінбейді? Біріншілерінің соңында 0 тұр, екіншілерінде жоқ.
• 10, 7, 12, 13, 24, 16, 23, 28 сандарының қайсысы 2-ге еселік? 10, 12, 24, 16, 28 — бәрі 0, 2, 4, 6 немесе 8 цифрымен аяқталады.

Тақырыпты талдаймыз

Бір цифрдың құпиясы

7 358 санының 2-ге бөлінетінін білу үшін бағанға салып бөлуге болады. Ал болмаса, жай ғана соңғы цифрына қарауға болады. Бөлінгіштік туралы бөлмей-ақ жауап беретін ереже бөлінгіштік белгісі деп аталады.

2-ге бөлінгіштік

0, 2, 4, 6, 8 цифрлары — жұп цифрлар, ал 1, 3, 5, 7, 9 — тақ цифрлар.

📌 Жазылуы жұп цифрмен аяқталатын сан 2-ге бөлінеді.

7 358 саны 8 цифрымен аяқталады — бөлінеді ($7358 : 2 = 3679$). Ал 4 271 саны 1 цифрымен аяқталады — бөлінбейді. 2-ге бөлінетін сандарды жұп сандар деп атайды: 6, 14, 28, 310. Қалғандары — тақ сандар: 7, 19, 33, 411.

Неге соңғы цифр жеткілікті

Санды «ондықтар» мен «бірліктерге» бөлейік: $7358 = 7350 + 8$. 7350 саны — бірнеше бүтін ондық, ал ондық 2-ге де, 5-ке де бөлінеді. Демек, бәрін бірліктер, яғни соңғы цифр шешеді. Бүкіл құпия осы!

5-ке және 10-ға бөлінгіштік

Бестен санап көр: 5, 10, 15, 20, 25, 30… Соңында үнемі не 5, не 0 тұрады.

📌 Жазылуы 0 немесе 5 цифрымен аяқталатын сан 5-ке бөлінеді. Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын сан 10-ға бөлінеді.

1 235 саны 5-ке бөлінеді ($1235 : 5 = 247$), ал 1 237 бөлінбейді. 1 070 саны 10-ға бөлінеді ($1070 : 10 = 107$), ал 1 075 бөлінбейді, бірақ 5-ке бөлінеді.

💡 $10 = 2 \cdot 5$. Сондықтан 10-ға бөлінетін сан 2-ге де, 5-ке де бөлінеді. Мысалы, $80 : 10 = 8$, $80 : 2 = 40$, $80 : 5 = 16$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірінші цифрға қарайды: «2 345 жұп, өйткені 2-мен басталады». Жоқ! 2-ге, 5-ке және 10-ға бөлінгіштік белгілері тек соңғы цифр бойынша жұмыс істейді. Соңғысынан басқа барлық цифрды саусағыңмен жауып, соған қарап шеш.

⚠️ Жиі кететін қате. 0 — жұп цифр екенін ұмытады. Сондықтан 120 және 3 500 сандары 2-ге бөлінеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Жылдам жауап» ойынын ойнаңыздар: сіз санды атайсыз, бала оның 2-ге, 5-ке, 10-ға қайсысына бөлінетінін бір секундта айтады. 3 470 — үшеуіне де, 8 125 — тек 5-ке, 9 006 — тек 2-ге.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай цифрларды жұп цифрлар деп атайды? 0, 2, 4, 6, 8.
• Қандай цифрларды тақ цифрлар деп атайды? 1, 3, 5, 7, 9.
• Жұп және тақ сандарға мысал келтір. Жұп: 12, 40, 356. Тақ: 13, 41, 357.
• Қандай сандар 2-ге бөлінеді? Жазылуы жұп цифрмен аяқталатындар.
• Қандай сандар 5-ке бөлінеді? Жазылуы 0 немесе 5 цифрымен аяқталатындар.
• Қандай сандар 10-ға бөлінеді? Жазылуы 0 цифрымен аяқталатындар.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 215

Төрт тізбек: бірінші саннан бастап, амалдарды кезекпен орында.

Қалай ойлаймыз. Әр нәтиже келесі қадамның бастапқы саны болады. Асықпа, аралық жауаптарды жазып отыр.

Шешуі.

1. $420 : 70 = 6$; $6 + 12 = 18$; $18 \cdot 5 = 90$; $90 - 48 = 42$; $42 : 6 = 7$.
2. $96 - 15 = 81$; $81 : 9 = 9$; $9 \cdot 50 = 450$; $450 + 120 = 570$; $570 - 180 = 390$.
3. $16 \cdot 5 = 80$; $80 + 220 = 300$; $300 : 6 = 50$; $50 - 19 = 31$; $31 \cdot 3 = 93$.
4. $190 + 70 = 260$; $260 : 13 = 20$; $20 \cdot 8 = 160$; $160 - 55 = 105$; $105 : 3 = 35$.

Жауабы: 1) 7; 2) 390; 3) 93; 4) 35.

A деңгейі

№ 216

54, 60, 71, 102, 107, 208, 379, 420, 620, 653, 1000, 5632, 10 895, 13 786 сандарының қайсысы жұп сан? Қайсысы тақ сан? Бір жолға тақ сандарды, екінші жолға жұп сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тек соңғы цифрға қара: 1, 3, 5, 7, 9 — тақ сан.

Шешуі. 71, 107, 379, 653, 10 895 сандарының соңғы цифрлары 1, 7, 9, 3, 5 — тақ. Қалғандарының соңында 4, 0, 2, 8, 6 — жұп.

Жауабы:

• тақ сандар: 71, 107, 379, 653, 10 895;
• жұп сандар: 54, 60, 102, 208, 420, 620, 1000, 5632, 13 786.

№ 217

144, 173, 184, 278, 391, 415, 520, 997, 990, 646, 825, 975 сандарынан: 1) 2-ге бөлінетін; 2) 5-ке бөлінетін; 3) 10-ға бөлінетін сандарды бөлек жолдарға жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр санның соңғы цифрына қарап, үш белгіні тексереміз.

Шешуі. 2-ге — соңғы цифр жұп. 5-ке — 0 немесе 5. 10-ға — тек 0. 173, 391, 997 сандары олардың ешқайсысына бөлінбейді.

Жауабы:

1. 2-ге: 144, 184, 278, 520, 646, 990;
2. 5-ке: 415, 520, 825, 990, 975;
3. 10-ға: 520, 990.

№ 218

Жұлдызшаның орнына тиісті цифрды қойып, кестені толтырыңдар: 63*, 37*, 49*.

Қалай ойлаймыз. Жұлдызша — соңғы цифр. 2-ге бөлінуі үшін 0, 2, 4, 6, 8 жарайды; 5-ке — 0 және 5; 10-ға — тек 0.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 219

Шығарманың оқылған беттері оқылмаған беттерінен 4 есе артық. Шығармада 145 бет болуы мүмкін бе, әлде 144 бет болуы мүмкін бе? Немесе 142 бет болуы мүмкін бе? Шығарманың оқылған беттері нешеу?

Қалай ойлаймыз. Оқылмағаны — 1 бөлік, оқылғаны — 4 бөлік, бүкіл шығарма — 5 бөлік. Демек, беттер саны 5-ке бөлінуі керек.

Шешуі.

1. 142, 144, 145 сандарынан тек 145 саны 5-ке бөлінеді.
2. Бір бөлік: $145 : 5 = 29$ бет — оқылмаған.
3. Оқылғаны: $29 \cdot 4 = 116$ бет.

Тексеру: $116 + 29 = 145$ және $116 : 29 = 4$.

Жауабы: шығармада 145 бет, оқылғаны 116 бет.

B деңгейі

№ 220

Қосылғыштардың жазылулары бойынша: а) 916 + 328; ә) 542 + 914; б) 270 + 565; в) 813 + 216; г) 315 + 650; д) 710 + 311; е) 450 + 317; ж) 990 + 734 қосындыларынан: 1) 2-ге бөлінетіндерін; 2) 5-ке бөлінетіндерін таңдап алып, бөліндінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосындының соңғы цифры қосылғыштардың соңғы цифрларына ғана байланысты. Оларды қосып көр — жауап немен аяқталатыны бірден көрінеді.

Шешуі.

Жауабы: 1) 2-ге а), ә), ж) бөлінеді; 2) 5-ке б), г) бөлінеді. Қосындылардың мәндері кестеде.

№ 221

Көбейткіштердің жазылулары бойынша: а) $7 \cdot 16$; ә) $11 \cdot 25$; б) $13 \cdot 10$; в) $13 \cdot 15$; г) $7 \cdot 20 \cdot 3$; д) $19 \cdot 11 \cdot 13$; е) $2 \cdot 5 \cdot 23$; ж) $21 \cdot 3 \cdot 6$ көбейтінділерінен: 1) 2-ге бөлінетіндерін; 2) 5-ке бөлінетіндерін; 3) 10-ға бөлінетіндерін таңдап алып, бөліндінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейтінді санға бөлінеді, егер кем дегенде бір көбейткіш бөлінсе. Жұп көбейткіш те, 5-ке бөлінетін көбейткіш те бар болса — көбейтінді 10-ға бөлінеді.

Шешуі.

Бөлінділер: $112 : 2 = 56$; $275 : 5 = 55$; $130 : 2 = 65$, $130 : 5 = 26$, $130 : 10 = 13$; $195 : 5 = 39$; $420 : 2 = 210$, $420 : 5 = 84$, $420 : 10 = 42$; $230 : 2 = 115$, $230 : 5 = 46$, $230 : 10 = 23$; $378 : 2 = 189$.

Жауабы: 1) 2-ге: а, б, г, е, ж; 2) 5-ке: ә, б, в, г, е; 3) 10-ға: б, г, е.

№ 222

0, 3, 4 және 5 цифрларын бір рет қана пайдаланып: 1) 2-ге бөлінетін; 2) 5-ке бөлінетін; 3) 10-ға бөлінетін екі таңбалы сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сан нөлден басталмайды. Алдымен белгі бойынша соңғы цифрды таңдаймыз, сосын қалған цифрлардан бірінші цифрды аламыз.

Шешуі.

1. 2-ге: соңында 0 немесе 4. Нөлмен: 30, 40, 50. Төртпен: 34, 54 (04 — екі таңбалы сан емес).
2. 5-ке: соңында 0 немесе 5. Нөлмен: 30, 40, 50. Бестен: 35, 45.
3. 10-ға: соңында 0: 30, 40, 50.

Жауабы: 1) 30, 34, 40, 50, 54; 2) 30, 35, 40, 45, 50; 3) 30, 40, 50.

№ 223

Мирас бағалары бірдей 5 фломастер сатып алды. Сатушы оған: «Барлығының құны 403 тг», — деді. 1) Сатушы дұрыс есептеді ме? 2) Егер сатушы артығымен есептесе, Мирас сатып алған барлық фломастердің құны неше теңге? 3) Бір фломастердің бағасы неше теңге?

Қалай ойлаймыз. 5 бірдей фломастердің құны — «баға · 5». Мұндай сан міндетті түрде 5-ке бөлінеді.

Шешуі.

1. 403 саны 3-пен аяқталады — 5-ке бөлінбейді. Сатушы қателесті.
2. Ол артығымен есептеген, демек, дұрыс сома 403-тен кем және 5-ке бөлінеді. Ең жақыны — 400 тг.
3. Бір фломастер: $400 : 5 = 80$ тг.

Жауабы: 1) дұрыс емес; 2) 400 тг; 3) 80 тг.

💡 Міне, дүкендегі суперкүшің: 5 немесе 10 бірдей зат сатып алсаң, құны 0 немесе 5-пен аяқталуы керек (10 зат үшін — тек 0-мен).

№ 224

Атай баласымен және немересімен саяжайға бір велосипедпен барулары керек. Велосипед 100 кг массаны ғана көтере алады. Атай 80 кг, баласы 60 кг, немересі 30 кг. Олар үйден саяжайға қалайша бір велосипедпен бара алады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Атай тек жалғыз бара алады: $80 + 30 = 110 > 100$. Бала мен немере бірге бара алады: $60 + 30 = 90$. Ал велосипедті біреу кері айдап әкелуі керек.

Шешуі.

1. Бала мен немере саяжайға барады (90 кг).
2. Немере жалғыз қайтады (30 кг).
3. Атай саяжайға жалғыз барады (80 кг).
4. Бала жалғыз қайтады (60 кг).
5. Бала мен немере саяжайға барады (90 кг).

Жауабы: бес жүрісте: бала мен немере — барады, немере — қайтады, атай — барады, бала — қайтады, бала мен немере — барады.

C деңгейі

№ 225

Егер $x$ жұп сан болса, онда $3x$; $x + 1$; $5x$; $7x - 3$; $5x + 4$; $2x - 1$; $9x + 7$; $11x + 6$ сандарының қайсысы жұп сан, қайсысы тақ сан? Жұп сандарды бір қатарға, тақ сандарды екінші қатарға жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x$ жұп болса, $3x$, $5x$, $7x$, $9x$, $11x$ сандары да жұп: $x$ көбейткіші 2-ге бөлінеді ғой. Одан әрі қарапайым ережелер: жұп + жұп = жұп; жұп ± тақ = тақ.

Шешуі.

• $3x$ — жұп; $5x$ — жұп.
• $x + 1$ — жұп + 1 = тақ.
• $7x - 3$ — жұп − 3 = тақ.
• $5x + 4$ — жұп + 4 = жұп.
• $2x - 1$ — жұп − 1 = тақ.
• $9x + 7$ — тақ.
• $11x + 6$ — жұп.

$x = 2$ болғанда тексеру: $6$; $3$; $10$; $11$; $14$; $3$; $25$; $28$. Бәрі сәйкес келеді.

Жауабы: жұп сандар: $3x$, $5x$, $5x + 4$, $11x + 6$; тақ сандар: $x + 1$, $7x - 3$, $2x - 1$, $9x + 7$.

№ 226

Жеміс сусынын дайындау үшін кептірілген алмұрт және қараөрік алынды. Оның 5 бөлігі алмұрт, 3 бөлігі қараөрік. Алмұрттың қараөріктен 425 г артық болуы мүмкін бе, әлде 500 г артық болуы мүмкін бе? Жеміс сусынын дайындау үшін барлығы неше килограмм кептірілген жеміс алынды?

Қалай ойлаймыз. Алмұрт $5 - 3 = 2$ бөлікке артық. Демек, айырма — екі бірдей бөлік, ол 2-ге бөлінуі керек (бөлік — бүтін грамм).

Шешуі.

1. 425 — тақ сан, 2-ге бөлінбейді. Мұндай айырма болуы мүмкін емес.
2. 500 — жұп сан. Бір бөлік: $500 : 2 = 250$ г.
3. Барлығы $5 + 3 = 8$ бөлік: $250 \cdot 8 = 2000$ г $= 2$ кг.

Тексеру: алмұрт $250 \cdot 5 = 1250$ г, қараөрік $250 \cdot 3 = 750$ г, айырмасы $1250 - 750 = 500$ г.

Жауабы: 425 г болуы мүмкін емес, 500 г болуы мүмкін; барлығы 2 кг кептірілген жеміс алынды.

№ 227

Аулада мысықтар мен тауықтар жүр. Олардың барлығы 8. Мысықтың әрбір аяғында 5 тырнақ, ал тауықтың әрбір аяғында 4 тырнақ бар. Ауладағы барлық мысықтар мен тауықтарда 100 тырнақ бар. Аулада неше мысық, неше тауық жүр?

Қалай ойлаймыз. Мысықтың 4 аяғы бар, оның $4 \cdot 5 = 20$ тырнағы бар. Тауықтың 2 аяғы бар — $2 \cdot 4 = 8$ тырнақ. Айлалы тәсіл: алдымен барлық жануарды тауық деп ұйғарамыз.

Шешуі.

1. Барлық 8-і тауық болса, тырнақ $8 \cdot 8 = 64$ болады.
2. $100 - 64 = 36$ тырнақ жетіспейді.
3. Тауықты мысыққа ауыстырған сайын $20 - 8 = 12$ тырнақ қосылады.
4. Мысықтар: $36 : 12 = 3$. Тауықтар: $8 - 3 = 5$.

Тексеру: $3 \cdot 20 + 5 \cdot 8 = 60 + 40 = 100$.

Жауабы: 3 мысық және 5 тауық.

Жадынама

• Тек соңғы цифрға қара.
• 0 — жұп цифр.
• $7358 = 7350 + 8$: ондықтар әрқашан 2-ге де, 5-ке де бөлінеді, бәрін бірліктер шешеді.
• 5 бірдей зат сатып алсаң, құны 0 немесе 5-пен аяқталуы керек.

Шағын тест