3.4. Аралас сандар

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 140–144-беттер.

Нені үйренесің

• Аралас санды тануды: бүтін бөлік пен дұрыс бөлшектің қосындысы, мысалы $2\frac{1}{3}$.
• Бұрыс бөлшекті қалдықпен бөлу арқылы аралас санға айналдыруды.
• Керісінше істеуді: аралас саннан бұрыс бөлшек алуды.
• Натурал санды аралас сан түрінде жазуды: $9 = 8\frac{7}{7}$.

Ой қозғау

1-тапсырма. Үш дөңгелек, әрқайсысы 4 тең бөлікке (ширекке) бөлінген. Алғашқы екеуі түгел боялған, үшіншісінде 3 бөлік боялған.

• Барлығы неше $\frac{1}{4}$ бөлік боялған? $4 + 4 + 3 = 11$ бөлік, яғни дөңгелектің $\frac{11}{4}$ бөлігі.
• Бұл неше бүтін дөңгелек және дөңгелектің тағы неше бөлігі? 2 бүтін дөңгелек және тағы $\frac{3}{4}$. Қосынды түрінде: $2 + \frac{3}{4}$.

2-тапсырма. $A$ нүктесінен 1 белгісіне дейін 5 тең бөлік бар, демек, бір бөлік — $\frac{1}{5}$. 1 белгісінен $B$ нүктесіне дейін тағы 3 осындай бөлік бар.

• Бірліктен кейінгі кішкентай бөлік $x$ неге тең? $x = \frac{3}{5}$.
• Бүкіл $AB$ кесіндісі неге тең? $AB = 1 + \frac{3}{5}$.

💡 «Бүтін + бөлшек» түріндегі мұндай қосындылар — дәл аралас сандар. Оларды қосу таңбасынсыз, қысқаша жазады: $2\frac{3}{4}$, $1\frac{3}{5}$.

Тақырыпты талдаймыз

Үш балаға жеті алма

7 бірдей алманы үш досқа тең бөліп беру керек. Барлық алманы кесу — тиімсіз. Әрқайсысына 2 бүтін алмадан береміз — 6 алма таратылды. Соңғы алманы 3 тең бөлікке кесіп, әрқайсысына $\frac{1}{3}$-ден береміз.

Әр баланың алмасы $2 + \frac{1}{3}$. Қосу таңбасын жазбайды: $2\frac{1}{3}$, оқылуы «екі бүтін үштен бір». Мұндай сан аралас сан деп аталады: 2 — бүтін бөлік, $\frac{1}{3}$ — бөлшек бөлік.

Екінші жағынан, біз 7-ні 3-ке бөлдік, ал бұл — $\frac{7}{3}$. Демек, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. Суретке қара: жеті үштен бір бөлік — бұл екі толық дөңгелек және тағы бір кішкентай бөлік.

📌 Аралас сан = бүтін бөлік + дұрыс бөлшек. Бөлшек бөлік әрқашан 1-ден кіші.

Сәуледе де көрінеді

Бұрыс бөлшектен — аралас санға

Мұнда қалдықпен бөлу көмектеседі. $\frac{23}{6}$ бөлшегін алайық.

1. Алымды бөлімге қалдықпен бөлеміз: $23 : 6 = 3$ (қалдық 5).
2. Толымсыз бөлінді 3 — бүтін бөлік.
3. Қалдық 5 — бөлшек бөліктің алымы, ал бөлім 6 күйінде қалады.

$\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$. Мағынасы: алтыдан 23 бөліктің ішіне 3 бүтін сияды (әрқайсысы алтыдан 6 бөлік), және тағы алтыдан 5 бөлік қалады.

Тағы мысалдар: $\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$; $\frac{43}{8} = 5\frac{3}{8}$; $\frac{55}{9} = 6\frac{1}{9}$.

Аралас саннан — бұрыс бөлшекке

Кері жол. $5\frac{3}{8}$ санын алайық.

1. Бүтін бөлікті бөлімге көбейтеміз: $5 \cdot 8 = 40$ (5 бүтінде сегізден 40 бөлік бар).
2. Алымды қосамыз: $40 + 3 = 43$.
3. 43 санын жоғарыға жазамыз, бөлім 8 күйінде қалады.

$5\frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{43}{8}$. Тағы мысалдар: $7\frac{1}{4} = \frac{29}{4}$; $8\frac{2}{7} = \frac{58}{7}$; $12\frac{3}{4} = \frac{51}{4}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бәрін қатарынан қосады: $\frac{5 + 3}{8}$, немесе алымды көбейтеді: $\frac{5 \cdot 3}{8}$. Дұрысы: бүтін бөлікті бөлімге көбейтеміз, сосын алымды қосамыз. Кері аударумен тексер: $43 : 8 = 5$ (қалдық 3) — тағы да $5\frac{3}{8}$. Сәйкес келді!

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан аударуды пицца арқылы түсіндіруін сұраңыз: «Екі бүтін пицца және тағы 8 кесектің 3-еуі — барлығы неше кесек?» ($2 \cdot 8 + 3 = 19$, яғни $\frac{19}{8}$.) Егер бала осылай айта алса, ереже жаттап алынбаған, түсінілген.

«Аралас киім» киген бүтін сан

Натурал санды да аралас сан түрінде жазуға болады. Бір бірлікті алып, оны бөлшекпен жазамыз: $9 = 8 + 1 = 8 + \frac{7}{7} = 8\frac{7}{7}$ немесе $9 = 8\frac{5}{5}$. Мұндай жазу бүтін саннан бөлшекті алғанда өте керек болады.

⚠️ Жиі кететін қате. Жауапта, мысалы, $3\frac{7}{5}$ қалдырады. Бөлшек бөлік 1-ден кіші болуы керек: $3\frac{7}{5} = 3 + 1\frac{2}{5} = 4\frac{2}{5}$. Ерекшелік — әдейі жазылатын $8\frac{7}{7}$ сияқты жазулар.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай санды аралас сан деп атайды? Бүтін бөліктен және бөлшек бөліктен (дұрыс бөлшектен) тұратын сан, мысалы $2\frac{1}{3}$.
• Бұрыс бөлшекті аралас сан түрінде қалай жазады? Алымды бөлімге қалдықпен бөледі: толымсыз бөлінді — бүтін бөлік, қалдық — алым, бөлім сол күйінде. $\frac{48}{9}$: $48 : 9 = 5$ (қалдық 3), $\frac{48}{9} = 5\frac{3}{9} = 5\frac{1}{3}$.
• Аралас санды бұрыс бөлшек түрінде қалай жазады? Бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымды қосады, бөлімді өзгертпейді. $7\frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{37}{5}$.
• Натурал санды аралас сан түрінде қалай жазады? Одан 1-ді алып тастап, 1-ге тең бөлшекті қосады: $5 = 4\frac{3}{3}$, $10 = 9\frac{4}{4}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 415

Ауызша есептеңдер: 1) $300 : 25$, $\cdot 5$, $+ 80$, $- 48$, $: 4$; 2) $500 - 40$, $: 23$, $\cdot 9$, $+ 75$, $- 65$; 3) $630 : 21$, $+ 90$, $- 66$, $\cdot 9$, $: 2$; 4) $220 + 340$, $: 80$, $\cdot 70$, $- 160$, $+ 120$.

Қалай ойлаймыз. Әр амалды алдыңғы амалдың нәтижесімен жасаймыз. Асықпа — бір қате бүкіл тізбекті бұзады.

Шешуі.

1. $300 : 25 = 12$; $12 \cdot 5 = 60$; $60 + 80 = 140$; $140 - 48 = 92$; $92 : 4 = 23$.
2. $500 - 40 = 460$; $460 : 23 = 20$; $20 \cdot 9 = 180$; $180 + 75 = 255$; $255 - 65 = 190$.
3. $630 : 21 = 30$; $30 + 90 = 120$; $120 - 66 = 54$; $54 \cdot 9 = 486$; $486 : 2 = 243$.
4. $220 + 340 = 560$; $560 : 80 = 7$; $7 \cdot 70 = 490$; $490 - 160 = 330$; $330 + 120 = 450$.

Жауабы: 1) 23; 2) 190; 3) 243; 4) 450.

№ 416

Аралас сандарды оқыңдар: $2\frac{3}{5}$; $1\frac{4}{9}$; $3\frac{5}{7}$; $9\frac{1}{3}$; $14\frac{3}{8}$; $7\frac{19}{100}$; $8\frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүтін бөлік «бүтін» деген сөзбен, сосын бөлшек.

Шешуі. Ретімен оқимыз: бүтін бөлік, содан кейін бөлшек бөліктің бөлімі мен алымы («бөлімнен алым» деп).

Жауабы: екі бүтін бестен үш; бір бүтін тоғыздан төрт; үш бүтін жетіден бес; тоғыз бүтін үштен бір; он төрт бүтін сегізден үш; жеті бүтін жүзден он тоғыз; сегіз бүтін оннан үш.

A деңгейі

№ 417

Аралас сандарды цифрлармен жазыңдар: 1) алты бүтін бестен төрт; 2) сегіз бүтін жетіден үш; 3) он бүтін сегізден бес; 4) жүз бүтін тоқсан екіден бес.

Қалай ойлаймыз. «Бүтін» сөзінің алдындағы сан — үлкен, бөлшек — оң жағында, қасында.

Шешуі. Бүтін бөліктері: 6, 8, 10, 100. Бөлшек бөліктері: $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{5}{92}$.

Жауабы: 1) $6\frac{4}{5}$; 2) $8\frac{3}{7}$; 3) $10\frac{5}{8}$; 4) $100\frac{5}{92}$.

№ 418

1) $\frac{9}{4}$; $\frac{5}{2}$; $\frac{14}{9}$; $\frac{27}{10}$; $\frac{17}{5}$; $\frac{32}{15}$; $\frac{43}{20}$; $\frac{127}{30}$ бұрыс бөлшегін аралас сан түрінде жазыңдар; 2) аралас сандарды бұрыс бөлшек түрінде жазыңдар: $2\frac{1}{3}$; $4\frac{1}{2}$; $3\frac{5}{8}$; $5\frac{2}{9}$; $6\frac{1}{5}$; $7\frac{2}{3}$; $9\frac{3}{4}$; $12\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Бұрыс бөлшектен аралас санға — қалдықпен бөлу. Кері — «бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымды қос».

Шешуі.

1. Қалдықпен бөлеміз:

2. Бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымды қосамыз: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$; $4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$; $3\frac{5}{8} = \frac{29}{8}$; $5\frac{2}{9} = \frac{47}{9}$; $6\frac{1}{5} = \frac{31}{5}$; $7\frac{2}{3} = \frac{23}{3}$; $9\frac{3}{4} = \frac{39}{4}$; $12\frac{1}{6} = \frac{73}{6}$.

Жауабы: 1) $2\frac{1}{4}$; $2\frac{1}{2}$; $1\frac{5}{9}$; $2\frac{7}{10}$; $3\frac{2}{5}$; $2\frac{2}{15}$; $2\frac{3}{20}$; $4\frac{7}{30}$; 2) $\frac{7}{3}$; $\frac{9}{2}$; $\frac{29}{8}$; $\frac{47}{9}$; $\frac{31}{5}$; $\frac{23}{3}$; $\frac{39}{4}$; $\frac{73}{6}$.

№ 419

2, 4, 9, 10, 26 сандарын бөлімі 7-ге тең аралас сан түрінде жазыңдар. Мысалы, 8 санын бөлімі 3-ке тең аралас сан түрінде жазайық: $8 = 7 + \frac{3}{3} = 7\frac{3}{3}$.

Қалай ойлаймыз. Санды 1-ге азайтамыз да, сол бірлікті $\frac{7}{7}$ деп жазамыз.

Шешуі. $2 = 1 + 1 = 1 + \frac{7}{7}$, қалған сандармен де осылай.

Жауабы: $2 = 1\frac{7}{7}$; $4 = 3\frac{7}{7}$; $9 = 8\frac{7}{7}$; $10 = 9\frac{7}{7}$; $26 = 25\frac{7}{7}$.

№ 420

1) Ит 4 секундта 47 м қашықтыққа жүгіреді. Иттің жылдамдығын аралас сан түрінде жазыңдар. 2) «Комета» теплоходы 5 сағатта 206 км жүзді. Теплоходтың жылдамдығын аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық = жол : уақыт. Бөлуді бөлшекпен жазып, бүтін бөлікті ажыратамыз.

Шешуі.

1. $v = 47 : 4 = \frac{47}{4}$; $47 : 4 = 11$ (қалдық 3), демек, $v = 11\frac{3}{4}$ м/с.
2. $v = 206 : 5 = \frac{206}{5}$; $206 : 5 = 41$ (қалдық 1), демек, $v = 41\frac{1}{5}$ км/сағ.

Жауабы: 1) $11\frac{3}{4}$ м/с; 2) $41\frac{1}{5}$ км/сағ.

№ 421

Әлішер үйден саяжайға 30 минутта велосипедпен барып қайтады. Егер ол сол жылдамдықпен үйден саяжайға велосипедпен барып, қайтарда жаяу қайтса, оған 1 сағ уақыт керек. Әлішер үйден жаяу жүріп, саяжайға қанша уақытта барып қайтады?

Қалай ойлаймыз. Алдымен велосипедпен бір бағытқа қанша уақыт кететінін біл. Сонда сағаттан велосипедке кеткен бөлікті алып тастауға болады.

Шешуі.

1. Велосипедпен бір бағытқа: $30 : 2 = 15$ мин.
2. Жаяу бір бағытқа: $60 - 15 = 45$ мин.
3. Жаяу барып-қайтуға: $45 \cdot 2 = 90$ мин $= 1$ сағ $30$ мин $= 1\frac{1}{2}$ сағ.

Жауабы: 1 сағ 30 мин, яғни $1\frac{1}{2}$ сағ.

B деңгейі

№ 422

Бұрыс бөлшектерді қысқартып, аралас сан түрінде жазыңдар: $\frac{12}{8}$; $\frac{20}{16}$; $\frac{35}{25}$; $\frac{46}{32}$; $\frac{56}{12}$; $\frac{105}{45}$; $\frac{198}{102}$; $\frac{90}{65}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қысқартамыз — сандар кішірейеді, бөлу жеңілдейді. Сосын бүтін бөлікті ажыратамыз.

Шешуі. $\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$; $\frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$; $\frac{35}{25} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$; $\frac{46}{32} = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$; $\frac{56}{12} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$; $\frac{105}{45} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$; $\frac{198}{102} = \frac{33}{17} = 1\frac{16}{17}$ (6-ға қысқарттық); $\frac{90}{65} = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13}$.

Жауабы: $1\frac{1}{2}$; $1\frac{1}{4}$; $1\frac{2}{5}$; $1\frac{7}{16}$; $4\frac{2}{3}$; $2\frac{1}{3}$; $1\frac{16}{17}$; $1\frac{5}{13}$.

№ 423

Натурал санды аралас сан түрінде жазып, кестені толтырыңдар: 5, 6, 10, 15, 18 сандарын бөлімі 3 және бөлімі 7 болатын аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл, № 419-дағыдай: бір бірлікті алып, оны $\frac{3}{3}$ немесе $\frac{7}{7}$ деп жазамыз.

Шешуі.

Жауабы: кестені қара.

№ 424

Қалдықпен бөлуді бұрыс бөлшекпен аралас санның теңдігі түрінде жазыңдар (үлгі: $17 : 5 = 3$ (қалдық 2), $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$): 1) $13 : 5 = 2$ (қалдық 3); 2) $29 : 3 = 9$ (қалдық 2); 3) $39 : 4 = 9$ (қалдық 3); 4) $54 : 13 = 4$ (қалдық 2); 5) $72 : 5 = 14$ (қалдық 2); 6) $83 : 6 = 13$ (қалдық 5).

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіш алымға, бөлгіш бөлімге түседі. Толымсыз бөлінді — бүтін бөлік, қалдық — бөлшек бөліктің алымы.

Шешуі. Үлгі бойынша: $13 : 5 = 2$ (қалдық 3) теңдігі $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$ болады. Қалғандары да осылай.

Жауабы: 1) $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$; 2) $\frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$; 3) $\frac{39}{4} = 9\frac{3}{4}$; 4) $\frac{54}{13} = 4\frac{2}{13}$; 5) $\frac{72}{5} = 14\frac{2}{5}$; 6) $\frac{83}{6} = 13\frac{5}{6}$.

№ 425

Аралас сан түрінде өрнектеңдер: а) килограммен: 1) 1 кг 500 г; 2) 3 кг 200 г; 3) 6 кг 400 г; ә) метрмен: 1) 1 м 6 дм; 2) 4 м 30 см; 3) 1 м 20 см; б) сағатпен: 1) 1 сағ 15 мин; 2) 3 сағ 45 мин; 3) 7 сағ 12 мин.

Қалай ойлаймыз. Үлкен өлшем бірліктері — бүтін бөлік. Кішілерін үлкен бірліктің бөлшегі түрінде жазамыз: 1 г $= \frac{1}{1000}$ кг, 1 дм $= \frac{1}{10}$ м, 1 см $= \frac{1}{100}$ м, 1 мин $= \frac{1}{60}$ сағ. Сосын қысқартамыз.

Шешуі. а) $1\frac{500}{1000} = 1\frac{1}{2}$ кг; $3\frac{200}{1000} = 3\frac{1}{5}$ кг; $6\frac{400}{1000} = 6\frac{2}{5}$ кг. ә) $1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$ м; $4\frac{30}{100} = 4\frac{3}{10}$ м; $1\frac{20}{100} = 1\frac{1}{5}$ м. б) $1\frac{15}{60} = 1\frac{1}{4}$ сағ; $3\frac{45}{60} = 3\frac{3}{4}$ сағ; $7\frac{12}{60} = 7\frac{1}{5}$ сағ.

Жауабы: а) $1\frac{1}{2}$; $3\frac{1}{5}$; $6\frac{2}{5}$ кг; ә) $1\frac{3}{5}$; $4\frac{3}{10}$; $1\frac{1}{5}$ м; б) $1\frac{1}{4}$; $3\frac{3}{4}$; $7\frac{1}{5}$ сағ.

💡 Салмағы 3 кг 200 г қарбыз $3\frac{1}{5}$ кг тартады: үш бүтін килограмм және тағы килограммның бестен бір бөлігі.

№ 426

$x$ санын 7-ге бөлгенде бөліндінің мәні $3\frac{2}{7}$-ге тең болды. $x$-ті табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x : 7 = \frac{x}{7}$. Демек, $3\frac{2}{7}$ санын бөлімі 7 болатын бөлшекпен жазу керек — сонда $x$ жоғарыда тұрады.

Шешуі. $\frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$. Демек, $\frac{x}{7} = \frac{23}{7}$, $x = 23$.

Тексеру: $23 : 7 = 3$ (қалдық 2), яғни $3\frac{2}{7}$. Дұрыс.

Жауабы: $x = 23$.

№ 427

Бос орындарды толтырыңдар: 1) $\frac{17}{5} = 3\frac{?}{5}$; $\frac{20}{7} = ?\frac{6}{7}$; $\frac{43}{10} = 4\frac{?}{10}$; $\frac{60}{11} = ?\frac{5}{11}$; 2) $1\frac{2}{3} = \frac{?}{3}$; $3\frac{3}{4} = \frac{?}{4}$; $5\frac{3}{10} = \frac{?}{10}$; $9\frac{1}{5} = \frac{?}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші қатарда — қалдықпен бөлу, екіншісінде — «бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымды қос».

Шешуі.

1. $17 : 5 = 3$ (қалдық 2) → 2; $20 : 7 = 2$ (қалдық 6) → 2; $43 : 10 = 4$ (қалдық 3) → 3; $60 : 11 = 5$ (қалдық 5) → 5.
2. $1 \cdot 3 + 2 = 5$; $3 \cdot 4 + 3 = 15$; $5 \cdot 10 + 3 = 53$; $9 \cdot 5 + 1 = 46$.

Жауабы: 1) $3\frac{2}{5}$; $2\frac{6}{7}$; $4\frac{3}{10}$; $5\frac{5}{11}$; 2) $\frac{5}{3}$; $\frac{15}{4}$; $\frac{53}{10}$; $\frac{46}{5}$.

№ 428

Теңдеудің натурал сан түбірін бөлгіштер жұбын іріктеу тәсілімен табыңдар: $x(7 + x) = 18$; $x(x - 3) = 28$; $x(x + 1) = 42$.

Қалай ойлаймыз. Санды екі көбейткішке мүмкін болатын барлық тәсілмен жіктеп, көбейткіштері керекті санға айырмашылығы бар жұпты іздейміз.

Шешуі.

1. $18 = 1 \cdot 18 = 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$. $x$ және $x + 7$ керек — олар 7-ге ерекшеленеді: бұл 2 және 9. Демек, $x = 2$.
2. $28 = 1 \cdot 28 = 2 \cdot 14 = 4 \cdot 7$. $x$ және $x - 3$ керек, екіншісі 3-ке кіші: 7 және 4. Демек, $x = 7$.
3. $42 = 1 \cdot 42 = 2 \cdot 21 = 3 \cdot 14 = 6 \cdot 7$. Көрші сандар $x$ және $x + 1$ керек: 6 және 7. Демек, $x = 6$.

Тексеру: $2 \cdot 9 = 18$; $7 \cdot 4 = 28$; $6 \cdot 7 = 42$.

Жауабы: $x = 2$; $x = 7$; $x = 6$.

№ 429

1) Квадраттың периметрі 35 см. Квадраттың қабырғасының ұзындығын аралас санмен жазыңдар. 2) Тік төртбұрыштың ауданы 23 см², оның ұзындығы 6 см. Тік төртбұрыштың енін аралас санмен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттың 4 тең қабырғасы бар. Тік төртбұрыштың ені = ауданы : ұзындығы.

Шешуі.

1. $a = 35 : 4 = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$ см.
2. $b = 23 : 6 = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$ см.

Жауабы: 1) $8\frac{3}{4}$ см; 2) $3\frac{5}{6}$ см.

C деңгейі

№ 430

1) $5\frac{1}{4}$ аралас санын бөлімі 8-ге, 12-ге, 28-ге тең аралас сан; 2) $8\frac{1}{7}$ аралас санын бөлімі 21-ге, 35-ке, 49-ға тең аралас сан түрінде жазыңдар. Үлгі. $9\frac{2}{3}$ аралас санын бөлімі 15-ке тең аралас сан түрінде жазайық: $9\frac{2}{3} = 9 + \frac{2}{3} = 9 + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = 9\frac{10}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлік өзгермейді. Бөлшек бөлікті жаңа бөлімге бөлшектің негізгі қасиеті бойынша келтіреміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{7}{28}$, демек, $5\frac{1}{4} = 5\frac{2}{8} = 5\frac{3}{12} = 5\frac{7}{28}$.
2. $\frac{1}{7} = \frac{3}{21} = \frac{5}{35} = \frac{7}{49}$, демек, $8\frac{1}{7} = 8\frac{3}{21} = 8\frac{5}{35} = 8\frac{7}{49}$.

Жауабы: 1) $5\frac{2}{8}$, $5\frac{3}{12}$, $5\frac{7}{28}$; 2) $8\frac{3}{21}$, $8\frac{5}{35}$, $8\frac{7}{49}$.

№ 431

1) $9\frac{1}{8}$ аралас санында неше $\frac{1}{8}$ үлес бар? 2) $5\frac{6}{11}$ аралас санында неше $\frac{1}{11}$ үлес бар?

Қалай ойлаймыз. «Неше үлес» — бұл жай ғана бұрыс бөлшектің алымы.

Шешуі.

1. $9\frac{1}{8} = \frac{9 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{73}{8}$ — бұл сегізден 73 үлес.
2. $5\frac{6}{11} = \frac{5 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{61}{11}$ — бұл он бірден 61 үлес.

Жауабы: 1) 73; 2) 61.

№ 432

$7\frac{1}{2}$ кг емдік шөпті әрқайсысында $\frac{1}{8}$ кг шөп болатындай етіп, неше пакетке салуға болады?

Қалай ойлаймыз. Пакет саны — $7\frac{1}{2}$ кг ішіндегі сегізден бір үлестердің саны.

Шешуі.

1. $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$, демек, $7\frac{1}{2} = 7\frac{4}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 4}{8} = \frac{60}{8}$ кг.
2. Әр пакетте $\frac{1}{8}$ кг, демек, пакет саны — 60.

Жауабы: 60 пакет.

№ 433

Егер телеграф бағандарының бір-бірінен арақашықтығы $\frac{1}{20}$ км болса, $9\frac{1}{2}$ км қашықтыққа неше телеграф бағаны қағылады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — аралықтар туралы есеп, қолдағы саусақтар сияқты: саусақ 5, ал олардың арасындағы аралық 4. Бағандар аралықтан 1-ге көп (бағандар басында да, соңында да тұрады деп есептейміз).

Шешуі.

1. $9\frac{1}{2} = 9\frac{10}{20} = \frac{9 \cdot 20 + 10}{20} = \frac{190}{20}$ км. Демек, аралық саны 190.
2. Бағандар: $190 + 1 = 191$.

Жауабы: 191 телеграф бағаны.

№ 434

Бөлшектерді бөлінді түрінде жазып, теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{3a}{4} = 15$; 2) $\frac{3b + 28}{25} = 4$; 3) $\frac{16a - 24}{6} = 12$; 4) $\frac{29b + 172}{3} = 5^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы. Белгісіз бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш.

Шешуі.

1. $3a : 4 = 15$; $3a = 60$; $a = 20$.
2. $(3b + 28) : 25 = 4$; $3b + 28 = 100$; $3b = 72$; $b = 24$.
3. $(16a - 24) : 6 = 12$; $16a - 24 = 72$; $16a = 96$; $a = 6$.
4. $5^3 = 125$. $(29b + 172) : 3 = 125$; $29b + 172 = 375$; $29b = 203$; $b = 7$.

Жауабы: 1) $a = 20$; 2) $b = 24$; 3) $a = 6$; 4) $b = 7$.

№ 435

Есептеңдер: 1) $(1845 : 15 + (873 - 689) \cdot 12) : 21 - 109$; 2) $((58 - 506 : 23) \cdot (101 \cdot 27 - 2685) + 1748) : 163$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ең ішкі жақшалар, олардың ішінде көбейту мен бөлу қосу мен азайтудан бұрын орындалады.

Шешуі. 1)

1. $1845 : 15 = 123$;
2. $873 - 689 = 184$;
3. $184 \cdot 12 = 2208$;
4. $123 + 2208 = 2331$;
5. $2331 : 21 = 111$;
6. $111 - 109 = 2$.

1. $506 : 23 = 22$;
2. $58 - 22 = 36$;
3. $101 \cdot 27 = 2727$;
4. $2727 - 2685 = 42$;
5. $36 \cdot 42 = 1512$;
6. $1512 + 1748 = 3260$;
7. $3260 : 163 = 20$.

Жауабы: 1) 2; 2) 20.

№ 436

26 л жеміс сусыны 2 литрлік және 3 литрлік 11 банкаға құйылды. Жеміс сусыны 2 литрлік неше банкаға құйылды?

Қалай ойлаймыз. «Не болар еді, егер…» деген айлалы тәсіл: барлық банка 3 литрлік деп елестетіп, қанша литр «артық» шыққанын қараймыз.

Шешуі.

1. Егер 11 банканың бәрі 3 л болса: $11 \cdot 3 = 33$ л.
2. Артығы: $33 - 26 = 7$ л.
3. Әр 2 литрлік банка 3 литрлік банканың орнына 1 л «азайтады». Демек, 2 литрлік банка $7 : 1 = 7$.
4. 3 литрлік банка: $11 - 7 = 4$.

Тексеру: $7 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 14 + 12 = 26$ л. Дұрыс.

Жауабы: 7 екі литрлік банкаға.

Жадынама

• Аралас сан — бүтін бөлік пен дұрыс бөлшек, «+» таңбасынсыз жазылады.
• Бұрыс бөлшек → аралас сан: қалдықпен бөлу.
• Аралас сан → бөлшек: бүтін бөлікті бөлімге көбейтіп, алымды қос.
• Жауаптағы бөлшек бөлік әрқашан 1-ден кіші.
• Аударуды кері аударумен тексер.

Шағын тест