2.9. Ең кіші ортақ еселік

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). II тарау: Натурал сандардың бөлінгіштігі. 108–112-беттер.

Нені үйренесің

• Екі және үш санның ең кіші ортақ еселігін (ЕКОЕ) табуды.
• Оны еселіктерді іріктеу арқылы және жай көбейткіштерге жіктеу арқылы іздеуді.
• ЕКОЕ бірден көрінетін екі жылдам жағдайды пайдалануды.
• ЕҮОБ мен ЕКОЕ-нің байланысын түсінуді: ЕҮОБ $(a, b) \cdot$ ЕКОЕ $(a, b) = a \cdot b$.
• ЕКОЕ-ге арналған есептерді тануды: «қашан қайта сәйкес келеді», «қалдықсыз бөлінетін ең қысқа ұзындық».

Ой қозғау

Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• 2-ге еселік алғашқы алты санды ата. 4, 6, 8, 10, 12, 14 ($2 \cdot 2$-ден бастасақ).
• Ал 3-ке еселіктер ше? 6, 9, 12, 15, 18, 21.
• Екі тізімде де қандай сандар бар? 6 және 12.
• Олардың қайсысы кіші? 6.

💡 Сен жаңа ғана 2 және 3 сандарының ең кіші ортақ еселігін таптың. Өткен сабақ бөлгіштер туралы еді, ал бұл — еселіктер туралы. Олар егіздердей ұқсас, бірақ әр қарай қарайды.

Тақырыпты талдаймыз

Еселіктер сәуле бойымен «қадамдайды»

6-ның еселіктері — 6, 12, 18, 24… Шегіртке сәуле бойымен бір секіргенде 6 бөлікке барады деп елестет. 4-тің еселіктері — 4-тен секіру: 4, 8, 12, 16… Шегірткелер алғаш рет қай жерде кездеседі?

4 пен 6-ның ортақ еселіктері — 12, 24, 36… Олар шексіз көп, ал ең кішісі — 12. Оны ең кіші ортақ еселік дейді, қысқаша ЕКОЕ. Былай жазамыз: ЕКОЕ $(4, 6) = 12$.

📌 Берілген натурал сандардың ЕКОЕ-сі — сол сандардың әрқайсысына еселік болатын ең кіші натурал сан.

⚠️ Жиі кететін қате. ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні шатастырады. Есіңде болсын: ЕҮОБ — бөлгіш, ол кіші саннан үлкен болмайды. ЕКОЕ — еселік, ол үлкен саннан кіші болмайды. ЕКОЕ $(4, 6) = 2$ шықты ма? Бұл — қате: 2 саны 4-ке де, 6-ға да бөлінбейді.

1-тәсіл: үлкен санның еселіктерін іріктеу

ЕКОЕ $(16, 12)$ табайық. Екі санның да еселіктерін жазып, сәйкесін іздеуге болады. Бірақ жылдамырақ тәсіл бар: тек үлкен санның еселіктерімен жүріп, олардың кішіге бөлінетінін тексер.

16 саны 12-ге бөлінбейді, 32 де бөлінбейді, ал 48 бөлінеді. ЕКОЕ $(16, 12) = 48$.

2-тәсіл: санды «бөлшектерден» жинау

Үлкен сандар үшін іріктеу ұзаққа созылады. Онда сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз. 12 мен 18-ге қара: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$.

• ЕҮОБ — ортадағылардың көбейтіндісі: $2 \cdot 3 = 6$.
• ЕКОЕ — суреттегі барлығының көбейтіндісі («Бірігу» батырмасын бас): $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.

ЕКОЕ-ні табу ережесі:

1. Сандарды жай көбейткіштерге жікте.
2. Бір санның (жақсысы, үлкенінің) жіктелуін жаз.
3. Оған басқа сандардағы жетпей тұрған көбейткіштерді қос.
4. Көбейт.

Дәрежелермен ереже одан да қысқа: әр жай көбейткішті ең үлкен дәрежесімен аламыз. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, сондықтан ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$. Үш сан үшін де солай: $18 = 2 \cdot 3^2$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $50 = 2 \cdot 5^2$; ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бір жұп үшін ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні салыстырыңыз, мысалы 12 және 18. ЕҮОБ үшін кіші дәрежелерді аламыз: $2 \cdot 3 = 6$. ЕКОЕ үшін — үлкендерін: $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Тексеру: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$.

Екі жылдам жағдай

• Өзара жай сандар. Ортақ «бөлшектері» жоқ, сондықтан ЕКОЕ — жай ғана көбейтінді: ЕКОЕ $(6, 35) = 6 \cdot 35 = 210$.
• Үлкен сан қалғандарына бөлінеді. Онда сол сан — ЕКОЕ: ЕКОЕ $(57, 19) = 57$, ЕКОЕ $(8, 16, 32) = 32$.

ЕКОЕ-ге арналған есепті қалай танимыз

Барлық берілген санға бөлінетін санды іздейміз: «12 м-лік де, 18 м-лік де бөліктерге кесуге болатын сымның ең қысқа ұзындығы», «мәшинелер қашан қайта кездеседі», «қандай қашықтықта қадамдар сәйкес келеді». Ал бірдеңені бірдей бөліктерге бөлу керек болса — бұл ЕҮОБ-ке есеп.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Автобустар туралы жұмбаққа оралыңыз: әр 10 және әр 15 минут сайын. Қайтадан бірге ЕКОЕ $(10, 15) = 30$ минуттан кейін шығады. Өмірден алынған мұндай мысалдар ережеден жақсырақ есте қалады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Сандардың ең кіші ортақ еселігі деп нені айтады? Олардың әрқайсысына бөлінетін ең кіші натурал санды.
• ЕКОЕ-ні қалай табады? Үлкен санның еселіктерін қалғандарына бөлінгенше іріктейді. Немесе сандарды жай көбейткіштерге жіктеп, біреуінің жіктелуіне басқаларынан жетпейтін көбейткіштерді қосып, көбейтеді.
• Өзара жай сандардың ЕКОЕ-сі неге тең? Олардың көбейтіндісіне.
• Сандардың бірі басқаларының бәріне бөлінсе, ЕКОЕ қалай табылады? ЕКОЕ сол санға тең.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 296

Сандардың ЕКОЕ-ін ауызша табыңдар: 1) 2 мен 5; 2) 3 пен 4; 3) 6 мен 12; 4) 2 мен 10; 5) 3, 5 және 10; 6) 6, 8 және 24.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жылдам жағдайларды тексер: сандар өзара жай ма? үлкені қалғандарына бөлінбей ме? Олай болмаса — үлкен санның еселіктерімен жүр.

Шешуі.

1. 2 мен 5 өзара жай: $2 \cdot 5 = 10$.
2. 3 пен 4 өзара жай: $3 \cdot 4 = 12$.
3. 12 саны 6-ға бөлінеді: ЕКОЕ 12.
4. 10 саны 2-ге бөлінеді: ЕКОЕ 10.
5. 10 саны 5-ке бөлінеді, бірақ 3-ке бөлінбейді. 10-ның еселіктері: 10, 20, 30 — 30 саны 3-ке бөлінеді. ЕКОЕ 30.
6. 24 саны 6-ға да, 8-ге де бөлінеді: ЕКОЕ 24.

Жауабы: 1) 10; 2) 12; 3) 12; 4) 10; 5) 30; 6) 24.

A деңгейі

№ 297

Сандардың ЕКОЕ-ін тиімді тәсілмен табыңдар: 1) 6 мен 8; 2) 4 пен 7; 3) 9 бен 15; 4) 5 пен 15; 5) 6 мен 10; 6) 12 мен 20; 7) 5, 16 және 20; 8) 15, 30 және 45; 9) 10, 14 және 35.

Қалай ойлаймыз. Кіші сандар үшін үлкен санның еселіктерін іріктеген жылдам. Үш сан үшін жіктеу ыңғайлырақ.

Шешуі.

1. 8-дің еселіктері: 8, 16, 24 — 24 саны 6-ға бөлінеді. ЕКОЕ 24.
2. 4 пен 7 өзара жай: 28.
3. 15-тің еселіктері: 15, 30, 45 — 45 саны 9-ға бөлінеді. ЕКОЕ 45.
4. 15 саны 5-ке бөлінеді: ЕКОЕ 15.
5. 10-ның еселіктері: 10, 20, 30 — 30 саны 6-ға бөлінеді. ЕКОЕ 30.
6. 20-ның еселіктері: 20, 40, 60 — 60 саны 12-ге бөлінеді. ЕКОЕ 60.
7. $5$, $16 = 2^4$, $20 = 2^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 5 = 80$.
8. 45-тің еселіктері: 45, 90 — 90 саны 15-ке де, 30-ға да бөлінеді. ЕКОЕ 90.
9. $10 = 2 \cdot 5$, $14 = 2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Жауабы: 1) 24; 2) 28; 3) 45; 4) 15; 5) 30; 6) 60; 7) 80; 8) 90; 9) 70.

№ 298

Жай көбейткіштерге жіктелген сандардың ЕКОЕ-ін табыңдар: 1) $a = 2 \cdot 3$ және $b = 2 \cdot 7$; 2) $c = 3 \cdot 5$ және $d = 3 \cdot 3 \cdot 5$; 3) $e = 2 \cdot 2 \cdot 5$ және $f = 2 \cdot 3 \cdot 5$; 4) $m = 2 \cdot 2 \cdot 3$ және $n = 2 \cdot 3 \cdot 5$; 5) $p = 2 \cdot 2 \cdot 7$ және $t = 2 \cdot 3 \cdot 7$; 6) $x = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ және $y = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.

Қалай ойлаймыз. Бір санның жіктелуін ал да, екіншісінен жетпейтінін қос.

Шешуі.

1. $2 \cdot 3$ және 7-ні қосамыз: $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
2. $3 \cdot 3 \cdot 5$ — онда $c$-ның бәрі бар: $45$.
3. $2 \cdot 2 \cdot 5$ және 3-ті қосамыз: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
4. $2 \cdot 2 \cdot 3$ және 5-ті қосамыз: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
5. $2 \cdot 2 \cdot 7$ және 3-ті қосамыз: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
6. $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ және тағы бір үштікті қосамыз: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180$.

Жауабы: 1) 42; 2) 45; 3) 60; 4) 60; 5) 84; 6) 180.

№ 299

Сандарды жай көбейткіштерге жіктеп, ЕКОЕ-ін табыңдар: 1) 21 мен 18; 2) 24 пен 32; 3) 16 мен 20; 4) 20 мен 35; 5) 75 пен 90; 6) 6 мен 13; 7) 14 пен 18; 8) 28 бен 42; 9) 21 мен 33; 10) 12, 30 және 75; 11) 15, 42 және 105; 12) 21, 28 және 35.

Қалай ойлаймыз. Әр жай көбейткішті кездесетін ең үлкен дәрежесімен ал.

Шешуі.

1. $21 = 3 \cdot 7$, $18 = 2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$.
2. $24 = 2^3 \cdot 3$, $32 = 2^5$. ЕКОЕ $= 2^5 \cdot 3 = 96$.
3. $16 = 2^4$, $20 = 2^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2^4 \cdot 5 = 80$.
4. $20 = 2^2 \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
5. $75 = 3 \cdot 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$.
6. $6 = 2 \cdot 3$, $13$ — жай сан. Сандар өзара жай: ЕКОЕ $= 78$.
7. $14 = 2 \cdot 7$, $18 = 2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 126$.
8. $28 = 2^2 \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.
9. $21 = 3 \cdot 7$, $33 = 3 \cdot 11$. ЕКОЕ $= 3 \cdot 7 \cdot 11 = 231$.
10. $12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$.
11. $15 = 3 \cdot 5$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
12. $21 = 3 \cdot 7$, $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Жауабы: 1) 126; 2) 96; 3) 80; 4) 140; 5) 450; 6) 78; 7) 126; 8) 84; 9) 231; 10) 300; 11) 210; 12) 420.

№ 300

Бос орындарды толтырыңдар: 1) ЕКОЕ $(3, 40)$; 2) ЕКОЕ $(7, 33)$; 3) ЕКОЕ $(21, 14)$; 4) ЕКОЕ $(8, 12)$; 5) ЕКОЕ $(28, 20)$; 6) ЕКОЕ $(38, 19)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда жылдам жағдай көп. Алдымен ортақ көбейткіш бар-жоғын және үлкен санның кішіге бөлінетін-бөлінбейтінін тексер.

Шешуі.

1. 3 пен 40 өзара жай: $3 \cdot 40 = 120$.
2. 7 мен 33 өзара жай: $7 \cdot 33 = 231$.
3. $21 = 3 \cdot 7$, $14 = 2 \cdot 7$: ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
4. 12-нің еселіктері: 12, 24 — 24 саны 8-ге бөлінеді. ЕКОЕ 24.
5. $28 = 2^2 \cdot 7$, $20 = 2^2 \cdot 5$: ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
6. 38 саны 19-ға бөлінеді: ЕКОЕ 38.

Жауабы: 1) 120; 2) 231; 3) 42; 4) 24; 5) 140; 6) 38.

№ 301

1) Орамдағы сымды әрқайсысының ұзындығы 12 м немесе 18 м бөліктерге бөлуге болады. Орамда кем дегенде неше метр сым бар? 2) Таңертеңгі сағат 8-де элеватордан астық таситын үш мәшине шықты. Мәшинелердің біріншісі 3 сағатта, екіншісі 4 сағатта, ал үшіншісі 6 сағатта элеваторға қайтып оралып отырады. Егер мәшинелер бірқалыпты жүріп тұрса, олар сағат нешеде элеваторда қайта кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Екі тармақта да барлық берілген санға бөлінетін сан керек, ал олардың ішіндегі ең кішісі — ЕКОЕ.

Шешуі.

1. $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Сым 36 м: бұл 12 м-лік 3 бөлік немесе 18 м-лік 2 бөлік.
2. ЕКОЕ $(3, 4, 6)$: 6-ның еселіктері — 6, 12; 12 саны 3-ке де, 4-ке де бөлінеді. ЕКОЕ $= 12$. Мәшиналар 12 сағаттан кейін қайта жиналады: $8 + 12 = 20$ сағат.

Жауабы: 1) 36 м; 2) сағат 20-да (кешкі сағат сегізде).

№ 302

Сандардың ЕКОЕ-ін табыңдар: 1) 28, 35 және 70; 2) 18, 24 және 27; 3) 36, 54 және 81; 4) 88, 132 және 264; 5) 25, 75 және 150; 6) 54, 90 және 135.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тексер: ең үлкен сан қалған екеуіне бөлінбей ме? 4 және 5-тармақтарда бұл көп уақытты үнемдейді.

Шешуі.

1. $28 = 2^2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $27 = 3^3$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^3 = 216$.
3. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $54 = 2 \cdot 3^3$, $81 = 3^4$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^4 = 324$.
4. $264 : 88 = 3$, $264 : 132 = 2$. Ең үлкен сан қалғандарына бөлінеді: ЕКОЕ $= 264$.
5. $150 : 25 = 6$, $150 : 75 = 2$. ЕКОЕ $= 150$.
6. $54 = 2 \cdot 3^3$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $135 = 3^3 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$.

Жауабы: 1) 140; 2) 216; 3) 324; 4) 264; 5) 150; 6) 270.

B деңгейі

№ 303

Жай көбейткіштерге жіктелген сандардың ЕКОЕ-ін табыңдар: 1) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ және $b = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$; 2) $c = 2^4 \cdot 3^2$ және $d = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$; 3) $e = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$ және $f = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$; 4) $m = 2^2 \cdot 3^3$ және $n = 3^3 \cdot 5$; 5) $p = 2 \cdot 3^2 \cdot 11$ және $t = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$; 6) $x = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$ және $y = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Қалай ойлаймыз. Әр көбейткіш — ең үлкен дәрежесімен. Бұл өткен сабақтағы № 285 есептің айнасы, онда ең кішісін алғанбыз.

Шешуі.

1. $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 600$;
2. $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$;
3. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$;
4. $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$;
5. $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 8 \cdot 9 \cdot 11 = 792$;
6. $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 16 \cdot 3 \cdot 25 = 1200$.

Жауабы: 1) 600; 2) 720; 3) 504; 4) 540; 5) 792; 6) 1200.

№ 304

1) 69; 2) 85 саны ең кіші ортақ еселік болатын өзара жай сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Өзара жай сандардың ЕКОЕ-сі — олардың көбейтіндісі. Демек, көбейткенде 69 (85) беретін екі өзара жай санды іздейміз.

Шешуі.

1. $69 = 3 \cdot 23$. Жұбы: 3 және 23.
2. $85 = 5 \cdot 17$. Жұбы: 5 және 17.

1 және 69, 1 және 85 жұптары да жарайды, бірақ олар қызықсыз.

Жауабы: 1) 3 және 23; 2) 5 және 17.

№ 305

Сәуле мен Зарина қатар жүріп келеді. Сәуленің қадамы 70 см, ал Заринаның қадамы 56 см. Қандай ең қысқа қашықтықта олардың қадамдары қатарласады?

Қалай ойлаймыз. Қашықтық 70-ке де, 56-ға да бөлінуі керек — сонда екі қыздың да қадам саны бүтін болады. Ең кіші осындай қашықтық — ЕКОЕ.

Шешуі.

1. Қашықтық 70-ке де, 56-ға да бөлінуі керек. ЕКОЕ-ні іздейміз.
2. $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $56 = 2^3 \cdot 7$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 280$ см.
3. Сәуле $280 : 70 = 4$ қадам, Зарина $280 : 56 = 5$ қадам жасайды.

Жауабы: 280 см = 2 м 80 см.

№ 306

Квадрат пішінді бөлменің әрбір қабырғасы тұсына 2 үстелден қойып, 6 үстелді қалай орналастыруға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Бұрыштағы үстел бір мезгілде екі қабырғаға жақын тұр — оны екі рет «санайды».

Шешуі.

1. Бұрыштарда үстел болмаса, $4 \cdot 2 = 8$ үстел керек еді. Бізде 2-ге кем — демек, 2 үстелді бұрышқа қою керек.
2. 2 үстелді қарама-қарсы бұрыштарға қоямыз. Әр қабырғаға әзірге бір үстелден тиді.
3. Қалған 4 үстелді әр қабырғаның ортасына біреуден қоямыз.

Тексеру: әр қабырғада бір бұрыштағы және бір ортадағы үстел — барлығы 2.

Жауабы: 2 үстел қарама-қарсы бұрыштарда, қалған 4 үстел әр қабырғаның ортасында.

№ 307

Ішін ені 5 см, ұзындығы 1 дм 2 см қорапшалармен толтыру үшін табаны квадрат пішінді жәшіктер дайындалды. Жәшіктің табанының ауданы ең кем дегенде неше квадрат дециметр болуы керек?

Қалай ойлаймыз. Квадраттың қабырғасы 5 см-ге де, 12 см-ге де бөлінуі керек — сонда қорапшалар бос орынсыз тегіс қатармен жатады.

Шешуі.

1. 1 дм 2 см = 12 см.
2. ЕКОЕ $(5, 12) = 60$ см (сандар өзара жай). Табанының қабырғасы 60 см = 6 дм.
3. Ауданы: $6 \cdot 6 = 36$ дм². Сыятын қорапшалар саны: $12 \cdot 5 = 60$.

Жауабы: 36 дм².

№ 308

Ені 8 см, ұзындығы 18 см тік төртбұрыштарға қалдықсыз бөлуге болатын квадраттың ең қысқа периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттың қабырғасы бойымен тік төртбұрыштар бүтін болып сыюы керек — ұзын қабырғасымен де, қысқасымен де. Демек, қабырға 18-ге де, 8-ге де бөлінеді.

Шешуі.

1. Квадраттың қабырғасы 18-ге де, 8-ге де бөлінеді.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $8 = 2^3$. ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3^2 = 72$ см.
3. Периметрі: $72 \cdot 4 = 288$ см.

Жауабы: 288 см.

C деңгейі

№ 309

*Ең кіші ортақ еселікті тауып, оны жұлдызшаның орнына қойыңдар: 1) ЕКОЕ $(4, 303) = *$; 2) ЕКОЕ $(121,212, 151,515) = *$; 3) ЕКОЕ $(40,404, 363,636) = *$; 4) ЕКОЕ $(242,424, 181,818) = $.

Қалай ойлаймыз. Қайталанатын сандарды көбейтінді түрінде жазған ыңғайлы: $121,212 = 12 \cdot 10,101$, $151,515 = 15 \cdot 10,101$. Ортақ көбейткіш 10 101 ЕКОЕ-ге бір рет ауысады, ал қалғанын кіші сандардан іздейміз.

Шешуі.

1. $303 = 3 \cdot 101$, 4 санымен ортақ көбейткіші жоқ. ЕКОЕ $= 4 \cdot 303 = 1212$.
2. $12 \cdot 10,101$ және $15 \cdot 10,101$. ЕКОЕ $(12, 15) = 60$, демек ЕКОЕ $= 60 \cdot 10,101 = 606,060$.
3. $4 \cdot 10,101$ және $36 \cdot 10,101$. 36 саны 4-ке бөлінеді, сондықтан ЕКОЕ $= 363,636$.
4. $24 \cdot 10,101$ және $18 \cdot 10,101$. ЕКОЕ $(24, 18) = 72$, демек ЕКОЕ $= 72 \cdot 10,101 = 727,272$.

Жауабы: 1) 1212; 2) 606 060; 3) 363 636; 4) 727 272.

№ 310

Кестені толтырыңдар: $a, b$ жұптары — 6 және 8; 9 және 12; 15 және 18; 24 және 60 — бағандары $a \cdot b$, ЕҮОБ, ЕКОЕ, ЕҮОБ · ЕКОЕ. Теңдікті толықтырып жазыңдар: ЕҮОБ $(a, b) \cdot$ ЕКОЕ $(a, b) = \square$.

Қалай ойлаймыз. Кестені жол-жолымен толтырып, соңғы бағанды үшінші бағанмен салыстыр. Заңдылықты көресің.

Шешуі.

Әр жолда соңғы баған үшінші бағанмен сәйкес келеді.

Жауабы: ЕҮОБ $(a, b) \cdot$ ЕКОЕ $(a, b) = a \cdot b$.

💡 Бұл теңдік — тамаша тексеру тәсілі. ЕҮОБ пен ЕКОЕ-ні таптың ба? Оларды көбейт — сандардың өз көбейтіндісі шығуы керек.

№ 311

2.4-суреттегі тістегергіштердің біріншісінің 54 тісі, екіншісінің 90 тісі бар. Тістегергіштердің қозғалысқа дейінгі жанасып тұрған тістері белгіленген. Бірінші тістегергіш неше айналым жасағанда белгіленген тістері алғашқы қалпына келеді?

Қалай ойлаймыз. Тістегергіштер айналғанда екеуі де бірдей санды тіс өтеді. Белгіленген тістер сол сан 54-ке де, 90-ға да бөлінгенде кездеседі, яғни екі тістегергіш те бүтін айналым жасағанда.

Шешуі.

1. $54 = 2 \cdot 3^3$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270$ тіс.
2. Бірінші тістегергіш: $270 : 54 = 5$ айналым. Екіншісі сол уақытта: $270 : 90 = 3$ айналым.

Жауабы: 5 айналым жасағанда.

№ 312*

Ашықхаттың бағасы 45 тг. Айнұрда 20 теңгеліктер ғана бар. Егер сатушыда қайтаратын ақша болмаса, Айнұр кем дегенде неше ашықхат сатып ала алады?

Қалай ойлаймыз. Сатып алудың құны 45-ке (ашықхаттар саны бүтін) де, 20-ға (сомасы 20 теңгелік тиындармен қалдықсыз төленеді) де бөлінуі керек.

Шешуі.

1. $45 = 3^2 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$. ЕКОЕ $= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180$ тг.
2. Ашықхаттар: $180 : 45 = 4$. 20 теңгеліктер: $180 : 20 = 9$.

Жауабы: 4 ашықхат.

№ 313

Лаура да, Дина да қадамдап 75 м қашықтықты өлшеді. Осы аралықта олардың іздері 25 рет сәйкес келді. Динаның қадамы 50 см болса, Лаураның қадамы неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Іздер бірдей аралықпен сәйкес келеді — қадам ұзындықтарының ЕКОЕ-сі арқылы. Алдымен осы аралықты тап, сосын Лаураның қадамын таңда.

Шешуі.

1. 75 м = 7500 см. Іздер 25 рет сәйкес келді, демек сәйкестіктер арасындағы аралық $7500 : 25 = 300$ см.
2. Лаураның қадамы $s$ болсын, сонда ЕКОЕ $(50, s) = 300$. $50 = 2 \cdot 5^2$, $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Лаураның қадамында міндетті түрде $2^2 \cdot 3 = 12$ болуы керек, қалған көбейткіштері $5^2$-тен алынады.
3. Қадамның шынайы ұзындықтары: 60 см ($2^2 \cdot 3 \cdot 5$) немесе 300 см. Оқушыға 60 см жарайды: ЕКОЕ $(50, 60) = 300$ ✓.

Жауабы: 60 см.

📕 Оқулықтың жауаптарында № 313 үшін 75 см тұр, бірақ ол шартқа сәйкес келмейді: қадамдары 50 және 75 см болғанда іздер әр 150 см сайын, яғни 75 м-де 25 рет емес, 50 рет сәйкес келер еді. 25 сәйкестікке жарайтын қадам — 60 см.

№ 314

Ұзындықтары бірдей екі пойыз бір-біріне қарама-қарсы жүріп келеді. Бірінші пойыздың жылдамдығы 54 км/сағ, ал екінші пойыздың жылдамдығы 36 км/сағ. Бірінші пойызда отырған жолаушының тұсынан екінші пойыз 14 секундта өтті. Пойыздардың әрқайсысының ұзындығы неше метр? А. 310 м; В. 340 м; С. 400 м; D. 350 м.

Қалай ойлаймыз. Бірінші пойыздағы жолаушы үшін екінші пойыз жақындасу жылдамдығымен, яғни жылдамдықтардың қосындысымен ұшады. 14 секундта терезенің тұсынан екінші пойыздың бүкіл ұзындығы өтеді.

Шешуі.

1. Жақындасу жылдамдығы: $54 + 36 = 90$ км/сағ.
2. м/с-қа ауыстырамыз: $90$ км/сағ $= 90,000$ м : $3600$ с $= 25$ м/с.
3. Пойыздың ұзындығы: $25 \cdot 14 = 350$ м.

Жауабы: 350 м (D нұсқасы).

№ 315

Амалдарды орындаңдар: 1) $((45 - (16 \cdot 4 + 59) : 41 + 72) \cdot 3 + 158) : 25$; 2) $(5 \cdot ((18 \cdot 105 : 45 + 306) : 29 + 75) - 269) : 83$.

Қалай ойлаймыз. Ең ішкі жақшалардан баста. Жақша ішінде алдымен көбейту мен бөлу, сосын қосу мен азайту орындалады.

Шешуі. 1)

1. $16 \cdot 4 = 64$; $64 + 59 = 123$;
2. $123 : 41 = 3$;
3. $45 - 3 + 72 = 114$;
4. $114 \cdot 3 = 342$; $342 + 158 = 500$;
5. $500 : 25 = 20$.

2. 1. $18 \cdot 105 = 1890$; $1890 : 45 = 42$;
   2. $42 + 306 = 348$; $348 : 29 = 12$;
   3. $12 + 75 = 87$; $5 \cdot 87 = 435$;
   4. $435 - 269 = 166$;
   5. $166 : 83 = 2$.

Жауабы: 1) 20; 2) 2.

Жадынама

• ЕКОЕ $(4, 6) = 12$ — ең кіші ортақ еселік.
• Жіктеу арқылы: әр көбейткіш үлкен дәрежесімен. ЕКОЕ $(90, 24) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.
• ЕКОЕ үлкен саннан кем болмайды, ЕҮОБ кіші саннан артпайды.
• ЕҮОБ $(a, b) \cdot$ ЕКОЕ $(a, b) = a \cdot b$.
• ЕКОЕ — «қашан қайта сәйкес келеді», ЕҮОБ — «неше бірдей бөлікке бөлуге болады».

Шағын тест