4.3. Ондық бөлшекті координаталық сәуледе кескіндеу. Ондық бөлшектерді салыстыру

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 30–35-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті координаталық сәулеге қойып, нүктенің координатасын оқуды.
• Соңына нөл жазып, не алып тастауды: $0{,}4 = 0{,}40 = 0{,}400$.
• Ондық бөлшектерді разрядтары бойынша салыстыруды: бүтін, ондық, жүздік үлестер…
• Бөлшектерді өсу және кему ретімен тұрғызуды.

Ой қозғау

Торкөз сәулеге қарашы: 0-ден 1-ге дейін дәл 10 тор. Демек, бір тор — $0{,}1$.

• $A$ нүктесі басынан санағанда 7-торда тұр. Оның координатасы қандай? $A(0{,}7)$.
• $B$ нүктесі бірліктен кейін, 5-торда тұр. Оның координатасы қандай? $B(1{,}5)$.
• Қайсысы үлкен? $A$ нүктесі $B$ нүктесінің сол жағында, сондықтан $0{,}7 < 1{,}5$.

Тақырыпты талдаймыз

Сәуледегі ондық бөлшек

Ондық бөлшектер де жай сандар тұрған сол сәуледе тұрады. Тек бірлік кесіндіні 10 бөлікке бөлу керек: әр бөлік — $0{,}1$. Дәлірек керек болса, әр ондық үлесті тағы 10 бөлікке бөлеміз — жүздік үлестер шығады.

$2{,}57$ санын былай табамыз:

1. Сәуледен 2 санын табамыз.
2. 2-ден 3-ке дейінгі кесіндіні 10 бөлікке бөлеміз. 5 бөлікті санап аламыз — бұл $2{,}5$.
3. $2{,}5$-тен $2{,}6$-ға дейінгі кішкентай кесіндіні тағы 10 бөлікке бөлеміз. 7 бөлікті санаймыз — міне, $2{,}57$.

Өзің байқап көр! Мұндағы әр кішкентай бөлік — бір ондық үлес: нөлден үш бөлік — $0{,}3$, яғни $\frac{3}{10}$.

Соңындағы нөлдер бөлшекті өзгертпейді

$0{,}4$ — 4 ондық үлес. $0{,}40$ — 40 жүздік үлес. Бұл бір нәрсе: $\frac{40}{100} = \frac{4}{10}$. Он теңгелік 4 тиын мен бір теңгелік 40 тиын сияқты, ақша сомасы бірдей.

Сондықтан бөлшек бөліктің соңына нөл жазуға да, алып тастауға да болады: $5{,}2000 = 5{,}2$. Ал үтірден кейін бірден тұрған нөлге тиісуге болмайды: $2{,}01$ мен $2{,}1$ — әртүрлі сандар.

⚠️ Жиі кететін қате. «Соңына нөл қосу» мен «үтірден кейін нөл қою» шатастырылады. $4{,}76 = 4{,}760$, бірақ $4{,}76 \ne 4{,}076$. Нөлді тек оң жаққа жазуға болады.

Оң жақтағысы үлкен

Сәуледе үлкен сан әрқашан оң жақта тұрады. Мысалы, $2{,}1 > 1{,}5$: $2{,}1$ нүктесі $1{,}5$ нүктесінен оңда. Ал тең бөлшектер — бір ғана нүкте.

Разрядтары бойынша салыстырамыз

Әр жолы сәуле сызу ұзақ. Жылдамырақ тәсіл бар — натурал сандарды салыстырғандағыдай, разрядтарды солдан оңға қарай қараймыз:

1. Бүтін бөліктер: $8{,}26 > 5{,}789$, себебі $8 > 5$. Үтірден кейін неше цифр тұрғаны енді маңызды емес.
2. Бүтін бөліктері тең болса, ондық үлестерге қараймыз: $6{,}324 > 6{,}185$, өйткені $3 > 1$.
3. Ондық үлестері де тең болса, жүздік үлестерге қараймыз: $7{,}538 < 7{,}548$, өйткені $3 < 4$. Осылай жалғаса береді.

💡 Айлалы тәсіл: таңбалар санын нөлмен теңестір. $0{,}971$ мен $0{,}97$-ні салыстырайық: $0{,}970$ деп жазамыз. Бірден көрінеді: $0{,}971 > 0{,}970$.

⚠️ Жиі кететін қате. «$0{,}5 < 0{,}38$, өйткені 5 саны 38-ден кіші». Олай болмайды: бөлшектердің таңбалар саны әртүрлі. Теңестіреміз: $0{,}50$ және $0{,}38$. Елу жүздік отыз сегіз жүздіктен үлкен, демек, $0{,}5 > 0{,}38$. Мағынасы жағынан: жарты метр (50 см) 38 см-ден ұзын.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ақша мен ұзындық жақсы көмектеседі. Баладан сұраңыз: «0,5 м мен 0,38 м-дің қайсысы үлкен?» Сантиметрге аудартыңыз: 50 см және 38 см. Бала жауапты бірден көріп, «нөл жазу» ережесіне сене бастайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• 0,8 бөлшегін сәулеге қалай қоямыз? Бірлік кесіндіні 10 тең бөлікке бөліп, нөлден бастап осындай 8 бөлікті санаймыз.
• Бөлшектерді сәуледе қалай салыстырамыз? Оң жақта тұрғаны үлкен. Тең бөлшектер — бір ғана нүкте.
• Разрядтары бойынша қалай салыстырамыз? Алдымен бүтін бөліктерін, олар тең болса — ондық үлестерін, сосын жүздік үлестерін және т.с.с. Мысалы, $4{,}253 < 4{,}653$: бүтін бөліктері тең, ал ондық үлестері $2 < 6$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 755

Ондық бөлшектерді салыстырыңдар (ауызша): 1) 6,2 мен 7,1; 2) 5,73 пен 5,69; 3) 32,46 мен 32,48; 4) 0,638 бен 0,648; 5) 0,971 мен 0,97; 6) 10,215 пен 10,309.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай жүріп, цифрлары алғаш рет әртүрлі болатын разрядты іздейміз. Бесінші жұпта алдымен нөл жаз.

Шешуі.

1. Бүтін бөліктер: $6 < 7$.
2. Бүтін бөліктер тең, ондық үлестер: $7 > 6$.
3. Бүтін бөліктер мен ондық үлестер тең, жүздік үлестер: $6 < 8$.
4. Ондық үлестер тең, жүздік үлестер: $3 < 4$.
5. Нөл жазамыз: $0{,}971$ және $0{,}970$, мыңдық үлестер: $1 > 0$.
6. Бүтін бөліктер тең, ондық үлестер: $2 < 3$.

Жауабы: 1) $6{,}2 < 7{,}1$; 2) $5{,}73 > 5{,}69$; 3) $32{,}46 < 32{,}48$; 4) $0{,}638 < 0{,}648$; 5) $0{,}971 > 0{,}97$; 6) $10{,}215 < 10{,}309$.

A деңгейі

№ 756

Тең сандарды тауып, теңдік түрінде жазыңдар: 1) 2,1; 2,01; 2,100; 2,001; 2) 4,76; 4,706; 4,076; 4,760; 3) 0,5; 0,52; 0,500; 0,5000; 4) 10,900; 10,901; 10,90; 10,9.

Қалай ойлаймыз. Әр санның соңындағы нөлдерді өшір. Жазулары сәйкес келсе, сандар тең.

Шешуі. $2{,}100 \to 2{,}1$; $4{,}760 \to 4{,}76$; $0{,}500 \to 0{,}5$, $0{,}5000 \to 0{,}5$; $10{,}900 \to 10{,}9$, $10{,}90 \to 10{,}9$. $2{,}01$; $2{,}001$; $4{,}706$; $4{,}076$; $0{,}52$; $10{,}901$ сандарының жұбы жоқ.

Жауабы: 1) $2{,}1 = 2{,}100$; 2) $4{,}76 = 4{,}760$; 3) $0{,}5 = 0{,}500 = 0{,}5000$; 4) $10{,}900 = 10{,}90 = 10{,}9$.

№ 757

4.6-суреттегі координаталық сәуледе $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерімен қандай сандар кескінделген? $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерінің координаталарын жазыңдар; $A$ және $B$, $D$ және $C$, $A$ және $D$, $B$ және $D$ нүктелерінің координаталарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретте 0, 1, 2, 3 сандары бар сәуле; әр бірлік кесінді 10 бөлікке бөлінген, бір бөлік — $0{,}1$. $A$ нүктесі — 0-ден кейінгі 6-бөлік, $B$ — 1-ден кейінгі 3-бөлік, $C$ — 2-ден кейінгі 4-бөлік, $D$ — 2-ден кейінгі 9-бөлік.

Шешуі. $A(0{,}6)$, $B(1{,}3)$, $C(2{,}4)$, $D(2{,}9)$.

• $0{,}6 < 1{,}3$ (бүтін бөліктері $0 < 1$);
• $2{,}9 > 2{,}4$ (ондық үлестері $9 > 4$);
• $0{,}6 < 2{,}9$ (бүтін бөліктері $0 < 2$);
• $1{,}3 < 2{,}9$ (бүтін бөліктері $1 < 2$).

Жауабы: $A(0{,}6)$, $B(1{,}3)$, $C(2{,}4)$, $D(2{,}9)$; $A < B$, $D > C$, $A < D$, $B < D$.

№ 758

Берілген ондық бөлшекті оған тең ондық бөлшекпен алмастырып, нәтижесін теңдік түрінде жазыңдар: 1) 5,2000; 2) 86,0500; 3) 0,09300; 4) 0,007000.

Қалай ойлаймыз. Тек ең соңындағы нөлдерді өшіреміз. Үтірден кейінгі нөлдер — «орын ұстаушылар», оларға тиіспейміз.

Шешуі. Бөлшек бөліктің соңындағы нөлдерді алып тастаймыз. Үтірден кейін мәнді цифрлардың алдында тұрған нөлдерді қалдырамыз.

Жауабы: 1) $5{,}2000 = 5{,}2$; 2) $86{,}0500 = 86{,}05$; 3) $0{,}09300 = 0{,}093$; 4) $0{,}007000 = 0{,}007$.

№ 759

Жұлдызшаның орнына тиісті теңсіздік белгісін («<» немесе «>») қойыңдар: 1) $2{,}7 * 3{,}6$; $0{,}4 * 0{,}39$; $0{,}1 * 0{,}99$; 2) $8{,}30 * 7{,}94$; $0{,}47 * 0{,}5$; $5{,}21 * 6{,}0$; 3) $7{,}308 * 7{,}312$; $14{,}901 * 14{,}890$; $56{,}053 * 51{,}983$.

Қалай ойлаймыз. Таңбалар саны әртүрлі болса ($0{,}4$ және $0{,}39$), алдымен нөлмен теңестір.

Шешуі.

1. $2 < 3$, демек, $2{,}7 < 3{,}6$. $0{,}40$ және $0{,}39$: $40 > 39$ жүздік, $0{,}4 > 0{,}39$. $0{,}10$ және $0{,}99$: $0{,}1 < 0{,}99$.
2. $8 > 7$: $8{,}30 > 7{,}94$. $0{,}47$ және $0{,}50$: $0{,}47 < 0{,}5$. $5 < 6$: $5{,}21 < 6{,}0$.
3. Ондық үлестері тең, жүздік үлестері $0 < 1$: $7{,}308 < 7{,}312$. Бүтін бөліктері тең, ондық үлестері $9 > 8$: $14{,}901 > 14{,}890$. Бүтін бөліктері $56 > 51$: $56{,}053 > 51{,}983$.

Жауабы: 1)

№ 760

Сандар тізбегінің қайсысында ондық бөлшектер өсу ретімен, қайсысында кему ретімен орналасқан: 1) 0,2; 0,03; 0,004; 0,0005; …; 2) 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; …; 3) 0,5; 0,55; 0,555; 0,5555; …; 4) 0,8; 0,87; 0,878; 0,8787; …?

Қалай ойлаймыз. Көзіңе сенбе: «ұзынырақ» дегені «үлкенірек» дегенді білдірмейді. Барлық сандарды төрт таңбаға дейін теңестір де, салыстыр.

Шешуі.

1. $0{,}2000 > 0{,}0300 > 0{,}0040 > 0{,}0005$ — кемиді.
2. $0{,}9000 > 0{,}8900 > 0{,}7890 > 0{,}6789$ — кемиді.
3. $0{,}5000 < 0{,}5500 < 0{,}5550 < 0{,}5555$ — өседі.
4. $0{,}8000 < 0{,}8700 < 0{,}8780 < 0{,}8787$ — өседі.

Жауабы: кему ретімен — 1) және 2); өсу ретімен — 3) және 4).

№ 761

Шамаларды ондық бөлшек түрінде жазып, салыстырыңдар: 1) 3 кг 485 г және 4 кг 80 г; 2) 8 км 610 м және 8 км 490 м; 3) 5 т 7 кг және 7 т 500 кг; 4) 6 кг 310 г және 9 кг 50 г; 5) 3 сағ 40 мин және 2 сағ 50 мин; 6) 26 мин 9 с және 43 мин 16 с.

Қалай ойлаймыз. 1 г = 0,001 кг, 1 м = 0,001 км, 1 кг = 0,001 т. Грамды, метрді және килограмды үтірден кейін үш цифрмен жазамыз: 80 г = 0,080 кг. Ал сағат пен минутқа сақ бол: онда 100 емес, 60!

Шешуі.

1. $3{,}485$ кг және $4{,}080$ кг: $3{,}485 < 4{,}08$.
2. $8{,}61$ км және $8{,}49$ км: $8{,}61 > 8{,}49$.
3. $5{,}007$ т және $7{,}5$ т: $5{,}007 < 7{,}5$.
4. $6{,}31$ кг және $9{,}05$ кг: $6{,}31 < 9{,}05$.
5. Бір сағатта 60 минут, 100 емес. $40\text{ мин} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ сағ, $50\text{ мин} = \frac{5}{6}$ сағ. Бөлімдерінде үштік бар, сондықтан бұл шамаларды ондық бөлшекпен дәл жазуға болмайды. Бәрібір салыстыру оңай: толық сағаттары $3 > 2$, демек, $3\text{ сағ } 40\text{ мин} > 2\text{ сағ } 50\text{ мин}$.
6. $9\text{ с} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0{,}15$ мин, демек, $26\text{ мин } 9\text{ с} = 26{,}15$ мин. $16\text{ с} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15}$ мин — ондық бөлшекпен жазылмайды. Толық минуттарын салыстырамыз: $26 < 43$.

Жауабы: 1) $3{,}485\text{ кг} < 4{,}08\text{ кг}$; 2) $8{,}61\text{ км} > 8{,}49\text{ км}$; 3) $5{,}007\text{ т} < 7{,}5\text{ т}$; 4) $6{,}31\text{ кг} < 9{,}05\text{ кг}$; 5) $3\text{ сағ } 40\text{ мин} > 2\text{ сағ } 50\text{ мин}$; 6) $26\text{ мин } 9\text{ с} < 43\text{ мин } 16\text{ с}$.

№ 762

Пойыздың Айдын отырған вагонының алдында неше вагон болса, соңында сонша вагон бар. Егер Айдын отырған вагонның алдында 7 вагон болса, пойызда барлығы неше вагон бар? Егер пойызда 19 вагон болса, Айдын нешінші вагонда отыр?

Қалай ойлаймыз. Айдынның вагоны — дәл ортасында. Сол вагонның өзін санауды ұмытпа!

Шешуі.

1. Айдынның алдында 7, артында да 7, және оның вагоны: $7 + 1 + 7 = 15$ вагон.
2. Айдынның вагонынсыз $19 - 1 = 18$ вагон қалады, екі жағында да $18 : 2 = 9$-дан. Оның алдында 9 вагон, демек, ол 10-шы вагонда.

Жауабы: 15 вагон; Айдын 10-шы вагонда отыр.

B деңгейі

№ 763

1, 3, 5, 8 цифрларын және үтірді пайдаланып, мүмкіндігінше ең үлкен ондық бөлшекті, ең кіші ондық бөлшекті жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр цифрды бір реттен аламыз. Үтірден бұрын цифр көп болып, ең үлкен цифрлар алдыңғы орында тұрса, сан үлкен болады. Үтір міндетті, әрі одан кейін кемінде бір цифр тұруы керек.

Шешуі.

1. Ең үлкені: үтірден бұрын үш цифрды кему ретімен, одан кейін біреуін — $853{,}1$.
2. Ең кішісі: үтірден бұрын бір цифр (ең кішісі — 1), қалғандары одан кейін өсу ретімен — $1{,}358$.

Жауабы: $853{,}1$ және $1{,}358$.

№ 764

Жай бөлшектерді ондық бөлшекке айналдырып алып, сонан соң: 1) өсу ретімен жазыңдар: 1,4; $\frac{4}{5}$; 0,3; $\frac{1}{10}$; 0,5; $2\frac{3}{5}$; 0,2; 2) кему ретімен жазыңдар: 0,7; $1\frac{1}{2}$; 0,4; 1,9; $1\frac{1}{5}$; $1\frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық сан үтірмен жазылса, оларды бойына қарай тұрғызғандай оңай қатарға тұрғызуға болады.

Шешуі.

1. $\frac{4}{5} = 0{,}8$; $\frac{1}{10} = 0{,}1$; $2\frac{3}{5} = 2{,}6$. Өсу ретімен: $0{,}1 < 0{,}2 < 0{,}3 < 0{,}5 < 0{,}8 < 1{,}4 < 2{,}6$.
2. $1\frac{1}{2} = 1{,}5$; $1\frac{1}{5} = 1{,}2$; $1\frac{3}{10} = 1{,}3$. Кему ретімен: $1{,}9 > 1{,}5 > 1{,}3 > 1{,}2 > 0{,}7 > 0{,}4$.

Жауабы: 1) 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; 1,4; 2,6; 2) 1,9; 1,5; 1,3; 1,2; 0,7; 0,4.

№ 765

*Жұлдызшаның орнына қос теңсіздікті қанағаттандыратындай цифрды қойып жазыңдар: 1) $3{,}735 < 3{,}*61 < 3{,}45$; 2) $0{,}889 < 0{,}9 < 0{,}1$; 3) $2{,}887 < 2{,}86 < 2{,}*13$; 4) $7{,}672 < *{,}315 < {,}111$.

Қалай ойлаймыз. Жұлдызшаларды солдан оңға қарай бір-бірден талдаймыз. Бір теңсіздіктегі жұлдызшалар әртүрлі цифрлар болуы мүмкін.

Шешуі.

1. $3{,}*61 > 3{,}735$: ондық үлес 7-ден кем болмауы керек. 7 болғанда $3{,}761 > 3{,}735$ — болады. Екінші жұлдызша: $3{,}*45 > 3{,}*61$ — мұндағы ондық үлес ортадағы саннан үлкен болуы керек. Нұсқалар: $3{,}761 < 3{,}845$, $3{,}761 < 3{,}945$, $3{,}861 < 3{,}945$.
2. $0{,}9*$ әрқашан $0{,}889$-дан үлкен. Бірақ $0{,}1$ саны $0{,}9$-дан үлкен болуы керек, демек, оның ондық үлесі 9: $0{,}91$. Сонда $0{,}9* < 0{,}91$ — тек $0{,}90$.
3. $2{,}8*6 > 2{,}887$: 8 болса $2{,}886$ шығады — аз; тек 9 келеді: $2{,}896$. Сонда $2{,}*13 > 2{,}896$ — ондық үлес 9 болу керек: $2{,}913$.
4. ${,}315 > 7{,}672$: бүтін бөлігі 7-ден үлкен, яғни 8 немесе 9. ${,}111 > *{,}315$: бүтін бөлігі онан да үлкен. Жалғыз нұсқа: $8{,}315$ және $9{,}111$.

Жауабы: 1) мысалы, $3{,}735 < 3{,}761 < 3{,}845$ (сондай-ақ $3{,}761 < 3{,}945$ және $3{,}861 < 3{,}945$ келеді); 2) $0{,}889 < 0{,}90 < 0{,}91$; 3) $2{,}887 < 2{,}896 < 2{,}913$; 4) $7{,}672 < 8{,}315 < 9{,}111$.

№ 766

Координаталық сәуледе $A$, $B$, $C$ және $D$ нүктелерімен кескінделетін ондық бөлшектерді өзара салыстырып, 6 теңсіздік құрастырыңдар (4.7-сурет).

Қалай ойлаймыз. Суретте 0-ден 8-ге дейінгі сәуле; 1-ден 3-ке және 4-тен 6-ға дейінгі кесінділер 10 бөлікке бөлінген. $A$ — 1-ден кейінгі 5-бөлік, $B$ — 2-ден кейінгі 2-бөлік, $C$ — 4-тен кейінгі 9-бөлік, $D$ — 5-тен кейінгі 5-бөлік.

Шешуі. $A(1{,}5)$, $B(2{,}2)$, $C(4{,}9)$, $D(5{,}5)$. Нүктелер солдан оңға $A$, $B$, $C$, $D$ ретімен тұр, сондықтан әр келесісі алдыңғылардан үлкен.

Жауабы: $1{,}5 < 2{,}2$; $1{,}5 < 4{,}9$; $1{,}5 < 5{,}5$; $2{,}2 < 4{,}9$; $2{,}2 < 5{,}5$; $4{,}9 < 5{,}5$.

№ 767

Ондық бөлшектерді разрядтары бойынша салыстырыңдар: 1) 4,899 бен 4,9; 2) 8,205 пен 18,205; 3) 7,5 мен 7,4; 4) 5,703 пен 5,69; 5) 3,607 мен 3,608; 6) 2,057 мен 2,067; 7) 0,0084 пен 0,084; 8) 0,3669 бен 0,3619; 9) 40,3702 мен 41,37.

Қалай ойлаймыз. Солдан бастап цифрлары айырмашылығы бар алғашқы разрядты іздейміз. Одан кейінгісінің бәрі енді маңызды емес.

Шешуі.

1. Бүтін бөліктері тең, ондық үлестері $8 < 9$.
2. Бүтін бөліктері $8 < 18$.
3. Ондық үлестері $5 > 4$.
4. Ондық үлестері $7 > 6$.
5. Мыңдық үлестері $7 < 8$.
6. Жүздік үлестері $5 < 6$.
7. $0{,}0084$ және $0{,}0840$: жүздік үлестері $0 < 8$.
8. Мыңдық үлестері $6 > 1$.
9. Бүтін бөліктері $40 < 41$.

Жауабы: 1) $4{,}899 < 4{,}9$; 2) $8{,}205 < 18{,}205$; 3) $7{,}5 > 7{,}4$; 4) $5{,}703 > 5{,}69$; 5) $3{,}607 < 3{,}608$; 6) $2{,}057 < 2{,}067$; 7) $0{,}0084 < 0{,}084$; 8) $0{,}3669 > 0{,}3619$; 9) $40{,}3702 < 41{,}37$.

№ 768

Сыртқы пішіндері бірдей 9 сақинаның біреуі жалған. Жалған сақина өзгелерінен ауыр. Кіртастары жоқ табақшалы таразымен неше рет өлшеп, жалған сақинаны табуға болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Бір өлшеудің үш нәтижесі болады: сол табақша ауыр, оң табақша ауыр, тең. Сондықтан сақиналарды екіге емес, үш топқа бөлеміз.

Шешуі.

1. 9 сақинаны үш топқа бөлеміз, әрқайсысында 3-тен. Екі топты таразыға саламыз. Біреуі басым түссе, ауыр сақина сонда. Тең болса — үшінші топта.
2. Табылған үштіктен таразының табақшаларына бір-бірден сақина саламыз. Басым түссе — сол жалған сақина. Тең болса — қалғаны ауыр.

Жауабы: екі рет өлшеу.

№ 769

Көлемі 1 см³ платинаның, мыстың, алтынның, күмістің және қорғасынның массалары: 11,3 г; 19,3 г; 21,5 г; 8,9 г; 10,5 г. Қай металдың массасы неше грамм екені белгісіз. Күміс мыстан ауыр, бірақ қорғасыннан жеңіл. Алтын платинадан жеңіл, бірақ қорғасыннан ауыр. Металдардың әрқайсысының 1 см³-інің массаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Белгілерден «кім жеңіл — кім ауыр» деген бір тізбек құрап ал, сосын массаларды ретімен таратып шық.

Шешуі.

1. Шарттардан: мыс < күміс < қорғасын және қорғасын < алтын < платина.
2. Тізбек шығады: мыс < күміс < қорғасын < алтын < платина.
3. Массаларды өсу ретімен қоямыз: $8{,}9 < 10{,}5 < 11{,}3 < 19{,}3 < 21{,}5$.

Жауабы: мыс — 8,9 г, күміс — 10,5 г, қорғасын — 11,3 г, алтын — 19,3 г, платина — 21,5 г.

№ 770

Саяхатшылар барлық жолдың $\frac{1}{4}$-ін пойызбен, $\frac{1}{5}$-ін автобуспен, қалған жолды катермен жүзді. Саяхатшылар жолдың қандай бөлігін катермен жүзді? Саяхатшылардың пойызбен, автобуспен жүрген, катермен жүзген жолдарын ондық бөлшек түрінде кему ретімен жазып көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жол — 1. Одан пойызбен және автобуспен жүрген бөлігін азайтамыз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} = 0{,}25$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$.
2. Катермен: $1 - 0{,}25 - 0{,}2 = 0{,}55$ жол.
3. Кему ретімен: $0{,}55 > 0{,}25 > 0{,}2$.

Жауабы: катермен — 0,55 жол; бөліктер кему ретімен: 0,55 (катер), 0,25 (пойыз), 0,2 (автобус).

№ 771

Автобус қаладан $56\frac{2}{5}$ км/сағ жылдамдықпен шығып, 1 сағ жүрген соң, сол қаладан жеңіл машина шықты. Жеңіл машина 2 сағатта автобусты қуып жетіп, одан 10 км қашықтыққа озып кетті. Жеңіл машинаның жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Басты тұзақ — уақыт. Машина 2 сағат жүрді, ал автобус бір сағат бұрын шыққан — ол жолда 3 сағаттан бері.

Шешуі.

1. $56\frac{2}{5} = 56{,}4$ км/сағ.
2. Машина 2 сағ жүрді, автобус сол сәтке дейін $1 + 2 = 3$ сағ жүрді.
3. Автобус жүрген жол: $56{,}4 \cdot 3 = 169{,}2$ км.
4. Машина 10 км артық жүрді: $169{,}2 + 10 = 179{,}2$ км.
5. Машинаның жылдамдығы: $179{,}2 : 2 = 89{,}6$ км/сағ.

Тексеру: $89{,}6 \cdot 2 = 179{,}2$; $179{,}2 - 169{,}2 = 10$. Дұрыс.

Жауабы: 89,6 км/сағ.

C деңгейі

№ 772

Тең бөлшектерді тауып, теңдік белгісімен жазыңдар: 1) 0,7; 0,07; 0,707; 0,700; 0,7070; 0,070; 2) 2,300; 2,03; 2,303; 2,3; 2,3030; 2,030.

Қалай ойлаймыз. № 756-дағы сол тәсіл: соңындағы нөлдерді өшіріп, бірдей жазуларды іздейміз.

Шешуі. Соңындағы нөлдерді алып тастаймыз: $0{,}700 \to 0{,}7$; $0{,}070 \to 0{,}07$; $0{,}7070 \to 0{,}707$; $2{,}300 \to 2{,}3$; $2{,}030 \to 2{,}03$; $2{,}3030 \to 2{,}303$.

Жауабы: 1) $0{,}7 = 0{,}700$; $0{,}07 = 0{,}070$; $0{,}707 = 0{,}7070$; 2) $2{,}300 = 2{,}3$; $2{,}03 = 2{,}030$; $2{,}303 = 2{,}3030$.

№ 773

Берілген үш санның қайсысы ең үлкен, қайсысы ең кіші? Қос теңсіздік түрінде жазыңдар: 1) 18,6; 0,186; 1,86; 2) 5,261; 52,61; 0,5261; 3) 68,3; 6,83; 0,683; 4) 81,243; 0,81243; 8,1243.

Қалай ойлаймыз. Цифрлары бірдей, тек үтір «қыдырып» жүр. Демек, бүтін бөліктерін салыстырамыз: кімде бүтін бөлігі үлкен болса, сол үлкен.

Шешуі. Әр үштікте бір санның бүтін бөлігі 0, екіншісінікі — бір таңбалы, үшіншісінікі — екі таңбалы. Солай орналастырамыз.

Жауабы: 1) $0{,}186 < 1{,}86 < 18{,}6$; 2) $0{,}5261 < 5{,}261 < 52{,}61$; 3) $0{,}683 < 6{,}83 < 68{,}3$; 4) $0{,}81243 < 8{,}1243 < 81{,}243$.

№ 774

Жұлдызшаларды теңсіздіктер тура болатындай етіп, цифрлармен ауыстырыңдар: 1) $4{,}0 > 4{,}08$; 2) $6{,}7* < 6{,}71$; 3) $9{,}2*9 > 9{,}289$; 4) $10{,}83 < 10{,}*2$; 5) $1{,}187 > 1{,}*96$; 6) $0{,}628 < 0{,}62*$; 7) $99{,}13 > 99{,}5$; 8) $5{,}317 > 5{,}39$; 9) $45{,}8 < 45{,}0$.

Қалай ойлаймыз. «Шекаралық» цифрды (көрші саннан алынған сол цифрды) қойып көреміз де, оның жететінін не жетпейтінін қараймыз. Жетпесе — көршісін аламыз.

Шешуі.

1. 8 жүздіктен көп болу керек: 9. $4{,}09 > 4{,}08$.
2. 1 жүздіктен аз болу керек: 0. $6{,}70 < 6{,}71$.
3. 8 болса $9{,}289$ шығады — тең, келмейді. Тек 9: $9{,}299 > 9{,}289$.
4. 8 болса $10{,}82 < 10{,}83$ — аз. Тек 9: $10{,}92$.
5. 1 болса $1{,}196 > 1{,}187$ — көп. Тек 0: $1{,}096 < 1{,}187$.
6. 8 мыңдықтан көп болу керек: 9. $0{,}629$.
7. 1 болса $99{,}15 > 99{,}13$. Тек 0: $99{,}05$.
8. 1 болса $5{,}319 > 5{,}317$. Тек 0: $5{,}309$.
9. 8 болса $45{,}80 = 45{,}8$ — тең. Тек 9: $45{,}90$.

Жауабы: 1) 9; 2) 0; 3) 9; 4) 9; 5) 0; 6) 9; 7) 0; 8) 0; 9) 9.

№ 775

Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдырып, салыстырыңдар: 1) 1,85 пен $1\frac{4}{5}$; 2) 0,2 мен $\frac{3}{20}$; 3) 9,45 пен $9\frac{9}{20}$; 4) $\frac{8}{25}$ бен 0,25; 5) $3\frac{2}{5}$ мен 3,9; 6) 7,7 мен $7\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі бөлшекті де бір «киімге» (үтірлі түрге) келтіреміз, сосын разрядтары бойынша салыстырамыз.

Шешуі.

1. $1\frac{4}{5} = 1{,}8$; $1{,}85 > 1{,}80$.
2. $\frac{3}{20} = 0{,}15$; $0{,}20 > 0{,}15$.
3. $9\frac{9}{20} = 9{,}45$ — тең.
4. $\frac{8}{25} = 0{,}32$; $0{,}32 > 0{,}25$.
5. $3\frac{2}{5} = 3{,}4$; $3{,}4 < 3{,}9$.
6. $7\frac{3}{4} = 7{,}75$; $7{,}70 < 7{,}75$.

Жауабы: 1) $1{,}85 > 1\frac{4}{5}$; 2) $0{,}2 > \frac{3}{20}$; 3) $9{,}45 = 9\frac{9}{20}$; 4) $\frac{8}{25} > 0{,}25$; 5) $3\frac{2}{5} < 3{,}9$; 6) $7{,}7 < 7\frac{3}{4}$.

№ 776

Бірлік кесіндісі 5 см-ге тең координаталық сәуле сызыңдар. Координаталық сәуле бойында $A(0{,}2)$ және $C(1{,}9)$ нүктелерін белгілеңдер: 1) $A(0{,}2)$ нүктесінен оң жаққа қарай ұзындығы 0,9 бірлік кесіндіге тең $AB$ кесіндісін салып, $B$ нүктесін координатасымен жазыңдар; 2) $C(1{,}9)$ нүктесінен сол жаққа қарай ұзындығы 0,6 бірлік кесіндіге тең $CD$ кесіндісін салып, $D$ нүктесін координатасымен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесінді 5 см болса, бірліктің $0{,}1$ бөлігі — 5 мм. «Оңға 0,9» — қосу, «солға 0,6» — азайту дегенді білдіреді.

Шешуі.

1. $A(0{,}2)$ — бас нүктеден 1 см қашықтықта; $C(1{,}9)$ — 9,5 см қашықтықта.
2. $B$: $0{,}2 + 0{,}9 = 1{,}1$. $A$-дан оңға 4,5 см салсақ, $B$ нүктесі бас нүктеден 5,5 см қашықтықта болады.
3. $D$: $1{,}9 - 0{,}6 = 1{,}3$. $C$-дан солға 3 см салсақ, $D$ нүктесі бас нүктеден 6,5 см қашықтықта болады.

Жауабы: $B(1{,}1)$; $D(1{,}3)$.

№ 777

Ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырып алып, амалдарды орындаңдар: 1) $\left(6\frac{1}{8} - 1{,}75\right) : \left(9 - 2{,}2 \cdot \left(5\frac{6}{11} - 3{,}5\right)\right) \cdot 1\frac{2}{7}$; 2) $\left(3\frac{5}{6} - 1\frac{2}{15}\right) \cdot \frac{5}{9} + \left(\left(\frac{1}{20} + 0{,}24\right) \cdot 8\frac{1}{3} - 1\frac{1}{6}\right) \cdot 2$.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы ондық бөлшектер кедергі келтіреді: қасында $\frac{6}{11}$ және $\frac{1}{3}$ тұр, оларды үтірмен жазу мүмкін емес. Сондықтан бәрін жай бөлшекке айналдырып, амалдар ретімен жүреміз — алдымен ең ішкі жақшалардан.

Шешуі.

1. $1{,}75 = 1\frac{3}{4}$; $2{,}2 = 2\frac{1}{5}$; $3{,}5 = 3\frac{1}{2}$.

1. $6\frac{1}{8} - 1\frac{6}{8} = 4\frac{3}{8} = \frac{35}{8}$.
2. $5\frac{6}{11} - 3\frac{1}{2} = 5\frac{12}{22} - 3\frac{11}{22} = 2\frac{1}{22} = \frac{45}{22}$.
3. $\frac{11}{5} \cdot \frac{45}{22} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$.
4. $9 - 4\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
5. $\frac{35}{8} : \frac{9}{2} = \frac{35}{8} \cdot \frac{2}{9} = \frac{35}{36}$.
6. $\frac{35}{36} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

2. $0{,}24 = \frac{6}{25}$.

1. $3\frac{25}{30} - 1\frac{4}{30} = 2\frac{21}{30} = 2\frac{7}{10} = \frac{27}{10}$.
2. $\frac{27}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{3}{2}$.
3. $\frac{1}{20} + \frac{6}{25} = \frac{5}{100} + \frac{24}{100} = \frac{29}{100}$.
4. $\frac{29}{100} \cdot \frac{25}{3} = \frac{29}{12}$.
5. $\frac{29}{12} - \frac{7}{6} = \frac{29}{12} - \frac{14}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
6. $\frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{5}{2}$.
7. $\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 4$.

Жауабы: 1) $1\frac{1}{4}$; 2) 4.

Жадынама

• Бөлшек бөліктің соңына нөл жазуға да, алып тастауға да болады: $0{,}4 = 0{,}40$.
• Сәуледе үлкен бөлшек оң жақта тұрады, тең бөлшектер — бір нүкте.
• Разрядтары бойынша салыстырамыз: бүтін бөлік → ондық → жүздік → мыңдық үлес.
• Бүтін бөліктері әртүрлі болса, үтірден кейін неше цифр болса да, бүтін бөлігі үлкені үлкен.
• Қателеспеу үшін таңбалар санын нөлмен теңестіреміз.

Шағын тест