3.11. Жай бөлшектерді көбейту, аралас сандарды көбейту — Математика 5 сынып, Алдамұратова: талдау және жауаптар
Ookul.kz · сабақ талдау
Орысша

Кез келген есепті бірге талдайық!

3.11. Жай бөлшектерді көбейту, аралас сандарды көбейту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 187–195-беттер.

Нені үйренесің

  • Бөлшекті натурал санға көбейтуді — тек алымы өзгереді.
  • Бөлшекті бөлшекке көбейтуді: «үстін үстіне, астын астына».
  • Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдыру арқылы көбейтуді.
  • Үлкен сандармен әуре болмау үшін көбейтуден бұрын қысқартуды.
  • Бөлшекті квадраттап және кубқа шығаруды.

Ой қозғау

Натурал санға көбейту — бұл жай ғана бірдей қосылғыштарды қосу. Ойша есепте, содан кейін жауабын ашып қара.

  • $\frac{5}{7} \cdot 4$? $\frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{5}{7} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$.
  • $\frac{7}{9} \cdot 5$? $\frac{35}{9} = 3\frac{8}{9}$.
  • $\frac{6}{13} \cdot 2$? $\frac{12}{13}$.
  • $1\frac{1}{5} \cdot 2$? $1 \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot 2 = 2\frac{2}{5}$.
  • $3\frac{2}{7} \cdot 3$? $9 + \frac{6}{7} = 9\frac{6}{7}$.
  • $5\frac{3}{8} \cdot 2$? $10 + \frac{6}{8} = 10\frac{3}{4}$.

💡 Байқадың ба? Барлық мысалда бөлім бұрынғы күйінде қалды — тек алым өсті. Сабақтың бірінші ережесі осы.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлшекті натурал санға көбейту: үлестер сол күйі, тек саны көп

Қабырғасы $\frac{3}{25}$ м шаршы тақтай бар. Периметрін табу үшін төрт қабырғасын қосамыз:

$\frac{3}{25} + \frac{3}{25} + \frac{3}{25} + \frac{3}{25} = \frac{3 \cdot 4}{25} = \frac{12}{25}$ (м).

Бөлім бүтіннің қандай үлестерге бөлінгенін көрсетеді. Үлестер өзгерген жоқ — жиырма бестен бір бөліктер. Тек олар 4 есе көбейді.

📌 Бөлшекті натурал санға көбейту үшін, оның алымын сол санға көбейтіп, бөлімін өзгеріссіз қалдыр: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$.

Мысалы, $\frac{7}{10} \cdot 3 = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$. Ал $\frac{5}{8} \cdot 4$ мысалында алдымен 4 пен 8-ді 4-ке қысқартамыз: $\frac{5 \cdot 1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Бөлшекті бөлшекке көбейту: торларға қарайық

Қабырғасы 1 дм шаршы ал. Оны ұзындығы бойынша 8 тең жолаққа, биіктігі бойынша 5 жолаққа кес. Сонда $8 \cdot 5 = 40$ бірдей тор шығады. Әр тор — $\frac{1}{40}$ дм².

Енді бұрышта тік төртбұрыш сызайық: ұзындығы $\frac{7}{8}$ дм (8 жолақтың 7-еуі), биіктігі $\frac{3}{5}$ дм (5 жолақтың 3-еуі). Оның торларын санап көр.

$8 \cdot 5 = 40$ тордың $7 \cdot 3 = 21$ торы боялды. Демек, тік төртбұрыштың ауданы $\frac{21}{40}$ дм². Бұл мынаған дәл тең:

$\frac{7}{8} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 5} = \frac{21}{40}$.

📌 Бөлшекті бөлшекке көбейту үшін алымдарын көбейтіп — жаңа алым, бөлімдерін көбейтіп — жаңа бөлім етіп жазамыз: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

💡 Міне, үкінің жұмбағының жауабы. $\frac{7}{8}$ бірден кіші, $\frac{3}{5}$ те бірден кіші. «Бөліктің бөлігін» алсақ, одан да кіші шығады. Сондықтан екі дұрыс бөлшектің көбейтіндісі олардың әрқайсысынан кіші болады.

Алдымен қысқарт, сосын көбейт

Бәрін бір сызықтың астына жазып, бірден қысқартатынын ізде. Кез келген алымды кез келген бөліммен қысқартуға болады:

$\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 6} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 2} = \frac{5}{16}$ (3 пен 6-ны 3-ке қысқарттық).

Бөлшектің квадраты — бөлшектің өзін-өзіне көбейтіндісі: $\left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 7} = \frac{25}{49}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Көбейтер алдында бөлшектерді қосқандағыдай ортақ бөлімге келтіреді. Бұл артық жұмыс: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ — жай ғана $\frac{1}{6}$. Ортақ бөлім тек қосу мен азайтуға керек.

Аралас сандар: алдымен «киімін ауыстыр»

Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз. Одан әрі — әдеттегідей:

$3\frac{2}{5} \cdot 6\frac{1}{4} = \frac{17}{5} \cdot \frac{25}{4} = \frac{17 \cdot 25}{5 \cdot 4} = \frac{17 \cdot 5}{1 \cdot 4} = \frac{85}{4} = 21\frac{1}{4}$.

Тағы екі мысал: $2\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$; $8\frac{3}{10} \cdot 5 = \frac{83}{10} \cdot 5 = \frac{83}{2} = 41\frac{1}{2}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек көбейтеді: $2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = 4\frac{1}{4}$. Қате! Дұрысы: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$. Бағалап көр: $2\frac{1}{2}$ — 2-ден үлкен, демек, жауап $2 \cdot 2\frac{1}{2} = 5$-тен үлкен болуы керек.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала ретті дауыстап айтсын: «бұрыс бөлшекке айналдырамын — бір сызықтың астына жазамын — қысқартамын — көбейтемін — бүтін бөлігін бөліп аламын». Егер бала алдымен үлкен сандарды көбейтіп, сосын ұзақ қысқартса, алдын ала қысқарту қаншалықты жылдам екенін көрсетіңіз.

Нөл және әріптер

Көбейткіштердің бірі нөл болса, бүкіл көбейтінді нөлге тең: $\frac{4}{7} \cdot 0 = 0$. Осыдан ыңғайлы тәсіл шығады: егер $5\left(x - \frac{2}{3}\right) = 0$ болса, нөлге жақша тең, яғни $x = \frac{2}{3}$.

Әріпті бөлшектен кейін жазады: $\frac{5}{8}x$. Мұндағы $\frac{5}{8}$ саны — коэффициент, $x$ — әріп көбейткіш.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

  • Бөлшекті натурал санға қалай көбейтеді? Алымын сол санға көбейтіп, бөлімін өзгеріссіз қалдырады.
  • Бөлшектерді қандай ережемен көбейтеді? Алымын алымына, бөлімін бөліміне көбейтеді.
  • Аралас сандарды қалай көбейтеді? Оларды бұрыс бөлшек түрінде жазып, көбейтеді.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 573

Ауызша есептеңдер. Төрт тізбек: санынан бастап, бес әрекетті кезекпен орындайсың. Әр аралық нәтижені жаз.

  1. $\frac{14}{17}$; $+\frac{2}{17}$, $-\frac{3}{17}$, $-\frac{8}{17}$, $+\frac{6}{17}$, $-\frac{9}{17}$.
  2. $\frac{1}{8}$; $+\frac{5}{8}$, $+\frac{1}{4}$, $-\frac{2}{5}$, $+\frac{1}{5}$, $+\frac{3}{5}$.
  3. $\frac{2}{9}$; $+\frac{1}{9}$, $+\frac{2}{3}$, $-\frac{2}{7}$, $-\frac{4}{7}$, $+\frac{6}{7}$.
  4. $\frac{3}{10}$; $-\frac{1}{10}$, $+\frac{4}{5}$, $-\frac{1}{6}$, $-\frac{3}{6}$, $+\frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — қосу мен азайтуға арналған жаттығу. Бөлім өзгере салысымен жаңа бөлімге келтір. Бірден қысқарт — одан әрі есептеу жеңілдейді.

Шешуі.

  1. $\frac{14}{17} \to \frac{16}{17} \to \frac{13}{17} \to \frac{5}{17} \to \frac{11}{17} \to \frac{2}{17}$;
  2. $\frac{1}{8} \to \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \to 1 \to \frac{3}{5} \to \frac{4}{5} \to \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$;
  3. $\frac{2}{9} \to \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \to 1 \to \frac{5}{7} \to \frac{1}{7} \to 1$;
  4. $\frac{3}{10} \to \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \to 1 \to \frac{5}{6} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \to 1$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{17}$; 2) $1\frac{2}{5}$; 3) 1; 4) 1.

№ 574

Бөлшектерді көбейтіңдер (ауызша): $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$; $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}$; $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$; $9 \cdot \frac{1}{10}$; $\frac{5}{7} \cdot 2$; $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{7}$; $\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{4}$; $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Үстін үстіне, астын астына. Көбейткіш натурал сан болса, тек алымын көбейтеміз.

Шешуі.

мысал жауабы
1) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$
2) $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{9}{32}$
3) $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
4) $9 \cdot \frac{1}{10}$ $\frac{9}{10}$
5) $\frac{5}{7} \cdot 2$ $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$
6) $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{7}$ $\frac{5}{42}$
7) $\frac{7}{10} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{21}{40}$
8) $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{5}$ $\frac{6}{35}$

Жауабы: кестені қара.

A деңгейі

№ 575

Бөлшектерді көбейтіңдер: $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$; $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}$; $\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{9}$; $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{25}$; $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6}$; $\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін бір сызықтың астына жазып, көбейтуден бұрын қысқартамыз. «Бір бөлшектің алымы — екіншісінің бөлімі» жұптарын ізде.

Шешуі.

  1. $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6}$;
  2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$;
  3. $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8} = \frac{1}{4}$;
  4. $\frac{5}{12} \cdot \frac{8}{9} = \frac{5 \cdot 8}{12 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27}$;
  5. $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{25} = \frac{15 \cdot 8}{16 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$;
  6. $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;
  7. $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$;
  8. $\frac{7}{15} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{2}{9}$; 3) $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{10}{27}$; 5) $\frac{3}{10}$; 6) $\frac{1}{3}$; 7) $\frac{1}{8}$; 8) $\frac{1}{3}$.

№ 576

Аралас санды натурал санға көбейтіңдер: $3\frac{1}{4} \cdot 8$; $5\frac{1}{3} \cdot 6$; $4 \cdot 1\frac{1}{2}$; $7 \cdot 1\frac{1}{3}$; $2\frac{3}{8} \cdot 6$; $1\frac{3}{4} \cdot 2$; $3 \cdot 2\frac{1}{9}$; $8 \cdot 3\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Екі жол бар. Бұрыс бөлшек арқылы — сенімді. Бөлшектеп (бүтін бөлігін бөлек, бөлшегін бөлек) — ауызша тез. Натурал көбейткішпен олай істеуге болады!

Шешуі.

  1. $3\frac{1}{4} \cdot 8 = \frac{13}{4} \cdot 8 = 13 \cdot 2 = 26$;
  2. $5\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{16}{3} \cdot 6 = 16 \cdot 2 = 32$;
  3. $4 \cdot 1\frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$;
  4. $7 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$;
  5. $2\frac{3}{8} \cdot 6 = \frac{19}{8} \cdot 6 = \frac{19 \cdot 3}{4} = \frac{57}{4} = 14\frac{1}{4}$;
  6. $1\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{7}{4} \cdot 2 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
  7. $3 \cdot 2\frac{1}{9} = 3 \cdot \frac{19}{9} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$;
  8. $8 \cdot 3\frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{7}{2} = 28$.

Бірінші мысалды бөлшектеп былай шығарамыз: $3\frac{1}{4} \cdot 8 = 3 \cdot 8 + \frac{1}{4} \cdot 8 = 24 + 2 = 26$.

Жауабы: 1) 26; 2) 32; 3) 6; 4) $9\frac{1}{3}$; 5) $14\frac{1}{4}$; 6) $3\frac{1}{2}$; 7) $6\frac{1}{3}$; 8) 28.

№ 577

Аралас сандарды көбейтіңдер: $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5}$; $2\frac{7}{9} \cdot 3\frac{3}{5}$; $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$; $3\frac{7}{9} \cdot 1\frac{1}{17}$; $7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{4}{15}$; $5\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{7}$; $3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3}$; $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{11}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бүтін бөліктерін бөлек көбейтуге болмайды — тек бұрыс бөлшектер арқылы. Көп жерде бәрі әдемі қысқарып, бүтін сан шығады.

Шешуі.

  1. $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$;
  2. $2\frac{7}{9} \cdot 3\frac{3}{5} = \frac{25}{9} \cdot \frac{18}{5} = 5 \cdot 2 = 10$;
  3. $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = 4$;
  4. $3\frac{7}{9} \cdot 1\frac{1}{17} = \frac{34}{9} \cdot \frac{18}{17} = 2 \cdot 2 = 4$;
  5. $7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{4}{15} = \frac{15}{2} \cdot \frac{34}{15} = 17$;
  6. $5\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{7} = \frac{31}{6} \cdot \frac{22}{7} = \frac{31 \cdot 11}{3 \cdot 7} = \frac{341}{21} = 16\frac{5}{21}$;
  7. $3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{3} = 8$;
  8. $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{2}{11} = \frac{22}{3} \cdot \frac{24}{11} = 2 \cdot 8 = 16$.

Жауабы: 1) $2\frac{4}{5}$; 2) 10; 3) 4; 4) 4; 5) 17; 6) $16\frac{5}{21}$; 7) 8; 8) 16.

№ 578

Көбейтуді орындаңдар: $8\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{13}$; $5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}$; $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7}$; $\frac{5}{6} \cdot 1\frac{6}{5}$; $3\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8}$; $9\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}$; $10\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{17}$; $\frac{3}{11} \cdot 5\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырамыз, сосын айқастыра қысқартамыз. Бірінші мысалдағы 169 санынан қорықпа: бұл $13 \cdot 13$.

Шешуі.

  1. $8\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{13} = \frac{169}{20} \cdot \frac{2}{13} = \frac{13 \cdot 1}{10} = 1\frac{3}{10}$ (169 пен 13-ті 13-ке, 2 мен 20-ны 2-ге қысқарттық);
  2. $5\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{8} = 2$;
  3. $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = 3$;
  4. $\frac{5}{6} \cdot 1\frac{6}{5}$: $1\frac{6}{5} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ болғандықтан, $\frac{5}{6} \cdot \frac{11}{5} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$;
  5. $3\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{28}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$;
  6. $9\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{64}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{48}{7} = 6\frac{6}{7}$;
  7. $10\frac{1}{5} \cdot \frac{10}{17} = \frac{51}{5} \cdot \frac{10}{17} = 3 \cdot 2 = 6$;
  8. $\frac{3}{11} \cdot 5\frac{1}{2} = \frac{3}{11} \cdot \frac{11}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $1\frac{3}{10}$; 2) 2; 3) 3; 4) $1\frac{5}{6}$; 5) $1\frac{1}{6}$; 6) $6\frac{6}{7}$; 7) 6; 8) $1\frac{1}{2}$.

📕 Оқулықтың шартында төртінші мысалда «1 6/5» деп басылған — аралас санды олай жазуға болмайды: бөлшек бөлігі бірден кіші болуы керек. Бәлкім, 1 1/5 болуы керек еді, сонда 5/6 · 6/5 = 1. Біз басылғанындай шығардық.

№ 579

Көбейтудің қасиеттерін пайдаланып, тиімді тәсілмен есептеңдер: $\left(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3}$; $\frac{2}{9} \cdot \left(\frac{3}{10} \cdot \frac{7}{8}\right)$; $\frac{15}{19} \cdot \left(\frac{19}{25} \cdot \frac{7}{9}\right) \cdot \frac{5}{7}$; $\left(\frac{10}{13} \cdot \frac{11}{12}\right) \cdot \left(\frac{12}{55} \cdot \frac{13}{20}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Көбейткіштерді кез келген ретпен ауыстыруға және топтауға болады. Бәрін бір сызықтың астына жазамыз — сонда үстіндегі және астындағы бірдей сандар жай ғана жоғалады.

Шешуі.

  1. $\frac{1}{5} \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$;
  2. $\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 10 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{7}{120}$;
  3. $\frac{15 \cdot 19 \cdot 7 \cdot 5}{19 \cdot 25 \cdot 9 \cdot 7} = \frac{15 \cdot 5}{25 \cdot 9} = \frac{75}{225} = \frac{1}{3}$;
  4. $\frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{13 \cdot 12 \cdot 55 \cdot 20} = \frac{10 \cdot 11}{55 \cdot 20} = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{10}$; 2) $\frac{7}{120}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{1}{10}$.

№ 580

Өрнектің мәнін табыңдар: $\frac{5}{12}a + 7$, мұндағы $a = 4$; $\frac{4}{9}b + \frac{2}{3}$, мұндағы $b = \frac{3}{4}$; $\frac{2}{5} + 1\frac{1}{4}a$, мұндағы $a = 1\frac{3}{5}$; $2\frac{3}{10}b + \frac{1}{2}$, мұндағы $b = 2\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Әріптің орнына санды қой. Алдымен көбейту, сосын қосу.

Шешуі.

  1. $\frac{5}{12} \cdot 4 + 7 = \frac{5}{3} + 7 = 1\frac{2}{3} + 7 = 8\frac{2}{3}$;
  2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$;
  3. $\frac{2}{5} + 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{3}{5} = \frac{2}{5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{2}{5} + 2 = 2\frac{2}{5}$;
  4. $2\frac{3}{10} \cdot 2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{23}{10} \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{23}{4} + \frac{2}{4} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) $8\frac{2}{3}$; 2) 1; 3) $2\frac{2}{5}$; 4) $6\frac{1}{4}$.

№ 581

1) 1 кг кәмпиттің бағасы 350 тг. $1\frac{3}{5}$ кг кәмпит неше теңге? 2) 1 см³ алтынның массасы $19\frac{3}{10}$ г. 20 см³ алтын неше грамм? 3) Жердің жасанды серігі $7\frac{9}{10}$ км/с жылдамдықпен ұшырылды. Ол 8 секундта қанша қашықтыққа барады?

Қалай ойлаймыз. Бір килограмның бағасын килограмм санына көбейтеміз. Массамен және жылдамдықпен де дәл солай.

Шешуі.

  1. $350 \cdot 1\frac{3}{5} = 350 \cdot \frac{8}{5} = 70 \cdot 8 = 560$ (тг);
  2. $19\frac{3}{10} \cdot 20 = \frac{193}{10} \cdot 20 = 193 \cdot 2 = 386$ (г);
  3. $7\frac{9}{10} \cdot 8 = \frac{79}{10} \cdot 8 = \frac{632}{10} = 63\frac{1}{5}$ (км).

Жауабы: 1) 560 тг; 2) 386 г; 3) $63\frac{1}{5}$ км.

№ 582

Квадраттың қабырғасы $2\frac{3}{4}$ дм. Квадраттың периметрін табыңдар. Квадраттың ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $2\frac{3}{4}$ дм — бұл дециметрдің 11 төрттен бірі. Шаршыны $\frac{1}{4}$ дм-лік торларға бөліп, санап шық.

Шешуі.

  1. $P = 2\frac{3}{4} \cdot 4 = \frac{11}{4} \cdot 4 = 11$ (дм);
  2. $S = \left(\frac{11}{4}\right)^2 = \frac{121}{16} = 7\frac{9}{16}$ (дм²).

Жауабы: периметрі 11 дм, ауданы $7\frac{9}{16}$ дм².

№ 583

Тігінші бірнеше көйлектің әрқайсысына $2\frac{3}{4}$ метрден есептеп, орам мата сатып алды. Ол орам матаны әр көйлекке жеке бөлу үшін 7 рет қиды. Орам мата неше көйлек тігуге есептелген? Орам мата неше метр?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп! Әр қию бір кесекті бөліп алады. Бірақ жетінші қиюдан кейін қолда тағы бір, соңғы кесек қалады. Таяқтағыдай: бір рет кессең — екі бөлік.

Шешуі.

  1. Кесек саны: $7 + 1 = 8$, демек, көйлек 8.
  2. Мата: $2\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{11}{4} \cdot 8 = 22$ (м).

Жауабы: 8 көйлек, 22 м мата.

B деңгейі

№ 584

Амалдарды орындаңдар: $\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{20}\right) \cdot \frac{1}{2}$; $\left(\frac{7}{12} - \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{16}{19}$; $\left(7\frac{3}{5} - 2\frac{4}{15}\right) \cdot \frac{9}{32}$; $\left(\frac{11}{24} + \frac{1}{6}\right) \cdot 1\frac{3}{5}$; $\left(5\frac{1}{2} + 2\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{5}{9}$; $\left(7 - 2\frac{5}{16}\right) \cdot \frac{4}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаны (онда ортақ бөлім керек), сосын көбейтуді (онда ол қажет емес) орындаймыз.

Шешуі.

  1. $\frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$; $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$;
  2. $\frac{7}{12} - \frac{4}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$; $\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{19} = \frac{4}{19}$;
  3. $7\frac{9}{15} - 2\frac{4}{15} = 5\frac{5}{15} = 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$; $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{32} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
  4. $\frac{11}{24} + \frac{4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$; $\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5} = 1$;
  5. $5\frac{5}{10} + 2\frac{6}{10} = 8\frac{1}{10} = \frac{81}{10}$; $\frac{81}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$;
  6. $7 - 2\frac{5}{16} = 4\frac{11}{16} = \frac{75}{16}$; $\frac{75}{16} \cdot \frac{4}{25} = \frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{5}$; 2) $\frac{4}{19}$; 3) $1\frac{1}{2}$; 4) 1; 5) $4\frac{1}{2}$; 6) $\frac{3}{4}$.

№ 585

Амалдарды орындаңдар: $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{15} - \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15}$; $\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}$; $\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{3} + \frac{5}{14} \cdot \frac{7}{25}$; $3\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} - 3\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{27}$; $2\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \cdot 1\frac{2}{3}$; $1\frac{17}{28} \cdot \frac{7}{9} + \frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Жақша жоқ, демек, алдымен екі көбейтуді, содан кейін қосуды немесе азайтуды орындаймыз.

Шешуі.

  1. $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{15} = \frac{1}{2}$; $\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1}{9}$; $\frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}$;
  2. $\frac{7}{18} \cdot \frac{9}{14} = \frac{1}{4}$; $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{2}{7}$; $\frac{1}{4} + \frac{2}{7} = \frac{7}{28} + \frac{8}{28} = \frac{15}{28}$;
  3. $\frac{9}{20} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{10}$; $\frac{5}{14} \cdot \frac{7}{25} = \frac{1}{10}$; $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$;
  4. $\frac{15}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{2}$; $\frac{81}{25} \cdot \frac{5}{27} = \frac{3}{5}$; $\frac{3}{2} - \frac{3}{5} = \frac{15}{10} - \frac{6}{10} = \frac{9}{10}$;
  5. $\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = 2$; $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{4}$; $2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$;
  6. $\frac{45}{28} \cdot \frac{7}{9} = \frac{5}{4}$; $\frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{2}{5}$; $\frac{5}{4} + \frac{2}{5} = \frac{25}{20} + \frac{8}{20} = \frac{33}{20} = 1\frac{13}{20}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{18}$; 2) $\frac{15}{28}$; 3) $\frac{2}{5}$; 4) $\frac{9}{10}$; 5) $\frac{3}{4}$; 6) $1\frac{13}{20}$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 585-жаттығудың 5-мысалына $\frac{3}{7}$ деп жазылған. Бұл қате: $2\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = 2$, $\frac{3}{4} \cdot 1\frac{2}{3} = \frac{5}{4}$, ал $2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$. Дұрыс жауап — $\frac{3}{4}$.

№ 586

Көбейтудің қосуға (азайтуға) қатысты үлестірімділік қасиетін пайдаланып, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып алып, есептеңдер: $8 \cdot \frac{4}{11} + 8 \cdot \frac{7}{11}$; $5 \cdot \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{6}{7}$; $\frac{2}{5} \cdot \frac{6}{13} + \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{13}$; $\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6}$; $\frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7}$; $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Қайталанатын көбейткішті тап — жақшада жиі 1 немесе ыңғайлы бөлшек шығады.

Шешуі.

  1. $8 \cdot \left(\frac{4}{11} + \frac{7}{11}\right) = 8 \cdot 1 = 8$;
  2. $5 \cdot \left(\frac{1}{7} + \frac{6}{7}\right) = 5 \cdot 1 = 5$;
  3. $\frac{6}{13} \cdot \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) = \frac{6}{13} \cdot \frac{13}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$;
  4. $\frac{5}{6} \cdot \left(\frac{5}{8} - \frac{2}{8}\right) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{16}$;
  5. $\frac{3}{5} \cdot \left(1 - \frac{2}{7}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3}{7}$ ($\frac{3}{5}$ саны — бұл $\frac{3}{5} \cdot 1$);
  6. $\frac{1}{7} \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{24} = \frac{1}{24}$.

Жауабы: 1) 8; 2) 5; 3) $\frac{3}{10}$; 4) $\frac{5}{16}$; 5) $\frac{3}{7}$; 6) $\frac{1}{24}$.

№ 587

1) Квадратын табыңдар: $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{2}{7}$, $1\frac{1}{2}$, $4\frac{1}{9}$, $6\frac{2}{3}$. 2) Кубын табыңдар: $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{4}{9}$, $1\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{4}$, $3\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Алымын да, бөлімін де бөлек квадраттаймыз (кубқа шығарамыз). Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

  1. $\frac{1}{16}$; $\frac{9}{64}$; $\frac{25}{36}$; $\frac{4}{49}$; $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$; $\left(\frac{37}{9}\right)^2 = \frac{1369}{81} = 16\frac{73}{81}$; $\left(\frac{20}{3}\right)^2 = \frac{400}{9} = 44\frac{4}{9}$.
  2. $\frac{1}{8}$; $\frac{8}{27}$; $\frac{1}{125}$; $\frac{64}{729}$; $\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$; $\left(\frac{9}{4}\right)^3 = \frac{729}{64} = 11\frac{25}{64}$; $\left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{343}{8} = 42\frac{7}{8}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$ — бұл $1\frac{1}{4}$ емес! Алдымен $\frac{3}{2}$, сосын $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 588

Шамаларды жазыңдар: 1) грамм есебімен: $\frac{3}{4}$ кг; $\frac{7}{10}$ кг; $1\frac{3}{5}$ кг; $2\frac{1}{20}$ кг; $3\frac{2}{25}$ кг; 2) сантиметр есебімен: $\frac{2}{5}$ дм; $\frac{3}{10}$ дм; $\frac{7}{20}$ м; $\frac{11}{25}$ м; $1\frac{9}{10}$ м; 3) секунд есебімен: $\frac{1}{3}$ мин; $\frac{1}{4}$ мин; $\frac{9}{10}$ мин; $\frac{1}{3600}$ сағ; $\frac{1}{2}$ сағ.

Қалай ойлаймыз. 1 кг = 1000 г, 1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 мин = 60 с, 1 сағ = 3600 с. Бөлшекті ірі өлшемдегі ұсақ өлшем санына көбейтеміз.

Шешуі.

  1. $\frac{3}{4} \cdot 1000 = 750$ г; $\frac{7}{10} \cdot 1000 = 700$ г; $1\frac{3}{5} \cdot 1000 = 1600$ г; $2\frac{1}{20} \cdot 1000 = 2050$ г; $3\frac{2}{25} \cdot 1000 = 3080$ г.
  2. $\frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ см; $\frac{3}{10} \cdot 10 = 3$ см; $\frac{7}{20} \cdot 100 = 35$ см; $\frac{11}{25} \cdot 100 = 44$ см; $1\frac{9}{10} \cdot 100 = 190$ см.
  3. $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ с; $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ с; $\frac{9}{10} \cdot 60 = 54$ с; $\frac{1}{3600} \cdot 3600 = 1$ с; $\frac{1}{2} \cdot 3600 = 1800$ с.

Жауабы: 1) 750 г, 700 г, 1600 г, 2050 г, 3080 г; 2) 4 см, 3 см, 35 см, 44 см, 190 см; 3) 20 с, 15 с, 54 с, 1 с, 1800 с.

№ 589

Теңдеуді шешіңдер: $4\left(x - \frac{1}{2}\right) = 0$; $8\left(x - \frac{3}{14}\right) = 0$; $\left(x - 1\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{3} = 0$; $\left(x - 2\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4}{5} = 0$; $12\left(x - 1\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6}\right) = 0$; $9\left(x - 3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}\right) = 0$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның алдындағы сан нөл емес. Демек, нөлге жақша тең. Ал жақша $x$ одан азайтылатын санға тең болғанда нөл болады.

Шешуі.

  1. $x - \frac{1}{2} = 0$, $x = \frac{1}{2}$;
  2. $x - \frac{3}{14} = 0$, $x = \frac{3}{14}$;
  3. $x - 1\frac{3}{4} = 0$, $x = 1\frac{3}{4}$;
  4. $x - 2\frac{1}{4} = 0$, $x = 2\frac{1}{4}$;
  5. $1\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13}{10} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$, демек, $x = 1\frac{1}{12}$;
  6. $3\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7} = 2$, демек, $x = 2$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; 2) $\frac{3}{14}$; 3) $1\frac{3}{4}$; 4) $2\frac{1}{4}$; 5) $1\frac{1}{12}$; 6) 2.

№ 590

1) 3.39-суретте кескінделген кубтың жоғарғы жағындағы $ACD$ үшбұрышының ауданы $24\frac{1}{2}$ см². Кубтың боялған бөлігінің көлемін табыңдар. 2) 9 кг болат білеуше бар еді. Одан әрқайсысының массасы $\frac{5}{8}$ кг 14 бөлшек жасалғанда, неше килограмм болат артық қалады?

Қалай ойлаймыз. Диагональ шаршы жақты екі бірдей үшбұрышқа бөледі. Демек, жақтың ауданы үшбұрыштың ауданынан екі есе үлкен. Ал жақтың ауданынан кубтың қырын табамыз.

Шешуі.

  1. Жақтың ауданы: $24\frac{1}{2} \cdot 2 = 49$ (см²). Кубтың қыры 7 см, өйткені $7 \cdot 7 = 49$.
  2. Кубтың көлемі: $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ (см³).
  3. Боялғаны — кубтың жартысы: $343 : 2 = 171\frac{1}{2}$ (см³).

Екінші есеп:

  1. Бөлшектерге кеткен болат: $\frac{5}{8} \cdot 14 = \frac{70}{8} = 8\frac{3}{4}$ (кг).
  2. Қалғаны: $9 - 8\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (кг).

Жауабы: 1) $171\frac{1}{2}$ см³; 2) $\frac{1}{4}$ кг (250 г).

№ 591

Практикалық жұмыс. Үйдегі немесе пәтердегі бір бөлменің ұзындығын, енін өлшеп, метр есебімен жазыңдар. Бөлменің еденінің ауданын квадрат метр есебімен табыңдар. Егер 1 м² еден ауданын сырлауға $\frac{3}{10}$ кг сыр жұмсалса, осы бөлменің еденін сырлауға неше килограмм сыр қажет?

Қалай ойлаймыз. Рулеткамен қабырға бойымен өлшеп, метрдің оннан біріне дейін дөңгелекте. Ауданы — ұзындығы мен енінің көбейтіндісі, сыр — аудан мен шығынның көбейтіндісі.

Шешуі (мысал). Бөлме 5 м-ге 4 м болсын.

  1. Ауданы: $5 \cdot 4 = 20$ (м²).
  2. Сыр: $\frac{3}{10} \cdot 20 = 6$ (кг).

Қабырғалары бөлшек болса, мысалы $4\frac{1}{2}$ м және $3\frac{1}{2}$ м, онда ауданы $\frac{9}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4}$ м², ал сыр $\frac{3}{10} \cdot \frac{63}{4} = \frac{189}{40} = 4\frac{29}{40}$ кг, яғни 5 кг-ға жуық.

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; 5 × 4 м бөлме үшін — 20 м² және 6 кг сыр.

№ 592

«Ботаника бағының» ауданы шамамен 108 га. Жаздыгүні әрбір 50 м² жасыл желекті алқап тәулігіне $2\frac{1}{4}$ кг оттегін шығарады. Ботаника бағындағы жасыл алқап тәулігіне неше килограмм оттегін шығарады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен гектарды шаршы метрге айналдыр. Сосын бақта 50 м²-лік «телімдер» қанша екенін тауып, әр телімнің оттегісіне көбейт.

Шешуі.

  1. 1 га = 10 000 м², демек, 108 га = 1 080 000 м².
  2. 50 м²-лік телімдер: $1,080,000 : 50 = 21,600$.
  3. Оттегі: $21,600 \cdot 2\frac{1}{4} = 21,600 \cdot 2 + 21,600 : 4 = 43,200 + 5400 = 48,600$ (кг).

🌟 Тәулігіне шамамен 50 тонна оттегі — бірнеше үлкен жүк көлігінің салмағындай. Қалаларға саябақтар осы үшін керек!

Жауабы: 48 600 кг = 48 т 600 кг.

№ 593

Диастың үйінен мектепке дейінгі аралықта 20 үй бар. Диас үйінен мектепке бара жатқанда ең бірінші үйде және сонан кейінгі әрбір үшінші үйде мектепте оқитын қара шашты балалар тұрады. Диас мектептен үйіне бара жатқанда бірінші үйде және сонан кейінгі әрбір алтыншы үйде мектепте оқитын сары шашты балалар тұрады. Басқа үйлерде мектеп жасына дейінгі балалар ғана тұрады. Мектеп жасына дейінгі балалар неше үйде тұрады?

Қалай ойлаймыз. Үйлерді Диастың үйінен бастап нөмірлейміз: 1, 2, …, 20. Сонда «мектептен санағандағы бірінші үй» — 20-үй. Қара шашты және сары шашты балалар тұратын үйлердің нөмірлерін жазып, ортақтары бар-жоғын тексер.

Шешуі.

  1. Қара шашты балалар: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19-үйлер — 7 үй.
  2. Сары шашты балалар (6-дан кері санаймыз): 20, 14, 8, 2-үйлер — 4 үй.
  3. Ортақ үй жоқ, мектеп оқушылары $7 + 4 = 11$ үйде тұрады.
  4. Мектеп жасына дейінгі балалар: $20 - 11 = 9$ үйде.

Жауабы: 9 үйде.

№ 594

Велосипед доңғалағының сыртқы шеңберінің ұзындығы $1\frac{4}{5}$ м. Велосипед доңғалағы 1 секундта $1\frac{2}{3}$ айналым жасайды. Велосипед 5 минутта неше метр қашықтыққа барады?

Қалай ойлаймыз. Бір айналымда доңғалақ өз шеңберінің ұзындығына тең жол жүреді. 5 минутта неше айналым болатынын тап.

Шешуі.

  1. 5 мин = 300 с.
  2. 300 с-та айналым: $1\frac{2}{3} \cdot 300 = \frac{5}{3} \cdot 300 = 500$.
  3. Бір айналымда доңғалақ $1\frac{4}{5}$ м жүреді: $500 \cdot \frac{9}{5} = 900$ (м).

Жауабы: 900 м.

C деңгейі

№ 595

Есептеңдер: $\left(\frac{5}{7}\right)^2 \cdot \frac{7}{15}$; $\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{32}{45}$; $\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{5}$; $\left(2\frac{5}{7}\right)^2 \cdot \frac{14}{19}$; $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{27}{98}$; $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot \frac{11}{32}$; $\left(\frac{3}{10}\right)^2 \cdot \frac{5}{6}$; $\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{15}{24}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен квадраттау, сосын көбейту. $19 \cdot 19$-ды асығып көбейтпе — алдымен нені қысқартуға болатынын қара.

Шешуі.

  1. $\frac{25}{49} \cdot \frac{7}{15} = \frac{5}{7 \cdot 3} = \frac{5}{21}$;
  2. $\frac{9}{16} \cdot \frac{32}{45} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$;
  3. $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$;
  4. $\left(\frac{19}{7}\right)^2 \cdot \frac{14}{19} = \frac{19 \cdot 19 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 19} = \frac{19 \cdot 2}{7} = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7}$;
  5. $\left(\frac{7}{3}\right)^2 \cdot \frac{27}{98} = \frac{49 \cdot 27}{9 \cdot 98} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
  6. $\frac{64}{121} \cdot \frac{11}{32} = \frac{2}{11}$;
  7. $\frac{9}{100} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{40}$;
  8. $\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{24} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{21}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{1}{5}$; 4) $5\frac{3}{7}$; 5) $1\frac{1}{2}$; 6) $\frac{2}{11}$; 7) $\frac{3}{40}$; 8) $\frac{5}{18}$.

№ 596

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $1\frac{1}{2} \cdot 1\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} - \frac{1}{2}$; 2) $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7} \cdot 1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$; 3) $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{2}{5} \cdot 1\frac{2}{7} \cdot 1\frac{2}{9} \cdot 1\frac{2}{11} + \frac{1}{2}$; 4) $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{7} \cdot 1\frac{4}{11} \cdot 1\frac{4}{15} \cdot 1\frac{4}{19} - \frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды бұрыс бөлшекке айналдыр — сонда тізбекті көресің: әр бөлшектің бөлімі алдыңғысының алымына тең. Домино тасындай, барлығы дерлік қысқарады.

Шешуі.

  1. $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{2}$; $\frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$;
  2. $\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9}{4}$; $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$;
  3. $\frac{5}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{11}{9} \cdot \frac{13}{11} = \frac{13}{2}$; $\frac{13}{2} + \frac{1}{2} = 7$;
  4. $\frac{7}{3} \cdot \frac{11}{7} \cdot \frac{15}{11} \cdot \frac{19}{15} \cdot \frac{23}{19} = \frac{23}{3}$; $\frac{23}{3} - \frac{2}{3} = 7$.

Жауабы: 1) 3; 2) 2; 3) 7; 4) 7.

№ 597

Сандар тізбегінің заңдылығын анықтаңдар. Сандар тізбегінің келесі үш мүшесін жазыңдар: 1) $\frac{1}{37}$; $\frac{2}{37}$; $\frac{3}{37}$; $\frac{4}{37}$; … 2) $\frac{21}{29}$; $\frac{19}{29}$; $\frac{17}{29}$; $\frac{15}{29}$; … 3) $\frac{1}{17}$; $\frac{2}{17}$; $\frac{4}{17}$; $\frac{8}{17}$; …

Қалай ойлаймыз. Бөлім барлық жерде өз орнында тұр. Алымға не болатынын бақыла: қосады ма, азайтады ма, әлде көбейтеді ме?

Шешуі.

  1. Алым 1-ге артады: $\frac{5}{37}$, $\frac{6}{37}$, $\frac{7}{37}$;
  2. Алым 2-ге кемиді: $\frac{13}{29}$, $\frac{11}{29}$, $\frac{9}{29}$;
  3. Алым әр жолы екі есе артады (бөлшек 2-ге көбейтіледі): $\frac{16}{17}$, $\frac{32}{17}$, $\frac{64}{17}$.

Жауабы: 1) $\frac{5}{37}$; $\frac{6}{37}$; $\frac{7}{37}$; 2) $\frac{13}{29}$; $\frac{11}{29}$; $\frac{9}{29}$; 3) $\frac{16}{17}$; $\frac{32}{17}$; $\frac{64}{17}$.

№ 598

Ескекті қайық өзінен 9 км қашықтықта жүзіп бара жатқан салды қуып келеді. Ескекті қайықтың меншікті жылдамдығы $10\frac{1}{2}$ км/сағ. $\frac{2}{3}$ сағат уақыт өткенде ескекті қайық салдан неше километр қашықтықта болады?

Қалай ойлаймыз. Сал өзеннің ағысымен жүзеді. Қайық ағыспен «өзінің жылдамдығы + ағыс жылдамдығымен» жүзеді. Ағыс екеуін де бірдей алып жүреді, сондықтан қайық салға дәл өзінің меншікті жылдамдығымен жақындайды.

Шешуі.

  1. $\frac{2}{3}$ сағатта қайық салға $10\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{3} = 7$ (км) жақындайды.
  2. Қалғаны $9 - 7 = 2$ (км).

Жауабы: 2 км.

№ 599

1) Балада 4 алма, 4 жарты алма және жарты алманың жартысының 4-еуі бар. Балада неше алма бар? 2) Нұрбол бақтан алмұрт теріп, себетпен алып келе жатты. Себетте 27 алмұрт бар. Ол үйіне келе жатқан жолда Ерланды кездестіріп, оған себеттегі алмұрттардың $\frac{1}{3}$-ін берді. Сонан соң Мирасты кездестіріп, оған себетте қалған алмұрттардың $\frac{1}{3}$-ін берді. Нұрбол үйіне жақындағанда Диасты кездестіріп, оған себетте қалған соңғы алмұрттардың $\frac{1}{3}$-ін берді. Себетте неше алмұрт қалды?

Қалай ойлаймыз. «Жарты алманың жартысы» — жартының жартысы, яғни $\frac{1}{4}$. Екінші есепте әр жолы 27-нің емес, қалғанының үштен бірін аламыз.

Шешуі.

  1. $4 + 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 2 + 1 = 7$ (алма).
  2. Ерланға: $27 \cdot \frac{1}{3} = 9$, қалғаны 18. Мирасқа: $18 \cdot \frac{1}{3} = 6$, қалғаны 12. Диасқа: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$, қалғаны 8.

Жауабы: 1) 7 алма; 2) 8 алмұрт.

№ 600

Қауын, қарбыз және асқабақ сатып алынды. Қауынды есептемегенде өзгелерінің массасы 11 кг. Қарбызды есептемегенде өзгелерінің массасы 9 кг. Асқабақты есептемегенде өзгелерінің массасы 12 кг. Бақша өнімдерінің әрқайсысының массасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Берілген үш санды қос. Әр жеміс қосындыға дәл екі рет кіреді.

Шешуі.

  1. $11 + 9 + 12 = 32$ (кг) — үшеуінің қосынды массасының екі еселенгені.
  2. Үшеуі бірге: $32 : 2 = 16$ (кг).
  3. Қауын: $16 - 11 = 5$ кг; қарбыз: $16 - 9 = 7$ кг; асқабақ: $16 - 12 = 4$ кг.

Тексеру: қарбыз + асқабақ = 11, қауын + асқабақ = 9, қауын + қарбыз = 12. Дұрыс.

Жауабы: қауын 5 кг, қарбыз 7 кг, асқабақ 4 кг.

№ 601

3.40-сурет бойынша $ABCD$ төртбұрышының ауданын квадрат сантиметр есебімен табыңдар. $AEFK$ тік төртбұрышының ауданын, $AEB$, $CFD$, $DKA$ тік бұрышты үшбұрыштарының аудандарын табыңдар. (Тор қағазда: бір торды 1 см² шаршы деп алу — төрт кішкене тор. $AEFK$ тік төртбұрышы 6 см-ге 4 см. $EF$ қабырғасында $B$ және $C$ нүктелері: $EB = 2$ см, $BC = 3$ см, $CF = 1$ см. $FK$ қабырғасында $D$ нүктесі: $FD = 2$ см, $DK = 2$ см.)

Қалай ойлаймыз. Тік бұрышты үшбұрыш — катеттерінен жасалған тік төртбұрыштың жартысы. Ал төртбұрыш = үлкен тік төртбұрыш минус үш «бұрыш».

Шешуі.

  1. $S_{AEFK} = 6 \cdot 4 = 24$ (см²).
  2. $S_{AEB} = 4 \cdot 2 : 2 = 4$ (см²) (катеттері $EA = 4$, $EB = 2$).
  3. $S_{CFD} = 1 \cdot 2 : 2 = 1$ (см²) (катеттері $CF = 1$, $FD = 2$).
  4. $S_{ADK} = 6 \cdot 2 : 2 = 6$ (см²) (катеттері $AK = 6$, $DK = 2$).
  5. $S_{ABCD} = 24 - 4 - 1 - 6 = 13$ (см²).

Жауабы: тік төртбұрыш 24 см²; үшбұрыштар 4 см², 1 см², 6 см²; $ABCD$ төртбұрышы — 13 см².

№ 602

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{1}{3} \cdot \left(2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} - 5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8}\right) + 4\frac{5}{9}$; 2) $30\frac{4}{5} - 1\frac{2}{5} \cdot \left(1\frac{4}{5} \cdot \left(12\frac{7}{12} - 9\frac{19}{36}\right) - \frac{17}{35} \cdot 1\frac{11}{34}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ішкі жақшалар, ал жақша ішінде көбейту азайтудан бұрын орындалады. Шатаспау үшін әр амалды жеке жолға жаз.

Шешуі.

  1. $\frac{1}{3} \cdot \left(2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} - 5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8}\right) + 4\frac{5}{9}$:
    1. $2\frac{2}{15} \cdot 6\frac{1}{4} = \frac{32}{15} \cdot \frac{25}{4} = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{40}{3}$;
    2. $5\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{8} = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$;
    3. $\frac{40}{3} - 6 = \frac{40}{3} - \frac{18}{3} = \frac{22}{3}$;
    4. $\frac{1}{3} \cdot \frac{22}{3} = \frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}$;
    5. $2\frac{4}{9} + 4\frac{5}{9} = 7$.
  2. $30\frac{4}{5} - 1\frac{2}{5} \cdot \left(1\frac{4}{5} \cdot \left(12\frac{7}{12} - 9\frac{19}{36}\right) - \frac{17}{35} \cdot 1\frac{11}{34}\right)$:
    1. $12\frac{21}{36} - 9\frac{19}{36} = 3\frac{2}{36} = 3\frac{1}{18} = \frac{55}{18}$;
    2. $\frac{9}{5} \cdot \frac{55}{18} = \frac{11}{2}$;
    3. $\frac{17}{35} \cdot \frac{45}{34} = \frac{9}{14}$;
    4. $\frac{11}{2} - \frac{9}{14} = \frac{77}{14} - \frac{9}{14} = \frac{68}{14} = \frac{34}{7}$;
    5. $\frac{7}{5} \cdot \frac{34}{7} = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5}$;
    6. $30\frac{4}{5} - 6\frac{4}{5} = 24$.

Жауабы: 1) 7; 2) 24.

Жадынама

  • Бөлшекті натурал санға көбейту: $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$, бөлім өзгермейді.
  • Бөлшекті бөлшекке көбейту: үстін үстіне, астын астына.
  • Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз; бүтін және бөлшек бөліктерін бөлек көбейтпейміз.
  • Көбейтуден бұрын қысқартамыз.
  • Екі дұрыс бөлшектің көбейтіндісі олардың әрқайсысынан кіші.

Шағын тест

← Тарихи мәліметтер · 3.12. Өзара кері сандар →