4.2. Ондық бөлшекті жай бөлшекке, жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 24–29-беттер.

Нені үйренесің

• Кез келген ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыруды: $1{,}29 = 1\frac{29}{100}$.
• Жай бөлшекті бөлімін 10, 100, 1000 санына келтіру арқылы ондық бөлшекке айналдыруды.
• Бөлімге бір қарағанда-ақ ондық бөлшек шығатынын-шықпайтынын білуді.
• «Алтын жетіні» жаттауды: $\frac{1}{2} = 0{,}5$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$ және тағы үшеуі.

Ой қозғау

Бөлшектің негізгі қасиетін еске түсір: алымы мен бөлімін бір санға көбейтсе, бөлшек өзгермейді. Қандай санға көбейтеміз?

• $\frac{1}{2} = \frac{?}{10}$ 5-ке: $\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$.
• $\frac{1}{5} = \frac{?}{10}$ 2-ге: $\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$.
• $\frac{3}{4} = \frac{?}{100}$ 25-ке: $\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100}$.
• $\frac{9}{20} = \frac{?}{100}$ 5-ке: $\frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100}$.
• $\frac{7}{25} = \frac{?}{100}$ 4-ке: $\frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100}$.
• $\frac{1}{125} = \frac{?}{1000}$ 8-ге: $\frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000}$.

💡 Көбейткішті қалай тез табуға болады? Шағын теңдеу шеш. $\frac{3}{20}$ үшін $y$ іздейміз: $20 \cdot y = 100$, демек $y = 5$ және $\frac{3}{20} = \frac{15}{100}$.

Тақырыпты талдаймыз

Ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыру — өте оңай

Ондық бөлшек өзінің бөлімін өзі айтып тұрады. Бөлім — бірдің оң жағына үтірден кейінгі цифр санындай нөл жазғанға тең.

1. Үтірге дейінгі цифрлар — бүтін бөлігі.
2. Үтірден кейінгі цифрлар — алымы.
3. Бөлімге 1 жазып, оның оң жағына үтірден кейін неше цифр болса, сонша нөл тіркейміз.

Қара: $1{,}29 = 1\frac{29}{100}$ (екі цифр — жүздік бөліктер), $0{,}401 = \frac{401}{1000}$ (үш цифр — мыңдық бөліктер), $5{,}07 = 5\frac{7}{100}$ (алымның алдындағы нөлді жазбаймыз, бірақ бөлім бәрібір 100).

Көбіне бөлшекті әрі қарай қысқартуға да болады: $0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Бұл — ширек.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}07$ санын $\frac{7}{10}$ деп жазады. «Үтірден кейін қандай сан тұр» деп емес, неше цифр тұрғанын санап қара. $0{,}07$ санында олар екеу — демек, $\frac{7}{100}$.

Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру — бөлімді келтіреміз

Мұнда бөлімнің орнында 10, 100 немесе 1000 болуы керек. Сонда бөлшекті бірден үтірмен жазуға болады. Қарашы: жарты және оннан бес — бір-ақ кесек.

$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35$.

$8\frac{3}{4} = 8\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = 8\frac{75}{100} = 8{,}75$. Бүтін бөлігі үтірдің алдында өзгеріссіз қалады.

Неге үштен бірін ондық бөлшекпен жазу мүмкін емес

Дөңгелек сандарды жай көбейткіштерге жіктейік:

$10 = 2 \cdot 5$, $\quad 100 = 2^2 \cdot 5^2$, $\quad 1000 = 2^3 \cdot 5^3$.

Тек екі мен бестер — басқа ештеңе жоқ! Демек, бөлімде үш, жеті немесе басқа «бөгде» көбейткіш отырса, оны қандай санға көбейтсең де 10, 100 немесе 1000 етіп шығара алмайсың.

📌 Қысқартылмайтын жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде тек бөлімі тек екі мен бестерге ғана жіктелсе жазуға болады. Бір ғана басқа жай көбейткіш (3, 7, 11, 13…) болса — болмайды.

Тексерейік: $\frac{3}{4}$ — $4 = 2 \cdot 2$, болады ($0{,}75$). $\frac{2}{15}$ — $15 = 3 \cdot 5$, үш бар, болмайды. $\frac{7}{20}$ — $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, болады ($0{,}35$). $\frac{5}{6}$ — $6 = 2 \cdot 3$, болмайды.

Көбейткішті қалай таңдаймыз? Екі мен бестердің санын теңестір. $25 = 5 \cdot 5$ санында екі екі жетіспейді — $2 \cdot 2 = 4$-ке көбейтеміз: $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бөлшекті қысқартпай-ақ бөліміне қарап үкім шығарады. $\frac{3}{15}$ үшке байланысты «жаман» көрінеді, бірақ $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2$. Алдымен қысқарт, содан кейін шешім қабылда.

Егер бөлшек ондыққа айналмаса (мысалы, $\frac{1}{12}$ немесе $\frac{2}{13}$), бүкіл мысалды жай бөлшектермен орындайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Қысқа кестені бірге жаттаңыздар: $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $\frac{1}{4} = 0{,}25$; $\frac{3}{4} = 0{,}75$; $\frac{1}{5} = 0{,}2$; $\frac{1}{10} = 0{,}1$; $\frac{1}{20} = 0{,}05$; $\frac{1}{25} = 0{,}04$. Екі жаққа да араластырып сұраңыз: «0,75 — бұл қанша?», «бестен бір — қандай ондық бөлшек?».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшек жай бөлшек түрінде қалай жазылады? Бүтін бөлігі қалады, үтірден кейінгі цифрлар — алымына, бөліміне 1 және үтірден кейін неше цифр болса, сонша нөл жазылады. Мысалы, $3{,}9 = 3\frac{9}{10}$, $0{,}045 = \frac{45}{1000} = \frac{9}{200}$.
• Қандай қысқартылмайтын жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болады? Бөлімі тек 2 және 5 көбейткіштеріне жіктелетін бөлшекті.
• Қандай бөлімдер жарайды? Тек екі мен бестерден құралатындарының бәрі: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, … Олар шексіз көп.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 735

Бөлшектердің қайсысын ондық бөлшек түрінде жазуға болады? Қайсысын ондық бөлшек түрінде жазуға болмайды: $\frac{3}{4}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{3}{20}$; $\frac{3}{23}$; $\frac{3}{25}$?

Қалай ойлаймыз. Бөлшектердің бәрі қысқартылмайды — алым 3 ешқайсысымен қысқармайды. Демек, тек бөлімге қараймыз: онда 2 мен 5-тен басқа «бөгде» көбейткіш жоқ па.

Шешуі.

• $4 = 2 \cdot 2$ — болады ($0{,}75$);
• $5$ — болады ($0{,}6$);
• $7$ — болмайды;
• $10 = 2 \cdot 5$ — болады ($0{,}3$);
• $11$ — болмайды;
• $20 = 2^2 \cdot 5$ — болады ($0{,}15$);
• $23$ — болмайды;
• $25 = 5^2$ — болады ($0{,}12$).

Жауабы: болады: $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{10}$, $\frac{3}{20}$, $\frac{3}{25}$; болмайды: $\frac{3}{7}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{3}{23}$.

A деңгейі

№ 736

Ондық бөлшек түрінде жазуға болатын жай бөлшектерді теріп жазыңдар. Оларды ондық бөлшек түрінде жазыңдар: $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{4}{7}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{2}{15}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{5}{22}$; $\frac{8}{25}$; $\frac{13}{50}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен «жаман» бөлімдерді іріктеп аламыз, содан кейін қалғандарын 10-ға немесе 100-ге келтіреміз.

Шешуі. 6, 7, 15, 22 бөлімдерінде 3, 7, 3, 11 отыр — бұл бөлшектер жарамайды. Қалғандарын айналдырамыз:

1. $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$;
2. $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$;
3. $\frac{3}{10} = 0{,}3$;
4. $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0{,}45$;
5. $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 0{,}32$;
6. $\frac{13}{50} = \frac{26}{100} = 0{,}26$.

Жауабы: $0{,}5$; $0{,}4$; $0{,}3$; $0{,}45$; $0{,}32$; $0{,}26$. $\frac{5}{6}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{2}{15}$, $\frac{5}{22}$ бөлшектері ондық бөлшек түрінде жазылмайды.

№ 737

Жай бөлшек түрінде жазыңдар: 0,3; 0,01; 0,21; 0,101; 0,813; 0,997; 0,7; 0,09; 0,83; 0,011; 0,013; 0,007.

Қалай ойлаймыз. Үтірден кейінгі цифрларды санаймыз: біреу — бөлімі 10, екеу — 100, үшеу — 1000.

Шешуі.

Жауабы: кестеде.

№ 738

1) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{4}{5}$ бөлшектерінің бөлімін 10 санына келтіріп, ондық бөлшек түрінде жазыңдар. 2) $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{20}$; $\frac{8}{25}$; $\frac{7}{25}$; $\frac{1}{50}$ бөлшектерінің бөлімін 100 санына келтіріп, ондық бөлшек түрінде жазыңдар. 3) $\frac{6}{125}$; $\frac{3}{250}$; $\frac{7}{200}$; $\frac{9}{500}$ бөлшектерінің бөлімін 1000 санына келтіріп, ондық бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосымша көбейткіш = жаңа бөлім : ескі бөлім. Мысалы, $1000 : 125 = 8$.

Шешуі.

1. $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5$; $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4$; $\frac{7}{5} = \frac{14}{10} = 1{,}4$; $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$.
2. $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$; $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15$; $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 0{,}32$; $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0{,}28$; $\frac{1}{50} = \frac{2}{100} = 0{,}02$.
3. $\frac{6}{125} = \frac{48}{1000} = 0{,}048$ (көбейткіш 8); $\frac{3}{250} = \frac{12}{1000} = 0{,}012$ (көбейткіш 4); $\frac{7}{200} = \frac{35}{1000} = 0{,}035$ (көбейткіш 5); $\frac{9}{500} = \frac{18}{1000} = 0{,}018$ (көбейткіш 2).

Жауабы: 1) 0,5; 0,4; 1,4; 0,8; 2) 0,25; 0,15; 0,32; 0,28; 0,02; 3) 0,048; 0,012; 0,035; 0,018.

№ 739

Кестені толтырыңдар: аралас сандар $2\frac{1}{4}$; $5\frac{1}{2}$; $7\frac{3}{5}$; $9\frac{7}{20}$; $11\frac{2}{25}$; $4\frac{11}{50}$ — ондық бөлшектермен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлігі өзгермейді. Тек бөлшек бөлігін ғана айналдырамыз.

Шешуі.

Жауабы: 2,25; 5,5; 7,6; 9,35; 11,08; 4,22.

B деңгейі

№ 740

1) Дұрыс бөлшек түрінде жазып, қысқартыңдар: 0,08; 0,06; 0,032; 0,0625; 0,005; 0,0056; 0,8004. 2) Аралас сан түрінде жазып, қысқартыңдар: 2,075; 4,004; 5,064; 17,0875; 43,008.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлшекті үтірден кейінгі таңба санына қарай «сол күйінде» жазамыз, содан кейін неге қысқартуға болатынын іздейміз. Дөңгелек бөлімдердің бөлгіштері — екілер мен бестер, сондықтан 2, 4, 8, 5, 25… сандарын сынап көреміз.

Шешуі. 1)

• $0{,}08 = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ (4-ке қысқарттық);
• $0{,}06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$ (2-ге);
• $0{,}032 = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$ (8-ге);
• $0{,}0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$ (625-ке);
• $0{,}005 = \frac{5}{1000} = \frac{1}{200}$ (5-ке);
• $0{,}0056 = \frac{56}{10000} = \frac{7}{1250}$ (8-ге);
• $0{,}8004 = \frac{8004}{10000} = \frac{2001}{2500}$ (4-ке).

• $2{,}075 = 2\frac{75}{1000} = 2\frac{3}{40}$ (25-ке);
• $4{,}004 = 4\frac{4}{1000} = 4\frac{1}{250}$ (4-ке);
• $5{,}064 = 5\frac{64}{1000} = 5\frac{8}{125}$ (8-ге);
• $17{,}0875 = 17\frac{875}{10000} = 17\frac{7}{80}$ (125-ке);
• $43{,}008 = 43\frac{8}{1000} = 43\frac{1}{125}$ (8-ге).

Жауабы: 1) $\frac{2}{25}$; $\frac{3}{50}$; $\frac{4}{125}$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{200}$; $\frac{7}{1250}$; $\frac{2001}{2500}$; 2) $2\frac{3}{40}$; $4\frac{1}{250}$; $5\frac{8}{125}$; $17\frac{7}{80}$; $43\frac{1}{125}$.

📌 Қазақша басылымда сан басқа. Орысша басылымда төртінші сан 17,0075 болса, қазақшада 17,0875 жазылған. Сондықтан жауап та басқа: $17\frac{7}{80}$.

№ 741

Аралас сандарды ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $3\frac{1}{20}$; $2\frac{3}{50}$; $4\frac{8}{25}$; $7\frac{11}{20}$; $12\frac{4}{25}$; $9\frac{13}{50}$; 2) $2\frac{5}{8}$; $1\frac{6}{125}$; $3\frac{17}{200}$; $8\frac{9}{250}$; $7\frac{3}{500}$; $6\frac{7}{8}$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші қатарда барлық бөлімдер 100-ге келтіріледі. Екіншісінде — 1000-ға: $8 \cdot 125 = 1000$, $125 \cdot 8$, $200 \cdot 5$, $250 \cdot 4$, $500 \cdot 2$.

Шешуі.

1. $3\frac{5}{100} = 3{,}05$; $2\frac{6}{100} = 2{,}06$; $4\frac{32}{100} = 4{,}32$; $7\frac{55}{100} = 7{,}55$; $12\frac{16}{100} = 12{,}16$; $9\frac{26}{100} = 9{,}26$.
2. $2\frac{625}{1000} = 2{,}625$; $1\frac{48}{1000} = 1{,}048$; $3\frac{85}{1000} = 3{,}085$; $8\frac{36}{1000} = 8{,}036$; $7\frac{6}{1000} = 7{,}006$; $6\frac{875}{1000} = 6{,}875$.

Жауабы: 1) 3,05; 2,06; 4,32; 7,55; 12,16; 9,26; 2) 2,625; 1,048; 3,085; 8,036; 7,006; 6,875.

№ 742

Жай бөлшектерді қысқартып, ондық бөлшек түрінде жазыңдар: $\frac{12}{15}$; $\frac{21}{35}$; $\frac{12}{30}$; $\frac{45}{50}$; $\frac{18}{90}$; $\frac{56}{80}$; $\frac{9}{12}$; $\frac{21}{60}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен неге қысқарту керек екені осыдан көрінеді! $\frac{12}{15}$ мен $\frac{9}{12}$ бөлімінде үш бар, бірақ қысқартқаннан кейін ол жоғалады.

Шешуі.

• $\frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0{,}8$;
• $\frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0{,}6$;
• $\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0{,}4$;
• $\frac{45}{50} = \frac{9}{10} = 0{,}9$;
• $\frac{18}{90} = \frac{1}{5} = 0{,}2$;
• $\frac{56}{80} = \frac{7}{10} = 0{,}7$;
• $\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0{,}75$;
• $\frac{21}{60} = \frac{7}{20} = 0{,}35$.

Жауабы: 0,8; 0,6; 0,4; 0,9; 0,2; 0,7; 0,75; 0,35.

№ 743

Сыныпта 10 ұл, 15 қыз бар. Ұлдар сыныптағы барлық оқушылардың қандай бөлігін құрайды? Қыздар қандай бөлігін құрайды? Жауабын ондық бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлігі = ұлдардың саны : барлық оқушылар саны. Жай бөлшек шығады — оны қысқартып, айналдырамыз.

Шешуі.

1. Барлық оқушы: $10 + 15 = 25$.
2. Ұлдар: $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.
3. Қыздар: $\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

Тексеру: $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ — бүкіл сынып.

Жауабы: ұлдар — сыныптың 0,4 бөлігі, қыздар — 0,6 бөлігі.

№ 744

Массасы 500 г кіртасын пайдаланып, табақшалы таразымен 3 рет өлшеп, 3 кг 500 г жарманы қалай бөліп алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Айла: өлшеп алынған жарманы кіртасымен бірге табақшаға салуға болады. Сонда «кіртас» әр жолы ауырлай береді.

Шешуі.

1. Кіртасты бір табақшаға, жарманы екіншісіне саламыз — 500 г өлшедік.
2. Бір табақшаға кіртас пен осы 500 г жарманы саламыз (бірге 1 кг). Екінші табақшаға тепе-теңдік болғанша жарма құямыз — 1 кг аламыз.
3. Бір табақшаға кіртас, 500 г және 1 кг жарма саламыз (бірге 2 кг). Екіншісіне 2 кг құямыз.

Өлшенген жарманың бәрін бірге құямыз: $500\text{ г} + 1\text{ кг} + 2\text{ кг} = 3\text{ кг } 500\text{ г}$.

Жауабы: алдымен 500 г, содан кейін 1 кг, содан кейін 2 кг — бәрі бірге 3 кг 500 г.

№ 745

Шамалардың сан мәнін ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) Егін жинайтын комбайн егінді $14\frac{3}{20}$ км/сағ жылдамдықпен жүріп жинайды; 2) Теміржол вагонының биіктігі $3\frac{1}{2}$ м; 3) Жоңғар қақпасының орта бөлігінен соғатын Ебі желінің жылдамдығы $60\frac{4}{5}$ м/с.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлігін қалдырамыз, бөлшек бөлігін ондыққа немесе жүздікке келтіреміз. Бірінші санда $\frac{3}{20}$ бөлшегін 5-ке көбейтіп, бөлімін 100 етеміз.

Шешуі.

1. $14\frac{3}{20} = 14\frac{15}{100} = 14{,}15$ км/сағ.
2. $3\frac{1}{2} = 3\frac{5}{10} = 3{,}5$ м.
3. $60\frac{4}{5} = 60\frac{8}{10} = 60{,}8$ м/с.

🌟 Ебі желі тауларының арасындағы тар өткел — Жоңғар қақпасы арқылы соғады. 60,8 м/с — бұл сағатына 200 км-ден асады, тас жолдағы көліктен де жылдам!

📌 Қазақша басылымда сан басқа. Орысша басылымда комбайн жылдамдығы $14\frac{2}{20}$ км/сағ, ал қазақшада $14\frac{3}{20}$ км/сағ. Сондықтан жауабы 14,1 емес, 14,15.

Жауабы: 14,15 км/сағ; 3,5 м; 60,8 м/с.

№ 746

Айгүл ұзындығы 6 м жүйекке арақашықтығы $d$ см-ден гүл түптерін отырғызды. Айгүл неше түп гүл отырғызды? Мұндағы $d = 20$. Нұсқалар: A. 37 түп; B. 31 түп; C. 25 түп; D. 39 түп.

Қалай ойлаймыз. Бұл — қоршау бағандары туралы есеп: аралықтар түптерден бір кем. Жүйекті 3 аралыққа бөліп сызып көр — 4 түп көресің.

Шешуі.

1. $6\text{ м} = 600$ см.
2. Аралықтар саны: $600 : d$. $d = 20$ болғанда: $600 : 20 = 30$.
3. Түптер аралықтан бір артық: $30 + 1 = 31$.

Жалпы түрде: $600 : d + 1$ түп.

Жауабы: 31 түп (B).

C деңгейі

№ 747

Өрнектердің мәндерін есептемей-ақ, мәндері тең өрнектерден тура теңдік құрастырыңдар: 1) $\frac{3}{4} - 0{,}2$; 2) $0{,}5 - \frac{4}{25}$; 3) $0{,}4 - \frac{3}{20}$; 4) $0{,}45 - \frac{17}{50}$; 5) $\frac{1}{2} - 0{,}16$; 6) $0{,}75 - \frac{1}{5}$; 7) $\frac{9}{20} - 0{,}34$; 8) $\frac{2}{5} - 0{,}15$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жай бөлшектерді ондыққа айналдыр — жұптар өздері бір-бірін «таниды».

Шешуі. $\frac{3}{4} = 0{,}75$; $\frac{1}{5} = 0{,}2$; $\frac{4}{25} = 0{,}16$; $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $\frac{3}{20} = 0{,}15$; $\frac{2}{5} = 0{,}4$; $\frac{17}{50} = 0{,}34$; $\frac{9}{20} = 0{,}45$.

• 1. және 6): екеуі де $0{,}75 - 0{,}2$ тең;
• 2. және 5): екеуі де $0{,}5 - 0{,}16$ тең;
• 3. және 8): екеуі де $0{,}4 - 0{,}15$ тең;
• 4. және 7): екеуі де $0{,}45 - 0{,}34$ тең.

Жауабы: $\frac{3}{4} - 0{,}2 = 0{,}75 - \frac{1}{5}$; $0{,}5 - \frac{4}{25} = \frac{1}{2} - 0{,}16$; $0{,}4 - \frac{3}{20} = \frac{2}{5} - 0{,}15$; $0{,}45 - \frac{17}{50} = \frac{9}{20} - 0{,}34$.

№ 748

Бос орындарға теңдік «тура теңдік» болатындай санды тауып қойыңдар: 1) $7{,}045 = 7\frac{45}{\square}$; 2) $4{,}\square = 4\frac{31}{10000}$; 3) $0{,}0027 = \frac{\square}{10000}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдегі нөлдер саны = үтірден кейінгі цифрлар саны. Бұл ереже екі жаққа да жұмыс істейді.

Шешуі.

1. Үтірден кейін үш цифр — бөлімі 1000.
2. Бөлімі 10 000 — үтірден кейін төрт цифр болуы керек. 31 алымын сол жағынан нөлдермен толықтырамыз: 0031.
3. $0{,}0027$ — бұл он мыңнан жиырма жеті.

Жауабы: 1) $7\frac{45}{1000}$; 2) $4{,}0031$; 3) $\frac{27}{10000}$.

№ 749

Берілген бөлшектерді ондық бөлшек түрінде жазуға бола ма? Егер болса, ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $1\frac{5}{6}$; 2) $\frac{9}{20}$; 3) $2\frac{3}{8}$; 4) $\frac{4}{15}$; 5) $\frac{2}{125}$; 6) $3\frac{4}{5}$; 7) $5\frac{8}{21}$; 8) $\frac{9}{25}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық бөлшек бөліктері қысқартылмайды. Бөлімде «бөгде» көбейткіш бар-жоғын тексереміз, содан кейін ғана айналдырамыз.

Шешуі.

1. $6 = 2 \cdot 3$ — болмайды.
2. $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0{,}45$.
3. $2\frac{3}{8} = 2\frac{375}{1000} = 2{,}375$.
4. $15 = 3 \cdot 5$ — болмайды.
5. $\frac{2}{125} = \frac{16}{1000} = 0{,}016$.
6. $3\frac{4}{5} = 3\frac{8}{10} = 3{,}8$.
7. $21 = 3 \cdot 7$ — болмайды.
8. $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$.

Жауабы: 2) 0,45; 3) 2,375; 5) 0,016; 6) 3,8; 8) 0,36; 1), 4), 7) сандарын ондық бөлшек түрінде жазуға болмайды.

№ 750

Бөлшектердің бөлімдерін жай көбейткіштерге жіктеп, қай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болатынын анықтаңдар. Оларды ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $\frac{17}{600}$; 2) $\frac{14}{125}$; 3) $\frac{17}{200}$; 4) $\frac{51}{105}$; 5) $\frac{31}{500}$; 6) $\frac{11}{150}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлшек қысқармайтынын тексер. Содан кейін ғана бөлімнің көбейткіштеріне қара — әйтпесе 4-тармақтағыдай қателесуге болады.

Шешуі.

1. $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$. Алым 17 санына 3 бөлінбейді — үш қалады. Болмайды.
2. $125 = 5^3$. Болады: $\frac{14}{125} = \frac{14 \cdot 8}{1000} = \frac{112}{1000} = 0{,}112$.
3. $200 = 2^3 \cdot 5^2$. Болады: $\frac{17}{200} = \frac{85}{1000} = 0{,}085$.
4. $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, $51 = 3 \cdot 17$. 3-ке қысқартамыз: $\frac{17}{35}$, $35 = 5 \cdot 7$. Жеті қалды — болмайды.
5. $500 = 2^2 \cdot 5^3$. Болады: $\frac{31}{500} = \frac{62}{1000} = 0{,}062$.
6. $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$, 11 саны 3-ке бөлінбейді. Болмайды.

Жауабы: 2) 0,112; 3) 0,085; 5) 0,062; 1), 4), 6) бөлшектерін ондық бөлшек түрінде жазуға болмайды.

№ 751

Жұлдызшаның () орнына қандай дәреже көрсеткішін қойғанда, жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болады? Оларды ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $\frac{7}{2^2 \cdot 5^}$; 2) $\frac{13}{2^ \cdot 5^2}$; 3) $\frac{21}{2^3 \cdot 5^}$; 4) $\frac{57}{2^ \cdot 5^}$.

Қалай ойлаймыз. Ең ыңғайлысы — көрсеткіштерді бірдей алу: сонда бөлім бірден 10, 100 немесе 1000 болады. (Негізі кез келген натурал көрсеткіш жарайды: бөлімде бәрібір тек екілер мен бестер тұрады. Бірақ теңдерін алсаң, жазу лезде шығады.)

Шешуі.

1. $\frac{7}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{7}{100} = 0{,}07$.
2. $\frac{13}{2^2 \cdot 5^2} = \frac{13}{100} = 0{,}13$.
3. $\frac{21}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{21}{1000} = 0{,}021$.
4. Кез келген тең көрсеткіштер жұбы жарайды: $\frac{57}{2 \cdot 5} = 5{,}7$; $\frac{57}{2^2 \cdot 5^2} = 0{,}57$; $\frac{57}{2^3 \cdot 5^3} = 0{,}057$.

Жауабы: 1) $5^2$, 0,07; 2) $2^2$, 0,13; 3) $5^3$, 0,021; 4) мысалы, $2^2 \cdot 5^2$, 0,57 (немесе 5,7; 0,057).

№ 752

Сағат есебімен (ондық бөлшек түрінде) жазыңдар: 1) 6 мин; 12 мин; 15 мин; 30 мин; 45 мин; 2) 1 сағ 6 мин; 7 сағ 15 мин; 2 сағ 18 мин; 4 сағ 45 мин.

Қалай ойлаймыз. Бір сағатта 60 минут, сондықтан 1 мин — сағаттың $\frac{1}{60}$ бөлігі. Минутты 60-тың үстіне жазып, қысқартамыз.

Шешуі. 1)

• $6\text{ мин} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0{,}1$ сағ;
• $12\text{ мин} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 0{,}2$ сағ;
• $15\text{ мин} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ сағ;
• $30\text{ мин} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ сағ;
• $45\text{ мин} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ сағ.

• $1\text{ сағ } 6\text{ мин} = 1\frac{1}{10} = 1{,}1$ сағ;
• $7\text{ сағ } 15\text{ мин} = 7\frac{1}{4} = 7{,}25$ сағ;
• $2\text{ сағ } 18\text{ мин} = 2\frac{18}{60} = 2\frac{3}{10} = 2{,}3$ сағ;
• $4\text{ сағ } 45\text{ мин} = 4\frac{3}{4} = 4{,}75$ сағ.

⚠️ Жиі кететін қате. «1 сағ 6 мин = 1,6 сағ» — олай емес! 6 минут — сағаттың оннан бір бөлігі, яғни 1,1 сағ. Минут пен сағаттың оннан бір үлестері — әртүрлі нәрсе.

Жауабы: 1) 0,1; 0,2; 0,25; 0,5; 0,75 сағ; 2) 1,1; 7,25; 2,3; 4,75 сағ.

№ 753

Өрнектегі ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырып, өрнектің мәнін табыңдар: Е, С, Н, В, И, Т. Әріптерді $3\frac{1}{12}$; $5\frac{2}{3}$; $4\frac{7}{36}$; $6\frac{3}{20}$; 5; $6\frac{3}{7}$ жауаптарының астына қойып, математиктің кім екенін оқыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бәрі керісінше: ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырамыз. Неге? Мысалдарда $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{6}$ бар — оларды ондық бөлшекпен жазуға болмайды.

Шешуі.

• Е. $1\frac{1}{9} + 2\frac{3}{4} + \frac{1}{3} = 1\frac{4}{36} + 2\frac{27}{36} + \frac{12}{36} = 3\frac{43}{36} = 4\frac{7}{36}$.
• С. $8\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - 6\frac{1}{4} = 8\frac{6}{12} + \frac{10}{12} - 6\frac{3}{12} = 2\frac{13}{12} = 3\frac{1}{12}$.
• Н. $3\frac{1}{2} + 5\frac{1}{7} - 2\frac{3}{14} = 3\frac{7}{14} + 5\frac{2}{14} - 2\frac{3}{14} = 6\frac{6}{14} = 6\frac{3}{7}$.
• В. $2\frac{1}{4} + 11\frac{1}{15} - 7\frac{1}{6} = 2\frac{15}{60} + 11\frac{4}{60} - 7\frac{10}{60} = 6\frac{9}{60} = 6\frac{3}{20}$.
• И. $7\frac{3}{5} - 4\frac{2}{3} + 2\frac{1}{15} = 7\frac{9}{15} - 4\frac{10}{15} + 2\frac{1}{15} = 2\frac{14}{15} + 2\frac{1}{15} = 5$.
• Т. $6\frac{4}{5} - 2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{5}$. Айла: алдымен $6\frac{4}{5} + 1\frac{1}{5} = 8$, содан кейін $8 - 2\frac{1}{3} = 5\frac{2}{3}$.

Жауабы: СТЕВИН. Симон Стевин — нидерландиялық ғалым, ол туралы 4.3-тармақтан кейінгі «Тарихи мәліметтерде» айтылған.

№ 754

Үш сыныптағы оқушылар саны бірінші сыныптағы оқушылар санынан 64-ке артық, екінші сыныптағы оқушылар санынан 61-ге артық, ал үшінші сыныптағы оқушылар санынан 59-ға артық. Үш сыныпта барлығы неше оқушы бар? Нұсқалар: A. 89 оқушы; B. 96 оқушы; C. 94 оқушы; D. 92 оқушы.

Қалай ойлаймыз. Барлық оқушылардан бір сыныпты алып тастасақ, қалған екеуі қалады. Осындай үш «қалдықты» қосып, әр сынып неше рет есептелгенін қарайық.

Шешуі.

1. Барлығы — $S$. Сонда бірінші сынып $= S - 64$, екінші сынып $= S - 61$, үшінші сынып $= S - 59$.
2. Үш сынып бірге барлығын береді: $(S - 64) + (S - 61) + (S - 59) = S$.
3. $3S - 184 = S$, демек $2S = 184$, $S = 92$.

Тексеру: сыныптар $28$, $31$, $33$; $28 + 31 + 33 = 92$. Дұрыс.

Жауабы: 92 оқушы (D).

Жадынама

• Ондық бөлшек → жай бөлшек: үтірден кейінгі цифрлар — алымына, бөліміне 1 және үтірден кейін неше цифр болса, сонша нөл: $5{,}07 = 5\frac{7}{100}$.
• Жай бөлшек → ондық бөлшек: бөлімді 10, 100, 1000 санына келтіреміз: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35$.
• Қысқартылмайтын бөлшек тек бөлімі екілер мен бестерден ғана құралса, ондыққа айналады.
• Бөлімді тексермес бұрын бөлшекті міндетті түрде қысқартамыз.

Шағын тест