2.5. Натурал сандардың 3-ке және 9-ға бөлінгіштік белгілері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 87–90-беттер.

Нені үйренесің

• Санның цифрларының қосындысын тез табуды.
• Цифрларының қосындысына қарап, санның 3-ке және 9-ға бөлінетінін білуді.
• 3 пен 9 үшін неге соңғы цифр емес, барлық цифр керек екенін түсіндіруді.
• Екі белгіні қосып, 6-ға, 15-ке және 45-ке бөлінгіштікті тексеруді.
• Жетпей тұрған цифрды сан 3-ке немесе 9-ға бөлінетіндей етіп таңдауды.

Ой қозғау

12, 29, 45, 57, 61, 72, 83, 99 сандарын ал да, әрқайсысының цифрларын қос.

• Қай сандардың цифрларының қосындысы 3-ке бөлінеді? Сол сандардың өздері 3-ке бөле ме? 12, 45, 57, 72, 99. Және өздері де бөлінеді: $12 : 3 = 4$, $45 : 3 = 15$, $57 : 3 = 19$, $72 : 3 = 24$, $99 : 3 = 33$.
• Ал қайсысының цифрларының қосындысы 9-ға бөлінеді? 45, 72, 99. Және тағы да өздері 9-ға бөлінеді: $45 : 9 = 5$, $72 : 9 = 8$, $99 : 9 = 11$.
• 29, 61, 83 сандарымен не болды? Олар 3-ке де, 9-ға да бөлінбейді, олардың цифрларының қосындылары да бөлінбейді.

💡 Кездейсоқтық сияқты ма? Бұл кездейсоқтық емес, бұл — ереже. Қазір неге екенін түсінеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Цифрлар қосындысы — сиқырлы кілт

Цифрлар қосындысы — санның барлық цифрын бірге қосқанда шығатын сан. 273 үшін ол $2 + 7 + 3 = 12$, 328 үшін — $3 + 2 + 8 = 13$.

12, 15, 18 қосындылары 3-ке бөлінеді — 273, 384, 567 сандары да бөлінеді: $273 : 3 = 91$, $384 : 3 = 128$, $567 : 3 = 189$. Ал 328, 451, 623 сандары 3-ке бөлінбейді.

📌 Цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін сан 3-ке бөлінеді. Цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетін сан 9-ға бөлінеді. Қосынды бөлінбесе — сан да бөлінбейді.

Мысал: 783 санының цифрлар қосындысы $7 + 8 + 3 = 18$, ал 18 саны 9-ға бөлінеді. Демек, $783 : 9 = 87$ қалдықсыз. 289 санының қосындысы 19 — ол 9-ға бөлінбейді.

Бұл неге жұмыс істейді

Өзің байқап көр

⚠️ Жиі кететін қате. «3-ке бөлінсе, демек, 9-ға да бөлінеді». Бұл қате: 12 санының цифрлар қосындысы 3, ол 3-ке бөлінеді, ал 9-ға бөлінбейді. Керісінше дұрыс: 9-ға бөлінетін сан 3-ке де бөлінеді, себебі $9 = 3 \cdot 3$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Өткен сабақпен салыстырыңыз: 2, 5, 10 үшін соңғы цифр жеткілікті, ал 3 пен 9 үшін барлық цифр керек. Баладан сұраңыз: 2 346 неге 3-ке бөлінеді (қосынды 15), ал 2 347 неге бөлінбейді (қосынды 16)? Егер бала «соңғы цифр бойынша» деп түсіндірсе — белгілер араласып кеткен.

Белгілерді бір команда етеміз

Белгілерді қосуға болады:

• 2-ге және 3-ке бөлінсе → 6-ға бөлінеді;
• 3-ке және 5-ке бөлінсе → 15-ке бөлінеді;
• 5-ке және 9-ға бөлінсе → 45-ке бөлінеді.

Мысалы, 372: соңғы цифры 2 — 2-ге бөлінеді; цифрлар қосындысы 12 — 3-ке бөлінеді. Демек, $372 : 6 = 62$.

⚠️ Жиі кететін қате. Цифрлар қосындысын санап, оны тексереді де, санның өзі туралы емес, қосынды туралы жауап береді. Цифрлар қосындысы — тек құрал. Жауапты әрқашан бастапқы сан туралы береміз.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай натурал сандар 3-ке бөлінеді? Цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетіндер.
• Қандай натурал сандар 9-ға бөлінеді? Цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетіндер.
• Қандай натурал сандар 3-ке де, 9-ға да бөлінбейді? Цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбейтіндер. Онда ол 9-ға да бөлінбейді.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 228

Сандардың 3-ке бөлінгіштігін анықтаңдар (ауызша): 1) 120, 203, 306; 2) 660, 800, 840; 3) 690, 510, 135; 4) 780, 910, 1005.

Қалай ойлаймыз. Цифрларды ойша қос. Нөлдерді өткізіп жіберуге болады: олар қосындыны өзгертпейді.

Шешуі.

1. 120 → 3, бөлінеді; 203 → 5, бөлінбейді; 306 → 9, бөлінеді.
2. 660 → 12, бөлінеді; 800 → 8, бөлінбейді; 840 → 12, бөлінеді.
3. 690 → 15; 510 → 6; 135 → 9 — бәрі бөлінеді.
4. 780 → 15, бөлінеді; 910 → 10, бөлінбейді; 1005 → 6, бөлінеді.

Жауабы: 3-ке бөлінеді: 120, 306, 660, 840, 690, 510, 135, 780, 1005; бөлінбейді: 203, 800, 910.

A деңгейі

№ 229

1) 123, 325, 342, 404, 561, 672, 731, 873, 881, 948, 1041, 1112 сандарынан 3-ке бөлінетін сандарды теріп жазыңдар. 2) 288, 333, 444, 558, 9468, 507, 8645, 576, 802, 891, 7839, 765, 781, 936 сандарынан 9-ға бөлінетін сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сан үшін цифрлар қосындысын тап. 3-ке 6, 9, 12, 15… қосындылары жарайды, 9-ға — тек 9, 18, 27.

Шешуі.

1. Цифрлар қосындылары: 123 → 6, 325 → 10, 342 → 9, 404 → 8, 561 → 12, 672 → 15, 731 → 11, 873 → 18, 881 → 17, 948 → 21, 1041 → 6, 1112 → 5. Қосындысы 6, 9, 12, 15, 18, 21 болатындар 3-ке бөлінеді.
2. Цифрлар қосындылары: 288 → 18, 333 → 9, 444 → 12, 558 → 18, 9468 → 27, 507 → 12, 8645 → 23, 576 → 18, 802 → 10, 891 → 18, 7839 → 27, 765 → 18, 781 → 16, 936 → 18. Қосындысы 9, 18, 27 болатындар 9-ға бөлінеді.

Жауабы: 1) 123, 342, 561, 672, 873, 948, 1041; 2) 288, 333, 558, 9468, 576, 891, 7839, 765, 936.

№ 230

1) 44, 444, 4444, 444 444, 555, 5555 сандарынан 3-ке бөлінетін сандарды теріп жазыңдар. 2) 81, 818, 8181, 81 818, 818 181 сандарынан 9-ға бөлінетін сандарды теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Цифрлар қайталанғанда қосындыны көбейту арқылы санау ыңғайлы: 4444 санында төрт төртеу бар, қосынды $4 \cdot 4 = 16$.

Шешуі.

1. 44 → 8; 444 → 12; 4444 → 16; 444 444 → 24; 555 → 15; 5555 → 20. 3-ке 12, 24, 15 қосындылары бөлінеді.
2. 81 → 9; 818 → 17; 8181 → 18; 81 818 → 26; 818 181 → 27. 9-ға 9, 18, 27 бөлінеді.

Жауабы: 1) 444, 444 444, 555; 2) 81, 8181, 818 181.

№ 231

Пойыздың 9 платформасына тракторлар тиелген. Әрбір платформадағы тракторлар саны бірдей. Пойыздың барлық платформасында 143 трактор болуы мүмкін бе, 146 трактор болуы мүмкін бе, әлде 144 трактор болуы мүмкін бе? Бір платформаға неше трактор тиелген?

Қалай ойлаймыз. 9 платформада тракторлар тең болса, трактордың жалпы саны 9-ға бөлінеді.

Шешуі.

1. Цифрлар қосындылары: 143 → 8, 146 → 11, 144 → 9. 9-ға тек 144 бөлінеді.
2. Бір платформада: $144 : 9 = 16$ трактор.

Жауабы: 144 трактор; бір платформада 16 трактор.

B деңгейі

№ 232

1) 114, 116, 132, 143, 372, 438, 647 сандарының қайсылары 6-ға бөлінеді? Теріп жазып, бөліндіні табыңдар. 2) 105, 156, 255, 275, 345, 412, 465 сандарының қайсылары 15-ке бөлінеді? Теріп жазып, бөліндіні табыңдар. 3) 135, 315, 325, 360, 495, 505, 585 сандарының қайсылары 45-ке бөлінеді? Теріп жазып, бөліндіні табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 6-ға бөлінсе — 2-ге де, 3-ке де. 15-ке — 3-ке де, 5-ке де. 45-ке — 5-ке де, 9-ға да. Алдымен соңғы цифр бойынша елейміз (бұл тез), сосын цифрлар қосындысын тексереміз.

Шешуі.

1. Тақ 143, 647 бірден түсіп қалады. Қалғандарының цифрлар қосындылары: 114 → 6, 116 → 8, 132 → 6, 372 → 12, 438 → 15. 116 саны 3-ке бөлінбейді. Бөлінділер: $114 : 6 = 19$, $132 : 6 = 22$, $372 : 6 = 62$, $438 : 6 = 73$.
2. 156 мен 412 саны 0 немесе 5-пен аяқталмайды — түсіп қалады. Цифрлар қосындылары: 105 → 6, 255 → 12, 275 → 14, 345 → 12, 465 → 15. 275 саны 3-ке бөлінбейді. Бөлінділер: $105 : 15 = 7$, $255 : 15 = 17$, $345 : 15 = 23$, $465 : 15 = 31$.
3. 325 пен 505 цифрларының қосындысы 10: 9-ға бөлінбейді. Қалғандары: 135 → 9, 315 → 9, 360 → 9, 495 → 18, 585 → 18. Бөлінділер: $135 : 45 = 3$, $315 : 45 = 7$, $360 : 45 = 8$, $495 : 45 = 11$, $585 : 45 = 13$.

Жауабы: 1) 114, 132, 372, 438 (бөлінділері 19, 22, 62, 73); 2) 105, 255, 345, 465 (бөлінділері 7, 17, 23, 31); 3) 135, 315, 360, 495, 585 (бөлінділері 3, 7, 8, 11, 13).

№ 233

1) 1*1; 1*5; 2*8; 31*; 23* жазылуындағы жұлдызшаның орнына тиісті цифрды қойып, 3-ке бөлінетін сандардың ең кішісін жазыңдар. 2) 5*3; 42*; 2*8; 7*1; 4*4; *37 жазылуындағы жұлдызшаның орнына тиісті цифрды қойып, 9-ға бөлінетін санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Белгілі цифрларды қос та, қосындыны 3-ке (немесе 9-ға) еселік санға «жеткізетін» ең кіші цифрды таңда.

Шешуі.

1. 3-ке бөлінгіштік:
   • 1*1: белгілі цифрлар 2 береді, тағы 1 керек → 111;
   • 1*5: қосынды 6 бұрын-ақ 3-ке бөлінеді, 0 қоямыз → 105;
   • 2*8: қосынды 10, 12-ге дейін 2 жетпейді → 228;
   • 31*: қосынды 4, 6-ға дейін 2 жетпейді → 312;
   • 23*: қосынды 5, 6-ға дейін 1 жетпейді → 231.
2. 9-ға бөлінгіштік (мұнда әр жағдайда тек бір цифр жарайды):
   • 5*3: қосынды 8, 9-ға дейін — 1 цифры → 513;
   • 42*: қосынды 6, 9-ға дейін — 3 цифры → 423;
   • 2*8: қосынды 10, 18-ге дейін — 8 цифры → 288;
   • 7*1: қосынды 8 → 1 цифры → 711;
   • 4*4: қосынды 8 → 1 цифры → 414;
   • *37: қосынды 10, 18-ге дейін — 8 цифры → 837.

Жауабы: 1) 111, 105, 228, 312, 231; 2) 513, 423, 288, 711, 414, 837.

№ 234

Бірінші орамдағы матадан екінші орамдағы мата 3 есе артық, ал үшінші орамдағы мата 5 есе артық. Үш орамда барлығы 241 м мата болуы мүмкін бе, 127 м мата болуы мүмкін бе, әлде 216 м мата болуы мүмкін бе? Үшінші орамда неше метр мата бар?

Қалай ойлаймыз. Бірінші орам — 1 бөлік, екіншісі — 3 бөлік, үшіншісі — 5 бөлік. Барлығы $1 + 3 + 5 = 9$ бөлік. Демек, жалпы ұзындық 9-ға бөлінеді.

Шешуі.

1. Цифрлар қосындылары: 241 → 7, 127 → 10, 216 → 9. 9-ға тек 216 бөлінеді.
2. Бір бөлік: $216 : 9 = 24$ м.
3. Үшінші орамда: $24 \cdot 5 = 120$ м.

Тексеру: $24 + 72 + 120 = 216$.

Жауабы: 241 м және 127 м болуы мүмкін емес, 216 м болуы мүмкін; үшінші орамда 120 м мата бар.

C деңгейі

№ 235

1) Жұлдызшалардың орнына тиісті цифрларды қойып, 3-ке еселік сандардың ең кішісін жазыңдар: а) 5*9*; ә) 30*4*; б) *71*; в) 2**71; г) **41; д) *4*21; е) 6*7*; ж) 6*23*. 2) Жұлдызшаның орнына тиісті цифрларды қойып, 9-ға еселік сандарды жазыңдар: а) 2*76*; ә) 38*6*; б) *47*3; в) 73*8*; г) 30*1*; д) 2*3*0.

Қалай ойлаймыз. Ең кішісін іздесең, сол жақ жұлдызшаларды мүмкіндігінше кіші ал (0, ал жұлдызша санның басында тұрса — 1), ал соңғысын белгі бойынша таңда. Қазақша басылымда 2-бөлімде «ең үлкен» деп айтылмаған, 9-ға еселік кез келген сан жарайды; біз мысал ретінде ең үлкенін жазамыз: сол жақ жұлдызшаға 9 қойып, оң жағын таңдаймыз.

Шешуі.

1. 3-ке еселік, ең кішілері:
   • а) 5*9*: $5 + 0 + 9 = 14$, 15-ке дейін 1 керек → 5091;
   • ә) 30*4*: $3 + 0 + 0 + 4 = 7$, 9-ға дейін 2 керек → 30 042;
   • б) *71*: біріншіге 1 қоямыз, $1 + 7 + 1 = 9$, соңғысы 0 → 1710;
   • в) 2**71: $2 + 0 + 7 + 1 = 10$, 12-ге дейін 2 керек → 20 271;
   • г) **41: біріншісі 1, $1 + 4 + 1 = 6$, екіншісі 0 → 1041;
   • д) *4*21: біріншісі 1, $1 + 4 + 2 + 1 = 8$, 9-ға дейін 1 керек → 14 121;
   • е) 6*7*: $6 + 0 + 7 = 13$, 15-ке дейін 2 керек → 6072;
   • ж) 6*23*: $6 + 0 + 2 + 3 = 11$, 12-ге дейін 1 керек → 60 231.
2. 9-ға еселік сандар (мысал ретінде ең үлкендері):
   • а) 2*76*: $2 + 9 + 7 + 6 = 24$, 27-ге дейін 3 керек → 29 763;
   • ә) 38*6*: $3 + 8 + 9 + 6 = 26$, 27-ге дейін 1 керек → 38 961;
   • б) *47*3: $9 + 4 + 7 + 3 = 23$, 27-ге дейін 4 керек → 94 743;
   • в) 73*8*: $7 + 3 + 9 + 8 = 27$, 0 және 9 жарайды, 9-ды аламыз → 73 989;
   • г) 30*1*: $3 + 0 + 9 + 1 = 13$, 18-ге дейін 5 керек → 30 915;
   • д) 2*3*0: $2 + 9 + 3 + 0 = 14$, 18-ге дейін 4 керек → 29 340.

Жауабы: 1) 5091; 30 042; 1710; 20 271; 1041; 14 121; 6072; 60 231. 2) мысалы, 29 763; 38 961; 94 743; 73 989; 30 915; 29 340.

№ 236

Гүлданың осыдан 3 жылдан кейінгі жасы, осыдан 3 жыл бұрынғы жасынан 3 есе артық. Гүлдана қазір неше жаста?

Қалай ойлаймыз. «3 жыл бұрын» мен «3 жылдан кейін» арасында $3 + 3 = 6$ жыл өтеді. «3 жылдан кейінгі» жас — 3 бөлік, «3 жыл бұрынғы» жас — 1 бөлік. Айырмасы — 2 бөлік.

Шешуі.

1. 2 бөлік = 6 жыл, 1 бөлік = 3 жыл. Демек, 3 жыл бұрын Гүлданаға 3 жас болған.
2. Қазір оған $3 + 3 = 6$ жас.

Тексеру: 3 жылдан кейін 9 жас болады, ал $9 = 3 \cdot 3$. Дұрыс.

Жауабы: 6 жас.

№ 237

1) $21 \cdot 5$; $29 \cdot 3$; $25 \cdot 3$; $16 \cdot 5$; $5 \cdot 15$ көбейтінділерінің қайсысы 15-ке бөлінеді? Оны теріп жазып, 15-ке бөліп, бөліндіні табыңдар. 2) $18 \cdot 5$; $17 \cdot 9$; $27 \cdot 5$; $65 \cdot 9$; $71 \cdot 9$; $135 \cdot 5$ көбейтінділерінің қайсысы 45-ке бөлінеді? Оларды теріп жазып, 45-ке бөліп, бөліндіні табыңдар. Үлгі: $35 \cdot 9 = 7 \cdot 5 \cdot 9 = 7 \cdot 45$; $35 \cdot 9 : 45 = 7$.

Қалай ойлаймыз. $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 5 \cdot 9$. Көбейткіштерді бөліктерге жіктеп, көбейтінді ішінен 15 немесе 45 санын іздейміз.

Шешуі.

1. 15-ке:
   • $21 \cdot 5 = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 7 \cdot 15$ → бөлінді 7;
   • $29 \cdot 3$ — 5 көбейткіші жоқ, бөлінбейді;
   • $25 \cdot 3 = 5 \cdot 5 \cdot 3 = 5 \cdot 15$ → 5;
   • $16 \cdot 5$ — 3 көбейткіші жоқ, бөлінбейді;
   • $5 \cdot 15 = 75$ → $5 \cdot 15 : 15 = 5$.
2. 45-ке:
   • $18 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 2 \cdot 45$ → 2;
   • $17 \cdot 9$ — 5 көбейткіші жоқ, бөлінбейді;
   • $27 \cdot 5 = 3 \cdot 9 \cdot 5 = 3 \cdot 45$ → 3;
   • $65 \cdot 9 = 13 \cdot 5 \cdot 9 = 13 \cdot 45$ → 13;
   • $71 \cdot 9$ — 5 көбейткіші жоқ, бөлінбейді;
   • $135 \cdot 5 = 3 \cdot 45 \cdot 5 = 15 \cdot 45$ → 15.

Жауабы: 1) $21 \cdot 5$, $25 \cdot 3$, $5 \cdot 15$; бөлінділері 7, 5, 5. 2) $18 \cdot 5$, $27 \cdot 5$, $65 \cdot 9$, $135 \cdot 5$; бөлінділері 2, 3, 13, 15.

№ 238

Қағаздан 2 бала 4 минутта 3 ойыншық қайық жасайды. 1) Неше бала 8 минутта 6 ойыншық қайық жасайды? 2) Неше бала 4 минутта 6 ойыншық қайық жасайды?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Қайықтарды бөлшектеудің қажеті жоқ: білетінмен салыстыр.

Шешуі.

1. Сол 2 бала екі есе көп уақытта (8 минутта) екі есе көп жасайды: $3 \cdot 2 = 6$ қайық. Демек, 2 бала керек.
2. Уақыт сол (4 минут), ал қайық екі есе көп керек. Демек, балалар да екі есе көп: $2 \cdot 2 = 4$.

Жауабы: 1) 2 бала; 2) 4 бала.

⚠️ Жиі кететін қате. Бірінші сұрақта «4 бала» деп жауап береді, себебі «қайық екі есе көп». Бірақ уақыт та екі есе көп: сол екеуі үлгереді.

№ 239

Өрнектің мәнін табыңдар: В. $3535 : (316 + 21 \cdot 9)$; Е. $(58 \cdot 26 - 761) : 83$; Э. $(117 \cdot 19 - 1223) : 125$; С. $216 \cdot 33 : (814 + 121 \cdot 8)$; Т. $845 : (61 \cdot 15 - 746)$; Р. $324 : 27 \cdot (86 \cdot 105 - 9025)$. Өрнектің кестедегі жауаптарымен бір бағанға оның тұсындағы әріптерді қойыңдар. Сонда кестеден дүниежүзіндегі ең биік шыңның атын оқисыңдар (8, 7, 9, 60, 9, 4, 5).

Қалай ойлаймыз. Амалдарды ретімен есептейміз, сосын әріптерді сандардың ретімен орналастырамыз.

Шешуі.

• В. $21 \cdot 9 = 189$; $316 + 189 = 505$; $3535 : 505 = 7$.
• Е. $58 \cdot 26 = 1508$; $1508 - 761 = 747$; $747 : 83 = 9$.
• Э. $117 \cdot 19 = 2223$; $2223 - 1223 = 1000$; $1000 : 125 = 8$.
• С. $216 \cdot 33 = 7128$; $121 \cdot 8 = 968$; $814 + 968 = 1782$; $7128 : 1782 = 4$.
• Т. $61 \cdot 15 = 915$; $915 - 746 = 169$; $845 : 169 = 5$.
• Р. $324 : 27 = 12$; $86 \cdot 105 = 9030$; $9030 - 9025 = 5$; $12 \cdot 5 = 60$.

Жауабы: В = 7, Е = 9, Э = 8, С = 4, Т = 5, Р = 60. Сөз — ЭВЕРЕСТ.

🌟 Эверестің биіктігі — шамамен 8848 м. Тексер: цифрлар қосындысы $8 + 8 + 4 + 8 = 28$. Ол 3-ке бөлінбейді — демек, 8848 саны да 3-ке бөлінбейді.

Жадынама

• 2, 5, 10 үшін соңғы цифрға, ал 3 және 9 үшін барлық цифрға қараймыз.
• $100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$ — белгі осыдан жұмыс істейді.
• Жетпей тұрған цифрды қосынды 3-ке немесе 9-ға еселік санға «жететіндей» етіп таңдаймыз.

Шағын тест