4.4. Ондық бөлшектерді қосу және азайту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 37–44-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшектерді баған түрінде қосуды және азайтуды: үтір үтірдің астында.
• Үтірден кейінгі цифрлар саны тең болу үшін нөл жазуды.
• Бүтін саннан бөлшекті азайтуды: $25 - 2{,}64$.
• Айламен есептеуді: қосылғыштарды бүтін сан шығатындай топтастыруды.
• Үтірі бар литр, километр және килограммға берілген есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Ондық бөлшектерді ең кіші разрядтан бастап, разрядтары бойынша қосамыз және азайтамыз. Үтір үтірдің астында тұрады. Өзіңдікімен сәйкес келе ме, тексеріп қара:

   2,3        13,15        24,783
 + 5,1      +  8,60      + 15,060
 -----      -------      --------
   7,4        21,75        39,843

   3,7         7,21         25,00
 - 1,2       - 1,50       -  2,64
 -----       ------       -------
   2,5         5,71         22,36

• 8,6 санына неге нөл жазылды? Жүздік үлестер жүздік үлестердің астында тұру үшін: $8{,}6 = 8{,}60$.
• Ал 25 санына неге үтір мен екі нөл жазылды? Онсыз 64 жүздікті азайтатын ештеңе жоқ: $25 = 25{,}00$.

Тақырыпты талдаймыз

Бұл неге жұмыс істейді

$3{,}46$ мен $5{,}271$ санын қосайық. Нөл жазамыз: $3{,}460$. Енді екі бөлшек те — мыңдық үлестер: $\frac{3460}{1000} + \frac{5271}{1000} = \frac{8731}{1000} = 8{,}731$.

Яғни біз жай ғана 3460 және 5271 сандарын қостық, сосын үтірді орнына қойдық. Баған да дәл осыны істейді, тек жылдамырақ.

Төрт қадамдық баған

1. Үтірден кейінгі таңбалар санын теңестіреміз — оң жағына нөл жазамыз.
2. Сандарды бірінің астына бірін жазамыз: үтір үтірдің астында, разряд разрядтың астында.
3. Жай сандар сияқты оңнан солға қарай қосамыз немесе азайтамыз.
4. Жауабында үтірді үтірлердің астына қоямыз.

     1 1 1            . .            .
   34,683           17,23          49,00
 +  8,564         -  8,45        - 44,72
 --------         -------        -------
   43,247            8,78           4,28

Жоғарғы бірлік — келесі разрядқа ауысқан бірлік. Нүкте — көршіден бірлік қарызға алынды деген сөз.

Ең қулық мысалды өзің шығарып көр — мұнда сандардағы таңбалар саны әртүрлі:

⚠️ Жиі кететін қате. Сандарды жай сандар сияқты «оң жақ шетінен» тураластырады:

  9,2
+ 3,518      ← қате: 2 ондық 8 мыңдықтың астында тұр

Үтір бойынша тураластыр! Егер жауабың, мысалы, $3{,}610$ болып шықса — разрядтар ығысып кеткен. Болжам әрқашан көмектеседі.

Бүтін санның да үтірі болады

Кез келген бүтін санды «киіндіруге» болады: $49 = 49{,}00$. Сонда одан бөлшекті азайту ыңғайлы.

⚠️ Жиі кететін қате. $49 - 44{,}72$ мысалында бөлшек бөлікті ұмытып, $5{,}72$ немесе $4{,}72$ деп жазады. 49-ға үтір мен екі нөл жаз: $49{,}00 - 44{,}72 = 4{,}28$. Қосып тексеру: $44{,}72 + 4{,}28 = 49$.

Ескі заңдар — жаңа сандар

Өзің білетін қосудың барлық қасиеттері ондық бөлшектерде де сақталады. Олар ойша есептеуге көмектеседі:

• қосудың ауыстырымдылық қасиеті: $14{,}25 + 7{,}341 = 7{,}341 + 14{,}25$;
• қосудың терімділік қасиеті: $(15{,}224 + 8{,}1) + 1{,}9 = 15{,}224 + (8{,}1 + 1{,}9) = 15{,}224 + 10 = 25{,}224$;
• қосындыдан санды азайту: $(5{,}46 + 1{,}78) - 2{,}46 = (5{,}46 - 2{,}46) + 1{,}78 = 3 + 1{,}78 = 4{,}78$;
• саннан қосындыны азайту: $4{,}25 - (1{,}89 + 0{,}25) = (4{,}25 - 0{,}25) - 1{,}89 = 4 - 1{,}89 = 2{,}11$.

💡 Басты айла: «дос» жұптарды ізде — қосылғанда бүтін сан беретін сандар. $8{,}1 + 1{,}9 = 10$, $0{,}75 + 0{,}25 = 1$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала сенімді есептей бастағанда, нөлдерді ойша жазуға болады. Бірақ қате кетіп жатқанда нөлдерді анық жаздырыңыз. Және тексеруге үйретіңіз: қосындыны азайтумен, айырманы қосумен тексереміз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшектерді қалай қосады? Баған түрінде жазады, үтір үтірдің астында, жай сандар сияқты қосады да, жауабында үтірді үтірлердің астына қояды. Мысалы, $42{,}538 + 7{,}160 = 49{,}698$.
• Үтірден кейінгі таңбалар саны әртүрлі бөлшектерді қалай қосады? Таңбасы аз бөлшектің оң жағына нөл жазады: $15{,}97 + 9{,}864 = 15{,}970 + 9{,}864 = 25{,}834$.
• Ондық бөлшектерді қалай азайтады? Дәл солай: таңбаларын теңестіріп, үтір үтірдің астында, оңнан солға қарай разрядтар бойынша азайтады. $27{,}945 - 14{,}520 = 13{,}425$; $9{,}324 - 2{,}781 = 6{,}543$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 778

Ауызша есептеңдер: 1) $0{,}8 + 0{,}7 + 0{,}5 - 1{,}4 + 1{,}9 - 2$; 2) $3{,}4 - 1{,}2 + 1{,}6 - 2{,}5 + 0{,}8 - 1{,}6$; 3) $2{,}9 + 1{,}1 - 1{,}8 + 0{,}7 - 1{,}5 + 0{,}6$.

Қалай ойлаймыз. Тізбекпен қадам-қадамдап жүреміз, басымызда тек ағымдағы нәтиже тұрады. Ондық үлестерді жай сандар сияқты қосамыз: 8 ондық + 7 ондық = 15 ондық = 1,5.

Шешуі.

1. $0{,}8 + 0{,}7 = 1{,}5$; $+0{,}5 = 2$; $-1{,}4 = 0{,}6$; $+1{,}9 = 2{,}5$; $-2 = 0{,}5$.
2. $3{,}4 - 1{,}2 = 2{,}2$; $+1{,}6 = 3{,}8$; $-2{,}5 = 1{,}3$; $+0{,}8 = 2{,}1$; $-1{,}6 = 0{,}5$.
3. $2{,}9 + 1{,}1 = 4$; $-1{,}8 = 2{,}2$; $+0{,}7 = 2{,}9$; $-1{,}5 = 1{,}4$; $+0{,}6 = 2$.

Жауабы: 1) 0,5; 2) 0,5; 3) 2.

A деңгейі

№ 779

Ондық бөлшектерді қосыңдар: 1) $0{,}07 + 13{,}23$; $9{,}02 + 4{,}28$; $18{,}36 + 7{,}14$; 2) $85{,}07 + 3{,}03$; $25{,}6 + 0{,}41$; $56 + 0{,}37$; 3) $6{,}3 + 2{,}5 + 0{,}7$; $9{,}2 + 3{,}3 + 1{,}6$; $0{,}1 + 9{,}9 + 1{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Жауаптың соңында нөл шықса ($13{,}30$), оны алып тастауға болады. Үшінші жолда бүтін сан беретін «достарды» ізде.

Шешуі.

1. $13{,}30 = 13{,}3$; $13{,}30 = 13{,}3$; $25{,}50 = 25{,}5$ (соңындағы нөлдерді алып тастаймыз).
2. $88{,}10 = 88{,}1$; $25{,}60 + 0{,}41 = 26{,}01$; $56{,}00 + 0{,}37 = 56{,}37$.
3. $6{,}3 + 0{,}7 = 7$, $7 + 2{,}5 = 9{,}5$; $9{,}2 + 3{,}3 = 12{,}5$, $+1{,}6 = 14{,}1$; $0{,}1 + 9{,}9 = 10$, $+1{,}5 = 11{,}5$.

   25,60       56,00
 +  0,41     +  0,37
 -------     -------
   26,01       56,37

Жауабы: 1) 13,3; 13,3; 25,5; 2) 88,1; 26,01; 56,37; 3) 9,5; 14,1; 11,5.

№ 780

Ең тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $(4 + 1{,}8) + 2{,}2$; $1{,}6 + (5 + 3{,}4)$; $(2{,}41 + 13) + 4{,}59$; 2) $0{,}3 + (1{,}7 + 2{,}5)$; $(3{,}8 + 6) + 4{,}2$; $12{,}25 + (8 + 3{,}75)$; 3) $8{,}3 + (2{,}7 + 8)$; $10{,}2 + (1{,}7 + 4{,}8)$; $(46{,}3 + 18) + 4{,}7$.

Қалай ойлаймыз. Қосындысы бүтін сан беретін қосылғыштарды іздеп, оларды бірінші қосамыз.

Шешуі.

1. $4 + (1{,}8 + 2{,}2) = 4 + 4 = 8$; $5 + (1{,}6 + 3{,}4) = 5 + 5 = 10$; $13 + (2{,}41 + 4{,}59) = 13 + 7 = 20$.
2. $(0{,}3 + 1{,}7) + 2{,}5 = 2 + 2{,}5 = 4{,}5$; $6 + (3{,}8 + 4{,}2) = 6 + 8 = 14$; $8 + (12{,}25 + 3{,}75) = 8 + 16 = 24$.
3. $(8{,}3 + 2{,}7) + 8 = 11 + 8 = 19$; $(10{,}2 + 4{,}8) + 1{,}7 = 15 + 1{,}7 = 16{,}7$; $18 + (46{,}3 + 4{,}7) = 18 + 51 = 69$.

Жауабы: 1) 8; 10; 20; 2) 4,5; 14; 24; 3) 19; 16,7; 69.

№ 781

Азайтуды орындаңдар: 1) $6{,}25 - 4{,}3$; 2) $15{,}9 - 4{,}75$; 3) $7{,}63 - 2{,}51$; 4) $41 - 32{,}5$; 5) $6{,}5 - 4{,}7$; 6) $18{,}3 - 5$; 7) $67{,}45 - 49{,}88$; 8) $61 - 7{,}64$; 9) $95 - 81{,}08$.

Қалай ойлаймыз. Таңбаларды нөлмен теңестіріп, баған түрінде есептейміз. Бүтін санды азайтсақ ($18{,}3 - 5$), бөлшек бөлік өзгермейді.

Шешуі. Бірнеше мысал баған түрінде:

   15,90       67,45       61,00       95,00
 -  4,75     - 49,88     -  7,64     - 81,08
 -------     -------     -------     -------
   11,15       17,57       53,36       13,92

1. $6{,}25 - 4{,}30 = 1{,}95$; 3) $7{,}63 - 2{,}51 = 5{,}12$; 4) $41{,}0 - 32{,}5 = 8{,}5$; 5) $6{,}5 - 4{,}7 = 1{,}8$; 6) $18{,}3 - 5 = 13{,}3$ (тек бүтін бөліктен азайтамыз).

Жауабы: 1) 1,95; 2) 11,15; 3) 5,12; 4) 8,5; 5) 1,8; 6) 13,3; 7) 17,57; 8) 53,36; 9) 13,92.

№ 782

1) Сандардың әрқайсысын толықтырыңдар: а) 0,3; 0,6; 0,9; 0,35; 0,44 сандарын 1-ге дейін; ә) 2,7; 3,6; 4,5; 5,9; 9,7 сандарын 10-ға дейін; б) 35,2; 15,7; 76,9; 95,15; 99,99 сандарын 100-ге дейін.

Қалай ойлаймыз. «1-ге дейін толықтыру» — бірге дейін неше жетпейтінін табу: $1 - 0{,}3$. Қайтарылатын ақша сияқты!

Шешуі.

• а) $1 - 0{,}3 = 0{,}7$; $1 - 0{,}6 = 0{,}4$; $1 - 0{,}9 = 0{,}1$; $1 - 0{,}35 = 0{,}65$; $1 - 0{,}44 = 0{,}56$.
• ә) $10 - 2{,}7 = 7{,}3$; $10 - 3{,}6 = 6{,}4$; $10 - 4{,}5 = 5{,}5$; $10 - 5{,}9 = 4{,}1$; $10 - 9{,}7 = 0{,}3$.
• б) $100 - 35{,}2 = 64{,}8$; $100 - 15{,}7 = 84{,}3$; $100 - 76{,}9 = 23{,}1$; $100 - 95{,}15 = 4{,}85$; $100 - 99{,}99 = 0{,}01$.

Жауабы: а) 0,7; 0,4; 0,1; 0,65; 0,56; ә) 7,3; 6,4; 5,5; 4,1; 0,3; б) 64,8; 84,3; 23,1; 4,85; 0,01.

№ 783

4.8-суреттегі үшбұрыштың, төртбұрыштың қабырғаларын өлшеп, ұзындықтарын сантиметр есебімен жазыңдар. Осы фигуралардың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — практикалық тапсырма. Суреттегі ұзындықтар жазылмаған — оларды кітаптың өзінде сызғышпен өлшеу керек.

Шешуі.

1. Сызғышты әр қабырғаға қоямыз, нөлін дәл төбеге келтіреміз.
2. Ұзындығын сантиметрмен ондық бөлшек түрінде жазамыз: 4 см 7 мм = 4,7 см (1 мм = 0,1 см).
3. Үшбұрыштың периметрі — үш қабырғасының қосындысы, төртбұрыштікі — төрт қабырғасының қосындысы.

Жазу үлгісі: үшбұрыштың қабырғалары 4,7 см, 3,2 см және 5,5 см болса, $P = 4{,}7 + 3{,}2 + 5{,}5 = 13{,}4$ см. Сенің сандарың өлшеуіңе байланысты болады.

Жауабы: периметр = өлшенген қабырғалардың (сантиметрмен) қосындысы.

№ 784

Разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде жазыңдар: 1) 12,75; 2) 1,618; 3) 0,412; 4) 25,803.

Қалай ойлаймыз. Әр цифр — өз «кірпіші»: ондықтар, бірліктер, ондық үлестер, жүздік үлестер, мыңдық үлестер. Нөлдік разрядтарды жазбаймыз.

Шешуі.

1. $12{,}75 = 10 + 2 + 0{,}7 + 0{,}05$.
2. $1{,}618 = 1 + 0{,}6 + 0{,}01 + 0{,}008$.
3. $0{,}412 = 0{,}4 + 0{,}01 + 0{,}002$.
4. $25{,}803 = 20 + 5 + 0{,}8 + 0{,}003$ (жүздік үлес жоқ — қосылғышты жазбаймыз).

Жауабы: шешуін қара.

№ 785

1) Екі ондық бөлшектің қосындысы түрінде жазыңдар: а) 2; ә) 5; б) 7; в) 9. 2) Натурал сан мен ондық бөлшектің айырмасы түрінде жазыңдар: а) 1,7; ә) 3,85; б) 14,03; в) 6,25.

Қалай ойлаймыз. Жауабы көп — өзіңдікін ойлап тап! Кез келген бөлшекті алып, оны керекті санға дейін толықтырамыз.

Шешуі.

1. а) $2 = 1{,}3 + 0{,}7$; ә) $5 = 2{,}5 + 2{,}5$; б) $7 = 3{,}6 + 3{,}4$; в) $9 = 4{,}25 + 4{,}75$.
2. Ең жақын үлкен натурал санды аламыз: а) $1{,}7 = 2 - 0{,}3$; ә) $3{,}85 = 4 - 0{,}15$; б) $14{,}03 = 15 - 0{,}97$; в) $6{,}25 = 7 - 0{,}75$.

Жауабы: мысалы, шешудегідей (басқа дұрыс нұсқалар да болады).

№ 786

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $0{,}3x + 1{,}6x - 0{,}5x$; 2) $9{,}25y - 2{,}3y + 7{,}05y$; 3) $3{,}46x + 9{,}17x - 2{,}63x$; 4) $4{,}82y - 1{,}9y + 3{,}08y$.

Қалай ойлаймыз. Әріп — «алма» сияқты: 0,3 алма + 1,6 алма − 0,5 алма. Әріпті жақшаның алдына шығарып, сандарды есептейміз.

Шешуі.

1. $(0{,}3 + 1{,}6 - 0{,}5)x = 1{,}4x$.
2. $(9{,}25 - 2{,}3 + 7{,}05)y = (9{,}25 + 7{,}05 - 2{,}3)y = (16{,}3 - 2{,}3)y = 14y$.
3. $(3{,}46 + 9{,}17 - 2{,}63)x = (12{,}63 - 2{,}63)x = 10x$.
4. $(4{,}82 + 3{,}08 - 1{,}9)y = (7{,}9 - 1{,}9)y = 6y$.

Жауабы: 1) $1{,}4x$; 2) $14y$; 3) $10x$; 4) $6y$.

№ 787

Іле өзені — Балқаш көліне құятын ағысы қатты өзендердің бірі. Оның біздің республикамыздың аумағынан өтетін ұзындығы 814,75 км, ал республикамыздан тыс жерден өтетін ұзындығы 624,25 км. Іле өзенінің ұзындығы неше километр? А. 1439 км; В. 1446 км; С. 1200 км; D. 1500 км.

Қалай ойлаймыз. Жалпы ұзындық = Қазақстандағы бөлігі + шетелдегі бөлігі. 75 және 25 жүздік бүтін сан береді — жауап дөңгелек шығады.

Шешуі.

   814,75
 + 624,25
 --------
  1439,00

🌟 Іле өзені Қытайдан басталып, Балқаш көліне құяды. Оның үлкен бөлігі Қазақстан арқылы ағады.

Жауабы: 1439 км (A).

№ 788

Үшбұрыштың бірінші қабырғасы 6,3 см. Үшбұрыштың бірінші қабырғасының ұзындығы екінші қабырғасының ұзындығынан 2,8 см кем болса, үшінші қабырғасының ұзындығынан 0,9 см артық. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Бірінші екіншіден 2,8 кем» — демек, екінші бірінші қабырғадан 2,8 артық. Шатастырма!

Шешуі.

1. Екінші қабырға үлкен: $6{,}3 + 2{,}8 = 9{,}1$ см.
2. Үшінші қабырға кіші: $6{,}3 - 0{,}9 = 5{,}4$ см.
3. Периметр: $6{,}3 + 9{,}1 + 5{,}4 = 20{,}8$ см.

Жауабы: 20,8 см.

№ 789

Есептің шығару өрнегін құрып, мәнін табыңдар. Екі ауылдың арақашықтығы 30,4 км. Осы ауылдардан бір уақытта бір-біріне қарама-қарсы екі велосипедші шықты. Олардың біріншісінің жылдамдығы 11,5 км/сағ, ал екіншісінікі 13,2 км/сағ. 1 сағат өткенде олардың арақашықтығы неше километр болды?

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы жүр — демек, арақашықтық әр сағат сайын жылдамдықтардың қосындысына қысқарады.

Шешуі. Бір сағатта олар бірге $11{,}5 + 13{,}2 = 24{,}7$ км жүреді. Өрнек: $30{,}4 - (11{,}5 + 13{,}2) = 30{,}4 - 24{,}7 = 5{,}7$ км.

Жауабы: 5,7 км.

№ 790

Сандар тізбегінің заңдылығын тауып, оның келесі үш мүшесін жазыңдар: 1) 5,12; 5,22; 5,32; 5,42; …; 2) 7,84; 7,82; 7,8; 7,78; ….

Қалай ойлаймыз. Екінші саннан бірінші санды азайтсаң, тізбектің «қадамын» табасың. Екінші жолда $7{,}8 = 7{,}80$ екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. Әр сан алдыңғыдан 0,1-ге артық: 5,52; 5,62; 5,72.
2. Әр сан алдыңғыдан 0,02-ге кем: 7,76; 7,74; 7,72.

Жауабы: 1) 5,52; 5,62; 5,72; 2) 7,76; 7,74; 7,72.

№ 791

Жұлдызшалардың орындарындағы цифрларды табыңдар: 1) ${,}2** - 2{,}83 = 1{,}447$; 2) $6{,}2 - {,}0 = 26{,}865$; 3) $45{,}6 - 48{,}5 = 27{,}28$.

Қалай ойлаймыз. Азайғыш = айырма + азайтқыш. Қосу арқылы, разрядтан разрядқа оңнан солға қарай қалпына келтіреміз — із кесіп келе жатқан детектив сияқты.

Шешуі.

1. Азайғыш $= 1{,}447 + 2{,}*83$.

• Мыңдық үлестер: $7 + 3 = 10$ — азайғышта 0, ауысқан бірлік 1.
• Жүздік үлестер: $4 + 8 + 1 = 13$ — азайғышта 3, ауысқан бірлік 1.
• Ондық үлестер: $4 + * + 1$ санының соңы 2 болуы керек. Демек, $* = 7$: $4 + 7 + 1 = 12$, ауысқан бірлік 1.
• Бірліктер: $1 + 2 + 1 = 4$.

   4,230
 - 2,783
 -------
   1,447

2. Азайғыш $= 26{,}865 + {,}0$.

• Мыңдық үлестер: $5 + 0 = 5$.
• Жүздік үлестер: $6 + * $ санының соңы 2 болуы керек (азайғыштың жүздік үлесі — 2). Демек, $* = 6$: $6 + 6 = 12$, ауысқан бірлік 1.
• Ондық үлестер: $8 + 0 + 1 = 9$.
• Бірліктер: $6 + $ санының соңы 6 болуы керек — демек, $ = 0$.
• Ондықтар: 2.

   26,925
 -  0,06
 --------
   26,865

3. Азайғыш $= 27*{,}28 + *48{,}*5$.

• Жүздік үлестер: $8 + 5 = 13$ — азайғышта 3, ауысқан бірлік 1.
• Ондық үлестер: $2 + * + 1 = 6$ — демек, $* = 3$.
• Бірліктер: $* + 8$ санының соңы 5 болуы керек — демек, $* = 7$ ($7 + 8 = 15$), ауысқан бірлік 1.
• Ондықтар: $7 + 4 + 1 = 12$ — азайғышта 2, ауысқан бірлік 1.
• Жүздіктер: $2 + * + 1 = 4$ — демек, $* = 1$.

   425,63
 - 148,35
 --------
   277,28

Жауабы: 1) $4{,}230 - 2{,}783 = 1{,}447$; 2) $26{,}925 - 0{,}06 = 26{,}865$; 3) $425{,}63 - 148{,}35 = 277{,}28$.

B деңгейі

№ 792

Азайтудың қасиеттерін пайдаланып, тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $12{,}918 - (4{,}918 + 3{,}4)$; 2) $(6{,}403 + 8{,}715) - 2{,}403$; 3) $(13{,}245 + 9{,}88) - 6{,}88$; 4) $11{,}703 - (5{,}4 + 2{,}703)$.

Қалай ойлаймыз. Үтірден кейінгі «құйрықтары» бірдей сандарды іздейміз — олардың айырмасы бүтін сан болады.

Шешуі.

1. $(12{,}918 - 4{,}918) - 3{,}4 = 8 - 3{,}4 = 4{,}6$.
2. $(6{,}403 - 2{,}403) + 8{,}715 = 4 + 8{,}715 = 12{,}715$.
3. $13{,}245 + (9{,}88 - 6{,}88) = 13{,}245 + 3 = 16{,}245$.
4. $(11{,}703 - 2{,}703) - 5{,}4 = 9 - 5{,}4 = 3{,}6$.

Жауабы: 1) 4,6; 2) 12,715; 3) 16,245; 4) 3,6.

№ 793

Жай бөлшектерді ондық бөлшекке айналдырып алып, есептеңдер: 1) $5\frac{17}{20} - 3{,}52 + \frac{4}{5}$; 2) $6\frac{4}{25} + 2{,}81 - 1\frac{3}{4}$; 3) $9\frac{7}{10} + 5{,}92 - 3\frac{9}{20}$; 4) $41{,}7 - 8\frac{3}{5} + 2\frac{1}{4}$; 5) $36{,}63 + 9\frac{3}{4} - 6\frac{9}{10}$; 6) $58{,}75 - 21\frac{9}{10} + 4\frac{8}{25}$.

Қалай ойлаймыз. 4.2-сабақты еске түсіреміз: бөлімдерді 10-ға немесе 100-ге келтіреміз. Сосын солдан оңға қарай ретімен есептейміз.

Шешуі.

1. $5{,}85 - 3{,}52 + 0{,}8 = 2{,}33 + 0{,}8 = 3{,}13$.
2. $6{,}16 + 2{,}81 - 1{,}75 = 8{,}97 - 1{,}75 = 7{,}22$.
3. $9{,}7 + 5{,}92 - 3{,}45 = 15{,}62 - 3{,}45 = 12{,}17$.
4. $41{,}7 - 8{,}6 + 2{,}25 = 33{,}1 + 2{,}25 = 35{,}35$.
5. $36{,}63 + 9{,}75 - 6{,}9 = 46{,}38 - 6{,}9 = 39{,}48$.
6. $58{,}75 - 21{,}9 + 4{,}32 = 36{,}85 + 4{,}32 = 41{,}17$.

Жауабы: 1) 3,13; 2) 7,22; 3) 12,17; 4) 35,35; 5) 39,48; 6) 41,17.

№ 794

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $0{,}3x + 0{,}8y + 1{,}5x + 1{,}2y$; 2) $4{,}2x + 5{,}3y - 2{,}6y - 1{,}8x$; 3) $1{,}5a + 9{,}7b + 5{,}8a - 1{,}3b$; 4) $12{,}75a + 1{,}85b - 9{,}55a + 3{,}5b$.

Қалай ойлаймыз. «Иксті» иксімен, «игректі» игрегімен қосамыз. Алманы алмамен, алмұртты алмұртпен қосқандай.

Шешуі.

1. $(0{,}3 + 1{,}5)x + (0{,}8 + 1{,}2)y = 1{,}8x + 2y$.
2. $(4{,}2 - 1{,}8)x + (5{,}3 - 2{,}6)y = 2{,}4x + 2{,}7y$.
3. $(1{,}5 + 5{,}8)a + (9{,}7 - 1{,}3)b = 7{,}3a + 8{,}4b$.
4. $(12{,}75 - 9{,}55)a + (1{,}85 + 3{,}5)b = 3{,}2a + 5{,}35b$.

Жауабы: 1) $1{,}8x + 2y$; 2) $2{,}4x + 2{,}7y$; 3) $7{,}3a + 8{,}4b$; 4) $3{,}2a + 5{,}35b$.

№ 795

Ұшақ $A$ қаласынан $B$ қаласына ұшты. Ол 2,7 сағат ұшқан соң аралықтағы қала әуежайына қонып, онда 48 мин тоқтады. Ұшақ аралықтағы қала әуежайынан $B$ қаласының әуежайына дейін 2,6 сағ ұшты. Ұшақ $A$ қаласынан ұшқан соң неше сағаттан кейін $B$ қаласына ұшып барды?

Қалай ойлаймыз. Сағатты минутпен қосуға болмайды! Алдымен 48 минутты сағатқа айналдыр.

Шешуі.

1. $48\text{ мин} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5} = 0{,}8$ сағ.
2. $2{,}7 + 0{,}8 + 2{,}6 = 6{,}1$ сағ.

Жауабы: 6,1 сағаттан соң.

№ 796

Қолдорбашаға 4,7 килограмнан артық зат салуға болмайды. Оған массасы: 1) 0,75 кг кәмпитті, 2,5 кг алманы және 1,8 кг шұжықты; 2) 0,67 кг мармеладты, 2,13 кг алмұртты және 1,5 кг шұжықты салуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Сатып алған заттарды қосып, 4,7 кг-мен салыстырамыз. Артық болса — қолдорбаша жыртылады.

Шешуі.

1. $0{,}75 + 2{,}5 + 1{,}8 = 5{,}05$ кг. $5{,}05 > 4{,}7$ — болмайды.
2. $0{,}67 + 2{,}13 + 1{,}5 = 2{,}8 + 1{,}5 = 4{,}3$ кг. $4{,}3 < 4{,}7$ — болады.

Жауабы: 1) болмайды (5,05 кг); 2) болады (4,3 кг).

№ 797

Есептің шығару өрнегін құрып, мәнін табыңдар. $A$ және $B$ пункттерінің арақашықтығы 8,5 км. $A$ пунктінен $B$ пунктіне қарай жаяу адам шықты. Осы уақытта $B$ пунктінен сол бағытта велосипедші шықты. Жаяу адамның жылдамдығы 4,7 км/сағ, ал велосипедшінікі — 10,4 км/сағ. Бір сағаттан кейін олардың арақашықтығы неше километр болды?

Қалай ойлаймыз. Екеуі де бір бағытта жүр, велосипедші алда әрі тезірек. Демек, әр сағат сайын арақашықтық жылдамдықтардың айырмасына өседі.

Шешуі. $8{,}5 + (10{,}4 - 4{,}7) = 8{,}5 + 5{,}7 = 14{,}2$ км.

Басқа тәсіл: $8{,}5 + 10{,}4 - 4{,}7 = 18{,}9 - 4{,}7 = 14{,}2$ км.

Жауабы: 14,2 км.

№ 798

Түлкінің жылдамдығы қоянның жылдамдығынан 6,7 м/с кем. Бүркіттің жылдамдығы қоянның жылдамдығынан 19,4 м/с артық. Егер түлкінің жылдамдығы 10 м/с болса, бүркіттің жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Алдымен қоянды табамыз — ол түлкі мен бүркіттің арасындағы «көпір».

Шешуі.

1. Қоян: $10 + 6{,}7 = 16{,}7$ м/с.
2. Бүркіт: $16{,}7 + 19{,}4 = 36{,}1$ м/с.

🌟 Бүркіт — Қазақстанның рәмізі, ол мемлекеттік жалауда бейнеленген. Бүркітпен аңшылық ету — ежелгі қазақ дәстүрі.

Жауабы: 36,1 м/с.

№ 799

Сүт екі ыдысқа құйылған. Бірінші ыдыстағы сүт 5,4 л. Бірінші ыдыстан 1,2 л сүтті екінші ыдысқа құйғанда, екінші ыдыстағы сүт бірінші ыдыстағы қалған сүттен 2,8 л артық болды. Алғашқыда екінші ыдыста неше литр сүт болған? А. 5,8 л; В. 8 л; С. 7,5 л; D. 10 л.

Қалай ойлаймыз. Құю тарихымен жүреміз: алдымен не болғанын біліп, сосын «кері айналдырамыз».

Шешуі.

1. Біріншіде қалды: $5{,}4 - 1{,}2 = 4{,}2$ л.
2. Екіншіде болды: $4{,}2 + 2{,}8 = 7$ л.
3. Құйғанға дейін екіншіде болған: $7 - 1{,}2 = 5{,}8$ л.

Жауабы: 5,8 л (A).

№ 800

Қосылғыштарды сағат есебімен ондық бөлшекпен өрнектеп алып, қосындыны табыңдар: 1) 1 сағ 30 мин + 45 мин + 3 сағ 12 мин + 15 мин; 2) 2 сағ 15 мин + 30 мин + 1 сағ 45 мин + 12 мин.

Қалай ойлаймыз. Есіңде болсын: 30 мин = 0,5 сағ, 15 мин = 0,25 сағ, 45 мин = 0,75 сағ, 12 мин = 0,2 сағ. Сосын бүтін сан беретін «достарды» ізде.

Шешуі. $30\text{ мин} = 0{,}5$ сағ; $45\text{ мин} = 0{,}75$ сағ; $12\text{ мин} = 0{,}2$ сағ; $15\text{ мин} = 0{,}25$ сағ.

1. $1{,}5 + 0{,}75 + 3{,}2 + 0{,}25 = (0{,}75 + 0{,}25) + 1{,}5 + 3{,}2 = 1 + 4{,}7 = 5{,}7$ сағ.
2. $2{,}25 + 0{,}5 + 1{,}75 + 0{,}2 = (2{,}25 + 1{,}75) + 0{,}5 + 0{,}2 = 4 + 0{,}7 = 4{,}7$ сағ.

Жауабы: 1) 5,7 сағ; 2) 4,7 сағ.

C деңгейі

№ 801

Қосудың ауыстырымдылық және терімділік қасиеттерін пайдаланып есептеңдер: 1) $2{,}3 + 4{,}5 + 0{,}6 + 0{,}5 + 1{,}7 + 0{,}4$; 2) $8{,}01 + 9{,}08 + 5{,}13 + 1{,}99 + 0{,}87 + 4{,}92$; 3) $6{,}091 + 7{,}083 + 3{,}127 + 0{,}373 + 2{,}117 + 0{,}209$.

Қалай ойлаймыз. Сандар әдейі араластырылған. Бірге дөңгелек сан беретін «құйрықтары» бар жұптарды тап: 0,3 және 0,7, 0,01 және 0,99…

Шешуі.

1. $(2{,}3 + 1{,}7) + (4{,}5 + 0{,}5) + (0{,}6 + 0{,}4) = 4 + 5 + 1 = 10$.
2. $(8{,}01 + 1{,}99) + (9{,}08 + 4{,}92) + (5{,}13 + 0{,}87) = 10 + 14 + 6 = 30$.
3. $(6{,}091 + 0{,}209) + (7{,}083 + 2{,}117) + (3{,}127 + 0{,}373) = 6{,}3 + 9{,}2 + 3{,}5 = 19$.

Жауабы: 1) 10; 2) 30; 3) 19.

№ 802

Қосындыны табыңдар: 1) $(9 - 0{,}9) + (8 - 0{,}8) + (7 - 0{,}7) + (6 - 0{,}6) + (5 - 0{,}5) + (4 - 0{,}4)$; 2) $(5{,}12 - 4{,}21) + (6{,}23 - 4{,}32) + (7{,}34 - 4{,}43) + (6{,}45 - 2{,}54) + (5{,}56 - 0{,}65)$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші мысалда барлық азайғыштарды бөлек, барлық азайтқыштарды бөлек жинаған ыңғайлы. Екіншісінде жақшаларды есептесең, қайталанатын «құйрық» 0,91-ді байқайсың.

Шешуі.

1. Азайғыштар мен азайтқыштарды бөлек қосамыз: $(9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4) - (0{,}9 + 0{,}8 + 0{,}7 + 0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}4) = 39 - 3{,}9 = 35{,}1$.
2. Әр жақша: $0{,}91$; $1{,}91$; $2{,}91$; $3{,}91$; $4{,}91$. Қосындысы: $0{,}91 + 1{,}91 + 2{,}91 + 3{,}91 + 4{,}91 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4) + 5 \cdot 0{,}91 = 10 + 4{,}55 = 14{,}55$.

Жауабы: 1) 35,1; 2) 14,55.

№ 803

Бірлік кесіндісі 1 см координаталық сәуле бойында $C(8{,}2)$ нүктесі берілген. Осы сәуле бойында $C$ нүктесінің сол жағында $A$ нүктесі, оң жағында $B$ нүктесі кескінделген. Мұндағы $AC = 6{,}2$ см, ал $CB = 2{,}8$ см. $AB$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Оңға — қосамыз, солға — азайтамыз. Ал $AB$ кесіндісі екі бөліктен тұрады: $AC$ және $CB$.

Шешуі.

1. $B$: $8{,}2 + 2{,}8 = 11$, яғни $B(11)$.
2. $A$: $8{,}2 - 6{,}2 = 2$, яғни $A(2)$.
3. $AB = AC + CB = 6{,}2 + 2{,}8 = 9$ (немесе $11 - 2 = 9$).

Жауабы: $AB = 9$ (9 см).

№ 804

Тапсырманы бірінші жұмысшы 4 сағатта, ал екінші жұмысшы 5 сағатта орындайды. Үшінші жұмысшы екінші жұмысшыға қарағанда 1 сағатта тапсырманың 0,1 бөлігін артық орындайды. Үш жұмысшы 1 сағ бірлесіп жұмыс істегенде, тапсырманың қандай бөлігі орындалмай қалады?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл тапсырма — 1. Оны 4 сағатта орындайтын жұмысшы бір сағатта $\frac{1}{4}$ бөлігін орындайды.

Шешуі.

1. Бір сағатта бірінші жұмысшы тапсырманың $\frac{1}{4} = 0{,}25$ бөлігін, екіншісі — $\frac{1}{5} = 0{,}2$ бөлігін орындайды.
2. Үшіншісі: $0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$.
3. Бірге бір сағатта: $0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}75$.
4. Қалады: $1 - 0{,}75 = 0{,}25$ тапсырма.

Жауабы: тапсырманың 0,25 бөлігі орындалмай қалады.

№ 805

Картоп, орамжапырақ және пияз барлығы 7 га жерге егілді. Картоп пен орамжапырақ 5,2 га жерге егілді. Пияз егілген жердің ауданы орамжапырақ егілген жердің ауданынан 0,35 га кем. Картоп неше гектар жерге егілді?

Қалай ойлаймыз. Тізбекпен ашамыз: пияз → орамжапырақ → картоп.

Шешуі.

1. Пияз: $7 - 5{,}2 = 1{,}8$ га.
2. Орамжапырақ: $1{,}8 + 0{,}35 = 2{,}15$ га.
3. Картоп: $5{,}2 - 2{,}15 = 3{,}05$ га.

Жауабы: 3,05 га.

№ 806

Дөңгелек үстел жанында Әлихан, Самат, Жандос және Асхат отыр. Олар ұшқыш, суретші, экономист, инженер. Инженердің оң жағында экономиске қарсы Асхат отыр. Асхат суретші емес. Жандос ұшқыштың оң жағында Саматқа қарсы отыр. Кімнің мамандығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Логикалық есеп. Төрт орыны бар шаршы үстел сыз: әркімнің екі көршісі және бір қарсы отырған адамы бар. Асхаттан баста — ол туралы белгі көп.

Шешуі.

1. Асхат инженер емес (ол инженердің қасында отыр), экономист емес (экономиске қарсы отыр) және суретші емес. Демек, Асхат — ұшқыш.
2. Жандос ұшқыштың қасында, яғни Асхаттың қасында отыр. Жандосқа қарсы — Самат. Демек, Жандос пен Самат — екеуі де Асхаттың көршілері, ал Асхатқа қарсы Әлихан отыр. Ол — экономист.
3. Инженер Асхаттың қасында, әрі Асхат инженердің оң жағында отыр. Ал Жандос Асхаттың оң жағында. Демек, шеңбермен жүрсек: инженер → Асхат → Жандос. Инженер мен Жандос — Асхаттың екі жағындағы әртүрлі адамдар. Қалды: Самат — инженер.
4. Жандос — суретші.

Жауабы: Асхат — ұшқыш, Әлихан — экономист, Самат — инженер, Жандос — суретші.

№ 807

Үш жәшікте алма бар. Бірінші жәшікке тағы 3,6 кг алманы салғанда, ондағы алма 9,5 кг болды. Екінші жәшіктен үшінші жәшікке 2,5 кг алманы салып, үшінші жәшіктен 1,75 кг алманы сатқанда, үш жәшіктегі алманың массасы бірдей болды. Алғашқыда жәшіктердің әрқайсысында қанша алмадан болды?

Қалай ойлаймыз. Тарихтың соңы белгілі — одан кері қарай жүреміз. Әр әрекетті кері әрекетпен «жоямыз»: қосылса — азайтамыз, алынса — қосамыз.

Шешуі.

1. Біріншіде болған: $9{,}5 - 3{,}6 = 5{,}9$ кг. Соңында барлық жәшікте 9,5 кг-нан.
2. Екінші: одан 2,5 кг алынып, 9,5 кг қалған. Болған: $9{,}5 + 2{,}5 = 12$ кг.
3. Үшінші: оған 2,5 кг қосылып, 1,75 кг алынып, 9,5 кг қалған. Болған: $9{,}5 + 1{,}75 - 2{,}5 = 8{,}75$ кг.

Тексеру: $8{,}75 + 2{,}5 - 1{,}75 = 9{,}5$. Дұрыс.

Жауабы: 5,9 кг; 12 кг; 8,75 кг.

№ 808

Түлкі тышқанды көрді. Түлкі 4 рет секіргенде тышқанға жетер еді, бірақ тышқан қаша жөнелді. Түлкінің бір секіру ұзындығы тышқанның 12 қадамына тең. Егер түлкі бір рет секірген уақытта тышқан 4 қадам жасаса, түлкі неше рет секіргенде тышқанды ұстайды?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Бәрін тышқанның қадамымен өлшеп, түлкінің бір секіруде қанша қуып жететінін қараймыз.

Шешуі.

1. Тышқанға дейінгі арақашықтық: $4 \cdot 12 = 48$ тышқан қадамы.
2. Бір секіргенде түлкі 12 қадам жүреді, тышқан 4 қадам қашады. Арақашықтық $12 - 4 = 8$ қадамға қысқарады.
3. Секіру саны: $48 : 8 = 6$.

Жауабы: 6 рет секіргенде.

№ 809

$ABCD$ төртбұрышын және $ABCDEFKL$ көпбұрышын тік төртбұрышқа дейін толықтырып, әрқайсысының ауданын квадрат сантиметр есебімен табыңдар (4.9-сурет). (4 торкөз 1 см² деп есептеңдер.)

Қалай ойлаймыз. Фигуралар торкөздер бойынша салынған. Дәптердің торкөзі — 5 мм, сондықтан оның ауданы $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ см², ал 4 торкөз — 1 см². Фигураны тік төртбұрышқа дейін толықтырып, артық тікбұрышты үшбұрыштарды азайтамыз. Мұндай үшбұрыш — тік төртбұрыштың жартысы.

Шешуі.

1. $ABCD$ параллелограмы: $AD$ және $BC$ қабырғалары 8 торкөзден, $B$ төбесі $A$-дан 4 торкөз оңға және 6 торкөз жоғары жылжыған. $12 \times 6$ торкөзді тік төртбұрышқа дейін толықтырамыз: $72$ торкөз. Артығы — катеттері 4 және 6 болатын екі үшбұрыш, әрқайсысы $4 \cdot 6 : 2 = 12$ торкөз. Ауданы: $72 - 24 = 48$ торкөз $= 48 : 4 = 12$ см².
2. Сегізбұрыш $12 \times 8$ торкөзді тік төртбұрышқа іштей сызылған: $96$ торкөз. Бұрыштарында катеттері 4 және 2 болатын төрт үшбұрыш бар, әрқайсысы $4 \cdot 2 : 2 = 4$ торкөз. Ауданы: $96 - 16 = 80$ торкөз $= 80 : 4 = 20$ см².

Жауабы: $S_{ABCD} = 12$ см²; $S_{ABCDEFKL} = 20$ см².

№ 810

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{3{,}557 + x}{2} = 4$; 2) $\frac{x - 0{,}731}{3} = 5$; 3) $\frac{12{,}392 + x}{5} = 2{,}365 + 2{,}635$; 4) $\frac{125{,}95 - x}{2{,}65 + 4{,}35} = 6$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу белгісі. Белгісіз бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш. Алдымен есептелетінің бәрін (оң жағын, бөлімін) есепте.

Шешуі.

1. $3{,}557 + x = 4 \cdot 2 = 8$; $x = 8 - 3{,}557 = 4{,}443$.
2. $x - 0{,}731 = 5 \cdot 3 = 15$; $x = 15 + 0{,}731 = 15{,}731$.
3. Оң жағы: $2{,}365 + 2{,}635 = 5$. $12{,}392 + x = 5 \cdot 5 = 25$; $x = 25 - 12{,}392 = 12{,}608$.
4. Бөлімі: $2{,}65 + 4{,}35 = 7$. $125{,}95 - x = 6 \cdot 7 = 42$; $x = 125{,}95 - 42 = 83{,}95$.

Тексеру 1): $(3{,}557 + 4{,}443) : 2 = 8 : 2 = 4$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $x = 4{,}443$; 2) $x = 15{,}731$; 3) $x = 12{,}608$; 4) $x = 83{,}95$.

Жадынама

• Үтірден кейінгі таңбалар санын оң жағына нөл жазып теңестіреміз.
• Үтір үтірдің астында, разряд разрядтың астында.
• Жай сандар сияқты оңнан солға қарай қосамыз және азайтамыз.
• Бүтін санды үтірмен және нөлдермен жазамыз: $25 = 25{,}00$.
• Қосу қасиеттері бұрынғыдай жұмыс істейді: бүтін сан беретін қосылғыштарды топтаймыз.

Шағын тест