4.5. Ондық бөлшекті натурал санға көбейту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 45–50-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті натурал санға баған түрінде көбейтуді.
• Үтірді жауапта дәл орнына қойып, болжаммен тексеруді.
• $2{,}5 \cdot 4 = 10$ сияқты жұптармен жылдамырақ есептеуді.
• Километрді метрге, сағатты минутқа айналдыруды: 1,2 сағ неше минут?
• Санның бөлігін табуды, мысалы 15 вагонның 0,6-сын.

Ой қозғау

Есеп: 1 см³ темірдің массасы 7,9 г. 4 см³ темірдің массасы қанша? Үш тәсілмен шығарып көрейік.

• 1-тәсіл: жай қоса салсақ ше? $7{,}9 + 7{,}9 + 7{,}9 + 7{,}9 = 15{,}8 + 15{,}8 = 31{,}6$ г.
• 2-тәсіл: аралас сан арқылы ше? $7\frac{9}{10} \cdot 4 = \frac{79}{10} \cdot 4 = \frac{316}{10} = 31\frac{6}{10} = 31{,}6$ г.
• 3-тәсіл: үтірді ескермесек ше? $79 \cdot 4 = 316$. Бірақ 316 г — жалған жауап: 7,9 г-дық төрт кесек 32 г-ға да жетпейді. 7,9 санында үтірден кейін бір цифр бар, демек, жауапта да бір цифрды ажыратамыз: 31,6 г.

💡 Үшінші тәсіл — ең жылдамы. Біз соны үйренеміз, тек үтірді жоғалтпаймыз!

Тақырыпты талдаймыз

Ондық үлестерді де санауға болады

0,3 саны — 3 ондық үлес. Оны 4 рет алайық: 3 ондық + 3 ондық + 3 ондық + 3 ондық = 12 ондық. Ал 12 ондық — бір бүтін және тағы 2 ондық, яғни 1,2.

Енді сәуледе 0,3-тен төрт секіріс жасап көр. Қайда қонасың?

«Үтірді жасыр» айласы

$4{,}23 \cdot 5$ мысалын алайық. 4,23 саны — 423 жүздік. Көбейтеміз: $423 \cdot 5 = 2115$ жүздік. Ал 2115 жүздік — 21,15. Жүздік үлестер — үтірден кейінгі екі цифр, сондықтан екі цифрды ажыратамыз.

   4,23
×     5
──────
  21,15

📌 Ереже. 1) Үтір жоқ сияқты көбейт. 2) Бөлшекте үтірден кейін неше цифр бар екенін сана. 3) Жауапта оң жақтан сонша цифрды санап, үтір қой.

Бағанда сандарды оң жақ шетінен тураластырып жазамыз, үтір үтірдің астында емес: үтір тек бір көбейткіште ғана бар.

   25,85        8,9       0,009
×      7      ×   6     ×     8
───────      ─────     ───────
  180,95       53,4      0,072

Соңғы мысалға қарашы: $9 \cdot 8 = 72$, ал үш цифрды ажырату керек. Цифр жетпей ме? Сол жағына нөл жазамыз: 0,072.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}009 \cdot 8 = 0{,}72$ деп жазады. Болжап көр: 0,009 — ұсақ-түйек, бір жүздіктен кіші. Сегіз ұсақ-түйек 0,72 бере алмайды. Дұрысы — 0,072: үтірден кейін үш цифр, 0,009-дағыдай.

Соңындағы нөлдер артық болғанда

$41{,}54 \cdot 15$: үтірсіз $4154 \cdot 15 = 62,310$. Екі цифрды ажыратамыз: 623,10. Бөлшек бөліктің соңындағы нөлді сызып тастауға болады: 623,1. Бірақ тек үтірді қойғаннан кейін!

    41,54
  ×    15
  ───────
    20770
 + 4154
  ───────
   623,10 = 623,1

⚠️ Жиі кететін қате. $2{,}5 \cdot 4$: «100» көріп, 100 деп жазады. Бір цифрды ажыратамыз: 10,0 = 10. Болжам: 2,5 саны 3-тен кіші, ал $3 \cdot 4 = 12$. Демек, шамамен 10, ешқашан 100 емес.

Көбейту қасиеттері жоғалған жоқ

• Көбейткіштерді ауыстыр: $2{,}81 \cdot 3 = 3 \cdot 2{,}81$.
• Ыңғайлы топтастыр: $(3 \cdot 2{,}5) \cdot 4 = 3 \cdot (2{,}5 \cdot 4) = 3 \cdot 10 = 30$.
• Жақшаны аш: $(6{,}3 + 2) \cdot 5 = 6{,}3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 31{,}5 + 10 = 41{,}5$.

💡 «Сиқырлы жұптарды» есіңде сақта — олар дөңгелек сан береді: $2{,}5 \cdot 4 = 10$, $0{,}5 \cdot 2 = 1$, $1{,}25 \cdot 8 = 10$, $0{,}25 \cdot 4 = 1$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр мысалдың алдында болжам жасатыңыз: бөлшекті бүтінге дейін дөңгелектеп, ойша көбейту. $8{,}31 \cdot 14 \approx 8 \cdot 14 = 112$. Дәптерде 1163,4 немесе 11,634 шықса — үтір ығысып кеткен.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті натурал санға қалай көбейтеді? Үтірге қарамай көбейтеді. Сосын жауапта оң жақтан бөлшектегі үтірден кейінгі цифрлар санындай цифрды ажыратады.
• 0,005 санын натурал санға көбейтсек, жауапта үтірден кейін неше цифр болады? Үш цифр ажыратамыз, 0,005-тегідей. Соңындағы нөлдерді кейін алып тастауға болады: $0{,}005 \cdot 3 = 0{,}015$, ал $0{,}005 \cdot 2 = 0{,}010 = 0{,}01$.
• Өздік жұмыс: $25{,}85 \cdot 7$, $8{,}9 \cdot 6$, $0{,}009 \cdot 8$? 180,95; 53,4; 0,072.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 811

Есептеңдер (ауызша): 1) $0{,}6 \cdot 7$; $0{,}9 \cdot 5$; $0{,}4 \cdot 3$; 2) $0{,}03 \cdot 9$; $0{,}04 \cdot 8$; $0{,}06 \cdot 4$; 3) $1{,}2 \cdot 4$; $1{,}6 \cdot 3$; $1{,}5 \cdot 5$; 4) $3{,}5 \cdot 10$; $4{,}42 \cdot 10$; $6{,}3 \cdot 100$.

Қалай ойлаймыз. «Үтірсіз» көбейтіп, үтірді орнына қайтарамыз. 10-ға және 100-ге көбейткенде үтір оңға 1 және 2 таңбаға секіреді.

Шешуі.

1. $0{,}6 \cdot 7 = 4{,}2$; $0{,}9 \cdot 5 = 4{,}5$; $0{,}4 \cdot 3 = 1{,}2$;
2. $0{,}03 \cdot 9 = 0{,}27$; $0{,}04 \cdot 8 = 0{,}32$; $0{,}06 \cdot 4 = 0{,}24$;
3. $1{,}2 \cdot 4 = 4{,}8$; $1{,}6 \cdot 3 = 4{,}8$; $1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$;
4. $3{,}5 \cdot 10 = 35$; $4{,}42 \cdot 10 = 44{,}2$; $6{,}3 \cdot 100 = 630$.

Жауабы: 1) 4,2; 4,5; 1,2. 2) 0,27; 0,32; 0,24. 3) 4,8; 4,8; 7,5. 4) 35; 44,2; 630.

A деңгейі

№ 812

Көбейтуді орындаңдар: 1) $6{,}3 \cdot 7$; 2) $8{,}35 \cdot 3$; 3) $9{,}6 \cdot 8$; 4) $4{,}5 \cdot 12$; 5) $8{,}31 \cdot 14$; 6) $9{,}5 \cdot 11$; 7) $9{,}03 \cdot 17$; 8) $9{,}04 \cdot 15$; 9) $2{,}15 \cdot 12$.

Қалай ойлаймыз. Әр жолы үш қадам: үтірсіз көбейту, үтірден кейінгі цифрларды санау, жауапта оларды ажырату.

Шешуі.

5-тармақ баған түрінде былай көрінеді:

    8,31
  ×   14
  ──────
    3324
 +  831
  ──────
  116,34

Жауабы: 1) 44,1; 2) 25,05; 3) 76,8; 4) 54; 5) 116,34; 6) 104,5; 7) 153,51; 8) 135,6; 9) 25,8.

№ 813

Көбейтуді орындаңдар: 1) $0{,}5 \cdot 45$; 2) $0{,}4 \cdot 40$; 3) $0{,}2 \cdot 9$; 4) $0{,}8 \cdot 5$; 5) $0{,}7 \cdot 3$; 6) $0{,}3 \cdot 25$; 7) $(1{,}7+2) \cdot 4$; 8) $(5{,}3+1{,}4) \cdot 3$; 9) $(6{,}15+3{,}5) \cdot 5$.

Қалай ойлаймыз. Жақшасы бар жерде алдымен жақшаның ішін есептейміз. Қалғаны — «үтірді жасыр».

Шешуі.

1. $0{,}5 \cdot 45 = 22{,}5$ ($5 \cdot 45 = 225$);
2. $0{,}4 \cdot 40 = 16{,}0 = 16$;
3. $0{,}2 \cdot 9 = 1{,}8$;
4. $0{,}8 \cdot 5 = 4{,}0 = 4$;
5. $0{,}7 \cdot 3 = 2{,}1$;
6. $0{,}3 \cdot 25 = 7{,}5$;
7. $(1{,}7 + 2) \cdot 4 = 3{,}7 \cdot 4 = 14{,}8$;
8. $(5{,}3 + 1{,}4) \cdot 3 = 6{,}7 \cdot 3 = 20{,}1$;
9. $(6{,}15 + 3{,}5) \cdot 5 = 9{,}65 \cdot 5 = 48{,}25$.

Жауабы: 1) 22,5; 2) 16; 3) 1,8; 4) 4; 5) 2,1; 6) 7,5; 7) 14,8; 8) 20,1; 9) 48,25.

№ 814

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $29x$, мұндағы $x = 5$; $12$; 2) $1{,}6x + y$, мұндағы $x = 9$; $y = 5{,}6$; 3) $0{,}84x + 0{,}6y$, мұндағы $x = 3$; $y = 4$; 4) $7{,}5x + 6{,}9y$, мұндағы $x = 8$; $y = 3$.

Қалай ойлаймыз. Әріптердің орнына сандарды қоямыз. Алдымен көбейту, сосын қосу.

Шешуі.

1. $29 \cdot 5 = 145$; $29 \cdot 12 = 348$;
2. $1{,}6 \cdot 9 + 5{,}6 = 14{,}4 + 5{,}6 = 20$;
3. $0{,}84 \cdot 3 + 0{,}6 \cdot 4 = 2{,}52 + 2{,}4 = 4{,}92$;
4. $7{,}5 \cdot 8 + 6{,}9 \cdot 3 = 60 + 20{,}7 = 80{,}7$.

Жауабы: 1) 145 және 348; 2) 20; 3) 4,92; 4) 80,7.

📕 Қазақша басылымда 1-тармақта «$29x$» деп басылған. Бұл тақырып ондық бөлшектерге арналғандықтан, мұнда $2{,}9x$ болуы мүмкін еді (сонда жауап: 14,5 және 34,8). Басылғанындай шешілді.

№ 815

Дыбыстың ауадағы жылдамдығы 332,5 м/с. Ұшып бара жатқан ұшақ моторының шуы (дыбысы) оны көрген соң 4 секундтан кейін естіледі. Шуы естілген кезде ұшақ қандай қашықтықта болғаны?

Қалай ойлаймыз. Дыбыс балаға 4 секунд жүріп келді. Жол = жылдамдық × уақыт.

Шешуі. $332{,}5 \cdot 4 = 1330$ (м).

Жауабы: 1330 м.

🌟 Сондықтан күннің күркіресін найзағайды көргеннен кейін естиміз: жарық бірден жетеді, ал дыбыс әр километрге шамамен 3 секундтан кідіреді.

№ 816

Жеңіл машина 74,8 км/сағ жылдамдықпен жүріп, 4 сағатта қандай қашықтыққа барады?

Шешуі. $74{,}8 \cdot 4 = 299{,}2$ (км).

Жауабы: 299,2 км.

№ 817

1) Қабырғасы 5,7 см квадраттың периметрін табыңдар. 2) Тік төртбұрыштың ұзындығы 5,6 см, ені 3,7 см. Тік төртбұрыштың периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттың 4 тең қабырғасы бар. Тік төртбұрышта екі ұзындық және екі ен бар.

Шешуі.

1. $5{,}7 \cdot 4 = 22{,}8$ (см).
2. $P = (5{,}6 + 3{,}7) \cdot 2 = 9{,}3 \cdot 2 = 18{,}6$ (см).

Жауабы: 1) 22,8 см; 2) 18,6 см.

№ 818

1 кг кәмпиттің бағасы 560 теңге. 3 кг 500 г кәмпит сатып алу үшін қанша ақша төлеу керек? $a$ кг кәмпит сатып алу үшін қанша ақша төлеу керек?

Қалай ойлаймыз. 500 г — килограмның жартысы, яғни 0,5 кг. Демек, 3 кг 500 г = 3,5 кг.

Шешуі.

1. $560 \cdot 3{,}5 = 3{,}5 \cdot 560 = 1960$ (тг). Тексеру: 3 кг $560 \cdot 3 = 1680$ тұрады, жарты келі — $560 : 2 = 280$, бірге $1680 + 280 = 1960$.
2. $a$ кг үшін: $560 \cdot a = 560a$ (тг).

Жауабы: 1960 тг; $560a$ тг.

№ 819

Жұлдызшалардың орнына тиісті цифрларды жазыңдар: 1) $5{,}\ast3 \cdot \ast4$, толымсыз көбейтінділер $\ast\ast5\ast$ және $\ast\ast39$, жауабы $174{,}4\ast$; 2) $\ast7{,}\ast \cdot 2\ast$, толымсыз көбейтінділер $000$ және $13\ast0$; 3) $0{,}\ast1\ast \cdot \ast4$, толымсыз көбейтінділер $2864$ және $\ast1\ast$, жауабы 10,024.

Қалай ойлаймыз. Бұл — детектив-есеп. Соңғы цифрлар бойынша із іздейміз, сосын азғана нұсқаны тексереміз.

Шешуі.

1. Толық түсіндірме — жоғарыдағы қадамдарда. Нәтиже:

    5,13
  ×   34
  ──────
    2052
 + 1539
  ──────
  174,42

2. $\ast7{,}\ast \cdot 2\ast$, толымсыз көбейтінділер $000$ және $13\ast0$.
   • Бірінші толымсыз көбейтінді тек нөлден тұрады — демек, көбейткіштің соңғы цифры 0. Көбейткіш 20.
   • Екіншісі: $\ast7\ast \cdot 2 = 13\ast0$. Тек 670-тен 679-ға дейінгі сандар келеді, ал көбейтінді 0-мен аяқталу керек: бұл 670 немесе 675.
   • Соңында нөлі бар 67,0 бөлшегін әдетте жазбайды, сондықтан 67,5 аламыз: $675 \cdot 2 = 1350$, жауабы $67{,}5 \cdot 20 = 1350{,}0$.

     67,5
   ×   20
   ──────
      000
 + 1350
   ──────
   1350,0

(Формалды түрде $67{,}0 \cdot 20 = 1340{,}0$ да келеді.)

3. $0{,}\ast1\ast \cdot \ast4$, толымсыз көбейтінділер $2864$ және $\ast1\ast$, жауабы 10,024.
   • $\ast1\ast \cdot 4 = 2864$, демек, $\ast1\ast = 2864 : 4 = 716$.
   • Екінші толымсыз көбейтінді үш таңбалы, ортасында 1 тұр: $716 \cdot 1 = 716$. Көбейткіштің ондық цифры — 1, көбейткіш 14.
   • Тексеру: $716 \cdot 14 = 2864 + 7160 = 10,024$, жауабы 10,024. Сәйкес келеді!

    0,716
  ×    14
  ───────
     2864
 +   716
  ───────
   10,024

Жауабы: 1) $5{,}13 \cdot 34 = 174{,}42$; 2) $67{,}5 \cdot 20 = 1350{,}0$; 3) $0{,}716 \cdot 14 = 10{,}024$.

B деңгейі

№ 820

Амалдарды орындаңдар: 1) $(2{,}6+3{,}7) \cdot 5$; 2) $(18{,}07-6{,}03) \cdot 8$; 3) $(24{,}95+17{,}8) \cdot 9$; 4) $(48{,}316-19{,}83) \cdot 20$; 5) $(15{,}07-8{,}9) \cdot 30$; 6) $(2-0{,}7) \cdot 50$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақша, сосын көбейту. 20-ға, 30-ға, 50-ге екі қадаммен көбейткен ыңғайлы: алдымен 2-ге (3-ке, 5-ке), сосын 10-ға.

Шешуі.

1. $6{,}3 \cdot 5 = 31{,}5$;
2. $12{,}04 \cdot 8 = 96{,}32$;
3. $42{,}75 \cdot 9 = 384{,}75$;
4. $28{,}486 \cdot 20 = 569{,}72$ ($28,486 \cdot 2 = 56,972$, сосын $\cdot 10$: 569 720, үш цифрды ажыратамыз: 569,720);
5. $6{,}17 \cdot 30 = 185{,}1$;
6. $1{,}3 \cdot 50 = 65$.

Жауабы: 1) 31,5; 2) 96,32; 3) 384,75; 4) 569,72; 5) 185,1; 6) 65.

№ 821

Амалдарды орындаңдар: 1) $2{,}3 \cdot 11 + 1{,}8 \cdot 15$; 2) $6{,}25 \cdot 16 + 18{,}9 \cdot 21$; 3) $9{,}03 \cdot 25 - 10{,}7 \cdot 15$; 4) $1{,}5 \cdot 10 + 2{,}08 \cdot 45$; 5) $12{,}08 \cdot 100 - 75{,}6 \cdot 11$; 6) $46{,}131 \cdot 10 + 91{,}05 \cdot 100$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі көбейтуді, сосын қосуды немесе азайтуды орындаймыз.

Шешуі.

1. $25{,}3 + 27 = 52{,}3$;
2. $100 + 396{,}9 = 496{,}9$;
3. $225{,}75 - 160{,}5 = 65{,}25$;
4. $15 + 93{,}6 = 108{,}6$;
5. $1208 - 831{,}6 = 376{,}4$;
6. $461{,}31 + 9105 = 9566{,}31$.

Жауабы: 1) 52,3; 2) 496,9; 3) 65,25; 4) 108,6; 5) 376,4; 6) 9566,31.

№ 822

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $8{,}3 \cdot 7 + 4{,}5 \cdot 7 + 1{,}7 \cdot 7 + 5{,}5 \cdot 7$; 2) $0{,}85 \cdot 4 + 0{,}73 \cdot 5 + 0{,}15 \cdot 4 + 0{,}27 \cdot 5$; 3) $5{,}25 \cdot 2 + 6{,}31 \cdot 3 + 2 \cdot 0{,}75 + 3 \cdot 0{,}69$.

Қалай ойлаймыз. Бірдей көбейткішті іздеп, жақшаның алдына шығарамыз. Ал жақшаның ішінде дөңгелек сан беретін жұптарды жинаймыз.

Шешуі.

1. $7 \cdot (8{,}3 + 1{,}7 + 4{,}5 + 5{,}5) = 7 \cdot (10 + 10) = 7 \cdot 20 = 140$;
2. $4 \cdot (0{,}85 + 0{,}15) + 5 \cdot (0{,}73 + 0{,}27) = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 9$;
3. $2 \cdot (5{,}25 + 0{,}75) + 3 \cdot (6{,}31 + 0{,}69) = 2 \cdot 6 + 3 \cdot 7 = 12 + 21 = 33$.

Жауабы: 1) 140; 2) 9; 3) 33.

№ 823

Өрнектеңдер: 1) метр есебімен: 4,25 км; 0,82 км; 0,021 км; 1,8 км; 2) грамм есебімен: 16,3 кг; 6,25 кг; 0,64 кг; 0,003 кг; 3) минут есебімен: 0,5 сағ; 1,2 сағ; 2,1 сағ; 4,6 сағ; 4) секунд есебімен: 3,2 мин; 4,5 мин; 0,7 мин; 9,25 мин. Үлгі: 1,4 сағ = 1,4 · 60 = 84 (мин).

Қалай ойлаймыз. 1 км = 1000 м, 1 кг = 1000 г, 1 сағ = 60 мин, 1 мин = 60 с. 1000-ға немесе 60-қа көбейтеміз. Үлгі: $1{,}4$ сағ $= 1{,}4 \cdot 60 = 84$ мин.

Шешуі.

1. $4{,}25 \cdot 1000 = 4250$ м; $0{,}82 \cdot 1000 = 820$ м; $0{,}021 \cdot 1000 = 21$ м; $1{,}8 \cdot 1000 = 1800$ м;
2. 16 300 г; 6250 г; 640 г; 3 г;
3. $0{,}5 \cdot 60 = 30$ мин; $1{,}2 \cdot 60 = 72$ мин; $2{,}1 \cdot 60 = 126$ мин; $4{,}6 \cdot 60 = 276$ мин;
4. $3{,}2 \cdot 60 = 192$ с; $4{,}5 \cdot 60 = 270$ с; $0{,}7 \cdot 60 = 42$ с; $9{,}25 \cdot 60 = 555$ с.

Жауабы: 1) 4250 м, 820 м, 21 м, 1800 м; 2) 16 300 г, 6250 г, 640 г, 3 г; 3) 30, 72, 126, 276 мин; 4) 192, 270, 42, 555 с.

⚠️ Жиі кететін қате. 1,2 сағатты «1 сағ 2 мин» немесе «1 сағ 20 мин» деп оқиды. Ал 0,2 сағ — сағаттың екі ондығы: $0{,}2 \cdot 60 = 12$ мин. Демек, 1,2 сағ = 1 сағ 12 мин = 72 мин.

№ 824

Жолаушылар пойызында 15 вагон бар. Оның 0,6-сы купелі вагондар, қалғандары плацкарт вагондар. Жолаушылар пойызында неше плацкарт вагон бар? А. 10 вагон; В. 5 вагон; С. 6 вагон; D. 4 вагон.

Қалай ойлаймыз. «15-тің 0,6-сы» — бұл $15 \cdot 0{,}6$. Қалған вагондар — плацкарт.

Шешуі.

1. Купелі: $15 \cdot 0{,}6 = 9$ вагон.
2. Плацкарт: $15 - 9 = 6$ вагон.

Жауабы: C. 6 вагон.

№ 825

Баланың 480 тг ақшасы бар. Ол барлық ақшасының 0,25-ін және қалғанының 0,5-ін жұмсады. Бала неше теңге жұмсады?

Қалай ойлаймыз. Сақ бол: екінші шығын 480-нен емес, қалғанынан есептеледі.

Шешуі.

1. Алдымен жұмсады: $480 \cdot 0{,}25 = 120$ (тг).
2. Қалғаны: $480 - 120 = 360$ (тг).
3. Кейін жұмсады: $360 \cdot 0{,}5 = 180$ (тг).
4. Барлығы: $120 + 180 = 300$ (тг).

Жауабы: 300 тг.

№ 826

Аймақтағы 18 қаланың әрбіреуі басқа қалалармен әуежолдарымен байланысқан. Аймақтағы осы қалалардың арасында барлығы неше әуежолы бар?

Қалай ойлаймыз. Әр қаладан басқа 17 қалаға ұшақтар ұшады. Бірақ Алматы — Астана әуежолы мен Астана — Алматы әуежолы — бір жол. «$18 \cdot 17$» есебінде әр жол екі рет саналған.

Шешуі. $18 \cdot 17 : 2 = 306 : 2 = 153$.

Жауабы: 153 әуежолы.

№ 827

Тоқыма станогында 1 сағатта 3,45 м мата тоқылады. Бір тоқымашы қатарынан 2 станокта жұмыс істесе, 7 сағатта неше метр мата тоқиды?

Шешуі.

1. Екі станок 1 сағатта: $3{,}45 \cdot 2 = 6{,}9$ (м).
2. 7 сағатта: $6{,}9 \cdot 7 = 48{,}3$ (м).

Жауабы: 48,3 м.

№ 828

1) «Ту-134» ұшағы 900 км/сағ жылдамдықпен 1,5 сағ, ал 850 км/сағ жылдамдықпен 0,4 сағ ұшты. Ол барлығы қанша қашықтықты ұшты? 2) Бір диванды қаптауға 3,25 м, ал бір орындықты қаптауға 0,75 м мата керек. 2 диванды және 12 орындықты қаптауға неше метр мата қажет?

Шешуі.

1. $900 \cdot 1{,}5 = 1350$ (км); $850 \cdot 0{,}4 = 340$ (км); $1350 + 340 = 1690$ (км).
2. $3{,}25 \cdot 2 = 6{,}5$ (м); $0{,}75 \cdot 12 = 9$ (м); $6{,}5 + 9 = 15{,}5$ (м).

Жауабы: 1) 1690 км; 2) 15,5 м.

№ 829

Меншікті жылдамдығы 19,5 км/сағ моторлы қайық ағыс жылдамдығы 2,8 км/сағ өзенде ағыспен 2 сағ, ағысқа қарсы 3 сағ жүзді. Моторлы қайық барлығы қанша қашықтықты жүзіп өтті?

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүзгенде өзен итереді — жылдамдықтарды қосамыз. Ағысқа қарсы жүзгенде кедергі келтіреді — азайтамыз.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдығы: $19{,}5 + 2{,}8 = 22{,}3$ (км/сағ).
2. Ағысқа қарсы жылдамдығы: $19{,}5 - 2{,}8 = 16{,}7$ (км/сағ).
3. Ағыспен: $22{,}3 \cdot 2 = 44{,}6$ (км).
4. Ағысқа қарсы: $16{,}7 \cdot 3 = 50{,}1$ (км).
5. Барлығы: $44{,}6 + 50{,}1 = 94{,}7$ (км).

Жауабы: 94,7 км.

№ 830

Теңдеуді шешіңдер: К. $\frac{m}{1{,}8 + 2{,}05} = 9$; Ә. $\frac{k}{8 - 6{,}09} = 6$; А. $\frac{x}{78{,}09 + 21{,}91} = 0{,}736$; Л. $\frac{n}{5} = 63 - 56{,}08$; И. $\frac{z}{19{,}63 + 0{,}37} = 8{,}376$; Ш. $\frac{y}{98{,}35 - 83{,}17} = 7$. Кестедегі жауаппен бір бағанға оның тұсындағы әріптерді қойыңдар (кестедегі сандар: 11,46; 34,6; 34,65; 73,6; 106,26; 167,52). Сонда ондық бөлшектерге амалдар қолдану ережесін жазған ортаазиялық ғалымның және «Арифметика кілті» кітабының авторының кім екенін білесіңдер.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз бөлінгіш = бөлгіш × бөлінді. Алдымен бөлімде немесе оң жақта тұрғанды ықшамдаймыз.

Шешуі.

• К: $m = (1{,}8 + 2{,}05) \cdot 9 = 3{,}85 \cdot 9 = 34{,}65$;
• Ә: $k = (8 - 6{,}09) \cdot 6 = 1{,}91 \cdot 6 = 11{,}46$;
• А: $x = (78{,}09 + 21{,}91) \cdot 0{,}736 = 100 \cdot 0{,}736 = 73{,}6$;
• Л: $n = 5 \cdot (63 - 56{,}08) = 5 \cdot 6{,}92 = 34{,}6$;
• И: $z = (19{,}63 + 0{,}37) \cdot 8{,}376 = 20 \cdot 8{,}376 = 167{,}52$;
• Ш: $y = (98{,}35 - 83{,}17) \cdot 7 = 15{,}18 \cdot 7 = 106{,}26$.

Жауабы: ӘЛ-КАШИ.

🌟 Жамшид әл-Каши XV ғасырда Самарқандта өмір сүрді және Ұлықбектің обсерваториясында жұмыс істеді. Ол ондық бөлшектерді Еуропада қолдана бастамай тұрып-ақ егжей-тегжейлі сипаттады.

C деңгейі

№ 831

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $(0{,}9 \cdot 5 + 5 \cdot 0{,}6) - (0{,}7 \cdot 2 + 3 \cdot 0{,}7)$; 2) $(13 \cdot 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 9) + (8 \cdot 5{,}6 - 3{,}1 \cdot 8)$; 3) $(3{,}61 \cdot 7 + 7 \cdot 0{,}13) - (2{,}26 \cdot 4 + 3 \cdot 2{,}26)$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшада ортақ көбейткіш жасырынған. Оны шығарсақ — есептеу оңайлайды.

Шешуі.

1. $5 \cdot (0{,}9 + 0{,}6) - 0{,}7 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 1{,}5 - 0{,}7 \cdot 5 = 7{,}5 - 3{,}5 = 4$;
2. $2{,}5 \cdot (13 - 9) + 8 \cdot (5{,}6 - 3{,}1) = 2{,}5 \cdot 4 + 8 \cdot 2{,}5 = 10 + 20 = 30$;
3. $7 \cdot (3{,}61 + 0{,}13) - 2{,}26 \cdot (4 + 3) = 7 \cdot 3{,}74 - 7 \cdot 2{,}26 = 7 \cdot (3{,}74 - 2{,}26) = 7 \cdot 1{,}48 = 10{,}36$.

Жауабы: 1) 4; 2) 30; 3) 10,36.

№ 832

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін қолданып есептеңдер: 1) $(5{,}1 + 3{,}25x) \cdot 6$; 2) $(1{,}03y - 9{,}17) \cdot 12$; 3) $(29{,}66 - 8{,}9x) \cdot 10$; 4) $(0{,}5m - 6{,}19) \cdot 14$; 5) $(2{,}3 + 1{,}8m) \cdot 71$; 6) $(0{,}08k - 0{,}03) \cdot 85$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның сыртындағы санды жақша ішіндегі әр қосылғышқа көбейтеміз. Ешқайсысын қалдырма!

Шешуі.

1. $(5{,}1 + 3{,}25x) \cdot 6 = 30{,}6 + 19{,}5x$;
2. $(1{,}03y - 9{,}17) \cdot 12 = 12{,}36y - 110{,}04$;
3. $(29{,}66 - 8{,}9x) \cdot 10 = 296{,}6 - 89x$;
4. $(0{,}5m - 6{,}19) \cdot 14 = 7m - 86{,}66$;
5. $(2{,}3 + 1{,}8m) \cdot 71 = 163{,}3 + 127{,}8m$;
6. $(0{,}08k - 0{,}03) \cdot 85 = 6{,}8k - 2{,}55$.

Жауабы: 1) $30{,}6 + 19{,}5x$; 2) $12{,}36y - 110{,}04$; 3) $296{,}6 - 89x$; 4) $7m - 86{,}66$; 5) $163{,}3 + 127{,}8m$; 6) $6{,}8k - 2{,}55$.

№ 833

Жер Күнді 29,8 км/с жылдамдықпен айналады. Біз: 1) 2 минутта; 2) 2 сағатта Жермен бірге орбита бойымен неше километр жылжимыз?

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық секундпен берілген — демек, уақытты да секундқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. 2 мин = 120 с; $29{,}8 \cdot 120 = 3576$ (км).
2. 2 сағ = $2 \cdot 3600 = 7200$ с; $29{,}8 \cdot 7200 = 214,560$ (км).

Жауабы: 1) 3576 км; 2) 214 560 км.

🌟 Сен осы есепті бірнеше минут шығарып отырғанда, Жермен бірге Алматыдан Астанаға дейін және кері қайтқан жолдан да ұзақ жол жүріп өтесің!

№ 834

Заттың бағасы 840 тг. Заттың бағасы алғашқы бағасының: 1) 0,25-іне арзандады; 2) 0,08-іне қымбаттады. Заттың соңғы бағасы неше теңге болды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен баға неше теңгеге өзгергенін табамыз. Сосын азайтамыз немесе қосамыз.

Шешуі.

1. $840 \cdot 0{,}25 = 210$ (тг); $840 - 210 = 630$ (тг).
2. $840 \cdot 0{,}08 = 67{,}2$ (тг); $840 + 67{,}2 = 907{,}2$ (тг).

Жауабы: 1) 630 тг; 2) 907,2 тг.

№ 835

Хауызды сумен толтыру үшін екі құбырдан қатарынан 3,15 сағ бойы су құйылады. Бірінші құбырдан 1 минутта 40 л су, ал екінші құбырдан 1 минутта біріншіге қарағанда 1,25 есе артық су құйылады. Хауыздың сыйымдылығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Құбырлар литрді минутпен санайды, ал уақыт сағатпен берілген. Алдымен сағатты минутқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. Екінші құбыр: $40 \cdot 1{,}25 = 50$ (л/мин).
2. Бірге: $40 + 50 = 90$ (л/мин).
3. Уақыт: $3{,}15 \cdot 60 = 189$ (мин).
4. Көлемі: $90 \cdot 189 = 17,010$ (л).

Жауабы: 17 010 л.

📕 Қазақша басылымның жауаптарында № 835 үшін 283,5 л тұр, бірақ дұрысы — 17 010 л: 283,5 — бұл $90 \cdot 3{,}15$, яғни уақыт 3,15 минут деп алынған. Ал шартта 3,15 сағат айтылған, ол — 189 минут.

№ 836

1 дм² ауданды сырлау үшін 2,2 г сыр керек. Қыры 60 см куб тәріздес қақпағы жоқ ыдыстың сыртқы бетін сырлау үшін қанша сыр керек?

Қалай ойлаймыз. Қақпағы жоқ кубтың тек 5 жағы бар. Сыр дм² үшін берілген, сондықтан 60 см-ді 6 дм-ге айналдырамыз.

Шешуі.

1. Бір жақтың ауданы: $6 \cdot 6 = 36$ (дм²).
2. 5 жақтың ауданы: $36 \cdot 5 = 180$ (дм²).
3. Сыр: $2{,}2 \cdot 180 = 396$ (г).

Жауабы: 396 г.

№ 837

Зауыттың шығарған 725 станогының 0,6-сы токарьлық станоктар, қалғанының 0,7-сі фрезер станоктары, ал қалғандары — тегістеу станоктары. Зауыт неше тегістеу станогын шығарды?

Қалай ойлаймыз. № 825-тегідей: екінші үлес барлық станоктан емес, қалғанынан алынады.

Шешуі.

1. Токарьлық: $725 \cdot 0{,}6 = 435$.
2. Қалғаны: $725 - 435 = 290$.
3. Фрезер: $290 \cdot 0{,}7 = 203$.
4. Тегістеу: $290 - 203 = 87$.

Жауабы: 87 тегістеу станогы.

№ 838

Екі қаланың арақашықтығы 490 км. Бірінші қаладан 90 км/сағ жылдамдықпен жеңіл машина шықты. Ол 1 сағ 30 мин жүрген соң, екінші қаладан оған қарсы 70 км/сағ жылдамдықпен жүк машинасы шықты. Жүк машинасы 1 сағ 45 мин жүрген соң екі машинаның арақашықтығы неше километр болды? А. 70 км; В. 75 км; С. 80 км; D. 87 км.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жеңіл машина жалғыз жүреді, сосын екеуі бір-біріне қарай жүреді. 30 мин — сағаттың жартысы, 45 мин — сағаттың төрттен үші.

Шешуі.

1. 1 сағ 30 мин = 1,5 сағ; 1 сағ 45 мин = 1,75 сағ.
2. Жүк машинасы шыққанға дейін жеңіл машина $90 \cdot 1{,}5 = 135$ (км) жүрді.
3. Машиналардың арасында $490 - 135 = 355$ (км) қалды.
4. Жақындасу жылдамдығы $90 + 70 = 160$ (км/сағ). 1,75 сағатта олар $160 \cdot 1{,}75 = 280$ (км) жақындады.
5. Араларында $355 - 280 = 75$ (км).

Жауабы: B. 75 км.

№ 839

Ұстаның үйренушісі тапсырманы 6 сағатта орындайды. Ұстаның өзі осы тапсырманы үйренушісі орындайтын уақыттың $\frac{2}{3}$-індей уақытта орындайды. Үйренушісі тапсырма бойынша 2 сағ жұмыс істеген соң, тапсырманың қалған бөлігін уста үйренушісімен бірге орындайды. Олар тапсырманың қалған бөлігін қанша уақытта орындады?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жұмысты 1 деп аламыз. Әрқайсысы бір сағатта қандай бөлігін орындайтынын табамыз.

Шешуі.

1. Ұстаның уақыты: $6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ (сағ).
2. Бір сағатта үйренуші жұмыстың $\frac{1}{6}$ бөлігін, уста $\frac{1}{4}$ бөлігін, бірге $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ орындайды.
3. 2 сағатта үйренуші жұмыстың $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ бөлігін орындады, қалғаны $\frac{2}{3}$.
4. Бірге: $\frac{2}{3} : \frac{5}{12} = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ (сағ).

Жауабы: 1,6 сағ (1 сағ 36 мин).

№ 840

АКТ көздерін пайдаланып, жарықтың таралу жылдамдығын жазып алыңдар. Күн сәулесі Жерге шамамен 8,3 минутта жетеді. Жердің Күннен арақашықтығын километр есебімен табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жарық жылдамдығы шамамен 300 000 км/с (дәлірек 299 792 км/с — дереккөзден тексеріп көр). Минутты секундқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. $8{,}3 \cdot 60 = 498$ (с).
2. $300,000 \cdot 498 = 149,400,000$ (км).

Жауабы: шамамен 149 400 000 км.

Жадынама

• «Үтірсіз» көбейтеміз, сосын бөлшектегідей цифрды ажыратамыз.
• Бағанда оң жақ шетінен тураластырып жазамыз.
• Болжам жаса: $8{,}31 \cdot 14 \approx 8 \cdot 14 = 112$.
• 1,2 сағ — 72 мин, ал 1 сағ 20 мин емес.
• «15-тің 0,6-сы» — бұл $15 \cdot 0{,}6$.

Шағын тест