2.6. Санның дәрежесі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 91–95-беттер.

Нені үйренесің

• $5 \cdot 5 \cdot 5$ көбейтіндісін қысқаша — $5^{3}$ түрінде жазуды және кері қарай жазуды.
• Дәреже негізі мен дәреже көрсеткішін ажыратуды, «квадраты», «кубы» дегенді оқуды.
• 10-ға дейінгі сандардың квадраттары мен кубтарын санауды.
• 100, 1000, 1 000 000 сандарын 10 санының дәрежесі түрінде жазуды.
• Мысалда дәреже болғанда амалдардың орындалу ретін шатастырмауды.

Ой қозғау

Бос орынды ойша толтыр, сосын жауабын ашып қара.

• $5 \cdot 5 = 25$, демек, $\square^{2} = 25$. Шаршының ішінде не тұр? 5.
• $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, демек, $\square^{3} = 64$ ше? 4.
• $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, демек, $\square^{4} = 81$ ше? 3.
• $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$, демек, $\square^{5} = 32$ ше? 2.

💡 Жоғарыдағы кішкентай цифр — санауыш: санды өзін-өзіне неше рет көбейткенін көрсетеді.

Тақырыпты талдаймыз

Жалқауларға арналған көбейту

Көбейту амалын не үшін ойлап тапқанын еске түсір. $3 + 3 + 3 + 3$ деп жазбай, қысқаша $3 \cdot 4$ деп жазу үшін. Енді жалқаулықтың келесі қадамы: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ орнына $3^{5}$ деп жазады.

Мұндай жазуды дәреже деп атайды. Оқылуы: «3-тің 5-ші дәрежесі».

Дәрежеде кім кім

$3^{5} = 243$ жазуына қарайық:

• 3 — дәреже негізі: біз көбейтетін сан;
• 5 — дәреже көрсеткіші: негіздің неше рет көбейткіш болып тұрғанын көрсетеді;
• 243 — дәреженің мәні: нәтижесінде шыққан сан.

Жалпы түрде $a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ — мұнда $n$ көбейткіш бар. Ал $a^{1}$ — жай ғана $a$.

«Квадрат» неге квадрат

Екінші дәрежені квадрат деп атайды, бұл жай ғана әдемі сөз емес. Қабырғасы 3 тор көз квадрат сыз — ішінде дәл $3 \cdot 3 = 9$ тор көз болады. Өзің санап көр!

Ал куб — үшінші дәреже. Кубиктерден қыры 3 үлкен куб құрастыр. Онда 3 қабат бар, әр қабатта — $3 \times 3$ квадрат. Сонда $9 \cdot 3 = 27$ кубик шығады, яғни $3^{3} = 27$.

📌 $7^{2}$ — «7-нің квадраты», $7^{2} = 49$. $4^{3}$ — «4-тің кубы», $4^{3} = 64$.

⚠️ Жиі кететін қате. $3^{2} = 6$ деп жазады — негізді көрсеткішке көбейтеді. Жоқ! $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$. Суретті еске түсір: $3 \times 3$ квадратта тоғыз тор көз бар, алты емес. Алдымен дәрежені көбейтінді етіп жаз, сосын есепте.

10 саны — нөлдер патшасы

$10 = 10^{1}$, $100 = 10^{2}$, $1000 = 10^{3}$, $10,000 = 10^{4}$. Байқадың ба? Көрсеткіш нөлдердің санына тең.

Бұл өте үлкен сандарға өте ыңғайлы. Жарық секундына 300 000 000 м жылдамдықпен жүреді. Ұзақ! Ал қысқаша — $3 \cdot 10^{8}$ м/с: үштің артынан сегіз нөл.

🌟 $10^{100}$ санын (бір және жүз нөл) «гугол» деп атайды. Белгілі іздеу жүйесінің аты осы сөзден шыққан.

Кім бірінші жүреді

Дәреже — маңызды тұлға: оны көбейту мен бөлуден бұрын есептейді. Бұл — үшінші басқыш амалы.

1. Жақшалар.
2. Дәрежелер.
3. Көбейту және бөлу.
4. Қосу және азайту.

Қарап көр:

• $16^{2} - 130 = 256 - 130 = 126$;
• $(23 - 12)^{2} = 11^{2} = 121$ — алдымен жақша;
• $19 \cdot 2^{3} = 19 \cdot 8 = 152$ — алдымен дәреже.

Мысалдың ішінде дәрежені көбейтіндіге ауыстырсаң — оны жақшаға ал: $294 : 7^{2} = 294 : (7 \cdot 7) = 294 : 49 = 6$. Жақшасыз $294 : 7 \cdot 7 = 294$ шығар еді — бұл қате.

Әріптермен де солай: $7 \cdot a \cdot 8 \cdot a = 56a^{2}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $2^{2}$-дан $10^{2}$-қа дейінгі квадраттарды (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) және $2^{3}$-тен $5^{3}$-ке дейінгі кубтарды (8, 27, 64, 125) жаттап алуын сұраңыз: олар келесі сабақтардың барлығында дерлік керек болады. Жақсы тексеру: «$5 \cdot 10^{2}$ және $(5 \cdot 10)^{2}$ бірдей ме?» Жоқ: 500 және 2500.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бірдей көбейткіштердің көбейтіндісін қысқаша қалай жазамыз? Дәреже түрінде: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$, $9 \cdot 9 = 9^{2}$.
• Дәреже негізі деген не? Қайталанатын көбейткіш.
• Дәреже көрсеткіші деген не? Көбейткіштің неше рет қайталанатынын көрсететін сан.
• $10^{2}$ және $10^{3}$ өрнектері қалай оқылады? «10-ның квадраты» (екінші дәрежесі) және «10-ның кубы» (үшінші дәрежесі).

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 240

Өрнекті оқып, дәреженің негізін және дәреже көрсеткішін атаңдар: $7^{2}$; $11^{3}$; $10^{4}$; $25^{6}$; $100^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Төмендегі үлкен сан — негіз, жоғарыдағы кішкентай сан — көрсеткіш. Екінші дәреже — «квадраты», үшінші — «кубы».

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

A деңгейі

№ 241

Көбейтіндіні дәреже түрінде жазыңдар: 1) $4 \cdot 4$; 2) $6 \cdot 6 \cdot 6$; 3) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$; 4) $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$; 5) $17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17$; 6) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

Қалай ойлаймыз. Негіз — қайталанатын сан. Көрсеткіш — неше рет қайталанатыны. Адасып кетпеу үшін көбейткіштерді саусағыңмен сана.

Шешуі. $6 \cdot 6 \cdot 6$ көбейтіндісінде үш алты бар — демек, $6^{3}$. $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ көбейтіндісінде жеті екі бар, $2^{7}$. Қалғандары да солай.

Жауабы: 1) $4^{2}$; 2) $6^{3}$; 3) $5^{5}$; 4) $9^{5}$; 5) $17^{4}$; 6) $2^{7}$.

№ 242

Дәрежені көбейтінді түрінде жазыңдар: $3^{6}$; $7^{4}$; $10^{3}$; $9^{6}$; $a^{5}$; $x^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Кері есеп: негізді көрсеткіш айтқан рет жазамыз.

Шешуі.

• $3^{6} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$;
• $7^{4} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$;
• $10^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10$;
• $9^{6} = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$;
• $a^{5} = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$;
• $x^{3} = x \cdot x \cdot x$.

Жауабы: жоғарыдағы жазбалар.

№ 243

Дәреженің мәнін табыңдар: 1) $2^{4}$; 2) $7^{3}$; 3) $33^{2}$; 4) $10^{4}$; 5) $10^{6}$; 6) $41^{2}$; 7) $31^{2}$; 8) $50^{2}$; 9) $20^{3}$; 10) $30^{2}$.

Қалай ойлаймыз. Кезекпен көбейт: алдымен екі көбейткішті, сосын нәтижені келесісіне. «Дөңгелек» сандарда нөлдерді жасырып қой: $20^{3}$ — бұл $2^{3} = 8$ және үш нөл.

Шешуі.

1. $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$;
2. $7^{3} = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$;
3. $33^{2} = 33 \cdot 33 = 1089$;
4. $10^{4} = 10,000$;
5. $10^{6} = 1,000,000$;
6. $41^{2} = 41 \cdot 41 = 1681$;
7. $31^{2} = 31 \cdot 31 = 961$;
8. $50^{2} = 50 \cdot 50 = 2500$;
9. $20^{3} = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$;
10. $30^{2} = 30 \cdot 30 = 900$.

Жауабы: 16; 343; 1089; 10 000; 1 000 000; 1681; 961; 2500; 8000; 900.

№ 244

Разрядтық бірліктерді негізі 10 саны болатын дәреже түрінде жазыңдар: 1) 100 000; 2) 1 000 000; 3) 10 000 000; 4) 100 000 000.

Қалай ойлаймыз. Нөлдерді сана — көрсеткіш осы.

Шешуі. 100 000 санында бес нөл — $10^{5}$; миллионда алты — $10^{6}$; әрі қарай жеті және сегіз.

Жауабы: 1) $10^{5}$; 2) $10^{6}$; 3) $10^{7}$; 4) $10^{8}$.

№ 245

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $6 \cdot 10^{2}$; 2) $8 \cdot 10^{4}$; 3) $9 \cdot 10^{6}$; 4) $7 \cdot 10^{5}$; 5) $4 \cdot 10^{7}$.

Қалай ойлаймыз. $10^{n}$ санына көбейту — оң жағына $n$ нөл қосып жазу деген сөз.

Шешуі. $6 \cdot 100 = 600$; 8-ге төрт нөл жазамыз — 80 000; 9-ға алты нөл — 9 000 000; 7-ге бес нөл — 700 000; 4-ке жеті нөл — 40 000 000.

Жауабы: 1) 600; 2) 80 000; 3) 9 000 000; 4) 700 000; 5) 40 000 000.

№ 246

Кестені дәптерге көшіріп, оны толтырыңдар ($n$ = 2-ден 10-ға дейін; $n^{2}$ және $n^{3}$). 1) Қандай санның квадраты: а) 16-ға тең; ә) 64-ке тең; б) 49-ға тең; в) 100-ге тең? 2) Қандай санның кубы: а) 8-ге тең; ә) 27-ге тең; б) 125-ке тең; в) 1000-ға тең?

Қалай ойлаймыз. Квадрат — санды өзіне бір рет көбейтеміз: $n \cdot n$. Куб — квадратты тағы бір рет $n$-ге көбейтеміз. Сосын кестеден керекті мәндерді іздейміз.

Шешуі.

Жауабы: 1) а) $16 = 4^{2}$; ә) $64 = 8^{2}$; б) $49 = 7^{2}$; в) $100 = 10^{2}$. 2) а) $8 = 2^{3}$; ә) $27 = 3^{3}$; б) $125 = 5^{3}$; в) $1000 = 10^{3}$.

💡 Көрдің бе, 64 саны екі қатарда да бар: $8^{2} = 64$ және $4^{3} = 64$. Бір сан бір мезгілде квадрат та, куб та бола алады.

№ 247

Салыстырыңдар: 1) $3^{2}$ және $3 \cdot 2$; 2) $2 \cdot 4$ және $2^{4}$; 3) $14^{2}$ және $14 \cdot 2$; 4) $4^{2}$ және $2^{4}$; 5) $6^{2}$ және $2^{6}$; 6) $5^{2}$ және $2^{5}$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже көрсеткішке жай көбейтуден әлдеқайда тез өседі. Бірақ болжама — екі жағын да есепте.

Шешуі.

1. $3^{2} = 9$, $3 \cdot 2 = 6$; $9 > 6$.
2. $2 \cdot 4 = 8$, $2^{4} = 16$; $8 < 16$.
3. $14^{2} = 196$, $14 \cdot 2 = 28$; $196 > 28$.
4. $4^{2} = 16$, $2^{4} = 16$; тең.
5. $6^{2} = 36$, $2^{6} = 64$; $36 < 64$.
6. $5^{2} = 25$, $2^{5} = 32$; $25 < 32$.

Жауабы: 1) $3^{2} > 3 \cdot 2$; 2) $2 \cdot 4 < 2^{4}$; 3) $14^{2} > 14 \cdot 2$; 4) $4^{2} = 2^{4}$; 5) $6^{2} < 2^{6}$; 6) $5^{2} < 2^{5}$.

№ 248

Есептеңдер: 1) $5 \cdot 10^{2}$; 2) $(5 \cdot 10)^{2}$; 3) $7 \cdot 2^{3}$; 4) $(7 \cdot 2)^{3}$; 5) $45 : 3^{2}$; 6) $(45 : 3)^{2}$; 7) $24 : 2^{3}$; 8) $(24 : 2)^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Жақшасыз дәреже тек қасындағы санға ғана жабысады. Жақшамен — алдымен жақшаны есептейміз, сосын бүкіл нәтижені дәрежеге шығарамыз. Мысалдар жұп-жұппен тұр, айырмасын өзің көр деп.

Шешуі.

1. $5 \cdot 100 = 500$;
2. $50^{2} = 2500$;
3. $7 \cdot 8 = 56$;
4. $14^{3} = 14 \cdot 14 \cdot 14 = 196 \cdot 14 = 2744$;
5. $45 : 9 = 5$;
6. $15^{2} = 225$;
7. $24 : 8 = 3$;
8. $12^{3} = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$.

Жауабы: 500; 2500; 56; 2744; 5; 225; 3; 1728.

№ 249

Балалар бақтан 64 алма терді. Олар терген алмаларын тең бөліп алды. Алма теруге неше бала барса, балалардың әрқайсысы сонша алма алды. а) Алма теруге неше бала барды? ә) Балалардың әрқайсысы неше алмадан алды?

Қалай ойлаймыз. Балалар санын әр баланың алма санына көбейткенде — бір сан өзіне көбейтіледі. Квадраты 64 болатын санды іздейміз.

Шешуі. $8^{2} = 8 \cdot 8 = 64$. Демек, бала 8, әрқайсысында 8-ден алма.

Жауабы: а) 8 бала; ә) 8 алмадан.

B деңгейі

№ 250

Бірдей көбейткіштерді дәреже түрінде жазып, өрнекті ықшамдаңдар: 1) $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$; 2) $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$; 3) $x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y$; 4) $3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 \cdot 5 + 7 \cdot 7$; 5) $(a + b) \cdot (a + b)$; 6) $(a - b) \cdot (a - b)$.

Қалай ойлаймыз. Бірдей көбейткіштердің әр «шоғырын» өз дәрежесімен жазамыз. Жақша көбейткіш болып қайталанса, оны да дәрежеге шығаруға болады. Жалғыз көбейткішті сол күйінде қалдырамыз.

Шешуі. Мысалы, екіншісінде: бір екі, екі үш, үш бес — $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}$. Төртіншісінде топтардың арасында плюс тұр, сондықтан әр қосылғышты бөлек жинақтаймыз.

Жауабы: 1) $2^{2} \cdot 3^{3}$; 2) $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}$; 3) $x^{2}y^{3}$; 4) $3^{2} + 5^{3} + 7^{2}$; 5) $(a + b)^{2}$; 6) $(a - b)^{2}$.

№ 251

Дәреженің негізін тауып, кестені толтырыңдар: дәреженің мәні 16, 81, 625; дәреже көрсеткіші 2 және 4.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіш 2 болса, өзіне көбейткенде керекті мән беретін санды іздейміз. Көрсеткіш 4 үшін мынау ыңғайлы: $a^{4} = a^{2} \cdot a^{2}$. Демек, көрсеткіш 4 болғандағы негіз — көрсеткіш 2 болғандағы жауаптың квадраты сол санға тең болатын сан.

Шешуі.

Соңғы жолды тексеру: $25 \cdot 25 = 625$; $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.

Жауабы: 16: 4 және 2; 81: 9 және 3; 625: 25 және 5.

№ 252

Өрнек түрінде жазып, мәнін табыңдар: 1) 5 және 12 сандарының квадраттарының қосындысы; 2) 16 және 11 сандарының квадраттарының айырмасы; 3) 2 және 9 сандарының кубтарының қосындысы; 4) 10 және 3 сандарының кубтарының айырмасы.

Қалай ойлаймыз. «Квадраттардың қосындысы» — алдымен әр санды квадраттаймыз, сосын қосамыз. «Қосындының квадраты» $(5 + 12)^{2}$ деп шатастырма — ол мүлде басқа сан.

Шешуі.

1. $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$;
2. $16^{2} - 11^{2} = 256 - 121 = 135$;
3. $2^{3} + 9^{3} = 8 + 729 = 737$;
4. $10^{3} - 3^{3} = 1000 - 27 = 973$.

Жауабы: 1) 169; 2) 135; 3) 737; 4) 973.

№ 253

Разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде берілген санды табыңдар: 1) $3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 9$; 2) $5 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 3$; 3) $2 \cdot 10^{4} + 6 \cdot 10^{3} + 9 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 5$; 4) $7 \cdot 10^{5} + 8 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 9 \cdot 10 + 4$.

Қалай ойлаймыз. 10-ның көрсеткіші разрядты көрсетеді: $10^{2}$ — жүздіктер, $10^{3}$ — мыңдықтар, $10^{4}$ — ондық мыңдықтар. Қандай да бір разряд жоқ болса, оның орнына 0 қоямыз.

Шешуі.

1. 3 жүздік, 7 ондық, 9 бірлік → 379.
2. 5 мыңдық, 4 жүздік, 2 ондық, 3 бірлік → 5423.
3. $20,000 + 6000 + 900 + 70 + 5 = 26,975$.
4. $700,000 + 8000 + 200 + 90 + 4 = 708,294$ (ондық мыңдықтар жоқ — 0 қоямыз).

Жауабы: 1) 379; 2) 5423; 3) 26 975; 4) 708 294.

№ 254

Райхан, Гүлназ, Назерке және Сымбат — достар. Олардың біреуі инженер, енді біреулері ақын, тігінші және дәрігер. Ақын Райхан мен Сымбатқа арнап өлең жазды. Ақын және тігінші Гүлназбен концертке барды. Райхан мен Гүлназ дәрігердің қабылдауында болды. Кім ақын? Кім инженер? Кім дәрігер?

Қалай ойлаймыз. Бұл — детективтік есеп. Әр сөйлем адамның кім бола алмайтынын айтады. Кестеде минустарды белгілеп отыр, әр жолда бір плюс қалғанша.

Шешуі.

1. Ақын Райхан мен Сымбатқа өлең жазған — демек, олар ақын емес.
2. Ақын және тігінші Гүлназбен бірге барған — демек, Гүлназ ақын да, тігінші де емес.
3. Ақын болып тек Назерке қалады.
4. Райхан мен Гүлназ дәрігердің қабылдауында болған — демек, олар дәрігер емес.
5. Гүлназ: ақын емес, тігінші емес, дәрігер емес — демек, инженер.
6. Райхан: ақын емес, дәрігер емес, инженер емес — демек, тігінші.
7. Сымбат қалды — дәрігер.

Жауабы: ақын — Назерке, инженер — Гүлназ, дәрігер — Сымбат (Райхан — тігінші).

№ 255

1) Көлемі 64 см³ кубтың қыры неше сантиметр? 2) Әрқайсысының көлемі 1 см³-ге тең 27 кіші кубтардан үлкен куб дайындалды. Үлкен кубтың бір жағының ауданы неше квадрат сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Кубтың көлемі — қырының кубы: $V = a^{3}$. Кубтың жағы — квадрат, оның ауданы $S = a^{2}$. 9 кубиктен тұратын үш қабатты сурет еске түссін!

Шешуі.

1. Кубы 64 болатын санды іздейміз: $4^{3} = 64$. Қыры 4 см.
2. Үлкен кубтың көлемі 27 см³, ал $3^{3} = 27$, демек, қыры 3 см. Жағының ауданы $3^{2} = 9$ см².

Жауабы: 1) 4 см; 2) 9 см².

№ 256

Көбейтіндідегі жұлдызшаның (*) орнына қойылатын дәреже көрсеткішін табыңдар: 1) $30,000 = 3 \cdot 10^{}$; 2) $6,400,000 = 64 \cdot 10^{}$; 3) $2,000,000 = 2 \cdot 10^{}$; 4) $150,000,000 = 15 \cdot 10^{}$; 5) $315,000,000 = 315 \cdot 10^{}$; 6) $4,200,000,000 = 42 \cdot 10^{}$. Үлгі: $750,000 = 75 \cdot 10,000 = 75 \cdot 10^{4}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейткіш-саннан кейін тұрған нөлдерді ғана санаймыз. Мысалы, $750,000 = 75 \cdot 10^{4}$ — 75-тен кейін төрт нөл.

Шешуі.

1. 3-тен кейін төрт нөл: $3 \cdot 10^{4}$.
2. 64-тен кейін бес нөл: $64 \cdot 10^{5}$.
3. 2-ден кейін алты нөл: $2 \cdot 10^{6}$.
4. 15-тен кейін жеті нөл: $15 \cdot 10^{7}$.
5. 315-тен кейін алты нөл: $315 \cdot 10^{6}$.
6. 42-ден кейін сегіз нөл: $42 \cdot 10^{8}$.

Жауабы: 1) 4; 2) 5; 3) 6; 4) 7; 5) 6; 6) 8.

C деңгейі

№ 257

1) 4723; 2) 7095; 3) 53 802; 4) 80 456; 5) 37 561 сандарын разрядтық қосылғыштарға жіктеп, ондағы разрядтық бірліктерді негізі 10 саны болатын дәреже түрінде жазыңдар. Үлгі: $2375 = 2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 5 = 2 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 5$.

Қалай ойлаймыз. Үлгі: $2375 = 2 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 + 5$. Санда нөл тұрған разрядты жай ғана өткізіп жібереміз.

Шешуі.

1. $4723 = 4 \cdot 10^{3} + 7 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 3$;
2. $7095 = 7 \cdot 10^{3} + 9 \cdot 10 + 5$;
3. $53,802 = 5 \cdot 10^{4} + 3 \cdot 10^{3} + 8 \cdot 10^{2} + 2$;
4. $80,456 = 8 \cdot 10^{4} + 4 \cdot 10^{2} + 5 \cdot 10 + 6$;
5. $37,561 = 3 \cdot 10^{4} + 7 \cdot 10^{3} + 5 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10 + 1$.

Жауабы: шешуде.

№ 258

Жұлдызшалардың орындарына теңдік тура болатындай цифрларды қойыңдар: 1) $(1\ast)^{2} = \ast\ast 9$; 2) $(3\ast)^{2} = 1\ast\ast 5$; 3) $(5\ast)^{2} = \ast 8 \ast 9$; 4) $(4\ast)^{2} = 2\ast\ast 6$; 5) $(6\ast)^{2} = \ast\ast 44$; 6) $(7\ast)^{2} = 5\ast\ast 6$.

Қалай ойлаймыз. Айла: квадраттың соңғы цифры санның тек соңғы цифрына байланысты. 9-бен 3 және 7 цифрымен аяқталатын сандардың квадраттары, 5-пен — 5-ке аяқталатындардікі, 6-мен — 4 және 6-мен аяқталатындардікі, 4-пен — 2 және 8-мен аяқталатындардікі аяқталады. Екі нұсқаны тексеру қалады.

Шешуі.

1. $13^{2} = 169$, $17^{2} = 289$. Екеуі де үш таңбалы және 9-бен аяқталады — екеуі де жарайды.
2. $35^{2} = 1225$ — жарайды.
3. $53^{2} = 2809$ (екінші цифры 8 — жарайды); $57^{2} = 3249$ — жарамайды.
4. $44^{2} = 1936$ — 2-мен басталмайды; $46^{2} = 2116$ — жарайды.
5. $62^{2} = 3844$ — жарайды; $68^{2} = 4624$ — 44-пен аяқталмайды.
6. $74^{2} = 5476$ және $76^{2} = 5776$ — екеуі де жарайды.

Жауабы: 1) $13^{2} = 169$ немесе $17^{2} = 289$; 2) $35^{2} = 1225$; 3) $53^{2} = 2809$; 4) $46^{2} = 2116$; 5) $62^{2} = 3844$; 6) $74^{2} = 5476$ немесе $76^{2} = 5776$.

№ 259

Өрнектің мәнін табыңдар, мұндағы $a = 7$; $b = 5$: 1) $(a + b)^{2}$; 2) $(a + b) \cdot (a - b)$; 3) $(a - b)^{2}$; 4) $a^{2} + 2ab + b^{2}$; 5) $a^{2} - b^{2}$; 6) $a^{2} + b^{2} - 2ab$. Мәндері тең әріпті өрнектерді теңдік белгісімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің орнына сандарды қойып, амалдардың ретімен есепте. Сосын бірдей жауаптарды іздеп көр — тосын жайт күтіп тұр.

Шешуі.

1. $(7 + 5)^{2} = 12^{2} = 144$;
2. $(7 + 5) \cdot (7 - 5) = 12 \cdot 2 = 24$;
3. $(7 - 5)^{2} = 2^{2} = 4$;
4. $49 + 2 \cdot 7 \cdot 5 + 25 = 49 + 70 + 25 = 144$;
5. $49 - 25 = 24$;
6. $49 + 25 - 70 = 4$.

Жауабы: 144; 24; 4; 144; 24; 4. Теңдіктер: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$; $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$; $(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$.

🌟 Бұл кездейсоқтық емес: мұндай теңдіктер кез келген сандар үшін дұрыс. 7-сыныпта оларды қысқаша көбейту формулалары деп атайды.

№ 260

Қабырғасы 4 см және 3 см квадраттар ауданы 1 см²-ге тең квадраттарға бөлініп, одан бір үлкен квадрат құрастырылды. Құрастырылған квадраттың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлығы неше кішкентай квадрат бар екенін білеміз. Сосын бұл қандай санның квадраты екенін табамыз — бұл қабырғасы болады.

Шешуі.

1. Бірінші квадраттың ауданы $4^{2} = 16$ см², екіншісінікі $3^{2} = 9$ см². Барлығы $16 + 9 = 25$ квадратша.
2. 25 квадраттан $5 \times 5$ квадрат құралады, себебі $5^{2} = 25$. Оның қабырғасы 5 см.
3. Периметрі: $5 \cdot 4 = 20$ см.

Жауабы: 20 см.

№ 261

Есептеңдер: 1) $(2^{4} \cdot 3^{3} : 54 + 7^{2}) : 3 - 4^{2}$; 2) $(2^{5} + 19) : 3 - 5^{2} \cdot 3^{3} : 45$; 3) $11^{2} - (5^{3} - 6^{2} \cdot 3^{3} : 9^{2})$; 4) $2^{5} \cdot 7^{2} : 56 - (10^{2} - 79)$.

Қалай ойлаймыз. Жоспар бірдей: алдымен барлық дәрежелер, сосын жақшалар, сосын көбейту мен бөлу солдан оңға қарай, соңында қосу мен азайту. Аралық сандарды жазып отыр — адаспайсың.

Шешуі.

1. $2^{4} = 16$, $3^{3} = 27$, $7^{2} = 49$, $4^{2} = 16$. Жақшада: $16 \cdot 27 = 432$; $432 : 54 = 8$; $8 + 49 = 57$. Әрі қарай $57 : 3 = 19$; $19 - 16 = 3$.
2. $2^{5} = 32$; $32 + 19 = 51$; $51 : 3 = 17$. $5^{2} \cdot 3^{3} = 25 \cdot 27 = 675$; $675 : 45 = 15$. Нәтиже $17 - 15 = 2$.
3. $6^{2} \cdot 3^{3} = 36 \cdot 27 = 972$; $9^{2} = 81$; $972 : 81 = 12$. Жақшада $125 - 12 = 113$. Нәтиже $121 - 113 = 8$.
4. $2^{5} \cdot 7^{2} = 32 \cdot 49 = 1568$; $1568 : 56 = 28$. Жақшада $100 - 79 = 21$. Нәтиже $28 - 21 = 7$.

Жауабы: 1) 3; 2) 2; 3) 8; 4) 7.

№ 262

Жұлдызшаның орнына қойылатын дәреже көрсеткішті табыңдар. Ақпараттық көздерді пайдаланып, жазыңдар: 1) Жердің массасы $6 \cdot 10^{}$ кг; 2) Күннің массасы $2 \cdot 10^{}$ кг; 3) Жердің радиусы $64 \cdot 10^{}$ км $= \square^{2} \cdot 10^{}$ км.

Қалай ойлаймыз. Сандарды анықтамалықтан немесе интернеттен тауып, алғашқы цифрлардан кейін неше нөл тұратынын сана. Төмендегі деректерді дереккөзбен салыстырып көр.

Шешуі.

1. Жердің массасы — шамамен 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг (6-дан кейін жиырма төрт нөл): $6 \cdot 10^{24}$ кг.
2. Күннің массасы — шамамен $2 \cdot 10^{30}$ кг (2-ден кейін отыз нөл).
3. Жердің радиусы шамамен 6400 км: $64 \cdot 10^{2} = 8^{2} \cdot 10^{2}$ км (дәлірек 6371 км).

Жауабы: 1) $6 \cdot 10^{24}$ кг; 2) $2 \cdot 10^{30}$ кг; 3) $64 \cdot 10^{2}$ км $= 8^{2} \cdot 10^{2}$ км $= 6400$ км.

Жадынама

• $a^{n} = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ көбейткіш); $a^{1} = a$.
• $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$, ал $3 \cdot 2$ емес.
• Квадраттар: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Кубтар: 8, 27, 64, 125.
• $10^{n}$ — бір және $n$ нөл.
• Дәрежені көбейту мен бөлуден бұрын есептейді.

Шағын тест