3.7. Жай бөлшектерді салыстыру. Аралас сандарды салыстыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 159–166-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлімдері бірдей бөлшектерді алымдары бойынша салыстыруды.
• Алымдары бірдей бөлшектерді салыстыруды және «8 саны 4-тен үлкен» деген тұзаққа түспеуді.
• Кез келген бөлшектерді ортақ бөлім арқылы немесе «айқастыра» көбейту тәсілімен салыстыруды.
• Аралас сандарды салыстыруды: алдымен бүтін бөліктерін, сосын бөлшектерін.
• Координаталық сәуледе үлкен бөлшектің әрқашан оң жақта тұратынын көруді.

Ой қозғау

Бірдей үш жолақ. Әрқайсысында 2 бөлік боялған, бірақ жолақтар әртүрлі етіп бөлінген.

• Қайсысында боялған бөлік ең көп? $\frac{2}{3}$ бөлшегінде: жолақ 3 бөлікке бөлінген, бөліктері ең ірі.
• Ал ең азы қайсысында? $\frac{2}{7}$ бөлшегінде: жеті бөлік, бөліктері ең ұсақ. Демек, $\frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{3}$.

Тақырыпты талдаймыз

Бөліктер бірдей: неше екенін санаймыз

Пиццаны 8 бөлікке кесті. Арман 3 бөлік, Дана 5 бөлік жеді. Бөліктер бірдей, сондықтан Дана көп жеді: $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$.

📌 Бөлімдері тең болса, алымы үлкен бөлшек үлкен: $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$, $\frac{4}{9} < \frac{7}{9}$.

Координаталық сәуледе кіші бөлшек сол жақта, үлкені оң жақта орналасады. Кез келген сандар үшін солай.

Бөліктер саны бірдей: олардың мөлшеріне қараймыз

$\frac{3}{8}$ және $\frac{3}{4}$: екеуінде де 3 бөліктен. Бірақ пиццаның сегізден бірі төрттен бірінен кіші! Демек, 3 сегізден бір 3 төрттен бірден кем: $\frac{3}{8} < \frac{3}{4}$.

📌 Алымдары тең болса, бөлімі кіші бөлшек үлкен: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$, $\frac{4}{9} < \frac{4}{5}$.

⚠️ Жиі кететін қате. «$\frac{1}{8} > \frac{1}{4}$, себебі 8 саны 4-тен үлкен». Өзіңнен сұра: тәттінің сегізден бірі үлкен бе, әлде төрттен бірі ме? Неғұрлым көп бөлікке бөлсек, әр бөлік соғұрлым ұсақ болады.

Бәрі әртүрлі: екі тәсіл

1-тәсіл — ортақ бөлім. Екі бөлшекті де бірдей бөліктерге бөліп, алымдарын салыстырамыз. $\frac{5}{6}$ және $\frac{3}{8}$: ЕКОЕ(6, 8) = 24, $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$. $20 > 9$, демек $\frac{5}{6} > \frac{3}{8}$.

2-тәсіл — «айқастыра» көбейту. Бірінші бөлшектің алымын екіншісінің бөліміне, бірінші бөлшектің бөлімін екіншісінің алымына көбейтеміз. Қай көбейтінді үлкен болса, сол бөлшек үлкен.

$\frac{3}{7}$ және $\frac{2}{9}$: $3 \cdot 9 = 27$, $7 \cdot 2 = 14$. $27 > 14$, демек $\frac{3}{7} > \frac{2}{9}$. Көбейтінділер тең болса, бөлшектер де тең: $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, себебі $2 \cdot 10 = 5 \cdot 4$.

💡 «Айқастыра» көбейту — сол ортақ бөлім, тек айлалы түрі: біз бөлшектерді бөлімі $7 \cdot 9$ болатындай етіп келтіріп, тек алымдарын салыстырдық.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балалар қай көбейтіндінің қай бөлшекке жататынын жиі шатастырады. Әр көбейтіндіні «өз» бөлшегінің үстіне жазсын: 27-ні $\frac{3}{7}$ үстіне, 14-ті $\frac{2}{9}$ үстіне. Сонда сандардың арасындағы белгі бөлшектердің арасындағы белгі болады.

💡 Тағы бір тәсіл — жартымен салыстыру. $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ (4 саны 9-дың жартысынан кем), ал $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$. Демек, $\frac{4}{9} < \frac{5}{8}$, ешқандай есептеусіз!

Аралас сандар: бүтін бөлік маңыздырақ

1. Алдымен бүтін бөліктерін салыстырамыз. $2\frac{5}{7} < 3\frac{1}{7}$, себебі $2 < 3$. Бөлшектердің қажеті жоқ.
2. Бүтін бөліктері тең болса, бөлшектерін салыстырамыз: $2\frac{5}{7} > 2\frac{1}{3}$, өйткені $\frac{5}{7} > \frac{1}{3}$.

⚠️ Жиі кететін қате. «$4\frac{5}{6} > 5\frac{1}{6}$, себебі $\frac{5}{6} > \frac{1}{6}$». Жоқ! $4\frac{5}{6}$ саны 5-тен кіші, ал $5\frac{1}{6}$ — 5-тен үлкен.

Өзің байқап көр

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлімдері бірдей екі бөлшектің қайсысы үлкен? Алымы үлкені.
• Алымдары бірдей бөлшектердің қайсысы үлкен, қайсысы кіші? Бөлімі кіші бөлшек үлкен, бөлімі үлкен бөлшек кіші.
• Бөлімдері әртүрлі бөлшектер қалай салыстырылады? Ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын салыстырады. Немесе «айқастыра» көбейтінділерін салыстырады.
• Аралас сандарды салыстыруды түсіндір. Бүтін бөлігі үлкен сан үлкен. Бүтін бөліктері тең болса, бөлшек бөлігі үлкені үлкен.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 478

$\frac{2}{4}$, $\frac{15}{20}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{8}{16}$, $\frac{9}{12}$ бөлшектерінен: 1) $\frac{1}{2}$-ге; 2) $\frac{3}{4}$-ке тең бөлшектерді тауып, оқыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бөлшекті қысқарт. Немесе оңайы: алымы бөлімінен дәл екі есе кіші болса, бөлшек $\frac{1}{2}$-ге тең.

Шешуі. $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$; $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ (5-ке қысқарттық); $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{4}$, $\frac{5}{10}$, $\frac{8}{16}$; 2) $\frac{15}{20}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{9}{12}$.

A деңгейі

№ 479

Бөлшектерді салыстырып, нәтижесін «>» немесе «<» белгісімен жазыңдар: $\frac{2}{3}$ және $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{7}$ және $\frac{5}{7}$; $\frac{3}{8}$ және $\frac{1}{8}$; $\frac{3}{5}$ және $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{6}$ және $\frac{5}{7}$; $\frac{3}{4}$ және $\frac{3}{5}$; $\frac{11}{27}$ және $\frac{8}{27}$; $\frac{9}{14}$ және $\frac{9}{11}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен не бірдей екенін қара: бөлімдер ме, әлде алымдар ма. Ереже соған байланысты.

Шешуі. 1), 2), 3), 7) мысалдарында бөлімдері тең — алымдарын салыстырамыз. 4), 5), 6), 8) мысалдарында алымдары тең — бөлімі кіші бөлшек үлкен.

1. $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$;
2. $\frac{2}{7} < \frac{5}{7}$;
3. $\frac{3}{8} > \frac{1}{8}$;
4. $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$;
5. $\frac{5}{6} > \frac{5}{7}$;
6. $\frac{3}{4} > \frac{3}{5}$;
7. $\frac{11}{27} > \frac{8}{27}$;
8. $\frac{9}{14} < \frac{9}{11}$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 480

1) Бөлшектерді өсу ретімен жазыңдар: $\frac{9}{10}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{9}{7}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{9}{2}$, $\frac{9}{11}$, $\frac{9}{9}$. 2) Бөлшектерді кему ретімен жазыңдар: $\frac{11}{15}$, $\frac{14}{15}$, $\frac{2}{15}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{8}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші қатарда алымдары бірдей — демек, бөлімі үлкен болған сайын бөлшек кіші болады. Екіншісінде бөлімдері бірдей, алымдарына қараймыз.

Шешуі.

1. Өсу ретімен — бөлімдер кему ретімен: 13, 11, 10, 9, 8, 7, 2.
2. Кему ретімен — алымдар кему ретімен: 14, 11, 8, 7, 4, 2, 1.

Жауабы: 1) $\frac{9}{13} < \frac{9}{11} < \frac{9}{10} < \frac{9}{9} < \frac{9}{8} < \frac{9}{7} < \frac{9}{2}$; 2) $\frac{14}{15} > \frac{11}{15} > \frac{8}{15} > \frac{7}{15} > \frac{4}{15} > \frac{2}{15} > \frac{1}{15}$.

№ 481

Аралас сандарды салыстырып, нәтижесін тиісінше «>» немесе «<» белгісімен жазыңдар: $1\frac{3}{4}$ пен $1\frac{1}{4}$; $2\frac{5}{8}$ пен $2\frac{1}{8}$; $3\frac{5}{8}$ пен $4\frac{5}{8}$; $7\frac{1}{9}$ мен $6\frac{5}{9}$; $2\frac{9}{11}$ бен $2\frac{9}{10}$; $5\frac{3}{4}$ пен $5\frac{1}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөліктері әртүрлі болса — жауап бірден белгілі. Тең болса — бөлшек бөліктерін салыстырамыз.

Шешуі.

1. Бүтін бөліктері тең, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$: $1\frac{3}{4} > 1\frac{1}{4}$.
2. Бүтін бөліктері тең, $\frac{5}{8} > \frac{1}{8}$: $2\frac{5}{8} > 2\frac{1}{8}$.
3. $3 < 4$: $3\frac{5}{8} < 4\frac{5}{8}$.
4. $7 > 6$: $7\frac{1}{9} > 6\frac{5}{9}$.
5. Бүтін бөліктері тең, $\frac{9}{11} < \frac{9}{10}$ (алымдары тең, бөлімі 11 үлкен): $2\frac{9}{11} < 2\frac{9}{10}$.
6. Бүтін бөліктері тең, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$: $5\frac{3}{4} > 5\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1)

№ 482

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіріп алып, салыстырыңдар: $\frac{3}{4}$ және $\frac{5}{6}$; $\frac{5}{12}$ және $\frac{7}{18}$; $\frac{1}{2}$ және $\frac{4}{9}$; $\frac{14}{21}$ және $\frac{17}{28}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдердің ЕКОЕ-сін табамыз, бөлшектерді қайта жазамыз да, алымдарын салыстырамыз.

Шешуі.

1. ЕКОЕ(4, 6) = 12: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.
2. ЕКОЕ(12, 18) = 36: $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$, $\frac{7}{18} = \frac{14}{36}$. $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
3. ЕКОЕ(2, 9) = 18: $\frac{1}{2} = \frac{9}{18}$, $\frac{4}{9} = \frac{8}{18}$. $\frac{1}{2} > \frac{4}{9}$.
4. ЕКОЕ(21, 28) = 84: $\frac{14}{21} = \frac{56}{84}$, $\frac{17}{28} = \frac{51}{84}$. $\frac{14}{21} > \frac{17}{28}$. (Немесе алдымен қысқартамыз: $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$, сонда ЕКОЕ(3, 28) = 84.)

Жауабы: 1) $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$; 2) $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$; 3) $\frac{1}{2} > \frac{4}{9}$; 4) $\frac{14}{21} > \frac{17}{28}$.

№ 483

Бірлік кесіндісі 6 см-ге тең координаталық сәуле сызып, оның бойында $A\left(\frac{5}{6}\right)$, $B\left(1\frac{2}{3}\right)$, $C\left(\frac{1}{2}\right)$, $D\left(1\frac{1}{6}\right)$ нүктелерін белгілеңдер. Осы нүктелердің қайсысы координаталық сәуленің оң жағында, қайсысы сол жағында кескінделген? Координаталарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. 6 см-дің $\frac{1}{6}$ бөлігі — 1 см. Барлығын алтыдан бір үлеспен жазамыз.

Шешуі.

1. $A$: $\frac{5}{6}$ — нөлден 5 см.
2. $B$: $1\frac{2}{3} = 1\frac{4}{6}$ — $6 + 4 = 10$ см.
3. $C$: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ — 3 см.
4. $D$: $1\frac{1}{6}$ — $6 + 1 = 7$ см.

Қашықтықтары бойынша: 3 см ($C$), 5 см ($A$), 7 см ($D$), 10 см ($B$).

Жауабы: ең сол жақта $C$, ең оң жақта $B$; $\frac{1}{2} < \frac{5}{6} < 1\frac{1}{6} < 1\frac{2}{3}$.

№ 484

Бірінші принтер 5 минутта 41 бет шығарады, екінші принтер 3 минутта 28 бет шығарады. Қай принтердің жұмыс өнімділігі көп?

Қалай ойлаймыз. Жұмыс өнімділігі — 1 минутта қанша бет шығатыны. Бұл — бөлінді, оны бөлшек түрінде жазуға болады.

Шешуі.

1. Біріншісі: $\frac{41}{5} = 8\frac{1}{5}$ бет минутына.
2. Екіншісі: $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$ бет минутына.
3. Бүтін бөліктері: $8 < 9$, демек $8\frac{1}{5} < 9\frac{1}{3}$.

Жауабы: екінші принтердің жұмыс өнімділігі көп.

B деңгейі

№ 485

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтірмей-ақ салыстырып, жұлдызшаның орнына теңсіздік тура болатындай < немесе > белгілерін қойыңдар. Үлгі: $\frac{3}{8}$ және $\frac{4}{7}$ бөлшектері салыстырылады. $3 \cdot 7 < 8 \cdot 4$; $21 < 32$, онда $\frac{3}{8} < \frac{4}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақта — бірінші бөлшектің алымы мен екіншісінің бөлімінің көбейтіндісі, оң жақта — бірінші бөлшектің бөлімі мен екіншісінің алымының көбейтіндісі.

Шешуі.

Жауабы: 1)

№ 486

Бөлшектерді өсу ретімен жазыңдар: $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{6}{7}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{7}{8}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда айла бар! Әр бөлшектің алымы бөлімінен 1-ге кем. Демек, бүтін бірге жету үшін оған дәл бір үлес жетіспейді: $\frac{1}{2}$ бөлшегіне $\frac{1}{2}$ жетіспейді, ал $\frac{8}{9}$ бөлшегіне бар болғаны $\frac{1}{9}$. «Жетіспеушілік» неғұрлым аз болса, бөлшек 1-ге соғұрлым жақын, яғни соғұрлым үлкен.

Шешуі. Жетіспеушіліктер: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{5} > \frac{1}{6} > \frac{1}{7} > \frac{1}{8} > \frac{1}{9}$. Демек, бөлшектердің өзі бөлімдерінің ретімен өседі: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Бір жұпты «айқастыра» көбейтіп тексеру: $\frac{6}{7}$ және $\frac{7}{8}$: $48 < 49$, дұрыс, $\frac{6}{7} < \frac{7}{8}$.

Жауабы: $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < \frac{6}{7} < \frac{7}{8} < \frac{8}{9}$.

№ 487

Аралас сандарды салыстырып, нәтижесін «>» немесе «<» теңсіздік белгісімен жазыңдар: $2\frac{5}{7}$ және $2\frac{3}{8}$; $4\frac{1}{3}$ және $5\frac{1}{4}$; $3\frac{4}{5}$ және $3\frac{1}{2}$; $9\frac{5}{6}$ және $10\frac{1}{6}$; $5\frac{1}{6}$ және $4\frac{2}{3}$; $6\frac{5}{6}$ және $6\frac{2}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөліктері әртүрлі болса — жауап бірден шығады. Тең болса — бөлшектерін кез келген тәсілмен салыстырамыз.

Шешуі.

1. Бүтін бөліктері тең. $\frac{5}{7}$ және $\frac{3}{8}$: $5 \cdot 8 = 40 > 7 \cdot 3 = 21$. $2\frac{5}{7} > 2\frac{3}{8}$.
2. $4 < 5$: $4\frac{1}{3} < 5\frac{1}{4}$.
3. Бүтін бөліктері тең. $\frac{4}{5} > \frac{1}{2}$ (4 саны 5-тің жартысынан артық). $3\frac{4}{5} > 3\frac{1}{2}$.
4. $9 < 10$: $9\frac{5}{6} < 10\frac{1}{6}$.
5. $5 > 4$: $5\frac{1}{6} > 4\frac{2}{3}$.
6. Бүтін бөліктері тең. $\frac{5}{6}$ және $\frac{2}{7}$: $35 > 12$. $6\frac{5}{6} > 6\frac{2}{7}$.

Жауабы: 1)

№ 488

1) Шамаларды салыстырыңдар: а) $\frac{3}{4}$ сағ және 20 мин; ә) $\frac{51}{100}$ кг және 590 г; б) $\frac{7}{10}$ км және 900 м. 2) Қайсысы ауыр: а) $\frac{6}{8}$ м³ су ма, әлде $\frac{3}{4}$ м³ мұз ба? ә) $\frac{1}{2}$ см³ парафин бе, әлде $\frac{5}{10}$ см³ қорғасын ба?

Қалай ойлаймыз. 1) тармағында бөлшекті ұсақ өлшем бірліктеріне ауыстырамыз. 2) тармағында алдымен көлемдерін салыстырамыз, сосын қай зат ауырлау екенін еске түсіреміз.

Шешуі.

1. а) 1 сағ = 60 мин; $\frac{3}{4}$ сағ $= 60 : 4 \cdot 3 = 45$ мин. $45 > 20$. ә) 1 кг = 1000 г; $\frac{51}{100}$ кг $= 1000 : 100 \cdot 51 = 510$ г. $510 < 590$. б) 1 км = 1000 м; $\frac{7}{10}$ км $= 700$ м. $700 < 900$.
2. а) $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ — көлемдері тең. Мұз судан жеңіл (ол суда жүзеді), сондықтан су ауыр. Анықтама үшін: 1 м³ судың массасы шамамен 1000 кг, 1 м³ мұздікі — шамамен 900 кг. ә) $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ — көлемдері тең. Қорғасын парафиннен әлдеқайда ауыр (1 см³ қорғасын — шамамен 11 г, парафин — 1 г-нан кем). Қорғасын ауыр.

Жауабы: 1) а) $\frac{3}{4}$ сағ

№ 489

Жер шарының сулы ауданының Тынық мұхит $\frac{1}{2}$ бөлігін, Атлант мұхиты $\frac{1}{4}$ бөлігін, ал Үнді мұхиты $\frac{1}{5}$ бөлігін алады. Осы шамаларды салыстырып, нәтижесін қос теңсіздікпен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алымдары бірдей (бәрінде 1) — бөлімі кіші бөлшек үлкен.

Шешуі. $\frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$.

Жауабы: $\frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$: ең үлкені — Тынық мұхит, ең кішісі — Үнді мұхиты.

🌟 Тынық мұхит жалғыз өзі планетадағы бүкіл судың жартысын алып жатыр. Оған Жердің барлық құрлықтары сыйып кетер еді, әлі орын қалар еді!

№ 490

Адам денесінің $\frac{13}{20}$ бөлігі су, жануарлар денесінің $\frac{1}{2}$ бөлігі су, ал балықтардың $\frac{3}{4}$ бөлігі су. Қай организмде су көп, қай организмде су аз? Нәтижесін қос теңсіздікпен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 20, 2 және 4 бөлімдерінің барлығы 20-ны бөледі. Бәрін 20-ға келтіреміз.

Шешуі. $\frac{13}{20}$; $\frac{1}{2} = \frac{10}{20}$; $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$. Алымдары бойынша: $10 < 13 < 15$.

Жауабы: $\frac{1}{2} < \frac{13}{20} < \frac{3}{4}$: су ең көп балықтардың денесінде, ең аз жануарлардың денесінде.

№ 491

Сыйымдылықтары 8 л және 5 л ыдыстарды пайдаланып, су ағатын шүмектен 7 л суды қалай алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа арналған есеп. 2 л суды қалай алуға болатынын іздейміз: сонда $2 + 5 = 7$.

Шешуі. Әр қадамнан кейін ыдыстарда қанша су бар екенін (8 л; 5 л) жазамыз.

1. 5 литрлік ыдысты толтырып, 8 литрлікке құямыз: (5; 0).
2. 5 литрлік ыдысты қайта толтырамыз: (5; 5).
3. Одан 8 литрлік ыдысты толғанша құямыз — оған тағы 3 л сияды: (8; 2).
4. 8 литрлік ыдыстағы суды төгеміз: (0; 2).
5. 2 л суды 8 литрлік ыдысқа құямыз: (2; 0).
6. 5 литрлік ыдысты толтырып, 8 литрлікке құямыз: (7; 0).

Жауабы: 8 литрлік ыдыста $2 + 5 = 7$ л су болады.

C деңгейі

№ 492

1) $\frac{12}{19}$ бөлшегінің бөлімін өзгертпей, одан 2 есе, 3 есе, 4 есе, 6 есе кіші бөлшектерді жазыңдар. 2) $\frac{5}{24}$ бөлшегінің алымын өзгертпей, одан 2 есе, 4 есе, 8 есе үлкен бөлшектерді жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1) Бөлімі сол күйінде — алымын кішірейтеміз: 12-ні бөлеміз. 2) Алымы сол күйінде — бөлшек үлкен болуы үшін бөліктер ірілеуі керек: бөлім 24-ті бөлеміз.

Шешуі.

1. $12 : 2 = 6$, $12 : 3 = 4$, $12 : 4 = 3$, $12 : 6 = 2$: $\frac{6}{19}$, $\frac{4}{19}$, $\frac{3}{19}$, $\frac{2}{19}$.

2. $24 : 2 = 12$, $24 : 4 = 6$, $24 : 8 = 3$: $\frac{5}{12}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{5}{3}$.

3. үшін тексеру: $\frac{5}{24}$ — $\frac{1}{24}$ үлестен 5 бөлік; $\frac{5}{12}$ — $\frac{1}{12}$ үлестен 5 бөлік, ал $\frac{1}{12}$ бөлігі $\frac{1}{24}$ бөлігінен екі есе үлкен. Дұрыс.

Жауабы: 1) $\frac{6}{19}$; $\frac{4}{19}$; $\frac{3}{19}$; $\frac{2}{19}$. 2) $\frac{5}{12}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{5}{3}$.

№ 493

1) $\frac{3}{7}$-тен үлкен, бірақ $\frac{6}{7}$-дан кіші бөлімі 9-ға тең төрт бөлшекті жазыңдар. 2) $\frac{2}{5}$-ден үлкен, бірақ $\frac{4}{5}$-тен кіші бөлімі 7-ге тең үш бөлшекті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын таңдаймыз.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 63: $\frac{3}{7} = \frac{27}{63}$, $\frac{6}{7} = \frac{54}{63}$, ал $\frac{x}{9} = \frac{7x}{63}$. $27 < 7x < 54$ болуы керек. $x = 4$ (28), 5 (35), 6 (42), 7 (49) жарайды. Сонда $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{7}{9}$.
2. Ортақ бөлім 35: $\frac{2}{5} = \frac{14}{35}$, $\frac{4}{5} = \frac{28}{35}$, $\frac{x}{7} = \frac{5x}{35}$. $14 < 5x < 28$ болуы керек. $x = 3$ (15), 4 (20), 5 (25) жарайды. Сонда $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{7}$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{6}{9}$, $\frac{7}{9}$; 2) $\frac{3}{7}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{5}{7}$.

№ 494

Меркурийдің массасы Жер массасының $\frac{3}{50}$-іне тең. Шолпанның массасы $\frac{4}{5}$-іне тең болса, Айдың массасы $\frac{3}{250}$-іне тең. Осы аспан денелерінің қайсысы ауыр, қайсысы жеңіл? Салыстыру нәтижесін қос теңсіздік түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. 250 саны 50-ге де, 5-ке де бөлінеді — сонымен ортақ бөлім етіп аламыз.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 250: $\frac{3}{50} = \frac{15}{250}$; $\frac{4}{5} = \frac{200}{250}$; $\frac{3}{250}$.
2. Алымдары: $3 < 15 < 200$.

Жауабы: $\frac{3}{250} < \frac{3}{50} < \frac{4}{5}$: ең ауыры — Шолпан, ең жеңілі — Ай.

№ 495

1) $\frac{115}{223}$ және $\frac{115,115}{223,223}$; 2) $\frac{117,117}{219,219}$ және $\frac{205,205}{365,365}$; 3) $\frac{224,224}{234,234}$ және $\frac{560,560}{605,605}$ бөлшектерін қысқартып алған соң, салыстырып, нәтижесін «>», «<» немесе «=» белгісімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Айла мынада: «abcabc» түріндегі алты таңбалы сан $abc \cdot 1001$ -ге тең. Мысалы, $115,115 = 115 \cdot 1001$. Демек, мұндай бөлшектер 1001-ге қысқарады.

Шешуі.

1. $\frac{115,115}{223,223} = \frac{115 \cdot 1001}{223 \cdot 1001} = \frac{115}{223}$. Бөлшектер тең.
2. $\frac{117,117}{219,219} = \frac{117}{219} = \frac{39}{73}$ (3-ке қысқарттық). $\frac{205,205}{365,365} = \frac{205}{365} = \frac{41}{73}$ (5-ке қысқарттық). $\frac{39}{73} < \frac{41}{73}$.
3. $\frac{224,224}{234,234} = \frac{224}{234} = \frac{112}{117}$ (2-ге). $\frac{560,560}{605,605} = \frac{560}{605} = \frac{112}{121}$ (5-ке). Алымдары тең, $117 < 121$, сондықтан $\frac{112}{117} > \frac{112}{121}$.

Жауабы: 1) $=$; 2)

№ 496

Отынның қызулығы оның құрамындағы көміртегінің мөлшерімен өлшенеді. Ағаштың $\frac{1}{2}$ бөлігі, шымтезектің $\frac{3}{5}$ бөлігі, көмірдің $\frac{7}{10}$ бөлігі, антрациттің $\frac{9}{10}$ бөлігі — көміртегі. Отын түрлерін жылулығының көбінен азына қарай реттеп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлімдер 10-ды бөледі — оныншы үлестерге келтіреміз. Жылулық көміртегі мөлшеріне байланысты, сондықтан бөлшегі үлкен отын қызулығы жоғары.

Шешуі. Ағаш $\frac{5}{10}$, шымтезек $\frac{6}{10}$, көмір $\frac{7}{10}$, антрацит $\frac{9}{10}$. Алымдары бойынша: $9 > 7 > 6 > 5$.

Жауабы: $\frac{9}{10} > \frac{7}{10} > \frac{3}{5} > \frac{1}{2}$ — антрацит, көмір, шымтезек, ағаш.

№ 497

Дархан мен Нұрлан ойын автоматтарынан атып ойнады. Дархан 12 рет атып, нысанаға 8 рет тигізді, ал Нұрлан 15 рет атып, нысанаға 9 рет тигізді. Балалардың қайсысының нысананы дәлдеп ату нәтижесі жақсы болды?

Қалай ойлаймыз. Тигізген санын емес, барлық оқтың ішінде тигізген үлесін салыстырамыз. Нұрлан көбірек тигізді, бірақ ол көбірек те атты!

Шешуі.

1. Дархан: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
2. Нұрлан: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
3. Ортақ бөлім 15: $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$.

Жауабы: нәтижесі Дарханда жақсы ($\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$).

№ 498

Ерден, Жандос және Мәди бірдей қашықтыққа жүгірді. Олар $\frac{4}{15}$ минутта, $\frac{5}{12}$ минутта, $\frac{1}{3}$ минутта келді. Ерден Мәдиден жылдам жүгірді, ал Жандос Ерденнен жылдам жүгірді. Берілген қашықтықты кім қанша уақыт жүгіріп, мәреге қандай реттілікпен жетті?

Қалай ойлаймыз. Уақытты аз жұмсаған адам жылдамырақ. Ең жылдамы — Жандос, содан кейін Ерден, соңында — Мәди.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 60: $\frac{4}{15} = \frac{16}{60}$, $\frac{5}{12} = \frac{25}{60}$, $\frac{1}{3} = \frac{20}{60}$.
2. Өсу ретімен: $\frac{4}{15} < \frac{1}{3} < \frac{5}{12}$.
3. Ең аз уақыт — Жандоста, ортасы — Ерденде, ең көбі — Мәдиде.

Жауабы: Жандос — $\frac{4}{15}$ мин, Ерден — $\frac{1}{3}$ мин, Мәди — $\frac{5}{12}$ мин. Мәреге Жандос бірінші, Ерден екінші, Мәди үшінші жетті.

№ 499

Аңшы итінің 6 рет секіру ұзындығы түлкінің 11 рет секіру ұзындығына тең. Аңшы иті 4 рет секірген уақытта түлкі 7 рет секіреді. Аңшы итінің жылдамдығы көп пе, әлде түлкінің жылдамдығы көп пе? Салыстырып, нәтижесін теңсіздікпен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірдей уақытта әрқайсысы қанша жол жүретінін салыстырамыз. Қашықтықты «түлкінің секірістерімен» өлшейміз.

Шешуі.

1. Иттің бір секірісі түлкінің $\frac{11}{6}$ секірісіне тең.
2. Бірдей уақытта ит 4 рет секіреді: $4 \cdot \frac{11}{6} = \frac{44}{6} = 7\frac{2}{6} = 7\frac{1}{3}$ түлкі секірісі.
3. Түлкі сол уақытта өзінің 7 секірісін жасайды.
4. $7\frac{1}{3} > 7$.

Жауабы: иттің жылдамдығы көп: бірдей уақытта ит түлкінің $7\frac{1}{3}$ секірісіндей жол жүреді, ал түлкі — 7 секірісіндей; $7\frac{1}{3} > 7$.

Жадынама

• $\frac{8}{11} > \frac{5}{11}$ — бөлімдері тең.
• $\frac{6}{7} > \frac{6}{13}$ — алымдары тең.
• $3\frac{1}{7} > 2\frac{1}{5}$ — бүтін бөлігі шешеді.
• Ыңғайлы өлшем — жарты: $\frac{4}{9} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8}$.

Шағын тест