4.6. Ондық бөлшектерді көбейту

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 51–56-беттер.

Нені үйренесің

• Бір ондық бөлшекті екінші ондық бөлшекке баған түрінде көбейтуді.
• Үтірмен неше цифр ажыратуды санауды: екі көбейткіштегі үтірден кейінгі цифрларды қосамыз.
• Цифр жетпегенде сол жағына нөл жазуды.
• Есептемей-ақ санның үлкейетінін немесе кішірейетінін айтуды.
• Санның бөлігін табуды: 8,1 м-дің 0,3-ін, 3,8 кг-ның 0,25-ін.

Ой қозғау

Бөлшектерді жай бөлшектер арқылы көбейт, үлгідегідей: $3{,}2 \cdot 5{,}6 = \frac{32}{10} \cdot \frac{56}{10} = \frac{1792}{100} = 17{,}92$.

• $4{,}2 \cdot 4{,}3$? $\frac{42}{10} \cdot \frac{43}{10} = \frac{1806}{100} = 18{,}06$.
• $12{,}6 \cdot 4{,}2$? $\frac{126 \cdot 42}{100} = \frac{5292}{100} = 52{,}92$.
• $0{,}8 \cdot 3{,}75$? $\frac{8 \cdot 375}{1000} = \frac{3000}{1000} = 3$.
• $0{,}35 \cdot 0{,}6$? $\frac{35 \cdot 6}{1000} = \frac{210}{1000} = 0{,}21$.
• $9{,}21 \cdot 6{,}5$? $\frac{921 \cdot 65}{1000} = \frac{59,865}{1000} = 59{,}865$.
• $3{,}48 \cdot 0{,}5$? $\frac{348 \cdot 5}{1000} = \frac{1740}{1000} = 1{,}74$.

💡 Бөлімдерге қарашы: ондыққа ондықты көбейтсең — жүздік, жүздікке ондықты көбейтсең — мыңдық шығады. Сабақтың ережесі осында жасырынған.

Тақырыпты талдаймыз

Торлы қағазда көбейтеміз

Қабырғасы 1 дм квадрат ал да, оны 10 × 10 торкөзге сыз. Торкөздің қабырғасы — 0,1 дм, ал торкөздің өзі — квадраттың бір жүздік үлесі: 0,01 дм².

Енді 0,7 дм-ге 0,3 дм тік төртбұрышты бояйық. Торкөздерді сана: қатарда 7, 3 қатар — барлығы 21 торкөз. Демек, $0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}21$ дм².

💡 Міне, жұмбақтың шешуі: тік төртбұрыш — квадраттың тек бір кесегі. 1-ден кіші санға көбейтсең — тек бөлігін аласың. Сондықтан $0{,}7 \cdot 0{,}3$ санынан 0,7-ден де, 0,3-тен де кіші.

Ереже қайдан шығады

Ұзындығы 6,15 см, ені 4,3 см тік төртбұрыштың ауданын табайық:

$6{,}15 \cdot 4{,}3 = \frac{615}{100} \cdot \frac{43}{10} = \frac{615 \cdot 43}{1000} = \frac{26,445}{1000} = 26{,}445$ (см²).

Алымдар жай сандар сияқты көбейтілді: $615 \cdot 43 = 26,445$. Бөлімдер $100 \cdot 10 = 1000$ берді — үш нөл, демек, үтірден кейін үш цифр. Бірінші көбейткіште олар 2 еді, екіншісінде 1: $2 + 1 = 3$.

     6,15
   ×  4,3
   ──────
     1845
 +  2460
   ──────
   26,445

📌 Ереже. 1) Үтір жоқ сияқты көбейт. 2) Екі көбейткіштегі үтірден кейінгі цифрларды қос. 3) Жауапта оң жақтан сонша цифрды санап ажырат. 4) Цифр жетпесе — сол жағына нөл жаз.

   9,8        2,16        0,134
 × 3,2      × 1,07      ×  0,02
 ─────      ──────      ───────
   196        1512      0,00268
+ 294      + 216
 ─────      ──────
 31,36      2,3112

Үшінші мысалда $134 \cdot 2 = 268$, ал $3 + 2 = 5$ цифрды ажырату керек. Сол жағына екі нөл және бүтіндер нөлін жазамыз: 0,00268.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосқандағыдай үтірді үтірдің астына қояды. Көбейткенде үтірлерді тураластырмайды. Сандарды оң жақ шетінен жазамыз, ал үтірді тек жауапқа қоямыз.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}5 \cdot 0{,}7 = 3{,}5$. Жоқ: үтірден кейінгі цифрлар $1 + 1 = 2$, демек, 0,35. Мағынасымен тексер: 0,7-нің жартысы 0,7-ден кіші, ал 3,5 одан әлдеқайда үлкен.

Үлкен бе, кіші ме?

• 1-ден кіші санға (0,5; 0,7; 0,14) көбейтсең — нәтиже санның өзінен кіші: $3{,}52 \cdot 0{,}5 < 3{,}52$.
• 1-ден үлкен санға (1,7; 3,2) көбейтсең — нәтиже үлкен: $7{,}02 \cdot 1{,}7 > 7{,}02$.

Бұл — тамаша тексеру. 0,3-ке көбейттің, ал жауап өсті ме? Қатені ізде.

Санның бөлігі

8,1 м-дің 0,3-ін табу — көбейту деген сөз: $8{,}1 \cdot 0{,}3 = 2{,}43$ м. Бұл санның $\frac{3}{10}$ бөлігін табумен бірдей. Ондық бөлшек — тек басқа жазу.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала есептеудің алдында дауыстап айтсын: «Мұнда үтірден кейін екі цифр, мұнда бір — жауапта үш болады». Бұл сөйлем үтірге байланысты қателердің бәрін дерлік жояды. Және болжам: $6{,}15 \cdot 4{,}3 \approx 6 \cdot 4 = 24$, демек, 26,445 шындыққа ұқсайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшектерді қалай көбейтеді? Үтірге қарамай, натурал сандар сияқты көбейтеді. Сосын оң жақтан екі көбейткіштегі үтірден кейінгі цифрлардың қосындысындай цифрды ажыратады.
• Көбейтіндіде ажыратуға керектіден цифр аз болса, не істейміз? Сол жағына нөл жазамыз: $0{,}3 \cdot 0{,}1$ — 3 шығады, екі цифрды ажыратамыз: 0,03.
• Өздік жұмыс: $9{,}8 \cdot 3{,}2$; $2{,}16 \cdot 1{,}07$; $0{,}134 \cdot 0{,}02$? 31,36; 2,3112; 0,00268.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 841

Ауызша есептеңдер: 1) $1{,}3 \cdot 0{,}1$; 2) $1{,}3 \cdot 0{,}3$; 3) $0{,}5 \cdot 0{,}7$; 4) $4{,}5 \cdot 0{,}2$; 5) $3{,}2 \cdot 0{,}2$; 6) $0{,}3 \cdot 0{,}1$; 7) $56{,}7 \cdot 0{,}1$; 8) $2{,}5 \cdot 0{,}5$.

Қалай ойлаймыз. 0,1-ге көбейту — үтірді бір таңбаға солға жылжыту. Қалғаны — ереже бойынша.

Шешуі.

1. 0,13; 2) 0,39; 3) 0,35; 4) $4{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}90 = 0{,}9$; 5) 0,64; 6) 0,03; 7) 5,67; 8) 1,25.

Жауабы: 0,13; 0,39; 0,35; 0,9; 0,64; 0,03; 5,67; 1,25.

A деңгейі

№ 842

Көбейтуді орындаңдар (842–844): 1) $6{,}3 \cdot 1{,}8$; 2) $5{,}6 \cdot 2{,}5$; 3) $0{,}8 \cdot 4{,}6$; 4) $0{,}3 \cdot 1{,}5$; 5) $1{,}9 \cdot 3{,}5$; 6) $0{,}2 \cdot 8{,}5$; 7) $2{,}5 \cdot 0{,}9$; 8) $1{,}7 \cdot 0{,}3$.

Қалай ойлаймыз. Әр көбейткіште үтірден кейін бір цифр. Демек, жауапта екеу.

Шешуі.

Жауабы: 1) 11,34; 2) 14; 3) 3,68; 4) 0,45; 5) 6,65; 6) 1,7; 7) 2,25; 8) 0,51.

№ 843

Көбейтуді орындаңдар: 1) $17{,}4 \cdot 5{,}2$; 2) $5{,}81 \cdot 1{,}5$; 3) $1{,}42 \cdot 0{,}3$; 4) $2{,}6 \cdot 0{,}24$; 5) $10{,}2 \cdot 2{,}02$; 6) $5{,}08 \cdot 3{,}03$; 7) $32{,}5 \cdot 0{,}6$; 8) $46{,}2 \cdot 0{,}07$.

Қалай ойлаймыз. Енді көбейткіштерде үтірден кейінгі цифрлар саны әртүрлі. Оларды қосамыз да, сонша цифрды ажыратамыз.

Шешуі.

6-тармақтың бағаны:

     5,08
   × 3,03
   ──────
     1524
 +1524
   ──────
  15,3924

(Ондықтар орнындағы 0-ге көбейту жолын өткізіп жібердік, сондықтан екінші толымсыз көбейтінді екі таңбаға жылжыған.)

Жауабы: 1) 90,48; 2) 8,715; 3) 0,426; 4) 0,624; 5) 20,604; 6) 15,3924; 7) 19,5; 8) 3,234.

№ 844

Көбейтуді орындаңдар: 1) $7{,}22 \cdot 0{,}08$; 2) $0{,}61 \cdot 0{,}023$; 3) $0{,}25 \cdot 1{,}32$; 4) $0{,}91 \cdot 0{,}2$; 5) $0{,}14 \cdot 0{,}25$; 6) $0{,}6 \cdot 0{,}08$; 7) $3{,}52 \cdot 0{,}1$; 8) $16{,}03 \cdot 0{,}6$; 9) $36{,}11 \cdot 0{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда цифр жиі жетпейді. Сол жағына нөл жазудан қорықпа!

Шешуі.

1. $722 \cdot 8 = 5776$, 4 цифрды ажыратамыз: 0,5776;
2. $61 \cdot 23 = 1403$, 5 цифрды ажыратамыз: 0,01403;
3. $25 \cdot 132 = 3300$, 4 цифрды ажыратамыз: 0,3300 = 0,33;
4. $91 \cdot 2 = 182$, 3 цифрды ажыратамыз: 0,182;
5. $14 \cdot 25 = 350$, 4 цифрды ажыратамыз: 0,0350 = 0,035;
6. $6 \cdot 8 = 48$, 3 цифрды ажыратамыз: 0,048;
7. $352 \cdot 1 = 352$, 3 цифрды ажыратамыз: 0,352 (0,1-ге көбейту — үтірді бір таңбаға солға жылжыту);
8. $1603 \cdot 6 = 9618$, 3 цифрды ажыратамыз: 9,618;
9. $3611 \cdot 5 = 18,055$, 3 цифрды ажыратамыз: 18,055.

Жауабы: 1) 0,5776; 2) 0,01403; 3) 0,33; 4) 0,182; 5) 0,035; 6) 0,048; 7) 0,352; 8) 9,618; 9) 18,055.

№ 845

$37 \cdot 15 = 555$ екенін пайдаланып, есептемей-ақ көбейтіндінің мәнін табыңдар: 1) $3{,}7 \cdot 1{,}5$; 2) $0{,}37 \cdot 1{,}5$; 3) $0{,}37 \cdot 0{,}15$.

Қалай ойлаймыз. Жауаптағы цифрлар әрқашан бірдей — 555. Тек үтірдің орны өзгереді.

Шешуі.

1. $1 + 1 = 2$ цифр: $3{,}7 \cdot 1{,}5 = 5{,}55$;
2. $2 + 1 = 3$ цифр: $0{,}37 \cdot 1{,}5 = 0{,}555$;
3. $2 + 2 = 4$ цифр: $0{,}37 \cdot 0{,}15 = 0{,}0555$.

Жауабы: 1) 5,55; 2) 0,555; 3) 0,0555.

№ 846

Көбейтуді орындамай-ақ салыстырып, жұлдызшаның орнына

Қалай ойлаймыз. 1-ден кіші санға көбейту кішірейтеді, 1-ден үлкен санға — үлкейтеді.

Шешуі. 0,5; 0,7; 0,14 көбейткіштері 1-ден кіші, ал 1,7; 3,2; 1,14 — 1-ден үлкен.

Жауабы: 1)

№ 847

Кестені толтырыңдар: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 сандарының квадраттары мен кубтары.

Қалай ойлаймыз. $a^2 = a \cdot a$, $a^3 = a \cdot a \cdot a$. Ондық үлестің квадратында үтірден кейін 2 цифр, кубында — 3.

Шешуі.

Жауабы: кестені қара.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}3^2 = 0{,}9$. Жоқ: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$, үтірден кейін екі цифр. 1-ден кіші санның квадраты онан да кішірейеді. Торлы квадратты еске түсір: 100-дің ішінен 3 × 3 = 9 торкөз.

№ 848

Жай бөлшектерді ондық бөлшек түрінде жазып, есептеңдер: 1) $2\frac{3}{10} \cdot 1{,}1$; 2) $\frac{71}{100} \cdot 6{,}3$; 3) $4\frac{1}{5} \cdot 2{,}5$; 4) $7\frac{1}{20} \cdot 1{,}4$; 5) $6\frac{1}{4} \cdot 3{,}3$; 6) $\frac{11}{50} \cdot 3{,}3$; 7) $4\frac{1}{2} \cdot 5{,}4$; 8) $6{,}5 \cdot \frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімі 10 немесе 100 емес болса, алдымен оны 10-ға не 100-ге дейін жеткіземіз: $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, $\frac{1}{4} = \frac{25}{100}$.

Шешуі.

1. $2\frac{3}{10} = 2{,}3$; $2{,}3 \cdot 1{,}1 = 2{,}53$;
2. $\frac{71}{100} = 0{,}71$; $0{,}71 \cdot 6{,}3 = 4{,}473$;
3. $4\frac{1}{5} = 4{,}2$; $4{,}2 \cdot 2{,}5 = 10{,}5$;
4. $7\frac{1}{20} = 7{,}05$; $7{,}05 \cdot 1{,}4 = 9{,}87$;
5. $6\frac{1}{4} = 6{,}25$; $6{,}25 \cdot 3{,}3 = 20{,}625$;
6. $\frac{11}{50} = \frac{22}{100} = 0{,}22$; $0{,}22 \cdot 3{,}3 = 0{,}726$;
7. $4\frac{1}{2} = 4{,}5$; $4{,}5 \cdot 5{,}4 = 24{,}3$;
8. $\frac{1}{2} = 0{,}5$; $6{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}25$.

Жауабы: 1) 2,53; 2) 4,473; 3) 10,5; 4) 9,87; 5) 20,625; 6) 0,726; 7) 24,3; 8) 3,25.

№ 849

Шамалардың бөлігін табыңдар: 1) 7 кг-ның 0,5-ін; 2) 3 т-ның 0,7-сін; 3) 8,1 м-дің 0,3-ін; 4) 5,75 кг-ның 0,8-ін; 5) 31 дм-дің 0,6-сын; 6) 450 г-ның 0,2-сін.

Қалай ойлаймыз. Санның бөлшегін табу үшін санды сол бөлшекке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $7 \cdot 0{,}5 = 3{,}5$ кг; 2) $3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1$ т; 3) $8{,}1 \cdot 0{,}3 = 2{,}43$ м; 4) $5{,}75 \cdot 0{,}8 = 4{,}6$ кг; 5) $31 \cdot 0{,}6 = 18{,}6$ дм; 6) $450 \cdot 0{,}2 = 90$ г.

Жауабы: 3,5 кг; 2,1 т; 2,43 м; 4,6 кг; 18,6 дм; 90 г.

№ 850

Хоккей қақпасының ені 1,8 м, биіктігі 1,2 м. Хоккей қақпасының ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қақпа — тік төртбұрыш. Ауданы = ені × биіктігі.

Шешуі. $S = 1{,}8 \cdot 1{,}2 = 2{,}16$ (м²).

Жауабы: 2,16 м².

№ 851

Кілегей массасының 0,25-і май. 3,8 кг кілегейде неше килограмм май бар?

Шешуі. $3{,}8 \cdot 0{,}25 = 0{,}95$ (кг).

Жауабы: 0,95 кг.

№ 852

Шаруашылық бірлестігінің 70,5 га жерінің $\frac{3}{5}$-іне бидай, ал қалғанына бақша өнімдері егілді. Бақша өнімдері неше гектар жерге егілді?

Қалай ойлаймыз. Алдымен егістің қандай бөлігі бақша өнімдеріне тиесілі екенін білеміз. Сосын көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бақша өнімдеріне $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4$ бүкіл жер.
2. $70{,}5 \cdot 0{,}4 = 28{,}2$ (га).

Тексеру: бидайға $70{,}5 \cdot 0{,}6 = 42{,}3$ га; $42{,}3 + 28{,}2 = 70{,}5$.

Жауабы: 28,2 га.

№ 853

Әлібек ойлаған санын 2,5 есе кемітіп, нәтижесінен 18,25 санын азайтқанда 13,95 саны шықты. Әлібек қандай сан ойлады? А. 78,5; В. 82,7; С. 80,5; D. 85,3.

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастап кері амалдарды орындаймыз: азайтудың орнына — қосу, бөлудің орнына — көбейту.

Шешуі.

1. Азайтқанға дейін болған: $13{,}95 + 18{,}25 = 32{,}2$.
2. Бөлгенге дейін болған: $32{,}2 \cdot 2{,}5 = 80{,}5$.

Тексеру: $80{,}5 : 2{,}5 = 32{,}2$; $32{,}2 - 18{,}25 = 13{,}95$.

Жауабы: C. 80,5.

№ 854

Бірінші оператор бір сағатта шығарманың 0,3-ін, екінші оператор 0,5-ін тереді. Егер шығарманы екі оператор бірлесіп қатар терсе, 1,25 сағатта шығарманы теріп бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл мәтін — 1. Бірге бір сағатта қанша теретінін тауып, уақытқа көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бірге бір сағатта: $0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8$ мәтін.
2. 1,25 сағатта: $0{,}8 \cdot 1{,}25 = 1$ — бұл бүкіл мәтін.

Жауабы: иә, үлгереді: 1,25 сағатта олар бүкіл мәтінді дәл теріп бітіреді.

B деңгейі

№ 855

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $15{,}2x + 8{,}3 + 4{,}6x + 7{,}5$, мұндағы $x = 0{,}5$; 2) $19{,}8y - 12{,}6y + 4{,}37 + 3{,}1y$, мұндағы $y = 2{,}1$; 3) $(6{,}5x - 2{,}7x) + (13{,}4x - 5{,}2x)$, мұндағы $x = 0{,}7$.

Қалай ойлаймыз. Әріпті қосылғыштарды бірге, жай сандарды бөлек жинаймыз. Сосын мәнін қоямыз.

Шешуі.

1. $15{,}2x + 4{,}6x + 8{,}3 + 7{,}5 = 19{,}8x + 15{,}8$; $x = 0{,}5$ болғанда: $9{,}9 + 15{,}8 = 25{,}7$.
2. $19{,}8y - 12{,}6y + 3{,}1y + 4{,}37 = 10{,}3y + 4{,}37$; $y = 2{,}1$ болғанда: $21{,}63 + 4{,}37 = 26$.
3. $3{,}8x + 8{,}2x = 12x$; $x = 0{,}7$ болғанда: $12 \cdot 0{,}7 = 8{,}4$.

Жауабы: 1) $19{,}8x + 15{,}8 = 25{,}7$; 2) $10{,}3y + 4{,}37 = 26$; 3) $12x = 8{,}4$.

№ 856

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, есептеңдер: 1) $18{,}3 \cdot 0{,}5 - 5{,}81 \cdot 0{,}5$; 2) $2{,}07 \cdot 0{,}7 + 2{,}07 \cdot 7{,}2$; 3) $38{,}6 \cdot 1{,}8 + 1{,}8 \cdot 2{,}7$; 4) $10{,}27 \cdot 5{,}1 + 8{,}3 \cdot 5{,}1$; 5) $2{,}3 \cdot 9{,}5 - 7{,}2 \cdot 2{,}3$; 6) $0{,}4 \cdot 5{,}1 + 6{,}9 \cdot 0{,}4$.

Қалай ойлаймыз. Бірдей көбейткішті жақшаның алдына шығарамыз. Сонда екі көбейтудің орнына біреуі қалады.

Шешуі.

1. $0{,}5 \cdot (18{,}3 - 5{,}81) = 0{,}5 \cdot 12{,}49 = 6{,}245$;
2. $2{,}07 \cdot (0{,}7 + 7{,}2) = 2{,}07 \cdot 7{,}9 = 16{,}353$;
3. $1{,}8 \cdot (38{,}6 + 2{,}7) = 1{,}8 \cdot 41{,}3 = 74{,}34$;
4. $5{,}1 \cdot (10{,}27 + 8{,}3) = 5{,}1 \cdot 18{,}57 = 94{,}707$;
5. $2{,}3 \cdot (9{,}5 - 7{,}2) = 2{,}3 \cdot 2{,}3 = 5{,}29$;
6. $0{,}4 \cdot (5{,}1 + 6{,}9) = 0{,}4 \cdot 12 = 4{,}8$.

Жауабы: 1) 6,245; 2) 16,353; 3) 74,34; 4) 94,707; 5) 5,29; 6) 4,8.

№ 857

Амалдарды орындаңдар: 1) $32{,}6 \cdot 5\frac{1}{4} + 1\frac{1}{5} \cdot 8{,}5$; 2) $1\frac{3}{4} \cdot 32{,}8 - 1{,}12 \cdot 3{,}5$; 3) $147 - 13\frac{3}{5} \cdot 4{,}8 + 3\frac{1}{2} \cdot 6{,}8$; 4) $0{,}2 \cdot \left(5\frac{1}{4} + 6{,}1\right) + 0{,}01 \cdot 3$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық жай бөлшекті ондыққа айналдырамыз. Сосын амалдар ретімен жүреміз.

Шешуі.

1. $5\frac{1}{4} = 5{,}25$, $1\frac{1}{5} = 1{,}2$. $32{,}6 \cdot 5{,}25 = 171{,}15$; $1{,}2 \cdot 8{,}5 = 10{,}2$; $171{,}15 + 10{,}2 = 181{,}35$.
2. $1\frac{3}{4} = 1{,}75$. $1{,}75 \cdot 32{,}8 = 57{,}4$; $1{,}12 \cdot 3{,}5 = 3{,}92$; $57{,}4 - 3{,}92 = 53{,}48$.
3. $13\frac{3}{5} = 13{,}6$, $3\frac{1}{2} = 3{,}5$. $13{,}6 \cdot 4{,}8 = 65{,}28$; $3{,}5 \cdot 6{,}8 = 23{,}8$; $147 - 65{,}28 + 23{,}8 = 81{,}72 + 23{,}8 = 105{,}52$.
4. $5\frac{1}{4} = 5{,}25$. $0{,}2 \cdot (5{,}25 + 6{,}1) = 0{,}2 \cdot 11{,}35 = 2{,}27$; $0{,}01 \cdot 3 = 0{,}03$; $2{,}27 + 0{,}03 = 2{,}3$.

Жауабы: 1) 181,35; 2) 53,48; 3) 105,52; 4) 2,3.

№ 858

Заттың бағасы 720 тг. Заттың бағасы алғашқы бағасының: 1) 0,25-іне арзандады; 2) 0,08-сіне қымбаттады. Заттың бағасы неше теңге болды?

Шешуі.

1. $720 \cdot 0{,}25 = 180$ (тг); $720 - 180 = 540$ (тг).
2. $720 \cdot 0{,}08 = 57{,}6$ (тг); $720 + 57{,}6 = 777{,}6$ (тг).

Жауабы: 1) 540 тг; 2) 777,6 тг.

Практикалық жұмыс

№ 859

Көлемі 1 м³ ауада 0,21 м³ оттегі бар. Өз бөлмеңнің ұзындығын, енін және биіктігін метр есебімен өлшеп, ондағы оттегінің көлемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Рулетка алып, ұзындығын, енін және биіктігін метрмен өлше (сантиметрге дейін, мысалы 4,35 м). Көлем = ұзындық × ен × биіктік. Оттегі = көлем × 0,21.

Шешуі (үлгі). Бөлме 5 м × 4 м × 2,7 м болсын.

1. Көлемі: $5 \cdot 4 \cdot 2{,}7 = 54$ (м³).
2. Оттегі: $54 \cdot 0{,}21 = 11{,}34$ (м³).

Жауабы: әркімдікі әртүрлі; 5 × 4 × 2,7 м бөлмеде — 11,34 м³ оттегі.

№ 860

Банкке 940 мың теңге салынды. Оның бір жылдық өсімі алғашқы ақшаның 0,05-індей. Банкке салынған ақша бір жылдан соң неше теңге болады?

Шешуі.

1. Өсімі: $940,000 \cdot 0{,}05 = 47,000$ (тг).
2. Шотта: $940,000 + 47,000 = 987,000$ (тг).

Жауабы: 987 000 тг.

№ 861

7 литрлік және 4 литрлік ыдыспен өзеннен 5 литр суды қалай құйып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп! Үлкен ыдыста дәл 5 л қалғанша суды ыдыстар арасында құйып көреміз.

Шешуі.

Жауабы: 7 литрлік ыдыста 5 л (тәсілі — кестеде).

№ 862

Катер $A$ айлағынан 20,4 км/сағ меншікті жылдамдықпен, ағысының жылдамдығы 3,2 км/сағ өзенде ағыспен 2,5 сағ жүзді. Сонда келесі айлаққа дейін 16,3 км қалды. Екі айлақтың арасы неше километр?

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүзгенде жылдамдықтарды қосамыз. Жол = жылдамдық × уақыт. Екі айлақтың арасы — жүзіп өткен жол мен қалған жолдың қосындысы.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдығы: $20{,}4 + 3{,}2 = 23{,}6$ (км/сағ).
2. Жүзіп өткені: $23{,}6 \cdot 2{,}5 = 59$ (км).
3. Екі айлақтың арасы: $59 + 16{,}3 = 75{,}3$ (км).

Жауабы: 75,3 км.

№ 863

Сыйымдылығы 2,5 литр ыдыстың 0,8-іне сүт құйылған. Ыдыстағы сүттің $\frac{3}{4}$-і құйылып алынды. Ыдыста неше литр сүт қалды?

Қалай ойлаймыз. Алдымен сүттің қанша болғанын білеміз. Сосын қанша алынғанын.

Шешуі.

1. Сүт болған: $2{,}5 \cdot 0{,}8 = 2$ (л).
2. Алынды: $2 \cdot \frac{3}{4} = 1{,}5$ (л).
3. Қалды: $2 - 1{,}5 = 0{,}5$ (л).

Жауабы: 0,5 л.

№ 864

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{x}{6{,}2} = 5{,}25$; 2) $\frac{x + 0{,}7}{2{,}6} = 4\frac{1}{2}$; 3) $\frac{y + 0{,}792}{2{,}16} = 8\frac{7}{10}$; 4) $\frac{x + 0{,}4}{2{,}4} = 3\frac{1}{4}$; 5) $\frac{x - 1{,}65}{10{,}25} = 13{,}4$; 6) $\frac{x - 0{,}55}{6{,}25} = \frac{3}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіш = бөлгіш × бөлінді. Алдымен бүкіл алымды, сосын белгісізді табамыз.

Шешуі.

1. $x = 6{,}2 \cdot 5{,}25 = 32{,}55$;
2. $x + 0{,}7 = 2{,}6 \cdot 4{,}5 = 11{,}7$; $x = 11{,}7 - 0{,}7 = 11$;
3. $y + 0{,}792 = 2{,}16 \cdot 8{,}7 = 18{,}792$; $y = 18$;
4. $x + 0{,}4 = 2{,}4 \cdot 3{,}25 = 7{,}8$; $x = 7{,}4$;
5. $x - 1{,}65 = 10{,}25 \cdot 13{,}4 = 137{,}35$; $x = 139$;
6. $x - 0{,}55 = 6{,}25 \cdot 0{,}6 = 3{,}75$; $x = 4{,}3$.

Жауабы: 1) 32,55; 2) 11; 3) 18; 4) 7,4; 5) 139; 6) 4,3.

C деңгейі

№ 865

Амалдарды орындаңдар: 1) $(24 - 15{,}7) \cdot 6{,}4 + 0{,}08 \cdot 11$; 2) $(5{,}69 - 2{,}85) \cdot 1{,}5 + 7{,}8 \cdot 5{,}4 - 23{,}88$; 3) $(98{,}6 \cdot 0{,}1 + 14 \cdot 0{,}15) \cdot 3{,}5 - 36{,}86$; 4) $(103{,}92 - 5{,}6 \cdot 4{,}2) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot (10 - 8{,}25)$.

Қалай ойлаймыз. Реті: жақшалар, сосын көбейту, сосын қосу мен азайту. Жауаптар әдемі шығады — бұл жақсы өзін-өзі тексеру.

Шешуі.

1. $(24 - 15{,}7) \cdot 6{,}4 + 0{,}08 \cdot 11 = 8{,}3 \cdot 6{,}4 + 0{,}88 = 53{,}12 + 0{,}88 = 54$;
2. $(5{,}69 - 2{,}85) \cdot 1{,}5 + 7{,}8 \cdot 5{,}4 - 23{,}88 = 2{,}84 \cdot 1{,}5 + 42{,}12 - 23{,}88 = 4{,}26 + 42{,}12 - 23{,}88 = 22{,}5$;
3. $(98{,}6 \cdot 0{,}1 + 14 \cdot 0{,}15) \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = (9{,}86 + 2{,}1) \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = 11{,}96 \cdot 3{,}5 - 36{,}86 = 41{,}86 - 36{,}86 = 5$;
4. $(103{,}92 - 5{,}6 \cdot 4{,}2) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot (10 - 8{,}25) = (103{,}92 - 23{,}52) \cdot 0{,}75 - 2{,}8 \cdot 1{,}75 = 80{,}4 \cdot 0{,}75 - 4{,}9 = 60{,}3 - 4{,}9 = 55{,}4$.

Жауабы: 1) 54; 2) 22,5; 3) 5; 4) 55,4.

№ 866

Көбейтудің үлестірімділік қасиетін пайдаланып, әріптердің мәндерін табыңдар: 1) $a \cdot (2{,}3 + 1{,}6) = 4{,}2 \cdot 2{,}3 + b$; 2) $c \cdot (7{,}2 - 3{,}9) = 0{,}5 \cdot 7{,}2 - d$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағындағы жақшаны ашамыз: $a \cdot 2{,}3 + a \cdot 1{,}6$. Оң жағымен салыстырсақ — бәрі көрінеді.

Шешуі.

1. $a \cdot 2{,}3 + a \cdot 1{,}6 = 4{,}2 \cdot 2{,}3 + b$, демек, $a = 4{,}2$, $b = 4{,}2 \cdot 1{,}6 = 6{,}72$.
2. $c \cdot 7{,}2 - c \cdot 3{,}9 = 0{,}5 \cdot 7{,}2 - d$, демек, $c = 0{,}5$, $d = 0{,}5 \cdot 3{,}9 = 1{,}95$.

Жауабы: 1) $a = 4{,}2$, $b = 6{,}72$; 2) $c = 0{,}5$, $d = 1{,}95$.

№ 867

Ұн тартатын зауыт бірінші күні $50\frac{1}{2}$ т, екінші күні оның 0,9-ындай, үшінші күні екінші күнгіден 1,2 есе артық ұн тартты. Ұн тартатын зауыт үш күнде барлығы неше тонна ұн тартты?

Шешуі.

1. Бірінші күні: $50\frac{1}{2} = 50{,}5$ (т).
2. Екінші күні: $50{,}5 \cdot 0{,}9 = 45{,}45$ (т).
3. Үшінші күні: $45{,}45 \cdot 1{,}2 = 54{,}54$ (т).
4. Барлығы: $50{,}5 + 45{,}45 + 54{,}54 = 150{,}49$ (т).

Жауабы: 150,49 т.

№ 868

Екі салт атты адам бір жерден бір мезгілде бір бағытта шықты. Біріншісінің жылдамдығы 12,8 км/сағ, екіншісінің жылдамдығы одан 1,3 есе артық. 1,5 сағаттан соң екінші салт атты адам біріншіден қандай қашықтыққа озады?

Қалай ойлаймыз. Олар бір бағытта жүр, сондықтан әр сағат сайын екіншісі жылдамдықтардың айырмасына алға озады.

Шешуі.

1. Екіншісінің жылдамдығы: $12{,}8 \cdot 1{,}3 = 16{,}64$ (км/сағ).
2. Алыстау жылдамдығы: $16{,}64 - 12{,}8 = 3{,}84$ (км/сағ).
3. 1,5 сағаттан соң: $3{,}84 \cdot 1{,}5 = 5{,}76$ (км).

Жауабы: 5,76 км, яғни 5 км 760 м.

№ 869

Май зауытына бірінші рет 28 т, екінші рет одан 1,3 есе көп күнбағыс әкелінді. Барлық әкелінген күнбағыстан оның 0,35-індей күнбағыс майы алынады. Зауытқа әкелінген күнбағыстан барлығы неше тонна күнбағыс майы өндірілді?

Шешуі.

1. Екінші рет: $28 \cdot 1{,}3 = 36{,}4$ (т).
2. Барлық күнбағыс: $28 + 36{,}4 = 64{,}4$ (т).
3. Май: $64{,}4 \cdot 0{,}35 = 22{,}54$ (т).

Жауабы: 22,54 т.

№ 870

Үйдің есігінің алдынан сыртқы қақпаға дейін өлшемдері 4.10-суреттегідей жолдың қарын күреп тазарту керек. Жолдың ені оның барлық ұзындығында бірдей — 4 м. Қардың қалыңдығы 30 см. 1 м³ қардың массасы 125 кг. Үйдің есігінің алдынан сыртқы қақпаға дейінгі жолды қардан тазартқанда неше килограмм қар күреледі? А. 3645 кг; В. 2950 кг; С. 4200 кг; D. 3270 кг.

Суретте жол «Г» әрпіне ұқсайды: ені 4 м тік жолақ, оның сол жақ шеті 20,5 м. Жоғарыдан оңға ені 4 м жолақ кетеді, оның жоғарғы шеті 7,8 м.

Қалай ойлаймыз. Бұрышта жолақтар бір-бірін жабады. $20{,}5 \cdot 4 + 7{,}8 \cdot 4$ есептесек, 4 × 4 м шаршы екі рет санатталып кетеді.

Шешуі.

1. Тік жолақ: $20{,}5 \cdot 4 = 82$ (м²).
2. Көлденең жолақ бұрышсыз: $(7{,}8 - 4) \cdot 4 = 3{,}8 \cdot 4 = 15{,}2$ (м²).
3. Жолдың ауданы: $82 + 15{,}2 = 97{,}2$ (м²).
4. Қардың көлемі: 30 см = 0,3 м; $97{,}2 \cdot 0{,}3 = 29{,}16$ (м³).
5. Массасы: $29{,}16 \cdot 125 = 3645$ (кг).

Жауабы: A. 3645 кг.

№ 871

Үсен мен Майра — бір үйдің балалары. Үйде олардан да басқа балалар бар. Үсеннің неше қарындасы болса, сонша інісі бар. Майраның сіңлілері ағаларынан 2 есе кем. Отбасында неше бала бар?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп! Қулығы мынада: Үсен өзін ағаларының қатарына санамайды, ал Майра өзін қарындастарының қатарына санамайды.

Шешуі.

1. Үйде $b$ ұл және $g$ қыз бала болсын. Үсеннің інілері $b - 1$, қарындастары $g$. Демек, $g = b - 1$: қыздар біреуге аз.
2. Майраның ағалары $b$, сіңлілері $g - 1$, және $b = 2 \cdot (g - 1)$.
3. Іріктейміз: $b = 4$, $g = 3$. Тексеру: Үсеннің 3 інісі және 3 қарындасы бар; Майраның 4 ағасы және 2 сіңлісі бар, $2 \cdot 2 = 4$. Дұрыс.

Жауабы: 7 бала (4 ұл және 3 қыз).

№ 872

Заттың бағасы бірінші ретте алғашқы бағасының 0,2-сіне арзандады. Екінші ретте соңғы бағасының 0,2-сіне қымбаттады. Заттың бағасы алғашқы бағасына қарағанда арзандады ма, әлде қымбаттады ма? Қаншаға өзгерді?

Қалай ойлаймыз. Баға қайтып оралған сияқты көрінеді. Бірақ өсімді қазірдің өзінде арзандаған бағадан есептейді, ал ол кіші. Демек, алынғаннан аз қайтарылды. Бағаны 100 тг деп алған ыңғайлы.

Шешуі.

1. Баға 100 тг болсын. Арзандағаннан кейін: $100 - 100 \cdot 0{,}2 = 80$ (тг).
2. Қымбаттағаннан кейін: $80 + 80 \cdot 0{,}2 = 80 + 16 = 96$ (тг).
3. $100 - 96 = 4$ тг — бұл 100-дің 0,04-і.

Жауабы: баға алғашқы бағасының 0,04-інен арзандады.

Жадынама

• Екі ондық бөлшекті натурал сандар сияқты көбейтеміз.
• Көбейткіштердегі үтірден кейінгі цифрларды қосамыз.
• Көбейткенде үтірлерді тураластырмаймыз — оң жақ шетінен жазамыз.
• 1-ден кіші санға көбейту кішірейтеді, 1-ден үлкенге — үлкейтеді.
• 10 × 10 квадраттағы бір торкөз — бүкіл квадраттың 0,01-і.

Шағын тест