3.12. Өзара кері сандар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 196–198-беттер.

Нені үйренесің

• Өзара кері сандарды танып білуді: олардың көбейтіндісі 1-ге тең.
• Кері санды табу үшін бөлшекті «аударуды».
• Аралас санға және натурал санға кері санды табуды.
• Нөлдің кері саны неге жоқ екенін түсіндіруді.
• $\frac{a}{b}x = 1$ түріндегі теңдеулерді бір амалмен шешуді.

Ой қозғау

Өткен сабақты еске түсір: үстін үстіне, астын астына.

• $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$? $\frac{6}{6} = 1$.
• $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4}$? $\frac{20}{20} = 1$.
• $8 \cdot \frac{1}{8}$? $\frac{8}{8} = 1$.
• $1\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$? $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

💡 Тағы да бірлік! Тағы да, тағы да. Бұл кездейсоқтық емес — мұндай сан жұптарының өз аты бар.

Тақырыпты талдаймыз

«Аударылған» сандар

$\frac{5}{7}$ мен $\frac{7}{5}$ бөлшектерін көбейтейік:

$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{35}{35} = 1$.

Үстіңгі және астыңғы жақта бірдей сандар тұр — олар толық қысқарды. Осы екі бөлшекке қара: бірі бүтіннен кіші, екіншісі бүтіннен үлкен. Ал екеуі бірге дәл 1 береді.

📌 Көбейтіндісі 1-ге тең болатын екі санды өзара кері сандар деп атайды.

«Өзара» дегені — достық екі жаққа да жұмыс істейді: $\frac{7}{5}$ саны $\frac{5}{7}$-ге кері, ал $\frac{5}{7}$ саны $\frac{7}{5}$-ке кері.

Неге дәл 1 шығады — торларға қарайық

Бір тор — бірліктің $\frac{1}{6}$ бөлігі болсын. Сонда $1 \times 1$ шаршы — 6-ға 6 тор. Ал қабырғалары $\frac{2}{3}$ және $\frac{3}{2}$ тік төртбұрыш — 4-ке 9 тор. Аудандарын салыстыр!

Тік төртбұрыш жіңішке, бірақ биік. Ауданы бірлік шаршының ауданындай: $4 \cdot 9 = 36 = 6 \cdot 6$. Сондықтан $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.

Кері санды қалай табамыз

Бөлшек үшін — оны аудар: алымын астына, бөлімін үстіне. $\frac{7}{15}$ және $\frac{15}{7}$ — өзара кері сандар.

Аралас сан үшін — алдымен оны бұрыс бөлшекке айналдыр, сосын аудар:

$9\frac{2}{5} = \frac{47}{5}$, кері саны $\frac{5}{47}$.

Натурал сан үшін — оны бірдің астына бөлім етіп қой: 9 және $\frac{1}{9}$ өзара кері сандар, себебі $9 \cdot \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

⚠️ Жиі кететін қате. $2\frac{1}{3}$ санына кері сан деп $2\frac{3}{1}$ немесе $\frac{3}{1}$ жазады — тек бөлшек бөлігін аударады. Дұрысы: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$, кері саны $\frac{3}{7}$. Тексеру әрқашан біреу — көбейтіп көр: $\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = 1$. Дұрыс!

Ерекше сандар: 1 және 0

• 1 саны өзіне-өзі кері: $1 \cdot 1 = 1$.
• Нөлдің кері саны жоқ. Нөлге нені көбейтсең де, 0 шығады, ал 1 шықпайды. Міне, үкінің жұмбағының жауабы!

«Аударғаннан» кейін не шығады

• Дұрыс бөлшек 1-ден кіші, оған кері сан — бұрыс бөлшек (1-ден үлкен): $\frac{3}{10} \to \frac{10}{3}$.
• Аралас сан 1-ден үлкен, оған кері сан — дұрыс бөлшек: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} \to \frac{5}{6}$.
• Натурал санға кері сан — алымы 1-ге тең бөлшек: $12 \to \frac{1}{12}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл қысқа тақырып келесі сабақтағы бөлшектерді бөлуге дайындық. Бөлшекке бөлу дегеніміз — оған кері санға көбейту. Жылдам ойын ұйымдастырыңыз: сіз санды айтасыз, бала оған кері санды айтады. Әсіресе аралас сандармен жаттықтырған пайдалы.

Өзіндік жұмыстар (1–6-тапсырмалар)

Тапсырма 1

Мына сандардан бес өзара кері сандар жұбын теріп жазыңдар.

Жұптар: 1) $\frac{2}{3}$ және $\frac{3}{2}$; 3) $\frac{4}{7}$ және $\frac{7}{4}$; 4) $\frac{7}{10}$ және $\frac{10}{7}$; 5) $\frac{2}{9}$ және $\frac{9}{2}$; 8) $\frac{3}{4}$ және $\frac{4}{3}$. Қалған жұптарда көбейтінді 1-ге тең емес: мысалы, $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$.

Тапсырма 2

Мына бөлшектерге кері бөлшектерді жазыңдар. $\frac{5}{12} \to \frac{12}{5}$; $\frac{9}{13} \to \frac{13}{9}$; $\frac{11}{7} \to \frac{7}{11}$; $\frac{2}{13} \to \frac{13}{2}$; $\frac{10}{11} \to \frac{11}{10}$; $\frac{9}{100} \to \frac{100}{9}$.

Ойлан: берілген бөлшекке кері санды қалай табуға болады? Алымы мен бөлімінің орындарын ауыстыру керек.

Тапсырма 3

Мына аралас сандарға өзара кері сандардың жұптарын теріп жазыңдар.

1. $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ және $\frac{3}{7}$ — иә; 2) $5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$ және $\frac{2}{11}$ — иә; 3) $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ және $\frac{3}{8}$ — жоқ ($\frac{5}{8}$ болуы керек); 4) $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ және $\frac{3}{14}$ — иә; 5) $7\frac{2}{3} = \frac{23}{3}$ және $\frac{3}{23}$ — иә; 6) $8\frac{1}{4} = \frac{33}{4}$ және $\frac{8}{5}$ — жоқ; 7) $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$ және $\frac{21}{2}$ — жоқ, бұл бір-ақ сан; 8) $3\frac{5}{6} = \frac{23}{6}$ және $\frac{6}{23}$ — иә. Бес жұп: 1, 2, 4, 5, 8.

Тапсырма 4

Берілген сандарға кері сандарды жазыңдар.

$3\frac{2}{7} = \frac{23}{7} \to \frac{7}{23}$; $\frac{15}{8} \to \frac{8}{15}$; $2\frac{3}{10} = \frac{23}{10} \to \frac{10}{23}$; $\frac{14}{3} \to \frac{3}{14}$; $5\frac{2}{9} = \frac{47}{9} \to \frac{9}{47}$; $7\frac{1}{6} = \frac{43}{6} \to \frac{6}{43}$; $10\frac{3}{4} = \frac{43}{4} \to \frac{4}{43}$.

Ойлан: аралас санға кері санды қалай табады? Алдымен оны бұрыс бөлшекке айналдырып, сол бұрыс бөлшекке кері санды табу керек.

Тапсырма 5

Берілген сандарға кері сандарды жазып, қорытындыны толықтырыңдар.

1. $\frac{5}{7}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{11}{13}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{11}{20}$ $\to$ $\frac{7}{5}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{13}{11}$, $2$, $\frac{13}{9}$, $\frac{20}{11}$. Дұрыс бөлшекке кері сан — бұрыс бөлшек (кейде ол натурал санға тең болады, мысалы $\frac{2}{1} = 2$).
2. $1\frac{1}{5}$, $2\frac{3}{7}$, $4\frac{1}{8}$, $10\frac{2}{5}$, $21\frac{5}{9}$, $30\frac{5}{7}$, $8\frac{3}{10}$ $\to$ $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{17}$, $\frac{8}{33}$, $\frac{5}{52}$, $\frac{9}{194}$, $\frac{7}{215}$, $\frac{10}{83}$. Аралас санға кері сан — дұрыс бөлшек.
3. 3, 5, 7, 9, 12, 1, 17, 10, 100 $\to$ $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{12}$, $1$, $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$. Натурал санға кері сан — аликвоттық бөлшек (алымы 1); ерекшелік — 1 саны, ол өзіне-өзі кері.

Тапсырма 6

Мына бөлшектерге кері бөлшектерді жазыңдар: әріпті бөлшектерді аудар. $\frac{1}{a} \to a$; $\frac{1}{7x} \to 7x$; $\frac{a}{b} \to \frac{b}{a}$; $\frac{5}{a} \to \frac{a}{5}$; $\frac{b}{7} \to \frac{7}{b}$; $\frac{2x}{5} \to \frac{5}{2x}$; $\frac{3x}{2y} \to \frac{2y}{3x}$. Мұндағы әріптер нөлге тең емес.

Түсінгеніңді тексер

Жаттығуларды шығарамыз

№ 603

1) Компьютерде теруші шығарманы 3 сағатта теріп болды. Компьютерде теруші 1 сағатта шығарманың қандай бөлігін терді? 2) Құбыр бассейнді сумен 20 минутта толтырады. Құбыр 1 минутта сумен бассейннің қандай бөлігін толтырады? 3) Сөреден мәреге дейінгі қашықтықты Динара 15 секундта жүгірді, ал Данияр 12 секундта жүгірді. Балалардың қайсысының жылдамдығы көп?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жұмыс $n$ минутта (сағатта, секундта) орындалса, бір осындай бірлікте жұмыстың $\frac{1}{n}$ бөлігі орындалады. Уақыт пен «бір уақыт бірлігіндегі бөлік» — өзара кері сандар.

Шешуі.

1. 1 сағатта — шығарманың $\frac{1}{3}$ бөлігі.
2. 1 минутта — бассейннің $\frac{1}{20}$ бөлігі.
3. 1 секундта Динара қашықтықтың $\frac{1}{15}$ бөлігін, Данияр $\frac{1}{12}$ бөлігін жүгіреді. Алымы 1-ге тең екі бөлшектің бөлімі кішісі үлкен: $\frac{1}{12} > \frac{1}{15}$.

💡 Бұл заңды: кім тезірек (аз уақытта) жүгірсе, оның жылдамдығы көп.

Жауабы: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{1}{20}$; 3) Даниярдың.

№ 604

Тұжырымдамалардың қайсысы тура: 1) 1 саны өзіне-өзі кері сан; 2) өзара кері екі санның көбейтіндісі 1-ден кіші болуы мүмкін; 3) нөлге бөлуге болмайтындықтан, 0 санына кері сан жоқ; 4) кез келген санға кері сан бар; 5) нөлден басқа кез келген санға кері сан бар; 6) өзара кері сандардың көбейтіндісі 1-ге тең.

Қалай ойлаймыз. Әр тұжырымдаманы анықтамамен тексер: «көбейтінді 1-ге тең». Нөл — ерекшелік екенін де есіңе ал.

Шешуі.

1. Тура: $1 \cdot 1 = 1$.
2. Қате: ол 1-ге тең, одан кіші емес.
3. Тура: $0 \cdot$ (кез келген сан) $= 0 \ne 1$. (Оқулықта «нөлге бөлуге болмайды» деп те түсіндіреді: $0$-ге кері сан $\frac{1}{0}$ болар еді, ал нөлге бөлуге болмайды.)
4. Қате: нөлдің кері саны жоқ.
5. Тура.
6. Тура: бұл — анықтаманың өзі.

Жауабы: 1, 3, 5, 6 тура.

№ 605

Теңдеуді шешіңдер: $\frac{2}{7}x = 1$; $9x = 1$; $1\frac{5}{8}x = 1$; $\frac{1}{2}x = 1$; $\frac{7}{15}x = 1$; $3\frac{2}{5}x = 1$; $100x = 1$; $\frac{2}{13}x = 1$.

Қалай ойлаймыз. Екі санның көбейтіндісі 1-ге тең болса, олар өзара кері сандар. Демек, $x$ — жай ғана коэффициентке кері сан. Ұзақ есептеудің қажеті жоқ!

Шешуі.

1. $\frac{2}{7}x = 1$, $x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
2. $9x = 1$, $x = \frac{1}{9}$;
3. $1\frac{5}{8} = \frac{13}{8}$, $x = \frac{8}{13}$;
4. $\frac{1}{2}x = 1$, $x = 2$;
5. $\frac{7}{15}x = 1$, $x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$;
6. $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$, $x = \frac{5}{17}$;
7. $100x = 1$, $x = \frac{1}{100}$;
8. $\frac{2}{13}x = 1$, $x = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2}$.

Тексеру, мысалы 3) үшін: $\frac{13}{8} \cdot \frac{8}{13} = 1$.

Жауабы: 1) $3\frac{1}{2}$; 2) $\frac{1}{9}$; 3) $\frac{8}{13}$; 4) 2; 5) $2\frac{1}{7}$; 6) $\frac{5}{17}$; 7) $\frac{1}{100}$; 8) $6\frac{1}{2}$.

Жадынама

• Өзара кері сандар — олардың көбейтіндісі 1-ге тең.
• $\frac{a}{b}$ бөлшегіне кері сан — $\frac{b}{a}$ бөлшегі.
• Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз, сосын аударамыз.
• Натурал $n$ санына кері сан — $\frac{1}{n}$ бөлшегі.
• Нөлдің кері саны жоқ.

Шағын тест