3.10. Аликвоттық бөлшектер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 182–185-беттер.

Бұл — қосымша оқуға арналған тармақ. Тақырып міндетті емес, бірақ өте пайдалы: бөлшектерді қосуды жаттықтырады және заттарды тең бөлудің айлалы жолдарын үйретеді.

Нені үйренесің

• Аликвоттық (бірлік) бөлшектерді, яғни алымы 1-ге тең бөлшектерді танып білуді.
• Олардың әрқайсысы неге 1-ден кіші екенін және неге ең үлкені $\frac{1}{2}$ екенін түсіндіруді.
• Кез келген бөлшекті бөлімдері әртүрлі бірлік бөлшектердің қосындысына жіктеуді — Ежелгі Мысырдағыдай.
• Қауынды, алманы, кәмпитті әрқайсысын ұсақ-ұсақ бөлікке турамай, тең бөлуді.
• $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$ пайдалы теңдігін қолдануды.

Ой қозғау

Алдымен ойша шығар, содан кейін жауабын ашып қара.

• $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = ?$ $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
• $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = ?$ $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Қайсысы үлкен: $\frac{1}{5}$ па, әлде $\frac{1}{8}$ ба? Алымдары тең болса, бөлімі кіші бөлшек үлкен: $\frac{1}{5} > \frac{1}{8}$. Пиццаны 5 адамға бөлгенде тілімдер 8 адамға бөлгеннен ірі болады.

💡 Алғашқы екі мысалды кері қарай оқып көр: $\frac{3}{4}$ — бұл $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Бүгін біз бөлшектерді дәл осындай алымы 1-ге тең кесектерге «бөлшектейміз».

Тақырыпты талдаймыз

«Жалғызбасты» бөлшектер

Аликвоттық бөлшек — алымы 1-ге тең, бөлімі 1-ден өзге натурал сан болатын бөлшек: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{99}$. Ол бүтіннің дәл бір үлесін ғана көрсетеді, сондықтан оны бірлік бөлшек деп те атайды.

🌟 «Аликвот» сөзі латынның aliquot сөзінен шыққан, аудармасы — «бірнешеу». Ежелгі мысырлықтар «нағыз бөлшек» деп тек осындай бөлшектерді санаған. Қалғандарын бәрін әртүрлі бөлімді бірлік бөлшектердің қосындысы етіп жазған.

Қайсысы үлкен, қайсысы кіші

• Кез келген бірлік бөлшек — дұрыс бөлшек: 1 бөлімнен кіші. Демек, ол 1-ден кіші.
• Бөлім үлкен болған сайын бөлшек кішірейеді: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \ldots$
• Ең үлкені — $\frac{1}{2}$ (бөлімі 1 болуға болмайды).
• Ең кішісі жоқ: қайсысын алсаң да, $\frac{1}{n + 1}$ одан да кіші болады.

Бөлшекті мысырлықша қалай жіктейміз

«Алымды бөлшектеу» тәсілі. Алымды қосылғыштарға жіктейміз, әр қосылғыш бөлімнің бөлгіші болсын. Сонда әр бөлшек қысқарып, алымы 1-ге тең болады.

$\frac{7}{12} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ (4, 2 және 1 — 12-нің бөлгіштері).

Қолайлы бөлгіштер аз болса, алдымен бөлшекті ыңғайлы санға көбейтеміз: $\frac{2}{7} = \frac{12}{42} = \frac{7}{42} + \frac{3}{42} + \frac{2}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{14} + \frac{1}{21}$.

🌟 Мысыр хатшылары мұндай жіктемелердің тұтас кестесін жасаған. Соның бірі — Ахмес папирусы (шамамен біздің заманымызға дейінгі 2000 жыл). Мысалы, онда $\frac{2}{13} = \frac{1}{8} + \frac{1}{52} + \frac{1}{104}$ деп жазылған. Тексер: $\frac{16}{104} = \frac{13}{104} + \frac{2}{104} + \frac{1}{104}$.

«Жартысын алып тастау» тәсілі. Бөлшек $\frac{1}{2}$-ден үлкен болса, одан $\frac{1}{2}$-ді алып тастап, қалғанын жіктейміз: $\frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$. Теңдік дұрыс, бірақ бөлімдері бірдей — мысырлықтар олай жазбаған. Дұрысы, мысалы: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$.

Бірлік бөлшектің өзін де жіктеуге болады

Сиқырлы ереже: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$.

Мысалы, $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$. Тексерейік: $\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ ✓.

Осыдан мынау да шығады: $\frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$. Мысалы, $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.

Бұл не үшін керек: тең бөлеміз

Олжас, Нұртас және Алмас 2 қауын сатып алды. Әрқайсысына $\frac{2}{3}$ қауыннан тиеді. Әр қауынды үш бөлікке кесу ыңғайсыз. Бірақ $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$! Екі қауынды да екіге кесеміз, әрқайсысы бір жартыдан алады, ал соңғы жартыны үшке бөлеміз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл тақырып ас үйде жақсы жаттығады. Баладан сұраңыз: «3 нанды 4 адамға қалай бөлеміз?» ($\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$: екі нанды екіге бөлеміз, біреуін төртке.) Бала алдымен сызып көрсін, содан кейін теңдікті жазсын.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай бөлшектер аликвоттық бөлшектер деп аталады? Алымы 1-ге тең, бөлімі 1-ден өзге натурал сан болатын бөлшектер, мысалы $\frac{1}{7}$.
• Аликвоттық бөлшек дұрыс бөлшек пе, әлде бұрыс бөлшек пе? Дұрыс: алымы 1 әрқашан бөлімінен кіші. Сондықтан әрбір аликвоттық бөлшек 1-ден кіші.
• Ең үлкен аликвоттық бөлшек неге тең? $\frac{1}{2}$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 560

$\frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{3}{5}, \frac{7}{10}, \frac{1}{21}, \frac{1}{45}, \frac{5}{8}, \frac{1}{8}$ бөлшектерінен аликвоттық бөлшектерді теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тек алымына қараймыз: ол 1-ге тең болуы керек.

Шешуі. $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{21}$, $\frac{1}{45}$ және тағы бір $\frac{1}{8}$ сәйкес келеді (ол қатарда екі рет кездеседі).

Жауабы: $\frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{21}, \frac{1}{45}, \frac{1}{8}$.

№ 561

$\frac{3}{4}, \frac{5}{7}, \frac{7}{8}, \frac{2}{3}, \frac{5}{9}$ бөлшектерін бөлімдері әртүрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңдар. Үлгі: $\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$ немесе $\frac{1}{2} + \frac{1}{12}$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{1}{2}$-ден бастаған ыңғайлы: оны алып тастап, қалғанын жіктейміз. Жауап бірнешеу болуы мүмкін — теңдік дұрыс, бөлімдері әртүрлі болса болғаны.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$;
2. $\frac{5}{7} = \frac{10}{14} = \frac{7}{14} + \frac{2}{14} + \frac{1}{14} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$;
3. $\frac{7}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$;
4. $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$;
5. $\frac{5}{9} = \frac{10}{18} = \frac{9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.

Жауабы: мысалы, $\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$; $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$; $\frac{7}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$; $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$; $\frac{5}{9} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18}$.

№ 562

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}$ бөлшектерін бөлімдері әртүрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңдар. Үлгі: $\frac{1}{8} = \frac{5}{40} = \frac{4}{40} + \frac{1}{40} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40}$.

Қалай ойлаймыз. 3-ке көбейтеміз: $\frac{1}{n} = \frac{3}{3n} = \frac{2}{3n} + \frac{1}{3n}$. Мұндағы бөлімдер жұп, сондықтан $\frac{2}{3n}$ бөлшегі 2-ге қысқарады.

Шешуі.

1. $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$;
2. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$;
3. $\frac{1}{6} = \frac{3}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$;
4. $\frac{1}{8} = \frac{3}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$ (немесе үлгідегідей $\frac{1}{10} + \frac{1}{40}$);
5. $\frac{1}{10} = \frac{3}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30}$.

Жауабы: $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$; $\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{12}$; $\frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$; $\frac{1}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$; $\frac{1}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30}$ (басқа дұрыс жіктемелер де болуы мүмкін).

№ 563

1) Олжас, Нұртас және Алмас ақшаларын қосып, 2 қауын сатып алды. Олар қауындардың өздеріне тиісті үлестерін үйлеріне алып кетуге келісті. Балалар қауындардың ешқайсысын 3 үлеске бөлмей, қалай тең бөліп алады? 2) Ұзындықтары бірдей 3 шілтерді метрлік сызғышты пайдаланып өлшемей, өзара тең 5 бөлікке бөлу керек. Шілтерлердің ешқайсысын 5 бөлікке бөлмей, қалай тең бөліп алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен әрқайсысына қанша тиетінін анықтап, оны бірлік бөлшектерге жіктейміз. Әр бөлшек қалай кесуді өзі айтып тұрады.

Шешуі.

1. Әрқайсысына $\frac{2}{3}$ қауыннан тиеді. $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$. Екі қауынды да екіге кесеміз — 4 жарты шығады. Үшеуі бір-бір жарты алады. Соңғы жартыны үшке бөлеміз — әрқайсысына тағы $\frac{1}{6}$ қауыннан тиеді.
2. Әрқайсысына $\frac{3}{5}$ шілтерден тиеді. $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10}$. Әр шілтерді екіге бүктеп, қиып аламыз — 6 жарты шығады. Бесеуі бір-бір жарты алады. Соңғы жартыны 5 тең бөлікке бөлеміз — әрқайсысына тағы $\frac{1}{10}$ тиеді.

Жауабы: 1) әрқайсысы жарты қауын және $\frac{1}{6}$ қауын алады; 2) әрқайсысы жарты шілтер және $\frac{1}{10}$ шілтер алады.

B деңгейі

№ 564

3.37-суреттегі тік төртбұрыштың қандай бөлігі: 1) көк түспен боялғанын; 2) сұр түспен боялғанын; 3) боялмағанын пайдаланып, 1 санын аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңдар. (Сурет: 6 тор көзден тұратын тік төртбұрыш — 3 көк, 2 сұр, 1 боялмаған.)

Қалай ойлаймыз. Әр бөлікті бөлімі 6 болатын бөлшекпен жазып, қысқартамыз — бірлік бөлшектер шығады.

Шешуі.

1. Көк: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
2. Сұр: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
3. Боялмаған: $\frac{1}{6}$.

Үшеуі бірге бүкіл тік төртбұрышты құрайды: $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. Тексеру: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✓.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{1}{6}$; $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

№ 565

$\frac{5}{12}, \frac{9}{10}, \frac{2}{11}, \frac{8}{15}, \frac{15}{16}$ бөлшектерін бөлімдері әртүрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі тәсілді де байқап көр: «алымды бөлгіштерге жікте» және «алдымен көбейт, сосын жікте». $\frac{15}{16}$ үшін «жартысын алып тастау» тәсілін қатарынан бірнеше рет қолдану қолайлы.

Шешуі.

1. $\frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$;
2. $\frac{9}{10} = \frac{27}{30} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{2}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$;
3. $\frac{2}{11} = \frac{12}{66} = \frac{11}{66} + \frac{1}{66} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$;
4. $\frac{8}{15} = \frac{16}{30} = \frac{15}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$;
5. $\frac{15}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.

Жауабы: мысалы, $\frac{5}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12}$; $\frac{9}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$; $\frac{2}{11} = \frac{1}{6} + \frac{1}{66}$; $\frac{8}{15} = \frac{1}{2} + \frac{1}{30}$; $\frac{15}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$.

№ 566

$\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}$ бөлшектерін бөлімдері әртүрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері тақ, сондықтан «3-ке көбейту» тәсілі жүрмейді. Ережені қолданамыз: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n \cdot (n + 1)}$. Ол қайдан шығады: $\frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n(n + 1)} + \frac{1}{n(n + 1)}$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$;
2. $\frac{1}{5} = \frac{6}{30} = \frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$;
3. $\frac{1}{7} = \frac{8}{56} = \frac{7}{56} + \frac{1}{56} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$;
4. $\frac{1}{9} = \frac{10}{90} = \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$;
5. $\frac{1}{11} = \frac{12}{132} = \frac{11}{132} + \frac{1}{132} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$.

Жауабы: $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$; $\frac{1}{5} = \frac{1}{6} + \frac{1}{30}$; $\frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$; $\frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90}$; $\frac{1}{11} = \frac{1}{12} + \frac{1}{132}$.

№ 567

5 алманы 6 бала тең бөліп алулары керек. Алмалардың ешқайсысын 6 үлеске бөлмей, қандай тәсілмен тең бөліп ала алады?

Қалай ойлаймыз. Әр балаға $\frac{5}{6}$ алмадан тиеді. Бұл бөлшекті бірлік бөлшектерге жіктесек, қалай кесуге болатыны түсінікті болады.

Шешуі.

1. $\frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
2. Үш алманы екіге кесеміз — 6 жарты шығады, әр балаға бір-бірден.
3. Екі алманы үшке бөлеміз — 6 үштен бір бөлік шығады, әр балаға бір-бірден.

Тексеру: барлығы $3 + 2 = 5$ алма кесілді ✓.

Жауабы: әр бала жарты алма және $\frac{1}{3}$ алма алады.

№ 568

7 тақта кәмпитті 10 балаға тең бөліп беру керек. Тақта кәмпиттердің әрқайсысын 5-тен артық емес бөліктерге бөліп, балаларға қалайша тең бөліп беруге болады?

Қалай ойлаймыз. Әр балаға $\frac{7}{10}$ тақтадан тиеді. Бөлімдері 5-тен аспайтын жіктеме іздейміз.

Шешуі.

1. $\frac{7}{10} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5}$.
2. Бес тақтаны екіге бөлеміз — 10 жарты шығады, әр балаға бір-бірден.
3. Екі тақтаны 5 бөлікке бөлеміз — 10 бестен бір бөлік шығады, әр балаға бір-бірден.

Ешбір тақта 5 бөліктен артық бөлінген жоқ ✓.

Жауабы: әр бала жарты тақта және $\frac{1}{5}$ тақта кәмпит алады.

C деңгейі

№ 569

$\frac{1}{4 \cdot 5}$, $\frac{1}{5 \cdot 6}$, $\frac{1}{6 \cdot 7}$, $\frac{1}{8 \cdot 9}$, $\frac{1}{9 \cdot 10}$ бөлшектерін аликвоттық бөлшектердің айырмасы түрінде жазыңдар. Үлгі: $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$, себебі $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3 \cdot 4} - \frac{3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдегі көбейткіштер бір-бірінен 1-ге ғана өзгеше, сондықтан $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{(n + 1) - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$, өйткені $\frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20}$;
2. $\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$;
3. $\frac{1}{6 \cdot 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$;
4. $\frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$;
5. $\frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{4} - \frac{1}{5}$; 2) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; 3) $\frac{1}{6} - \frac{1}{7}$; 4) $\frac{1}{8} - \frac{1}{9}$; 5) $\frac{1}{9} - \frac{1}{10}$.

№ 570

Қосындыны табыңдар: $\frac{1}{15} + \frac{1}{14 \cdot 15} + \frac{1}{13 \cdot 14} + \frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{11 \cdot 12}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Үлкен ортақ бөлім іздеудің қажеті жоқ. Әр бөлшекті № 569-дағыдай айырмамен ауыстырамыз — сонда барлығы дерлік қысқарып кетеді.

Шешуі.

1. Ауыстырамыз: $\frac{1}{15} + \left(\frac{1}{14} - \frac{1}{15}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{14}\right) + \left(\frac{1}{12} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$.
2. $\frac{1}{15}$ және $-\frac{1}{15}$ бір-бірін жояды, дәл солай $\frac{1}{14}$, $\frac{1}{13}$, $\frac{1}{12}$ да.
3. Тек $\frac{1}{11}$ қалады.

Жауабы: $\frac{1}{11}$.

№ 571

Қарғалар теректерге қонуға ұшып келді. Егер олар әрбір терекке 3 қарғадан қонса, 1 терек артық қалады. Ал егер әрбір терекке 2 қарғадан қонса, 1 терек жетпейді. Қарғалар нешеу? Теректер нешеу?

Қалай ойлаймыз. 2-ден қонғанда «бір терек жетпейді» дегені — екі қарғаға орын тимегені. Қарғалар санын екі жолмен жазамыз.

Шешуі.

1. Теректер саны $n$ болсын. 3 қарғадан қонғанда $n - 1$ терек толады: қарға саны $3 \cdot (n - 1)$.
2. 2-ден қонғанда $n + 1$ терек керек: қарға саны $2 \cdot (n + 1)$.
3. $3n - 3 = 2n + 2$, бұдан $n = 5$. Қарға саны $3 \cdot 4 = 12$.

Тексеру: 12 қарға 3-тен қонса, 5 теректің 4-еуін алады — біреуі бос қалады. 2-ден қонса, 6 терек керек, ал 5-еу ғана бар — біреуі жетпейді ✓.

Жауабы: 12 қарға, 5 терек.

№ 572

Ертедегі есеп. Көпес ұзақ жолға шығар алдында балаларына мұра қалдырды. Ол өзінің байлығының жартысын үлкен ұлына, үштен бірін кіші ұлына, алтыдан бірін қызына берді. Егер көпес үйіне қайтып келмесе, олар әкесінің мұрасын әкесі айтқандай бөлісе ала ма?

Қалай ойлаймыз. Барлық үлесті қосамыз. Дәл 1 шықса, мұра қалдықсыз және кемістіксіз бөлінеді.

Шешуі. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Үлестер бүкіл мұраны дәл құрайды: ештеңе артпайды, бәріне жетеді.

Жауабы: иә, бөлісе алады, себебі $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$.

Жадынама

• Аликвоттық (бірлік) бөлшектің алымы 1, бөлімі 1-ден үлкен.
• Әрбір аликвоттық бөлшек 1-ден кіші; ең үлкені — $\frac{1}{2}$.
• Былай жіктейміз: алымды бөлімнің бөлгіштеріне бөлеміз; болмаса, алдымен бөлшекті көбейтеміз.
• Тең бөлуге жіктеме көмектеседі: $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ — алдымен бәріне жарты-жартыдан береміз.

Шағын тест