4.7. Ондық бөлшекті натурал санға бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 57–64-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті натурал санға бағанмен бөлуді.
• Бөліндіге үтірді дәл керек сәтте қоюды.
• Бөлінгіштің цифрлары бітіп, қалдық қалса, бөлуді жалғастыруды.
• Бүтін бөлік бөлгіштен кіші болса, шатаспай «0 бүтін» деп жазуды.
• Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыруды: $\frac{3}{4}$ неге тең?

Ой қозғау

Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : белгілі көбейткіш. Теңдеулерді шеш.

• $2x = 8{,}4$? $x = 8{,}4 : 2 = 4{,}2$: 8 : 2 = 4 бүтін, 4 : 2 = 2 ондық үлес.
• $7x = 9{,}1$? $x = 9{,}1 : 7 = 1{,}3$. Тексеру: $7 \cdot 1{,}3 = 9{,}1$.
• $6x = 30{,}6$? $x = 30{,}6 : 6 = 5{,}1$. Тексеру: $6 \cdot 5{,}1 = 30{,}6$.
• $12x = 72{,}6$? $x = 72{,}6 : 12 = 6{,}05$. Тексеру: $12 \cdot 6{,}05 = 72{,}6$.

💡 Соңғы мысалда $72 : 12 = 6$, ал 6 ондық үлес 12-ге бөлінбейді. Бөліндіде ондық үлестің орнына 0 жазып, 60 жүздік үлесті бөлеміз: $60 : 12 = 5$. Осы нөлді есіңде сақта: ол әлі де керек болады!

Тақырыпты талдаймыз

Сәуледе тең бөлеміз

0-ден 2,4-ке дейінгі кесіндіні 3 тең бөлікке бөлу керек. 2,4 — бұл 24 ондық үлес, ал $24 : 3 = 8$ ондық үлес. Демек, әр бөлік — 0,8.

Бағанмен бөлеміз — натурал сандар сияқты

Ондық бөлшекті натурал санға бөлу — натурал сандарды бағанмен бөлумен дерлік бірдей. Жаңасы біреу ғана: бүтін бөлікті бөліп біткен бойда бөліндіге үтір қой.

Батырманы басып, $41{,}56 : 8$ қалай бөлінетінін қара.

 41,56 | 8
-40    |------
 ---   | 5,195
   15
  - 8
  ---
    76
   -72
   ---
     40
    -40
    ---
      0

💡 Нөлді неге тіркеуге болады? Ондық бөлшектің оң жағына нөл жазғаннан ол өзгермейді: $41{,}56 = 41{,}560 = 41{,}5600$. Нөлді тікелей қалдыққа тіркеп жаза беруге болады.

📌 Ереже. 1) Бүтін бөлікті бөл. 2) Бөліп біткен соң бөліндіге үтір қой. 3) Бөлуді жалғастыр: ондық, жүздік, мыңдық үлестер. 4) Қалдық бар, ал цифрлар бітсе — қалдыққа нөл тіркеп жаз.

📕 Оқулықтың 57-бетіндегі кіріспе мәтінде «45,56 : 8 бөліндісін табайық» деп басылған, ал одан кейінгі есептеуде 41,560 : 8 = 5,195 және «Тексеру: 5,195 · 8 = 41,56» тұр. Яғни мәтіндегі 45,56 — қате басылған сан, дұрысы 41,56. Біз 41,56-мен жұмыс істейміз.

Бүтін бөлік бөлгіштен кіші болса

$2{,}34 : 5$. Бүтін бөлік 2, ол 5-тен кіші — бөліндінің бүтін бөлігі 0. «0,» деп жазып, әрі қарай бөлеміз: 23 ондық үлесті 5-ке.

 2,34 | 5
-2 0  |------
 ---  | 0,468
   34
  -30
  ---
    40
   -40
   ---
     0

Дәл солай: $0{,}08 : 4 = 0{,}02$ және $3{,}32 : 4 = 0{,}83$.

⚠️ Жиі кететін қате. $0{,}08 : 4 = 0{,}2$. Ондық үлестердің нөлі түсіп қалған! 0,08 санында ондық үлес жоқ, демек, бөліндіде де ондық үлестің орнында 0 тұруы керек. Көбейтіп тексер: $0{,}2 \cdot 4 = 0{,}8$, ал 0,08 емес.

⚠️ Жиі кететін қате. $72{,}6 : 12 = 6{,}5$. Бөлінгіштің келесі цифры бөлгіштен кіші болса (6 ондық үлес 12-ге бөлінбейді), бөліндіге міндетті түрде 0 жазып, содан кейін ғана келесі цифрды түсіреді: 6,05. Тексеру: $6{,}5 \cdot 12 = 78$ — сәйкес келмейді.

Бөлу бітпесе

Кейде қалдық қайта-қайта қайталана береді: $0{,}7 : 3 = 0{,}2333\ldots$ Сонда жауабын жай бөлшекпен жазған тиімді: $0{,}7 : 3 = \frac{7}{10} : 3 = \frac{7}{30}$.

Жай бөлшек ондық бөлшекке айналады

Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы! Жай бөлшекті ондық бөлшекке айналдыру үшін алымын бөлімге бөл:

• $\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0{,}5$;
• $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75$;
• $5\frac{3}{5} = \frac{28}{5} = 28 : 5 = 5{,}6$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ең жақсы бақылау — көбейтіп тексеру. Бала әр мысалдан кейін бөліндіні бөлгішке көбейтіп, ең болмаса шамамен қарап шықсын. Және сұраңыз: «Үтірді қайда қойдың, неге?» Дұрыс жауап: «Бөлінгіштің бүтін бөлігі біткенде».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті натурал санға қалай бөледі? Натурал сандарды бөлгендей. Бүтін бөлікті бөліп болған соң үтір қойып, ондық, жүздік және одан әрі үлестерді бөлеміз. Қалдық бар, ал цифрлар бітсе, қалдыққа нөлдерді тіркеп жазамыз.
• Бөлінгіштің бүтін бөлігі бөлгіштен аз болса, қалай бөледі? Бөліндіге 0 бүтін жазып, үтір қойып, ондық үлестерден бастап бөле береміз.
• Тапсырма: $2{,}34 : 5$ бөліндісінің мәнін тап. 0,468. Тексеру: $0{,}468 \cdot 5 = 2{,}34$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 873

Ауызша есептеңдер: 1) $3{,}7 - 1{,}5$, $\cdot 10$, $- 17{,}5$, $+ 4{,}2$, $- 1{,}8$; 2) $4{,}9 + 1{,}5$, $- 2$, $\cdot 0{,}1$, $+ 1{,}56$, $- 0{,}7$; 3) $1{,}3 + 7{,}9$, $- 4{,}2$, $+ 6{,}6$, $- 7{,}2$, $\cdot 0{,}1$; 4) $0{,}34 + 1{,}55$, $- 0{,}89$, $- 0{,}6$, $+ 2{,}7$, $\cdot 10$.

Қалай ойлаймыз. Әр қадамды алдыңғы қадамның нәтижесімен жасаймыз. 10-ға көбейту — үтірді оңға, 0,1-ге көбейту — солға жылжыту.

Шешуі.

1. $3{,}7 - 1{,}5 = 2{,}2$; $\cdot 10 = 22$; $- 17{,}5 = 4{,}5$; $+ 4{,}2 = 8{,}7$; $- 1{,}8 = 6{,}9$.
2. $4{,}9 + 1{,}5 = 6{,}4$; $- 2 = 4{,}4$; $\cdot 0{,}1 = 0{,}44$; $+ 1{,}56 = 2$; $- 0{,}7 = 1{,}3$.
3. $1{,}3 + 7{,}9 = 9{,}2$; $- 4{,}2 = 5$; $+ 6{,}6 = 11{,}6$; $- 7{,}2 = 4{,}4$; $\cdot 0{,}1 = 0{,}44$.
4. $0{,}34 + 1{,}55 = 1{,}89$; $- 0{,}89 = 1$; $- 0{,}6 = 0{,}4$; $+ 2{,}7 = 3{,}1$; $\cdot 10 = 31$.

Жауабы: 1) 6,9; 2) 1,3; 3) 0,44; 4) 31.

№ 874

Ауызша есептеңдер: $12{,}6 : 3$; $4{,}8 : 2$; $3 : 2$; $3{,}2 : 4$; $6{,}4 : 8$; $7{,}2 : 9$; $6{,}4 : 2$; $8{,}1 : 9$; $4{,}2 : 7$; $2{,}4 : 8$; $4{,}2 : 6$; $5{,}4 : 9$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөлік бөлгіштен кіші ме? Ондық үлестермен ойла: 3,2 — бұл 32 ондық үлес, $32 : 4 = 8$ ондық үлес.

Шешуі.

1. 4,2; 2,4; $3 : 2 = 1{,}5$;
2. 0,8; 0,8; 0,8;
3. 3,2; 0,9; 0,6;
4. 0,3; 0,7; 0,6.

Жауабы: 1) 4,2; 2,4; 1,5. 2) 0,8; 0,8; 0,8. 3) 3,2; 0,9; 0,6. 4) 0,3; 0,7; 0,6.

A деңгейі

№ 875

Бөліңдер: $3{,}5 : 7$; $10{,}4 : 8$; $26{,}1 : 3$; $28{,}8 : 9$; $25{,}8 : 6$; $63 : 5$; $78{,}1 : 11$; $72{,}8 : 13$; $65{,}8 : 14$; $67{,}2 : 21$; $43{,}7 : 23$; $57{,}5 : 25$.

Қалай ойлаймыз. Әдеттегі бағанмен бөлу. Бүтін бөліктен кейін үтірді ұмытпа!

Шешуі.

1. $3{,}5 : 7 = 0{,}5$; $10{,}4 : 8 = 1{,}3$; $26{,}1 : 3 = 8{,}7$;
2. $28{,}8 : 9 = 3{,}2$; $25{,}8 : 6 = 4{,}3$; $63 : 5 = 12{,}6$ (қалдық 3 = 30 ондық үлес, $30 : 5 = 6$);
3. $78{,}1 : 11 = 7{,}1$; $72{,}8 : 13 = 5{,}6$; $65{,}8 : 14 = 4{,}7$;
4. $67{,}2 : 21 = 3{,}2$; $43{,}7 : 23 = 1{,}9$; $57{,}5 : 25 = 2{,}3$.

Бағанмен бөлу үлгісі:

 65,8 | 14
-56   |-----
 ---  | 4,7
  98
 -98
 ---
   0

Тексеру: $4{,}7 \cdot 14 = 65{,}8$.

Жауабы: 1) 0,5; 1,3; 8,7. 2) 3,2; 4,3; 12,6. 3) 7,1; 5,6; 4,7. 4) 3,2; 1,9; 2,3.

№ 876

Бөліңдер: $1{,}37 : 2$; $8{,}4 : 15$; $11{,}16 : 18$; $0{,}4 : 8$; $0{,}3 : 5$; $0{,}8 : 5$; $4{,}8 : 12$; $13{,}6 : 16$; $0{,}8 : 20$; $0{,}35 : 7$; $0{,}54 : 9$; $0{,}72 : 4$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда «0 бүтін» де, бөліндідегі нөлдер де көп. Әр жауапты көбейтіп тексер.

Шешуі.

1. $1{,}37 : 2 = 0{,}685$ (қалдыққа нөл тіркеп жазамыз); $8{,}4 : 15 = 0{,}56$; $11{,}16 : 18 = 0{,}62$;
2. $0{,}4 : 8 = 0{,}05$; $0{,}3 : 5 = 0{,}06$; $0{,}8 : 5 = 0{,}16$;
3. $4{,}8 : 12 = 0{,}4$; $13{,}6 : 16 = 0{,}85$; $0{,}8 : 20 = 0{,}04$;
4. $0{,}35 : 7 = 0{,}05$; $0{,}54 : 9 = 0{,}06$; $0{,}72 : 4 = 0{,}18$.

 1,370 | 2
-1 2   |------
 ---   | 0,685
   17
  -16
  ---
    10
   -10
   ---
     0

Жауабы: 1) 0,685; 0,56; 0,62. 2) 0,05; 0,06; 0,16. 3) 0,4; 0,85; 0,04. 4) 0,05; 0,06; 0,18.

№ 877

Амалдарды орындаңдар: 1) $10{,}5 : 15 + 1{,}8$; 2) $67{,}2 : 12 - 3{,}25$; 3) $46{,}2 : 132 \cdot 1{,}6$; 4) $(16{,}3 + 21{,}5) : 14$; 5) $(42{,}3 + 34{,}2) : 9 + 3{,}5$; 6) $(47{,}52 - 7{,}2) : 6 - 0{,}81$.

Қалай ойлаймыз. Амалдардың орындалу реті: алдымен жақшаның ішінде, содан кейін бөлу мен көбейту, соңынан қосу мен азайту.

Шешуі.

1. $10{,}5 : 15 = 0{,}7$; $0{,}7 + 1{,}8 = 2{,}5$;
2. $67{,}2 : 12 = 5{,}6$; $5{,}6 - 3{,}25 = 2{,}35$;
3. $46{,}2 : 132 = 0{,}35$; $0{,}35 \cdot 1{,}6 = 0{,}56$;
4. $37{,}8 : 14 = 2{,}7$;
5. $76{,}5 : 9 = 8{,}5$; $8{,}5 + 3{,}5 = 12$;
6. $40{,}32 : 6 = 6{,}72$; $6{,}72 - 0{,}81 = 5{,}91$.

Жауабы: 1) 2,5; 2) 2,35; 3) 0,56; 4) 2,7; 5) 12; 6) 5,91.

№ 878

Жай бөлшектің алымын бөліміне бөлу арқылы жай бөлшектерді ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $\frac{1}{4}$; 2) $\frac{7}{20}$; 3) $\frac{2}{5}$; 4) $\frac{8}{25}$; 5) $\frac{3}{8}$; 6) $\frac{5}{8}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы бөлімінен кіші — демек, 0 бүтін. Бөлінгенше қалдыққа нөлдерді тіркеп жазамыз.

Шешуі.

1. $1 : 4 = 0{,}25$; 2) $7 : 20 = 0{,}35$; 3) $2 : 5 = 0{,}4$; 4) $8 : 25 = 0{,}32$; 5) $3 : 8 = 0{,}375$; 6) $5 : 8 = 0{,}625$.

 3,000 | 8
-2 4   |------
 ---   | 0,375
   60
  -56
  ---
    40
   -40
   ---
     0

Жауабы: 0,25; 0,35; 0,4; 0,32; 0,375; 0,625.

🌟 Қарашы: $\frac{3}{8} = 0{,}375$ және $\frac{5}{8} = 0{,}625$. Ал екеуін қосқанда $0{,}375 + 0{,}625 = 1$ — дәл $\frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1$ сияқты!

№ 879

1) Тең қабырғалы үшбұрыштың периметрі 37,14 см. Оның қабырғасын табыңдар. 2) Самал 2,16 кг, ал Айша одан 3 есе кем дәрілік шөп жинады. Айша қанша дәрілік шөп жинады?

Шешуі.

1. Тең қабырғалы үшбұрыштың 3 тең қабырғасы бар: $37{,}14 : 3 = 12{,}38$ (см).
2. $2{,}16 : 3 = 0{,}72$ (кг).

Жауабы: 1) 12,38 см; 2) 0,72 кг.

№ 880

Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі 302,4 см³, табанының ауданы 72 см². Оның биіктігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $V = S_{таб} \cdot h$, демек, $h = V : S_{таб}$.

Шешуі. $302{,}4 : 72 = 4{,}2$ (см).

Жауабы: 4,2 см.

№ 881

Квадраттың периметрі: 1) 11 см; 2) 17 см; 3) 21 см. Қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттың 4 тең қабырғасы бар: қабырға = периметр : 4. Мұнда натурал сан әрдайым бөлінбейді — нөлдерді тіркеп жазамыз.

Шешуі.

1. $11 : 4 = 2{,}75$ (см); 2) $17 : 4 = 4{,}25$ (см); 3) $21 : 4 = 5{,}25$ (см).

Жауабы: 1) 2,75 см; 2) 4,25 см; 3) 5,25 см.

№ 882

1) Екі бидонға 8,9 л май құйылды. Бірінші бидонға құйылған май екінші бидонға құйылған майдан 2,5 л артық. Екінші бидонға неше литр май құйылды? 2) Саяхатшы екі күнде 27,4 км жол жүруі керек еді. Екінші күні ол бірінші күнге қарағанда 2,3 км кем жүрді. Саяхатшы бірінші күні неше километр жол жүрді?

Қалай ойлаймыз. Айырманы алып тастасақ, екі тең бөлік шығады.

Шешуі.

1. $(8{,}9 - 2{,}5) : 2 = 6{,}4 : 2 = 3{,}2$ (л) екінші бидонда. Тексеру: біріншіде $3{,}2 + 2{,}5 = 5{,}7$ л, $5{,}7 + 3{,}2 = 8{,}9$.
2. Екінші күнге 2,3 км қосайық, сонда екі күн де бірінші күндей болады: $(27{,}4 + 2{,}3) : 2 = 29{,}7 : 2 = 14{,}85$ (км). Тексеру: екінші күні $14{,}85 - 2{,}3 = 12{,}55$; $14{,}85 + 12{,}55 = 27{,}4$.

Жауабы: 1) 3,2 л; 2) 14,85 км.

№ 883

Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңдар. Себетте құрма, алмұрт, алма бар. Олардың барлығы 3,15 кг. Алмұрт құрмадан 2 есе көп, алма алмұрттан 2 есе көп. Себетте неше килограмм құрма бар? Неше килограмм алмұрт бар? Алма ше?

Қалай ойлаймыз. Құрма ең аз — оны $x$ деп алайық.

Шешуі.

1. Құрма $x$ кг болсын. Сонда алмұрт $2x$ кг, алма $2 \cdot 2x = 4x$ кг.
2. Теңдеу: $x + 2x + 4x = 3{,}15$; $7x = 3{,}15$; $x = 0{,}45$.
3. Алмұрт $2 \cdot 0{,}45 = 0{,}9$ кг, алма $4 \cdot 0{,}45 = 1{,}8$ кг.

Тексеру: $0{,}45 + 0{,}9 + 1{,}8 = 3{,}15$.

Жауабы: құрма 0,45 кг, алмұрт 0,9 кг, алма 1,8 кг.

B деңгейі

№ 884

Амалдарды орындаңдар: 1) $(4{,}23 - 2{,}34) : 21$; 2) $(7{,}13 + 9{,}25) : 13$; 3) $(50 - 8{,}6) : 92$; 4) $(28{,}88 + 35{,}8) : 28$; 5) $(65{,}97 - 0{,}45) : 52$; 6) $(1{,}85 + 3{,}25) : 34$; 7) $(4{,}04 + 5{,}16) : 46$; 8) $(0{,}8 + 0{,}55) : 15$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшаны, содан кейін бөлуді орындаймыз. Бүтін бөлік бөлгіштен кіші болса — бөліндіде 0 бүтін.

Шешуі.

1. $(4{,}23 - 2{,}34) : 21 = 1{,}89 : 21 = 0{,}09$;
2. $(7{,}13 + 9{,}25) : 13 = 16{,}38 : 13 = 1{,}26$;
3. $(50 - 8{,}6) : 92 = 41{,}4 : 92 = 0{,}45$;
4. $(28{,}88 + 35{,}8) : 28 = 64{,}68 : 28 = 2{,}31$;
5. $(65{,}97 - 0{,}45) : 52 = 65{,}52 : 52 = 1{,}26$;
6. $(1{,}85 + 3{,}25) : 34 = 5{,}1 : 34 = 0{,}15$;
7. $(4{,}04 + 5{,}16) : 46 = 9{,}2 : 46 = 0{,}2$;
8. $(0{,}8 + 0{,}55) : 15 = 1{,}35 : 15 = 0{,}09$.

 41,4 | 92
-0    |------
 ---  | 0,45
 41 4
-36 8
 ----
   460
  -460
  ----
     0

Жауабы: 1) 0,09; 2) 1,26; 3) 0,45; 4) 2,31; 5) 1,26; 6) 0,15; 7) 0,2; 8) 0,09.

№ 885

Сандар тізбегінің заңдылығын анықтап, келесі екі мүшесін жазыңдар: 1) 5,76; 2,88; 1,44; 0,72; … ; 2) 0,08; 0,16; 0,32; 0,64; … ; 3) 8,75; 1,75; 0,35; 0,07; … ; 4) 0,9; 2,7; 8,1; 24,3; … .

Қалай ойлаймыз. Көршілес сандарды бір-біріне бөліп көр: әр келесі сан қанша есе өзгереді?

Шешуі.

1. $5{,}76;\ 2{,}88;\ 1{,}44;\ 0{,}72$ — әр келесісі 2 есе кіші. Әрі қарай 0,36; 0,18.
2. $0{,}08;\ 0{,}16;\ 0{,}32;\ 0{,}64$ — әр келесісі 2 есе үлкен. Әрі қарай 1,28; 2,56.
3. $8{,}75;\ 1{,}75;\ 0{,}35;\ 0{,}07$ — әр келесісі 5 есе кіші. Әрі қарай $0{,}07 : 5 = $ 0,014; $0{,}014 : 5 = $ 0,0028.
4. $0{,}9;\ 2{,}7;\ 8{,}1;\ 24{,}3$ — әр келесісі 3 есе үлкен. Әрі қарай 72,9; 218,7.

Жауабы: 1) 0,36; 0,18. 2) 1,28; 2,56. 3) 0,014; 0,0028. 4) 72,9; 218,7.

№ 886

Бөлінділерді ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 1) $20 : 25$; 2) $24 : 75$; 3) $72 : 20$; 4) $35 : 14$; 5) $60 : 75$; 6) $72 : 45$; 7) $70 : 175$; 8) $129 : 15$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіш бөлінгіштен үлкен болса — бөліндіде 0 бүтін. Әйтпесе бөлеміз де, қалдықты ондық үлестерге ұсақтаймыз.

Шешуі.

1. $20 : 25 = 0{,}8$; 2) $24 : 75 = 0{,}32$; 3) $72 : 20 = 3{,}6$; 4) $35 : 14 = 2{,}5$; 5) $60 : 75 = 0{,}8$; 6) $72 : 45 = 1{,}6$; 7) $70 : 175 = 0{,}4$; 8) $129 : 15 = 8{,}6$.

Жауабы: 0,8; 0,32; 3,6; 2,5; 0,8; 1,6; 0,4; 8,6.

№ 887

Амалдарды орындаңдар. Жай бөлшектерді ондық бөлшекке айналдырыңдар: 1) $\left(4{,}3 + 3\frac{1}{2}\right) : 3$; 2) $\left(3\frac{9}{20} + 2{,}75\right) : 2$; 3) $\left(33{,}74 - 5\frac{1}{25}\right) : 7$; 4) $\left(37\frac{1}{5} - 6{,}8\right) : 8$; 5) $\left(14{,}7 + 23\frac{4}{5}\right) : 11$; 6) $\left(61{,}68 - 4\frac{2}{25}\right) : 12$.

Қалай ойлаймыз. 2, 5, 20, 25 бөлімдерін 10-ға немесе 100-ге дейін жеткізу оңай. Мысалы, $\frac{9}{20} = \frac{45}{100}$.

Шешуі.

1. $3\frac{1}{2} = 3{,}5$; $(4{,}3 + 3{,}5) : 3 = 7{,}8 : 3 = 2{,}6$;
2. $3\frac{9}{20} = 3{,}45$; $(3{,}45 + 2{,}75) : 2 = 6{,}2 : 2 = 3{,}1$;
3. $5\frac{1}{25} = 5{,}04$; $(33{,}74 - 5{,}04) : 7 = 28{,}7 : 7 = 4{,}1$;
4. $37\frac{1}{5} = 37{,}2$; $(37{,}2 - 6{,}8) : 8 = 30{,}4 : 8 = 3{,}8$;
5. $23\frac{4}{5} = 23{,}8$; $(14{,}7 + 23{,}8) : 11 = 38{,}5 : 11 = 3{,}5$;
6. $4\frac{2}{25} = 4{,}08$; $(61{,}68 - 4{,}08) : 12 = 57{,}6 : 12 = 4{,}8$.

Жауабы: 1) 2,6; 2) 3,1; 3) 4,1; 4) 3,8; 5) 3,5; 6) 4,8.

№ 888

Берілген ондық бөлшектегі үтірді оңға қарай үш таңбаға жылжытқанда, оның мәні 799,2-ге артады. Берілген ондық бөлшекті табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үтірді үш таңбаға оңға жылжыту — 1000-ға көбейту. Жаңа сан — осындай 1000 бөлшек, ескісі — біреу. Айырмасы — 999 бөлшек.

Шешуі.

1. $1000x - x = 999x = 799{,}2$.
2. $x = 799{,}2 : 999 = 0{,}8$.

Тексеру: $0{,}8 \to 800$; $800 - 0{,}8 = 799{,}2$.

Жауабы: 0,8.

№ 889

Бірінші қапта 46,3 кг, ал екінші қапта 38,5 кг қант бар. Екі қаптағы қанттың массаларын теңестіру үшін неше килограмм қантты бірінші қаптан екінші қапқа ауыстырып салу керек?

Қалай ойлаймыз. Алдымен айырманы табамыз. Бірақ бәрін емес, тек жартысын ауыстырамыз.

Шешуі.

1. Айырмасы: $46{,}3 - 38{,}5 = 7{,}8$ (кг).
2. Айырманың жартысын ауыстырамыз: $7{,}8 : 2 = 3{,}9$ (кг).

Тексеру: $46{,}3 - 3{,}9 = 42{,}4$ және $38{,}5 + 3{,}9 = 42{,}4$.

Жауабы: 3,9 кг.

⚠️ Жиі кететін қате. «7,8 кг» деп жауап береді. Бірақ бүкіл айырманы ауыстырсаң, екінші қап біріншіден ауыр болып кетеді! Бір қап қанша азайса, екіншісі сонша көбейеді, сондықтан жартысын аламыз.

№ 890

5 кішкене қорапша және 2 үлкен қорапша кәмпит 1,65 кг. Үлкен қорапша кәмпит кішкене қорапша кәмпиттен 3 есе ауыр. Кішкене қорапша кәмпит неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Әр үлкен қорапшаны үш кішкене қорапшамен ауыстырайық — сонда тек кішкене қорапшалар қалады.

Шешуі.

1. Бір үлкен = 3 кішкене, екі үлкен = 6 кішкене.
2. Барлығы $5 + 6 = 11$ кішкене қорапша 1,65 кг тартады.
3. $1{,}65 : 11 = 0{,}15$ (кг) = 150 г.

Жауабы: 150 г.

№ 891

1) Отын қоймасына үш машинамен 15 т көмір әкелінді. Бірінші және екінші машинамен әкелінген көмірлердің массалары өзара тең. Үшінші машинамен әкелінген көмір бірінші машинамен әкелінген көмірден 1,5 т артық. Үшінші машинамен неше тонна көмір әкелінді? A. 4,9 т; B. 6 т; C. 3,8 т; D. 5,2 т.

Қалай ойлаймыз. Үшінші машинадағы артық 1,5 т-ны алып тастайық — сонда үшеуінде де тең болады.

Шешуі.

1. Бірінші машинада $x$ т болсын, онда екіншісінде $x$ т, үшіншісінде $x + 1{,}5$ т.
2. $3x + 1{,}5 = 15$; $3x = 13{,}5$; $x = 4{,}5$.
3. Үшіншісінде: $4{,}5 + 1{,}5 = 6$ (т).

Жауабы: B. 6 т.

№ 892

Оқушылар жол бойына араларын бірдей етіп 37 түп ағаш отырғызды. Ең шеткі екі ағаштың арасы 198 м. Жол бойындағы 15-ағаш 9-ағаштан неше метр қашықтықта отырғызылған?

Қалай ойлаймыз. Айла мынада: ағаштардың арасындағы аралықтар ағаштардан бір кем болады. Саусақпен санап көр: 2 саусақтың арасында — 1 аралық.

Шешуі.

1. Аралықтар саны: $37 - 1 = 36$.
2. Бір аралық: $198 : 36 = 5{,}5$ (м).
3. 9-шы мен 15-ші ағаштың арасында $15 - 9 = 6$ аралық: $5{,}5 \cdot 6 = 33$ (м).

Жауабы: 33 м.

№ 893

11 минуттық және 8 минуттық құмсағаттарды пайдаланып, ұзақтығы 5 минуттық уақытты қалай анықтауға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп! Бір құмсағатта дәл 5 минуттық құм қалатын сәтті іздейміз.

Шешуі.

1. Екі құмсағатты бір мезгілде аударамыз.
2. 8 минуттан кейін 8 минуттық құмсағат аяқталды — оны бірден қайта аударамыз.
3. Тағы 3 минуттан кейін (барлығы 11 минут өтті) 11 минуттық құмсағат аяқталды. 8 минуттық құмсағатта осы уақытта 3 минуттық құм төгіліп, $8 - 3 = 5$ минуттық құм қалды.
4. Осы сәттен бастап 8 минуттық құмсағаттың құмы ағып біткенше дәл 5 минут өтеді.

Жауабы: уақытты 11 минуттық құмсағат аяқталғаннан бастап, аударылған 8 минуттық құмсағат аяқталғанға дейін санаймыз (шешуін қара).

№ 894

Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңдар. $ABC$ үшбұрышының периметрі 19,3 см. $AC = 7{,}9$ см, $AB$ қабырғасы $BC$ қабырғасынан 2 есе қысқа. $BC$ қабырғасының ұзындығын табыңдар (4.11-сурет: $AC$ — төменгі табан, $B$ — жоғарыда, $AB$ — қысқа қабырға, $BC$ — ұзын қабырға).

Қалай ойлаймыз. Белгілі қабырғаны алып тастасақ, екеуі қалады. Қысқасы — 1 бөлік, ұзыны — 2 бөлік.

Шешуі.

1. $AB + BC = 19{,}3 - 7{,}9 = 11{,}4$ (см).
2. $AB = x$ болсын, онда $BC = 2x$; $3x = 11{,}4$; $x = 3{,}8$.
3. $BC = 2 \cdot 3{,}8 = 7{,}6$ (см).

Жауабы: 7,6 см.

№ 895

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\left(2\frac{7}{20} + 5{,}77\right) : a$, мұндағы $a = 14$; 2) $\left(52\frac{4}{5} - 7{,}3\right) : b$, мұндағы $b = 26$; 3) $2{,}1 : a + 17\frac{2}{5} \cdot 0{,}8$, мұндағы $a = 35$; 4) $0{,}78 \cdot 18 - 44\frac{4}{25} : b$, мұндағы $b = 48$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды ондық бөлшекке айналдырамыз, әріптің орнына санды қойып, ретімен есептейміз.

Шешуі.

1. $2\frac{7}{20} = 2{,}35$; $(2{,}35 + 5{,}77) : 14 = 8{,}12 : 14 = 0{,}58$;
2. $52\frac{4}{5} = 52{,}8$; $(52{,}8 - 7{,}3) : 26 = 45{,}5 : 26 = 1{,}75$;
3. $17\frac{2}{5} = 17{,}4$; $2{,}1 : 35 + 17{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}06 + 13{,}92 = 13{,}98$;
4. $44\frac{4}{25} = 44{,}16$; $0{,}78 \cdot 18 - 44{,}16 : 48 = 14{,}04 - 0{,}92 = 13{,}12$.

Жауабы: 1) 0,58; 2) 1,75; 3) 13,98; 4) 13,12.

C деңгейі

№ 896

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $30 \cdot 2{,}9 - 2{,}9 \cdot 28 + 28 \cdot 2{,}7 - 2{,}7 \cdot 26 + 26 \cdot 2{,}5 - 2{,}5 \cdot 24 + 24 \cdot 2{,}3 - 2{,}3 \cdot 22$; 2) $4 \cdot 39 - 39 \cdot 3{,}8 + 3{,}8 \cdot 37 - 37 \cdot 3{,}6 + 3{,}6 \cdot 35 - 35 \cdot 3{,}4 + 3{,}4 \cdot 33 - 33 \cdot 3{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Қорқынышты көрінеді, бірақ ортақ көбейткіші бар жұптарға бөл: $30 \cdot 2{,}9 - 2{,}9 \cdot 28 = 2{,}9 \cdot (30 - 28)$.

Шешуі.

1. $2{,}9 \cdot 2 + 2{,}7 \cdot 2 + 2{,}5 \cdot 2 + 2{,}3 \cdot 2 = 2 \cdot (2{,}9 + 2{,}7 + 2{,}5 + 2{,}3) = 2 \cdot 10{,}4 = 20{,}8$;
2. $39 \cdot (4 - 3{,}8) + 37 \cdot (3{,}8 - 3{,}6) + 35 \cdot (3{,}6 - 3{,}4) + 33 \cdot (3{,}4 - 3{,}2) = 0{,}2 \cdot (39 + 37 + 35 + 33) = 0{,}2 \cdot 144 = 28{,}8$.

Жауабы: 1) 20,8; 2) 28,8.

№ 897

Жеміс сусынын дайындау үшін 7 бөлік кепкен алма, 3 бөлік өрік және 2 бөлік жүзім алынды. Ондағы кепкен алма өрік пен жүзімнен 0,6 кг артық. Жеміс сусынын дайындау үшін барлығы неше килограмм жеміс-жидек алынды?

Қалай ойлаймыз. Бір бөліктің массасын табамыз. Қалғаны — жай көбейту.

Шешуі.

1. Өрік пен жүзім: $3 + 2 = 5$ бөлік. Алма $7 - 5 = 2$ бөлікке артық.
2. 2 бөлік = 0,6 кг, бір бөлік $0{,}6 : 2 = 0{,}3$ (кг).
3. Барлығы $7 + 3 + 2 = 12$ бөлік; массасы $0{,}3 \cdot 12 = 3{,}6$ (кг).

Жауабы: 3,6 кг.

№ 898

Периметрі қабырғасы 9,65 см квадраттың периметріндей тік төртбұрыштың ені 8,7 см. Тік төртбұрыштың ұзындығы неше сантиметр?

Шешуі.

1. Квадраттың периметрі: $9{,}65 \cdot 4 = 38{,}6$ (см).
2. Тік төртбұрыштың ұзындығы мен енінің қосындысы: $38{,}6 : 2 = 19{,}3$ (см).
3. Ұзындығы: $19{,}3 - 8{,}7 = 10{,}6$ (см).

Жауабы: 10,6 см.

№ 899

Катердің өзен ағысымен жылдамдығы 25,8 км/сағ, ал ағысқа қарсы жылдамдығы 21,2 км/сағ. 1) Ағыс жылдамдығын табыңдар; 2) Катердің меншікті жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен = меншікті + ағыс; ағысқа қарсы = меншікті − ағыс. Олардың айырмасы — екі ағыс жылдамдығы.

Шешуі.

1. Ағыс жылдамдығы: $(25{,}8 - 21{,}2) : 2 = 4{,}6 : 2 = 2{,}3$ (км/сағ).
2. Меншікті жылдамдық: $25{,}8 - 2{,}3 = 23{,}5$ (км/сағ). Тексеру: $23{,}5 - 2{,}3 = 21{,}2$.

Жауабы: 1) 2,3 км/сағ; 2) 23,5 км/сағ.

№ 900

2 орам кәмпит пен 2 орам өріктің массасы 1,1 кг. 5 орам кәмпит пен 3 орам өріктің массасы 2,15 кг. а) Бір орам кәмпит неше грамм? в) Бір орам өрік неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Бірінші жиыннан «жұпты» табамыз — 1 кәмпит + 1 өрік. Содан кейін өрік саны тең болатындай етіп жиындарды салыстырамыз.

Шешуі.

1. 1 орам кәмпит + 1 орам өрік: $1{,}1 : 2 = 0{,}55$ (кг).
2. Онда 3 кәмпит + 3 өрік $= 0{,}55 \cdot 3 = 1{,}65$ (кг).
3. 5 кәмпит + 3 өрік = 2,15 кг жиынымен салыстырамыз: артық 2 орам кәмпит $2{,}15 - 1{,}65 = 0{,}5$ (кг) тартады.
4. Бір орам кәмпит: $0{,}5 : 2 = 0{,}25$ кг = 250 г; бір орам өрік: $0{,}55 - 0{,}25 = 0{,}3$ кг = 300 г.

Жауабы: а) 250 г; в) 300 г.

№ 901

Жазғы демалыста балалар шайқурай, мыңжапырақ және қызылтаспа шөптерін жинады. Олар шайқурай шөбін есептемегенде 10,2 кг, мыңжапырақ шөбін есептемегенде 11,4 кг және қызылтаспа шөбін есептемегенде 13 кг емдік шөптер жинады. Балалар емдік шөптердің әрқайсысынан неше килограмм жинады?

Қалай ойлаймыз. Үш санды да қосайық. Әр шөп қосындыға дәл екі рет кіреді!

Шешуі.

1. $10{,}2 + 11{,}4 + 13 = 34{,}6$ (кг) — бұл барлық шөп екі есе.
2. Шөптің барлығы: $34{,}6 : 2 = 17{,}3$ (кг).
3. Шайқурай: $17{,}3 - 10{,}2 = 7{,}1$ (кг); мыңжапырақ: $17{,}3 - 11{,}4 = 5{,}9$ (кг); қызылтаспа: $17{,}3 - 13 = 4{,}3$ (кг).

Жауабы: шайқурай 7,1 кг, мыңжапырақ 5,9 кг, қызылтаспа 4,3 кг.

№ 902

Амалдарды орындаңдар: 1) $\dfrac{\left(6{,}9 + 2\frac{11}{20}\right) \cdot 2\frac{3}{5} - 3{,}5 \cdot 2{,}7}{8\frac{1}{9} - \left(2\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18}\right) : 9\frac{1}{4}}$; 2) $\dfrac{7 : 25 + \frac{1}{3} : \frac{5}{24} - \frac{22}{25}}{\left(4{,}5 + \frac{2}{5}\right) : \frac{7}{20}}$.

Қалай ойлаймыз. «Қабаттарын» бөлек есептейміз: алдымен алымын, сосын бөлімін. Бөлшектер оңай ондыққа айналатын жерде — айналдырамыз. Айналмайтын жерде (тоғызыншы, он екіншілер) жай бөлшекпен есептейміз.

Шешуі.

1. Алымы: $2\frac{11}{20} = 2{,}55$, $2\frac{3}{5} = 2{,}6$.

   • $6{,}9 + 2{,}55 = 9{,}45$; $9{,}45 \cdot 2{,}6 = 24{,}57$;
   • $3{,}5 \cdot 2{,}7 = 9{,}45$; $24{,}57 - 9{,}45 = 15{,}12$.

   Бөлімі:

   • $2\frac{1}{12} - 1\frac{1}{18} = 1 + \frac{3}{36} - \frac{2}{36} = 1\frac{1}{36} = \frac{37}{36}$;
   • $\frac{37}{36} : 9\frac{1}{4} = \frac{37}{36} \cdot \frac{4}{37} = \frac{1}{9}$;
   • $8\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 8$.

   Мәні: $15{,}12 : 8 = 1{,}89$.

2. Алымы:

   • $7 : 25 = 0{,}28$;
   • $\frac{1}{3} : \frac{5}{24} = \frac{1}{3} \cdot \frac{24}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$;
   • $\frac{22}{25} = 0{,}88$; $0{,}28 + 1{,}6 - 0{,}88 = 1$.

   Бөлімі: $4{,}5 + 0{,}4 = 4{,}9$; $4{,}9 : \frac{7}{20} = \frac{49}{10} \cdot \frac{20}{7} = 14$.

   Мәні: $\frac{1}{14}$.

Жауабы: 1) 1,89; 2) $\frac{1}{14}$.

№ 903

4.12-суреттегі фигуралардың қайсысын сызықты үзбей сызып шығуға болады? Қайсысын сызықты үзбей сызып шығуға болмайды? 1) тік диагоналі бар ромб; 2) ішінде ромбы бар квадрат (ромбтың төбелері — квадрат қабырғаларының орталарында) және қарама-қарсы қабырғалардың орталарын қосатын екі кесінді; 3) өзара қиылысатын үш шеңбер.

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп! Әр нүктеде қанша сызық түйісетінін санаймыз. «Тақ» нүктелер жоқ болса немесе дәл екеу болса — сызып шығуға болады (екеу болса, бір тақ нүктеден бастап, екіншісінде аяқтаймыз). Екіден көп болса — болмайды.

Шешуі.

1. Тік диагоналі бар ромб. Жоғарғы және төменгі төбелерде 3 сызық түйіседі (екі қабырға және диагональ), бүйір төбелерде — 2-ден. Тақ нүкте екеу — болады: жоғарғы төбеден бастап, төменгіде аяқтаймыз.
2. Квадрат қабырғаларының әр ортасында 5 сызық түйіседі (қабырғаның екі жартысы, ромбтың екі қабырғасы, кесінді). Мұндай тақ нүкте төртеу — болмайды.
3. Шеңберлердің қиылысу нүктелері алтау, әрқайсысында 4 сызық түйіседі. Тақ нүкте жоқ — болады, сызу басталған жерде аяқталады.

Жауабы: 1) болады; 2) болмайды; 3) болады.

🌟 Бұл жұмбақты XVIII ғасырда математик Леонард Эйлер шешкен: ол Кёнигсберг қаласындағы жеті көпірдің әрқайсысынан бір-ақ рет өтіп, қаланы аралап шығуға бола ма деп ойлаған.

№ 904

Күнге ең жақын орналасқан Меркурий планетасы 1 мин 23 с уақытта өз орбитасы бойымен 3967,4 километрге ығысып, Күнді айналады. Меркурий планетасының өз орбитасы бойымен қозғалыс жылдамдығын км/с есебімен табыңдар. АКТ көздерін пайдаланып, Меркурийдің өз орбитасы бойымен қозғалыс жылдамдығын табыңдар. Оны есептің жауабымен салыстырып, тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық км/с болу керек — демек, уақытты секундқа айналдырамыз.

Шешуі.

1. 1 мин 23 с = $60 + 23 = 83$ с.
2. $3967{,}4 : 83 = 47{,}8$ (км/с).

Меркурийдің орташа орбиталық жылдамдығының анықтамалық мәні — шамамен 47,4 км/с (дереккөзден тексер). Біз тапқан жауап оған жақын.

Жауабы: 47,8 км/с.

Жадынама

• Ондық бөлшекті натурал санға натурал сандарды бөлгендей бөлеміз.
• Бүтін бөлікті бөліп біткен бойда үтір қоямыз.
• Бөліндідегі нөлдерді жоғалтпаймыз: $0{,}08 : 4 = 0{,}02$.
• Қалдық бар, ал цифрлар бітсе — нөл тіркеп жазамыз.
• Көбейтіп тексереміз: бөлінді × бөлгіш = бөлінгіш.

Шағын тест