3.5. Жай бөлшектер мен аралас сандарды координаталық сәуледе кескіндеу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 145–151-беттер.

Нені үйренесің

• Сәулеге кез келген бөлшекті қоюды — $\frac{5}{9}$ болсын, $\frac{7}{12}$ болсын.
• $2\frac{3}{4}$ сияқты аралас сандарды белгілеп, санауды қайдан бастау керегін шатастырмауды.
• Нүктенің координатасын сурет бойынша оқуды.
• Ыңғайлы бірлік кесінді таңдауды: бәрі бөлінуі үшін неше торкөз алу керек.
• $\frac{1}{2}$ мен $\frac{5}{10}$ неге бір нүкте екенін түсінуді.

Ой қозғау

Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Бірлік кесінді дегеніміз не? Сәуледе 0-ден 1-ге дейінгі арақашықтық. Бұл — біздің «өлшеуішіміз»: барлық санды соның көмегімен саламыз.
• $\frac{3}{8}$ бөлшегіндегі бөлім нені көрсетеді? Бүтіннің неше тең бөлікке бөлінгенін — 8. Ал алым 3 — неше бөлікті алғанымызды.
• $2\frac{3}{4}$ неден тұрады? Екі бүтіннен және тағы $\frac{3}{4}$-тен: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.

Тапсырма. Координаталық сәуле сызып, оның санақ басы $O$ нүктесін белгіле. Ұзындығы 10 см бірлік кесінді ал да, оны ұзындықтары тең 10 бөлікке бөл. Сәуледе $\frac{1}{10}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{7}{10}$ бөлшектерін нүктелермен кескіндеп, оларды $A$, $B$, $C$ әріптерімен белгіле. Нүктелердің координаталарын жаз. Бір бөлік — $\frac{1}{10}$, сондықтан нүктелер 1, 3 және 7 бөліктің қашықтығында тұрады.

Тақырыпты талдаймыз

Сәуле — бөлшектерге арналған сызғыш

1, 2, 3 сандарын сәулеге қалай белгілегенімізді есіңде ме? Бірлік кесіндіні бір рет, екі рет, үш рет салатынбыз. Бөлшектермен де солай, тек өлшеуішті алдымен ұсақ бөліктерге кесу керек.

$\frac{5}{9}$ санын белгілеу керек делік. Бөлім 9 — бірлік кесіндіні 9 тең бөлікке бөлеміз. Алым 5 — нөлден бастап 5 бөлікті санаймыз. Нүктені сол жерге қоямыз: $A\left(\frac{5}{9}\right)$.

📌 Бөлім бірлік кесіндіні неше бөлікке бөлу керегін айтады. Алым — нөлден бастап неше бөлікті санау керегін.

Бірлік кесіндіні бөлімге бөлінетін торкөз санымен алған ыңғайлы. Тоғыздан бір үшін — 9 торкөз, сонда бір торкөз — $\frac{1}{9}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «$\frac{1}{3}$ мен $\frac{1}{4}$ екеуін де белгілеу үшін неше торкөз алу керек?» Жақсы жауап — 12: ол 3-ке де, 4-ке де бөлінеді. Бұл — келесі сабақтың ортақ бөлім туралы тақырыбына тікелей дайындық.

Аралас сан: алдымен бүтіндер, сосын кішкентай бөлік

$2\frac{3}{4}$ — бұл екі бүтін және тағы төрттен үш. Солай қадамдаймыз: нөлден екі бірлік саламыз да, 2-ге жетеміз. Келесі бірлікті (2-ден 3-ке дейін) 4 бөлікке бөліп, соның 3-еуін екіден бастап санаймыз.

⚠️ Жиі кететін қате. 3 бөлікті нөлден санайды, екіден емес. Сонда $2\frac{3}{4}$ орнына $\frac{3}{4}$ шығады. Тексеру: $2\frac{\ldots}{\ldots}$ түріндегі сан әрқашан 2 мен 3 арасында тұрады.

Нүктені сурет бойынша қалай оқимыз

Енді керісінше: нүкте тұр, оның санын білу керек.

1. Бір бірлік кесінді неше бөлікке бөлінгенін санаймыз. Бұл — бөлім.
2. Нүкте қай бүтіннен кейін тұрғанын қараймыз. Бұл — бүтін бөлік.
3. Сол бүтіннен нүктеге дейінгі бөліктерді санаймыз. Бұл — алым.

⚠️ Жиі кететін қате. Аралықтардың орнына сызықшаларды санайды. Егер 0-ден 1-ге дейін 6 сызықша көрінсе (0 мен 1-ді қоса), онда бөлік саны 6 емес, 5. Аралықтарды сана!

Екі бөлшек — бір нүкте

Бірлік кесіндіні 10 торкөз етіп алайық. $\frac{1}{2}$ — жартысы, 5 торкөз. Ал $\frac{5}{10}$ — оннан бір бөліктің 5 торкөзі. Бұл да 5 торкөз! Тең бөлшектер әрқашан бір нүктеге түседі.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $\frac{2}{3}$ бөлшегін сәулеге қалай белгілейміз? Бірлік кесіндіні 3 тең бөлікке бөліп, нөлден бастап 2 бөлікті санаймыз. 3, 6 немесе 9 торкөз алған ыңғайлы.
• $4\frac{1}{5}$ аралас санын қалай белгілейміз? Нөлден 4 бірлік саламыз. Келесі бірлікті (4-тен 5-ке дейін) 5 бөлікке бөліп, төрттен бастап бір бөлікті санаймыз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 437

Координаталық сәуледе $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелеріне қандай сандар сәйкес келеді (3.15-сурет)? $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерін координаталарымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бірлік 5 бөлікке бөлінген — бөлім 5. Әрі қарай нүкте қай бүтіннен кейін тұрғанын қараймыз.

Шешуі.

1. $A$ — 0-ден кейінгі 2-бөлік: $\frac{2}{5}$.
2. $B$ — 1-ден кейінгі 1-бөлік: $1\frac{1}{5}$.
3. $C$ — 1-ден кейінгі 3-бөлік: $1\frac{3}{5}$.
4. $D$ — 2-ден кейінгі 4-бөлік: $2\frac{4}{5}$.

Жауабы: $A\left(\frac{2}{5}\right)$, $B\left(1\frac{1}{5}\right)$, $C\left(1\frac{3}{5}\right)$, $D\left(2\frac{4}{5}\right)$.

№ 438

Бірлік кесінді ретінде дәптердің 5 торкөзінің ұзындығын алып, координаталық сәуле сызыңдар. Оның бойына $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{5}$, $1\frac{3}{5}$, $2\frac{4}{5}$, $3\frac{2}{5}$ сандарына сәйкес нүктелерді белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Өлшеуіштің $\frac{1}{5}$ бөлігі — дәл 1 торкөз. Санды торкөзге айналдыру үшін бүтін бөлікті 5-ке көбейтіп, алымды қосамыз.

Шешуі.

Сәуле кемінде 20 торкөзге керек — 4 санына дейін.

Жауабы: нүктелер сәуленің басынан 2, 4, 8, 14 және 17 торкөз қашықтықта тұр.

№ 439

Бірлік кесінді ретінде 4 см кесіндіні алып, координаталық сәуле сызыңдар. Оның бойынан: $A\left(\frac{1}{2}\right)$, $B\left(1\frac{1}{4}\right)$, $C\left(1\frac{3}{4}\right)$, $D(2)$, $E\left(2\frac{1}{2}\right)$ нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. 4 см-дің төрттен бірі — 1 см, жартысы — 2 см.

Шешуі.

1. $A$: $\frac{1}{2}$ — нөлден 2 см.
2. $B$: $1\frac{1}{4}$ — $4 + 1 = 5$ см.
3. $C$: $1\frac{3}{4}$ — $4 + 3 = 7$ см.
4. $D$: 2 — 8 см.
5. $E$: $2\frac{1}{2}$ — $8 + 2 = 10$ см.

Жауабы: нүктелер сәуленің басынан 2 см, 5 см, 7 см, 8 см және 10 см қашықтықта тұр.

№ 440

3.16-суретте әріптермен белгіленген нүктелерді координаталарымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бірлікте 7 бөлік бар — бөлім 7.

Шешуі.

1. $E$ — 0-ден кейінгі 4-бөлік: $\frac{4}{7}$.
2. $F$ — 1-ден кейінгі 2-бөлік: $1\frac{2}{7}$.
3. $M$ — 1-ден кейінгі 5-бөлік: $1\frac{5}{7}$.
4. $N$ — 2-ден кейінгі 2-бөлік: $2\frac{2}{7}$.

Жауабы: $E\left(\frac{4}{7}\right)$, $F\left(1\frac{2}{7}\right)$, $M\left(1\frac{5}{7}\right)$, $N\left(2\frac{2}{7}\right)$.

№ 441

Бірлік кесіндісі 8 см-ге тең координаталық сәуле сызыңдар. Оның бірлік кесіндісін өзара тең 2 бөлікке бөліңдер. Бөліктердің әрқайсысын тағы да өзара тең 2 бөлікке бөліңдер. Бөлінген әрбір бөліктің сәйкес координаталарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екіге, сосын тағы екіге бөлу — бұл 4 тең бөлік. Демек, төрттен бір бөліктер шығады.

Шешуі.

1. 8 см-ді екіге бөлеміз: ортасы нөлден 4 см-де. Оның координатасы $\frac{1}{2}$.
2. Әр жартыны тағы екіге бөлеміз: 2 см-ден 4 бөлік. Әр бөлік — $\frac{1}{4}$.
3. Сызықшалар 2, 4, 6 және 8 см-де тұр. Координаталары: $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{4}$.

Байқа: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ және $\frac{4}{4} = 1$ — бұлар бұрынғы нүктелер.

Жауабы: $\frac{1}{4}$; $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{4} = 1$.

№ 442

Жұмысшылар жолдың берілген ұзындығына 12 күнде асфальт төсеп болды. Олар 5 күнде, 7 күнде, 10 күнде жолдың қандай бөлігіне асфальт төседі? Координаталық сәуле бойында $A$, $B$ және $C$ нүктелерімен кескіндеп көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Күн сайын бірдей жұмыс істелді, яғни жолдың $\frac{1}{12}$ бөлігі. Бүкіл жол — бірлік кесінді, 12 торкөз алған ыңғайлы.

Шешуі.

1. 5 күнде — жолдың $\frac{5}{12}$ бөлігі. $A$ нүктесі — нөлден 5 торкөз.
2. 7 күнде — $\frac{7}{12}$. $B$ нүктесі — 7 торкөз.
3. 10 күнде — $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$. $C$ нүктесі — 10 торкөз.

Жауабы: $A\left(\frac{5}{12}\right)$, $B\left(\frac{7}{12}\right)$, $C\left(\frac{10}{12}\right)$, яғни жолдың $\frac{5}{6}$ бөлігі.

№ 443

Қасқыр түлкіні көріп, қуа жөнелді. 1) Қасқырдың тұрған жеріне сәйкес нүктені әріппен белгілеп, оны координатасымен жазыңдар; 2) түлкінің тұрған жеріне сәйкес нүктені әріппен белгілеп, оны координатасымен жазыңдар; 3) түлкі қасқырдан бірлік кесінді есебімен қандай қашықтықта? Бөлшекпен жазыңдар (3.17-сурет).

Қалай ойлаймыз. Қасқыр 2-сызықшада, түлкі 8-сызықшада тұр. Арақашықтық — айырма.

Шешуі.

1. Қасқыр: $W\left(\frac{2}{10}\right)$ нүктесі, яғни $\frac{1}{5}$.
2. Түлкі: $L\left(\frac{8}{10}\right)$ нүктесі, яғни $\frac{4}{5}$.
3. Олардың арасы $8 - 2 = 6$ бөлік: бірлік кесіндінің $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ бөлігі.

Жауабы: 1) қасқыр $\frac{2}{10}$; 2) түлкі $\frac{8}{10}$; 3) арақашықтық бірлік кесіндінің $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ бөлігіне тең.

B деңгейі

№ 444

Бірлік кесінді ретінде ұзындығы 6 см кесіндіні алып, координаталық сәуле сызыңдар. Оның бойынан $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $1\frac{1}{6}$, $1\frac{1}{2}$ бөлшектерін кескіндейтін нүктелерді белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. 6 см-дің $\frac{1}{6}$ бөлігі — 1 см. Үштен бір және жартыны алтыдан бір бөліктерге аударамыз: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Шешуі.

Жауабы: нүктелер сәуленің басынан 1, 2, 4, 7 және 9 см қашықтықта тұр.

№ 445

Бірлік кесіндісі дәптердің 20 торкөзінің ұзындығына тең координаталық сәуле сызыңдар. Осы координаталық сәуленің бойына $\frac{2}{5}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{8}{10}$; $\frac{5}{10}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{4}{10}$ бөлшектеріне сәйкес нүктелерді белгілеңдер. Қай бөлшектер бір ғана нүктемен кескінделеді? Не себепті?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бір үлесте неше торкөз бар екенін білеміз: $\frac{1}{5}$ — $20 : 5 = 4$ торкөз, $\frac{1}{2}$ — 10 торкөз, $\frac{1}{10}$ — 2 торкөз.

Шешуі.

• $\frac{2}{5}$: $2 \cdot 4 = 8$ торкөз;
• $\frac{1}{2}$: 10 торкөз;
• $\frac{8}{10}$: $8 \cdot 2 = 16$ торкөз;
• $\frac{5}{10}$: $5 \cdot 2 = 10$ торкөз;
• $\frac{4}{5}$: $4 \cdot 4 = 16$ торкөз;
• $\frac{4}{10}$: $4 \cdot 2 = 8$ торкөз.

Жауабы: бір нүктемен $\frac{2}{5}$ және $\frac{4}{10}$ (8 торкөз); $\frac{1}{2}$ және $\frac{5}{10}$ (10 торкөз); $\frac{8}{10}$ және $\frac{4}{5}$ (16 торкөз) кескінделеді. Себебі — бұл тең бөлшектер.

№ 446

3.18-суреттегі координаталық сәуледе $A\left(\frac{2}{3}\right)$, $B\left(1\frac{1}{3}\right)$ және $C\left(1\frac{2}{3}\right)$ нүктелерін белгілеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бірінші сәуледе бірлік — 6 торкөз, екіншісінде — 9 торкөз. Екі сан да 3-ке бөлінеді. Демек, $\frac{1}{3}$ — бірінші сәуледе 2 торкөз, екіншісінде 3 торкөз.

Шешуі.

Жауабы: бірінші сәуледе нүктелер нөлден 4, 8 және 10 торкөзден кейін; екіншісінде — 6, 12 және 15 торкөзден кейін тұрады.

№ 447

Бірлік кесіндісі 1 см-ге тең координаталық сәуле сызыңдар. Оның бойынан: 1) $A(6)$ нүктесін белгілеңдер. Осы нүктеден 2 бірлік кесіндіге тең қашықтықтағы нүктелерді тауып, оларды әріптермен белгілеп, координаталарымен жазыңдар. Неше нүкте белгіленді? 2) $A(2)$ және $B(8)$ нүктелерін белгілеңдер. $AB$ кесіндісінің қақ ортасындағы $C$ нүктесін табыңдар. $C$ нүктесін координатасымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі жаққа да — оңға да, солға да өлшеуге болады. Ал орта — ұштарынан бірдей қашықтықтағы нүкте.

Шешуі.

1. 6 нүктесінен солға да, оңға да 2 бірліктен өлшейміз: $6 - 2 = 4$ және $6 + 2 = 8$. Екі нүкте шығады.
2. $AB$ ұзындығы: $8 - 2 = 6$. Жартысы — 3. Орта: $2 + 3 = 5$.

Жауабы: 1) екі нүкте: 4 және 8; 2) $C(5)$.

№ 448

Ұзындығы 1 м 20 см лентадан ұзындықты өлшейтін құралды пайдаланбай, 45 см лентаны қалай қиып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Лентаны екіге бүгуге болады. 45 см лентаның қандай бөлігі екенін біл.

Шешуі.

1. 1 м 20 см = 120 см.
2. Екіге бүксек — 60 см, тағы бір рет — 30 см, тағы бір рет — 15 см. Лента 15 см-ден 8 тең бөлікке бөлінеді.
3. $45 = 3 \cdot 15$. Мұндай 3 бөліктен тұратын кесек керек — бұл лентаның $\frac{3}{8}$ бөлігі.
4. Немесе былай: лентаның төрттен бірін (30 см) белгілеп, оған сегізден бір бөлігін (15 см) қос: $30 + 15 = 45$.

Жауабы: лентаны үш рет екіге бүгіп (15 см-ден 8 бөлік шығады), соның 3 бөлігін қию керек — бұл 45 см.

№ 449

Егер домбыраны координаталық сәуле бойына орналастырсақ, домбыраның тиегіне ($A$ нүктесіне), мойнына ($B$ нүктесіне) және құлағына ($C$ нүктесіне) қандай бөлшектер сәйкес келеді (3.19-сурет)? $A$, $B$ және $C$ нүктелерін координаталарымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нөлден әр нүктеге дейінгі бөліктерді санаймыз.

Шешуі. Сурет бойынша: $A$ — 1-бөлікте, $B$ — 4-бөлікте, $C$ — 9-бөлікте.

Жауабы: $A\left(\frac{1}{10}\right)$, $B\left(\frac{4}{10}\right)$, яғни $\frac{2}{5}$, $C\left(\frac{9}{10}\right)$.

🌟 Шығады, домбыраның мойны аспаптың дәл жартысын алады: $\frac{4}{10}$-дан $\frac{9}{10}$-ға дейін — бұл $\frac{5}{10}$.

C деңгейі

№ 450

Координаталық сәуледе $A$ нүктесі 2 мен 3 сандарының арасында. $A$ нүктесі 2 санынан 4 бөлік оңға, ал 3 санынан 5 бөлік солға қарай орналасқан. $A$ нүктесі қандай бөлшек санды кескіндейді?

Қалай ойлаймыз. 2-ден 3-ке дейін — бір бірлік. Онда $4 + 5 = 9$ бөлік бар.

Шешуі.

1. Бірлік 9 бөлікке бөлінген, әр бөлік — $\frac{1}{9}$.
2. 2-ден 4 бөлікті санадық: $2\frac{4}{9}$.

Жауабы: $A\left(2\frac{4}{9}\right)$.

№ 451

3.20-сурет бойынша: $A$ нүктесін және $B$ нүктесін координатасымен жазыңдар; $AB$ кесіндісін ұзындықтары өзара тең үш бөлікке бөлетін $C$ және $D$ нүктелерін тауып, оларды координаталарымен жазыңдар. (Суретте бірлік кесінді — 10 торкөз, $A$ нүктесі нөлден 4 торкөз, $B$ нүктесі нөлден 19 торкөз қашықтықта тұр.)

Қалай ойлаймыз. Барлығын торкөзге айналдырамыз, $AB$ ұзындығын 3-ке бөлеміз, сосын қайтадан бөлшектерге оралаймыз.

Шешуі.

1. Бір торкөз — $\frac{1}{10}$. $A\left(\frac{4}{10}\right) = A\left(\frac{2}{5}\right)$; $B\left(1\frac{9}{10}\right)$.
2. $AB$ ұзындығы: $19 - 4 = 15$ торкөз. Үштен бірі: $15 : 3 = 5$ торкөз.
3. $C$: $4 + 5 = 9$ торкөз — $\frac{9}{10}$.
4. $D$: $9 + 5 = 14$ торкөз — $1\frac{4}{10} = 1\frac{2}{5}$.

Жауабы: $A\left(\frac{2}{5}\right)$, $B\left(1\frac{9}{10}\right)$; $C\left(\frac{9}{10}\right)$, $D\left(1\frac{2}{5}\right)$.

№ 452

3.21-суреттегі координаталық сәулені дәптерге көшіріп сызыңдар. Координаталық сәуленің бірлік кесіндісін тауып, оны белгілеңдер. Координаталық сәуле бойында: $A\left(\frac{5}{6}\right)$, $B\left(1\frac{1}{2}\right)$, $C\left(2\frac{1}{6}\right)$, $D\left(2\frac{2}{3}\right)$ нүктелерін белгілеңдер. (Суретте сәуледе тек 3 саны жазылған — ол нөлден 18 торкөз қашықтықта.)

Қалай ойлаймыз. Үш бірлік — 18 торкөз. Демек, бір бірлік 3 есе қысқа. Әрі қарай барлығын алтыдан бір бөліктерге аударамыз.

Шешуі.

1. Бір бірлік — $18 : 3 = 6$ торкөз. $\frac{1}{6}$ — 1 торкөз.
2. $A$: $\frac{5}{6}$ — 5 торкөз.
3. $B$: $1\frac{1}{2} = 1\frac{3}{6}$ — $6 + 3 = 9$ торкөз.
4. $C$: $2\frac{1}{6}$ — $12 + 1 = 13$ торкөз.
5. $D$: $2\frac{2}{3} = 2\frac{4}{6}$ — $12 + 4 = 16$ торкөз.

Жауабы: бірлік кесінді 6 торкөз; $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелері нөлден 5, 9, 13 және 16 торкөз қашықтықта тұр.

№ 453

3.22-суреттегі координаталық сәуле бойындағы $C$ нүктесі — $A$ және $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықтағы нүкте. $B$ нүктесінің координатасын тауып, оны координаталық сәуле бойында кескіндеңдер. (Суретте 2 мен 4 арасы 8 бөлікке бөлінген, $A$ нүктесі 2-ден кейінгі 1-бөлікте, $C$ нүктесі 4-бөлікте тұр.)

Қалай ойлаймыз. Әр бірлікте 4 бөлік бар. $C$ — $AB$ кесіндісінің ортасы, демек, $B$ нүктесі $C$-дан оңға қарай $A$ нүктесі солға қарай орналасқан бөлік санындай алыс.

Шешуі.

1. $A = 2\frac{1}{4}$; $C = 2\frac{4}{4} = 3$.
2. $A$-дан $C$-ға дейін — $4 - 1 = 3$ бөлік, яғни $\frac{3}{4}$.
3. $B$: $C$-дан оңға қарай тағы 3 бөлік — $3\frac{3}{4}$.

Жауабы: $B\left(3\frac{3}{4}\right)$.

№ 454

3.23-суреттегі $ABCD$ төртбұрышының ауданын табыңдар. (Суретте $AC$ диагоналіне $BE = 7$ см және $DF = 10$ см перпендикулярлар түсірілген, диагональдың бөліктері 8 см және 2 см деп белгіленген.)

Қалай ойлаймыз. Қайталауға есеп. $AC$ диагоналі фигураны екі үшбұрышқа бөледі: $ABC$ және $ACD$. $BE$ және $DF$ кесінділері $AC$ диагоналіне перпендикуляр — бұл олардың биіктіктері. Үшбұрыштың ауданы — табан мен биіктік көбейтіндісінің жартысы.

Шешуі.

1. $AC$ ұзындығы керек. Жауап бойынша ол 10 см: $8 + 2 = 10$ см, яғни 8 см — $A$ нүктесінен $F$ нүктесіне дейінгі қашықтық.
2. $S_{ABC} = \frac{AC \cdot BE}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$ см².
3. $S_{ACD} = \frac{AC \cdot DF}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$ см².
4. $S_{ABCD} = 35 + 50 = 85$ см².

Жауабы: 85 см².

№ 455

Ұзындығы 320 м, жылдамдығы 54 км/сағ пойызға, ұзындығы 275 м, жылдамдығы 72 км/сағ пойыз қатар теміржолмен қарсы жүріп келеді. Осы пойыздардың машинистері кездескен соң неше секундтан кейін олардың соңғы вагондарындағы жолаушылар кездеседі?

Қалай ойлаймыз. Машинистер қатар келгенде, пойыздардың құйрықтарын пойыздар ұзындықтарының қосындысы бөліп тұрады. Пойыздар жылдамдықтардың қосындысымен жақындайды.

Шешуі.

1. Жақындау жылдамдығы: $54 + 72 = 126$ км/сағ.
2. м/с-пен: 126 км/сағ — бұл 3600 с-та 126 000 м; $126,000 : 3600 = 35$ м/с.
3. Құйрықтар арасындағы қашықтық: $320 + 275 = 595$ м.
4. Уақыт: $595 : 35 = 17$ с.

Жауабы: 17 секундтан кейін.

№ 456

Бөлшекті бөлінді түрінде жазып, теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{7x + 139}{13} = 15$; 2) $5 + \frac{294}{x + 8} = 26$; 3) $\frac{413 - x}{12} + 27 = 60$; 4) $41 - \frac{216 - 3x}{34} = 35$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы. «Соңынан бастап» шешеміз: қадам-қадаммен белгісіз компонентті табамыз.

Шешуі.

1. $\frac{7x + 139}{13} = 15$, яғни $(7x + 139) : 13 = 15$. $7x + 139 = 15 \cdot 13 = 195$; $7x = 195 - 139 = 56$; $x = 8$.
2. $5 + \frac{294}{x + 8} = 26$. $294 : (x + 8) = 21$; $x + 8 = 294 : 21 = 14$; $x = 6$.
3. $\frac{413 - x}{12} + 27 = 60$. $(413 - x) : 12 = 33$; $413 - x = 396$; $x = 17$.
4. $41 - \frac{216 - 3x}{34} = 35$. $(216 - 3x) : 34 = 6$; $216 - 3x = 204$; $3x = 12$; $x = 4$.

Тексеру 1) үшін: $(7 \cdot 8 + 139) : 13 = 195 : 13 = 15$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 8; 2) 6; 3) 17; 4) 4.

№ 457

3.24-суреттегі координаталық сәулені дәптерге көшіріп салыңдар. Координаталық сәуленің санақ басы ($O$ нүктесі) Ақтөбе қаласына сәйкес. 1. Қазақстанның картасын пайдаланып, координаталық сәуледегі сұрақ белгісімен белгіленген нүктеге қай қала сәйкес екенін табыңдар. 2. Координаталық сәуле бойында нүктелермен кескінделген қалалардың координаталарын жазыңдар. (Суретте бірлік кесінді 10 бөлікке бөлінген: «?» нүктесі 9-бөлікте, Қарағанды 1-ден кейінгі 5-бөлікте тұр.)

Қалай ойлаймыз. Координаталарды сурет бойынша оқимыз. Қаланы табу үшін қашықтықтарды салыстырамыз: «?» нүктесі $\frac{9}{10}$-да, ал Қарағанды $1\frac{5}{10}$-да. Демек, Ақтөбеден «?» нүктесіне дейін Қарағандыға дейінгі жолдың шамамен $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ бөлігі.

Шешуі.

1. «?» нүктесінің координатасы: $\frac{9}{10}$.
2. Қарағандының координатасы: $1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2}$.
3. Картамен Ақтөбеден шығысқа қарай Қарағандыға қарай жүрсек, жолдың шамамен $\frac{3}{5}$ бөлігінде Арқалық қаласы (Қостанай облысы) орналасқан. Картамен тексер.

Жауабы: «?» $\left(\frac{9}{10}\right)$ — картамен салыстырғанда, бұл, ықтимал, Арқалық; Қарағанды $\left(1\frac{1}{2}\right)$.

Жадынама

• $\frac{a}{b}$ бөлшегі: бірлікті $b$ бөлікке бөліп, нөлден бастап $a$ бөлікті санаймыз.
• $2\frac{3}{4}$ аралас саны әрқашан 2 мен 3 арасында жатады.
• $\frac{1}{3}$ үшін 3, 6, 9 немесе 12 торкөзден тұратын өлшеуішті ал.
• Сызықшаларды емес, аралықтарды сана.
• Тең бөлшектер — бір нүкте.

Шағын тест