2.8. Ең үлкен ортақ бөлгіш. Өзара жай сандар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 101–107-беттер.

Нені үйренесің

• Екі және үш санның ең үлкен ортақ бөлгішін (ЕҮОБ) табуды.
• Оны екі тәсілмен іздеуді: бөлгіштерді іріктеу арқылы және жай көбейткіштерге жіктеу арқылы.
• ЕҮОБ бірден көрінетін «жылдам жағдайды» байқауды.
• Өзара жай сандарды жай сандардан ажырата білуді.
• Бірдей сыйлықтарға, тізбелерге және тақтатастарға арналған есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 24 санының бөлгіштері қандай? 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — сегіз сан.
• Ал 40 санының ше? 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 — бұл да сегіз.
• Екі тізімде де қандай сандар бар? 1, 2, 4 және 8.
• Олардың қайсысы ең үлкен? 8.

💡 Сен жаңа ғана 24 және 40 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін таптың. Сабақтың бар мәні осы, енді мұны жылдам істеуді үйрену ғана қалды.

Тақырыпты талдаймыз

Ортақ бөлгіштер — «ортақ аумақ»

Әр санның өз бөлгіштер жиыны бар. Екі жиынды дөңгелекпен салсақ, екі санға да жарайтын бөлгіштер ортақ бөлікте, яғни қиылысуда тұрады. Суреттің астындағы батырмаларды бас.

Ортадағы сандар — ортақ бөлгіштер: олардың әрқайсысына 24 те, 40 та бөлінеді. Солардың ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіш дейді, қысқаша ЕҮОБ. Былай жазамыз: ЕҮОБ $(24, 40) = 8$.

📌 Берілген натурал сандардың ЕҮОБ-і — сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең үлкен натурал сан.

1-тәсіл: бөлгіштерді жазып шығу

ЕҮОБ $(56, 98)$ табайық. Әр санның бөлгіштерін жазып, нелері сәйкес келетінін қараймыз.

Ортақтары: 1, 2, 7, 14. Ең үлкені — 14. Демек, ЕҮОБ $(56, 98) = 14$.

Тәсіл түсінікті, бірақ үлкен сандарға ұзақ: бір бөлгішті оп-оңай жіберіп алуға болады.

2-тәсіл: сандарды «бөлшектерге» ажырату

Дәл сол сандарды жай көбейткіштерге жіктейік:

56 | 2      98 | 2
28 | 2      49 | 7
14 | 2       7 | 7
 7 | 7       1 |
 1 |

$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$, ал $98 = 2 \cdot 7 \cdot 7$. Екі жіктелуде де бір екі және бір жеті бар. Оларды көбейтеміз: $2 \cdot 7 = 14$. Жауап сол, тек ұзын тізімдерсіз!

Ереже мынадай:

1. Сандарды жай көбейткіштерге жікте.
2. Барлық жіктелуде бар көбейткіштерді жаз. Әрқайсысын ең аз кездесетін жердегі санындай рет ал (ең кіші дәрежесімен).
3. Оларды көбейт.

Үш сан үшін де дәл солай: $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Үшеуінде де бір екілік пен бір үштік қана бар: ЕҮОБ $(18, 24, 30) = 2 \cdot 3 = 6$.

⚠️ Жиі кететін қате. Ортақ көбейткішті үлкен дәрежесімен алады: 756 және 1848 үшін $2^2$ орнына $2^3$ деп жазады. Бірақ 756 саны $2^3 = 8$-ге бөлінбейді! Тексеру оңай: әр санды табылған ЕҮОБ-ке бөл — қалдықсыз бөлінуі керек.

Жылдам жағдай: кішісі қалғандарын бөледі

ЕҮОБ $(120, 80, 20)$ тап. Қара: 120 және 80 сандары 20-ға бөлінеді. 20-дан үлкен ортақ бөлгіш болуы мүмкін емес, өйткені 20 өзінен үлкен санға бөлінбейді. Демек, ЕҮОБ $= 20$, ештеңе есептеудің қажеті жоқ.

💡 Кез келген есептеуден бұрын тексер: кішісі қалғандарының бәрін өзі бөлмей ме? Олай болса, жауап — сол кіші сан.

Өзара жай сандар

25 пен 12 санына қара. 25-тің бөлгіштері: 1, 5, 25. 12-нің бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ортақ бөлгіш — тек 1. Мұндай сандарды өзара жай сандар дейді: олардың ЕҮОБ-і 1-ге тең.

Қулығы мынада: өзара жай сандардың өздері жай болуы міндетті емес. 25 те, 12 де құрама сан. Маңыздысы — олардың бірдей «бөлшектері» жоқ: $25 = 5^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «8 мен 9 өзара жай ма? Өздері жай ма?» Жауабы: өзара жай — иә, жай сан — жоқ. Бұл екі сөзді балалар жиі шатастырады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. ЕҮОБ-ке арналған есепті «ең көп дегенде неше бірдей сыйлық (тізбе, вагон)» деген сұрақ білдіреді. Неге мұнда ЕҮОБ екені түсініксіз болса, 12 кәмпит пен 8 өрікті алыңыз: екеуін де неше балаға тең бөлуге болады?

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші деп нені айтады? Олардың әрқайсысы бөлінетін ең үлкен натурал санды.
• Екі санның ЕҮОБ-ін қалай табады? Екеуінің де бөлгіштерін жазып, ең үлкен ортағын таңдайды. Немесе жай көбейткіштерге жіктеп, ортақтарын ең кіші дәрежесімен көбейтеді.
• Барлық сан олардың кішісіне бөлінсе, ЕҮОБ қалай табылады? ЕҮОБ сол кіші санға тең.
• Қандай сандарды өзара жай дейді? ЕҮОБ-і 1-ге тең сандарды. Мысалы, 25 пен 12, 8 бен 9.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 276

Мына сандардың ЕҮОБ-ін ауызша табыңдар: 1) 3 пен 12; 2) 4 пен 10; 3) 15 пен 60; 4) 16 мен 56; 5) 19 бен 38; 6) 63 пен 81.

Қалай ойлаймыз. Алдымен үлкен сан кішіге бөлінетін-бөлінбейтінін тексер: бөлінсе, кішісі — ЕҮОБ. Бөлінбесе, екеуі де бөлінетін үлкен санды ойла.

Шешуі.

1. 12 саны 3-ке бөлінеді — ЕҮОБ 3.
2. Екеуі де жұп, бірақ 10 саны 4-ке бөлінбейді — ЕҮОБ 2.
3. 60 саны 15-ке бөлінеді — ЕҮОБ 15.
4. $16 = 8 \cdot 2$, $56 = 8 \cdot 7$, ал 2 мен 7-нің ортақ бөлгіші жоқ — ЕҮОБ 8.
5. 38 саны 19-ға бөлінеді — ЕҮОБ 19.
6. $63 = 9 \cdot 7$, $81 = 9 \cdot 9$ — ЕҮОБ 9.

Жауабы: 1) 3; 2) 2; 3) 15; 4) 8; 5) 19; 6) 9.

A деңгейі

№ 277

Бөлгіштерін жазып, ЕҮОБ-ін табыңдар: 1) 12 мен 32; 2) 30 бен 42; 3) 35 пен 60; 4) 36 мен 63; 5) 30 бен 45; 6) 27 мен 54; 7) 42 мен 56; 8) 80 мен 32; 9) 39 бен 65.

Қалай ойлаймыз. Кіші санның бөлгіштерін жазып, олардың қайсысы үлкенін бөлетінін тексер. Ең үлкендерінен баста — жауапқа тезірек жетесің.

Шешуі.

1. 12-нің бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Олардан 32-ні бөлетіндер: 1, 2, 4. ЕҮОБ 4.
2. 30-ның бөлгіштері: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 42-ні бөлетіндер: 1, 2, 3, 6. ЕҮОБ 6.
3. 35-тің бөлгіштері: 1, 5, 7, 35. 60-ты бөлетіндер: 1, 5. ЕҮОБ 5.
4. 36-ның бөлгіштері: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 63-ті бөлетіндер: 1, 3, 9. ЕҮОБ 9.
5. 30-ның бөлгіштері: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 45-ті бөлетіндер: 1, 3, 5, 15. ЕҮОБ 15.
6. 54 саны 27-ге бөлінеді — демек, ЕҮОБ 27.
7. 42-нің бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. 56-ны бөлетіндер: 1, 2, 7, 14. ЕҮОБ 14.
8. 32-нің бөлгіштері: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 80-ді бөлетіндер: 1, 2, 4, 8, 16. ЕҮОБ 16.
9. 39-дың бөлгіштері: 1, 3, 13, 39. 65-ті бөлетіндер: 1, 13. ЕҮОБ 13.

Жауабы: 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 9; 5) 15; 6) 27; 7) 14; 8) 16; 9) 13.

№ 278

Сандарды жай көбейткіштерге жіктеп, олардың ЕҮОБ-ін табыңдар: 1) 48 бен 84; 2) 70 пен 98; 3) 16 мен 45; 4) 52 мен 78; 5) 44 пен 65; 6) 72 мен 96; 7) 78, 117 және 195; 8) 110, 154 және 286; 9) 90, 126 және 162.

Қалай ойлаймыз. Жіктейміз, бәрінде бар көбейткіштерді белгілеп, көбейтеміз. Ортақ көбейткіш болмаса — ЕҮОБ 1-ге тең.

Шешуі.

1. $48 = 2^4 \cdot 3$, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$. ЕҮОБ $= 2^2 \cdot 3 = 12$.
2. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $98 = 2 \cdot 7^2$. ЕҮОБ $= 2 \cdot 7 = 14$.
3. $16 = 2^4$, $45 = 3^2 \cdot 5$. Ортақ көбейткіш жоқ, ЕҮОБ $= 1$ (сандар өзара жай).
4. $52 = 2^2 \cdot 13$, $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 2 \cdot 13 = 26$.
5. $44 = 2^2 \cdot 11$, $65 = 5 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 1$.
6. $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $96 = 2^5 \cdot 3$. ЕҮОБ $= 2^3 \cdot 3 = 24$.
7. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $117 = 3^2 \cdot 13$, $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 3 \cdot 13 = 39$.
8. $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$, $286 = 2 \cdot 11 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 2 \cdot 11 = 22$.
9. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$, $162 = 2 \cdot 3^4$. ЕҮОБ $= 2 \cdot 3^2 = 18$.

Жауабы: 1) 12; 2) 14; 3) 1; 4) 26; 5) 1; 6) 24; 7) 39; 8) 22; 9) 18.

№ 279

1) 3, 5, 6 және 25 сандарынан өзара жай сандар жұбын құрастырыңдар. 2) 21, 30, 35, 52 және 77 сандарынан өзара жай сандардың төрт жұбын құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр санды жай көбейткіштерге жікте. Жіктелулерінде бірде-бір бірдей көбейткіш болмаса, жұп өзара жай болады.

Шешуі.

1. $3$, $5$, $6 = 2 \cdot 3$, $25 = 5^2$. 3 пен 6 (ортақ көбейткіші 3) және 5 пен 25 (ортақ көбейткіші 5) жарамайды. Қалған жұптар жарайды: 3 және 5; 3 және 25; 5 және 6; 6 және 25.
2. $21 = 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$, $52 = 2^2 \cdot 13$, $77 = 7 \cdot 11$. Жұптарды тексереміз:
   • 21 және 52 — ортақ көбейткіш жоқ ✓;
   • 30 және 77 — жоқ ✓;
   • 35 және 52 — жоқ ✓;
   • 52 және 77 — жоқ ✓;
   • қалған жұптарда ортақ көбейткіш бар (3, 5, 7 немесе 2).

Жауабы: 1) 3 және 5; 3 және 25; 5 және 6; 6 және 25. 2) 21 және 52; 30 және 77; 35 және 52; 52 және 77.

№ 280

$a$ және $b$ сандарының жай көбейткіштерге жіктелуі берілген. ЕҮОБ-ін табыңдар: 1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ және $b = 2 \cdot 3 \cdot 3$; 2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11$ және $b = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$; 3) $a = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ және $b = 2 \cdot 7 \cdot 11$; 4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ және $b = 5 \cdot 7 \cdot 11$.

Қалай ойлаймыз. Енді жіктеудің қажеті жоқ — екі санда да қандай «бөлшектер» бар екенін ғана тап.

Шешуі.

1. Ортақтары: 2 және 3. ЕҮОБ $= 6$.
2. Ортақтары: 2 және 11. ЕҮОБ $= 22$.
3. Ортақтары: 2 және 7. ЕҮОБ $= 14$.
4. Ортақтары жоқ. ЕҮОБ $= 1$.

Жауабы: 1) 6; 2) 22; 3) 14; 4) 1.

№ 281

1) Тіркемесі бар мәшинемен бірнеше рет қатынап, бірінші күні 35 т, екінші күні 21 т, үшінші күні 14 т тас көмір әкелінді. Тіркемесі бар мәшинеге әрбір ретте тиелген тас көмірдің массалары бірдей. Мәшине бір рет қатынағанда неше тонна тас көмір әкеледі? 2) Бірінші пойыздың барлық купелі вагондарында 180 орын бар. Екінші пойыздың барлық купелі вагондарында 252 орын, ал үшінші пойыздың барлық купелі вагондарында 216 орын бар. Купелі вагондардың әрқайсысындағы орындар саны бірдей. Бір купелі вагонда ең көп дегенде неше орын бар?

Қалай ойлаймыз. Бір қатынаста әкелінетін жүк (бір вагондағы орын) әр санға бүтін рет сыюы керек. Яғни бұл — ортақ бөлгіш. «Ең көп» деп сұрағандықтан — бұл ЕҮОБ.

Шешуі.

1. 35-тің бөлгіштері: 1, 5, 7, 35; 21-дің бөлгіштері: 1, 3, 7, 21; 14-тің бөлгіштері: 1, 2, 7, 14. ЕҮОБ $(35, 21, 14) = 7$. Бір қатынаста 7 т (күндері бойынша 5, 3 және 2 рет қатынаған).
2. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$, $216 = 2^3 \cdot 3^3$. ЕҮОБ $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Тексеру: $180 : 36 = 5$, $252 : 36 = 7$, $216 : 36 = 6$ вагон.

Жауабы: 1) 7 т; 2) 36 орын.

№ 282

Балаларға сыйлық дайындау үшін 180 жаңғақ, 150 өрік және 210 кәмпит алынды. Балаларға берілетін сыйлықтардағы өріктердің саны бірдей, жаңғақтардың саны бірдей, кәмпиттердің саны бірдей болуы керек. Сыйлық ең көп дегенде неше балаға жетеді?

Қалай ойлаймыз. Сыйлық саны 180-ді де, 150-ні де, 210-ды да бөлуі керек, әйтпесе бір нәрсе артылып қалады. Осындай ең үлкен сан — ЕҮОБ.

Шешуі.

1. $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.
2. ЕҮОБ $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
3. Әр сыйлықта: $180 : 30 = 6$ жаңғақ, $150 : 30 = 5$ өрік, $210 : 30 = 7$ кәмпит.

Жауабы: 30 балаға (әрқайсысына 6 жаңғақ, 5 өрік, 7 кәмпит).

№ 283

24 қызыл шар, 42 көк шар және 30 сары шардан бірнеше тізбе дайындалды. Тізбелердегі қызыл шарлар саны бірдей, көк шарлар саны бірдей, сары шарлар саны бірдей. Ең көп дегенде неше тізбе дайындалды?

Қалай ойлаймыз. Сыйлықтардағыдай: әр түсті шарлар тізбелерге тең бөлінеді. ЕҮОБ-ті іздейміз.

Шешуі.

1. $24 = 2^3 \cdot 3$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
2. ЕҮОБ $= 2 \cdot 3 = 6$.
3. Әр тізбеде $24 : 6 = 4$ қызыл, $42 : 6 = 7$ көк, $30 : 6 = 5$ сары шар бар.

Жауабы: 6 тізбе.

B деңгейі

№ 284

Мына сандардың ЕҮОБ-ін тиімді тәсілмен табыңдар: 1) 42 мен 60; 2) 45 пен 81; 3) 28 бен 33; 4) 75 пен 90; 5) 26, 65 және 130; 6) 48, 240 және 264.

Қалай ойлаймыз. Алдымен «жылдам жағдайды» тексер: кіші сан қалғандарын бөлмей ме? Болмаса — жіктей бер.

Шешуі.

1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. ЕҮОБ $= 6$.
2. $45 = 3^2 \cdot 5$, $81 = 3^4$. ЕҮОБ $= 9$.
3. $28 = 2^2 \cdot 7$, $33 = 3 \cdot 11$. ЕҮОБ $= 1$.
4. $75 = 3 \cdot 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. ЕҮОБ $= 3 \cdot 5 = 15$.
5. $26 = 2 \cdot 13$, $65 = 5 \cdot 13$, $130 = 2 \cdot 5 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 13$.
6. 240 саны 48-ге бөлінеді, ал 264 бөлінбейді ($264 : 48 = 5$, қалдығы 24). Жіктейміз: $48 = 2^4 \cdot 3$, $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$, $264 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$. ЕҮОБ $= 2^3 \cdot 3 = 24$.

Жауабы: 1) 6; 2) 9; 3) 1; 4) 15; 5) 13; 6) 24.

№ 285

Жай көбейткіштерге жіктелген сандардың ЕҮОБ-ін табыңдар: $a = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ және $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $c = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ және $d = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$; $e = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$ және $f = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$; $h = 2 \cdot 5^2 \cdot 11$ және $k = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 13$; $m = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7$ және $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$; $x = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$ және $y = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

Қалай ойлаймыз. Әр ортақ жай көбейткіштің дәрежесі кіші жерін қара да, сол дәрежені ал.

Шешуі.

• ЕҮОБ $(a, b) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$;
• ЕҮОБ $(c, d) = 2^2 \cdot 3 = 12$;
• ЕҮОБ $(e, f) = 2 \cdot 3^2 = 18$;
• ЕҮОБ $(h, k) = 2 \cdot 5^2 = 50$;
• ЕҮОБ $(m, n) = 2^3 \cdot 3 = 24$;
• ЕҮОБ $(x, y) = 3 \cdot 5^2 = 75$.

Жауабы: 30; 12; 18; 50; 24; 75.

№ 286

Берілген сандардан өзара жай сандар жұбын құрастырыңдар: 1) 25, 30, 39; 2) 55, 26, 58; 3) 78, 35, 91; 4) 185, 123, 205; 5) 212, 148, 259; 6) 315, 154, 135.

Қалай ойлаймыз. Әр үштікте небәрі үш жұп бар. Сандарды жікте де, ортақ көбейткіші бар жұптарды сызып таста.

Шешуі.

1. $25 = 5^2$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$. Тек 25 және 39 жарайды.
2. $55 = 5 \cdot 11$, $26 = 2 \cdot 13$, $58 = 2 \cdot 29$. 55 және 26, 55 және 58 жарайды (26 мен 58 екеуі де жұп).
3. $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $35 = 5 \cdot 7$, $91 = 7 \cdot 13$. Тек 78 және 35 жарайды.
4. $185 = 5 \cdot 37$, $123 = 3 \cdot 41$, $205 = 5 \cdot 41$. Тек 185 және 123 жарайды.
5. $212 = 2^2 \cdot 53$, $148 = 2^2 \cdot 37$, $259 = 7 \cdot 37$. Тек 212 және 259 жарайды.
6. $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$, $135 = 3^3 \cdot 5$. Тек 154 және 135 жарайды.

Жауабы: 1) 25 және 39; 2) 55 және 26, 55 және 58; 3) 78 және 35; 4) 185 және 123; 5) 212 және 259; 6) 154 және 135.

№ 287

Бөлменің ұзындығы 5 м 25 см, ені 3 м 25 см. Бөлменің еденіне квадрат пішінді бірдей тақтатастар төсеу керек. Тақтатастың ең үлкен өлшемі қандай болуы керек? Бөлменің еденіне неше тақтатас төселеді?

Қалай ойлаймыз. Тақтатастың қабырғасы ұзындыққа да, енге де бүтін рет сыюы керек, әйтпесе кесуге тура келеді. Ең үлкен қабырға — ұзындық пен еннің ЕҮОБ-і.

Шешуі.

1. Сантиметрге ауыстырамыз: 525 см және 325 см.
2. $525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$, $325 = 5^2 \cdot 13$. ЕҮОБ $= 5^2 = 25$. Тақтатас 25 см × 25 см.
3. Ұзындығы бойынша $525 : 25 = 21$ тақтатас, ені бойынша $325 : 25 = 13$ тақтатас.
4. Барлығы $21 \cdot 13 = 273$ тақтатас.

Жауабы: тақтатас 25 см × 25 см; 273 тақтатас.

№ 288

Қалампыр гүлінен дайындалған барлық гүлшоқтарында 28 гүл бар. Жасмин гүлінен дайындалған барлық гүлшоқтарында 35 гүл бар. Егер гүлшоқтарының әрқайсысындағы гүлдер саны бірдей болса, әрбір гүлшоғында неше гүл бар? Қалампыр гүлінен неше гүлшоғы дайындалды? Жасмин гүлінен ше?

Қалай ойлаймыз. Гүлшоғындағы гүл саны 28-ді де, 35-ті де бөледі. Ортақ бөлгіштері екеу ғана — 1 және 7. Бір гүлден тұратын гүлшоқ — гүлшоқ емес, сондықтан 7-ні аламыз.

Шешуі.

1. $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, ЕҮОБ $= 7$. Гүлшоғында 7 гүл бар.
2. Қалампыр гүлшоқтары $28 : 7 = 4$, жасмин гүлшоқтары $35 : 7 = 5$.

Жауабы: 7 гүлден; қалампырдан 4 гүлшоқ, жасминнен 5 гүлшоқ.

№ 289

Сырт пішіндері бірдей 6 сақина бар. Олардың біреуі қалғандарынан ауыр. Қалғандарының массалары бірдей. Табақшалы таразыға 2 рет қана өлшеп, ауыр сақинаны қалай анықтауға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Әр өлшеу «күдікті» сақиналар санын азайтуы керек.

Шешуі.

1. Бірінші өлшеу: әр табаққа 3 сақинадан саламыз. Ауыр сақина табағы төмен түскен үштіктің ішінде.
2. Екінші өлшеу: сол үш сақинаның екеуін әр табаққа біреуден саламыз, үшіншісін бөлек қоямыз.
3. Бір табақ басым түссе — ауыр сақина сонда. Таразы тең тұрса — ауыр сақина бөлек қойылғаны.

Жауабы: 3 пен 3-ті өлшеу, содан кейін ауыр үштіктен 1 мен 1-ді өлшеу.

C деңгейі

№ 290

Дәлелдеңдер (мысалдармен): 1. Кез келген екі жай санның «өзара жай сандар» екендігін; 2. Көршілес екі натурал санның өзара жай сандар екендігін; 3. Көршілес екі тақ санның өзара жай сандар екендігін.

Қалай ойлаймыз. Бір-екі мысал алып, ЕҮОБ-ін тап. Сосын мұның әрқашан неге солай болатынын түсінуге тырыс.

Шешуі.

1. 5 пен 7: 5-тің бөлгіштері — 1 және 5, 7-нің бөлгіштері — 1 және 7. Ортағы тек 1. Дәл солай 2 мен 13, 11 мен 17. Жай санның бөлгіштері тек 1 және өзі, сондықтан екі түрлі жай санның жалғыз ортақ бөлгіші — 1.
2. 8 және 9: $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, ЕҮОБ $= 1$. 14 және 15: $2 \cdot 7$ және $3 \cdot 5$, ЕҮОБ $= 1$. Егер көрші сандар 1-ден үлкен бір санға бөлінсе, олардың айырмасы 1 де сол санға бөлінер еді, ал олай болмайды.
3. 15 және 17: $3 \cdot 5$ және жай 17, ЕҮОБ $= 1$. 21 мен 23, 35 пен 37 де солай. Көршілес тақ сандардың айырмасы 2, демек ортақ бөлгіш тек 2 болуы мүмкін еді, бірақ тақ сандар 2-ге бөлінбейді.

Жауабы: мысалы, 5 және 7; 8 және 9; 15 және 17 — барлық жұпта ЕҮОБ 1-ге тең.

№ 291

Қосылғыштар коэффициенттерінің ЕҮОБ-ін жақша сыртына шығарып жазыңдар: 1) $12a + 20b$; 2) $16c + 24d$; 3) $30m + 42n$; 4) $48x + 60y$; 5) $18a + 45b$; 6) $28c + 63d$; 7) $49m + 21n$; 8) $15m + 25n$.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің алдындағы екі санның ЕҮОБ-ін тап. Сосын әр санды сол ЕҮОБ-ке бөл — шыққаны жақша ішінде қалады. Бұл — үлестірімділік қасиеті, тек «кері» бағытта.

Шешуі.

1. ЕҮОБ $(12, 20) = 4$: $12a + 20b = 4(3a + 5b)$;
2. ЕҮОБ $(16, 24) = 8$: $16c + 24d = 8(2c + 3d)$;
3. ЕҮОБ $(30, 42) = 6$: $30m + 42n = 6(5m + 7n)$;
4. ЕҮОБ $(48, 60) = 12$: $48x + 60y = 12(4x + 5y)$;
5. ЕҮОБ $(18, 45) = 9$: $18a + 45b = 9(2a + 5b)$;
6. ЕҮОБ $(28, 63) = 7$: $28c + 63d = 7(4c + 9d)$;
7. ЕҮОБ $(49, 21) = 7$: $49m + 21n = 7(7m + 3n)$;
8. ЕҮОБ $(15, 25) = 5$: $15m + 25n = 5(3m + 5n)$.

Жауабы: 1) $4(3a + 5b)$; 2) $8(2c + 3d)$; 3) $6(5m + 7n)$; 4) $12(4x + 5y)$; 5) $9(2a + 5b)$; 6) $7(4c + 9d)$; 7) $7(7m + 3n)$; 8) $5(3m + 5n)$.

№ 292

Мұнай қоймасына мұнай тиелген үш тіркес цистерналар әкелінді. Цистерналардың бірінші тіркесінде 504 т, екінші тіркесінде 288 т, ал үшінші тіркесінде 648 т мұнай бар. Цистерналардың барлығы мұнаймен толтырылған және цистерналардың әрқайсысындағы мұнайдың массалары бірдей. Әрбір цистернадағы мұнайдың ең көп мүмкін массасы неше тонна? Цистерналардың бірінші тіркесінде, екінші тіркесінде, үшінші тіркесінде неше цистерна бар?

Қалай ойлаймыз. Цистернадағы масса үш санды да бөледі. Цистерналар барынша толы деп есептейміз — демек, ЕҮОБ аламыз.

Шешуі.

1. $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$, $288 = 2^5 \cdot 3^2$, $648 = 2^3 \cdot 3^4$.
2. ЕҮОБ $= 2^3 \cdot 3^2 = 72$ т.
3. Цистерналар: $504 : 72 = 7$, $288 : 72 = 4$, $648 : 72 = 9$.

Жауабы: бір цистернада 72 т; тіркестерде 7, 4 және 9 цистерна.

№ 293*

Берілген екі санның бөліндісі 35 және 77 сандарының ЕҮОБ-іне тең. Осы берілген екі санның қосындысы 160 және 96 сандарының ЕҮОБ-іне тең. Берілген сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі ЕҮОБ-ті тап — сонда есеп таныс есепке айналады: «бір сан екіншісінен бірнеше есе үлкен, ал екеуі бірге…».

Шешуі.

1. $35 = 5 \cdot 7$, $77 = 7 \cdot 11$, ЕҮОБ $= 7$. Демек, үлкен сан кішіден 7 есе үлкен.
2. $96 = 2^5 \cdot 3$, $160 = 2^5 \cdot 5$, ЕҮОБ $= 2^5 = 32$. Сандардың қосындысы 32.
3. Кіші сан — 1 бөлік, үлкені — 7 бөлік, бірге 8 бөлік. $32 : 8 = 4$ — кіші сан, $4 \cdot 7 = 28$ — үлкені.

Тексеру: $28 : 4 = 7$, $28 + 4 = 32$ ✓.

Жауабы: 28 және 4.

№ 294*

$ABCD$ тік төртбұрышы (2.3-сурет) ауданы 1 см² ең кіші квадратқа (боялған) және I, II, III квадраттары мен $EFKD$ тік төртбұрышына бөлінген. $EFKD$ тік төртбұрышының ауданы 21 см². $ABCD$ тік төртбұрышының периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретте сол жақ төменде III квадрат, оның үстінде I квадрат тұр. III квадраттың оң жағында, I квадраттың астында — қабырғасы 1 см кішкентай квадрат. Оның және I квадраттың оң жағында — II квадрат. Кішкентай квадрат пен II квадраттың астында — $EFKD$ тік төртбұрышы. Барлық қабырғаны III квадраттың қабырғасы арқылы өрнектеп көр.

Шешуі.

1. Кішкентай квадрат: ауданы 1 см², қабырғасы 1 см.
2. III квадраттың қабырғасы $c$ см болсын. Кішкентай квадрат III-ке тірелген және онымен бірге I квадраттың бүкіл енін алады. Демек, I-дің қабырғасы $c + 1$.
3. II квадрат I-дің оң жағынан басталып, кішкентай квадраттың төменгі қабырғасына дейін түседі. Оның қабырғасы I-дің қабырғасы мен кішкентай квадраттың қабырғасына тең: $c + 2$.
4. $EFKD$ тік төртбұрышы: ені — кішкентай квадрат пен II квадраттың қосындысы: $1 + (c + 2) = c + 3$; биіктігі — III квадраттың кішкентай квадратсыз бөлігі: $c - 1$.
5. Ауданы $(c + 3)(c - 1) = 21$. Іріктейміз: $21 = 7 \cdot 3$, $c = 4$ болғанда $7 \cdot 3 = 21$. Демек, $c = 4$ см.
6. Квадраттардың қабырғалары: III — 4 см, I — 5 см, II — 6 см.
7. $AB$ (биіктігі) $= 4 + 5 = 9$ см, $BC$ (ені) $= 5 + 6 = 11$ см.
8. Периметрі $= 2 \cdot (9 + 11) = 40$ см.

Бір тор көзі 1 см болса, тік төртбұрыш мынадай көрінеді:

Жауабы: 40 см.

№ 295

Теңдеуді шешіңдер және түбірлері бойынша құйрықты жұлдыздың атауын оқыңдар: М. $x + 187 : 11 = 21$; Т. $16 \cdot 25 - 28x = 612 : 3$; К. $27 : x + 405 : 9 = 48$; О. $581 : 83 + 51 : x = 24$; А. $216 : x + 16 \cdot 18 = 324$; Е. $24x - 345 : 23 = 105$. Кестедегі түбірлердің реті: 9, 3, 4, 5, 7, 6.

Қалай ойлаймыз. Алдымен санмен орындалатын бөлу мен көбейтуді есептеп ал, содан кейін белгісізді тап.

Шешуі.

• М: $x + 17 = 21$, $x = 4$.
• Т: $400 - 28x = 204$, $28x = 196$, $x = 7$.
• К: $27 : x + 45 = 48$, $27 : x = 3$, $x = 9$.
• О: $7 + 51 : x = 24$, $51 : x = 17$, $x = 3$.
• А: $216 : x + 288 = 324$, $216 : x = 36$, $x = 6$.
• Е: $24x - 15 = 105$, $24x = 120$, $x = 5$.

Әріптерді 9, 3, 4, 5, 7, 6 түбірлерінің астына қоямыз: К, О, М, Е, Т, А.

Жауабы: КОМЕТА.

Жадынама

• ЕҮОБ $(24, 40) = 8$ — ең үлкен ортақ бөлгіш.
• Жіктеу арқылы: ортақ көбейткіштер, әрқайсысы кіші дәрежесімен.
• ЕҮОБ $(120, 80, 20) = 20$: кіші сан қалғандарын бөледі.
• Өзара жай сандар құрама болуы мүмкін: 25 және 12.
• ЕҮОБ-ті тексеру: әр сан оған қалдықсыз бөлінеді.

Шағын тест