Жай бөлшектер мен аралас сандарға арифметикалық амалдар қолдану

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 207–212-беттер.

Нені қайталаймыз

Бұл — ІІІ тараудың қорытынды сабағы. Бөлшектермен амалдар орындау тәртібі натурал сандардағыдай: алдымен жақшаның іші, сосын көбейту мен бөлу (солдан оңға қарай), ең соңында қосу мен азайту.

• Бөлшек, алым және бөлім дегеніміз не — 3.1-тармақ.
• Бөлшектің негізгі қасиеті және қысқарту — 3.2-тармақ. Жауапты әрқашан соңына дейін қысқарт.
• Дұрыс және бұрыс бөлшектер — 3.3-тармақ; аралас сандар және оны бұрыс бөлшекке айналдыру — 3.4-тармақ.
• Бөлшектерді координаталық сәуледе кескіндеу — 3.5-тармақ.
• Ортақ бөлімге келтіру — 3.6-тармақ; бөлшектерді салыстыру — 3.7-тармақ.
• Бөлшектерді қосу және азайту — 3.8-тармақ, аралас сандарды қосу және азайту — 3.9-тармақ. Мұнда ортақ бөлім керек.
• Аликвоттық бөлшектер (алымы 1) — 3.10-тармақ.
• Бөлшектер мен аралас сандарды көбейту — 3.11-тармақ. Ортақ бөлім керек емес.
• Өзара кері сандар — 3.12-тармақ.
• Бөлшектерді бөлу — 3.13-тармақ: бөлінгішті бөлгішке кері санға көбейтеміз.

📌 Тараудың екі басты есебі. Санның бөлігін табу — санды бөлшекке көбейтеміз. Бөлігі бойынша санды табу — бөлшекке бөлеміз. Тағы бір түрі — қалдық туралы есептер: оларды соңғы қадамнан бастап, кері жағынан шығару ыңғайлы.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 637

Ауызша есептеңдер. Үш тізбек: бірінші мысалдан бастап, амалдарды ретімен орындап шық. 1) $\frac{5}{7} - \frac{2}{7}$, $+2$, $+\frac{4}{7}$, $-2\frac{2}{5}$, $-\frac{1}{5}$; 2) $1\frac{2}{9} + \frac{3}{9}$, $-\frac{5}{9}$, $-\frac{3}{8}$, $+2$, $-\frac{5}{8}$; 3) $1 - \frac{1}{8}$, $-\frac{3}{8}$, $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, $+3$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін сан беретін қадамдарды іздеп көр: сол жерде тынығып алуға болады.

Шешуі.

1. $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} \to +2 = 2\frac{3}{7} \to +\frac{4}{7} = 3 \to -2\frac{2}{5} = \frac{3}{5} \to -\frac{1}{5} = \frac{2}{5}$;
2. $1\frac{2}{9} + \frac{3}{9} = 1\frac{5}{9} \to -\frac{5}{9} = 1 \to -\frac{3}{8} = \frac{5}{8} \to +2 = 2\frac{5}{8} \to -\frac{5}{8} = 2$;
3. $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \to -\frac{3}{8} = \frac{1}{2} \to +\frac{1}{2} = 1 \to -\frac{1}{4} = \frac{3}{4} \to +3 = 3\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{5}$; 2) 2; 3) $3\frac{3}{4}$.

A деңгейі

№ 638

3.41-сурет бойынша бос орындарды толтырып, бөлшектердің қосындысын табыңдар: бір дөңгелектің $\frac{1}{3}$-і, екіншісінің $\frac{1}{2}$-сі боялған. Екі дөңгелек те 6 бөлікке бөлінген.

Қалай ойлаймыз. Үштен бірді жартымен қосу үшін барлығын алтыдан бір үлестерге бөлеміз: сонда кесектер бірдей болады.

Шешуі. $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.

Жауабы: $\frac{5}{6}$.

№ 639

Амалдарды орындаңдар: $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{3}{7}$; $\left(\frac{4}{15} + \frac{2}{3}\right) : \frac{2}{5}$; $\left(\frac{4}{9} + \frac{1}{6}\right) \cdot \frac{9}{11}$; $\frac{8}{11} \cdot \left(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}\right)$; $\frac{3}{5} : \left(\frac{4}{5} - \frac{1}{2}\right)$; $\frac{3}{8} \cdot \left(\frac{7}{12} + \frac{3}{4}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаның ішін есепте — онда ортақ бөлім керек. Содан кейін көбейту немесе бөлу.

Шешуі.

1. $\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$; $\frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{4}$;
2. $\frac{4}{15} + \frac{10}{15} = \frac{14}{15}$; $\frac{14}{15} : \frac{2}{5} = \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$;
3. $\frac{8}{18} + \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$; $\frac{11}{18} \cdot \frac{9}{11} = \frac{1}{2}$;
4. $\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$; $\frac{8}{11} \cdot \frac{11}{24} = \frac{1}{3}$;
5. $\frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{5} : \frac{3}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} = 2$;
6. $\frac{7}{12} + \frac{9}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$; $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{4}$; 2) $2\frac{1}{3}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{3}$; 5) 2; 6) $\frac{1}{2}$.

№ 640

Амалдарды орындаңдар: $3\frac{1}{3} : \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}$; $\frac{4}{5} \cdot 2\frac{1}{2} : 6$; $3\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} : \frac{2}{7}$; $26 : 3\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16}$; $4\frac{1}{8} \cdot \frac{6}{11} : 2\frac{1}{4}$; $1\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} : \frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда тек көбейту мен бөлу бар, сондықтан қатаң түрде солдан оңға қарай жүреміз. Аралас сандарды бірден бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. $3\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{2} = 5$; $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$;
2. $\frac{4}{5} \cdot 2\frac{1}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} = 2$; $2 : 6 = \frac{1}{3}$;
3. $3\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{8} = 2$; $2 : \frac{2}{7} = 7$;
4. $26 : 3\frac{1}{4} = 26 \cdot \frac{4}{13} = 8$; $8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$;
5. $4\frac{1}{8} \cdot \frac{6}{11} = \frac{33}{8} \cdot \frac{6}{11} = \frac{9}{4}$; $\frac{9}{4} : 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} : \frac{9}{4} = 1$;
6. $1\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{7}$; $\frac{6}{7} : \frac{3}{10} = \frac{6}{7} \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$.

Жауабы: 1) 1; 2) $\frac{1}{3}$; 3) 7; 4) $\frac{1}{2}$; 5) 1; 6) $2\frac{6}{7}$.

№ 641

Амалдарды орындаңдар: $\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} + 1\frac{1}{3}$; $1\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{3}$; $\frac{3}{8} : \frac{1}{2} + 3\frac{1}{4}$; $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} + 1\frac{3}{8}$; $1\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} + \frac{3}{8}$; $2\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9} - \frac{5}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен көбейту немесе бөлу, содан кейін қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15}$; $\frac{4}{15} + 1\frac{5}{15} = 1\frac{9}{15} = 1\frac{3}{5}$;
2. $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$; $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$;
3. $\frac{3}{8} : \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{3}{4}$; $\frac{3}{4} + 3\frac{1}{4} = 4$;
4. $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$; $2\frac{4}{8} + 1\frac{3}{8} = 3\frac{7}{8}$;
5. $1\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7} = 1$; $1 + \frac{3}{8} = 1\frac{3}{8}$;
6. $2\frac{1}{3} : 1\frac{5}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{3}{2}$; $\frac{3}{2} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $1\frac{3}{5}$; 2) $\frac{1}{6}$; 3) 4; 4) $3\frac{7}{8}$; 5) $1\frac{3}{8}$; 6) $\frac{2}{3}$.

№ 642

Тракторшы бірінші күні $12\frac{1}{4}$ га жер жыртты. Ол екінші күні бірінші күнгіден $\frac{2}{5}$ га артық жер жыртты. Тракторшы екі күнде неше гектар жер жыртты?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші күнгі жұмысты тап, сосын екі күнді қос.

Шешуі.

1. Екінші күні: $12\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = 12\frac{5}{20} + \frac{8}{20} = 12\frac{13}{20}$ (га).
2. Екі күнде: $12\frac{5}{20} + 12\frac{13}{20} = 24\frac{18}{20} = 24\frac{9}{10}$ (га).

Жауабы: $24\frac{9}{10}$ га.

№ 643

Ылғалды кірпіштің массасы $4\frac{1}{2}$ кг. Кірпіш кептірілгенде $\frac{4}{5}$ кг жоғалтады. Кептірілген кірпіштің массасы неше килограмм?

Қалай ойлаймыз. Бөлшек бөлік $\frac{5}{10}$ саны $\frac{8}{10}$-нан кіші, сондықтан бір бүтінді «ұсақтап» алуға тура келеді.

Шешуі. $4\frac{1}{2} - \frac{4}{5} = 4\frac{5}{10} - \frac{8}{10} = 3\frac{15}{10} - \frac{8}{10} = 3\frac{7}{10}$ (кг).

Жауабы: $3\frac{7}{10}$ кг.

№ 644

Квадраттың қабырғасының ұзындығы $6\frac{2}{5}$ см. Квадраттың периметрін табыңдар. Квадраттың ауданы неше квадрат сантиметр?

Қалай ойлаймыз. Периметр — төрт қабырғаның қосындысы, аудан — қабырғаны өзіне көбейту.

Шешуі.

1. $P = 6\frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{32}{5} \cdot 4 = \frac{128}{5} = 25\frac{3}{5}$ (см).
2. $S = \left(\frac{32}{5}\right)^2 = \frac{1024}{25} = 40\frac{24}{25}$ (см²).

Жауабы: $25\frac{3}{5}$ см; $40\frac{24}{25}$ см².

№ 645

А және В стансыларынан шыққан екі пойыз бір-біріне қарама-қарсы жүріп, 3 сағаттан соң кездесті. Кездескенге дейін бірінші пойыз $210\frac{3}{4}$ км жүрсе, екінші пойыз $181\frac{1}{2}$ км жүрді. Пойыздар 1 сағатта бір-біріне неше километр жақындады?

Қалай ойлаймыз. Екі жолды қос — бұл 3 сағатта жақындағаны. Сосын 3-ке бөл.

Шешуі.

1. Бірге: $210\frac{3}{4} + 181\frac{2}{4} = 391\frac{5}{4} = 392\frac{1}{4}$ (км).
2. Бір сағатта: $392\frac{1}{4} : 3 = \frac{1569}{4} : 3 = \frac{523}{4} = 130\frac{3}{4}$ (км).

Жауабы: $130\frac{3}{4}$ км.

№ 646

Теңдеуді шешіңдер: $\frac{11}{15}x = 77$; $\frac{23}{28}x = 92$; $\frac{15}{64}x = 25$; $5\frac{1}{3}x = 8\frac{8}{9}$; $3\frac{2}{5}y = 6\frac{4}{5}$; $9\frac{1}{2}y = 14\frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : белгілі көбейткіш, яғни оң жақтағы сан : $x$-тің алдындағы коэффициент.

Шешуі.

1. $x = 77 : \frac{11}{15} = \frac{77 \cdot 15}{11} = 105$;
2. $x = 92 : \frac{23}{28} = \frac{92 \cdot 28}{23} = 4 \cdot 28 = 112$;
3. $x = 25 : \frac{15}{64} = \frac{25 \cdot 64}{15} = \frac{5 \cdot 64}{3} = \frac{320}{3} = 106\frac{2}{3}$;
4. $x = 8\frac{8}{9} : 5\frac{1}{3} = \frac{80}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$;
5. $y = 6\frac{4}{5} : 3\frac{2}{5} = \frac{34}{5} : \frac{17}{5} = 2$;
6. $y = 14\frac{1}{4} : 9\frac{1}{2} = \frac{57}{4} \cdot \frac{2}{19} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) 105; 2) 112; 3) $106\frac{2}{3}$; 4) $1\frac{2}{3}$; 5) 2; 6) $1\frac{1}{2}$.

№ 647

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, есептеңдер: $3\frac{3}{4} \cdot 1\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}$; $1\frac{2}{5} \cdot 2\frac{5}{7} - 1\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{14}$; $\frac{1}{9} \cdot 1\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9}$; $1\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{8}$.

Қалай ойлаймыз. $ab + ac = a(b + c)$. Ортақ көбейткішті жақшаның алдына шығарамыз. Жақшаның ішінде жиі бүтін сан шығады — сонда бәрі ауызша есептеледі.

Шешуі.

1. $3\frac{3}{4} \cdot \left(1\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right) = 3\frac{3}{4} \cdot 2 = 7\frac{1}{2}$;
2. $1\frac{2}{5} \cdot \left(2\frac{5}{7} - \frac{3}{14}\right) = \frac{7}{5} \cdot \left(2\frac{10}{14} - \frac{3}{14}\right) = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$;
3. $\frac{1}{9} \cdot \left(1\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$;
4. $\frac{3}{5} \cdot \left(1\frac{3}{8} - \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $7\frac{1}{2}$; 2) $3\frac{1}{2}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{3}{4}$.

№ 648

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: $6\frac{3}{7}a + 1\frac{1}{2}a$, мұндағы $a = 14$; $8b - 3\frac{5}{9}b$, мұндағы $b = \frac{3}{5}$; $2\frac{3}{10}a - 1\frac{2}{3}a$, мұндағы $a = 6$; $2\frac{5}{8}b + 3\frac{1}{4}b$, мұндағы $b = 2\frac{2}{3}$.

Қалай ойлаймыз. $ma + na = (m + n)a$: әріптің алдындағы сандарды қосамыз немесе азайтамыз, әріп өз орнында қалады.

Шешуі.

1. $\left(6\frac{3}{7} + 1\frac{1}{2}\right)a = 7\frac{13}{14}a = \frac{111}{14}a$; $a = 14$ болғанда: $111$;
2. $\left(8 - 3\frac{5}{9}\right)b = 4\frac{4}{9}b = \frac{40}{9}b$; $b = \frac{3}{5}$ болғанда: $\frac{40}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$;
3. $\left(2\frac{9}{30} - 1\frac{20}{30}\right)a = \frac{19}{30}a$; $a = 6$ болғанда: $\frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$;
4. $\left(2\frac{5}{8} + 3\frac{2}{8}\right)b = 5\frac{7}{8}b = \frac{47}{8}b$; $b = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ болғанда: $\frac{47}{3} = 15\frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) 111; 2) $2\frac{2}{3}$; 3) $3\frac{4}{5}$; 4) $15\frac{2}{3}$.

№ 649

Есептеңдер: $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{4}{9}$; $\left(1\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{5}{8}$; $3\frac{5}{9} + \left(\frac{2}{3}\right)^2$; $\left(\frac{1}{2}\right)^4 + 3\frac{1}{4}$; $7\frac{2}{5} - \left(\frac{2}{5}\right)^2$; $9 - \left(1\frac{1}{3}\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже — ең алдымен! Аралас санды дәрежеге шығарудан бұрын бұрыс бөлшекке айналдырамыз.

Шешуі.

1. $\left(\frac{7}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} = \frac{49}{9} - \frac{4}{9} = \frac{45}{9} = 5$;
2. $\left(\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{5}{8} = \frac{27}{8} + \frac{5}{8} = \frac{32}{8} = 4$;
3. $3\frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 4$;
4. $\frac{1}{16} + 3\frac{4}{16} = 3\frac{5}{16}$;
5. $7\frac{2}{5} - \frac{4}{25} = 7\frac{10}{25} - \frac{4}{25} = 7\frac{6}{25}$;
6. $9 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 9 - \frac{16}{9} = 9 - 1\frac{7}{9} = 7\frac{2}{9}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $\left(2\frac{1}{3}\right)^2$ өрнегін $4\frac{1}{9}$ деп есептейді: бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін бөлек-бөлек квадраттайды. Олай етуге болмайды! Дұрысы: $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.

Жауабы: 1) 5; 2) 4; 3) 4; 4) $3\frac{5}{16}$; 5) $7\frac{6}{25}$; 6) $7\frac{2}{9}$.

№ 650

Автотұрақта жеңіл мәшинелер және автобустар тұр. Олардың $\frac{1}{4}$-і және 8-і жеңіл мәшинелер. Қалғаны 10 автобус. Автотұрақта барлығы неше жеңіл мәшине және автобус тұр?

Қалай ойлаймыз. «Төрттен бірін» алып тастасақ, көліктердің $\frac{3}{4}$-і қалады — ал бұл неше дана екенін біз білеміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4}$ бөлігін алып тастағанда көліктердің $\frac{3}{4}$-і қалады; олардың ішінде 8 жеңіл мәшине және 10 автобус: $8 + 10 = 18$.
2. Барлық көліктің $\frac{3}{4}$-і — 18, демек, барлығы $18 : \frac{3}{4} = 24$.

Тексеру: жеңіл мәшине $24 \cdot \frac{1}{4} + 8 = 14$, автобус $24 - 14 = 10$. Дұрыс.

Жауабы: 24 көлік (жеңіл мәшине және автобус).

№ 651

1) Дүкендегі көгөністің бірінші күні $\frac{1}{3}$-і, екінші күні $\frac{2}{9}$-сі сатылғанда, онда $5\frac{3}{5}$ ц көгөніс қалды. Алғашқыда дүкендегі көгөніс неше тонна және неше килограмм болған? 2) Оператор шығарманың түске дейін $\frac{1}{2}$-ін, түстен кейін $\frac{1}{3}$-ін терген­де, шығарманың 7 беті терілмей қалды. Шығармада неше бет болған?

Қалай ойлаймыз. Қандай бөлігі қалғанын тап та, қалдықты сол бөлшекке бөл. Бірінші есепте қалдық центнермен берілген, ал жауапты тонна мен килограммен жазу керек: 1 ц = 100 кг, 1 т = 10 ц.

Шешуі.

1. Сатылды: $\frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$, қалды $\frac{4}{9}$. Алғашқыда болды: $5\frac{3}{5} : \frac{4}{9} = \frac{28}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{63}{5} = 12\frac{3}{5}$ (ц). Центнерді килограммға аударамыз: $12\frac{3}{5}$ ц $= 1260$ кг $= 1$ т $260$ кг.
2. Терді: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, қалды $\frac{1}{6}$ — бұл 7 бет. Барлығы $7 : \frac{1}{6} = 42$ бет.

Жауабы: 1) 1 т 260 кг ($12\frac{3}{5}$ ц); 2) 42 бет.

№ 652

Ұзындығы $7\frac{1}{2}$ м, биіктігі $2\frac{2}{5}$ м қабырғаға, бір орамның ұзындығы 12 м, ені $\frac{3}{4}$ м болатын неше орам тұсқағаз керек?

Қалай ойлаймыз. Қабырғаның ауданын бір орамның ауданымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Қабырғаның ауданы: $\frac{15}{2} \cdot \frac{12}{5} = 18$ (м²).
2. Бір орамның ауданы: $12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ (м²).
3. Орам саны: $18 : 9 = 2$.

💡 Шын мәнінде тұсқағазды былай жапсырады: әр жолақтың биіктігі $2\frac{2}{5}$ м, бір орамнан $12 : 2\frac{2}{5} = 5$ жолақ шығады. Керек жолақ саны $7\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = 10$. Орам саны $10 : 5 = 2$ — жауап сол.

Жауабы: 2 орам.

№ 653

Гүлзардағы гүлдердің $\frac{1}{6}$-і — раушан гүлдері, қалғанының $\frac{3}{5}$-і — қалампыр гүлдері, қалған 120 түп — әртүрлі гүлдер. Гүлзарда барлығы неше түп гүл бар?

Қалай ойлаймыз. Қалампыр — раушаннан қалғанның бөлігі, барлық гүлдің емес. Алдымен оны барлық гүлдің бөлігіне айналдыр.

Шешуі.

1. Раушаннан кейін қалғаны: $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
2. Қалампыр: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2}$ барлық гүлдің.
3. Әртүрлі гүлдер: $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{3}$ — бұл 120 түп.
4. Барлығы: $120 : \frac{1}{3} = 360$.

Жауабы: 360 түп гүл.

№ 654

Фермер жерінің $\frac{2}{5}$-сін мал жайылымына қалдырып, $\frac{1}{4}$-іне бақша өнімдерін екті. Оның мал жайылымына қалдырған жері бақша өнімдерін еккен жерден 15 га артық. Фермердің барлық жері неше гектар?

Шешуі.

1. Айырмасы: $\frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}$ — бұл 15 га.
2. Барлық жер: $15 : \frac{3}{20} = \frac{15 \cdot 20}{3} = 100$ (га).

Жауабы: 100 га.

№ 655

Есептеңдер: 1) $\frac{5}{9} + 1\frac{5}{7} \cdot \left(4\frac{2}{3} - 2\frac{5}{8}\right) : 1\frac{3}{4}$; 2) $2 - 3\frac{1}{7} \cdot \left(2 - 1\frac{9}{11}\right) : \frac{8}{21}$; 3) $2\frac{1}{3} + 4\frac{1}{10} : \left(2\frac{7}{15} - \frac{5}{12}\right) \cdot \frac{5}{6}$; 4) $4\frac{5}{12} - 1\frac{1}{2} : \left(2\frac{1}{6} + \frac{8}{15}\right) \cdot 1\frac{4}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Жоспар мынадай: жақшалар → көбейту мен бөлу (солдан оңға қарай) → ең соңында қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $4\frac{16}{24} - 2\frac{15}{24} = 2\frac{1}{24} = \frac{49}{24}$; $\frac{12}{7} \cdot \frac{49}{24} = \frac{7}{2}$; $\frac{7}{2} : \frac{7}{4} = 2$; $\frac{5}{9} + 2 = 2\frac{5}{9}$;
2. $2 - 1\frac{9}{11} = \frac{2}{11}$; $\frac{22}{7} \cdot \frac{2}{11} = \frac{4}{7}$; $\frac{4}{7} : \frac{8}{21} = \frac{4}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{3}{2}$; $2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$;
3. $2\frac{28}{60} - \frac{25}{60} = 2\frac{3}{60} = 2\frac{1}{20} = \frac{41}{20}$; $\frac{41}{10} : \frac{41}{20} = 2$; $2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{3}$; $2\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3} = 4$;
4. $2\frac{5}{30} + \frac{16}{30} = 2\frac{21}{30} = \frac{27}{10}$; $\frac{3}{2} : \frac{27}{10} = \frac{3}{2} \cdot \frac{10}{27} = \frac{5}{9}$; $\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{5} = 1$; $4\frac{5}{12} - 1 = 3\frac{5}{12}$.

Жауабы: 1) $2\frac{5}{9}$; 2) $\frac{1}{2}$; 3) 4; 4) $3\frac{5}{12}$.

C деңгейі

№ 656

$\frac{4}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{6}{11}$ бөлшектерін бөлімдері әртүрлі аликвоттық бөлшектердің (алымы 1) қосындысы түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сыятын ең үлкен аликвоттық бөлшекті алып тастап, қалдығына қара. Нұсқалар бірнешеу болуы мүмкін — дұрыс болса, кез келгені жарайды.

Шешуі.

• $\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$ (тексеру: $\frac{5}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{8}{10}$);
• $\frac{3}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$;
• $\frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$ (тексеру: $\frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$);
• $\frac{3}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{28}$ (тексеру: $\frac{7}{28} + \frac{4}{28} + \frac{1}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$);
• $\frac{6}{11} = \frac{1}{2} + \frac{1}{22}$ (тексеру: $\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22}$).

🌟 Көне мысырлықтар бөлшектерді осылай жазған: олардың бөлшектерінің дерлік бәрі «біреуден…» деген үлестердің қосындысы болған. Мысалы, $\frac{3}{4}$ бөлшегін олар $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ деп жазған.

Жауабы: шешуін қара.

№ 657

Есептеңдер: 1) $\left(3\frac{1}{3} + 5\frac{1}{6}\right) \cdot \frac{2}{5} - 2\frac{3}{4} : \left(1\frac{1}{2} - \frac{2}{5}\right)$; 2) $\left(\frac{1}{8} + \frac{2}{9} - \frac{1}{4}\right) \cdot 5\frac{1}{7} : \left(\frac{7}{9} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Ұзын мысал — бірнеше қысқа мысалдың жиынтығы. Екі жақшаны да есепте, сонан соң амалдарды ретімен орында.

Шешуі.

1. $3\frac{2}{6} + 5\frac{1}{6} = 8\frac{1}{2} = \frac{17}{2}$; $\frac{17}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{17}{5}$; $1\frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{11}{10}$; $\frac{11}{4} : \frac{11}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$; $\frac{17}{5} - \frac{5}{2} = \frac{34}{10} - \frac{25}{10} = \frac{9}{10}$.
2. $\frac{9}{72} + \frac{16}{72} - \frac{18}{72} = \frac{7}{72}$; $\frac{7}{72} \cdot \frac{36}{7} = \frac{1}{2}$; $\frac{14}{18} - \frac{12}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$; $\frac{1}{2} : \frac{5}{18} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.

Жауабы: 1) $\frac{9}{10}$; 2) $1\frac{4}{5}$.

№ 658

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}} + \frac{2}{3} = 1$; 2) $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}x - \frac{7}{12}} - \frac{1}{2} = \frac{3}{14}$; 3) $\frac{2\frac{1}{3}}{\frac{3}{8}x - \frac{5}{6}} + 5\frac{2}{3} = 9\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеудің «қабаттарын» бір-бірлеп аламыз. Алдымен бүкіл бөлшекті табамыз (белгісіз қосылғыш немесе азайғыш сияқты), сосын оның бөлімін (белгісіз бөлгіш сияқты), ең соңында ғана $x$-ті.

Шешуі.

1. Бөлшек $= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Бөлімі $= \frac{3}{4} : \frac{1}{3} = \frac{9}{4}$. $\frac{1}{3}x = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$, $x = 6$.
2. Бөлшек $= \frac{3}{14} + \frac{1}{2} = \frac{3}{14} + \frac{7}{14} = \frac{5}{7}$. Бөлімі $= \frac{5}{6} : \frac{5}{7} = \frac{7}{6}$. $\frac{1}{4}x = \frac{7}{6} + \frac{7}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$, $x = 7$.
3. Бөлшек $= 9\frac{1}{6} - 5\frac{4}{6} = 3\frac{3}{6} = \frac{7}{2}$. Бөлімі $= \frac{7}{3} : \frac{7}{2} = \frac{2}{3}$. $\frac{3}{8}x = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, $x = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = 4$.

Жауабы: 1) 6; 2) 7; 3) 4.

№ 659

Есептеңдер: 1) алымы $\frac{1}{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}}$, бөлімі $\frac{6}{\frac{9}{10} + \frac{3}{5}}$ болатын «көп қабатты» бөлшектің мәнін тап, яғни бірінші бөлшекті екіншісіне бөл; 2) $\frac{7}{\frac{1}{8} + \frac{1}{6}}$ бөлшегін $\frac{2}{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}}$ бөлшегіне бөліп, нәтижесіне $2\frac{1}{3}$ қос; 3) алымы $1 + \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{3}$, бөлімі $1 - \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{5}$ болатын бөлшек.

Қалай ойлаймыз. Төменнен жоғары қарай жүреміз: алдымен бөлімдердегі ең кішкентай өрнектерді есептейміз, сосын жоғарырақ «қабаттарға» өтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$, $1 : \frac{1}{12} = 12$. $\frac{9}{10} + \frac{6}{10} = \frac{3}{2}$, $6 : \frac{3}{2} = 4$. Нәтиже: $12 : 4 = 3$.
2. $\frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}$, $7 : \frac{7}{24} = 24$. $\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$, $2 : \frac{2}{9} = 9$. $24 : 9 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 5$.
3. Алымы: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) : 3 = \frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4}$, $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Бөлімі: $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) : 5 = \frac{5}{6} : 5 = \frac{1}{6}$, $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Нәтиже: $\frac{5}{4} : \frac{5}{6} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) 3; 2) 5; 3) $1\frac{1}{2}$.

№ 660

320 компьютердің $\frac{1}{8}$-ін мекемелер сатып алды. Қалғанының $\frac{5}{7}$-і мектептерге жіберілді. Мектептерге неше компьютер жіберілді? Есепті екі тәсілмен шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші тәсіл — қадам-қадаммен, санмен. Екінші тәсіл — бөлшектермен: мектептерге барлық компьютердің қандай бөлігі жіберілгенін алдымен тауып аламыз.

Шешуі.

1-тәсіл.

1. Мекемелер: $320 \cdot \frac{1}{8} = 40$.
2. Қалғаны: $320 - 40 = 280$.
3. Мектептер: $280 \cdot \frac{5}{7} = 200$.

2-тәсіл.

1. Мекемелерден кейін қалғаны: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ барлық компьютердің.
2. Мектептер: $\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{8}$ барлық компьютердің.
3. $320 \cdot \frac{5}{8} = 200$.

Жауабы: 200 компьютер.

№ 661

Үшбұрыштың бірінші және екінші қабырғаларының қосындысы $4\frac{1}{5}$ дм. Екінші және үшінші қабырғаларының қосындысы $4\frac{9}{10}$ дм. Үшбұрыштың бірінші және үшінші қабырғаларының қосындысы $3\frac{1}{2}$ дм. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш қосындыны қоссақ, әр қабырға екі рет кіреді. Яғни периметрдің екі еселенгені шығады.

Шешуі.

1. $4\frac{2}{10} + 4\frac{9}{10} + 3\frac{5}{10} = 11\frac{16}{10} = 12\frac{3}{5}$ (дм) — периметрдің екі еселенгені.
2. $P = 12\frac{3}{5} : 2 = \frac{63}{5} : 2 = \frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$ (дм).

Жауабы: $6\frac{3}{10}$ дм.

№ 662

Дос қыздардың көйлектері және туфлилері ақ түсті, көк түсті, қызыл түсті. Айжанның ғана көйлегі мен туфлиі түстес. Сәуленің туфлиі ақ түсті, ал көйлегі ақ түсті де емес, қызыл түсті де емес. Гүлнұрдың туфлиі де, көйлегі де қызыл түсті емес. Қыздардың әрқайсысының көйлектері, туфлилері қандай түсті?

Қалай ойлаймыз. Бұл — логикалық есеп. Кесте сызып, ең нақты белгіден бастаймыз: Сәуле туралы айтылғаннан.

Шешуі.

1. Сәуле: туфлиі ақ, көйлегі ақ та емес, қызыл да емес — демек, көк.
2. Көйлектер ақ және қызыл қалды. Гүлнұрдың көйлегі қызыл емес — демек, ақ. Айжанның көйлегі — қызыл.
3. Айжанның туфлиі көйлегімен түстес — қызыл.
4. Гүлнұрға көк туфли қалады: ол қызыл емес және көйлегімен (ақ) түстес емес — бәрі сәйкес келеді.

Жауабы: Айжан — қызыл көйлек, қызыл туфли; Сәуле — көк көйлек, ақ туфли; Гүлнұр — ақ көйлек, көк туфли.

№ 663

Саяхатшы межелеген жерге дейінгі қашықтықтың $\frac{1}{3}$-ін мотоциклмен жүрді. Одан қалған қашықтықтың $\frac{3}{7}$-ін автобуспен жүріп, соңғы қалған қашықтықтың $\frac{3}{4}$-ін өзенде катермен жүзді. Сонда межелеген жерге дейін 20 км қалды. Саяхатшы неше километр жерге баруды межеледі?

Қалай ойлаймыз. Әр жолы «қалдықтың бөлігін» бүкіл жолдың бөлігіне айналдырып отыр.

Шешуі.

1. Мотоциклден кейін жолдың $\frac{2}{3}$-і қалды.
2. Автобуспен: $\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{7}$ жол; қалғаны $\frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{8}{21}$.
3. Катермен осы қалдықтың $\frac{3}{4}$-і, демек, оның төрттен бірі қалды: $\frac{8}{21} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{21}$ жол — бұл 20 км.
4. Бүкіл жол: $20 : \frac{2}{21} = 210$ (км).

Жауабы: 210 км.

№ 664

Тоқыма тоқу үшін алынған жіптің жартысынан және 100 грамынан кеудеше тоқылды. Жіптің қалғанының жартысынан және 50 грамынан шалма тоқылды. Одан қалған жіптің 200 грамынан қолғап тоқылғанда 50 г жіп артылып қалды. Тоқыма тоқу үшін қанша жіп алынған? Шалма неше грамм жіптен тоқылған?

Қалай ойлаймыз. Есепті соңынан бастап шығарамыз: жіп орамын қадам-қадаммен кері «тарқатамыз».

Шешуі.

1. Қолғаптың алдында жіп $200 + 50 = 250$ г болған.
2. Шалма: $\frac{1}{2}R - 50 = 250$, $\frac{1}{2}R = 300$, $R = 600$ г.
3. Кеудеше: $\frac{1}{2}S - 100 = 600$, $\frac{1}{2}S = 700$, $S = 1400$ г.
4. Шалмаға: $600 : 2 + 50 = 350$ г.

Жауабы: барлығы 1 кг 400 г жіп алынған; шалма 350 г жіптен тоқылған.

№ 665

Сиқырлы квадраттың торкөздеріндегі $a$-ның, $b$-ның, $x$-тің, $y$-тің мәндерін табыңдар. Сиқырлы квадраттың бос торкөздерін сандармен толтырыңдар. Квадрат $3 \times 3$: сол жақ жоғарғы бұрышта 6, ортасында 15, сол жақ төменгі бұрышта 13. Жоғарғы жолда тағы $x$ пен $a$, төменгі жолда $y$ мен $b$.

Қалай ойлаймыз. Сиқырлы квадратта барлық жолдағы, бағандағы және екі диагональдағы қосындылар бірдей. $3 \times 3$ квадратта бұл қосынды ортадағы санның 3 еселенгеніне тең.

Шешуі.

1. Сиқырлы қосынды: $15 \cdot 3 = 45$.
2. Диагональ $6 + 15 + b = 45$, $b = 24$.
3. Екінші диагональ $a + 15 + 13 = 45$, $a = 17$.
4. Жоғарғы жол $6 + x + 17 = 45$, $x = 22$.
5. Төменгі жол $13 + y + 24 = 45$, $y = 8$.
6. Сол жақ баған $6 + ? + 13 = 45$ — ортасында 26. Оң жақ баған $17 + ? + 24 = 45$ — ортасында 4.

Тексеру: ортаңғы жол $26 + 15 + 4 = 45$, ортаңғы баған $22 + 15 + 8 = 45$.

Жауабы: $a = 17$, $b = 24$, $x = 22$, $y = 8$; бос торкөздер — 26 және 4.

🌟 Сиқырлы квадраттарға мыңдаған жыл. Қытай аңызы бойынша, $3 \times 3$ алғашқы квадрат өзеннен шыққан тасбақаның қауызына салынған екен.