3.14. Санның бөлігін табу. Бөлігі бойынша санды табу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану (жалғасы). 3–9-беттер.

Нені үйренесің

• Санның бөлігін табуды: кітаптың $\frac{3}{8}$-і неше бет.
• Бөлігі бойынша бүтінді табуды: 70 — барлық кітаптың $\frac{2}{5}$-і болса, барлығы неше кітап.
• Көбейту керек пе, бөлу керек пе — бір қарағанда түсінуді.
• Есепке тең бөліктерден тұратын кесінді-жолақ сызуды.
• «Қалдықтың бөлігі» деген тұзаққа түспеуді.

Ой қозғау

Бір кітап туралы екі есеп. Ойша шығарып көр, содан кейін жауабын ашып қара.

• Кітапта 72 бет бар, оның $\frac{3}{8}$-і оқылды. Неше бет оқылды? Сегізден бірі — $72 : 8 = 9$ бет, сегізден үшеуі — $9 \cdot 3 = $ 27. Бір амалмен: $72 \cdot \frac{3}{8} = 27$.
• 27 бет оқылды, бұл кітаптың $\frac{3}{8}$-і. Кітапта неше бет бар? Сегізден бірі — $27 : 3 = 9$, бүкіл кітап (сегіз сегізден бір) — $9 \cdot 8 = $ 72. Бір амалмен: $27 : \frac{3}{8} = 72$.

💡 Бұл екі есеп айнадағы көрініс сияқты. Бүтінді білесің, бөлігін іздейсің — көбейтесің. Бөлігін білесің, бүтінді іздейсің — бөлесің. Бүкіл сабақ осыған сүйенеді.

Тақырыпты талдаймыз

Тең кесектерден тұратын жолақ

Дүкенде 315 сағат бар, олардың $\frac{3}{7}$-і — қолсағаттар. Қолсағат неше? Барлық сағатты жолақ етіп сызып, оны 7 тең кесекке бөлейік.

Бір кесек: $315 : 7 = 45$ сағат. Үш кесек боялған: $45 \cdot 3 = 135$ сағат. Екі қадамды бір көбейтуге біріктіруге болады:

$315 \cdot \frac{3}{7} = \frac{315 \cdot 3}{7} = 135$.

📌 Санның бөлігін табу үшін санды осы бөлшекке көбейт. Ауызша: «бөлімге бөлемін, алымға көбейтемін».

Ереже аралас сандармен де жұмыс істейді. Мысалы, $5\frac{1}{3}$ санының $1\frac{1}{8}$ бөлігін табайық: $\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = 6$.

Ал бүтін жасырынып тұрса ше?

Оқушының кітапханасында 70 оқулық бар, бұл ондағы барлық кітаптың $\frac{2}{5}$-індей. Енді біз бүкіл жолақты емес, тек боялған бөлікті білеміз.

Екі кесек — 70 кітап, демек, бір кесек $70 : 2 = 35$. Кесек бес: $35 \cdot 5 = 175$ кітап. Бір амалмен:

$70 : \frac{2}{5} = 70 \cdot \frac{5}{2} = 175$.

📌 Бөлігі бойынша санды табу үшін белгілі бөлікті осы бөлшекке бөл. Ауызша: «алымға бөлемін, бөлімге көбейтемін».

Тағы бір мысал. Мәшине 145 км жол жүрді, бұл оның барлық жүруге тиісті жолының $\frac{5}{9}$-індей. Мәшиненің барлық жолы: $145 : \frac{5}{9} = \frac{145 \cdot 9}{5} = 261$ (км).

Мұндай есепті теңдеу құрып та шығаруға болады. Кесіндінің $\frac{5}{7}$-і 15 см болсын, ұзындығы $x$ делік. Сонда $\frac{5}{7}x = 15$, ал $x = 15 : \frac{5}{7} = 21$ см.

⚠️ Жиі кететін қате. «Санның $\frac{2}{5}$-і 70-ке тең» дегенде оқушы көбейтеді: $70 \cdot \frac{2}{5} = 28$. Болжап тексер: бүтін өз бөлігінен үлкен болуы керек. 28 саны 70-тен кіші — демек, амал шатастырылған.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр есептің алдында баладан сұраңыз: «Бүтінді білеміз бе, әлде іздейміз бе?» Бала алдымен дауыстап жауап берсін, сосын есептесін. Тағы жолақ сыздырыңыз — қисық болса да жарайды. Бұл қателердің жартысын жояды.

«Қалдықтан» деген тұзақ

Бірінші күні жұмыстың $\frac{1}{3}$-і орындалды, екінші күні — қалдықтың $\frac{1}{4}$-і. Қалдық — $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Демек, екінші күні бүкіл жұмыстың $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$-і орындалды, ал $\frac{1}{4}$-і емес.

⚠️ Жиі кететін қате. «Қалдықтың» деген сөзді көзбен өткізіп жібереді. Шартта әр бөлшектің неден алынатынын сыз: барлығынан ба, әлде қалғанынан ба.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Санның бөлігі қалай табылады? Санды осы бөлшекке көбейтеміз. Мысалы, 18-дің $\frac{2}{3}$-і: $18 \cdot \frac{2}{3} = 12$.
• Бөлігі бойынша сан қалай табылады? Белгілі бөлікті осы бөлшекке бөлеміз. Мысалы, санның $\frac{2}{3}$-і 12-ге тең болса, сан $12 : \frac{2}{3} = 18$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 666

Санның бөлігін (ауызша) табыңдар: 32-нің $\frac{1}{4}$-ін; 100-дің $\frac{1}{2}$-ін; 25-тің $\frac{3}{5}$-ін; 60-тың $\frac{7}{10}$-сін; 35-тің $\frac{4}{5}$-ін; 15-тің $\frac{1}{3}$-ін.

Қалай ойлаймыз. Бөлімге бөлеміз, алымға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $32 : 4 = 8$;
2. $100 : 2 = 50$;
3. $25 : 5 \cdot 3 = 15$;
4. $60 : 10 \cdot 7 = 42$;
5. $35 : 5 \cdot 4 = 28$;
6. $15 : 3 = 5$.

Жауабы: 1) 8; 2) 50; 3) 15; 4) 42; 5) 28; 6) 5.

A деңгейі

№ 667

Санның бөлігін табыңдар: 15-тің $\frac{3}{5}$-ін; 20-нің $\frac{4}{5}$-ін; 48-дің $\frac{5}{6}$-ін; 60-тың $\frac{1}{4}$-ін; 45-тің $\frac{4}{9}$-ін; 70-тің $\frac{3}{7}$-ін; 30-дың $\frac{3}{5}$-ін; 120-нің $\frac{3}{10}$-ін; 150-дің $\frac{2}{3}$-ін.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл: бөлімге бөлеміз, алымға көбейтеміз.

Шешуі.

Жауабы: 1) 9; 2) 16; 3) 40; 4) 15; 5) 20; 6) 30; 7) 18; 8) 36; 9) 100.

№ 668

Бөлігі бойынша санды табыңдар: $\frac{1}{4}$-і 80-ге тең; $\frac{1}{10}$-і 10-ға тең; $\frac{1}{2}$-і 30-ға тең; $\frac{1}{5}$-і 20-ға тең; $\frac{3}{4}$-і 60-қа тең; $\frac{3}{5}$-і 90-ға тең; $\frac{2}{3}$-сі 10-ға тең; $\frac{5}{6}$-і 50-ге тең; $\frac{3}{7}$-і 30-ға тең.

Қалай ойлаймыз. Енді керісінше: алымға бөлеміз (бір кесекті табамыз), бөлімге көбейтеміз (бүтінді жинаймыз).

Шешуі.

1. $80 \cdot 4 = 320$;
2. $10 \cdot 10 = 100$;
3. $30 \cdot 2 = 60$;
4. $20 \cdot 5 = 100$;
5. $60 : 3 \cdot 4 = 80$;
6. $90 : 3 \cdot 5 = 150$;
7. $10 : 2 \cdot 3 = 15$;
8. $50 : 5 \cdot 6 = 60$;
9. $30 : 3 \cdot 7 = 70$.

Жауабы: 1) 320; 2) 100; 3) 60; 4) 100; 5) 80; 6) 150; 7) 15; 8) 60; 9) 70.

№ 669

Шамалардың бөлігін табыңдар: 8 м-дің $\frac{3}{4}$-ін; 12 дм-дің $\frac{5}{8}$-ін; 10 т-ның $\frac{2}{5}$-сін; 5 кг-ның $\frac{3}{10}$-ін; 8 сағ-тың $\frac{5}{6}$-ін; 20 мин-тың $\frac{3}{4}$-ін.

Қалай ойлаймыз. Өлшем бірліктері жауаппен бірге «жүре береді». Бөлшек шықса, ұсағырақ бірлікке аударуға болады.

Шешуі.

1. $8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ м;
2. $12 \cdot \frac{5}{8} = \frac{60}{8} = 7\frac{1}{2}$ дм (бұл 7 дм 5 см);
3. $10 \cdot \frac{2}{5} = 4$ т;
4. $5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = 1\frac{1}{2}$ кг (бұл 1 кг 500 г);
5. $8 \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{6} = 6\frac{2}{3}$ сағ (бұл 6 сағ 40 мин, өйткені $\frac{2}{3}$ сағ $= 40$ мин);
6. $20 \cdot \frac{3}{4} = 15$ мин.

Жауабы: 1) 6 м; 2) $7\frac{1}{2}$ дм; 3) 4 т; 4) $1\frac{1}{2}$ кг; 5) $6\frac{2}{3}$ сағ (6 сағ 40 мин); 6) 15 мин.

№ 670

1) 75 м матаның $\frac{2}{5}$-сінен балаларға көйлек тігілді. Балаларға көйлек неше метр матадан тігілді? 2) Адам массасының $\frac{13}{20}$-і су. Массасы 75 кг адам денесінде қанша су бар? 3) Сыныпта 30 оқушы оқиды. Оның $\frac{3}{5}$-і қыздар. Сыныпта неше қыз бар?

Қалай ойлаймыз. Үш есепте де бүтін белгілі, бөлігін іздейміз — демек, көбейтеміз.

Шешуі.

1. $75 \cdot \frac{2}{5} = 30$ м.
2. $75 \cdot \frac{13}{20} = \frac{975}{20} = 48\frac{15}{20} = 48\frac{3}{4}$ кг.
3. $30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ қыз.

Жауабы: 1) 30 м; 2) $48\frac{3}{4}$ кг; 3) 18 қыз.

🌟 Сенің денеңнің қақ жартысынан астамы — су! Сондықтан ыстықта немесе футболдан кейін су ішу өте маңызды.

№ 671

1) Тиін шамамен 6 жыл тіршілік етеді. Бұл қоянның тіршілік етуге тиісті жасының $\frac{3}{5}$-іне тең. Қоян неше жыл тіршілік етеді? 2) Қант қызылшасының $\frac{3}{20}$ бөлігі қантқа айналады. 12 т қант алу үшін неше тонна қант қызылшасы керек? 3) Жердің бірінші жасанды серігінің Жерден ең алыс қашықтығының $\frac{2}{5}$-сі 380 км-ге тең. Оның Жерден ең алыс қашықтығы неше километр?

Қалай ойлаймыз. Мұнда бөлік белгілі, ал бүтін жасырынып тұр — бөлшекке бөлеміз.

Шешуі.

1. $6 : \frac{3}{5} = 6 \cdot \frac{5}{3} = 10$ жыл.
2. $12 : \frac{3}{20} = 12 \cdot \frac{20}{3} = 80$ т.
3. $380 : \frac{2}{5} = 380 \cdot \frac{5}{2} = 950$ км.

Жауабы: 1) 10 жыл; 2) 80 т; 3) 950 км.

№ 672

Жаттығуда 80 сөз бар. Жаттығудағы барлық сөздердің $\frac{1}{4}$-і — зат есімдер, $\frac{3}{10}$-і — етістіктер. Қалғаны — әртүрлі сөз таптары. Жаттығудағы зат есімдер неше сөз? Етістіктер неше сөз? Әртүрлі сөз таптары неше сөз?

Қалай ойлаймыз. Екі бөлшек те барлық 80 сөзден алынады. Ал «қалғаны» — ол да, бұл да емес сөздер.

Шешуі.

1. Зат есімдер: $80 \cdot \frac{1}{4} = 20$.
2. Етістіктер: $80 \cdot \frac{3}{10} = 24$.
3. Басқа сөз таптары: $80 - 20 - 24 = 36$.

Жауабы: 20 зат есім, 24 етістік, 36 сөз — әртүрлі сөз таптары.

№ 673

Тік төртбұрыштың ені $4\frac{1}{5}$ см, бұл оның ұзындығының $\frac{1}{2}$-індей. Тік төртбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ені — ұзындығының жартысы, демек, ұзындығы екі есе үлкен. Содан кейін периметрдің қарапайым формуласы.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $4\frac{1}{5} : \frac{1}{2} = 4\frac{1}{5} \cdot 2 = 8\frac{2}{5}$ см.
2. Периметрі: $2 \cdot \left(4\frac{1}{5} + 8\frac{2}{5}\right) = 2 \cdot 12\frac{3}{5} = 25\frac{1}{5}$ см.

Жауабы: $25\frac{1}{5}$ см.

№ 674

Үш санның қосындысы 324-ке тең. Бірінші сан қосындының $\frac{4}{9}$-іне тең, екінші сан $\frac{1}{6}$-іне тең. Үшінші санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосынды белгілі — бұл бүтін. Екі санды 324-тің бөлігі ретінде табамыз, ал үшіншісі — қалғаны.

Шешуі.

1. Бірінші: $324 \cdot \frac{4}{9} = 144$.
2. Екінші: $324 \cdot \frac{1}{6} = 54$.
3. Үшінші: $324 - 144 - 54 = 126$.

Жауабы: 126.

№ 675

1) Марат барлық ақшасының $\frac{5}{7}$-іне кітап сатып алғанда, оның 50 тг ақшасы қалды. Алғашқыда Маратта қанша ақша болды? (A. 180 тг; B. 175 тг; C. 178 тг; D. 165 тг.) 2) Турист барлық жүруге тиісті жолының $\frac{7}{12}$-сін жүргенде межелеген жерге дейін 85 км қашықтық қалды. Турист неше километр қашықтыққа баруды межеленген еді?

Қалай ойлаймыз. 50 тг — $\frac{5}{7}$-ге емес, қалдыққа жатады! Алдымен қандай бөлігі қалғанын табамыз, сосын бүтінді іздейміз.

Шешуі.

1. Ақшаның $1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$-і қалды — бұл 50 тг. Барлығы: $50 : \frac{2}{7} = 50 \cdot \frac{7}{2} = 175$ тг.
2. Жолдың $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$-і қалды — бұл 85 км. Бүкіл жол: $85 : \frac{5}{12} = 85 \cdot \frac{12}{5} = 204$ км.

⚠️ Жиі кететін қате. 50-ні $\frac{5}{7}$-ге бөліп, 70 тг шығарады. Бірақ $\frac{5}{7}$ — жұмсалғаны, ал 50 тг — қалғаны. Тексеру: 70 тг-ден небәрі 20 тг қалар еді.

Жауабы: 1) 175 тг (B нұсқасы); 2) 204 км.

B деңгейі

№ 676

Бөлшектің бөлігін табыңдар: $\frac{2}{3}$-нің $\frac{9}{10}$-ын; $\frac{4}{9}$-тің $\frac{3}{16}$-ін; $\frac{5}{12}$-тің $\frac{3}{5}$-ін; $\frac{8}{15}$-дің $\frac{3}{4}$-ін; $\frac{3}{8}$-тің $\frac{4}{5}$-ін; $\frac{14}{25}$-тің $\frac{5}{7}$-ін.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің бөлігі — сол ереже: көбейтеміз. Көбейтпес бұрын қысқарт — оңайырақ.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{3}{5}$;
2. $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{1}{12}$;
3. $\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$;
4. $\frac{8}{15} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{15 \cdot 4} = \frac{2}{5}$;
5. $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$;
6. $\frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{25 \cdot 7} = \frac{2}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{3}{5}$; 2) $\frac{1}{12}$; 3) $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{2}{5}$; 5) $\frac{3}{10}$; 6) $\frac{2}{5}$.

№ 677

Бөлігі бойынша шамаларды табыңдар: $\frac{4}{7}$-і 16 м; $\frac{5}{8}$-і 30 дм; $\frac{3}{10}$-і 15 см; $\frac{3}{4}$-і 12 т; $\frac{4}{5}$-і 32 кг; $\frac{7}{9}$-сі 28 г; $\frac{2}{3}$-сі 4 сағ; $\frac{3}{5}$-і 15 мин; $\frac{5}{12}$-і 20 с.

Қалай ойлаймыз. Бұл — «бөлігі бойынша сан»: алымға бөлеміз, бөлімге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $16 : 4 \cdot 7 = 28$ м;
2. $30 : 5 \cdot 8 = 48$ дм;
3. $15 : 3 \cdot 10 = 50$ см;
4. $12 : 3 \cdot 4 = 16$ т;
5. $32 : 4 \cdot 5 = 40$ кг;
6. $28 : 7 \cdot 9 = 36$ г;
7. $4 : 2 \cdot 3 = 6$ сағ;
8. $15 : 3 \cdot 5 = 25$ мин;
9. $20 : 5 \cdot 12 = 48$ с.

Жауабы: 1) 28 м; 2) 48 дм; 3) 50 см; 4) 16 т; 5) 40 кг; 6) 36 г; 7) 6 сағ; 8) 25 мин; 9) 48 с.

№ 678

Жолаушылар мәшинемен $53\frac{3}{4}$ км/сағ жылдамдықпен 4 сағат жүрді. Барлық жолдың $\frac{4}{5}$-і тасжол, қалғаны жай жол. Жай жолдың ұзындығын табыңдар. (A. 47 км; B. 45 км; C. 60 км; D. 52 км.)

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүкіл жолды табамыз (жылдамдықты уақытқа көбейтеміз), сосын қажетті бөлігін.

Шешуі.

1. Бүкіл жол: $53\frac{3}{4} \cdot 4 = 212 + 3 = 215$ км.
2. Жай жол — жолдың $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$-і.
3. $215 \cdot \frac{1}{5} = 43$ км.

📕 Оқулықтағы нұсқалар арасында 43 км жоқ. Егер жылдамдық $58\frac{3}{4}$ км/сағ болса, бүкіл жол $58\frac{3}{4} \cdot 4 = 235$ км, ал жай жол $235 \cdot \frac{1}{5} = 47$ км — A нұсқасы дәл шығады. Демек, шартта жылдамдықтағы санның қате басылып кетуі мүмкін.

Жауабы: берілген шарт бойынша 43 км (нұсқалардың ешқайсысы емес); жылдамдық $58\frac{3}{4}$ км/сағ болса — 47 км (A).

№ 679

Сынып оқушыларының $\frac{3}{5}$-і түрлі үйірмелерге қатысады. Оның $\frac{2}{3}$-сі спорттық үйірмелерге қатысады. Сыныптағы спорттық үйірмелерге қатысатын оқушылар саны 12. Сыныпта неше оқушы бар?

Қалай ойлаймыз. $\frac{2}{3}$ — сыныптан емес, үйірмеге қатысушылардан алынған. Алдымен спортшылар бүкіл сыныптың қандай бөлігі екенін табамыз.

Шешуі.

1. $\frac{3}{5}$-тің $\frac{2}{3}$-сі: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{5}$ сыныптың.
2. Сыныптың $\frac{2}{5}$-і — 12 оқушы. Бүкіл сынып: $12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = 30$.

Жауабы: 30 оқушы.

№ 680

Оқушылар мектеп кітапханасындағы кітаптарды түптеуге көмектесті. Олар бірінші күні түптеуге тиісті барлық кітаптың $\frac{2}{7}$-сін, екінші күні $\frac{1}{3}$-ін түптеді. Үшінші күні қалған 40 кітапты түптеді. Оқушылар үш күнде барлығы неше кітап түптеді?

Қалай ойлаймыз. Екі бөлшек те барлық кітаптан алынған. Үшінші күнге қандай бөлік тиетінін табамыз да, бүтінді сол бойынша іздейміз.

Шешуі.

1. Екі күнде: $\frac{2}{7} + \frac{1}{3} = \frac{6}{21} + \frac{7}{21} = \frac{13}{21}$.
2. Үшінші күні: $1 - \frac{13}{21} = \frac{8}{21}$, бұл 40 кітап.
3. Барлығы: $40 : \frac{8}{21} = 40 \cdot \frac{21}{8} = 105$ кітап.

Тексеру: $105 \cdot \frac{2}{7} = 30$, $105 \cdot \frac{1}{3} = 35$, $30 + 35 + 40 = 105$.

Жауабы: 105 кітап.

№ 681

Сәкен сатып алатын кітабы үшін кассирге 500 тг ақша берді. Кассир оған осы ақшасының $\frac{3}{25}$-ін қайтарды. Сәкен сатып алған кітаптың бағасы неше теңге?

Қалай ойлаймыз. Бүтін белгілі — 500 тг. Қайтарылған ақшаны табамыз, ал баға — қалғаны.

Шешуі.

1. Қайтарылған ақша: $500 \cdot \frac{3}{25} = 60$ тг.
2. Бағасы: $500 - 60 = 440$ тг.

Жауабы: 440 тг.

№ 682

1) Шыны құрамының $\frac{5}{8}$ бөлігі — құм. Қалғанының $\frac{1}{3}$ бөлігі — әк. Шыны құрамының қандай бөлігі — әк? 2) Сынып оқушыларының $\frac{1}{3}$-і жеңіл атлетикаға қатысады. Қалғанының $\frac{3}{5}$-і еркін күреске қатысады. Сынып оқушыларының қандай бөлігі еркін күреске қатысады? Сынып оқушыларының қандай бөлігі жеңіл атлетика мен еркін күреске қатысады?

Қалай ойлаймыз. Тағы «қалдықтан» деген тұзақ: алдымен қалдықты табамыз, содан кейін оның бөлігін аламыз.

Шешуі.

1. Қалғаны: $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$. Әк: $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}$ шынының.
2. Қалған оқушылар: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Күрес: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ сыныптың. Екі секция бірге: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$ сыныптың.

Жауабы: 1) $\frac{1}{8}$; 2) еркін күреске — сыныптың $\frac{2}{5}$-і; жеңіл атлетика мен еркін күреске бірге — сыныптың $\frac{11}{15}$-і.

№ 683

Ертегідегі есеп. Ежелгі грек математигі Пифагордан: «Сіздің неше оқушыңыз бар?» деп сұрағанда, ол: «Менің оқушыларымның жартысы математиканы оқып-үйренеді, ширегі табиғаттануды оқып-үйренеді, ал $\frac{1}{7}$-і уақытты үнемі ойланып отырып өткізеді, қалғаны 3 қыз» деп жауап беріпті. Пифагордың неше оқушысы болған?

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлшектерді қосып, үш қыз қандай бөлікті құрайтынын табамыз. Одан әрі — бөлігі бойынша санды табу.

Шешуі.

1. Үш топ бірге: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{14}{28} + \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{25}{28}$.
2. Қыздарға $1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$ келеді, бұл 3 оқушы.
3. Барлығы: $3 : \frac{3}{28} = 28$.

Тексеру: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$.

Жауабы: 28 оқушы.

№ 684

Шие тосабын дайындау үшін оған қосылған қант барлық шие тосабының $\frac{3}{5}$-індей, қалғаны — шие жемісі. Тосаптың құрамындағы шие жемісі қанттан 2 кг кем. Тосаптың массасы неше килограмм? (A. 8 кг; B. 6 кг; C. 10 кг; D. 9 кг.)

Қалай ойлаймыз. Қант — бестің 3 кесегі, шие — 2 кесегі. 1 кесектік айырма — бұл дәл 2 кг.

Шешуі.

1. Шие: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ тосаптың.
2. Айырмасы: $\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ тосаптың, бұл 2 кг.
3. Тосап: $2 : \frac{1}{5} = 10$ кг.

Жауабы: 10 кг (C нұсқасы).

№ 685

Бірінші ыдысқа 800 см³ су, екінші ыдысқа 700 см³ су сыяды. Осы ыдыстарды пайдаланып, су ағатын шүмектен ыдыстардың сыйымдылығы үлкеніне 300 см³ суды қалай құйып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Үлкенін толтырып, одан кішісін шетіне дейін толтырамыз — үлкенінде кішісінде болғаннан 100 см³ артық қалады. Осылай 100 см³-тен «жинаймыз».

Шешуі. Әр қадамнан кейін (үлкені; кішісі) жазамыз.

1. Үлкенін толтырамыз: (800; 0).
2. Одан кішісін шетіне дейін толтырамыз: (100; 700).
3. Кішісін төгеміз, оған 100-ді құямыз: (0; 100).
4. Үлкенін толтырамыз, кішісін толтырамыз (оған тағы 600 сияды): (200; 700).
5. Кішісін төгеміз, оған 200-ді құямыз: (0; 200).
6. Үлкенін толтырамыз, кішісін толтырамыз (500 сияды): (300; 700).

Жауабы: үлкен ыдыста 300 см³ қалады (жоғарыдағы алты қадам).

№ 686

Пальтоның бағасы 17 000 тг. Қыс айларында пальтоның бағасы алғашқы бағасының $\frac{1}{10}$-іне қымбаттады. Көктемде пальтоның бағасы оның соңғы бағасының $\frac{1}{10}$-іне арзандады. Көктемде пальтоның бағасы неше теңге болды?

Қалай ойлаймыз. «Бұрынғыдай» деп айтқың келеді — бірақ олай емес! Екінші оннан бір бөлік енді басқа, үлкенірек бағадан алынады.

Шешуі.

1. Қымбаттауы: $17,000 \cdot \frac{1}{10} = 1700$ тг. Қыстағы баға: $17,000 + 1700 = 18,700$ тг.
2. Арзандауы: $18,700 \cdot \frac{1}{10} = 1870$ тг. Көктемдегі баға: $18,700 - 1870 = 16,830$ тг.

Жауабы: 16 830 тг. Баға 17 000 тг-ге қайта оралған жоқ: екінші жолы оннан бір бөлікті үлкенірек соммадан алдық.

C деңгейі

№ 687

Нұрлан саяжайдан стансыға дейінгі қашықтықтың $\frac{2}{5}$-сін жүріп өткенде саяжай мен стансының ортасына дейін жетуі үшін тағы да $4\frac{3}{10}$ км жүруі керек еді. Саяжай мен стансының арасы неше километр? (A. 43 км; B. 45 км; C. 40 км; D. 42 км.)

Қалай ойлаймыз. Орта — бұл жолдың $\frac{1}{2}$-і. $\frac{2}{5}$ пен $\frac{1}{2}$ аралығында жолдың қандай кесегі жатыр?

Шешуі.

1. Ортасына дейін қалғаны: $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$ жолдың.
2. Жолдың $\frac{1}{10}$-і — $4\frac{3}{10}$ км. Бүкіл жол: $4\frac{3}{10} \cdot 10 = 43$ км.

Жауабы: 43 км (A нұсқасы).

№ 688

Жанармай сататын станция барлық жанармайдың бірінші күні $\frac{7}{25}$-сін, екінші күні қалғанының $\frac{1}{3}$-ін сатқанда, онда $4\frac{4}{5}$ т жанармай қалды. Жанармай сататын станцияда барлығы неше тонна жанармай болған?

Қалай ойлаймыз. Мұнда дәл «қалдықтың бөлігі» бар. Бәрін бастапқы мөлшердің бөліктері арқылы өрнектейміз.

Шешуі.

1. Бірінші күннен кейін қалғаны: $1 - \frac{7}{25} = \frac{18}{25}$.
2. Екінші күні сатылғаны: $\frac{18}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{25}$.
3. Қалғаны $\frac{18}{25} - \frac{6}{25} = \frac{12}{25}$ барлық жанармайдың, бұл $4\frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ т.
4. Болғаны: $\frac{24}{5} : \frac{12}{25} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{12} = 10$ т.

Жауабы: 10 т.

№ 689

Оқушы бірінші күні кітаптың $\frac{1}{8}$-ін, екінші күні қалғанының $\frac{2}{7}$-сін оқыды. Сонда оқушының оқыған беттері оқымаған беттерінен 18 бет кем болды. Кітапта барлығы неше бет болған?

Қалай ойлаймыз. Бәрін кітаптың бөліктеріне аударамыз. «18 бет кем» деген айырма да — қандай да бір бөлік.

Шешуі.

1. Бірінші реттен кейін $\frac{7}{8}$ қалды. Екінші рет оқығаны: $\frac{7}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{8}$.
2. Барлығы оқылған $\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$, қалғаны $\frac{5}{8}$.
3. Айырмасы $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ кітап, бұл 18 бет.
4. Кітапта $18 \cdot 4 = 72$ бет бар.

Тексеру: оқылғаны 27, қалғаны 45, $45 - 27 = 18$.

Жауабы: 72 бет.

№ 690

Ертедегі есеп. Парсы шаруасы үш ұлына 17 түйесін мұраға қалдырды. Бірінші ұлына барлық түйесінің $\frac{1}{2}$-ін, екінші ұлына $\frac{1}{3}$-ін, үшінші ұлына $\frac{1}{9}$-ін алуды тапсырды. Ағайындылар көп ойланды, бірақ әкесінің мұрасын ол айтқандай етіп бөле алмады. Сол кезде олардың жанынан түйесімен Қожанасыр өтіп бара жатыр еді. Ол түйелерге өзінің түйесін қосып, мәселені шешуді ұсынды. Қожанасырдың түйесін қосып, ағайындылар түйелерді әкесі айтқандай бөліп алды. Қожанасыр да өз түйесін қайтарып алып кетті. Ойланыңдар, бұл қалай болған?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Әкесі өсиет еткен бөліктерді қос, сонда қулықтың сыры ашылады.

Шешуі.

1. Қожанасырдың түйесімен бірге түйе 18 болды. Бірінші ұл $18 : 2 = 9$, екінші $18 : 3 = 6$, үшінші $18 : 9 = 2$ түйе алды.
2. Барлығы $9 + 6 + 2 = 17$ түйе таратылды. Он сегізінші — Қожанасырдың түйесі — артық қалды, ол оны алып кетті.
3. Сыры мынада: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18}$. Әкесінің бөліктері қосылғанда бүтін бермейді, сондықтан он сегізден бірі «артық». Әр ұл 17 түйеден тиісті үлесінен сәл көбірек алды.

Жауабы: 18 түйеден ұлдар 9, 6 және 2 түйе алды — барлығы 17, ал 18-і Қожанасырға қайтты, өйткені бөліктердің қосындысы 1 емес, $\frac{17}{18}$.

🌟 Қожанасыр — шығыстың бәрінде, Түркиядан Қазақстанға дейін, күлкілі әңгімелердің кейіпкері. Қазақтың да осындай қу мінезді өз қулығы бар — Алдар Көсе.

№ 691

Ыдыстың $\frac{1}{5}$ бөлігі бос, қалғанына сүт құйылған. Ыдыстағы сүттің $\frac{3}{4}$ бөлігін құйып алғанда, ыдыстың қандай бөлігі бос қалады?

Қалай ойлаймыз. $\frac{3}{4}$ — құйылған сүттен алынады, бүкіл ыдыстан емес.

Шешуі.

1. Сүт ыдыстың $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$-і болды.
2. Құйып алынғаны: $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ ыдыстың. Қалған сүт: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ ыдыстың.
3. Бос: $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ ыдыстың.

Жауабы: ыдыстың $\frac{4}{5}$ бөлігі.

№ 692

Бақта шырша, емен және қайың ағаштары бар. Шырша ағашы бақтағы барлық ағаштардың $\frac{9}{25}$-ындай, ал емен ағаштары шырша ағаштарының $\frac{1}{3}$-індей. Бақтағы қайың ағаштарының емен ағаштарынан 60-ы артық. Бақта барлығы неше ағаш бар? (A. 145 ағаш; B. 160 ағаш; C. 150 ағаш; D. 120 ағаш.)

Қалай ойлаймыз. Емен мен қайыңды барлық ағаштың бөліктері арқылы өрнектейміз. «60-ы артық» деген айырма — қандай да бір бөлік, соның көмегімен бүтінді табамыз.

Шешуі.

1. Емен: $\frac{9}{25} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{25}$ барлық ағаштың.
2. Қайың: $1 - \frac{9}{25} - \frac{3}{25} = \frac{13}{25}$.
3. Қайың еменнен $\frac{13}{25} - \frac{3}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ барлық ағашқа артық. Бұл — 60 ағаш.
4. Барлығы: $60 : \frac{2}{5} = 150$.

Тексеру: шырша 54, емен 18, қайың 78; $78 - 18 = 60$; $54 + 18 + 78 = 150$.

Жауабы: 150 ағаш (C нұсқасы).

№ 693

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}x - \frac{4}{9}} + \frac{1}{20} = \frac{4}{5}$; 2) $\dfrac{\frac{5}{7}}{\frac{6}{7}x + \frac{3}{7}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$; 3) $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}x - \frac{1}{2}} - \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеуді сырттан іштей қарай, орамды тарқатқандай «тарқатамыз»: алдымен үлкен бөлшектің өзін табамыз, сосын оның бөлімін, одан кейін $x$-ті.

Шешуі.

1. Бөлшек $\frac{4}{5} - \frac{1}{20} = \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$-ке тең. Бөлімі (бөлгіш): $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{8}{9}$. Демек, $\frac{4}{9}x - \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$. $\frac{4}{9}x = \frac{12}{9}$, $x = \frac{12}{9} : \frac{4}{9} = 3$.

2. Бөлшек $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$-ке тең. Бөлімі: $\frac{5}{7} : \frac{2}{3} = \frac{15}{14}$. Демек, $\frac{6}{7}x + \frac{3}{7} = \frac{15}{14}$. $\frac{6}{7}x = \frac{15}{14} - \frac{6}{14} = \frac{9}{14}$, $x = \frac{9}{14} : \frac{6}{7} = \frac{9 \cdot 7}{14 \cdot 6} = \frac{3}{4}$.

3. Бөлшек $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$-ге тең. Бөлімі: $\frac{3}{4} : \frac{3}{8} = 2$. Демек, $\frac{5}{8}x - \frac{1}{2} = 2$. $\frac{5}{8}x = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, $x = \frac{5}{2} : \frac{5}{8} = 4$.

Жауабы: 1) 3; 2) $\frac{3}{4}$; 3) 4.

№ 694

3.43-суретте көлдегі 6 аралды қосатын 10 көпір кескінделген. 10 көпірдің әрқайсысынан бір рет қана өтіп, аралдардың әрқайсысына қалайша 1 рет қана барып қайтуға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Әр аралдан неше көпір шығатынын санап шық. Егер саны тақ болса, жол сол аралда міндетті түрде басталуы немесе аяқталуы керек.

Шешуі. Аралдарды белгілейік: С — сол жақ, ЖО — жоғарғы оң жақ, ОО — ортаңғы оң жақ, О — төменгі ортадағы, ТС — төменгі сол жақ, ТО — төменгі оң жақ. Көпірлер: С–ЖО, ЖО–ОО, С–ОО, С–О, ОО–О, С–ТС, ТС–О, О–ТО, ОО–ТО, ТС–ТО.

1. Аралдардағы көпір саны: С — 4, ЖО — 2, ОО — 4, О — 4, ТС — 3, ТО — 3.
2. Тақ сан тек ТС және ТО аралдарында. Демек, жолды солардың бірінен бастап, екіншісінде аяқтаймыз.
3. Маршрут: ТС → С → ЖО → ОО → С → О → ТС → ТО → О → ОО → ТО.

Тексеру: маршрутта 10 өту бар, барлық көпір әртүрлі, барлық 6 арал аралап шығылған.

Жауабы: мысалы, ТС → С → ЖО → ОО → С → О → ТС → ТО → О → ОО → ТО (жолды төменгі сол жақ немесе төменгі оң жақ аралдан бастау керек).

🌟 Кёнигсберг қаласындағы 7 көпір туралы осыған ұқсас есепті ұлы математик Леонард Эйлер шешкен. Осыдан тұтас ғылым — графтар теориясы басталды. Бүгінде телефондағы навигаторлар соған сүйеніп жұмыс істейді.

Жадынама

• Бүтін белгілі, бөлігін іздейміз — бөлшекке көбейтеміз.
• Бөлік белгілі, бүтінді іздейміз — бөлшекке бөлеміз.
• Болжап тексер: бөлшек 1-ден кіші болса, бөлік бүтіннен кіші.
• Жолақ сыз: кесек саны — бөлімге тең.
• «Қалдықтың $\frac{1}{3}$-і» — бұл қалдықтан алынған бөлшек, барлығынан емес.

Шағын тест