3.8. Жай бөлшектерді қосу және азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). III тарау: Жай бөлшектер және оларға амалдар қолдану. 167–174-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлімдері бірдей бөлшектерді бір сәтте қосуды және азайтуды.
• Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қосуды: алдымен оларды бірдей үлеске «киіндіреміз».
• Бүтін саннан бөлшекті азайтуды: $1 - \frac{3}{10}$, $3 - \frac{2}{5}$.
• «Бөлікке» берілген есептерді шығаруды: қанша қалды, бірге қанша істелді, құбырлар қанша су құйды.

Ой қозғау

Алдымен ойша шеш, сосын жауабын аш.

• Шаршының жартысына тағы төрттен бірін қоссақ, неше төрттен бір болады? $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, тағы $\frac{1}{4}$: барлығы $\frac{3}{4}$.
• $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ неге тең? $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$, демек $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
• Ал $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ше? $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• $AB$ кесіндісі $\frac{7}{10}$ дм, $AC$ кесіндісі $\frac{3}{10}$ дм. $CB$ неге тең? $\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ дм.

💡 Байқадың ба? Бәрінде алдымен үлестерді бірдей етіп алдық, сосын тек алымдарын есептедік. Сабақтың бар құпиясы осы.

Тақырыпты талдаймыз

Сегізден бірлер — алмалар сияқты

Бөлім — үлестердің «аты»: сегізден бір, бестен бір, оннан бір. Алым — сондай үлестен қанша алғанымызды көрсетеді. 3 алма мен 2 алма — 5 алма. Дәл солай 3 сегізден бір мен 2 сегізден бір — 5 сегізден бір.

📌 Бөлімдері бірдей болса, алымдарын қосамыз (азайтамыз), бөлімін сол күйінде қалдырамыз: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$, $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$.

Тағы үш мысал:

• $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$ — бүтіннен артық шықты, бүтін бөлігін бөліп аламыз;
• $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ — жауапты қысқартамыз;
• $1 - \frac{3}{10} = \frac{10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ — бірді $\frac{10}{10}$ түрінде жазамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Бөлімдерін де қосып жібереді: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{16}$. Ақылмен тексер: $\frac{5}{16}$ саны $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$ санынан кіші. Қосынды қосылғыштан кіші бола ма? Болмайды!

Үштен бір мен төрттен бір — мөлшері әртүрлі

$\frac{1}{4}$ және $\frac{1}{3}$ пиццаны қалай қосамыз? Бөліктері әртүрлі, оларды бірге санауға болмайды. Екі пиццаны да бірдей ұсақ бөліктерге, яғни 12 бөлікке кесу керек.

Бөлімдері әртүрлі кез келген мысал былай шығарылады:

1. Ең кіші ортақ бөлімді — бөлімдердің ЕКОЕ-сін табамыз.
2. Оны әр бөлімге бөлеміз — толықтауыш көбейткішті табамыз.
3. Бөлшектің алымы мен бөлімін сол көбейткішке көбейтеміз.
4. Алымдарын қосамыз немесе азайтамыз.
5. Жауапты қысқартып, бүтін бөлігін бөліп аламыз.

Қарап көрейік: $\frac{5}{12} + \frac{7}{15}$. ЕКОЕ(12, 15) = 60, көбейткіштер $60 : 12 = 5$ және $60 : 15 = 4$. Сонда $\frac{25}{60} + \frac{28}{60} = \frac{53}{60}$.

Ал $\frac{7}{12} - \frac{2}{9}$: ЕКОЕ = 36, көбейткіштер 3 және 4, $\frac{21}{36} - \frac{8}{36} = \frac{13}{36}$.

💡 Үлкен бөлім кішісіне бөлінсе, сол үлкен бөлімнің өзі ортақ бөлім болады: $\frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{7}{10} - \frac{6}{10} = \frac{1}{10}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Қате әрдайым бірдей: бөлімін көбейтеді де, алымын ұмытады. Баладан көбейткішті бөлшектің үстіне кішкентай цифрмен жазып, дауыстап айтуын сұраңыз: «Ортақ бөлім мынау, көбейткіш мынау».

Бүтін минус бөлшек

$3 - \frac{2}{5}$ мысалын екі жолмен есептеуге болады:

• $3 = \frac{15}{5}$, сонда $\frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$;
• бір бүтінді «ұсақтаймыз»: $3 = 2\frac{5}{5}$, сонда $2\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = 2\frac{3}{5}$.

Екінші жол жылдамырақ — қайтарым ақшаны беру үшін ірі купюраны майдалағандай.

Қалауыңша ауыстыр

Бөлшектер үшін де сандардағы заңдар орындалады. Қосылғыштардың орнын ауыстыруға болады: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{5}{9} + \frac{2}{9}$. Жақшамен топтауға да болады: $\left(\frac{1}{11} + \frac{5}{11}\right) + \frac{3}{11} = \frac{1}{11} + \left(\frac{5}{11} + \frac{3}{11}\right)$.

Алдымен бөлімдері бірдей бөлшектерді жинап алған, сосын қалғанын қосқан ыңғайлы.

⚠️ Жиі кететін қате. Қысқартуды ұмытады: $\frac{7}{12}$ орнына $\frac{14}{24}$. Жауап жазар алдында өзіңнен сұра: алым мен бөлім 2-ге, 3-ке, 5-ке бөліне ме?

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бөлімдері бірдей бөлшектерді қалай қосады? Алымдарын қосып, бөлімін сол күйінде қалдырады: $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
• Оларды қалай азайтады? Азайғыштың алымынан азайтқыштың алымын азайтып, бөлімін сол күйінде қалдырады: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
• Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді қалай қосады? Ең кіші ортақ бөлімге келтіріп, алымдарын қосады: $\frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$.
• Ал азайтуды ше? Дәл солай, тек алымдарын азайтады: $\frac{7}{15} - \frac{5}{18} = \frac{42}{90} - \frac{25}{90} = \frac{17}{90}$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 500

Өрнектің мәнін табыңдар (ауызша): $\frac{2}{7} + \frac{1}{7}$; $\frac{9}{14} - \frac{5}{14}$; $\frac{5}{6} - \frac{1}{6}$; $\frac{5}{9} + \frac{2}{9}$; $\frac{13}{20} + \frac{11}{20}$; $\frac{17}{32} - \frac{15}{32}$; $\frac{41}{100} - \frac{33}{100}$; $\frac{8}{99} + \frac{2}{99}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері барлық жерде бірдей — тек алымдарымен жұмыс істейміз. Соңында қысқартуды ұмытпа.

Шешуі.

Жауабы: 1) $\frac{3}{7}$; 2) $\frac{2}{7}$; 3) $\frac{2}{3}$; 4) $\frac{7}{9}$; 5) $1\frac{1}{5}$; 6) $\frac{1}{16}$; 7) $\frac{2}{25}$; 8) $\frac{10}{99}$.

A деңгейі

№ 501

1) 3.29-сурет бойынша $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ қосындысының мәнін табыңдар (дөңгелек 12 секторға бөлінген). 2) 3.30-сурет бойынша $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ айырмасының мәнін табыңдар (үшбұрыш 6 тең үшбұрышқа бөлінген).

Қалай ойлаймыз. Сурет ұсақ тең үлестерге бөлінген — бұл дәл ортақ бөлім. Бөліктерді жай санап шық.

Шешуі.

1. Төрттен бірі — 3 көк сектор, үштен бірі — 4 қызыл сектор. Бірге 12-нің 7-еуі: $\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$.
2. Үшбұрыштың жартысы — 3 кішкентай үшбұрыш, үштен бірі — 2 (көк). 1 қызыл қалады: $\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{6}$.

№ 502

Амалдарды орындаңдар: $\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$; $\frac{5}{8} + \frac{3}{8}$; $\frac{7}{12} - \frac{5}{12}$; $\frac{8}{15} + \frac{2}{15}$; $\frac{3}{10} + \frac{1}{10}$; $\frac{17}{25} - \frac{12}{25}$; $\frac{1}{30} + \frac{7}{30}$; $\frac{28}{45} - \frac{13}{45}$.

Қалай ойлаймыз. № 500 жаттығуындағы сол әдіс. Мұндағы жауаптардың дерлік бәрі қысқарады — ортақ бөлгішті ізде.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;
2. $\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1$;
3. $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
4. $\frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$;
5. $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$;
6. $\frac{17}{25} - \frac{12}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$;
7. $\frac{1}{30} + \frac{7}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$;
8. $\frac{28}{45} - \frac{13}{45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2}$; 2) 1; 3) $\frac{1}{6}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{2}{5}$; 6) $\frac{1}{5}$; 7) $\frac{4}{15}$; 8) $\frac{1}{3}$.

№ 503

Өрнектің мәнін табыңдар: $\frac{5}{9} + \frac{13}{27}$; $\frac{3}{8} + \frac{5}{24}$; $\frac{5}{12} - \frac{13}{72}$; $\frac{3}{5} - \frac{1}{7}$; $\frac{5}{12} + \frac{1}{60}$; $\frac{9}{17} - \frac{19}{68}$; $\frac{9}{10} + \frac{4}{15}$; $\frac{4}{15} - \frac{11}{60}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тексер: үлкен бөлім кішісіне бөлінбей ме? Онда сол үлкені — ортақ бөлім. Дерлік барлық мысалда солай.

Шешуі.

1. 27 саны 9-ға бөлінеді: $\frac{15}{27} + \frac{13}{27} = \frac{28}{27} = 1\frac{1}{27}$;
2. 24 саны 8-ге бөлінеді: $\frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$;
3. 72 саны 12-ге бөлінеді: $\frac{30}{72} - \frac{13}{72} = \frac{17}{72}$;
4. ортақ бөлім 35: $\frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{16}{35}$;
5. 60 саны 12-ге бөлінеді: $\frac{25}{60} + \frac{1}{60} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$;
6. 68 саны 17-ге бөлінеді: $\frac{36}{68} - \frac{19}{68} = \frac{17}{68} = \frac{1}{4}$;
7. ортақ бөлім 30: $\frac{27}{30} + \frac{8}{30} = \frac{35}{30} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$;
8. 60 саны 15-ке бөлінеді: $\frac{16}{60} - \frac{11}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{27}$; 2) $\frac{7}{12}$; 3) $\frac{17}{72}$; 4) $\frac{16}{35}$; 5) $\frac{13}{30}$; 6) $\frac{1}{4}$; 7) $1\frac{1}{6}$; 8) $\frac{1}{12}$.

№ 504

1) Жолаушы барлық жолдың $\frac{5}{8}$-ін жүрді. Жолаушы жолдың әлі қандай бөлігін жүруге тиіс? 2) Жер шарының $\frac{7}{10}$ бөлігін су алып жатыр. Сондықтан Жерді «көгілдір планета» деп атайды. Жер шарының қандай бөлігі құрлық?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жол мен Жердің бүкіл беті — бір бүтін, яғни 1.

Шешуі.

1. $1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
2. $1 - \frac{7}{10} = \frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.

🌟 Жерді «көгілдір планета» деп атайтыны сондықтан: құрлық бар болғаны $\frac{3}{10}$, қалғаны — су.

Жауабы: 1) жолдың $\frac{3}{8}$ бөлігі; 2) жер бетінің $\frac{3}{10}$ бөлігі.

№ 505

Қайық көлде жүзіп, 3 сағатта қандай қашықтыққа барса, өзенде ағыспен жүзіп, 2 сағатта сондай қашықтыққа барады. Сал осы өзенде 1 сағатта осы қашықтықтың қандай бөлігіне жүзіп барады?

Қалай ойлаймыз. Көлде ағыс жоқ — қайық өз жүрісімен жүзеді. Ағыспен жүзгенде өзен оған көмектеседі. Ал сал өздігінен жүзбейді: оны тек ағыс алып барады.

Шешуі.

1. Көлде қайық 1 сағатта қашықтықтың $\frac{1}{3}$ бөлігін жүреді.
2. Ағыспен 1 сағатта — қашықтықтың $\frac{1}{2}$ бөлігін.
3. Айырмасы — ағыстың «жұмысы»: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. Сал сонша жүзіп барады.

Жауабы: қашықтықтың $\frac{1}{6}$ бөлігіне.

№ 506

Домбыраның басы (құлағы) $\frac{1}{10}$ м, мойны $\frac{1}{2}$ м, шанағы $\frac{2}{5}$ м. Домбыраның ұзындығы неше метр (3.31-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Үш бөлшекті қосамыз. 10 саны 2-ге де, 5-ке де бөлінеді — демек, ортақ бөлім 10.

Шешуі. $\frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{1}{10} + \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{10}{10} = 1$ м.

Жауабы: 1 м.

№ 507

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x + \frac{7}{12} = \frac{3}{4}$; 2) $x - \frac{1}{6} = \frac{1}{9}$; 3) $x - \frac{3}{5} = \frac{3}{8}$; 4) $x + \frac{5}{24} = \frac{7}{12}$; 5) $y + \frac{2}{7} = \frac{1}{3}$; 6) $x - \frac{1}{6} = \frac{7}{9}$; 7) $y - \frac{3}{8} = \frac{5}{32}$; 8) $y + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз қосылғыш = қосынды − белгілі қосылғыш. Белгісіз азайғыш = айырма + азайтқыш.

Шешуі.

1. $x = \frac{3}{4} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} - \frac{7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
2. $x = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$;
3. $x = \frac{3}{8} + \frac{3}{5} = \frac{15}{40} + \frac{24}{40} = \frac{39}{40}$;
4. $x = \frac{7}{12} - \frac{5}{24} = \frac{14}{24} - \frac{5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$;
5. $y = \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{7}{21} - \frac{6}{21} = \frac{1}{21}$;
6. $x = \frac{7}{9} + \frac{1}{6} = \frac{14}{18} + \frac{3}{18} = \frac{17}{18}$;
7. $y = \frac{5}{32} + \frac{3}{8} = \frac{5}{32} + \frac{12}{32} = \frac{17}{32}$;
8. $y = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = \frac{5}{10} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.

Біріншісін тексерейік: $\frac{1}{6} + \frac{7}{12} = \frac{2}{12} + \frac{7}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ ✓.

Жауабы: 1) $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{5}{18}$; 3) $\frac{39}{40}$; 4) $\frac{3}{8}$; 5) $\frac{1}{21}$; 6) $\frac{17}{18}$; 7) $\frac{17}{32}$; 8) $\frac{1}{10}$.

B деңгейі

№ 508

Алдымен бөлшектерді қысқартып алып, өрнектің мәнін табыңдар: $\frac{3}{12} + \frac{25}{30}$; $\frac{10}{24} - \frac{21}{54}$; $\frac{30}{54} + \frac{22}{30}$; $\frac{28}{40} - \frac{10}{75}$; $\frac{12}{27} + \frac{14}{21}$; $\frac{14}{24} - \frac{15}{40}$; $\frac{12}{18} - \frac{5}{60}$; $\frac{4}{24} + \frac{3}{36}$.

Қалай ойлаймыз. Қысқартқаннан кейін бөлімдер кішірейеді, ортақ бөлімді табу оңайлайды.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3}{12} + \frac{10}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$;
2. $\frac{5}{12} - \frac{7}{18} = \frac{15}{36} - \frac{14}{36} = \frac{1}{36}$;
3. $\frac{5}{9} + \frac{11}{15} = \frac{25}{45} + \frac{33}{45} = \frac{58}{45} = 1\frac{13}{45}$;
4. $\frac{7}{10} - \frac{2}{15} = \frac{21}{30} - \frac{4}{30} = \frac{17}{30}$;
5. $\frac{4}{9} + \frac{2}{3} = \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$;
6. $\frac{7}{12} - \frac{3}{8} = \frac{14}{24} - \frac{9}{24} = \frac{5}{24}$;
7. $\frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$;
8. $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{12}$; 2) $\frac{1}{36}$; 3) $1\frac{13}{45}$; 4) $\frac{17}{30}$; 5) $1\frac{1}{9}$; 6) $\frac{5}{24}$; 7) $\frac{7}{12}$; 8) $\frac{1}{4}$.

№ 509

Өрнектің мәнін табыңдар: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}$; $\frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{2}{3}$; $\frac{5}{6} + \frac{3}{8} - \frac{1}{4}$; $\frac{5}{9} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}$; $\frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{5}{6}$; $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Үш бөлшекке бірден бір ортақ бөлім іздейміз. Сосын алымдарын солдан оңға қарай есептейміз.

Шешуі.

1. ортақ бөлім 45: $\frac{9}{45} + \frac{5}{45} + \frac{15}{45} = \frac{29}{45}$;
2. 30: $\frac{15}{30} + \frac{18}{30} - \frac{20}{30} = \frac{13}{30}$;
3. 24: $\frac{20}{24} + \frac{9}{24} - \frac{6}{24} = \frac{23}{24}$;
4. 36: $\frac{20}{36} + \frac{6}{36} + \frac{27}{36} = \frac{53}{36} = 1\frac{17}{36}$;
5. 18: $\frac{6}{18} + \frac{8}{18} + \frac{15}{18} = \frac{29}{18} = 1\frac{11}{18}$;
6. 20: $\frac{5}{20} + \frac{4}{20} - \frac{6}{20} = \frac{3}{20}$.

Жауабы: 1) $\frac{29}{45}$; 2) $\frac{13}{30}$; 3) $\frac{23}{24}$; 4) $1\frac{17}{36}$; 5) $1\frac{11}{18}$; 6) $\frac{3}{20}$.

№ 510

Амалдарды орындаңдар (алдымен жақша ішін): $\left(\frac{7}{15} - \frac{1}{6}\right) + \frac{2}{5}$; $\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{9}\right) + \frac{25}{36}$; $\left(\frac{8}{9} - \frac{5}{6}\right) + \frac{2}{3}$; $\left(\frac{7}{8} - \frac{13}{20}\right) + \frac{9}{10}$; $\left(\frac{7}{18} - \frac{1}{12}\right) + \frac{5}{6}$; $\left(\frac{3}{4} - \frac{8}{15}\right) + \frac{17}{20}$.

Қалай ойлаймыз. Қатарынан екі амал. Әрқайсысы — бөлшектерді қосу немесе азайту.

Шешуі.

1. $\frac{14}{30} - \frac{5}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$; $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$;
2. $\frac{27}{72} - \frac{8}{72} = \frac{19}{72}$; $\frac{19}{72} + \frac{50}{72} = \frac{69}{72} = \frac{23}{24}$;
3. $\frac{16}{18} - \frac{15}{18} = \frac{1}{18}$; $\frac{1}{18} + \frac{12}{18} = \frac{13}{18}$;
4. $\frac{35}{40} - \frac{26}{40} = \frac{9}{40}$; $\frac{9}{40} + \frac{36}{40} = \frac{45}{40} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$;
5. $\frac{14}{36} - \frac{3}{36} = \frac{11}{36}$; $\frac{11}{36} + \frac{30}{36} = \frac{41}{36} = 1\frac{5}{36}$;
6. $\frac{45}{60} - \frac{32}{60} = \frac{13}{60}$; $\frac{13}{60} + \frac{51}{60} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15} = 1\frac{1}{15}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{10}$; 2) $\frac{23}{24}$; 3) $\frac{13}{18}$; 4) $1\frac{1}{8}$; 5) $1\frac{5}{36}$; 6) $1\frac{1}{15}$.

№ 511

Бөлімдері өзара жай сандарға тең бөлшектердің қосындысын табыңдар (жұлдызшалардың орнына сандарды қойыңдар): 1) $\frac{1}{3} + \frac{1}{} = \frac{* + }{15}$; 2) $\frac{1}{} + \frac{1}{9} = \frac{* + }{45}$; 3) $\frac{1}{7} + \frac{1}{} = \frac{* + }{28}$; 4) $\frac{1}{} + \frac{1}{8} = \frac{* + }{24}$; 5) $\frac{1}{3} + \frac{1}{} = \frac{* + }{6}$; 6) $\frac{1}{} + \frac{1}{7} = \frac{* + }{42}$.

Қалай ойлаймыз. Өзара жай бөлімдердің ортақ бөлімі — олардың көбейтіндісі. Демек, жетіспейтін бөлім = ортақ бөлім : белгілі бөлім. Ал $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n + m}{m \cdot n}$ қосындысының алымында бөлімдердің өздері «айқастыра» тұрады.

Шешуі.

1. $15 : 3 = 5$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15}$;
2. $45 : 9 = 5$: $\frac{1}{5} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 5}{45} = \frac{14}{45}$;
3. $28 : 7 = 4$: $\frac{1}{7} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 7}{28} = \frac{11}{28}$;
4. $24 : 8 = 3$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{8 + 3}{24} = \frac{11}{24}$;
5. $6 : 3 = 2$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$;
6. $42 : 7 = 6$: $\frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{7 + 6}{42} = \frac{13}{42}$.

Жауабы: 1) $\frac{8}{15}$; 2) $\frac{14}{45}$; 3) $\frac{11}{28}$; 4) $\frac{11}{24}$; 5) $\frac{5}{6}$; 6) $\frac{13}{42}$.

№ 512

3.32-сурет бойынша $x$ пен $y$-тің мәнін табыңдар. Сәуледе $\frac{7}{10}$ нүктесінен «$-x$» көрсеткісі солға қарай $\frac{1}{5}$ нүктесіне, ал «$+\frac{4}{5}$» көрсеткісі оңға қарай $y$ нүктесіне апарады.

Қалай ойлаймыз. $\frac{7}{10}$ санынан $x$ алып тастағанда $\frac{1}{5}$ шықса, $x$ — осы екі нүктенің арасындағы қашықтық. Ал $y$ — $\frac{7}{10}$ мен $\frac{4}{5}$ қосындысы.

Шешуі.

1. $x = \frac{7}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
2. $y = \frac{7}{10} + \frac{4}{5} = \frac{7}{10} + \frac{8}{10} = \frac{15}{10} = 1\frac{1}{2}$.

Суретте $y$ нүктесі 1 мен 2-нің арасында тұр — бәрі сәйкес келеді.

Жауабы: $x = \frac{1}{2}$, $y = 1\frac{1}{2}$.

№ 513

Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып, есептеңдер: 1) $\left(\frac{5}{21} + \frac{2}{15}\right) + \frac{2}{21}$; 2) $\left(\frac{2}{35} + \frac{3}{28}\right) + \frac{1}{28}$; 3) $\left(\frac{7}{30} + \frac{8}{45}\right) + \left(\frac{2}{45} + \frac{1}{30}\right)$; 4) $\left(\frac{5}{24} + \frac{11}{60}\right) + \left(\frac{13}{60} + \frac{1}{24}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдері бірдей бөлшектерді бірге жинаймыз. Олар бірден қосылады да, көбіне әдемі қысқарады.

Шешуі.

1. $\left(\frac{5}{21} + \frac{2}{21}\right) + \frac{2}{15} = \frac{7}{21} + \frac{2}{15} = \frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{5}{15} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}$;
2. $\frac{2}{35} + \left(\frac{3}{28} + \frac{1}{28}\right) = \frac{2}{35} + \frac{4}{28} = \frac{2}{35} + \frac{1}{7} = \frac{2}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$;
3. $\left(\frac{7}{30} + \frac{1}{30}\right) + \left(\frac{8}{45} + \frac{2}{45}\right) = \frac{8}{30} + \frac{10}{45} = \frac{4}{15} + \frac{2}{9} = \frac{12}{45} + \frac{10}{45} = \frac{22}{45}$;
4. $\left(\frac{5}{24} + \frac{1}{24}\right) + \left(\frac{11}{60} + \frac{13}{60}\right) = \frac{6}{24} + \frac{24}{60} = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$.

Жауабы: 1) $\frac{7}{15}$; 2) $\frac{1}{5}$; 3) $\frac{22}{45}$; 4) $\frac{13}{20}$.

№ 514

Ыдыстағы сүттің $\frac{1}{2}$-і құмыраға құйылды, $\frac{1}{3}$-і банкаға құйылды, $\frac{1}{6}$-і кесеге құйылды. Ыдыста алғашқы сүттің қандай бөлігі қалды? Әлде ыдыстағы барлық сүт құйылып алынды ма?

Қалай ойлаймыз. Құйылғанның бәрін қосып, бүкіл ыдыспен салыстырамыз.

Шешуі. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Бүкіл ыдыстың сүті құйылып алынған.

Жауабы: жоқ, ыдыста сүт қалмады.

№ 515

Қалаға келген туристердің $\frac{4}{5}$-і ағылшын тілін біледі, $\frac{1}{3}$-і неміс тілін біледі. Қалаға келген туристердің қандай бөлігі ағылшын тілін де, неміс тілін де біледі?

Қалай ойлаймыз. Әр турист екі тілдің ең болмағанда біреуін біледі деп есептейміз. Үлестерді қоссақ, екі тілді де білетіндерді екі рет санаймыз. Сондықтан қосынды бүтіннен артық шығады.

Шешуі.

1. $\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{12}{15} + \frac{5}{15} = \frac{17}{15}$.
2. Бұл барлық туристерден ($\frac{15}{15}$) $\frac{17}{15} - \frac{15}{15} = \frac{2}{15}$ артық.
3. Бұл артық $\frac{2}{15}$ — екі рет санап жіберілгендер.

Жауабы: туристердің $\frac{2}{15}$ бөлігі екі тілді де біледі.

№ 516

Сканерде шығарманың бірінші сағатта $\frac{2}{5}$-інің, екінші сағатта $\frac{1}{3}$-інің көшірмесі дайындалды. Қалғаны үшінші сағатта көшірілді. Сканерде үшінші сағатта шығарманың қандай бөлігі көшірілді?

Шешуі.

1. Екі сағатта: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$.
2. Үшінші сағатта: $1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$.

Жауабы: шығарманың $\frac{4}{15}$ бөлігі.

№ 517

Марат екі балық аулап алды. Бірінші балықтың массасы $\frac{9}{10}$ кг, ал екінші балық одан $\frac{1}{5}$ кг жеңіл. Марат барлығы неше килограмм балық аулап алды?

Шешуі.

1. Екінші балық: $\frac{9}{10} - \frac{1}{5} = \frac{9}{10} - \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$ кг.
2. Екеуі бірге: $\frac{9}{10} + \frac{7}{10} = \frac{16}{10} = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$ кг.

Жауабы: $1\frac{3}{5}$ кг.

№ 518

Хауызға үш құбыр жүргізілген. Бірінші құбыр 6 сағатта, ал екінші құбыр 8 сағатта хауызды сумен толтырады. Үшінші құбырмен толық хауыздағы су 4 сағатта ағып бітеді. Құбырлардың үшеуін де бір уақытта ашып қойса, 1 сағаттан соң су хауыздың қандай бөлігінде қалады?

Қалай ойлаймыз. 1 сағатта әр құбыр өз үлесіндей жұмыс істейді. Үшіншісі су құймайды, ағызады — оның үлесін азайтамыз.

Шешуі. $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{6}{24} = \frac{1}{24}$.

Жауабы: хауыз көлемінің $\frac{1}{24}$ бөлігінде.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Жұмысқа» берілген есептердің бәрі (құбырлар, шебер мен шәкірт) бір ойға сүйенеді: бәрі $n$ сағатта істелсе, 1 сағатта жұмыстың $\frac{1}{n}$ бөлігі істеледі. Бала мұны шешудің бірінші жолы етіп жазсын.

№ 519

Төрт шеңбердің қиылысулары (3.33-сурет) көрсетілген графты дәптерге үзіксіз сызықпен сызып көрсетіңдер: ортадағы шеңбер және оның айналасындағы үш шеңбер. Сызу бағытын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Фигураны қарындашты көтермей-ақ сызуға болады, егер әр қиылысу нүктесінде жұп сан сызық түйісетін болса. Нүктеге неше рет кірсең, одан сонша рет шығасың.

Шешуі. Қиылысу нүктелері: ортадағы шеңберде $A$, $B$, $C$ және оның центрі $O$. Әрқайсысында үш шеңбер кездеседі, яғни 6 сызық — жұп сан. Демек, сызуға болады. Мысалы, былай:

1. Қарындашты $A$ нүктесіне қойып, оң жақ жоғарғы шеңберді түгел сызамыз — $A$ нүктесіне қайтып ораламыз.
2. $A$ нүктесінен сол жақ жоғарғы шеңберді түгел сызамыз — тағы $A$ нүктесіне ораламыз.
3. Ортадағы шеңбермен $A$ нүктесінен $B$ нүктесіне барамыз.
4. $B$ нүктесінен төменгі шеңберді түгел сызамыз — $B$ нүктесіне ораламыз.
5. Ортадағы шеңбермен $B$ нүктесінен $C$ арқылы қайтадан $A$ нүктесіне барамыз.

Жауабы: иә, сызуға болады; жолы жоғарыда. Қарындаш бір нүктеден басталып, сол нүктеде аяқталады.

№ 520

Бос орындарға тиісті цифрларды қойып, бөліндіні табыңдар: 1) $(21,0□5 + 43,12□ + 103,□25) : 15$; 2) $(270,13□ + 94□,125 + 1□2,165) : 45$.

Қалай ойлаймыз. Әр қосылғыш бөлгішке бөлінетіндей цифрларды таңдаймыз. 15-ке 3-ке де, 5-ке де бөлінетін сан бөлінеді. 45-ке 9-ға да, 5-ке де бөлінетін сан бөлінеді.

Шешуі.

1. Бөлгіш 15.

• $21,0□5$ саны 5-пен аяқталады. Цифрларының қосындысы $2 + 1 + 0 + 5 = 8$, 3-ке еселік керек: 1 жарайды (қосынды 9). Сан 21 015.
• $43,12□$: соңғы цифр 0 немесе 5. Қосынды $4 + 3 + 1 + 2 = 10$, 5 цифрымен 15 болады — 3-ке бөлінеді. Сан 43 125.
• $103,□25$: қосынды $1 + 0 + 3 + 2 + 5 = 11$, 1 жарайды (қосынды 12). Сан 103 125.
• Қосынды: $21,015 + 43,125 + 103,125 = 167,265$; $167,265 : 15 = 11,151$.

(Бірінші және үшінші сандарда 4 пен 7 де жарар еді — ең кішісін, 1-ді аламыз.)

2. Бөлгіш 45.

• $270,13□$: соңғы цифр 0 немесе 5; қосынды $2 + 7 + 0 + 1 + 3 = 13$, 5 цифрымен 18 болады — 9-ға бөлінеді. Сан 270 135.
• $94□,125$: қосынды $9 + 4 + 1 + 2 + 5 = 21$, 27-ге дейін 6 жетпейді. Сан 946 125.
• $1□2,165$: қосынды $1 + 2 + 1 + 6 + 5 = 15$, 18-ге дейін 3 жетпейді. Сан 132 165.
• Қосынды: $270,135 + 946,125 + 132,165 = 1,348,425$; $1,348,425 : 45 = 29,965$.

Жауабы: 1) 11 151; 2) 29 965.

C деңгейі

№ 521

Бөлімдері өзара жай сандар болатын бөлшектердің қосындысын табыңдар (жұлдызшалардың орнына сандарды қойыңдар): 1) $\frac{2}{} + \frac{}{4} = \frac{ + 5}{20}$; 2) $\frac{4}{} + \frac{}{3} = \frac{* + 14}{21}$; 3) $\frac{}{11} + \frac{1}{} = \frac{6 + }{22}$; 4) $\frac{2}{} + \frac{}{8} = \frac{ + 15}{40}$; 5) $\frac{3}{} + \frac{}{5} = \frac{* + 28}{35}$; 6) $\frac{}{9} + \frac{1}{} = \frac{10 + }{45}$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ бөлім — бөлімдердің көбейтіндісі. Осыдан жетіспейтін бөлімді табамыз. Сосын қосындының алымы бойынша жетіспейтін алымды табамыз.

Шешуі.

1. $20 : 4 = 5$, $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$. $\frac{}{4} = \frac{5}{20}$, демек $ = 1$. $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 5}{20} = \frac{13}{20}$.
2. $21 : 3 = 7$, $\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$. $\frac{}{3} = \frac{14}{21}$, $ = 2$. $\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = \frac{12 + 14}{21} = \frac{26}{21} = 1\frac{5}{21}$.
3. $22 : 11 = 2$, $\frac{}{11} = \frac{6}{22}$, $ = 3$; $\frac{1}{2} = \frac{11}{22}$. $\frac{3}{11} + \frac{1}{2} = \frac{6 + 11}{22} = \frac{17}{22}$.
4. $40 : 8 = 5$, $\frac{2}{5} = \frac{16}{40}$. $\frac{}{8} = \frac{15}{40}$, $ = 3$. $\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{16 + 15}{40} = \frac{31}{40}$.
5. $35 : 5 = 7$, $\frac{3}{7} = \frac{15}{35}$. $\frac{}{5} = \frac{28}{35}$, $ = 4$. $\frac{3}{7} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 28}{35} = \frac{43}{35} = 1\frac{8}{35}$.
6. $45 : 9 = 5$, $\frac{}{9} = \frac{10}{45}$, $ = 2$; $\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$. $\frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 9}{45} = \frac{19}{45}$.

Жауабы: 1) $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{13}{20}$; 2) $\frac{4}{7} + \frac{2}{3} = 1\frac{5}{21}$; 3) $\frac{3}{11} + \frac{1}{2} = \frac{17}{22}$; 4) $\frac{2}{5} + \frac{3}{8} = \frac{31}{40}$; 5) $\frac{3}{7} + \frac{4}{5} = 1\frac{8}{35}$; 6) $\frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{19}{45}$.

№ 522

Қосындыны табыңдар: $\frac{9}{c} + \frac{5}{c}$; $\frac{a}{c} + \frac{4}{c}$; $\frac{a}{c} + \frac{b}{3c}$; $\frac{1}{c} + \frac{3}{2c}$; $\frac{d}{ac} + \frac{c}{ad}$; $\frac{2a}{3c} + \frac{a}{6c}$.

Қалай ойлаймыз. Ережелер сандардағыдай. Ортақ бөлімді де солай іздейміз: $c$ және $3c$ үшін ол — $3c$.

Шешуі.

1. $\frac{9}{c} + \frac{5}{c} = \frac{14}{c}$;
2. $\frac{a}{c} + \frac{4}{c} = \frac{a + 4}{c}$;
3. бірінші бөлшекке көбейткіш 3: $\frac{3a}{3c} + \frac{b}{3c} = \frac{3a + b}{3c}$;
4. бірінші бөлшекке көбейткіш 2: $\frac{2}{2c} + \frac{3}{2c} = \frac{5}{2c}$;
5. ортақ бөлім $acd$; бірінші бөлшекке көбейткіш $d$, екіншісіне $c$: $\frac{d \cdot d}{acd} + \frac{c \cdot c}{acd} = \frac{d \cdot d + c \cdot c}{acd}$;
6. бірінші бөлшекке көбейткіш 2: $\frac{4a}{6c} + \frac{a}{6c} = \frac{5a}{6c}$.

Жауабы: 1) $\frac{14}{c}$; 2) $\frac{a + 4}{c}$; 3) $\frac{3a + b}{3c}$; 4) $\frac{5}{2c}$; 5) $\frac{d \cdot d + c \cdot c}{acd}$; 6) $\frac{5a}{6c}$.

№ 523

Теңдеуді шешіп, дұрыстығын тексеріңдер: 1) $\frac{1}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{4}{15}$; 2) $\frac{1}{x} - \frac{1}{7x} = \frac{2}{7}$; 3) $\frac{1}{4x} + \frac{1}{x} = \frac{5}{16}$; 4) $\frac{1}{x} - \frac{1}{9x} = \frac{2}{9}$; 5) $\frac{1}{8x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{8}$; 6) $\frac{1}{x} - \frac{1}{5x} = \frac{2}{15}$.

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Сол жақты бір бөлшек етіп жинаймыз. Сосын оң және сол жақтағы алымдарды бірдей етеміз — сонда бөлімдері де тең болады.

Шешуі.

1. $\frac{1}{3x} + \frac{3}{3x} = \frac{4}{3x} = \frac{4}{15}$, демек $3x = 15$, $x = 5$. Тексеру: $\frac{1}{15} + \frac{3}{15} = \frac{4}{15}$ ✓.
2. $\frac{7}{7x} - \frac{1}{7x} = \frac{6}{7x}$; $\frac{2}{7} = \frac{6}{21}$, демек $7x = 21$, $x = 3$. Тексеру: $\frac{7}{21} - \frac{1}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ ✓.
3. $\frac{1}{4x} + \frac{4}{4x} = \frac{5}{4x} = \frac{5}{16}$, $4x = 16$, $x = 4$. Тексеру: $\frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$ ✓.
4. $\frac{9}{9x} - \frac{1}{9x} = \frac{8}{9x}$; $\frac{2}{9} = \frac{8}{36}$, $9x = 36$, $x = 4$. Тексеру: $\frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ ✓.
5. $\frac{1}{8x} + \frac{8}{8x} = \frac{9}{8x}$; $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $8x = 24$, $x = 3$. Тексеру: $\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ ✓.
6. $\frac{5}{5x} - \frac{1}{5x} = \frac{4}{5x}$; $\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$, $5x = 30$, $x = 6$. Тексеру: $\frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ ✓.

Жауабы: 1) 5; 2) 3; 3) 4; 4) 4; 5) 3; 6) 6.

№ 524

Құмырада 6 л сүт бар. Сыйымдылықтары $3\frac{1}{2}$ л және $2\frac{1}{2}$ л ыдыстарды пайдаланып, құмырада 4 л сүтті қалай қалдыруға болады?

Қалай ойлаймыз. Құйып, әр қадамнан кейін қайда қанша сүт бар екенін жазамыз. Кесте жасаған ыңғайлы.

Шешуі.

Тексеру: әр жолда барлығы 6 л.

Жауабы: кестедегідей 7 құйып-аударумен; құмырада 4 л қалады.

№ 525

Дәлелдеңдер: 1) $\frac{4444 \cdot 4444}{1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1} - \frac{5555 \cdot 5555}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1} = 0$; 2) $\frac{22222 \cdot 22222}{1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1} - \frac{33333 \cdot 33333}{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1} = 0$.

Қалай ойлаймыз. Әдемі бір айла бар: $1 + 2 + \ldots + n + \ldots + 2 + 1 = n \cdot n$. Өзің тексер: $1 + 2 + 1 = 4 = 2 \cdot 2$, $1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = 3 \cdot 3$.

Шешуі.

1. Бөлімдерінде $4 \cdot 4 = 16$ және $5 \cdot 5 = 25$. $4444 = 4 \cdot 1111$, сондықтан $\frac{4444 \cdot 4444}{16} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 1111 \cdot 1111}{16} = 1111 \cdot 1111$. $5555 = 5 \cdot 1111$, сондықтан $\frac{5555 \cdot 5555}{25} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 1111 \cdot 1111}{25} = 1111 \cdot 1111$. Азайғыш азайтқышқа тең — айырма 0.
2. Бөлімдерінде 16 және $6 \cdot 6 = 36$. $22222 = 2 \cdot 11111$: $\frac{22222 \cdot 22222}{16} = \frac{4 \cdot 11111 \cdot 11111}{16} = \frac{11111 \cdot 11111}{4}$. $33333 = 3 \cdot 11111$: $\frac{33333 \cdot 33333}{36} = \frac{9 \cdot 11111 \cdot 11111}{36} = \frac{11111 \cdot 11111}{4}$. Бөлшектер тең — айырма 0.

Жауабы: екі жағдайда да азайғыш азайтқышқа тең, сондықтан айырма 0-ге тең.

№ 526

Шебер тапсырманы 5 сағатта, ал оның үйренушісі 7 сағатта орындайды. Шебер 2 сағат, оның үйренушісі 3 сағат жұмыс істеген соң, тапсырманың қандай бөлігі орындалмай қалды?

Қалай ойлаймыз. «Жұмысқа» берілген есеп: 1 сағатта шебер тапсырманың $\frac{1}{5}$ бөлігін, үйренуші $\frac{1}{7}$ бөлігін істейді.

Шешуі.

1. Шебер 2 сағатта: тапсырманың $\frac{2}{5}$ бөлігін.
2. Үйренуші 3 сағатта: тапсырманың $\frac{3}{7}$ бөлігін.
3. Бірге: $\frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{29}{35}$.
4. Қалғаны: $1 - \frac{29}{35} = \frac{6}{35}$.

Жауабы: тапсырманың $\frac{6}{35}$ бөлігі.

№ 527

Бақылау жұмысынан сыныптағы оқушылардың $\frac{1}{6}$-і «5», $\frac{1}{3}$-і «4» алды. Сыныптағы 15 оқушы бақылау жұмысынан «5» және «4» алды. Сыныпта бақылау жұмысына барлығы неше оқушы қатысты?

Қалай ойлаймыз. Осы 15 адам сыныптың қандай бөлігін құрайтынын анықтаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ сынып.
2. Жартысы — 15 оқушы, демек бүкіл сынып $15 \cdot 2 = 30$.

Жауабы: 30 оқушы.

№ 528

Әңгімедегі сөздердің $\frac{2}{15}$-сі етістіктер, ал зат есімдер одан $\frac{1}{6}$-ге (барлық сөздің) артық. Егер әңгімедегі 36 сөз зат есім болса, әңгімеде барлығы неше сөз бар? Неше сөз етістік?

Қалай ойлаймыз. Алдымен зат есімдер барлық сөздің қандай үлесін құрайтынын анықтаймыз. Сосын үлесі мен санына қарап бүтінін табамыз.

Шешуі. Зат есімдер — сөздердің $\frac{3}{10}$ бөлігі, бұл 36. Барлығы $36 : 3 \cdot 10 = 120$ сөз, етістік $120 : 15 \cdot 2 = 16$.

Жауабы: барлығы 120 сөз, етістік — 16.

№ 529

Ерболдың әкесі оның алдында 240 м қашықтықта 70 м/мин жылдамдықпен жүріп барады. Итімен келе жатқан Ербол әкесінің соңынан 130 м/мин жылдамдықпен жүгірді. Сол кезде ит Ерболдан Ерболдың әкесіне қарай және одан кері қайтып Ерболға қарай, т.с.с. 160 м/мин жылдамдықпен жүгірді. Ит Ербол әкесін қуып жеткенше жүгірді. Ит неше метр жүгірді?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа арналған есеп. Иттің ары-бері жүгірістерін санаудың қажеті жоқ. Оның қанша уақыт жүгіргенін білсек жеткілікті.

Шешуі.

1. Ербол әкесіне $130 - 70 = 60$ м/мин жылдамдықпен жақындайды.
2. Қуып жетеді: $240 : 60 = 4$ мин.
3. Ит 4 минуттың бәрінде жүгірді: $160 \cdot 4 = 640$ м.

Жауабы: 640 м.

№ 530

3.34-суреттегі фигураның көлемін табыңдар. Фигура — өлшемі $7 \times 6 \times 4$ дм білеу, оны тікбұрышты тесік тесіп өтеді; алдыңғы жағында тесіктен әр шетке дейін 2 дм-ден.

Қалай ойлаймыз. Тұтас білеудің көлемінен «тесіктің» көлемін алып тастаймыз. Тесік те тікбұрышты параллелепипед.

Шешуі.

1. Тұтас білеу: $7 \cdot 6 \cdot 4 = 168$ дм³.
2. Тесік: ені $7 - 2 - 2 = 3$ дм, биіктігі $6 - 2 - 2 = 2$ дм, тереңдігі 4 дм. Көлемі $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ дм³.
3. Фигура: $168 - 24 = 144$ дм³.

Жауабы: 144 дм³.

№ 531

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, $a$-ның мәнін табыңдар: 1) $\frac{18}{a + 23} = \frac{3}{5}$; 2) $\frac{4}{7} = \frac{8 + 2a}{21}$; 3) $\frac{5}{12} = \frac{30}{44 + 7a}$; 4) $\frac{1}{9} = \frac{5a - 14}{54}$; 5) $\frac{3}{8} = \frac{21}{4(a + 8)}$; 6) $\frac{14}{45} = \frac{7(a - 5)}{90}$.

Қалай ойлаймыз. Бір бөлшектің белгілі мүшесі екіншісіндегі сондай мүшеден неше есе үлкен екенін қараймыз. Екінші мүшелері де сонша есе өзгешеленеді. Мысалы, $\frac{8}{15} = \frac{24}{4a + 9}$: $24 : 8 = 3$, демек $4a + 9 = 45$, $a = 9$.

Шешуі.

1. $18 : 3 = 6$, демек $a + 23 = 5 \cdot 6 = 30$, $a = 7$;
2. $21 : 7 = 3$, демек $8 + 2a = 4 \cdot 3 = 12$, $2a = 4$, $a = 2$;
3. $30 : 5 = 6$, демек $44 + 7a = 12 \cdot 6 = 72$, $7a = 28$, $a = 4$;
4. $54 : 9 = 6$, демек $5a - 14 = 1 \cdot 6 = 6$, $5a = 20$, $a = 4$;
5. $21 : 3 = 7$, демек $4(a + 8) = 8 \cdot 7 = 56$, $a + 8 = 14$, $a = 6$;
6. $90 : 45 = 2$, демек $7(a - 5) = 14 \cdot 2 = 28$, $a - 5 = 4$, $a = 9$.

Жауабы: 1) 7; 2) 2; 3) 4; 4) 4; 5) 6; 6) 9.

Жадынама

• Бөлім — үлестердің «аты», оны қоспайды.
• Әртүрлі үлестерді алдымен бірдей етеміз, сосын алымдарын есептейміз.
• Көбейткішті бөлшектің үстіне жазып, алымын да, бөлімін де көбейтеміз.
• Қосынды қосылғыштан кіші болмайды — қатені осылай оңай ұстайсың.

Шағын тест