4.12. Бөлшектерден тұратын сандар тізбектері

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 90–91-беттер.

Нені үйренесің

• Бөлшектер қатарға қандай заңдылықпен жазылғанын табуды.
• Тізбекті алға жалғастыруды және артқа қарай қалпына келтіруді.
• Ортадағы жетіспейтін сандарды табуды.
• $a_n$ жазуын түсініп, формула бойынша мүшелерін табуды.

Тақырыпты талдаймыз

Кезекте тұрған сандар

Сандар тізбегі — белгілі бір заңдылықпен ретімен тізілген сандар, сызғыққа тұрған оқушылар сияқты. Әр сан — тізбектің мүшесі, және әрқайсысының өз нөмірі бар. Нөмірі $n$ мүшені $a_n$ деп белгілейді: $a_1$ — бірінші, $a_2$ — екінші және т.с.с.

Бұрын кезекте натурал сандар тұрды. Енді онда жай және ондық бөлшектер тұрады — бірақ заңдылықтар сол.

Бірінші заңдылық: бірдей санға секіреміз

$1;\ 1\frac{1}{2};\ 2;\ 2\frac{1}{2};\ \ldots$ қатарына қара. Әр жолы $\frac{1}{2}$ қосылады — тең секірістермен секіретін шегіртке сияқты.

Әрі қарай $3\frac{1}{2}$, содан кейін $4$ болады. Артқа қарай да секіруге болады — онда әр жолы азайтамыз.

Екінші заңдылық: бірдей санға көбейтеміз

$0{,}03;\ 0{,}06;\ 0{,}12;\ \ldots$ қатары басқаша өседі: әр жолы сан екі еселенеді. Келесісі: $0{,}12 \cdot 2 = 0{,}24$. Егер әр аптада жинақ қорапқа ондағы ақшаның дәл өзіндей қосып отырсаң, ақша осылай өседі.

📌 Заңдылықты қалай табамыз: алдымен көршілердің айырмасын тап. Айырма барлық жерде бірдей болса — «қосамыз» заңдылығы. Болмаса — келесісін алдыңғысына бөл. Бөлінді бірдей болса — «көбейтеміз» заңдылығы.

⚠️ Жиі кететін қате. Заңдылықты тек алғашқы екі санға қарап тексереді. $0{,}5;\ 1{,}5;\ 4{,}5$ қатарында алғашқы екі санның айырмасы 1, ал қол өзі 5,5 деп жазады. Бірақ $4{,}5 - 1{,}5 = 3$, ал 1 емес! Мұнда заңдылық — «3-ке көбейтеміз». Заңдылықты кем дегенде үш-төрт санмен тексер.

Артқа қалай қадам басамыз

Бірінші саннан бұрынғы санды табу үшін кері амал орында. Алға қарай қосқан болсақ — артқа қарай азайтамыз. Алға қарай 2-ге көбейткен болсақ — артқа қарай 2-ге бөлеміз.

Мысал: $\ldots;\ \frac{3}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{5}{11}$. Алға қарай $\frac{1}{11}$ қосады, демек артқа қарай: $\frac{2}{11}$, одан бұрын $\frac{1}{11}$.

Формула бойынша берілген тізбек

Кейде заңдылықты формуламен береді, мысалы $a_n = \frac{1}{n}$. Бұл рецепт сияқты: $n$ орнына нөмірді қойсаң — мүшесін аласың. $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$ және т.с.с.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан жауапты жай жазып қоймай, заңдылықты сөзбен айтқызыңыз: «әрбір келесісі 2 есе көп» немесе «әр жолы тоғыздан бір қосылады». Заңдылық дауыстап айтылса, қате дерлік болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Аралас сандармен бүтіннен өткенде оңай сүріну болады: $2\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 3$. Егер бала $2\frac{9}{9}$ деп жазса, $\frac{9}{9} = 1$ екенін еске салыңыз.

Түсінгеніңді тексер

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1005

Сандар тізбегінің заңдылықтарын анықтап, келесі үш мүшесін жазыңдар: 1) $1;\ 1\frac{1}{2};\ 2;\ 2\frac{1}{2};\ \ldots$; 2) $8;\ 7\frac{3}{4};\ 7\frac{2}{4};\ 7\frac{1}{4};\ \ldots$; 3) $\frac{1}{11};\ \frac{2}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{8}{11};\ \ldots$; 4) $\frac{16}{17};\ \frac{8}{17};\ \frac{4}{17};\ \frac{2}{17};\ \ldots$

Қалай ойлаймыз. Алғашқы екі қатарда қадам бірдей — қосамыз немесе азайтамыз. Соңғы екеуінде алым екі еселенеді немесе екіге бөлінеді.

Шешуі.

1. Әр жолы $+\frac{1}{2}$: $2\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 3$; $3\frac{1}{2}$; $4$.
2. Әр жолы $-\frac{1}{4}$: $7\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 7$; $6\frac{3}{4}$; $6\frac{2}{4}$ (яғни $6\frac{1}{2}$).
3. Алым әр жолы 2-ге көбейтіледі: $\frac{16}{11}$; $\frac{32}{11}$; $\frac{64}{11}$ (яғни $1\frac{5}{11}$; $2\frac{10}{11}$; $5\frac{9}{11}$).
4. Әр жолы 2-ге бөлеміз: $\frac{2}{17} : 2 = \frac{1}{17}$; $\frac{1}{17} : 2 = \frac{1}{34}$; $\frac{1}{34} : 2 = \frac{1}{68}$.

Жауабы: 1) $3;\ 3\frac{1}{2};\ 4$; 2) $7;\ 6\frac{3}{4};\ 6\frac{1}{2}$; 3) $1\frac{5}{11};\ 2\frac{10}{11};\ 5\frac{9}{11}$; 4) $\frac{1}{17};\ \frac{1}{34};\ \frac{1}{68}$.

№ 1006

Сандар тізбегінің алдыңғы екі мүшесін жазыңдар: 1) $\ldots;\ \frac{1}{8};\ \frac{1}{16};\ \frac{1}{32}$; 2) $\ldots;\ \frac{3}{11};\ \frac{4}{11};\ \frac{5}{11}$; 3) $\ldots;\ \frac{4}{29};\ \frac{8}{29};\ \frac{16}{29}$; 4) $\ldots;\ 7\frac{1}{2};\ 7;\ 6\frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Заңдылықты тауып, кері амал орындаймыз.

Шешуі.

1. Алға қарай 2-ге бөледі, артқа қарай 2-ге көбейтеміз: $\frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.
2. Алға қарай $+\frac{1}{11}$, артқа қарай азайтамыз: $\frac{2}{11}$, $\frac{1}{11}$.
3. Алға қарай 2-ге көбейтеді, артқа қарай бөлеміз: $\frac{2}{29}$, $\frac{1}{29}$.
4. Алға қарай $-\frac{1}{2}$, артқа қарай қосамыз: $8$, $8\frac{1}{2}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{2};\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{8};\ \ldots$; 2) $\frac{1}{11};\ \frac{2}{11};\ \frac{3}{11};\ \ldots$; 3) $\frac{1}{29};\ \frac{2}{29};\ \frac{4}{29};\ \ldots$; 4) $8\frac{1}{2};\ 8;\ 7\frac{1}{2};\ \ldots$

№ 1007

Сандар тізбегінің ортадағы 2 мүшесін жазып, тізбекті толықтырыңдар: 1) 0,4; 0,7; 1; …; 1,9; 2,2; 2,5; 2) 9,3; 9,1; 8,9; …; 8,3; 8,1; 7,9; 3) 0,03; 0,06; 0,12; …; 0,96; 1,92; 3,84; 4) 9,6; 4,8; 2,4; …; 0,3; 0,15; 0,075.

Қалай ойлаймыз. Ортасында екі сан жетіспейді. Оларды заңдылық бойынша тауып, екіншісінен келесі белгілі сан шығатынын тексереміз.

Шешуі.

1. Әр жолы $+0{,}3$: $1 + 0{,}3 = 1{,}3$; $1{,}3 + 0{,}3 = 1{,}6$; тексеру: $1{,}6 + 0{,}3 = 1{,}9$.
2. Әр жолы $-0{,}2$: $8{,}7$; $8{,}5$; тексеру: $8{,}5 - 0{,}2 = 8{,}3$.
3. Әр жолы $\cdot 2$: $0{,}24$; $0{,}48$; тексеру: $0{,}48 \cdot 2 = 0{,}96$.
4. Әр жолы $: 2$: $1{,}2$; $0{,}6$; тексеру: $0{,}6 : 2 = 0{,}3$.

Жауабы: 1) 1,3; 1,6; 2) 8,7; 8,5; 3) 0,24; 0,48; 4) 1,2; 0,6.

№ 1008

Сандар тізбегінің 6 мүшесін жазыңдар. Оның бірінші мүшесі $\frac{1}{4}$-ге тең, ал әрбір келесі мүшесі алдыңғысынан $\frac{1}{2}$-ге артық.

Қалай ойлаймыз. Қосуға ыңғайлы болу үшін $\frac{1}{2}$ санын ширектермен жаз: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

Шешуі. Әр жолы $\frac{2}{4}$ қосамыз: $\frac{1}{4};\ \frac{3}{4};\ \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4};\ 1\frac{3}{4};\ 2\frac{1}{4};\ 2\frac{3}{4}$.

Жауабы: $\frac{1}{4};\ \frac{3}{4};\ 1\frac{1}{4};\ 1\frac{3}{4};\ 2\frac{1}{4};\ 2\frac{3}{4}$.

B деңгейі

№ 1009

Сандар тізбегінің заңдылықтарын анықтап, келесі 2 мүшесін жазыңдар: 1) $2\frac{7}{9};\ 2\frac{8}{9};\ 3;\ 3\frac{1}{9};\ \ldots$; 2) $1\frac{1}{3};\ 2\frac{2}{3};\ 4;\ 5\frac{1}{3};\ \ldots$; 3) $\frac{40}{43};\ \frac{30}{43};\ \frac{20}{43};\ \frac{10}{43};\ \ldots$; 4) $9;\ 4\frac{1}{2};\ 2\frac{1}{4};\ 1\frac{1}{8};\ \ldots$

Қалай ойлаймыз. 1–3 қатарларда қадам бірдей, 4-қатарда әр сан алдыңғысынан екі есе кем. 3-қатарда азайту неге жеткенін қара.

Шешуі.

1. Әр жолы $+\frac{1}{9}$: $3\frac{2}{9}$; $3\frac{3}{9} = 3\frac{1}{3}$.
2. Әр жолы $+1\frac{1}{3}$: $5\frac{1}{3} + 1\frac{1}{3} = 6\frac{2}{3}$; $6\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = 8$.
3. Әр жолы $-\frac{10}{43}$: $\frac{10}{43} - \frac{10}{43} = 0$. Әрі қарай азайтуға болмайды: 5-сыныпта нөлден ештеңе азайтпайды. Сондықтан бізге таныс сандардан тек бір ғана мүшесін жазуға болады — 0.
4. Әр жолы 2-ге бөлеміз: $1\frac{1}{8} : 2 = \frac{9}{8} : 2 = \frac{9}{16}$; $\frac{9}{16} : 2 = \frac{9}{32}$.

Жауабы: 1) $3\frac{2}{9};\ 3\frac{1}{3}$; 2) $6\frac{2}{3};\ 8$; 3) 0 (әрі қарай тізбек бізге таныс сандармен жалғаспайды); 4) $\frac{9}{16};\ \frac{9}{32}$.

№ 1010

Сандар тізбегінің заңдылықтарын анықтап алып, оның 2 алдыңғы мүшесін және 2 соңғы мүшесін жазыңдар: 1) …; 3,7; 4,9; 6,1; 7,3; …; 2) …; 0,18; 0,54; 1,62; 4,86; …; 3) …; 20,8; 10,4; 5,2; 2,6; ….

Қалай ойлаймыз. Алдымен айырмасын, содан кейін бөліндісін тексер. Алға қарай — заңдылық бойынша, артқа қарай — кері амалмен.

Шешуі.

1. Айырма $4{,}9 - 3{,}7 = 1{,}2$, әрі қарай да солай. Артқа: $3{,}7 - 1{,}2 = 2{,}5$; $2{,}5 - 1{,}2 = 1{,}3$. Алға: $7{,}3 + 1{,}2 = 8{,}5$; $9{,}7$.
2. $0{,}54 : 0{,}18 = 3$, $1{,}62 : 0{,}54 = 3$ — 3-ке көбейтеміз. Артқа 3-ке бөлеміз: $0{,}18 : 3 = 0{,}06$; $0{,}06 : 3 = 0{,}02$. Алға: $4{,}86 \cdot 3 = 14{,}58$; $14{,}58 \cdot 3 = 43{,}74$.
3. Әр жолы 2-ге бөлеміз. Артқа 2-ге көбейтеміз: $41{,}6$; $83{,}2$. Алға: $2{,}6 : 2 = 1{,}3$; $1{,}3 : 2 = 0{,}65$.

Жауабы: 1) 1,3; 2,5; 3,7; 4,9; 6,1; 7,3; 8,5; 9,7. 2) 0,02; 0,06; 0,18; …; 4,86; 14,58; 43,74. 3) 83,2; 41,6; 20,8; …; 2,6; 1,3; 0,65.

№ 1011

$a_n = \frac{1}{n^2}$ формуласымен берілген сандар тізбегінің алғашқы 5 мүшесін жазып, кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. $n^2$ — нөмірді өзіне көбейту. Нөмірді қойып, бөлімін есептейміз.

Шешуі.

Жауабы: $1;\ \frac{1}{4};\ \frac{1}{9};\ \frac{1}{16};\ \frac{1}{25}$.

C деңгейі

№ 1012

Сандар тізбегінің заңдылықтарын анықтаңдар. Сандар тізбегінің ортадағы 2 мүшесін жазып, тізбекті толықтырыңдар: 1) 0,5; 1,5; 4,5; …; 121,5; 364,5; …; 2) 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; …; 38,4; 76,8; 153,6; …; 3) 0,07; 0,21; 0,63; …; 17,01; 51,03; 153,09; ….

Қалай ойлаймыз. Көршілердің айырмасы әртүрлі — демек, «көбейтеміз» заңдылығы. Көбейткішті бөлу арқылы табамыз.

Шешуі.

1. $1{,}5 : 0{,}5 = 3$. 3-ке көбейтеміз: $4{,}5 \cdot 3 = 13{,}5$; $13{,}5 \cdot 3 = 40{,}5$; тексеру: $40{,}5 \cdot 3 = 121{,}5$. Әрі қарай: $364{,}5 \cdot 3 = 1093{,}5$.
2. 2-ге көбейтеміз: $4{,}8 \cdot 2 = 9{,}6$; $9{,}6 \cdot 2 = 19{,}2$; тексеру: $19{,}2 \cdot 2 = 38{,}4$. Әрі қарай: $307{,}2$.
3. $0{,}21 : 0{,}07 = 3$. 3-ке көбейтеміз: $0{,}63 \cdot 3 = 1{,}89$; $1{,}89 \cdot 3 = 5{,}67$; тексеру: $5{,}67 \cdot 3 = 17{,}01$. Әрі қарай: $153{,}09 \cdot 3 = 459{,}27$.

Жауабы: 1) 13,5; 40,5 (келесісі 1093,5); 2) 9,6; 19,2 (келесісі 307,2); 3) 1,89; 5,67 (келесісі 459,27).

№ 1013

Сандар тізбегінің $n$-ші мүшесінің формуласын жазыңдар: 1) $2;\ 3\frac{1}{2};\ 5;\ 6\frac{1}{2};\ \ldots$, $a_n = ?$; 2) $\frac{2}{3};\ 1;\ 1\frac{1}{3};\ 1\frac{2}{3};\ \ldots$, $a_n = ?$; 3) $5;\ 0{,}5;\ 0{,}05;\ 0{,}005;\ \ldots$, $a_n = ?$

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Мүшелерді нөмірлерімен қатар жазып, нөмірден мүшені қалай алуға болатынын ізде.

Шешуі.

1. Әр жолы $1\frac{1}{2}$ қосылады. Нөмірі $n$ мүшені бірінші мүшеге $1\frac{1}{2}$ санын дәл $(n - 1)$ рет қосқанда аламыз: $a_n = 2 + 1\frac{1}{2} \cdot (n - 1)$. Ықшамдайық: $a_n = 1\frac{1}{2}n + \frac{1}{2} = \frac{3n + 1}{2}$. Тексеру: $a_1 = \frac{4}{2} = 2$, $a_2 = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{10}{2} = 5$. Дұрыс.
2. Барлық мүшелерді үштен бөліктермен жазайық: $\frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{4}{3},\ \frac{5}{3}$. Алым нөмірден бір артық: $a_n = \frac{n + 1}{3}$. Тексеру: $a_1 = \frac{2}{3}$, $a_2 = \frac{3}{3} = 1$, $a_3 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Дұрыс.
3. Әр жолы 10-ға бөлеміз. Бірінші мүше 5, екінші $5 : 10$, үшінші $5 : 100$, … Нөмірі $n$ мүше — 5 санын дәл $(n - 1)$ рет 10-ға бөлгенге тең: $a_n = \frac{5}{10^{n-1}}$. Тексеру: $a_1 = \frac{5}{10^0} = \frac{5}{1} = 5$, $a_3 = \frac{5}{100} = 0{,}05$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $a_n = \frac{3n + 1}{2}$ (немесе $a_n = 2 + 1\frac{1}{2}(n - 1)$); 2) $a_n = \frac{n + 1}{3}$; 3) $a_n = \frac{5}{10^{n-1}}$.

📌 Қазақша басылымда шарт басқа. Орысша басылымда 2-қатар $\frac{1}{3};\ \frac{2}{3};\ 1;\ \ldots$ деп басталады, ал қазақшада — $\frac{2}{3};\ 1;\ 1\frac{1}{3};\ \ldots$. Сондықтан формула да басқа: $a_n = \frac{n + 1}{3}$.

№ 1014

Сандар тізбегінің 5 мүшесін жазыңдар. Сандар тізбегінің бірінші мүшесі $\frac{3}{4}$-ке тең, ал әрбір келесі мүшесі алдыңғысының 2-ге көбейтіндісіне тең.

Қалай ойлаймыз. Әр жолы 2-ге көбейтеміз. $\frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$ екенін ұмытпа.

Шешуі. $\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$; $1\frac{1}{2} \cdot 2 = 3$; $3 \cdot 2 = 6$; $6 \cdot 2 = 12$.

Жауабы: $\frac{3}{4};\ 1\frac{1}{2};\ 3;\ 6;\ 12$.

Жадынама

• Алдымен көршілердің айырмасын, содан кейін бөліндісін іздейміз.
• Заңдылықты екі санмен емес, бірнеше санмен тексереміз.
• Артқа кері амалмен барамыз: $+$ орнына $-$, $\cdot$ орнына $:$.
• Бүтіннен өткенде: $2\frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 3$.

Шағын тест