3.15. Бірлесіп орындалатын жұмыстарға есептер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану (жалғасы). 10–15-беттер.

Нені үйренесің

• Бүкіл жұмысты (хауызды, қоршауды, жолды) 1 деп алуды.
• 1 сағатта жұмыстың қандай бөлігі орындалатынын табуды: $1 : \text{уақыт}$.
• Бірге жұмыс істегенде бөліктерді қосуды, ал біреу кедергі жасағанда немесе қатысушының бірін табу керек болғанда азайтуды.
• Алдымен бірге, сосын біреуі ғана жұмыс істейтін есептерді шығаруды.
• Өзендегі қайық пен қарама-қарсы қозғалыс та дәл солай шешілетінін көруді.

Ой қозғау

Бұл амалдар әр есепте керек болады. Ойша есепте.

• $1 : 6$ және $1 : 15$? $\frac{1}{6}$ және $\frac{1}{15}$.
• $\frac{1}{4} + \frac{1}{12}$? $\frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = $ $\frac{1}{3}$.
• $\frac{1}{6} - \frac{1}{10}$? $\frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = $ $\frac{1}{15}$.
• $1 : \frac{1}{5}$ және $1 : \frac{2}{9}$? 5 және $\frac{9}{2} = $ $4\frac{1}{2}$.
• 45-тің $\frac{3}{5}$-і? Санның $\frac{2}{9}$-ы 18 болса, сан неге тең? $45 \cdot \frac{3}{5} = $ 27; $18 : \frac{2}{9} = $ 81.

Тақырыпты талдаймыз

Күнделікті тұрмыста екі немесе бірнеше жұмысшы бірлесіп бір тапсырманы орындайтын жағдайлар жиі кездеседі. Мысалы, шебер мен шәкірт бірлесіп бір тапсырманы орындайды, құрылысшылардың екі бригадасы бірлесіп бір үй салады. Сол сияқты екі немесе үш құбырдан қатар аққан сумен хауыз толады. Бір-біріне қарсы қозғалған екі дененің қозғалысы және өзендегі катердің ағыспен қозғалысы да бірлесіп орындалатын жұмыстарға жатады.

Бүкіл жұмыс — бұл 1

Арман әжесінің ауылдағы үйінің қоршауын бояп жатыр. Ол жалғыз өзі 6 сағатта бояйды, ал әкесі — 3 сағатта. Қоршау неше метр екенін білмейміз. Және білудің қажеті жоқ! Бүкіл қоршауды 1 деп аламыз.

Арман 1 сағатта қоршаудың $1 : 6 = \frac{1}{6}$-ін бояйды. Әкесі — $1 : 3 = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$-ін. Бұл — олардың «жұмыс жылдамдығы».

Бірге 1 сағатта олар қоршаудың $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$-ін бояйды. Демек, бүкіл қоршау $1 : \frac{1}{2} = 2$ сағаттан кейін дайын болады.

Графикке қарайық

Қоршауды 6 кесекке бөліп, әр сағатта қанша бітетінін бақылайық. Сызық неғұрлым тік болса, жұмыс соғұрлым жылдам.

Ең тік сызық 6 кесекке екінші сағатта-ақ жетеді. Екеуі бірге — екеуінің ең жылдамынан да тез.

📌 Сызба әрқашан бір: уақыт → 1 сағатта орындалатын бөлік → қосамыз → $1 : $ қосынды.

⚠️ Жиі кететін қате. Уақытты қосады: «6 сағ + 3 сағ = 9 сағ». Бірақ екеуі бірге істегенде жұмыс тезірек бітеді! Бірлескен уақыт әрқашан ең жылдам қатысушының уақытынан аз болады. 2 сағ 3 сағ-тан аз — жауап ақылға қонады.

Насостар, үйректер және қайықтар

Цистернаны бензинмен бірінші насос 24 минутта толтырса, екінші насос 40 минутта толтырады. Бірге бір минутта: $\frac{1}{24} + \frac{1}{40} = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}$ цистерна. Бүкіл цистерна — $1 : \frac{1}{15} = 15$ минутта.

Қозғалыс та — жұмыс. Сал өзен жағасындағы $A$ айлағынан $B$ айлағына дейінгі арақашықтықты 20 сағатта жүзеді: ағыс бір сағатта жолдың $\frac{1}{20}$-ін апарады. Қайық көлде осындай арақашықтықты 5 сағатта жүзеді — сағатына $\frac{1}{5}$. Ағыспен жүзгенде өзен көмектеседі: $\frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ жол бір сағатта, бүкіл жол — 4 сағатта.

💡 Ағысқа қарсы жүзгенде өзен кедергі жасайды — бөліктер азайтылады. Ал бір-біріне қарсы келе жатқан екеу жолды бірге «жеп» қояды — бөліктер екі насос сияқты қосылады.

Азайту қашан керек

Бірлескен жұмыстың уақытын және біреуінің уақытын білсең, екіншісін азайту арқылы табасың: $\frac{1}{\text{бірге}} - \frac{1}{\text{бірінші}}$. Бір құбыр суды құйып, екіншісі төгіп тұрғанда да солай.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{1}{15}$ шықты да, жауап ретінде «$\frac{1}{15}$ сағ» деп жазады. Бірақ $\frac{1}{15}$ — бір сағатта орындалатын жұмыс бөлігі, уақыт емес! Уақыт — соңғы амалмен: $1 : \frac{1}{15} = 15$ сағ.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есепті шығармас бұрын бала екі сұраққа жауап берсін: «Нені 1 деп аламыз?» және «Әрқайсысы 1 сағатта (минутта, күнде) жұмыстың қандай бөлігін орындайды?» Жауаптар болса, одан әрі есеп өзі шығады дерлік.

Түсінгеніңді тексер

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 695

1) Жүйектегі бүлдіргенді Еңлік 20 минут, ал Әйгерім 30 минут тереді. Жүйектегі бүлдіргенді Еңлік пен Әйгерім бірлесіп терді. Қыздар жүйектегі бүлдіргенді неше минутта теріп болады? (A. 15 минутта; B. 10 минутта; C. 18 минутта; D. 12 минутта.) 2) Киіз үйдің құрылысын бірінші уста 20 күнде, екінші уста 12 күнде, үшінші уста 15 күнде даярлайды. Киіз үйдің құрылысын үш уста бірлесіп даярласа, оларға неше күн қажет болады?

Қалай ойлаймыз. Жүйекті 1 деп аламыз. Әрқайсысы минутына жүйектің қандай бөлігін теретінін тауып, қосамыз.

Шешуі.

1. Еңлік 1 минутта: $\frac{1}{20}$, Әйгерім: $\frac{1}{30}$. Бірге: $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$. Уақыты: $1 : \frac{1}{12} = 12$ мин.
2. 1 күнде: $\frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{3}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ киіз үй. Уақыты: $1 : \frac{1}{5} = 5$ күн.

Жауабы: 1) 12 минутта (D нұсқасы); 2) 5 күнде.

№ 696

(Қытай, б. з. II ғ.) Жабайы үйрек Оңтүстік теңізден Солтүстік теңізге дейін 7 күн ұшады. Жабайы қаз Солтүстік теңізден Оңтүстік теңізге дейін 9 күн ұшады. Жабайы үйрек пен жабайы қаз бір уақытта ұшса, олар неше күннен кейін кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Олар бір-біріне қарсы ұшады, сондықтан олардың бір күнде ұшатын жол бөліктері қосылады — екі насос сияқты.

Шешуі.

1. Бүкіл жол — 1. Үйрек күніне жолдың $\frac{1}{7}$-ін, қаз — $\frac{1}{9}$-ін ұшады.
2. Бірге бір күнде: $\frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9}{63} + \frac{7}{63} = \frac{16}{63}$ жол.
3. Кездесуге дейін: $1 : \frac{16}{63} = \frac{63}{16} = 3\frac{15}{16}$ күн.

Жауабы: $3\frac{15}{16}$ күннен кейін.

🌟 Бұл есепке екі мыңға жуық жыл болды! Ол қытайдың «Тоғыз кітаптағы математика» еңбегінде жазылған. Адамдар бөлшектерді компьютер пайда болғанға дейін-ақ қоса білген.

№ 697

Ертедегі есеп. Бір қойды арыстан 2 күн, қасқыр 3 күн, ал ит 6 күн жейді. Егер бір қойды арыстан, қасқыр және ит бірлесіп жесе, неше күнде жейді?

Қалай ойлаймыз. Қойды 1 деп аламыз. Әрқайсысы күніне қанша жейтінін қосамыз.

Шешуі.

1. Бір күнде: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = 1$ қой.
2. Уақыты: $1 : 1 = 1$ күн.

Жауабы: 1 күнде.

№ 698

Хауыз бірінші және екінші құбырдан аққан сумен 6 сағатта толады. Хауызға су бірінші құбырдан ғана ақса, хауыз 10 сағатта толады. Хауызға су екінші құбырдан ғана ақса, хауыз неше сағатта толады?

Қалай ойлаймыз. «Бірге» жұмысы мен бірінші құбырдың жұмысы белгілі. Екіншісін азайту арқылы табамыз.

Шешуі.

1. Екеуі 1 сағатта: хауыздың $\frac{1}{6}$-і, бірінші: $\frac{1}{10}$.
2. Екінші 1 сағатта: $\frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{15} = 15$ сағ.

Жауабы: 15 сағатта.

№ 699

Ағасы, інісі және қарындасы бірлесіп қардан аққаланы 12 минутта жасады. Қардан жасалған осы аққаланы, егер ағасы ғана жасаса, 24 минутта, егер інісі ғана жасаса, 40 минутта жасайды. Егер осы аққаланы қарындасы ғана жасаса, қанша уақытта жасайды?

Қалай ойлаймыз. Үшеуінің жалпы «жылдамдығынан» екі ағайындының «жылдамдығын» алып тастаймыз — қарындасы қалады.

Шешуі.

1. Бәрі бірге 1 минутта: аққаланың $\frac{1}{12}$-і.
2. Екі ағайынды 1 минутта: $\frac{1}{24} + \frac{1}{40} = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}$.
3. Қарындасы 1 минутта: $\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5}{60} - \frac{4}{60} = \frac{1}{60}$.
4. Уақыты: $1 : \frac{1}{60} = 60$ мин.

Жауабы: 1 сағ = 60 мин.

B деңгейі

№ 700

Хауызға үш құбыр жүргізілген. Бірінші және екінші құбырмен хауызға су құйылса, үшінші құбырмен су хауыздан сыртқа ағады. Бірінші құбыр хауызды 6 сағатта, ал екінші құбыр — 8 сағатта толтырады. Үшінші құбырмен хауыздағы су 4 сағатта толық ағып бітеді. Құбырлардың үшеуін де бір уақытта ашып қойса, 1 сағаттан соң су хауыздың қандай бөлігінде қалады?

Қалай ойлаймыз. Су құятын құбырларды қосамыз, ал суды төгетінін азайтамыз.

Шешуі. $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{6}{24} = \frac{1}{24}$.

Жауабы: хауыздың $\frac{1}{24}$ бөлігінде (бүкіл хауыз 24 сағатта толады).

№ 701

Цирк құрылысын құрылысшылардың бірінші бригадасы 15 айда бітіретін болса, екінші бригадасы оның $\frac{2}{3}$-іне тең уақытта бітіреді. Құрылысшылардың екі бригадасы бірлесіп жұмыс істесе, цирк құрылысы неше айда бітеді?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші бригаданың уақыты (бұл — санның бөлшегі). Одан әрі — әдеттегі бірлескен жұмыс.

Шешуі.

1. Екінші бригаданың уақыты: $15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ ай.
2. Бірге бір айда: $\frac{1}{15} + \frac{1}{10} = \frac{2}{30} + \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ ғимарат.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{6} = 6$ ай.

Жауабы: 6 айда.

№ 702

Құрылысшылардың үш бригадасы құрылыстары бірдей 2 үйді салулары керек. Осындай 1 үйді құрылысшылардың бірінші бригадасы 9 аптада салады, ал екінші бригадасы одан $1\frac{1}{3}$ есе артық уақытта, үшінші бригадасы 2 есе артық уақытта салады. Егер құрылысшылардың үш бригадасы бірлесіп жұмыс істесе, 2 үйді неше аптада салады?

Қалай ойлаймыз. 1 деп бір үйді аламыз. Бір үйге кететін уақытты тауып, соңында екі еселейміз.

Шешуі.

1. Екінші бригада: $9 \cdot 1\frac{1}{3} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$ апта бір үйге. Үшінші: $9 \cdot 2 = 18$ апта.
2. Бірге бір аптада: $\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ үй.
3. Бір үй — $1 : \frac{1}{4} = 4$ аптада, екі үй — $4 \cdot 2 = 8$ аптада.

Жауабы: 8 аптада.

№ 703

Л. Ф. Магницкийдің «Арифметикасынан» (Ресей, XVIII ғ.). Үйме шөпті ат бір ай жейді, ешкі екі ай жейді, ал қой үш ай жейді. Егер осы шөпті ат, ешкі және қой үшеуі де бірге жесе, олар неше ай жер еді?

Қалай ойлаймыз. Ат жалғыз өзі шөп үймесін бір айда жейді, ал мұнда оған басқалар да көмектеседі. Демек, жауап бір айдан аз.

Шешуі.

1. Бір айда бірге: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$ үйме.
2. Уақыты: $1 : \frac{11}{6} = \frac{6}{11}$ ай.

Жауабы: $\frac{6}{11}$ ай (айда 30 күн болса, шамамен 16 күн).

№ 704

Бак екі шүмектен қатар аққан сумен 2 сағатта, ал бірінші шүмектен аққан сумен 3 сағатта толады. Егер бакқа су екінші шүмектен ғана ақса, оның $\frac{2}{3}$-сі неше сағатта толады?

Қалай ойлаймыз. Екінші шүмектің «жылдамдығын» табамыз, содан кейін бүкіл бакқа емес, тек оның $\frac{2}{3}$-іне кететін уақытты есептейміз.

Шешуі.

1. Екінші шүмек 1 сағатта: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ бак. Демек, бүкіл бакты 6 сағатта толтырады.
2. Бактың $\frac{2}{3}$-і: $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ сағ.

Жауабы: 4 сағатта.

№ 705

Бір уақытта айлақтан қайық шығып, оған қарсы өзен жағасындағы $A$ пунктінен сал жіберілді. Қайық 2 сағ жүзген соң салмен кездесіп, тағы да 30 мин жүзіп, $A$ пунктіне келді. Сал қайықпен кездескеннен кейін айлаққа қанша уақытта барады?

Қалай ойлаймыз. Суретте ағыс $A$ пунктінен айлаққа қарай бағытталған: сал ағыспен, қайық ағысқа қарсы жүзеді. Қайықтың бүкіл жолына $2 \text{ сағ} + 30 \text{ мин} = 2\frac{1}{2}$ сағ кетті.

Шешуі. Айлақтан $A$ пунктіне дейінгі қашықтықты 1 деп алайық.

1. Қайық 1 сағатта: $1 : 2\frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ жол.
2. 2 сағаттан кейін кездесті, демек, бірге 1 сағатта жолдың $\frac{1}{2}$-ін жүреді.
3. Сал 1 сағатта: $\frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$ жол. Бүкіл жолды сал 10 сағатта жүзіп өтеді.
4. Кездесуге дейін сал 2 сағ жүзді, кездескеннен кейін оған $10 - 2 = 8$ сағ қалды.

Жауабы: 8 сағаттан кейін.

C деңгейі

№ 706

Коттеджді құрылысшылардың бірінші және екінші бригадасы 12 айда, екінші және үшінші бригадасы 10 айда, ал бірінші және үшінші бригада 15 айда салып болады. Құрылысшылардың үш бригадасы бірлесе жұмыс істеп, коттеджді неше айда салып болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлығы: үш жұпты қоссақ, әр бригада қосындыға екі рет кіреді.

Шешуі.

1. Жұптардың бір айдағы қосындысы: $\frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$. Бұл — үш бригаданың екі рет есептелген жұмысы.
2. Үш бригада бір айда: $\frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{8}$ коттедж.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{8} = 8$ ай.

Жауабы: 8 айда.

№ 707

Үйге қыстық отынды Олжас пен Мағжан 10 күнде, Мағжан мен Жандос 15 күнде, ал Олжас пен Жандос 18 күнде дайындайды. Үйге қыстық отынды Олжас неше күнде, Мағжан неше күнде, Жандос неше күнде дайындайды?

Қалай ойлаймыз. № 706-дағы тәсіл: алдымен үшеуін бірге табамыз, сосын жұпты «азайтамыз» — біреуі қалады.

Шешуі.

1. Жұптардың бір күндегі қосындысы: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} + \frac{5}{90} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$.
2. Үшеуі бірге бір күнде: $\frac{2}{9} : 2 = \frac{1}{9}$.
3. Олжас: $\frac{1}{9} - \frac{1}{15} = \frac{5}{45} - \frac{3}{45} = \frac{2}{45}$ күніне, уақыты $1 : \frac{2}{45} = 22\frac{1}{2}$ күн.
4. Мағжан: $\frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{1}{18}$ күніне, уақыты 18 күн.
5. Жандос: $\frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{1}{90}$ күніне, уақыты 90 күн.

Тексеру: Олжас + Мағжан $= \frac{2}{45} + \frac{1}{18} = \frac{4}{90} + \frac{5}{90} = \frac{1}{10}$. Дұрыс.

Жауабы: Олжас — $22\frac{1}{2}$ күнде, Мағжан — 18 күнде, Жандос — 90 күнде.

№ 708

Жолды тегістеу үшін екі мәшине бөлінді. Олардың біріншісі жолды 45 сағатта тегістейтін болса, екіншісі 36 сағатта тегістейді. Олар бірлесіп жолды 15 сағ тегістеген соң, қалған жолды екінші мәшине тегістеді. Қалған жолды екінші мәшине неше сағат тегістеді?

Қалай ойлаймыз. Жұмыс екі кезеңмен орындалады. Бірінші кезеңнен кейін жазып қоямыз: «орындалғаны …, қалғаны …».

Шешуі.

1. Бірге 1 сағатта: $\frac{1}{45} + \frac{1}{36} = \frac{4}{180} + \frac{5}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$ жол.
2. 15 сағатта: $15 \cdot \frac{1}{20} = \frac{3}{4}$ жол. Қалғаны $\frac{1}{4}$.
3. Екінші мәшине қалғанын жалғыз өзі тегістеді: $\frac{1}{4} : \frac{1}{36} = 9$ сағ.

Жауабы: 9 сағат. (Екінші мәшине барлығы $15 + 9 = 24$ сағат жұмыс істеді.)

№ 709

Гүл сататын дүкенге әкелінген гүлдердің барлығынан гүл шоқтарын Зәуре 40 минутта жасайтын болса, Інкәр 35 минутта жасайды. Олар бірлесіп гүл шоқтарын 14 мин жасады да, қалған гүлдерден гүл шоқтарын Зәуре жасады. Қыздар барлық гүл шоқтарын қанша уақыт жасады?

Қалай ойлаймыз. Тағы екі кезең: алдымен бірге, сосын жалғыз Зәуре. Жауап — екі кезеңнің уақытының қосындысы.

Шешуі.

1. Бірге 1 минутта: $\frac{1}{40} + \frac{1}{35} = \frac{7}{280} + \frac{8}{280} = \frac{15}{280} = \frac{3}{56}$.
2. 14 минутта: $14 \cdot \frac{3}{56} = \frac{3}{4}$ жұмыс. Қалғаны $\frac{1}{4}$.
3. Зәуре қалғанын жасады: $\frac{1}{4} : \frac{1}{40} = 10$ мин.
4. Барлығы: $14 + 10 = 24$ мин.

Жауабы: 24 минутта.

№ 710

Егер екі оператор қолжазбаны компьютерде қатар терсе, 10 сағ тереді. Қолжазбаны екі оператор қатар 6 сағ терді де, қалғанын бірінші оператор 12 сағ терді. Егер қолжазбаны бірінші оператор ғана терсе, неше сағ тереді? Екінші оператор терсе ше?

Қалай ойлаймыз. Бірлескен жұмыстан кейін қанша қалғанын табамыз. Қалғаны мен 12 сағат бойынша бірінші оператордың «жылдамдығын» табамыз.

Шешуі.

1. Бірге 1 сағатта: $\frac{1}{10}$; 6 сағатта: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ мәтін. Қалғаны $\frac{2}{5}$.
2. Бірінші 1 сағатта: $\frac{2}{5} : 12 = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$. Бүкіл мәтінді — 30 сағатта.
3. Екінші 1 сағатта: $\frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Бүкіл мәтінді — 15 сағатта.

Жауабы: бірінші оператор 30 сағ, екінші оператор 15 сағ тереді.

№ 711

Тапсырманы шебер 45 минутта, ал оның үйренушісі 1 сағ 30 минутта орындайды. Алғашқыда шебер 15 мин жұмыс істеді. Содан соң тапсырманың қалғанын шебер үйренушісімен бірлесіп орындады. Тапсырма неше минутта орындалды? (A. 30 мин; B. 35 мин; C. 25 мин; D. 40 мин.)

Қалай ойлаймыз. Бәрін минутқа аударамыз. Алдымен — шебердің кезеңі, сосын — екеуінің кезеңі.

Шешуі.

1. Үйренуші: 1 сағ 30 мин $= 90$ мин.
2. Шебер 15 минутта: $15 \cdot \frac{1}{45} = \frac{1}{3}$ тапсырма. Қалғаны $\frac{2}{3}$.
3. Бірге 1 минутта: $\frac{1}{45} + \frac{1}{90} = \frac{2}{90} + \frac{1}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.
4. Қалғанын бірге: $\frac{2}{3} : \frac{1}{30} = 20$ мин.
5. Барлығы: $15 + 20 = 35$ мин.

Жауабы: 35 минутта (B нұсқасы).

№ 712

$A$ пунктінен бірінші велосипедші, $B$ пунктінен сол уақытта екінші велосипедші шығып, бір-біріне қарсы жүрсе, олар 18 минутта кездеседі. Бірінші велосипедші $A$ пунктінен шығып, $B$ пунктіне $\frac{1}{2}$ сағатта келеді. Екінші велосипедші $B$ пунктінен шығып, $A$ пунктіне неше минутта барады? (A. 40 мин; B. 36 мин; C. 45 мин; D. 48 мин.)

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы қозғалыс — бірлескен жұмыс сияқты. Минутпен есептеу ыңғайлы: $\frac{1}{2}$ сағ $= 30$ мин.

Шешуі.

1. Бірге 1 минутта: жолдың $\frac{1}{18}$-і; бірінші: жолдың $\frac{1}{30}$-і.
2. Екінші 1 минутта: $\frac{1}{18} - \frac{1}{30} = \frac{5}{90} - \frac{3}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ жол.
3. Бүкіл жолды екінші велосипедші 45 минутта жүріп өтеді.

Жауабы: 45 минутта (C нұсқасы).

№ 713

Ертедегі есеп (Л. Ф. Магницкийдің «Арифметика» кітабынан). Бір бөшке суды егер ол бір өзі ішсе, 14 күн ішеді, егер әйелімен екеуі ішсе, 10 күн ішеді. Осы бөшке суды егер әйелі ғана ішсе, неше күн ішеді?

Қалай ойлаймыз. «Бірге» және «күйеуі» белгілі — әйелін азайту арқылы табамыз.

Шешуі.

1. Әйелі күніне: $\frac{1}{10} - \frac{1}{14} = \frac{7}{70} - \frac{5}{70} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$ бөшке.
2. Уақыты: $1 : \frac{1}{35} = 35$ күн.

Жауабы: 35 күн ішеді.

№ 714

Екі айлақ арасын катер ағыспен жүзсе, 6 сағ жүзеді, ал сал 24 сағ жүзеді. Катер осындай қашықтықты көлде неше сағат жүзеді?

Қалай ойлаймыз. Сал тек ағыстың есебінен қозғалады. Ағыспен жүзгенде катерге өзен көмектеседі. Көлде ағыс жоқ — демек, оның «үлесін» алып тастау керек.

Шешуі.

1. Катер ағыспен 1 сағатта: жолдың $\frac{1}{6}$-і; ағыс (сал): жолдың $\frac{1}{24}$-і.
2. Катер көлде: $\frac{1}{6} - \frac{1}{24} = \frac{4}{24} - \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ жол бір сағатта.
3. Уақыты: $1 : \frac{1}{8} = 8$ сағ.

Жауабы: 8 сағатта.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. № 708–711-де жұмыс екі кезеңмен жүреді. Жақсы әдет: әр кезеңнен кейін «орындалғаны …, қалғаны …» деп жазып отыру. Сонда бала соңғы қатысушы жұмыстың қандай бөлігін орындайтынын шатастырмайды.

Жадынама

• Бүкіл жұмысты 1 деп аламыз.
• Уақыт бірлігіндегі бөлік: $1 : \text{уақыт}$. Уақыт: $1 : \text{уақыт бірлігіндегі бөлік}$.
• Бірге істегенде — қосамыз; бір құбыр суды төгіп тұрса — азайтамыз.
• Ағыспен: қайық плюс ағыс (сал); ағысқа қарсы — минус.
• Екі кезең: қанша орындалғанын тауып, 1-ден азайтамыз, қалғанын екінші кезеңнің «жылдамдығына» бөлеміз.

Шағын тест