3.3. Дұрыс бөлшектер. Бұрыс бөлшектер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 135–139-беттер.

Нені үйренесің

• Дұрыс бөлшекті бұрыс бөлшектен бір қарағанда ажыратуды.
• Дұрыс бөлшектің неге 1-ден кіші, ал бұрыс бөлшектің 1-ге тең немесе 1-ден үлкен болатынын түсінуді.
• Натурал санды кез келген бөлімі бар бөлшек түрінде жазуды: $3 = \frac{15}{5}$.
• Әріптің қандай мәндерінде бөлшек дұрыс, қандайында бұрыс болатынын табуды.

Ой қозғау

$\frac{2}{5}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{8}$ бөлшектеріне қара.

• Қай бөлшектердің алымы бөлімінен кіші? $\frac{2}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{9}$.
• Ал қайсысының алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең? $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$, $\frac{11}{8}$.
• Алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең бөлшекті қалай атайды? Бұрыс бөлшек деп (оқулықтағы жауап нұсқалары: А. Кері бөлшек; В. Бұрыс бөлшек — дұрысы В).

Тақырыпты талдаймыз

7 тілімнен тұратын шоколад

Шоколад плиткасы 7 тең тілімге бөлінген. Бір тілім — плитканың $\frac{1}{7}$ бөлігі.

• 3 тілім жедің — бұл $\frac{3}{7}$. Тұтас плиткадан кем.
• Барлық 7 тілімді жедің — бұл $\frac{7}{7}$, дәл бір плитка.
• 10 тілім алдың — бір плиткадан бұлай алу мүмкін емес, екіншісі керек. Бұл — $\frac{10}{7}$, бір плиткадан артық.

Алымын өзгертіп, екінші плитканың қашан пайда болатынын қара.

Кесіндідегі бөлшектер

Енді бөлшектерді сәулеге салайық. 0-ден 1-ге дейінгі кесіндіні 7 тең бөлікке бөлеміз — әр бөлік $\frac{1}{7}$. $C$ және $D$ нүктелері бірліктен бұрын, ал $K$ және $L$ нүктелері одан кейін тұр.

Дұрыс және бұрыс

📌 Дұрыс бөлшек — алымы бөлімінен кіші бөлшек: $\frac{3}{7}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{9}{10}$. Ол әрқашан 1-ден кіші.

📌 Бұрыс бөлшек — алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең бөлшек: $\frac{7}{7}$, $\frac{10}{7}$, $\frac{11}{6}$. Ол 1-ге тең немесе 1-ден үлкен.

Алым мен бөлім бірдей болса, бөлшек бірге тең: $\frac{5}{5} = 1$, $\frac{99}{99} = 1$. Барлық кесектерді алдың — демек, бүтінді алдың.

⚠️ Жиі кететін қате. $\frac{9}{9}$ бөлшегін дұрыс деп атайды: «артық ештеңе жоқ қой». Бірақ дұрыс бөлшек — тек алымы бөлімінен қатаң кіші болатын бөлшек. $\frac{9}{9} = 1$ — бұл бұрыс бөлшек.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Бұрыс» деген сөз балаларды шатастырады: бөлшек қате жазылған сияқты көрінеді. Бұл жай ғана атау екенін түсіндіріңіз. Жақсы сұрақ: «Бұл бөлшек бүтіннен кіші ме?» Егер кіші болмаса — бұрыс бөлшек.

Кез келген сан — бөлшек те

Кез келген натурал санды бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады: $4 = \frac{4}{1} = \frac{24}{6} = \frac{32}{8} = \frac{60}{15}$.

Қажетті бөлімді қалай алады? Санды бөлімге көбейтсең — алым шығады. 3 санын бестен бір бөліктермен жазғың келе ме? $3 \cdot 5 = 15$, демек, $3 = \frac{15}{5}$. Мағынасы қарапайым: 3 бүтіннің әрқайсысында 5 бестен бір бөлік бар, барлығы 15 бестен бір бөлік.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай бөлшек дұрыс бөлшек деп аталады? Алымы бөлімінен кіші бөлшек: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{11}{12}$.
• Қандай бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады? Алымы бөлімінен үлкен немесе оған тең бөлшек: $\frac{4}{4}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{20}{9}$.
• Натурал санды бұрыс бөлшек түрінде қалай жазуға болады? Бөлімді таңдап, санды соған көбейтеміз — бұл алым болады: $6 = \frac{6 \cdot 2}{2} = \frac{12}{2}$ немесе жай $6 = \frac{6}{1}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 396

Ауызша: $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{25}{25}$, $\frac{71}{43}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{99}{99}$ бөлшектерінің қайсысы дұрыс бөлшек, қайсысы бұрыс бөлшек?

Қалай ойлаймыз. Жоғарыны және төменді салыстырамыз. Жоғарысы кіші болса — дұрыс бөлшек. Жоғарысы тең немесе үлкен болса — бұрыс бөлшек.

Шешуі.

• Дұрыс: $\frac{1}{3}$ — үштен бір; $\frac{9}{10}$ — оннан тоғыз; $\frac{8}{9}$ — тоғыздан сегіз.
• Бұрыс: $\frac{5}{4}$ — төрттен бес; $\frac{9}{9}$ — тоғыздан тоғыз; $\frac{25}{25}$ — жиырма бестен жиырма бес; $\frac{71}{43}$ — қырық үштен жетпіс бір; $\frac{99}{99}$ — тоқсан тоғыздан тоқсан тоғыз.

Жауабы: дұрыс — $\frac{1}{3}$, $\frac{9}{10}$, $\frac{8}{9}$; бұрыс — $\frac{5}{4}$, $\frac{9}{9}$, $\frac{25}{25}$, $\frac{71}{43}$, $\frac{99}{99}$.

A деңгейі

№ 397

$\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{13}{13}$, $\frac{8}{23}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{31}{34}$, $\frac{9}{7}$ бөлшектерінен дұрыс бөлшектерді бір қатарға, бұрыс бөлшектерді екінші қатарға теріп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл: алым мен бөлімнің қайсысы үлкен екеніне қараймыз. $\frac{13}{13}$ туралы ұмытпа!

Шешуі. $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{8}{23}$, $\frac{31}{34}$ бөлшектерінде жоғарысы төменінен кіші. $\frac{3}{2}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{9}{7}$ бөлшектерінде жоғарысы үлкен, ал $\frac{13}{13}$ бөлшегінде тең.

Жауабы: дұрыс: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{8}{23}$, $\frac{31}{34}$; бұрыс: $\frac{3}{2}$, $\frac{13}{13}$, $\frac{17}{10}$, $\frac{9}{7}$.

№ 398

1) 9 және 2; 3 және 7; 10 және 1; 8 және 5 сандарынан дұрыс бөлшек құрастырып жазыңдар; 2) 3 және 5; 9 және 2; 2 және 7; 1 және 8 сандарынан бұрыс бөлшек құрастырып жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Дұрыс бөлшек үшін кіші санды жоғарыға, бұрыс бөлшек үшін төменге қоямыз.

Шешуі. 1) Кіші санды алымға қоямыз: $\frac{2}{9}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{5}{8}$. 2) Кіші санды бөлімге қоямыз: $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{8}{1}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{9}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{5}{8}$; 2) $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{8}{1}$.

№ 399

5, 6, 8, 11, 15 сандарын бөлімі 7-ге тең бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Санды 7-ге көбейтеміз — бұл алым болады.

Шешуі. $5 = \frac{35}{7}$; $6 = \frac{42}{7}$; $8 = \frac{56}{7}$; $11 = \frac{77}{7}$; $15 = \frac{105}{7}$.

Жауабы: $\frac{35}{7}$, $\frac{42}{7}$, $\frac{56}{7}$, $\frac{77}{7}$, $\frac{105}{7}$.

№ 400

Бөлшектерді жазыңдар: 1) $x$-тің қандай натурал сан мәндерінде: а) $\frac{x}{3}$; ә) $\frac{x}{5}$ дұрыс бөлшек; 2) $y$-тің қандай натурал сан мәндерінде: а) $\frac{4}{y}$; ә) $\frac{5}{y}$ бұрыс бөлшек болады?

Қалай ойлаймыз. Дұрыс болса — жоғарысы төменінен кіші. Бұрыс болса — төменгісі жоғарғысынан үлкен емес. Натурал сандарды бірден бастап қарап шығамыз.

Шешуі.

1. а) $x < 3$ болуы керек: $x = 1; 2$. Бөлшектер $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$. ә) $x < 5$ болуы керек: $x = 1; 2; 3; 4$. Бөлшектер $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$.
2. а) $4 \geqslant y$ болуы керек: $y = 1; 2; 3; 4$. Бөлшектер $\frac{4}{1}$, $\frac{4}{2}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{4}{4}$. ә) $5 \geqslant y$ болуы керек: $y = 1; 2; 3; 4; 5$. Бөлшектер $\frac{5}{1}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{5}{5}$.

Жауабы: 1) а) 1, 2; ә) 1, 2, 3, 4; 2) а) 1, 2, 3, 4; ә) 1, 2, 3, 4, 5.

№ 401

1) Массалары бірдей 9 құйманың массасы 8 кг. Бір құйманың массасын жаз. Бұл қандай бөлшек? 2) Ұжымдық шаруашылық 10 га жерге әртүрлі дақыл егу үшін жерді өзара тең 7 бөлікке бөлді. Бөліктердің әрқайсысында неше гектардан болды?

Қалай ойлаймыз. Бөлуді бөлшекпен жазуға болады: $a : b = \frac{a}{b}$.

Шешуі.

1. $8 : 9 = \frac{8}{9}$ кг. Жоғарысы төменінен кіші — бөлшек дұрыс, 1 кг-нан аз.
2. $10 : 7 = \frac{10}{7}$ га. Жоғарысы төменінен үлкен — бөлшек бұрыс, 1 га-дан көп.

Жауабы: 1) $\frac{8}{9}$ кг, дұрыс бөлшек; 2) $\frac{10}{7}$ га, бұрыс бөлшек.

B деңгейі

№ 402

Бөлшектерді қысқартып, дұрыс бөлшектерді, бұрыс бөлшектерді жеке-жеке теріп жазыңдар: $\frac{6}{8}$, $\frac{18}{15}$, $\frac{21}{21}$, $\frac{44}{36}$, $\frac{15}{55}$, $\frac{46}{30}$, $\frac{42}{90}$, $\frac{88}{88}$, $\frac{16}{60}$, $\frac{56}{96}$.

Қалай ойлаймыз. Қысқарту бөлшектің шамасын өзгертпейді. Демек, дұрыс бөлшек дұрыс күйінде, бұрыс бөлшек бұрыс күйінде қалады.

Шешуі. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{18}{15} = \frac{6}{5}$; $\frac{21}{21} = 1$; $\frac{44}{36} = \frac{11}{9}$; $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$; $\frac{46}{30} = \frac{23}{15}$; $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$; $\frac{88}{88} = 1$; $\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$; $\frac{56}{96} = \frac{7}{12}$.

Жауабы: дұрыс: $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{7}{12}$; бұрыс: $\frac{6}{5}$, $\frac{21}{21} = 1$, $\frac{11}{9}$, $\frac{23}{15}$, $\frac{88}{88} = 1$.

№ 403

Натурал санды бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар: 3, 5, 8, 10, 16 сандарын бөлімі 4 және бөлімі 5 болатын бөлшек түрінде кестеге толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алым = сан · бөлім.

Шешуі.

Жауабы: кестені қара.

№ 404

$x$-тің мәндерін тауып, оны сәйкесінше дұрыс бөлшек түрінде немесе бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар: 1) 8 дм $= x$ м; 2) 118 дм $= x$ м; 3) 720 г $= x$ кг; 4) 1635 кг $= x$ т; 5) 2 мин $= x$ сағ; 6) 90 секунд $= x$ мин.

Қалай ойлаймыз. Үлкен өлшем бірлігінде кішісі қанша екенін еске түсіреміз: 1 м = 10 дм, 1 кг = 1000 г, 1 т = 1000 кг, 1 сағ = 60 мин, 1 мин = 60 секунд. Демек, 1 дм — $\frac{1}{10}$ м, 1 мин — $\frac{1}{60}$ сағ, 1 секунд — $\frac{1}{60}$ мин.

Шешуі.

1. $8$ дм $= \frac{8}{10}$ м $= \frac{4}{5}$ м — дұрыс бөлшек;
2. $118$ дм $= \frac{118}{10}$ м $= \frac{59}{5}$ м — бұрыс бөлшек;
3. $720$ г $= \frac{720}{1000}$ кг $= \frac{18}{25}$ кг — дұрыс бөлшек;
4. $1635$ кг $= \frac{1635}{1000}$ т $= \frac{327}{200}$ т — бұрыс бөлшек;
5. $2$ мин $= \frac{2}{60}$ сағ $= \frac{1}{30}$ сағ — дұрыс бөлшек;
6. $90$ секунд $= \frac{90}{60}$ мин $= \frac{3}{2}$ мин — бұрыс бөлшек.

Жауабы: 1) $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{59}{5}$; 3) $\frac{18}{25}$; 4) $\frac{327}{200}$; 5) $\frac{1}{30}$; 6) $\frac{3}{2}$. (Қысқартылмаған $\frac{8}{10}$, $\frac{118}{10}$ және т.б. бөлшектерді де қалдыруға болады — олар тең.)

💡 90 секунд — бұл бір жарым минут, яғни $\frac{3}{2}$ минут. Бір минуттан көп, сондықтан бөлшек бұрыс!

№ 405

8 м сым өзара тең: а) 3 бөлікке; ә) 24 бөлікке; б) 16 бөлікке; в) 6 бөлікке бөлінді. Бір бөлік сымның ұзындығын бөлшек түрінде жазып көрсетіңдер. Бір бөлік сымның ұзындығы қай жағдайда 1 метрден кіші, қай жағдайда 1 метрден үлкен?

Қалай ойлаймыз. Бөліктің ұзындығы — $8 : (\text{бөлік саны})$, яғни бөлшек. Сосын оның дұрыс не бұрыс екенін қараймыз.

Шешуі. а) $8 : 3 = \frac{8}{3}$ м — бұрыс бөлшек, 1 м-ден үлкен; ә) $8 : 24 = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ м — 1 м-ден кіші; б) $8 : 16 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ м — 1 м-ден кіші; в) $8 : 6 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ м — 1 м-ден үлкен.

Қорытынды: бөлік саны метр санынан аз болса (3 және 6 саны 8-ден кіші), әр бөлік метрден ұзын болады.

Жауабы: а) $\frac{8}{3}$ м; ә) $\frac{1}{3}$ м; б) $\frac{1}{2}$ м; в) $\frac{4}{3}$ м. 1 м-ден үлкен — а) және в) жағдайларында, кіші — ә) және б) жағдайларында.

№ 406

Пакетте 500 г қант бар. 100 г кіртасын пайдаланып, табақшалы таразымен екі рет өлшеп, 150 г қантты қалай бөліп алуға болады?

Қалай ойлаймыз. 150 — 300-дің жартысы. Алдымен 300 г алып, сосын оны тең екіге бөлеміз.

Шешуі.

1. Бірінші өлшеу. 100 г кіртасты сол жақ табаққа қоямыз. Барлық қантты таразы теңескенше екі табаққа бөліп саламыз. Сол жақта $x$ г қант, оң жақта $500 - x$ г, және $x + 100 = 500 - x$. Демек, сол жақта 200 г, оң жақта 300 г.
2. Екінші өлшеу. Кіртасты және 200 г қантты алып тастаймыз. 300 г қантты табақтар теңескенше екіге бөлеміз. Әр табақта 150 г болады.

Жауабы: алдымен кіртасты пайдаланып 500 г қантты 200 г және 300 г етіп бөлеміз, сосын 300 г-ды тең екіге бөлеміз — 150 г шығады.

№ 407

Суреттегі квадратты торкөздердің сызықтары бойымен, әрбір бөлікте бір қарғадан болатын, өзара тең 5 бөлікке бөліңдер. Суретті дәптерге көшіріп салып, тапсырманы орындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Квадраттағы $5 \times 5$ торкөздің барлығы 25, демек, әр бөлікте 5 торкөзден болады. Суретте қарғалар мына торкөздерде отыр (қатар; баған): (1; 4), (3; 2), (4; 2), (4; 3), (5; 2). Төменгі сол жақта тығыз отырған үш қарғаны бәрінен бұрын әртүрлі бөліктерге «ажырату» керек.

Шешуі. Мүмкін болатын бөлудің бір үлгісі (сан — бөліктің нөмірі, жұлдызша — қарға):

• 1-бөлік: бірінші бағанның жоғарыдан төмен қарай 4 торкөзі және (4; 2) торкөзі — қарға (4; 2) торкөзінде.
• 2-бөлік: (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (3; 3) торкөздері — қарға (3; 2) торкөзінде.
• 3-бөлік: (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5) торкөздері — қарға (1; 4) торкөзінде.
• 4-бөлік: (3; 4), (3; 5), (4; 3), (4; 4), (4; 5) торкөздері — қарға (4; 3) торкөзінде.
• 5-бөлік: бүкіл төменгі қатар — қарға (5; 2) торкөзінде.

Жауабы: әр бөлікте 5 торкөзден және бір қарғадан бар (жоғарыдағы бөлуді қара).

C деңгейі

№ 408

$n$-нің қандай натурал сан мәндерінде: 1) бөлшек дұрыс: а) $\frac{n + 4}{7}$; ә) $\frac{n - 2}{4}$; б) $\frac{2n + 3}{8}$; 2) бөлшек бұрыс: а) $\frac{10}{n + 8}$; ә) $\frac{8}{5 + n}$; б) $\frac{9 - n}{6}$ болады?

Қалай ойлаймыз. «Жоғарысы төменінен кіші» (немесе «кіші емес») деген шартты жазып, $n$-ді 1-ден бастап таңдаймыз.

Шешуі.

1. а) $n + 4 < 7$, яғни $n < 3$: $n = 1; 2$. ә) $n - 2 < 4$, яғни $n < 6$. Алым теріс болмайды, сондықтан $n \geqslant 2$. Шығатыны $n = 2; 3; 4; 5$ ($n = 2$ болғанда $\frac{0}{4}$ шығады; егер нөлдік алымды қарастырмасақ, онда $n = 3; 4; 5$). б) $2n + 3 < 8$, яғни $2n < 5$: $n = 1; 2$.
2. а) $10 \geqslant n + 8$, яғни $n \leqslant 2$: $n = 1; 2$. ә) $8 \geqslant 5 + n$, яғни $n \leqslant 3$: $n = 1; 2; 3$. б) $9 - n \geqslant 6$, яғни $n \leqslant 3$: $n = 1; 2; 3$.

Жауабы: 1) а) 1, 2; ә) 2, 3, 4, 5; б) 1, 2; 2) а) 1, 2; ә) 1, 2, 3; б) 1, 2, 3.

№ 409

Бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар: 1) 4 алмада неше $\frac{1}{3}$ тең бөлік бар? 2) 7 алмұртта неше $\frac{1}{4}$ тең бөлік бар? 3) 3 қауында неше $\frac{1}{10}$ тең бөлік бар?

Қалай ойлаймыз. Әр жемісті қажетті бөлікке кесіп, барлық тілімдерді бірге санаймыз.

Шешуі.

1. Бір алмада 3 үштен бір бөлік, төртеуінде $4 \cdot 3 = 12$ үштен бір бөлік: $\frac{12}{3}$.
2. $7 \cdot 4 = 28$ төрттен бір бөлік: $\frac{28}{4}$.
3. $3 \cdot 10 = 30$ оннан бір бөлік: $\frac{30}{10}$.

Жауабы: 1) $\frac{12}{3}$; 2) $\frac{28}{4}$; 3) $\frac{30}{10}$.

№ 410

$x$-тің қандай натурал сан мәндерінде: 1) $\frac{x}{7}$ және $\frac{10}{x}$ — бұрыс бөлшек, ал $\frac{8}{x}$ — дұрыс бөлшек; 2) $\frac{x}{11}$ және $\frac{14}{x}$ — бұрыс бөлшек, ал $\frac{12}{x}$ — дұрыс бөлшек?

Қалай ойлаймыз. Әр шарт $x$-ке шек қояды. Үшеуіне де бірден сәйкес келетін сандарды іздейміз.

Шешуі.

1. $\frac{x}{7}$ бұрыс: $x \geqslant 7$. $\frac{10}{x}$ бұрыс: $x \leqslant 10$. $\frac{8}{x}$ дұрыс: $x > 8$. Бәрі бірге: $x = 9; 10$.
2. $x \geqslant 11$, $x \leqslant 14$, $x > 12$. Бәрі бірге: $x = 13; 14$.

Жауабы: 1) $x = 9$ немесе $x = 10$; 2) $x = 13$ немесе $x = 14$.

№ 411

$AD$ кесіндісінің ұзындығы 24 см. $AD$ кесіндісінен $CD$ кесіндісі 9 см қысқа, ал $AB$ кесіндісі 6 см ұзын (3.10-сурет). Нүктелер $A$, $C$, $D$, $B$ ретімен орналасқан. 1) $AB$ кесіндісі неше сантиметр? 2) $AC$ кесіндісі неше сантиметр? $AC$ кесіндісі $AB$ кесіндісінің қандай бөлігі? 3) $DB$ кесіндісі неше сантиметр? $DB$ кесіндісі $AB$ кесіндісінің қандай бөлігі?

Қалай ойлаймыз. Кесіндіні сызып, нүктелерді ретімен белгіле. Сонда көрінеді: $AC = AD - CD$, ал $DB = AB - AD$.

Шешуі.

1. $AB = 24 + 6 = 30$ см.
2. $CD = 24 - 9 = 15$ см. $AC = AD - CD = 24 - 15 = 9$ см. Бөлігі: $\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
3. $DB = AB - AD = 30 - 24 = 6$ см. Бөлігі: $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.

Жауабы: 1) 30 см; 2) 9 см, $AB$ кесіндісінің $\frac{3}{10}$ бөлігі; 3) 6 см, $AB$ кесіндісінің $\frac{1}{5}$ бөлігі.

№ 412

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, $x$-ті табыңдар: 1) $\frac{4x + 1}{11} = \frac{50}{22}$; 2) $\frac{39}{57} = \frac{13}{8x - 5}$; 3) $\frac{72}{60} = \frac{18}{4x + 7}$; 4) $\frac{5x - 6}{9} = \frac{70}{45}$.

Қалай ойлаймыз. Белгілі бөлшекті $x$ бар бөлшектегідей бөлімге (немесе алымға) келтіреміз. Сосын қалған бөліктерін теңестіреміз.

Шешуі.

1. $\frac{50}{22} = \frac{25}{11}$. Демек, $4x + 1 = 25$, $4x = 24$, $x = 6$.
2. $\frac{39}{57} = \frac{13}{19}$ (3-ке). Демек, $8x - 5 = 19$, $8x = 24$, $x = 3$.
3. $\frac{72}{60} = \frac{6}{5} = \frac{18}{15}$. Демек, $4x + 7 = 15$, $4x = 8$, $x = 2$.
4. $\frac{70}{45} = \frac{14}{9}$ (5-ке). Демек, $5x - 6 = 14$, $5x = 20$, $x = 4$.

Жауабы: 1) 6; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

№ 413

Балықшылардың аулаған балықтарының жартысы және 3-еуі сазан. Қалған балықтардың жартысы және 5-еуі алабұға. Одан қалғанының жартысы және 2-еуі шортан. Одан қалған 7-еуі табан балық. Балықшылар неше сазан, неше алабұға, неше шортан аулады?

Қалай ойлаймыз. Басынан бастап шығару мүмкін емес — аулағанын білмейміз. Бірақ соңын білеміз: 7 табан балық. Артқа қарай қадамдап жүреміз.

Шешуі.

1. Шортаннан кейін 7 балық қалды. Шортан — қалғанның жартысы және тағы 2. Демек, қалғанның екінші жартысы — $7 + 2 = 9$ балық, ал шортанға дейінгі барлық қалғаны $9 \cdot 2 = 18$. Шортан: $18 - 7 = 11$.
2. Алабұғаға дейін: екінші жартысы — $18 + 5 = 23$, барлығы $23 \cdot 2 = 46$. Алабұға: $46 - 18 = 28$.
3. Сазанға дейін (барлық аулағаны): екінші жартысы — $46 + 3 = 49$, барлығы $49 \cdot 2 = 98$. Сазан: $98 - 46 = 52$.

Тексеру: $52 + 28 + 11 + 7 = 98$. Дұрыс.

Жауабы: 52 сазан, 28 алабұға, 11 шортан.

№ 414

Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарып, бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{7x + 7y}{21}$; 2) $\frac{8m - 4n}{4m}$; 3) $\frac{9a + 12b}{3}$; 4) $\frac{45c + 18d}{27d}$; 5) $\frac{5x - xy}{x}$; 6) $\frac{6mn - 4m}{2m}$.

Қалай ойлаймыз. Өткен сабақтағыдай: қосындыны қысқартуға болмайды, ал көбейтіндіні болады. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз да, қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{7(x + y)}{21} = \frac{x + y}{3}$;
2. $\frac{4(2m - n)}{4m} = \frac{2m - n}{m}$;
3. $\frac{3(3a + 4b)}{3} = 3a + 4b$;
4. $\frac{9(5c + 2d)}{27d} = \frac{5c + 2d}{3d}$;
5. $\frac{x(5 - y)}{x} = 5 - y$;
6. $\frac{2m(3n - 2)}{2m} = 3n - 2$.

Жауабы: 1) $\frac{x + y}{3}$; 2) $\frac{2m - n}{m}$; 3) $3a + 4b$; 4) $\frac{5c + 2d}{3d}$; 5) $5 - y$; 6) $3n - 2$.

Жадынама

• Дұрыс бөлшек: жоғарысы төменінен кіші, бөлшек 1-ден кіші.
• Бұрыс бөлшек: жоғарысы төменінен үлкен немесе оған тең, бөлшек 1-ге тең немесе 1-ден үлкен.
• Алым мен бөлім бірдей болса — бөлшек 1-ге тең.
• Натурал сан бөлшек ретінде: $n = \frac{n \cdot b}{b}$.
• Қысқарту дұрыс бөлшекті бұрыс бөлшекке, бұрыс бөлшекті дұрыс бөлшекке айналдырмайды.

Шағын тест