3.9. Аралас сандарды қосу және азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 175–181-беттер.

Нені үйренесің

• Аралас сандарды қосуды және азайтуды: бүтіндерін бүтіндерімен, бөлшектерін бөлшектерімен.
• Бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіруді.
• Азайғыштың бөлшегі тым кіші болғанда бірлікті «қарызға алуды».
• Бүтіннен аралас санды азайтуды: $9 - 6\frac{3}{10}$.
• Жауапты ретке келтіруді: $8\frac{9}{7}$ санын $9\frac{2}{7}$ етіп жазуды.

Ой қозғау

Алдымен ойша шеш, сосын жауабын аш.

• $2\frac{3}{5} + 4\frac{1}{5} = ?$ Бүтіндері: $2 + 4 = 6$, бестен бірлері: $3 + 1 = 4$. Сонда $6\frac{4}{5}$.
• $3\frac{1}{2} + 5\frac{3}{4} = ?$ $8 + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = 8 + \frac{5}{4} = 8 + 1\frac{1}{4} = 9\frac{1}{4}$.
• $7\frac{5}{8} - 4\frac{1}{3} = ?$ Бүтіндері: 3. Бөлшектері: $\frac{15}{24} - \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$. Жауабы $3\frac{7}{24}$.
• $9 - 2\frac{5}{6} = ?$ $9 = 8\frac{6}{6}$, сонда $8\frac{6}{6} - 2\frac{5}{6} = 6\frac{1}{6}$.

💡 Аралас сан — бүтін мен бөлшектің қосындысы: $2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$. Сондықтан бүтіндерін бүтіндерімен, бөлшектерін бөлшектерімен есептейміз. Бүкіл тақырып осы!

Тақырыпты талдаймыз

Бүтіндері бөлек, бөлшектері бөлек

Елестет: сенде 1 бүтін шоколад және тағы $\frac{3}{5}$ шоколад бар. Досың саған 2 бүтін және $\frac{1}{5}$ шоколад берді. Қанша болды? Бүтіндері $1 + 2 = 3$, бестен бір кесектері $3 + 1 = 4$.

Азайтуда да солай: $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9} = 3\frac{7 - 2}{9} = 3\frac{5}{9}$.

Бөлшек «толып кетті»

$5\frac{4}{7} + 3\frac{5}{7} = 8\frac{9}{7}$. Бірақ $\frac{9}{7}$ — бүтіннен артық: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$. Артық бірлікті бүтіндерге қосамыз: $8\frac{9}{7} = 9\frac{2}{7}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Жауапты $8\frac{9}{7}$ күйінде қалдыру. Аралас санның бөлшек бөлігі әрқашан дұрыс бөлшек болады: алымы бөлімінен кіші. Әр мысалдың соңында осыны тексер.

Бөлімдері әртүрлі

Алдымен бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіреміз. Бүтіндеріне тиіспейміз.

$4\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$: ЕКОЕ(6, 8) = 24, көбейткіштер 4 және 3. Сонда $4\frac{20}{24} + 2\frac{9}{24} = 6\frac{29}{24} = 7\frac{5}{24}$.

$6\frac{7}{8} - 4\frac{2}{3} = 6\frac{21}{24} - 4\frac{16}{24} = 2\frac{5}{24}$.

Бүтінді «ұсақтауға» тура келгенде

$8\frac{1}{5} - 3\frac{4}{9}$. Ортақ бөлім 45: $8\frac{9}{45} - 3\frac{20}{45}$. Ой: $\frac{9}{45}$ санынан $\frac{20}{45}$ санын азайтуға болмайды!

Бір бүтінді алып, оны 45 бөлікке бөлеміз: $8\frac{9}{45} = 7 + \frac{45}{45} + \frac{9}{45} = 7\frac{54}{45}$. Енді бәрі шығады: $7\frac{54}{45} - 3\frac{20}{45} = 4\frac{34}{45}$.

💡 Бұл бағанға азайтқанда «ондықты қарызға алғанға» ұқсайды. Тек мұнда бір бүтінді қарызға алып, оны $\frac{45}{45}$ етіп жазамыз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала «қарыздан» қорықса, сызып көрсетуін сұраңыз: 8 бүтін пирог және $\frac{1}{5}$ пирог бар, ал 3 пирог пен $\frac{4}{9}$ пирог беру керек. Кішкентай $\frac{1}{5}$ кесектен $\frac{4}{9}$ кесуге болмайды — демек, бір бүтін пирогты кесуге тура келеді. Сурет бұл қадамнан қорқуды басады.

Натурал сан минус аралас сан

Бүтін санды бірлікті «қарызға алып», бөлімі бірдей аралас сан түрінде жазамыз: $9 - 6\frac{3}{10} = 8\frac{10}{10} - 6\frac{3}{10} = 2\frac{7}{10}$.

Ал бүтін санды қосса немесе азайтса, тек бүтін бөліктерімен жұмыс істейміз: $5 + 7\frac{3}{8} = 12\frac{3}{8}$, $5\frac{2}{7} - 3 = 2\frac{2}{7}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $9 - 6\frac{3}{10} = 3\frac{3}{10}$ — бүтіндерін азайтып, бөлшегін «жапсырып» қояды. Қосып тексер: $6\frac{3}{10} + 3\frac{3}{10} = 9\frac{6}{10}$, ал 9 емес. Демек, қате бар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлімдері бірдей аралас сандарды қалай қосады? Бүтіндерін бөлек, бөлшектерін бөлек қосады. Бөлшегі бұрыс бөлшек болса, одан бүтін бөлігін бөліп алады: $7\frac{3}{8} + 4\frac{1}{8} = 11\frac{4}{8} = 11\frac{1}{2}$.
• Бөлімдері әртүрлі болса ше? Алдымен бөлшек бөліктерін ең кіші ортақ бөлімге келтіреді: $3\frac{5}{12} + 6\frac{2}{15} = 3\frac{25}{60} + 6\frac{8}{60} = 9\frac{33}{60} = 9\frac{11}{20}$.
• Бөлімдері әртүрлі аралас сандардың айырмасын қалай табады? Бөлшектерін ортақ бөлімге келтіріп, бүтіндерін де, бөлшектерін де азайтады. Жетпесе — бірлікті қарызға алады: $7\frac{3}{4} - 2\frac{1}{5} = 7\frac{15}{20} - 2\frac{4}{20} = 5\frac{11}{20}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 532

Амалдар тізбегін ауызша есептеп, әріптердің мәндерін табыңдар. Екі тізбектің де ортасында 1 саны тұр. Біріншісі: $a \xrightarrow{+\frac{5}{8}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{4}} 1 \xrightarrow{-\frac{2}{5}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{5}} \square \xrightarrow{-\frac{3}{10}} b$. Екіншісі: $c \xrightarrow{+\frac{1}{9}} \square \xrightarrow{+\frac{2}{3}} 1 \xrightarrow{-\frac{1}{2}} \square \xrightarrow{+\frac{1}{10}} \square \xrightarrow{-\frac{2}{5}} d$.

Қалай ойлаймыз. Ортаңғы буын белгілі — 1. Солға қарай кері амалдармен жүреміз («қосудың» орнына «азайту»), оңға қарай — жазылғандай.

Шешуі. Бірінші тізбек:

• солға: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} - \frac{5}{8} = \frac{6}{8} - \frac{5}{8} = \frac{1}{8}$, демек $a = \frac{1}{8}$;
• оңға: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$; $\frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, демек $b = \frac{1}{2}$.

Екінші тізбек:

• солға: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$; $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$, демек $c = \frac{2}{9}$;
• оңға: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$, демек $d = \frac{1}{5}$.

Жауабы: $a = \frac{1}{8}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{2}{9}$, $d = \frac{1}{5}$.

№ 533

Ауызша есептеңдер: $3\frac{5}{6} - 1\frac{1}{6}$; $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9}$; $10\frac{9}{11} - 4\frac{2}{11}$; $7\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$; $4\frac{5}{8} - 3$; $10\frac{1}{9} - 4$; $6\frac{5}{9} - \frac{5}{9}$; $3 - 1\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей — бүтіндерін бүтіндерден, бөлшектерін бөлшектерден азайтамыз. Соңғы мысал — «қарызға алумен».

Шешуі.

1. $3\frac{5}{6} - 1\frac{1}{6} = 2\frac{4}{6} = 2\frac{2}{3}$;
2. $8\frac{7}{9} - 5\frac{2}{9} = 3\frac{5}{9}$;
3. $10\frac{9}{11} - 4\frac{2}{11} = 6\frac{7}{11}$;
4. $7\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 7$;
5. $4\frac{5}{8} - 3 = 1\frac{5}{8}$;
6. $10\frac{1}{9} - 4 = 6\frac{1}{9}$;
7. $6\frac{5}{9} - \frac{5}{9} = 6$;
8. $3 - 1\frac{3}{4} = 2\frac{4}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) $2\frac{2}{3}$; 2) $3\frac{5}{9}$; 3) $6\frac{7}{11}$; 4) 7; 5) $1\frac{5}{8}$; 6) $6\frac{1}{9}$; 7) 6; 8) $1\frac{1}{4}$.

A деңгейі

№ 534

Аралас сандарды қосыңдар: $3\frac{1}{2} + 1\frac{5}{6}$; $4\frac{2}{5} + 9\frac{3}{7}$; $8\frac{3}{4} + 2\frac{7}{8}$; $2\frac{3}{8} + 1\frac{5}{6}$; $6\frac{1}{5} + 1\frac{2}{3}$; $4\frac{3}{8} + 8\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтіреміз, қосамыз, сосын қараймыз: бөлшек «толып кетпеді» ме?

Шешуі.

1. $3\frac{3}{6} + 1\frac{5}{6} = 4\frac{8}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$;
2. ортақ бөлім 35: $4\frac{14}{35} + 9\frac{15}{35} = 13\frac{29}{35}$;
3. $8\frac{6}{8} + 2\frac{7}{8} = 10\frac{13}{8} = 11\frac{5}{8}$;
4. ортақ бөлім 24: $2\frac{9}{24} + 1\frac{20}{24} = 3\frac{29}{24} = 4\frac{5}{24}$;
5. ортақ бөлім 15: $6\frac{3}{15} + 1\frac{10}{15} = 7\frac{13}{15}$;
6. $4\frac{3}{8} + 8\frac{4}{8} = 12\frac{7}{8}$.

Жауабы: 1) $5\frac{1}{3}$; 2) $13\frac{29}{35}$; 3) $11\frac{5}{8}$; 4) $4\frac{5}{24}$; 5) $7\frac{13}{15}$; 6) $12\frac{7}{8}$.

№ 535

Аралас сандарды азайтыңдар: $3\frac{4}{5} - 2\frac{3}{5}$; $7\frac{5}{6} - 4\frac{2}{3}$; $4\frac{5}{6} - 2\frac{5}{12}$; $10\frac{4}{9} - 8\frac{5}{18}$; $9\frac{1}{2} - 2\frac{1}{4}$; $6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}$; $11\frac{3}{7} - 5\frac{1}{3}$; $8\frac{3}{5} - 6\frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда «қарыз» қажет болмайды: азайғыштың бөлшегі барлық жерде азайтқыштың бөлшегінен кем емес.

Шешуі.

1. $3\frac{4}{5} - 2\frac{3}{5} = 1\frac{1}{5}$;
2. $7\frac{5}{6} - 4\frac{4}{6} = 3\frac{1}{6}$;
3. $4\frac{10}{12} - 2\frac{5}{12} = 2\frac{5}{12}$;
4. $10\frac{8}{18} - 8\frac{5}{18} = 2\frac{3}{18} = 2\frac{1}{6}$;
5. $9\frac{2}{4} - 2\frac{1}{4} = 7\frac{1}{4}$;
6. $6\frac{9}{12} - 2\frac{8}{12} = 4\frac{1}{12}$;
7. $11\frac{9}{21} - 5\frac{7}{21} = 6\frac{2}{21}$;
8. $8\frac{6}{10} - 6\frac{3}{10} = 2\frac{3}{10}$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{5}$; 2) $3\frac{1}{6}$; 3) $2\frac{5}{12}$; 4) $2\frac{1}{6}$; 5) $7\frac{1}{4}$; 6) $4\frac{1}{12}$; 7) $6\frac{2}{21}$; 8) $2\frac{3}{10}$.

№ 536

Өрнектің мәнін табыңдар: $\frac{1}{2} + 6\frac{3}{7}$; $6 + 4\frac{9}{11}$; $\frac{3}{9} + 1\frac{8}{15}$; $\frac{1}{14} + 9\frac{3}{7}$; $7\frac{1}{12} + 6$; $\frac{5}{7} + 3\frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің бүтін бөлігі — 0. Бүтін санды тек бүтін бөлікке қосамыз.

Шешуі.

1. $\frac{7}{14} + 6\frac{6}{14} = 6\frac{13}{14}$;
2. $6 + 4\frac{9}{11} = 10\frac{9}{11}$;
3. $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, ортақ бөлім 15: $\frac{5}{15} + 1\frac{8}{15} = 1\frac{13}{15}$;
4. $\frac{1}{14} + 9\frac{6}{14} = 9\frac{7}{14} = 9\frac{1}{2}$;
5. $7\frac{1}{12} + 6 = 13\frac{1}{12}$;
6. ортақ бөлім 28: $\frac{20}{28} + 3\frac{7}{28} = 3\frac{27}{28}$.

Жауабы: 1) $6\frac{13}{14}$; 2) $10\frac{9}{11}$; 3) $1\frac{13}{15}$; 4) $9\frac{1}{2}$; 5) $13\frac{1}{12}$; 6) $3\frac{27}{28}$.

№ 537

Өрнектің мәнін табыңдар: $7 - 5\frac{1}{4}$; $6 - 5\frac{2}{3}$; $12 - 9\frac{3}{8}$; $11 - 6\frac{2}{3}$; $8 - 3\frac{2}{7}$; $5\frac{6}{13} - 2$; $9\frac{3}{10} - 4$; $2\frac{3}{14} - 1$.

Қалай ойлаймыз. Бүтіннен азайтсақ — бірлікті қарызға аламыз: $7 = 6\frac{4}{4}$. Бүтін санды азайтсақ — тек бүтін бөлігін кішірейтеміз.

Шешуі.

1. $7 - 5\frac{1}{4} = 6\frac{4}{4} - 5\frac{1}{4} = 1\frac{3}{4}$;
2. $6 - 5\frac{2}{3} = 5\frac{3}{3} - 5\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;
3. $12 - 9\frac{3}{8} = 11\frac{8}{8} - 9\frac{3}{8} = 2\frac{5}{8}$;
4. $11 - 6\frac{2}{3} = 10\frac{3}{3} - 6\frac{2}{3} = 4\frac{1}{3}$;
5. $8 - 3\frac{2}{7} = 7\frac{7}{7} - 3\frac{2}{7} = 4\frac{5}{7}$;
6. $5\frac{6}{13} - 2 = 3\frac{6}{13}$;
7. $9\frac{3}{10} - 4 = 5\frac{3}{10}$;
8. $2\frac{3}{14} - 1 = 1\frac{3}{14}$.

Жауабы: 1) $1\frac{3}{4}$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $2\frac{5}{8}$; 4) $4\frac{1}{3}$; 5) $4\frac{5}{7}$; 6) $3\frac{6}{13}$; 7) $5\frac{3}{10}$; 8) $1\frac{3}{14}$.

№ 538

Тіркемелі машинаның кузовында $4\frac{2}{5}$ т таскөмір, ал оның тіркемесінде $3\frac{1}{4}$ т таскөмір бар. Тіркемелі машинада барлығы неше тонна таскөмір бар?

Шешуі. $4\frac{2}{5} + 3\frac{1}{4} = 4\frac{8}{20} + 3\frac{5}{20} = 7\frac{13}{20}$ т.

Жауабы: $7\frac{13}{20}$ т.

№ 539

Қарбыз бен қауынның массалары $11\frac{7}{10}$ кг болды. Ондағы қауын $3\frac{1}{5}$ кг. Қарбыз қауыннан неше килограмм ауыр? A. $5\frac{3}{10}$ кг; B. $5\frac{7}{20}$ кг; C. $6\frac{4}{5}$ кг; D. $4\frac{8}{25}$ кг.

Қалай ойлаймыз. Тұзақ бар! $11\frac{7}{10}$ — қарбыздың қауынмен бірге массасы. Алдымен қарбызды табамыз, сосын айырмасын.

Шешуі.

1. Қарбыз: $11\frac{7}{10} - 3\frac{1}{5} = 11\frac{7}{10} - 3\frac{2}{10} = 8\frac{5}{10} = 8\frac{1}{2}$ кг.
2. Айырмасы: $8\frac{1}{2} - 3\frac{1}{5} = 8\frac{5}{10} - 3\frac{2}{10} = 5\frac{3}{10}$ кг.

Жауабы: $5\frac{3}{10}$ кг-ға — A нұсқасы.

№ 540

Мүсін жасайтын қоспа дайындау үшін $37\frac{4}{5}$ кг мыс, $4\frac{19}{20}$ кг мырыш және $2\frac{1}{4}$ кг қалайы алынды. Мүсін жасайтын қоспаның массасы қандай? A. $40\frac{1}{2}$ кг; B. 40 кг; C. 41 кг; D. 45 кг.

Шешуі. Ортақ бөлім 20: $37\frac{16}{20} + 4\frac{19}{20} + 2\frac{5}{20} = 43\frac{40}{20} = 43 + 2 = 45$ кг.

Жауабы: 45 кг — D нұсқасы.

B деңгейі

№ 541

3; 5; 8; 9 натурал сандарын бөлімдері бірдей 7 және 7 болатын екі аралас санның қосындысы түрінде жазыңдар. Үлгі: $7 = 2\frac{3}{4} + 4\frac{1}{4}$; $10 = 6\frac{5}{11} + 3\frac{6}{11}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек бөліктерінің қосындысы дәл бір бүтін болуы керек: мысалы, $\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = 1$. Сонда бүтін бөліктерінің қосындысы керекті саннан 1-ге кем болады.

Шешуі. Жауаптары көп, мынау — мысалдар:

1. $3 = 1\frac{3}{7} + 1\frac{4}{7}$ (бүтіндері $1 + 1 = 2$, және бөлшектерден тағы бір бүтін);
2. $5 = 2\frac{2}{7} + 2\frac{5}{7}$;
3. $8 = 3\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7}$;
4. $9 = 4\frac{3}{7} + 4\frac{4}{7}$.

Жауабы: мысалы, $3 = 1\frac{3}{7} + 1\frac{4}{7}$; $5 = 2\frac{2}{7} + 2\frac{5}{7}$; $8 = 3\frac{1}{7} + 4\frac{6}{7}$; $9 = 4\frac{3}{7} + 4\frac{4}{7}$.

№ 542

Қосуды орындаңдар: $3\frac{1}{15} + 2\frac{7}{25}$; $2\frac{7}{10} + 9\frac{2}{15}$; $9\frac{5}{18} + 6\frac{1}{12}$; $1\frac{7}{12} + 3\frac{5}{9}$; $5\frac{5}{24} + 2\frac{1}{6}$; $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері күрделірек — ЕКОЕ-ні мұқият ізде. Мысалы, ЕКОЕ(15, 25) = 75.

Шешуі.

1. ортақ бөлім 75: $3\frac{5}{75} + 2\frac{21}{75} = 5\frac{26}{75}$;
2. 30: $2\frac{21}{30} + 9\frac{4}{30} = 11\frac{25}{30} = 11\frac{5}{6}$;
3. 36: $9\frac{10}{36} + 6\frac{3}{36} = 15\frac{13}{36}$;
4. 36: $1\frac{21}{36} + 3\frac{20}{36} = 4\frac{41}{36} = 5\frac{5}{36}$;
5. 24: $5\frac{5}{24} + 2\frac{4}{24} = 7\frac{9}{24} = 7\frac{3}{8}$;
6. 60: $3\frac{5}{60} + 4\frac{8}{60} = 7\frac{13}{60}$.

Жауабы: 1) $5\frac{26}{75}$; 2) $11\frac{5}{6}$; 3) $15\frac{13}{36}$; 4) $5\frac{5}{36}$; 5) $7\frac{3}{8}$; 6) $7\frac{13}{60}$.

№ 543

Аралас сандарды азайтыңдар: $12\frac{5}{9} - 7\frac{1}{6}$; $7\frac{1}{4} - 3\frac{7}{15}$; $9\frac{5}{12} - 6\frac{2}{7}$; $4\frac{1}{6} - 2\frac{4}{21}$; $5\frac{9}{25} - 3\frac{8}{15}$; $4\frac{3}{35} - 2\frac{5}{14}$; $10\frac{3}{8} - 4\frac{2}{3}$; $7\frac{1}{16} - 3\frac{5}{24}$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ бөлімге келтіргеннен кейін бөлшек бөліктерін салыстыр. Азайғыштың бөлшегі кіші болса — бірлікті қарызға ал.

Шешуі.

1. 18: $12\frac{10}{18} - 7\frac{3}{18} = 5\frac{7}{18}$;
2. 60: $7\frac{15}{60} - 3\frac{28}{60} = 6\frac{75}{60} - 3\frac{28}{60} = 3\frac{47}{60}$;
3. 84: $9\frac{35}{84} - 6\frac{24}{84} = 3\frac{11}{84}$;
4. 42: $4\frac{7}{42} - 2\frac{8}{42} = 3\frac{49}{42} - 2\frac{8}{42} = 1\frac{41}{42}$;
5. 75: $5\frac{27}{75} - 3\frac{40}{75} = 4\frac{102}{75} - 3\frac{40}{75} = 1\frac{62}{75}$;
6. 70: $4\frac{6}{70} - 2\frac{25}{70} = 3\frac{76}{70} - 2\frac{25}{70} = 1\frac{51}{70}$;
7. 24: $10\frac{9}{24} - 4\frac{16}{24} = 9\frac{33}{24} - 4\frac{16}{24} = 5\frac{17}{24}$;
8. 48: $7\frac{3}{48} - 3\frac{10}{48} = 6\frac{51}{48} - 3\frac{10}{48} = 3\frac{41}{48}$.

Жауабы: 1) $5\frac{7}{18}$; 2) $3\frac{47}{60}$; 3) $3\frac{11}{84}$; 4) $1\frac{41}{42}$; 5) $1\frac{62}{75}$; 6) $1\frac{51}{70}$; 7) $5\frac{17}{24}$; 8) $3\frac{41}{48}$.

№ 544

Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, қосындыны табыңдар: 1) $3\frac{1}{8} + 7\frac{5}{12} + 5\frac{3}{8} + \frac{1}{12}$; 2) $10\frac{2}{5} + 15\frac{5}{6} + 3\frac{3}{5} + 4\frac{1}{6}$; 3) $9\frac{7}{8} + 5\frac{2}{7} + 1\frac{1}{8} + 4\frac{5}{7}$; 4) $15\frac{7}{18} + 11\frac{8}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{18}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей сандарды жұптастыр. Олардың бөлшектері көбіне бүтін береді — жауап дөңгелек шығады!

Шешуі.

1. $\left(3\frac{1}{8} + 5\frac{3}{8}\right) + \left(7\frac{5}{12} + \frac{1}{12}\right) = 8\frac{4}{8} + 7\frac{6}{12} = 8\frac{1}{2} + 7\frac{1}{2} = 16$;
2. $\left(10\frac{2}{5} + 3\frac{3}{5}\right) + \left(15\frac{5}{6} + 4\frac{1}{6}\right) = 14 + 20 = 34$;
3. $\left(9\frac{7}{8} + 1\frac{1}{8}\right) + \left(5\frac{2}{7} + 4\frac{5}{7}\right) = 11 + 10 = 21$;
4. $\left(15\frac{7}{18} + \frac{5}{18}\right) + \left(11\frac{8}{9} + \frac{4}{9}\right) = 15\frac{12}{18} + 11\frac{12}{9} = 15\frac{2}{3} + 12\frac{1}{3} = 28$.

Жауабы: 1) 16; 2) 34; 3) 21; 4) 28.

№ 545

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $8\frac{7}{10} - \left(7\frac{4}{5} - a\right)$, $a = 6\frac{1}{2}$; 2) $14\frac{1}{6} - \left(8\frac{9}{10} - b\right)$, $b = 5\frac{2}{3}$; 3) $a - \left(9\frac{3}{50} - 5\frac{7}{25}\right)$, $a = 7\frac{1}{2}$; 4) $\left(20\frac{1}{5} - b\right) - 6\frac{1}{3}$, $b = 11\frac{2}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Әріптің орнына санды қоямыз, жақшаны есептейміз, сосын екінші амалды. «Қарызға алуға» мұқият бол!

Шешуі.

1. Жақша: $7\frac{8}{10} - 6\frac{5}{10} = 1\frac{3}{10}$. Сосын $8\frac{7}{10} - 1\frac{3}{10} = 7\frac{4}{10} = 7\frac{2}{5}$.
2. Жақша: $8\frac{27}{30} - 5\frac{20}{30} = 3\frac{7}{30}$. Сосын $14\frac{5}{30} - 3\frac{7}{30} = 13\frac{35}{30} - 3\frac{7}{30} = 10\frac{28}{30} = 10\frac{14}{15}$.
3. Жақша: $9\frac{3}{50} - 5\frac{14}{50} = 8\frac{53}{50} - 5\frac{14}{50} = 3\frac{39}{50}$. Сосын $7\frac{25}{50} - 3\frac{39}{50} = 6\frac{75}{50} - 3\frac{39}{50} = 3\frac{36}{50} = 3\frac{18}{25}$.
4. Жақша: $20\frac{3}{15} - 11\frac{2}{15} = 9\frac{1}{15}$. Сосын $9\frac{1}{15} - 6\frac{5}{15} = 8\frac{16}{15} - 6\frac{5}{15} = 2\frac{11}{15}$.

Жауабы: 1) $7\frac{2}{5}$; 2) $10\frac{14}{15}$; 3) $3\frac{18}{25}$; 4) $2\frac{11}{15}$.

№ 546

Теңдеулердің түбірлерін ойша табыңдар: 1) $x + \frac{2}{x} = 7\frac{2}{7}$; 2) $y - \frac{y}{7} = 5\frac{1}{7}$; 3) $y - \frac{1}{y} = 8\frac{8}{9}$; 4) $y + \frac{3}{y} = 10\frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақты оң жақтағы жазбамен салыстыр. $7\frac{2}{7} = 7 + \frac{2}{7}$ — бұл $x = 7$ болғанда $x + \frac{2}{x}$ өрнегіне өте ұқсайды. Іріктейміз және міндетті түрде тексереміз.

Шешуі.

1. $x = 7$: $7 + \frac{2}{7} = 7\frac{2}{7}$ ✓.
2. Сол жағы: $\frac{7y}{7} - \frac{y}{7} = \frac{6y}{7}$. Оң жағы $5\frac{1}{7} = \frac{36}{7}$. Демек $6y = 36$, $y = 6$. Тексеру: $6 - \frac{6}{7} = 5\frac{1}{7}$ ✓.
3. $8\frac{8}{9} = 9 - \frac{1}{9}$, сондықтан $y = 9$. Тексеру: $9 - \frac{1}{9} = 8\frac{8}{9}$ ✓.
4. $y = 10$: $10 + \frac{3}{10} = 10\frac{3}{10}$ ✓.

🌟 Білгісі келетіндерге: 1) мысалында тағы $x = \frac{2}{7}$ жарайды, себебі $2 : \frac{2}{7} = 7$, және $\frac{2}{7} + 7 = 7\frac{2}{7}$. Дәл солай 4) мысалында $y = \frac{3}{10}$ да жарайды. Бөлшекке бөлуді кейін үйренесің.

Жауабы: 1) 7 (және тағы $\frac{2}{7}$); 2) 6; 3) 9; 4) 10 (және тағы $\frac{3}{10}$).

№ 547

Өрнек бойынша шығарылатын есеп құрастырыңдар: 1) $6\frac{1}{12} - 4\frac{2}{3}$; 2) $7\frac{1}{8} - 3\frac{3}{4}$; 3) $9 - 7\frac{7}{8}$.

Қалай ойлаймыз. Азайту — «болды — алынды — қанша қалды?» дегенді білдіреді. Ұн, лента, жол — кез келген нәрсе жарайды.

Шешуі. Мысалдар (өзің де ойлап таба аласың):

1. Қапта $6\frac{1}{12}$ кг ұн болды, бауырсаққа $4\frac{2}{3}$ кг кетті. Қанша қалды? $6\frac{1}{12} - 4\frac{8}{12} = 5\frac{13}{12} - 4\frac{8}{12} = 1\frac{5}{12}$ кг.
2. Лентаның ұзындығы $7\frac{1}{8}$ м, одан $3\frac{3}{4}$ м кесіп алды. Қанша қалды? $7\frac{1}{8} - 3\frac{6}{8} = 6\frac{9}{8} - 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{8}$ м.
3. Үйге дейін 9 км, $7\frac{7}{8}$ км жүріп өттік. Қанша қалды? $8\frac{8}{8} - 7\frac{7}{8} = 1\frac{1}{8}$ км.

Жауабы: 1) $1\frac{5}{12}$; 2) $3\frac{3}{8}$; 3) $1\frac{1}{8}$ (есептер осындай амалдары бар кез келген болуы мүмкін).

№ 548

1) Оқушы $1\frac{1}{4}$ сағат уақыт сабаққа дайындалды. Ол $\frac{1}{3}$ сағат жаратылыстану пәніне дайындалды да, математикадан үй тапсырмасын одан $\frac{1}{6}$ сағат артық уақытта орындап болды. Қалған уақытта оқушы ана тілінен өлең жаттады. Оқушы қанша уақыт ана тілінен өлең жаттады? 2) Өздеріңнің күнделікті сабақтарға дайындалуларың туралы есеп құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен математикаға кеткен уақытты табамыз, сосын екі пәнге кеткен уақытты, ал қалғаны — өлең.

Шешуі.

1. Математика: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ сағ.
2. Жаратылыстану мен математика бірге: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ сағ.
3. Өлең: $1\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = 1\frac{3}{12} - \frac{10}{12} = \frac{15}{12} - \frac{10}{12} = \frac{5}{12}$ сағ. Бұл 25 минут ($60 : 12 \cdot 5$).

2. Мысал: «Мен үй тапсырмасын $1\frac{1}{2}$ сағат істедім. Орыс тіліне $\frac{1}{4}$ сағат кетті, математикаға одан $\frac{1}{4}$ сағат артық кетті. Қалған уақытта кітап оқыдым. Мен қанша оқыдым?» Жауабы: $1\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ сағ.

Жауабы: 1) $\frac{5}{12}$ сағ (25 мин); 2) есепті өзің құрастырасың.

№ 549

1) Трактор бірінші күні $12\frac{7}{10}$ га жер жыртты, екінші күні одан $2\frac{1}{5}$ га жерді артық жыртты. Трактор екі күнде неше гектар жер жыртты? A. $28\frac{1}{2}$ га; B. $27\frac{3}{5}$ га; C. 29 га; D. $26\frac{1}{4}$ га. 2) Жездің құрамындағы мыс $2\frac{2}{5}$ кг, ал ондағы мырыш мыстан $\frac{9}{10}$ кг кем. Жездің барлық массасы неше килограмм және грамм?

Қалай ойлаймыз. Екі есепте де алдымен екінші шаманы («қанша артық / кем») табамыз, сосын екеуін қосамыз.

Шешуі.

1. Екінші күн: $12\frac{7}{10} + 2\frac{2}{10} = 14\frac{9}{10}$ га. Екі күнде: $12\frac{7}{10} + 14\frac{9}{10} = 26\frac{16}{10} = 27\frac{6}{10} = 27\frac{3}{5}$ га.
2. Мырыш: $2\frac{4}{10} - \frac{9}{10} = 1\frac{14}{10} - \frac{9}{10} = 1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2}$ кг. Жез: $2\frac{4}{10} + 1\frac{5}{10} = 3\frac{9}{10}$ кг, яғни 3 кг 900 г.

Жауабы: 1) $27\frac{3}{5}$ га — B нұсқасы; 2) $3\frac{9}{10}$ кг, яғни 3 кг 900 г.

№ 550

Өрік салынған 10 пакет шеңбер бойымен орналастырылды. Әрбір көрші екі пакеттегі өріктер саны бірі екіншісінен 1 өрікке өзгеше. Егер ең көп өрік салынған пакетте 14 өрік болса, ең аз өрік салынған пакетте неше өрік бар? Барлық пакеттердегі өріктің қосындысы жұп сан ба, әлде тақ сан ба?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа арналған есеп. Шеңбер бойымен пакеттен пакетке жүреміз: әр қадам +1 немесе −1. Шеңберді айналып шыққанда сол жерге ораламыз — демек, «жоғары» қадамдар «төмен» қадамдар санындай: 5-тен.

Шешуі.

1. Ең кіші сан 14-тен тек төмен қарай жүрсек шығады: 14, 13, 12, 11, 10, 9, одан кейін жоғары қарай: 10, 11, 12, 13 — және қайтадан 14. Барлығы 10 пакет. 9-дан кем болуы мүмкін емес: 14-тен кез келген пакетке шеңбермен 5 қадамнан артық емес.
2. Басқаша орналасқанда ең аз өрік салынған пакеттегі сан үлкенірек те болуы мүмкін (мысалы, 14, 13, 14, 13, … — ең кішісі 13). Сондықтан ең аз пакетте 9-дан кем емес өрік бар; «түсу мен көтерілу» орналасуында — дәл 9.

3. Жұп-тақтығы. Көршілер 1-ге өзгеше, демек жұп және тақ пакеттер кезектесіп тұрады: 5 жұп және 5 тақ. Бес тақ санның қосындысы — тақ, ал жұп қосылғыштар жұп-тақтықты өзгертпейді. Қосынды — тақ.

Мысалмен тексеру: $14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 115$ — тақ.

📕 Бұл есептің шарты толық емес: пакеттердегі өріктің нақты орналасуы берілмеген, сондықтан ең азы 9-дан артық болуы да мүмкін. Оқулықтағы жауап (9 өрік) — ең аз мүмкін мән.

Жауабы: ең аз пакетте 9-дан кем емес өрік бар (14, 13, …, 9, …, 13 орналасуында — дәл 9, оқулықтағы жауап); барлық өріктің қосындысы тақ.

№ 551

Теміржол бойымен есептегенде Қарағандыдан (Астана, Ерейментау арқылы) Екібастұзға дейін $515\frac{1}{4}$ км. Астанадан Ерейментауға дейін $150\frac{4}{5}$ км, Ерейментаудан Екібастұзға дейін $167\frac{9}{20}$ км. Теміржол бойымен есептегенде Астана мен Қарағандының арасы неше километр?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жол = Қарағанды–Астана + Астана–Ерейментау + Ерейментау–Екібастұз. Бірінші бөлігі белгісіз.

Шешуі.

1. Астанадан Екібастұзға дейін: $150\frac{16}{20} + 167\frac{9}{20} = 317\frac{25}{20} = 318\frac{5}{20} = 318\frac{1}{4}$ км.
2. Қарағандыдан Астанаға дейін: $515\frac{1}{4} - 318\frac{1}{4} = 197$ км.

Жауабы: 197 км.

C деңгейі

№ 552

Бос орындарды толтырып, теңдеуді шешіңдер: 1) $\square\frac{8}{3x} - 4\frac{1}{x} = 3\frac{1}{3}$; 2) $3\frac{1}{6x} + \square\frac{1}{3x} = 7\frac{1}{4}$; 3) $8\frac{1}{3x} - \square\frac{1}{5x} = 6\frac{1}{30}$. Жауаптарын таңдап алыңдар: A. 2; B. 7; C. 5; D. 4.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Бөлшек бөліктерін бөлек, бүтін бөліктерін бөлек қарастырамыз. Бөлшектерден $x$-ті, бүтіндерден жақшадағы санды табамыз.

Шешуі.

1. Бөлшектері: $\frac{8}{3x} - \frac{3}{3x} = \frac{5}{3x}$. $\frac{5}{3x} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ болуы керек, демек $3x = 15$, $x = 5$. Бүтіндері: $\square - 4 = 3$, жақшада 7. Тексеру: $7\frac{8}{15} - 4\frac{3}{15} = 3\frac{5}{15} = 3\frac{1}{3}$ ✓.
2. Бөлшектері: $\frac{1}{6x} + \frac{2}{6x} = \frac{3}{6x} = \frac{1}{2x}$. $\frac{1}{2x} = \frac{1}{4}$ болуы керек, демек $x = 2$. Бүтіндері: $3 + \square = 7$, жақшада 4. Тексеру: $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{12} = 7\frac{3}{12} = 7\frac{1}{4}$ ✓.
3. Бөлшектері: $\frac{5}{15x} - \frac{3}{15x} = \frac{2}{15x}$. $\frac{2}{15x} = \frac{1}{30} = \frac{2}{60}$ болуы керек, демек $15x = 60$, $x = 4$. Бүтіндері: $8 - \square = 6$, жақшада 2. Тексеру: $8\frac{5}{60} - 2\frac{3}{60} = 6\frac{2}{60} = 6\frac{1}{30}$ ✓.

Жауабы: 1) жақшада 7, $x = 5$; 2) жақшада 4, $x = 2$; 3) жақшада 2, $x = 4$.

№ 553

Бос орындарды толтырып, қосындыны табыңдар: 1) $3\frac{1}{\square} + 1\frac{\square}{10} = \square\frac{2 + 3}{30}$; 2) $1\frac{\square}{25} + 7\frac{1}{\square} = \square\frac{9 + 5}{75}$; 3) $2\frac{9}{\square} + \square\frac{1}{12} = 6\frac{27 + \square}{48}$; 4) $3\frac{1}{\square} + \square\frac{2}{15} = 7\frac{5 + \square}{60}$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ бөлімге келтіргеннен кейінгі алым = ескі алым × толықтауыш көбейткіш. Бөлшектің неге айналғанын біліп, оны қалпына келтіреміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{\square} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ — бөлімі 15. $\frac{\square}{10} = \frac{3}{30}$ — алымы 1. Бүтіндері: $3 + 1 = 4$. $3\frac{1}{15} + 1\frac{1}{10} = 4\frac{2 + 3}{30} = 4\frac{5}{30} = 4\frac{1}{6}$.
2. $\frac{\square}{25} = \frac{9}{75}$ — алымы 3. $\frac{1}{\square} = \frac{5}{75} = \frac{1}{15}$ — бөлімі 15. Бүтіндері: $1 + 7 = 8$. $1\frac{3}{25} + 7\frac{1}{15} = 8\frac{9 + 5}{75} = 8\frac{14}{75}$.
3. $\frac{9}{\square} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$ — бөлімі 16. $\frac{1}{12} = \frac{4}{48}$ — алым жақшасында 4. Бүтіндері: $2 + \square = 6$, жақшада 4. $2\frac{9}{16} + 4\frac{1}{12} = 6\frac{27 + 4}{48} = 6\frac{31}{48}$.
4. $\frac{1}{\square} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ — бөлімі 12. $\frac{2}{15} = \frac{8}{60}$ — жақшада 8. Бүтіндері: $3 + \square = 7$, жақшада 4. $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15} = 7\frac{5 + 8}{60} = 7\frac{13}{60}$.

Жауабы: 1) $3\frac{1}{15} + 1\frac{1}{10} = 4\frac{1}{6}$; 2) $1\frac{3}{25} + 7\frac{1}{15} = 8\frac{14}{75}$; 3) $2\frac{9}{16} + 4\frac{1}{12} = 6\frac{31}{48}$; 4) $3\frac{1}{12} + 4\frac{2}{15} = 7\frac{13}{60}$.

№ 554

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $5\frac{7}{15} - \left(7\frac{1}{12} - \left(4\frac{29}{60} - \left(2\frac{1}{5} - 1\frac{5}{6}\right)\right)\right)$; 2) $6\frac{13}{24} - \left(\left(14\frac{7}{24} - 10\frac{31}{48}\right) - \left(2\frac{3}{4} - 1\frac{7}{12}\right)\right) - 1\frac{1}{16}$.

Қалай ойлаймыз. Ең ішкі жақшалардан бастап, сыртқа қарай жүреміз — матрёшканы ашқандай.

Шешуі. 1)

1. $2\frac{1}{5} - 1\frac{5}{6} = 2\frac{6}{30} - 1\frac{25}{30} = 1\frac{36}{30} - 1\frac{25}{30} = \frac{11}{30}$.
2. $4\frac{29}{60} - \frac{11}{30} = 4\frac{29}{60} - \frac{22}{60} = 4\frac{7}{60}$.
3. $7\frac{1}{12} - 4\frac{7}{60} = 7\frac{5}{60} - 4\frac{7}{60} = 6\frac{65}{60} - 4\frac{7}{60} = 2\frac{58}{60} = 2\frac{29}{30}$.
4. $5\frac{7}{15} - 2\frac{29}{30} = 5\frac{14}{30} - 2\frac{29}{30} = 4\frac{44}{30} - 2\frac{29}{30} = 2\frac{15}{30} = 2\frac{1}{2}$.

1. $14\frac{7}{24} - 10\frac{31}{48} = 14\frac{14}{48} - 10\frac{31}{48} = 13\frac{62}{48} - 10\frac{31}{48} = 3\frac{31}{48}$.
2. $2\frac{3}{4} - 1\frac{7}{12} = 2\frac{9}{12} - 1\frac{7}{12} = 1\frac{2}{12} = 1\frac{1}{6}$.
3. $3\frac{31}{48} - 1\frac{1}{6} = 3\frac{31}{48} - 1\frac{8}{48} = 2\frac{23}{48}$.
4. $6\frac{13}{24} - 2\frac{23}{48} = 6\frac{26}{48} - 2\frac{23}{48} = 4\frac{3}{48} = 4\frac{1}{16}$.
5. $4\frac{1}{16} - 1\frac{1}{16} = 3$.

Жауабы: 1) $2\frac{1}{2}$; 2) 3.

№ 555

Тік төртбұрыштың ұзындығы $7\frac{3}{5}$ см. Оның периметрі қабырғасы 6 см квадраттың периметріне тең. Тік төртбұрыштың ені неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы мен енінің қосындысы — периметрдің жартысы.

Шешуі.

1. Квадраттың периметрі: $6 \cdot 4 = 24$ см.
2. Ұзындығы + ені: $24 : 2 = 12$ см.
3. Ені: $12 - 7\frac{3}{5} = 11\frac{5}{5} - 7\frac{3}{5} = 4\frac{2}{5}$ см.

Жауабы: $4\frac{2}{5}$ см.

№ 556

Дүкенде үш күнде 1206 кг алма сатылды. Бірінші және екінші күндері $825\frac{3}{4}$ кг, ал екінші және үшінші күндері $849\frac{1}{5}$ кг алма сатылды. Екінші күні неше килограмм алма сатылды?

Қалай ойлаймыз. Берілген екі қосындыны қоссақ, екінші күн оларға екі рет кіреді. Жалпы мөлшермен салыстырғандағы артығы — дәл екінші күн.

Шешуі.

1. $825\frac{3}{4} + 849\frac{1}{5} = 825\frac{15}{20} + 849\frac{4}{20} = 1674\frac{19}{20}$ кг.
2. $1674\frac{19}{20} - 1206 = 468\frac{19}{20}$ кг.

Жауабы: $468\frac{19}{20}$ кг.

№ 557

3.36-суреттегі $ABCD$ квадратының периметрін табыңдар. Квадрат 4 бөлікке бөлінген: қабырғасы $a$ квадрат (ауданы 25 см²), $a \times b$ тік төртбұрыш (ауданы 15 см²), қабырғасы $b$ квадрат және тағы бір $a \times b$ тік төртбұрыш. $ABCD$ қабырғасы $a + b$ тең.

Қалай ойлаймыз. Квадраттың ауданы бойынша оның қабырғасы $a$-ны табамыз. Тік төртбұрыштың ауданы бойынша $b$ қабырғасын табамыз.

Шешуі.

1. $a \cdot a = 25$, демек $a = 5$ см.
2. $a \cdot b = 15$, яғни $5 \cdot b = 15$, $b = 3$ см.
3. $ABCD$ қабырғасы: $5 + 3 = 8$ см. Периметрі: $8 \cdot 4 = 32$ см.

Жауабы: 32 см.

№ 558

Ұзындығы 420 м пойыз көпірден 58 секундта өтті, ал стансы кезекшісі тұсынан 21 секундта өтті. Көпірдің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Адамның тұсынан пойыз өз ұзындығын өтеді. Ал көпірден — көпірдің ұзындығын және өз ұзындығын өтеді: пойыздың басы кірген сәттен, соңы шыққан сәтке дейін.

Шешуі.

1. Пойыздың жылдамдығы: $420 : 21 = 20$ м/с.
2. 58 секундта пойыз $20 \cdot 58 = 1160$ м жол жүреді.
3. Көпірдің ұзындығы: $1160 - 420 = 740$ м.

Жауабы: 740 м.

№ 559

Азайтуды орындаңдар және есептің жауабын кестедегі жауаптармен салыстырып, оның тұсына әріптерді қойыңдар (2; $6\frac{3}{20}$; 4; $4\frac{1}{6}$; $3\frac{3}{100}$; $3\frac{1}{18}$) — Жердің дәл үлгісінің атауын оқисыңдар. О: $7\frac{5}{18} - 3\frac{2}{27} - \frac{11}{54}$; У: $9\frac{3}{20} - 2\frac{3}{25} - 4$; Л: $13 - 5\frac{7}{12} - 1\frac{4}{15}$; С: $8\frac{7}{12} - 4\frac{5}{18} - 1\frac{1}{4}$; Г: $5\frac{11}{42} - 2\frac{3}{14} - 1\frac{1}{21}$; Б: $11 - 6\frac{13}{21} - \frac{3}{14}$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда бірден барлық бөлшекті бір бөлімге келтірген ыңғайлы. Бүтіннен азайтқанда алдымен екі азайтқышты қос.

Шешуі.

• О: ортақ бөлім 54: $7\frac{15}{54} - 3\frac{4}{54} - \frac{11}{54} = 4\frac{11}{54} - \frac{11}{54} = 4$.
• У: $9\frac{15}{100} - 2\frac{12}{100} = 7\frac{3}{100}$; $7\frac{3}{100} - 4 = 3\frac{3}{100}$.
• Л: азайтқыштарды қосамыз: $5\frac{35}{60} + 1\frac{16}{60} = 6\frac{51}{60}$; $13 - 6\frac{51}{60} = 12\frac{60}{60} - 6\frac{51}{60} = 6\frac{9}{60} = 6\frac{3}{20}$.
• С: ортақ бөлім 36: $8\frac{21}{36} - 4\frac{10}{36} - 1\frac{9}{36} = 3\frac{2}{36} = 3\frac{1}{18}$.
• Г: ортақ бөлім 42: $5\frac{11}{42} - 2\frac{9}{42} - 1\frac{2}{42} = 2\frac{0}{42} = 2$.
• Б: азайтқыштарды қосамыз: $6\frac{26}{42} + \frac{9}{42} = 6\frac{35}{42}$; $11 - 6\frac{35}{42} = 10\frac{42}{42} - 6\frac{35}{42} = 4\frac{7}{42} = 4\frac{1}{6}$.

Жауабы: ГЛОБУС.

Жадынама

• Аралас сан = бүтін + бөлшек. Бүтіндері — бүтіндерімен, бөлшектері — бөлшектерімен.
• Бөлімдері әртүрлі болса — алдымен бөлшек бөліктерін ортақ бөлімге келтір.
• Жауаптағы бөлшек бөлігі әрқашан дұрыс бөлшек болады.
• Азайғыштың бөлшегі жетпесе — бір бүтінді «ұсақта».
• Азайтуды қосып тексер.

Шағын тест