3.2. Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 128–134-беттер.

Нені үйренесің

• Бір үлесті әртүрлі бөлшектермен жазуды: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$.
• Қажетті бөлімі бар бөлшекті табуды, мысалы $\frac{3}{4} = \frac{?}{100}$.
• Бөлшекті үш тәсілмен қысқартуды: бірден ЕҮОБ-қа бөлу, бірте-бірте бөлу, жай көбейткіштерге жіктеу.
• Қысқартылмайтын бөлшекті бір қарағанда тануды.

Ой қозғау

$CD$ кесіндісін сызып, оның ортасын $E$ деп белгіле. Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• $CE$ кесіндісі $CD$ кесіндісінің қандай бөлігі? Жартысы, яғни $\frac{1}{2}$.
• $CD$ кесіндісін 4 тең бөлікке бөл. $CE$ ішінде мұндай бөліктен нешеу бар? Екеу. Демек, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
• Ал $CD$ кесіндісін 8 бөлікке бөлсек ше? $CE$ ішіне 4 бөлік сияды. Демек, $\frac{2}{4} = \frac{4}{8}$ және $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$.
• $\frac{4}{8} = \frac{2}{4}$ және $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ теңдіктері дұрыс па? Иә: бұл — сол бір $CE$ кесіндісі, тек әртүрлі санды кесіндіге бөлінген.

💡 Ой қозғаудың басты ойы: бір үлесті әртүрлі бөлшектермен жазуға болады. Кесінді өзгерген жоқ — тек «тілімдеу» өзгерді.

Тақырыпты талдаймыз

Тағы бір рет кесілген пицца

Апаң пиццаны 4 кесекке кесті, сен соның 3-еуін жедің. Бұл — пиццаның $\frac{3}{4}$ бөлігі. Енді елестет: жер алдында әр кесекті тағы екіге бөлді. Кесек саны 8 болды, ал жеген кесегің 6 болды.

Сен пиццаның $\frac{6}{8}$ бөлігін жедің. Бірақ қарныңды алдай алмайсың: жегенің дәл сонша! Демек, $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$. Өзің тексеріп көр: оң жақ пиццаның алымы мен бөлімін өзгертіп, салыстыр.

Бөлшектердің басты ережесі

Әр кесекті екіге бөлгенде екі сан да 2 есе өсті: барлық кесек саны (бөлім) да, жеген кесек саны (алым) да. Ал бөлшектің өзі өзгермеді.

📌 Бөлшектің негізгі қасиеті. Алым мен бөлімді бірдей натурал санға көбейтуге немесе бөлуге болады — бөлшек одан өзгермейді: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ және $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$.

Міне, бұл жұмыс істегенде былай көрінеді: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$, ал $\frac{12}{16} = \frac{12 : 4}{16 : 4} = \frac{3}{4}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бөлімді көбейтеді: «$\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$». Көзіңмен тексер: $\frac{3}{8}$ — жарты бөліктен кіші, ал $\frac{3}{4}$ — одан үлкен. Төменде не істесең, жоғарыда да сонды істе.

Ал бірдей санды қосуға болмайды: $\frac{1}{2}$ және $\frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$ — бұлар енді басқа бөлшектер.

Қысқартамыз: бөлшекті «қысқа» жасаймыз

Бөлшекті қысқарту — алым мен бөлімді олардың ортақ бөлгішіне (1-ден өзгесіне) бөлу. Цифрлар кішірейеді, ал бөлшек сол күйінде қалады. Сен «алты сегізден бір» дегеннің орнына «төрттен үш» дегендей: жылдамырақ, мағынасы сол.

Егер алым мен бөлімнің ортақ бөлгіші тек 1 болса, әрі қарай қысқартуға болмайды. Мұндай бөлшек — қысқартылмайтын бөлшек: $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{12}$.

Қысқартудың үш тәсілі

1-тәсіл. Бірден ЕҮОБ-қа бөлу — ең жылдамы. $\frac{42}{63}$ бөлшегін алайық. $ЕҮОБ(42, 63) = 21$, сондықтан $\frac{42}{63} = \frac{42 : 21}{63 : 21} = \frac{2}{3}$. Бір қадаммен — дайын.

2-тәсіл. Бөлінгіштік белгілерін қолданып, бірте-бірте. $\frac{180}{315}$ бөлшегін алайық. Екі сан да 0 және 5-пен аяқталады — 5-ке бөлеміз: $\frac{36}{63}$. Екеуінің де цифрлар қосындысы 9 — 9-ға бөлеміз: $\frac{4}{7}$. Болды.

3-тәсіл. Жай көбейткіштерге жіктеу арқылы. $\frac{60}{225} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}$ бөлшегін алайық. Алым мен бөлімдегі бірдей көбейткіштерді қосақтап сызып тастаймыз — бір үштік пен бір бестікті. Қалғаны: $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}$.

Дәптерде аралық бөлуді әдетте жазбайды: сандарды сызып тастап, нәтижесін үстіне жазады, ал теңдік таңбасынан кейін бірден қысқартылған бөлшекті жазады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр қысқартудан кейін баладан сұраңыз: «Тағы қысқартуға бола ма?» Жиі кететін олқылық: $\frac{24}{36}$ бөлшегін 2-ге қысқартып, $\frac{12}{18}$ шығарып, тоқтап қалады. Жауапта қысқартылмайтын бөлшек болуы керек: $\frac{2}{3}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{35 + 28}{35 - 28}$ бөлшегінде «35-ті 35-пен қысқартады». Болмайды! Тек көбейткіштерді қысқартады, қосылғыштарды емес. Алдымен есепте: $\frac{63}{7} = 9$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлшектің негізгі қасиеті нені айтады? Бөлшектің алымы мен бөлімін бірдей натурал санға көбейтсе немесе бөлсе, берілген бөлшекке тең бөлшек шығады.
• Бөлшекті қысқарту дегеніміз не? Алым мен бөлімді олардың 1-ден өзге ортақ бөлгішіне бөлу.
• Жай бөлшек қалай қысқартылады? Ортақ бөлгішті (ең дұрысы — ЕҮОБ-ты) тауып, екі санды да соған бөледі. Бөлшек қысқартылмайтын болғанша бірте-бірте де бөлуге болады.
• Қандай бөлшекті қысқартылмайтын бөлшек деп атайды? Алымы мен бөлімі өзара жай сандар болатын бөлшекті: олардың ортақ бөлгіші тек 1.
• $\frac{6}{15}$ және $\frac{28}{63}$ бөлшектерін қысқарт. $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ (3-ке); $\frac{28}{63} = \frac{4}{9}$ (7-ге).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 375

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, бос орындарды толықтырғанда, берілген бөлшек қандай бөлшекке түрленеді (ауызша): 1) $\frac{7}{15}$ — 2-ге көбейт; 2) $\frac{13}{20}$ — 3-ке көбейт; 3) $\frac{10}{35}$ — 5-ке бөл; 4) $\frac{28}{49}$ — 7-ге бөл; 5) $\frac{18}{81}$ — 9-ға бөл.

Қалай ойлаймыз. Алыммен де, бөліммен де бір әрекетті жасаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{14}{30}$;
2. $\frac{13 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{39}{60}$;
3. $\frac{10 : 5}{35 : 5} = \frac{2}{7}$;
4. $\frac{28 : 7}{49 : 7} = \frac{4}{7}$;
5. $\frac{18 : 9}{81 : 9} = \frac{2}{9}$.

Жауабы: 1) $\frac{14}{30}$; 2) $\frac{39}{60}$; 3) $\frac{2}{7}$; 4) $\frac{4}{7}$; 5) $\frac{2}{9}$.

№ 376

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, теңдік «тура теңдік» болатын $x$-тің мәнін табыңдар: 1) $\frac{8}{20} = \frac{x}{5}$; 2) $\frac{9}{x} = \frac{3}{7}$; 3) $\frac{x}{16} = \frac{3}{4}$; 4) $\frac{10}{25} = \frac{2}{x}$.

Қалай ойлаймыз. Екі саны да белгілі жұпты ізде. Бір сан неше есе өзгерсе, екіншісі де сонша есе өзгереді.

Шешуі.

1. 20 саны 5 болды — 4 есе кеміді. Алым: $8 : 4 = 2$.
2. 9 саны 3 болды — 3 есе кеміді. Бөлім: $7 \cdot 3 = 21$, өйткені $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.
3. 4 саны 16 болды — 4 есе өсті. Алым: $3 \cdot 4 = 12$.
4. 10 саны 2 болды — 5 есе кеміді. Бөлім: $25 : 5 = 5$.

Жауабы: 1) $x = 2$; 2) $x = 21$; 3) $x = 12$; 4) $x = 5$.

№ 377

Натурал сандардың бөлінгіштік қасиетін пайдаланып, бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{14}{26}$, $\frac{18}{24}$, $\frac{24}{15}$, $\frac{25}{35}$, $\frac{81}{108}$; 2) $\frac{30}{42}$, $\frac{33}{39}$, $\frac{45}{51}$, $\frac{12}{60}$, $\frac{50}{100}$.

Қалай ойлаймыз. Екеуі де жұп — 2-ге бөл. Цифрлар қосындысы 3-ке бөлінсе — 3-ке бөл. 0 немесе 5-пен аяқталса — 5-ке бөл. Мүмкін болғанша осылай жалғастыр.

Шешуі.

1. $\frac{14}{26} = \frac{7}{13}$ (2-ге); $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (2-ге, сосын 3-ке); $\frac{24}{15} = \frac{8}{5}$ (3-ке); $\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ (5-ке); $\frac{81}{108} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ (9-ға, сосын 3-ке).
2. $\frac{30}{42} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$ (2-ге, сосын 3-ке); $\frac{33}{39} = \frac{11}{13}$ (3-ке); $\frac{45}{51} = \frac{15}{17}$ (3-ке); $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ (12-ге); $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ (50-ге).

Жауабы: 1) $\frac{7}{13}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{4}$; 2) $\frac{5}{7}$, $\frac{11}{13}$, $\frac{15}{17}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{2}$.

№ 378

Бөлшектің алымы мен бөлімінің ең үлкен ортақ бөлгішін тауып, бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{42}{26}$, $\frac{35}{77}$, $\frac{48}{60}$, $\frac{72}{96}$, $\frac{56}{70}$; 2) $\frac{72}{90}$, $\frac{60}{105}$, $\frac{45}{150}$, $\frac{84}{120}$, $\frac{96}{100}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен алым мен бөлімнің ЕҮОБ-ын табамыз, сосын екі санды да соған бөлеміз — бөлшек бірден қысқартылмайтын болады.

Шешуі.

Жауабы: 1) $\frac{21}{13}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{4}{5}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{24}{25}$.

№ 379

Бос орындарды толтырыңдар: 1) $\frac{5}{9} = \frac{?}{27} = \frac{25}{?} = \frac{40}{?}$; 2) $\frac{7}{6} = \frac{21}{?} = \frac{?}{30} = \frac{49}{?}$; 3) $\frac{3}{4} = \frac{?}{24} = \frac{24}{?} = \frac{?}{48}$; 4) $\frac{2}{3} = \frac{?}{15} = \frac{14}{?} = \frac{?}{27}$.

Қалай ойлаймыз. Әр бөлшекті бірінші бөлшекпен салыстыр: белгілі сан неше есе өссе, жетіспейтін сан да сонша есе өседі.

Шешуі.

1. $27 = 9 \cdot 3$, демек, алым $5 \cdot 3 = 15$; $25 = 5 \cdot 5$, бөлім $9 \cdot 5 = 45$; $40 = 5 \cdot 8$, бөлім $9 \cdot 8 = 72$.
2. $21 = 7 \cdot 3$ → $6 \cdot 3 = 18$; $30 = 6 \cdot 5$ → $7 \cdot 5 = 35$; $49 = 7 \cdot 7$ → $6 \cdot 7 = 42$.
3. $24 = 4 \cdot 6$ → $3 \cdot 6 = 18$; $24 = 3 \cdot 8$ → $4 \cdot 8 = 32$; $48 = 4 \cdot 12$ → $3 \cdot 12 = 36$.
4. $15 = 3 \cdot 5$ → $2 \cdot 5 = 10$; $14 = 2 \cdot 7$ → $3 \cdot 7 = 21$; $27 = 3 \cdot 9$ → $2 \cdot 9 = 18$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{9} = \frac{15}{27} = \frac{25}{45} = \frac{40}{72}$; 2) $\frac{7}{6} = \frac{21}{18} = \frac{35}{30} = \frac{49}{42}$; 3) $\frac{3}{4} = \frac{18}{24} = \frac{24}{32} = \frac{36}{48}$; 4) $\frac{2}{3} = \frac{10}{15} = \frac{14}{21} = \frac{18}{27}$.

№ 380

1) $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{9}{20}$, $\frac{2}{25}$, $\frac{9}{50}$ бөлшектерін бөлімі 100-ге тең бөлшек түрінде жазыңдар; 2) $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{11}{30}$ бөлшектерін бөлімі 60-қа тең бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бөлімді ескі бөлімге бөлеміз — көбейткіш шығады. Алымды соған көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4}$: $100 : 4 = 25$, $\frac{75}{100}$; $\frac{1}{2}$: көбейткіш 50, $\frac{50}{100}$; $\frac{3}{5}$: көбейткіш 20, $\frac{60}{100}$; $\frac{3}{10}$: көбейткіш 10, $\frac{30}{100}$; $\frac{9}{20}$: көбейткіш 5, $\frac{45}{100}$; $\frac{2}{25}$: көбейткіш 4, $\frac{8}{100}$; $\frac{9}{50}$: көбейткіш 2, $\frac{18}{100}$.
2. $\frac{2}{3}$: $60 : 3 = 20$, $\frac{40}{60}$; $\frac{1}{2}$: көбейткіш 30, $\frac{30}{60}$; $\frac{3}{4}$: көбейткіш 15, $\frac{45}{60}$; $\frac{1}{6}$: көбейткіш 10, $\frac{10}{60}$; $\frac{4}{15}$: көбейткіш 4, $\frac{16}{60}$; $\frac{7}{20}$: көбейткіш 3, $\frac{21}{60}$; $\frac{11}{30}$: көбейткіш 2, $\frac{22}{60}$.

Жауабы: 1) $\frac{75}{100}$, $\frac{50}{100}$, $\frac{60}{100}$, $\frac{30}{100}$, $\frac{45}{100}$, $\frac{8}{100}$, $\frac{18}{100}$; 2) $\frac{40}{60}$, $\frac{30}{60}$, $\frac{45}{60}$, $\frac{10}{60}$, $\frac{16}{60}$, $\frac{21}{60}$, $\frac{22}{60}$.

💡 Бөлімі 100 болатын бөлшек — бұл пайыз. $\frac{75}{100}$ — бұл 75 %. Жақында керек болады!

№ 381

1) Бақта 42 жеміс ағашы өсіп тұр. Оның 14-і алма ағаштары. Бақтағы жеміс ағаштарының қандай бөлігі алма ағаштары? 2) Туристер межелеген 162 км қашықтықтың 108 километрін автобуспен жүрді. Туристер межелеген қашықтықтың қандай бөлігін автобуспен жүрді?

Қалай ойлаймыз. Бөлік — бұл «қанша алдық / барлығы қанша» бөлшегі. Сосын қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{14}{42}$. $ЕҮОБ(14, 42) = 14$, демек, $\frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.
2. $\frac{108}{162}$. $ЕҮОБ(108, 162) = 54$: $108 : 54 = 2$, $162 : 54 = 3$. Шығатыны $\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) ағаштардың $\frac{1}{3}$ бөлігі; 2) жолдың $\frac{2}{3}$ бөлігі.

B деңгейі

№ 382

Сағаттардың уақытты көрсету моделі бойынша (3.7-сурет) бос орындарды ($\square$, $\triangle$) толықтырып, тең бөлшектерді жазыңдар: 1) $\frac{1}{6} = \frac{\square}{12} = \frac{10}{\triangle}$; 2) $\frac{1}{3} = \frac{4}{\square} = \frac{\triangle}{60}$; 3) $\frac{2}{3} = \frac{\square}{12} = \frac{40}{60}$; 4) $\frac{5}{6} = \frac{10}{\square} = \frac{\triangle}{60}$.

Қалай ойлаймыз. Тұтас сағат — тұтас дөңгелек. Циферблатта 12 үлкен бөлік және 60 минут бар. Суреттерде минут тілі 10, 20, 40 және 50 минутты көрсетіп тұр.

Шешуі.

1. 10 минут: 12 бөліктің 2-еуі, яғни сағаттың $\frac{2}{12}$ бөлігі, ал 60 минуттың 10-ы — $\frac{10}{60}$. Мұның бәрі сағаттың $\frac{1}{6}$ бөлігі.
2. 20 минут: 12 бөліктің 4-еуі және 60 минуттың 20-сы. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$.
3. 40 минут: 12 бөліктің 8-і. $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} = \frac{40}{60}$.
4. 50 минут: 12 бөліктің 10-ы. $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$.

Теңдіктер дұрыс: әр бөлшек біріншісінен алым мен бөлімді 2-ге немесе 10-ға көбейту арқылы шығады.

Жауабы: 1) $\frac{1}{6} = \frac{2}{12} = \frac{10}{60}$; 2) $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$; 3) $\frac{2}{3} = \frac{8}{12} = \frac{40}{60}$; 4) $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$.

№ 383

Бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{15}{18}$; $\frac{24}{30}$; $\frac{28}{32}$; $\frac{45}{75}$; $\frac{75}{300}$; $\frac{125}{1000}$; 2) $\frac{21}{360}$; $\frac{35}{700}$; $\frac{54}{900}$; $\frac{24}{600}$; $\frac{48}{800}$; $\frac{75}{1000}$.

Қалай ойлаймыз. Ең үлкен ортақ бөлгішті ізде — сонда бір қадам жеткілікті болады.

Шешуі.

1. $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ (3-ке); $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$ (6-ға); $\frac{28}{32} = \frac{7}{8}$ (4-ке); $\frac{45}{75} = \frac{3}{5}$ (15-ке); $\frac{75}{300} = \frac{1}{4}$ (75-ке); $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ (125-ке).
2. $\frac{21}{360} = \frac{7}{120}$ (3-ке); $\frac{35}{700} = \frac{1}{20}$ (35-ке); $\frac{54}{900} = \frac{3}{50}$ (18-ге); $\frac{24}{600} = \frac{1}{25}$ (24-ке); $\frac{48}{800} = \frac{3}{50}$ (16-ға); $\frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$ (25-ке).

Жауабы: 1) $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{120}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{3}{50}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{3}{50}$, $\frac{3}{40}$.

№ 384

$\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{3}{4}$ бөлшектерін бөлімі 12 саны болатын бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ескі бөлім 12-нің ішіне неше рет сиса, алымды сонша есе көбейтеміз.

Шешуі. $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}$; $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.

Жауабы: $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{2}{12}$, $\frac{9}{12}$.

№ 385

Бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{6 \cdot 15}{5 \cdot 12}$; 2) $\frac{11 \cdot 9}{15 \cdot 22}$; 3) $\frac{18 \cdot 21}{14 \cdot 36}$; 4) $\frac{45 \cdot 17}{17 \cdot 35}$; 5) $\frac{81 \cdot 12}{24 \cdot 45}$; 6) $\frac{56 \cdot 16}{48 \cdot 49}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтудің қажеті жоқ — ол артық жұмыс! Жоғарыдағы кез келген көбейткішті төмендегі кез келген көбейткішпен қысқартуға болады.

Шешуі.

1. 6 және 12 — 6-ға: 1 және 2 қалады. 15 және 5 — 5-ке: 3 және 1 қалады. Шығатыны $\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.
2. 11 және 22 — 11-ге: 1 және 2. 9 және 15 — 3-ке: 3 және 5. Шығатыны $\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
3. 18 және 36 — 18-ге: 1 және 2. 21 және 14 — 7-ге: 3 және 2. Шығатыны $\frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.
4. 17 және 17 толық қысқарады. Қалатыны $\frac{45}{35} = \frac{9}{7}$.
5. 12 және 24 — 12-ге: 1 және 2. 81 және 45 — 9-ға: 9 және 5. Шығатыны $\frac{9}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}$.
6. 56 және 49 — 7-ге: 8 және 7. 16 және 48 — 16-ға: 1 және 3. Шығатыны $\frac{8}{7 \cdot 3} = \frac{8}{21}$.

Жауабы: 1) $\frac{3}{2}$; 2) $\frac{3}{10}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{9}{7}$; 5) $\frac{9}{10}$; 6) $\frac{8}{21}$.

№ 386

Қорапшада 12 қалам бар. Оның 2-еуі қызыл түсті, 6-уы көк түсті, қалғаны жасыл түсті. Қорапшадағы қаламдардың қандай бөлігі қызыл түсті, қандай бөлігі көк түсті, қандай бөлігі жасыл түсті?

Қалай ойлаймыз. Алдымен жасыл қаламның санын табамыз. Сосын әр түсті 12-нің ішіндегі бөлшекпен жазып, қысқартамыз.

Шешуі.

1. Жасыл қалам: $12 - 2 - 6 = 4$.
2. Қызыл: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
3. Көк: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ — диаграммада дәл жарты дөңгелек.
4. Жасыл: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Тексеру: $\frac{2}{12} + \frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{12}{12}$ — бүкіл қорапша.

Жауабы: қызыл — $\frac{1}{6}$, көк — $\frac{1}{2}$, жасыл — $\frac{1}{3}$.

№ 387

Жанар, Эльвира және Света бір вагонда отырып, бір-бірімен танысты. Олар 5-сыныпта, 6-сыныпта және 7-сыныпта оқиды. Олар Қызылордаға, Ақтөбеге және Оралға барады. Жанар 7-сыныпта оқиды. Ол Оралға бара жатқан жоқ. Оралға баратын қыз 5-сыныпта оқиды. Эльвира Қызылордаға бара жатқан жоқ. Ол 6-сыныпта оқиды. Кім қайда барады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — детективтегідей логикалық есеп. Алдымен кім қай сыныпта оқитынын, сосын қалаларды анықтаймыз.

Шешуі.

1. Жанар — 7-сынып, Эльвира — 6-сынып. Демек, Света — 5-сынып.
2. Оралға бесінші сыныптың қызы барады, яғни Света.
3. Эльвира Қызылордаға бармайды және Оралға да бармайды (ол жақта Света). Демек, Ақтөбеге барады.
4. Жанарға Қызылорда қалады.

Жауабы: Жанар — Қызылордаға, Эльвира — Ақтөбеге, Света — Оралға.

№ 388

Бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{35 + 28}{35 - 28}$; 2) $\frac{75 - 33}{75 + 33}$; 3) $\frac{24 + 3}{24 - 3}$; 4) $\frac{15 + 6}{15 - 6}$; 5) $\frac{12 - 3}{12 + 3}$; 6) $\frac{26 + 2}{26 - 2}$.

Қалай ойлаймыз. Тұзақ! Қосылғыштарды қысқартуға болмайды. Алдымен жоғарыны және төменді есептейміз, сосын қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{63}{7} = 9$;
2. $\frac{42}{108} = \frac{7}{18}$ (6-ға);
3. $\frac{27}{21} = \frac{9}{7}$ (3-ке);
4. $\frac{21}{9} = \frac{7}{3}$ (3-ке);
5. $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ (3-ке);
6. $\frac{28}{24} = \frac{7}{6}$ (4-ке).

Жауабы: 1) 9; 2) $\frac{7}{18}$; 3) $\frac{9}{7}$; 4) $\frac{7}{3}$; 5) $\frac{3}{5}$; 6) $\frac{7}{6}$.

C деңгейі

№ 389

3.8-суретте кескінделген фигуралардың: 1) қандай бөлігі боялған? 2) қандай бөлігі боялмаған? Бірнеше тәсілдермен жазып, теңдік құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретте: а) 6 тең үшбұрыштан тұратын алтыбұрыш, 2-еуі боялған; ә) 16 торкөзден тұратын шаршы, 8-і боялған; б) 12 секторға бөлінген дөңгелек, 9-ы боялған; в) 15 торкөзден тұратын тікбұрыш, 6-ы боялған. «Боялғаны / барлығы» деп жазамыз, сосын қысқартамыз.

Шешуі. а) Боялған $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, боялмаған $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. ә) Боялған $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$, боялмаған $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. б) Боялған $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$, боялмаған $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. в) Боялған $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$, боялмаған $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Теңдіктер: $\frac{2}{6} = \frac{2 : 2}{6 : 2} = \frac{1}{3}$; $\frac{8}{16} = \frac{8 : 8}{16 : 8} = \frac{1}{2}$; $\frac{9}{12} = \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}$; $\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$. Байқа: $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ — дөңгелектің төрттен үші боялған, ал $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ — шаршының жартысы.

Жауабы: а) $\frac{1}{3}$ және $\frac{2}{3}$; ә) $\frac{1}{2}$ және $\frac{1}{2}$; б) $\frac{3}{4}$ және $\frac{1}{4}$; в) $\frac{2}{5}$ және $\frac{3}{5}$.

№ 390

Бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5}{3^{2} \cdot 2^{3}}$; 2) $\frac{45 \cdot 4^{2}}{80 \cdot 3^{2}}$; 3) $\frac{7^{3} \cdot 2^{3}}{16 \cdot 49}$; 4) $\frac{11 \cdot 9 \cdot 5}{3^{3} \cdot 11^{2}}$; 5) $\frac{5^{2} \cdot 3^{3}}{9 \cdot 25}$; 6) $\frac{5^{3} \cdot 29}{87 \cdot 25}$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежелерді және сандарды жай көбейткіштерге жіктеп, жоғарыдағы мен төмендегі бірдей жұптарды сызып тастаймыз.

Шешуі.

1. $2^3$ толық қысқарады; $\frac{3^3}{3^2} = 3$. Қалатыны $3 \cdot 5 = 15$.
2. $45 = 9 \cdot 5$, $4^2 = 16$, $80 = 16 \cdot 5$, $3^2 = 9$. Жоғарыда $9 \cdot 5 \cdot 16$, төменде $16 \cdot 5 \cdot 9$ — бәрі қысқарады, шығатыны 1.
3. $7^3 = 49 \cdot 7$, $2^3 = 8$. $\frac{49 \cdot 7 \cdot 8}{16 \cdot 49} = \frac{7 \cdot 8}{16} = \frac{7}{2}$.
4. $9 = 3^2$. $\frac{11 \cdot 3^2 \cdot 5}{3^3 \cdot 11^2} = \frac{5}{3 \cdot 11} = \frac{5}{33}$.
5. $5^2 = 25$, $3^3 = 27$. $\frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 25} = \frac{27}{9} = 3$.
6. $87 = 3 \cdot 29$, $5^3 = 125$. $\frac{125 \cdot 29}{3 \cdot 29 \cdot 25} = \frac{5}{3}$.

Жауабы: 1) 15; 2) 1; 3) $\frac{7}{2}$; 4) $\frac{5}{33}$; 5) 3; 6) $\frac{5}{3}$.

№ 391

3 кг қантты әрқайсысында $\frac{1}{4}$ кг қант болатын неше пакетке салуға болады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір килограммды талда, сосын 3-ке көбейт.

Шешуі. 1 кг-да $\frac{1}{4}$ кг төрт рет бар — бұл 4 пакет. 3 кг-да: $3 \cdot 4 = 12$ пакет.

Жауабы: 12 пакет.

№ 392

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, бөлшектің алымын көбейтінді түрінде жазып, қысқартыңдар: 1) $\frac{35 \cdot 28 + 35 \cdot 32}{60 \cdot 15}$; 2) $\frac{57 \cdot 62 - 57 \cdot 34}{28 \cdot 19}$; 3) $\frac{48 \cdot 31 + 48 \cdot 19}{16 \cdot 100}$; 4) $\frac{17 \cdot 96 - 17 \cdot 24}{48 \cdot 85}$.

Қалай ойлаймыз. Алымда қосынды тұр — оны қысқартуға болмайды. Бірақ ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарсақ, қосынды көбейтіндіге айналады, ал көбейтіндіні қысқартуға болады.

Шешуі.

1. Алымы: $35 \cdot (28 + 32) = 35 \cdot 60$. $\frac{35 \cdot 60}{60 \cdot 15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3}$.
2. Алымы: $57 \cdot (62 - 34) = 57 \cdot 28$. $\frac{57 \cdot 28}{28 \cdot 19} = \frac{57}{19} = 3$.
3. Алымы: $48 \cdot (31 + 19) = 48 \cdot 50$. $\frac{48 \cdot 50}{16 \cdot 100} = \frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$ (48 және 16 — 16-ға; 50 және 100 — 50-ге).
4. Алымы: $17 \cdot (96 - 24) = 17 \cdot 72$. $\frac{17 \cdot 72}{48 \cdot 85}$: 17 және 85 — 17-ге (1 және 5); 72 және 48 — 24-ке (3 және 2). Шығатыны $\frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{3}$; 2) 3; 3) $\frac{3}{2}$; 4) $\frac{3}{10}$.

№ 393

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, $x$-ті табыңдар: 1) $\frac{5x - 11}{7} = \frac{32}{56}$; 2) $\frac{7x - 9}{12} = \frac{35}{84}$; 3) $\frac{2x + 7}{17} = \frac{60}{68}$.

Қалай ойлаймыз. Оң жақтағы бөлшекті бөлімдері бірдей болатындай етіп қысқарт. Бөлшектер тең және бөлімдері бірдей болса, алымдары да бірдей — қарапайым теңдеу шығады.

Шешуі.

1. $\frac{32}{56} = \frac{4}{7}$ (8-ге). Демек, $5x - 11 = 4$, $5x = 15$, $x = 3$.
2. $\frac{35}{84} = \frac{5}{12}$ (7-ге). Демек, $7x - 9 = 5$, $7x = 14$, $x = 2$.
3. $\frac{60}{68} = \frac{15}{17}$ (4-ке). Демек, $2x + 7 = 15$, $2x = 8$, $x = 4$.

Жауабы: 1) $x = 3$; 2) $x = 2$; 3) $x = 4$.

№ 394

Бөлшектің алымын көбейтінді түрінде жазып, бөлшекті қысқартыңдар: 1) $\frac{x^{2} + xy}{x^{2}}$; 2) $\frac{4a + 12ab}{12a}$; 3) $\frac{5m^{2} - m^{2}}{8m}$; 4) $\frac{3x + 6y}{5x + 10y}$.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Әріптер қарапайым сандар сияқты әрекет етеді. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарып, бірдей көбейткіштерді қысқартамыз (әріптер нөлге тең емес деп есептейміз).

Шешуі.

1. $x^2 + xy = x(x + y)$, $x^2 = x \cdot x$. $\frac{x(x + y)}{x \cdot x} = \frac{x + y}{x}$.
2. $4a + 12ab = 4a(1 + 3b)$. $\frac{4a(1 + 3b)}{12a} = \frac{1 + 3b}{3}$.
3. $5m^2 - m^2 = 4m^2 = 4 \cdot m \cdot m$. $\frac{4 \cdot m \cdot m}{8 \cdot m} = \frac{m}{2}$.
4. $3x + 6y = 3(x + 2y)$, $5x + 10y = 5(x + 2y)$. $\frac{3(x + 2y)}{5(x + 2y)} = \frac{3}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{x + y}{x}$; 2) $\frac{1 + 3b}{3}$; 3) $\frac{m}{2}$; 4) $\frac{3}{5}$.

№ 395

Ертедегі орыс есебі. Базарда сиырдың бағасы иттің бағасынан 4 есе қымбат, бірақ аттың бағасынан 4 есе арзан. Біреу базардан 200 рубльге бір ит, бір ат және екі сиыр сатып алыпты. Иттің бағасы неше рубль? Сиырдың бағасы неше рубль?

Қалай ойлаймыз. Ең арзан жануар — ит. Оның бағасын 1 бөлік деп алып, қалғандарын бөліктермен өрнектейміз.

Шешуі.

1. Ит — 1 бөлік. Сиыр — $1 \cdot 4 = 4$ бөлік. Ат — $4 \cdot 4 = 16$ бөлік.
2. Сатып алынғаны: $1 + 16 + 2 \cdot 4 = 25$ бөлік.
3. Бір бөлік: $200 : 25 = 8$ рубль — иттің бағасы.
4. Сиыр: $8 \cdot 4 = 32$ рубль.

Тексеру: ат $32 \cdot 4 = 128$ рубль; $8 + 128 + 2 \cdot 32 = 200$. Дұрыс.

Жауабы: ит 8 рубль тұрады, сиыр — 32 рубль.

Жадынама

• $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a : n}{b : n}$ — төменде не істесең, жоғарыда да сол.
• Бөлімі жаңа бөлшекке келтіру: жаңа бөлім : ескі бөлім = алымға көбейткіш.
• Қысқартудың ең ыңғайлысы — бірден ЕҮОБ-қа бөлу.
• Жауапта әрқашан қысқартылмайтын бөлшек болады.
• Қосындыны алдымен есепте, сосын қысқарт.

Шағын тест