3.6. Жай бөлшектерді, аралас сандарды ортақ бөлімге келтіру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 152–158-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлшектің шамасын өзгертпей, оны жаңа бөліммен жазуды.
• Толықтауыш көбейткішті, яғни «қанша есе ұсақтап кесетінімізді» табуды.
• Екі және үш бөлшектің ең кіші ортақ бөлімін ЕКОЕ арқылы табуды.
• Аралас сандарды ортақ бөлімге келтіруді.
• Натурал санды керекті бөлімі бар жай бөлшек немесе аралас сан түрінде жазуды.

Ой қозғау

Бөлімдері бірдей болатындай сандар таңда. Есіңде болсын: алымын да, бөлімін де бір санға көбейтеміз.

• $\frac{1}{6}$ және $\frac{4}{9}$: екеуіне де сәйкес келетін ең кіші бөлім қандай? 18, ол ЕКОЕ(6, 9). Сонда $\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18}$ және $\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18}$.
• $\frac{3}{4}$ және $\frac{7}{10}$: ал мұнда ше? 20, ол ЕКОЕ(4, 10). Сонда $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ және $\frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20}$.

Тақырыпты талдаймыз

Ұсақтап кесеміз, бөлшек сол қалпында

Шоколадтың 7 тілімі бар делік, оның 3-еуін жедің. Бұл — $\frac{3}{7}$. Енді әр тілімді екіге бөл. Тілім 14 болды, ал сенің үлесің — 6. Сен сонша шоколад жедің, тек бөліктері ұсақтау болды: $\frac{3}{7} = \frac{6}{14}$.

Алымы мен бөлімін көбейткен санды толықтауыш көбейткіш деп атайды. Мұнда ол — 2.

📌 Толықтауыш көбейткіш = жаңа бөлім : бұрынғы бөлім. Мысалы, $14 : 7 = 2$.

Оны алымның үстіне кішкентай цифрмен жазған ыңғайлы: $\frac{3^{\backslash 2}}{7} = \frac{6}{14}$.

💡 Бөлшекті бұрынғы бөлімге бөлінетін бөліммен ғана жазуға болады. $\frac{3}{7}$ бөлшегін бөлімі 15 болатындай етіп жаза алмайсың: 15 саны 7-ге бөлінбейді.

Ортақ бөлім — бөліктердің ортақ мөлшері

$\frac{1}{4}$ және $\frac{2}{3}$ бөлшектерінің бөліктері әртүрлі: біріншісінде — ширектер, екіншісінде — үштен бірлер. Бізге 4-ке де, 3-ке де бөлінетін бөлім керек. 12, 24, 36… сандары жарайды. Ең кішісін аламыз: ЕКОЕ(4, 3) = 12. Бұл — ең кіші ортақ бөлім.

Үш қадамдық алгоритм

Мысал: $\frac{5}{6}$ және $\frac{1}{8}$.

1. Бөлімдердің ЕКОЕ-сін табамыз: ЕКОЕ(6, 8) = 24.
2. Толықтауыш көбейткіштерді табамыз: $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$.
3. Көбейтеміз: $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{1}{8} = \frac{3}{24}$.

Қиын бөлімдер болса, ЕКОЕ-ні жай көбейткіштер арқылы табамыз. $\frac{4}{21}$ және $\frac{7}{30}$: $21 = 3 \cdot 7$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Көбейткіштер: $210 : 21 = 10$ және $210 : 30 = 7$. Нәтижесінде $\frac{40}{210}$ және $\frac{49}{210}$ шығады.

⚠️ Жиі кететін қате. Тек бөлімін көбейту: $\frac{5}{6} = \frac{5}{24}$. Сонда бөлшек 4 есе кішірейіп кетеді! Алымын да, бөлімін де бір санға көбейтеміз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала әр мысалдан кейін тексеріп отырсын: жауапты қайта қысқартсын. $\frac{20}{24}$ бөлшегін 4-ке бөлсе, қайтадан $\frac{5}{6}$ шығады. Қайтып келмесе, қатені көбейткіштен іздеңіз.

💡 Бөлшек қысқартылатын болса, алдымен қысқарт. Бөлім кішірейеді, есептеу жеңілдейді.

Аралас сандар: бүтін бөлігіне тиіспейміз

Аралас санда тек бөлшек бөлігін ортақ бөлімге келтіреміз. $2\frac{5}{12}$ және $1\frac{7}{9}$: ЕКОЕ(12, 9) = 36, көбейткіштер 3 және 4. Сонда $2\frac{15}{36}$ және $1\frac{28}{36}$ шығады.

Бүтін сан «бөлшек киімінде»

Кез келген натурал санды бөлшек түрінде жазуға болады: $4 = \frac{24}{6}$, өйткені $24 : 6 = 4$. Алым = сан $\cdot$ бөлім.

Ал аралас сан түрінде жазу үшін бір бүтінді «ұсақтаймыз»: $12 = 11 + 1 = 11\frac{9}{9}$.

⚠️ Жиі кететін қате. $4 = \frac{4}{6}$ деп жазу. Бірақ $\frac{4}{6}$ — бірден кіші, ал 4 — төрт бүтін! Дұрысы: $\frac{4 \cdot 6}{6} = \frac{24}{6}$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай сан берілген бөлшектерге ең кіші ортақ бөлім бола алады? Олардың бөлімдерінің ЕКОЕ-сі (бөлшектер қысқармайтын болса).
• Толықтауыш көбейткіш деп қандай санды айтады? Жаңа бөлімді алу үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де көбейтетін санды.
• Толықтауыш көбейткіш қалай табылады? Ортақ бөлімді бөлшектің бөліміне бөлу керек.
• Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге қалай келтіреді? Бөлімдердің ЕКОЕ-сін табады, әр бөлшектің толықтауыш көбейткішін анықтайды да, сол санға алымы мен бөлімін көбейтеді.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 458

Ауызша есепте. Амалдар тізбегін «кері есептеу» тәсілімен қалпына келтір. A: $A \xrightarrow{\cdot 3} \bigcirc \xrightarrow{+32} \bigcirc \xrightarrow{:5} \bigcirc \xrightarrow{+24} 40$; B: $B \xrightarrow{+180} \bigcirc \xrightarrow{:5} \bigcirc \xrightarrow{-25} \bigcirc \xrightarrow{\cdot 4} 60$; C: $C \xrightarrow{-66} \bigcirc \xrightarrow{\cdot 10} \bigcirc \xrightarrow{+160} \bigcirc \xrightarrow{:4} 80$.

Қалай ойлаймыз. Соңынан басына қарай жүреміз, әр амалды кері амалға ауыстырамыз: қосуды азайтуға, көбейтуді бөлуге.

Шешуі.

• A: $40 - 24 = 16$; $16 \cdot 5 = 80$; $80 - 32 = 48$; $48 : 3 = 16$. Тізбек: 16 → 48 → 80 → 16 → 40.
• B: $60 : 4 = 15$; $15 + 25 = 40$; $40 \cdot 5 = 200$; $200 - 180 = 20$. Тізбек: 20 → 200 → 40 → 15 → 60.
• C: $80 \cdot 4 = 320$; $320 - 160 = 160$; $160 : 10 = 16$; $16 + 66 = 82$. Тізбек: 82 → 16 → 160 → 320 → 80.

Жауабы: $A = 16$, $B = 20$, $C = 82$.

A деңгейі

№ 459

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: $\frac{3}{5}$ және $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{11}$ және $\frac{4}{9}$; $\frac{5}{6}$ және $\frac{4}{11}$; $\frac{7}{18}$ және $\frac{1}{6}$; $\frac{9}{13}$ және $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{7}$ және $\frac{3}{4}$; $\frac{2}{15}$ және $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{8}$ және $\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдердің ортақ бөлгіші болмаса, ЕКОЕ — олардың көбейтіндісі. Бір бөлім екіншісіне бөлінсе, үлкені — ортақ бөлім.

Шешуі. Әр жолда: бөлімдердің ЕКОЕ-сі, толықтауыш көбейткіштер, нәтиже.

4), 7), 8) мысалдарына назар аудар: бір бөлім екіншісіне бөлінеді, сондықтан ортақ бөлім — үлкен бөлімнің өзі.

Жауабы: кестенің соңғы бағанында.

№ 460

Үш бөлшектен тұратын топтарды ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$ және $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{7}$ және $\frac{9}{28}$; $\frac{1}{5}$, $\frac{11}{20}$ және $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{8}$ және $\frac{3}{16}$; $\frac{2}{3}$, $\frac{2}{15}$ және $\frac{4}{5}$; $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{9}$ және $\frac{5}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ең үлкен бөлімді тексер: ол қалған екеуіне бөлінетін шығар? Бөлінбесе, ЕКОЕ-ні ізде.

Шешуі.

6. мысалында 9 саны 6-ға бөлінбейді, сондықтан ЕКОЕ(2, 9, 6) = 18 табамыз.

Жауабы: кестенің соңғы бағанында.

№ 461

«Ыңғайсыз» бөлімдері бар жұптарды ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: $\frac{7}{20}$ және $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{24}$ және $\frac{1}{30}$; $\frac{3}{16}$ және $\frac{7}{12}$; $\frac{11}{18}$ және $\frac{7}{12}$; $\frac{1}{12}$ және $\frac{2}{9}$; $\frac{4}{21}$ және $\frac{13}{28}$; $\frac{8}{15}$ және $\frac{5}{12}$; $\frac{7}{30}$ және $\frac{1}{12}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл бөлімдердің ортақ бөлгіштері бар, сондықтан ЕКОЕ олардың көбейтіндісінен кіші болады. Ыңғайлы тәсіл: үлкен бөлімді 2-ге, 3-ке, 4-ке… көбейтіп, кіші бөлімге бөлінетін сан шыққанша жалғастырамыз.

Шешуі.

Жауабы: кестенің соңғы бағанында.

№ 462

Жұлдызшаның орнына тиісті санды тауып, қойыңдар. Қандай бөлшектер ортақ бөлімге келтірілген? Теңдіктер: 1) $\frac{2}{} = \frac{14}{21}$ және $\frac{5}{} = \frac{15}{21}$; 2) $\frac{4}{} = \frac{52}{65}$ және $\frac{7}{} = \frac{35}{65}$; 3) $\frac{2}{} = \frac{34}{51}$ және $\frac{8}{} = \frac{24}{51}$; 4) $\frac{10}{} = \frac{70}{133}$ және $\frac{3}{} = \frac{57}{133}$.

Қалай ойлаймыз. Жаңа алым ескі алымнан неше есе үлкен болса, толықтауыш көбейткіш те сол. Бөлімді де сонша есе кішірейтеміз.

Шешуі.

1. $14 : 2 = 7$, $21 : 7 = 3$ — $\frac{2}{3} = \frac{14}{21}$. $15 : 5 = 3$, $21 : 3 = 7$ — $\frac{5}{7} = \frac{15}{21}$.
2. $52 : 4 = 13$, $65 : 13 = 5$ — $\frac{4}{5} = \frac{52}{65}$. $35 : 7 = 5$, $65 : 5 = 13$ — $\frac{7}{13} = \frac{35}{65}$.
3. $34 : 2 = 17$, $51 : 17 = 3$ — $\frac{2}{3} = \frac{34}{51}$. $24 : 8 = 3$, $51 : 3 = 17$ — $\frac{8}{17} = \frac{24}{51}$.
4. $70 : 10 = 7$, $133 : 7 = 19$ — $\frac{10}{19} = \frac{70}{133}$. $57 : 3 = 19$, $133 : 19 = 7$ — $\frac{3}{7} = \frac{57}{133}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{3}$ және $\frac{5}{7}$; 2) $\frac{4}{5}$ және $\frac{7}{13}$; 3) $\frac{2}{3}$ және $\frac{8}{17}$; 4) $\frac{10}{19}$ және $\frac{3}{7}$.

№ 463

Аралас сандарды ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: $2\frac{1}{6}$ және $3\frac{1}{9}$; $1\frac{3}{4}$ және $3\frac{5}{12}$; $4\frac{2}{7}$ және $5\frac{4}{21}$; $1\frac{7}{20}$ және $2\frac{3}{50}$; $1\frac{3}{11}$ және $2\frac{1}{2}$; $6\frac{7}{100}$ және $4\frac{9}{10}$; $2\frac{8}{15}$ және $1\frac{5}{12}$; $3\frac{1}{18}$ және $2\frac{4}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөліктерін сол күйінде көшіріп жазамыз. Тек бөлшек бөліктерімен жұмыс істейміз.

Шешуі.

8. үшін: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$, ЕКОЕ $= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 90$; көбейткіштер $90 : 18 = 5$, $90 : 15 = 6$.

Жауабы: кестенің соңғы бағанында.

№ 464

Натурал санды берілген жай бөлшекпен бөлімі бірдей жай бөлшек түрінде жазыңдар. Үлгі: 4 және $\frac{5}{6}$ → $\frac{24}{6}$ және $\frac{5}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бөлшектің алымы = сан $\cdot$ бөлім.

Шешуі.

1. 7 және $\frac{5}{8}$: $7 = \frac{56}{8}$.
2. 9 және $\frac{1}{4}$: $9 = \frac{36}{4}$.
3. $\frac{3}{7}$ және 4: $4 = \frac{28}{7}$.
4. $\frac{9}{10}$ және 8: $8 = \frac{80}{10}$.
5. 15 және $\frac{3}{10}$: $15 = \frac{150}{10}$.
6. 20 және $\frac{3}{8}$: $20 = \frac{160}{8}$.
7. 9 және $\frac{5}{12}$: $9 = \frac{108}{12}$.
8. $\frac{7}{11}$ және 3: $3 = \frac{33}{11}$.

Жауабы: 1) $\frac{56}{8}$; 2) $\frac{36}{4}$; 3) $\frac{28}{7}$; 4) $\frac{80}{10}$; 5) $\frac{150}{10}$; 6) $\frac{160}{8}$; 7) $\frac{108}{12}$; 8) $\frac{33}{11}$.

№ 465

Теплоходтың ағыспен жүзгендегі жылдамдығы 35 км/сағ, ал ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдығы 29 км/сағ. Ағыс жылдамдығын және теплоходтың меншікті жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүзгенде өзен көмектеседі: меншікті жылдамдық + ағыс жылдамдығы. Ағысқа қарсы жүзгенде өзен кедергі жасайды: меншікті жылдамдық − ағыс жылдамдығы. Екеуінің айырмасы — екі ағыс жылдамдығы.

Шешуі.

1. $35 - 29 = 6$ км/сағ — екі еселенген ағыс жылдамдығы.
2. Ағыс жылдамдығы: $6 : 2 = 3$ км/сағ.
3. Меншікті жылдамдық: $29 + 3 = 32$ км/сағ (немесе $35 - 3 = 32$ км/сағ).

Жауабы: ағыс жылдамдығы 3 км/сағ, теплоходтың меншікті жылдамдығы 32 км/сағ.

B деңгейі

№ 466

Бөлшектерді қысқартып, оларды ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: 1) $\frac{18}{30}$ және $\frac{15}{18}$; 2) $\frac{28}{40}$ және $\frac{10}{45}$; 3) $\frac{49}{105}$ және $\frac{27}{36}$; 4) $\frac{60}{90}$ және $\frac{15}{50}$; 5) $\frac{10}{20}$, $\frac{8}{24}$ және $\frac{9}{45}$; 6) $\frac{22}{44}$, $\frac{24}{30}$ және $\frac{27}{36}$.

Қалай ойлаймыз. Қысқартқаннан кейін бөлімдер кішірейеді, сондықтан ЕКОЕ-ні табу жеңілдейді.

Шешуі.

1. $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$, $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$. ЕКОЕ(5, 6) = 30: $\frac{18}{30}$ және $\frac{25}{30}$.
2. $\frac{28}{40} = \frac{7}{10}$, $\frac{10}{45} = \frac{2}{9}$. ЕКОЕ(10, 9) = 90: $\frac{63}{90}$ және $\frac{20}{90}$.
3. $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$, $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. ЕКОЕ(15, 4) = 60: $\frac{28}{60}$ және $\frac{45}{60}$.
4. $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$, $\frac{15}{50} = \frac{3}{10}$. ЕКОЕ(3, 10) = 30: $\frac{20}{30}$ және $\frac{9}{30}$.
5. $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$, $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$, $\frac{9}{45} = \frac{1}{5}$. ЕКОЕ = 30: $\frac{15}{30}$, $\frac{10}{30}$, $\frac{6}{30}$.
6. $\frac{22}{44} = \frac{1}{2}$, $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$, $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. ЕКОЕ = 20: $\frac{10}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{15}{20}$.

Жауабы: 1) $\frac{18}{30}$, $\frac{25}{30}$; 2) $\frac{63}{90}$, $\frac{20}{90}$; 3) $\frac{28}{60}$, $\frac{45}{60}$; 4) $\frac{20}{30}$, $\frac{9}{30}$; 5) $\frac{15}{30}$, $\frac{10}{30}$, $\frac{6}{30}$; 6) $\frac{10}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{15}{20}$.

№ 467

Натурал санды берілген аралас санмен бөлімдері бірдей болатын аралас санға айналдырып жазыңдар. Үлгі: 12 және $3\frac{5}{9}$ → $11\frac{9}{9}$ және $3\frac{5}{9}$. Жұптар: 1) 7 және $2\frac{1}{3}$; 2) 4 және $5\frac{3}{8}$; 3) $5\frac{5}{11}$ және 9; 4) $6\frac{7}{12}$ және 11; 5) 10 және $1\frac{5}{99}$; 6) 9 және $13\frac{1}{5}$; 7) 8 және $3\frac{1}{4}$; 8) 5 және $6\frac{5}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Саннан бір бүтінді алып, оны алымы мен бөлімі бірдей бөлшек етіп жазамыз: $1 = \frac{3}{3} = \frac{8}{8}$ және т.с.с.

Шешуі.

1. 7 және $2\frac{1}{3}$: $7 = 6\frac{3}{3}$.
2. 4 және $5\frac{3}{8}$: $4 = 3\frac{8}{8}$.
3. $5\frac{5}{11}$ және 9: $9 = 8\frac{11}{11}$.
4. $6\frac{7}{12}$ және 11: $11 = 10\frac{12}{12}$.
5. 10 және $1\frac{5}{99}$: $10 = 9\frac{99}{99}$.
6. 9 және $13\frac{1}{5}$: $9 = 8\frac{5}{5}$.
7. 8 және $3\frac{1}{4}$: $8 = 7\frac{4}{4}$.
8. 5 және $6\frac{5}{9}$: $5 = 4\frac{9}{9}$.

Жауабы: 1) $6\frac{3}{3}$; 2) $3\frac{8}{8}$; 3) $8\frac{11}{11}$; 4) $10\frac{12}{12}$; 5) $9\frac{99}{99}$; 6) $8\frac{5}{5}$; 7) $7\frac{4}{4}$; 8) $4\frac{9}{9}$.

№ 468

1) $3\frac{2}{7}$ аралас санын оған тең, бөлімі а) 21; ә) 49; б) 56; в) 63 болатын аралас сан түрінде жазыңдар. 2) $4\frac{5}{9}$ аралас санын оған тең, бөлімі а) 18; ә) 36; б) 45; в) 54 болатын аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлігі сол күйінде қалады. Бөлшек бөлігін толықтауыш көбейткішке көбейтеміз.

Шешуі.

1. Көбейткіштер: $21 : 7 = 3$, $49 : 7 = 7$, $56 : 7 = 8$, $63 : 7 = 9$. а) $3\frac{6}{21}$; ә) $3\frac{14}{49}$; б) $3\frac{16}{56}$; в) $3\frac{18}{63}$.
2. Көбейткіштер: $18 : 9 = 2$, $36 : 9 = 4$, $45 : 9 = 5$, $54 : 9 = 6$. а) $4\frac{10}{18}$; ә) $4\frac{20}{36}$; б) $4\frac{25}{45}$; в) $4\frac{30}{54}$.

Жауабы: 1) $3\frac{6}{21}$, $3\frac{14}{49}$, $3\frac{16}{56}$, $3\frac{18}{63}$; 2) $4\frac{10}{18}$, $4\frac{20}{36}$, $4\frac{25}{45}$, $4\frac{30}{54}$.

№ 469

Аралас сандарды: 1) $7\frac{1}{2}$, $4\frac{2}{3}$, $5\frac{1}{6}$, $3\frac{4}{9}$ — бөлімі 18-ге тең; 2) $9\frac{1}{2}$, $5\frac{1}{3}$, $6\frac{3}{4}$, $8\frac{5}{6}$ — бөлімі 12-ге тең; 3) $12\frac{2}{3}$, $7\frac{3}{5}$, $6\frac{4}{9}$, $4\frac{2}{15}$ — бөлімі 45-ке тең аралас сан түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сан үшін жаңа бөлімді бұрынғы бөлімге бөлеміз, сонда көбейткіш шығады.

Шешуі.

1. $7\frac{1}{2} = 7\frac{9}{18}$; $4\frac{2}{3} = 4\frac{12}{18}$; $5\frac{1}{6} = 5\frac{3}{18}$; $3\frac{4}{9} = 3\frac{8}{18}$.
2. $9\frac{1}{2} = 9\frac{6}{12}$; $5\frac{1}{3} = 5\frac{4}{12}$; $6\frac{3}{4} = 6\frac{9}{12}$; $8\frac{5}{6} = 8\frac{10}{12}$.
3. $12\frac{2}{3} = 12\frac{30}{45}$; $7\frac{3}{5} = 7\frac{27}{45}$; $6\frac{4}{9} = 6\frac{20}{45}$; $4\frac{2}{15} = 4\frac{6}{45}$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 470

Мәдина гүлдер салынған 8 гүлсалғышты квадрат пішінді демалыс бөлмесінің әрбір қабырғасының тұсына 3 гүлсалғыштан қойды. Мәдина гүлсалғыштарды қалай орналастырды?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа арналған есеп! 4 қабырғаның әрқайсысының тұсына 3 гүлсалғыштан қойсақ, 12 гүлсалғыш керек болады. Ал оның бар болғаны 8. Демек, кейбір гүлсалғыштар бірден екі қабырғаға «қызмет етеді». Мұндай жағдай қайда болады? Бұрыштарда!

Шешуі.

1. Төрт бұрыштың әрқайсысына бір гүлсалғыштан қоямыз. Бұрыштағы гүлсалғыш бірден екі қабырғаның тұсында тұр.
2. Әр қабырғаның ортасына тағы бір гүлсалғыштан қоямыз — тағы 4 гүлсалғыш.
3. Әр қабырғаның тұсында: 2 бұрыштағы + 1 ортадағы = 3 гүлсалғыш. Барлығы $4 + 4 = 8$ гүлсалғыш.

Жауабы: 4 гүлсалғыш бұрыштарда, әр қабырғаның ортасында бір-бірден.

№ 471

Ертедегі есеп. Әкесі үш ұлына мұраға 2 үйді қалдырып, оны тең бөліп алуды тапсырды. 2 үйді үлкен ұлы мен ортаншы ұлы алып, ең кіші ұлына олардың әрқайсысы 500 динардан ақша берді. Бір үйдің бағасы неше динар болған? A. 2000 динар; B. 1500 динар; C. 1800 динар; D. 1200 динар.

Қалай ойлаймыз. Екі үй үш ұлға бөлінсе, әрқайсысына үйдің $\frac{2}{3}$ бөлігі тиеді. Кіші ұл өз үлесін ақшамен алды.

Шешуі.

1. Кіші ұл $500 + 500 = 1000$ динар алды. Бұл — үй бағасының $\frac{2}{3}$ бөлігі.
2. Үйдің $\frac{1}{3}$ бөлігі: $1000 : 2 = 500$ динар.
3. Бүкіл үй: $500 \cdot 3 = 1500$ динар.

Тексеру: үлкен ұл үйді 1500 динарға алып, 500 динар берді, сонда оның үлесі 1000 динар болады. Кіші ұлдың үлесімен бірдей. Тең бөлінді!

Жауабы: B. 1500 динар.

C деңгейі

№ 472

Жай бөлшекпен жазыңдар: 1) $\frac{1}{3}$ бөлікте неше: а) $\frac{1}{6}$; ә) $\frac{1}{9}$; б) $\frac{1}{12}$; в) $\frac{1}{15}$ үлес бар? 2) $\frac{3}{4}$ бөлікте неше: а) $\frac{1}{8}$; ә) $\frac{1}{12}$; б) $\frac{1}{16}$; в) $\frac{1}{20}$ үлес бар?

Қалай ойлаймыз. Бөлшекті керекті бөлімге келтіреміз: алымы онда қанша үлес барын көрсетеді.

Шешуі.

1. $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15}$.
2. $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} = \frac{15}{20}$.

Жауабы: 1) а) 2; ә) 3; б) 4; в) 5. 2) а) 6; ә) 9; б) 12; в) 15.

№ 473

Аралас сандарды ең кіші ортақ бөлімге келтіріп жазыңдар: 1) $2\frac{5}{9}$ және $3\frac{1}{12}$; 2) $1\frac{5}{8}$ және $4\frac{3}{125}$; 3) $1\frac{1}{15}$, $3\frac{5}{24}$ және $2\frac{3}{40}$; 4) $9\frac{13}{24}$, $2\frac{5}{8}$ және $3\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Қарапайым жағдайда іріктеу жеткілікті, ал қиын жағдайда бөлімдерді жай көбейткіштерге жіктейміз.

Шешуі.

1. $2\frac{5}{9}$ және $3\frac{1}{12}$: ЕКОЕ(9, 12) = 36 — $2\frac{20}{36}$ және $3\frac{3}{36}$.
2. $1\frac{5}{8}$ және $4\frac{3}{125}$: 8 мен 125-тің ортақ бөлгіші жоқ, ЕКОЕ $= 8 \cdot 125 = 1000$ — $1\frac{625}{1000}$ және $4\frac{24}{1000}$.
3. $1\frac{1}{15}$, $3\frac{5}{24}$, $2\frac{3}{40}$: $15 = 3 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $40 = 2^3 \cdot 5$; ЕКОЕ $= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$. Көбейткіштер 8, 5, 3: $1\frac{8}{120}$, $3\frac{25}{120}$, $2\frac{9}{120}$.
4. $9\frac{13}{24}$, $2\frac{5}{8}$, $3\frac{1}{6}$: 24 саны 8-ге де, 6-ға да бөлінеді, ЕКОЕ = 24 — $9\frac{13}{24}$, $2\frac{15}{24}$, $3\frac{4}{24}$.

Жауабы: 1) $2\frac{20}{36}$, $3\frac{3}{36}$; 2) $1\frac{625}{1000}$, $4\frac{24}{1000}$; 3) $1\frac{8}{120}$, $3\frac{25}{120}$, $2\frac{9}{120}$; 4) $9\frac{13}{24}$, $2\frac{15}{24}$, $3\frac{4}{24}$.

№ 474

Бөлшектерді жаңа бөлімге келтіріп жазыңдар: 1) $7\frac{1}{2}$; $9\frac{2}{5}$; $3\frac{4}{5}$ бөлшектерінің бөлімдерін 10-ға; 2) $6\frac{3}{4}$; $5\frac{9}{20}$; $8\frac{6}{25}$; $1\frac{3}{50}$ бөлшектерінің бөлімдерін 100-ге; 3) $2\frac{5}{8}$; $3\frac{7}{125}$; $6\frac{11}{125}$; $4\frac{123}{500}$ бөлшектерінің бөлімдерін 1000-ға келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — ондық бөлшектерге арналған жаттығу. 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, 500 сандары көбейтіліп, 10-ға, 100-ге немесе 1000-ға «жетеді».

Шешуі.

1. 10-ға: $7\frac{1}{2} = 7\frac{5}{10}$; $9\frac{2}{5} = 9\frac{4}{10}$; $3\frac{4}{5} = 3\frac{8}{10}$.
2. 100-ге: $6\frac{3}{4} = 6\frac{75}{100}$ (көбейткіш 25); $5\frac{9}{20} = 5\frac{45}{100}$ (5); $8\frac{6}{25} = 8\frac{24}{100}$ (4); $1\frac{3}{50} = 1\frac{6}{100}$ (2).
3. 1000-ға: $2\frac{5}{8} = 2\frac{625}{1000}$ (125); $3\frac{7}{125} = 3\frac{56}{1000}$ (8); $6\frac{11}{125} = 6\frac{88}{1000}$ (8); $4\frac{123}{500} = 4\frac{246}{1000}$ (2).

Жауабы: шешуін қара.

№ 475

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріңдер: 1) $\frac{3 - b}{a^{2}}$ және $\frac{b}{a}$; 2) $\frac{4a + 5}{bc}$ және $\frac{2a}{cd}$; 3) $\frac{b + 7}{2a}$ және $\frac{9 - b}{3a}$.

Қалай ойлаймыз. Сандармен істегендей істейміз: ортақ бөлім екі бөлімге де бөлінуі керек. Әріптер көбейткіштер сияқты жұмыс істейді.

Шешуі.

1. $a^2 = a \cdot a$ саны $a$-ға бөлінеді. Ортақ бөлім — $a^2$, екінші бөлшектің көбейткіші — $a$: $\frac{3 - b}{a^2}$ және $\frac{ab}{a^2}$.
2. $bc$ және $cd$: ортақ көбейткіші $c$, ортақ бөлім — $bcd$. Көбейткіштер $d$ және $b$: $\frac{(4a + 5)d}{bcd}$ және $\frac{2ab}{bcd}$.
3. $2a$ және $3a$: ортақ бөлім — $6a$. Көбейткіштер 3 және 2: $\frac{3(b + 7)}{6a}$ және $\frac{2(9 - b)}{6a}$.

Жауабы: 1) $\frac{3 - b}{a^2}$ және $\frac{ab}{a^2}$; 2) $\frac{(4a + 5)d}{bcd}$ және $\frac{2ab}{bcd}$; 3) $\frac{3(b + 7)}{6a}$ және $\frac{2(9 - b)}{6a}$.

№ 476

Ертегілер жинағының бірінші беті 3 цифрынан бастап нөмірленген. Оның барлық беттері 349 цифрмен нөмірленген. Ертегілер жинағында неше бет бар? A. 172 бет; B. 153 бет; C. 185 бет; D. 162 бет.

Қалай ойлаймыз. Цифрларды топтап санаймыз: бір таңбалы, екі таңбалы, үш таңбалы нөмірлер.

Шешуі.

1. 3–9 беттер: 1 цифрдан 7 нөмір — 7 цифр.
2. 10–99 беттер: 2 цифрдан 90 нөмір — 180 цифр.
3. Қалғаны $349 - 7 - 180 = 162$ цифр. Бұлар — үш таңбалы нөмірлер: $162 : 3 = 54$ бет.
4. Үш таңбалы нөмірлер 100-ден басталады: соңғы бет $100 + 54 - 1 = 153$.

Тексеру: $7 + 180 + 54 \cdot 3 = 349$. Дұрыс.

Жауабы: B. 153 бет.

№ 477

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{192 : (5x - 3) - 7}{9} = \frac{10,005}{10,005}$; 2) $\frac{(7x + 16) : 11 + 8}{12} = \frac{19,991}{19,991}$.

Қалай ойлаймыз. Оң жағындағы бөлшектің алымы мен бөлімі бірдей, сондықтан ол 1-ге тең. Одан әрі соңынан бастап шығарамыз.

Шешуі.

1. Сол жағы 1-ге тең, демек $192 : (5x - 3) - 7 = 9$. $192 : (5x - 3) = 16$; $5x - 3 = 192 : 16 = 12$; $5x = 15$; $x = 3$.
2. $(7x + 16) : 11 + 8 = 12$. $(7x + 16) : 11 = 4$; $7x + 16 = 44$; $7x = 28$; $x = 4$.

Жауабы: 1) 3; 2) 4.

Жадынама

• Көбейткіш = жаңа бөлім : бұрынғы бөлім.
• Алдымен қысқарт, сосын ортақ бөлімді ізде.
• Бөлімдерінің ортақ бөлгіші болмаса, оларды көбейт.
• Тексеру: жауабын қысқарт — бастапқы бөлшек қайтып келуі керек.

Шағын тест