4.8. Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IV тарау: Ондық бөлшектер. Ондық бөлшектерге амалдар қолдану. 65–71-беттер.

Нені үйренесің

• Ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді: бөлгішті әдеттегі натурал санға айналдыру арқылы.
• Үтір неше таңбаға «көшетінін» дәл білуді.
• Бөлінгіште цифр жетпесе, оған нөл тіркеп жазуды.
• Бөлігі бойынша бүтінді табуды: «санның 0,4-і 6-ға тең, сан неге тең?»
• Алымы мен бөлімі ондық бөлшектердің көбейтіндісі болатын бөлшектерді жылдам қысқартуды.

Ой қозғау

Теңдеулерді шеш: белгісіз көбейткіш = көбейтінді : белгілі көбейткіш.

• $4{,}3x = 11{,}61$. $x$ неге тең? $11{,}61 : 4{,}3 = 116{,}1 : 43 = $ 2,7. Тексеру: $4{,}3 \cdot 2{,}7 = 11{,}61$.
• $6{,}24y = 21{,}84$. $y$ неге тең? $21{,}84 : 6{,}24 = 2184 : 624 = $ 3,5. Тексеру: $6{,}24 \cdot 3{,}5 = 21{,}84$.
• $0{,}825x = 6{,}435$. $x$ неге тең? $6{,}435 : 0{,}825 = 6435 : 825 = $ 7,8. Тексеру: $0{,}825 \cdot 7{,}8 = 6{,}435$.

💡 Байқадың ба? Бірінші теңдеуде екі санды да 10-ға, екіншісінде 100-ге, үшіншісінде 1000-ға көбейттік. Бөлгіш бүтін сан болғанша ғана. Сабақтың бар құпиясы осында.

Тақырыпты талдаймыз

Бөлінді неге өзгермейді

6 кәмпитті 2 досқа бөлсең — әрқайсысына 3-тен. Ал 60 кәмпитті 20 досқа бөлсе ше? Тағы да 3-тен! Бөлінгіш пен бөлгішті бір санға көбейтсең, бөлінді өзгермейді.

Бұл ондық бөлшектерге де жарайды. Ал 10-ға, 100-ге, 1000-ға көбейту — үтірді оңға қарай жылжыту ғана.

Саяхатшы және оның жылдамдығы

Саяхатшы 1,2 сағатта 5,52 км жол жүрді. Жылдамдық — бұл $5{,}52 : 1{,}2$. 1,2-ге бөлу ыңғайсыз, сондықтан екі санды да 10-ға көбейтеміз:

$5{,}52 : 1{,}2 = 55{,}2 : 12$.

12-ге бөлуді біз бұрыннан білеміз:

 55,2 | 12
-48   |-----
 --   | 4,6
  72
 -72
  --
   0

Саяхатшының жылдамдығы — 4,6 км/сағ. Тексеру: $1{,}2 \cdot 4{,}6 = 5{,}52$ ✓.

Бөлшек бөлшекте неше рет сияды

Бөлу — «бір сан екіншісінде неше рет сияды» деген сұрақ. Сәулеге қара: 1,6-ға жету үшін 0,4-тен неше қадам жасау керек?

Төрт қадам! Дәл солай: $1{,}6 : 0{,}4 = 16 : 4 = 4$.

Үш қадамдық ереже

📌 1) Бөлгіште үтірден кейін неше цифр барын санап ал. 2) Үтірді бөлгіште де, бөлінгіште де сонша цифрға оңға жылжыт. 3) Шыққан натурал санға бөл.

$7{,}644 : 1{,}56$ мысалында бұл қалай жұмыс істейтінін қара:

⚠️ Жиі кететін қате. Таңбаларды бөлгіштегі емес, бөлінгіштегі үтірден кейін санайды. $7{,}644 : 1{,}56$ мысалында үтірді үш таңбаға жылжытып: $7644 : 1560$ деп алады. Бөлінді сол болады, бірақ бөлгіш «дөңгелек» сан болып, адасып қалу оңай. Бағдар біреу ғана: бөлгіш натурал сан болуы керек.

Бөлінгіште цифр жетпесе

$56{,}7 : 0{,}18$ табайық. Бөлгіште үтірден кейін екі цифр, ал бөлінгіште біреу ғана. Ештеңе етпейді — нөл тіркеп жазамыз: $56{,}7 = 56{,}70$. Енді үтірді жылжытамыз: $5670 : 18 = 315$.

 5670 | 18
-54   |-----
 --   | 315
  27
 -18
  --
   90
  -90
   --
    0

Бөлінді бөлінгіштен үлкен бе, кіші ме?

• 1-ден үлкен санға бөлсек — бөлінді бөлінгіштен кіші болады: $7{,}644 : 1{,}56 = 4{,}9$.
• 1-ден кіші санға бөлсек — бөлінді бөлінгіштен үлкен болады: $56{,}7 : 0{,}18 = 315$.

💡 Бұл өте жақсы шамалау тәсілі. 0,18-ге бөліп, кішкентай сан алдың ба? Үтір бір жерде адасқан.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есептеуден бұрын сұраңыз: «Жауап бөлінгіштен үлкен бола ма, кіші бола ма?» Ал кейін баланың өзі көбейтіп тексерсін: бөлінді · бөлгіш = бөлінгіш. Бұл үтірге байланысты қателердің дерлік бәрін ұстайды.

Көбейтінділерден тұратын айлалы бөлшек

$\frac{8{,}7 \cdot 5{,}1 \cdot 0{,}75}{1{,}7 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}9}$ бөлшегін ұзақ көбейтпей қалай есептеуге болады? Жақсы бөлінетін «жұптарды» іздейміз: $8{,}7 : 2{,}9 = 3$, $5{,}1 : 1{,}7 = 3$, $0{,}75 : 1{,}5 = 0{,}5$. Қорытынды: $3 \cdot 3 \cdot 0{,}5 = 4{,}5$.

🌟 Бұл жуылған шұлықтарды жұптап жинағанға ұқсайды: алдымен жұбын табасың, содан кейін бөлек қоясың. Бәрін қатарынан көбейте беру — ұзақ та, қателесу де оңай.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ондық бөлшекті ондық бөлшекке қалай бөледі? Бөлінгіштегі және бөлгіштегі үтірді бөлгіштегі үтірден кейінгі цифр санындай таңбаға оңға жылжытып, шыққан натурал санға бөледі.
• Бөлінгіштегі ондық таңбалар саны бөлгіштегіден кем болса, не істейді? Бөлінгіштің оң жағына қажетінше нөлдерді тіркеп жазып, содан кейін үтірді жылжытады.
• $7{,}644 : 1{,}56$ мысалында үтірді неше цифрға жылжытамыз? Екіге (бөлгіште екі таңба бар): $764{,}4 : 156 = 4{,}9$.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 905

Ауызша есептеңдер: 1) $3 : 0{,}3$; 2) $5 : 0{,}5$; 3) $6 : 0{,}1$; 4) $1{,}6 : 0{,}4$; 5) $3{,}6 : 1{,}2$; 6) $7{,}2 : 0{,}6$; 7) $8 : 0{,}8$; 8) $9 : 0{,}09$; 9) $2{,}5 : 0{,}5$; 10) $24 : 0{,}6$; 11) $5{,}6 : 0{,}8$; 12) $0{,}36 : 12$.

Қалай ойлаймыз. Бөлгіш бүтін сан болғанша екі санда да үтірді жылжытып, ауызша бөлеміз.

Шешуі.

Жауабы: 1) 10; 2) 10; 3) 60; 4) 4; 5) 3; 6) 12; 7) 10; 8) 100; 9) 5; 10) 40; 11) 7; 12) 0,03.

A деңгейі

№ 906

Бөліңдер: 1) $14{,}82 : 1{,}56$; 2) $11{,}034 : 1{,}8$; 3) $0{,}882 : 0{,}2$; 4) $0{,}355 : 0{,}71$; 5) $7{,}82 : 1{,}7$; 6) $8{,}65 : 3{,}46$; 7) $0{,}74 : 0{,}2$; 8) $3{,}5 : 0{,}07$; 9) $7{,}389 : 0{,}03$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда алдымен үтірлерді «көшіріп», содан кейін бөлеміз.

Шешуі.

1. $14{,}82 : 1{,}56 = 1482 : 156 = 9{,}5$;
2. $11{,}034 : 1{,}8 = 110{,}34 : 18 = 6{,}13$;
3. $0{,}882 : 0{,}2 = 8{,}82 : 2 = 4{,}41$;
4. $0{,}355 : 0{,}71 = 35{,}5 : 71 = 0{,}5$;
5. $7{,}82 : 1{,}7 = 78{,}2 : 17 = 4{,}6$;
6. $8{,}65 : 3{,}46 = 865 : 346 = 2{,}5$;
7. $0{,}74 : 0{,}2 = 7{,}4 : 2 = 3{,}7$;
8. $3{,}5 : 0{,}07 = 350 : 7 = 50$ (3,5-ке нөл тіркедік);
9. $7{,}389 : 0{,}03 = 738{,}9 : 3 = 246{,}3$.

Бірінші мысалды бағанмен бөлу:

 1482 | 156
-1404 |-----
 ---- | 9,5
  780
 -780
  ---
    0

Жауабы: 1) 9,5; 2) 6,13; 3) 4,41; 4) 0,5; 5) 4,6; 6) 2,5; 7) 3,7; 8) 50; 9) 246,3.

№ 907

Бөліндіні табыңдар: 1) $1{,}68 : 0{,}8$; 2) $2{,}08 : 0{,}05$; 3) $86{,}1 : 0{,}41$; 4) $1{,}64 : 0{,}41$; 5) $0{,}29 : 0{,}05$; 6) $20{,}3 : 1{,}45$; 7) $60{,}75 : 0{,}9$; 8) $0{,}016 : 0{,}08$; 9) $2{,}244 : 5{,}61$.

Қалай ойлаймыз. Бөлінгіште цифр жетпейтін жерде ($86{,}1 : 0{,}41$ сияқты) нөлдерді тіркеп жазамыз.

Шешуі.

1. $1{,}68 : 0{,}8 = 16{,}8 : 8 = 2{,}1$;
2. $2{,}08 : 0{,}05 = 208 : 5 = 41{,}6$;
3. $86{,}1 : 0{,}41 = 8610 : 41 = 210$;
4. $1{,}64 : 0{,}41 = 164 : 41 = 4$;
5. $0{,}29 : 0{,}05 = 29 : 5 = 5{,}8$;
6. $20{,}3 : 1{,}45 = 2030 : 145 = 14$;
7. $60{,}75 : 0{,}9 = 607{,}5 : 9 = 67{,}5$;
8. $0{,}016 : 0{,}08 = 1{,}6 : 8 = 0{,}2$;
9. $2{,}244 : 5{,}61 = 224{,}4 : 561 = 0{,}4$.

Жауабы: 1) 2,1; 2) 41,6; 3) 210; 4) 4; 5) 5,8; 6) 14; 7) 67,5; 8) 0,2; 9) 0,4.

№ 908

Мынадай шаманы есептеп шығарыңдар: 1) 0,4-і 6 кг; 2) 0,5-і 3 м; 3) 1,4-і 7 л; 4) 0,8-і 8 км; 5) 0,2-сі 72 кг; 6) 0,3-і 24 км.

Қалай ойлаймыз. Бөлігін және ол бүтіннің қандай үлесі екенін білеміз. Бүтін = бөліктің мәні : үлес.

Шешуі.

1. $6 : 0{,}4 = 60 : 4 = 15$ кг;
2. $3 : 0{,}5 = 30 : 5 = 6$ м;
3. $7 : 1{,}4 = 70 : 14 = 5$ л;
4. $8 : 0{,}8 = 80 : 8 = 10$ км;
5. $72 : 0{,}2 = 720 : 2 = 360$ кг;
6. $24 : 0{,}3 = 240 : 3 = 80$ км.

Жауабы: 1) 15 кг; 2) 6 м; 3) 5 л; 4) 10 км; 5) 360 кг; 6) 80 км.

№ 909

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $\frac{4{,}2 \cdot 0{,}5}{1{,}5 \cdot 0{,}7}$; 2) $\frac{2{,}4 \cdot 0{,}9}{4{,}5 \cdot 0{,}8}$; 3) $\frac{2{,}7 \cdot 4{,}3}{8{,}6 \cdot 0{,}3}$; 4) $\frac{6{,}4 \cdot 0{,}7}{1{,}6 \cdot 5{,}6}$; 5) $\frac{1{,}5 \cdot 7{,}2}{1{,}8 \cdot 7{,}5}$; 6) $\frac{1{,}3 \cdot 6{,}4}{0{,}8 \cdot 6{,}5}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтіп, содан кейін бөлуге болады. Бірақ «жұптарды» табу оңайырақ: алымындағы және бөліміндегі жақсы бөлінетін сандарды.

Шешуі.

1. $\frac{4{,}2}{0{,}7} \cdot \frac{0{,}5}{1{,}5} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$;
2. алымы $2{,}4 \cdot 0{,}9 = 2{,}16$, бөлімі $4{,}5 \cdot 0{,}8 = 3{,}6$; $2{,}16 : 3{,}6 = 21{,}6 : 36 = 0{,}6$;
3. $\frac{2{,}7}{0{,}3} \cdot \frac{4{,}3}{8{,}6} = 9 \cdot 0{,}5 = 4{,}5$;
4. $\frac{6{,}4}{1{,}6} \cdot \frac{0{,}7}{5{,}6} = 4 \cdot \frac{1}{8} = 0{,}5$;
5. $\frac{1{,}5}{7{,}5} \cdot \frac{7{,}2}{1{,}8} = \frac{1}{5} \cdot 4 = 0{,}8$;
6. $\frac{6{,}4}{0{,}8} \cdot \frac{1{,}3}{6{,}5} = 8 \cdot \frac{1}{5} = 1{,}6$.

Жауабы: 1) 2; 2) 0,6; 3) 4,5; 4) 0,5; 5) 0,8; 6) 1,6.

№ 910

1) Тік төртбұрыштың ауданы $S$ м², ені 2,3 м. Тік төртбұрыштың ұзындығын табыңдар. $S = 17{,}94$. 2) Көлемі 43,5 см³ мыс білеушенің массасы 387,15 г. Көлемі 1 см³ мыстың массасы неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы = ауданы : ені. 1 см³ массасы = барлық масса : көлем.

Шешуі.

1. $17{,}94 : 2{,}3 = 179{,}4 : 23 = 7{,}8$ м. Тексеру: $7{,}8 \cdot 2{,}3 = 17{,}94$.
2. $387{,}15 : 43{,}5 = 3871{,}5 : 435 = 8{,}9$ г.

Жауабы: 1) 7,8 м; 2) 8,9 г.

№ 911

1) Жайық өзенінің Қазақстан Республикасының аумағы арқылы өтетін ұзындығы 1081,8 км. Бұл оның барлық ұзындығының шамамен 0,45-індей. Жайық өзенінің ұзындығы неше километр? 2) Машинаның бөлшегі станокта жонылған соң 3,36 кг болды, бұл оның станокта жонылғанға дейінгі массасының 0,84-індей. Мәшине бөлшегінің станокта жонылғанға дейінгі массасы қандай болды?

Қалай ойлаймыз. Тағы да бөлігін және үлесін білеміз. Бүтін = бөлік : үлес.

Шешуі.

1. $1081{,}8 : 0{,}45 = 108,180 : 45 = 2404$ км.
2. $3{,}36 : 0{,}84 = 336 : 84 = 4$ кг.

Жауабы: 1) шамамен 2404 км; 2) 4 кг.

№ 912

1) Кәмпит салынған қораптың сыртында «0,8 кг 384 тг» деп көрсетілген. Осы кәмпиттің 1 килограмының бағасы неше теңге? 2) Ұн салынған пакеттің сыртында «1,5 кг. 105 тг» деп жазылған. 1 кг ұнның бағасы неше теңге?

Қалай ойлаймыз. 1 кг бағасы = құны : массасы.

Шешуі.

1. $384 : 0{,}8 = 3840 : 8 = 480$ тг.
2. $105 : 1{,}5 = 1050 : 15 = 70$ тг.

Жауабы: 1) 480 тг; 2) 70 тг.

№ 913

Жеңіл мәшинесінің бензин бағының сыйымдылығы 60 л. Ол тұрақты жылдамдықпен жүргенде, 1 км жолға 0,15 л бензин жұмсайды. Жеңіл мәшине тұрақты жылдамдықпен жүргенде, оның бағы толы бензин неше километрге жетеді?

Қалай ойлаймыз. 60 л-де 0,15 л неше рет сиятынын табамыз — сонша километр жүреміз.

Шешуі. $60 : 0{,}15 = 6000 : 15 = 400$ км.

Жауабы: 400 км-ге.

№ 914

Өрнек бойынша есеп құрастырыңдар: 1) $a : 2{,}5$; 2) $(a + b) : 6{,}3$; 3) $(2{,}6 - b) : 0{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Ондық бөлшекке жылдамдықты (жол : уақыт), бағаны (құны : массасы), кесінділер санын (ұзындық : бір кесіндінің ұзындығы) іздегенде бөлеміз. Әркімнің есебі өзінше болады — міне, мысалдар.

Шешуі.

1. $a : 2{,}5$. «Велосипедші 2,5 сағатта $a$ км жүрді. Оның жылдамдығы қандай?»
2. $(a + b) : 6{,}3$. «$a$ кг алма және $b$ кг алмұрт сатып алды. Барлық жемісті 6,3 кг-нан қапшықтарға салды. Неше қапшық болды?»
3. $(2{,}6 - b) : 0{,}5$. «Ұзындығы 2,6 м лентадан $b$ м кесіп алды. Қалғанын 0,5 м-ден бөліктерге кесті. Неше бөлік шықты?»

Жауабы: есептер әртүрлі болуы мүмкін; есептегі амалдар өрнекке сәйкес келсе болды.

№ 915

Теңдеуді шешіңдер: 1) $3{,}5x = 5{,}95$; 2) $4{,}2x = 1{,}89$; 3) $0{,}8x = 1{,}92$; 4) $0{,}125x = 1{,}1$; 5) $0{,}6x = 2{,}55$; 6) $1{,}08x = 2{,}7$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз көбейткіш = көбейтінді : белгілі көбейткіш.

Шешуі.

1. $x = 5{,}95 : 3{,}5 = 59{,}5 : 35 = 1{,}7$;

2. $x = 1{,}89 : 4{,}2 = 18{,}9 : 42 = 0{,}45$;

3. $x = 1{,}92 : 0{,}8 = 19{,}2 : 8 = 2{,}4$;

4. $x = 1{,}1 : 0{,}125 = 1100 : 125 = 8{,}8$;

5. $x = 2{,}55 : 0{,}6 = 25{,}5 : 6 = 4{,}25$;

6. $x = 2{,}7 : 1{,}08 = 270 : 108 = 2{,}5$.

7. үшін тексеру: $0{,}125 \cdot 8{,}8 = 1{,}1$ ✓.

Жауабы: 1) 1,7; 2) 0,45; 3) 2,4; 4) 8,8; 5) 4,25; 6) 2,5.

B деңгейі

№ 916

Қандай санның: 1) 0,15-і 75-ке тең; 2) 0,7-сі 84-ке тең; 3) 0,09-ы 63-ке тең; 4) 0,04-і 52-ге тең; 5) 0,12-сі 60-қа тең; 6) 0,27-сі 81-ге тең?

Қалай ойлаймыз. № 908 сияқты: сан = бөлік : үлес.

Шешуі.

1. $75 : 0{,}15 = 7500 : 15 = 500$;
2. $84 : 0{,}7 = 840 : 7 = 120$;
3. $63 : 0{,}09 = 6300 : 9 = 700$;
4. $52 : 0{,}04 = 5200 : 4 = 1300$;
5. $60 : 0{,}12 = 6000 : 12 = 500$;
6. $81 : 0{,}27 = 8100 : 27 = 300$.

Жауабы: 1) 500; 2) 120; 3) 700; 4) 1300; 5) 500; 6) 300.

№ 917

Сандар тізбегінің заңдылығын тауып, оның келесі екі мүшесін жазыңдар: 1) 0,1; 0,5; 2,5; 12,5; … ; 2) 70; 7; 0,7; 0,07; … ; 3) 0,2; 0,22; 0,24; 0,26; … ; 4) 1,2; 2,4; 4,8; 9,6; … .

Қалай ойлаймыз. Көршілес сандарды салыстыр: олар қанша есе немесе неше бірлікке өзгереді?

Шешуі.

1. Әр сан алдыңғысынан 5 есе үлкен: $12{,}5 \cdot 5 = 62{,}5$; $62{,}5 \cdot 5 = 312{,}5$.
2. Әрқайсысы 10 есе кіші: 0,007; 0,0007.
3. Әрқайсысы 0,02-ге артық: 0,28; 0,30 = 0,3.
4. Әрқайсысы 2 есе үлкен: 19,2; 38,4.

Жауабы: 1) 62,5; 312,5; 2) 0,007; 0,0007; 3) 0,28; 0,3; 4) 19,2; 38,4.

№ 918

Бөліндіні табыңдар: 1) $0{,}42 : 0{,}06$; 2) $0{,}036 : 0{,}09$; 3) $1{,}23 : 0{,}41$; 4) $0{,}056 : 0{,}08$; 5) $0{,}975 : 1{,}95$; 6) $5{,}85 : 3{,}25$; 7) $4{,}92 : 16{,}4$; 8) $3{,}2 : 0{,}25$; 9) $9{,}9 : 4{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Үтірді бөлгіш бойынша жылжытамыз, цифр жетпесе нөлдерді тіркеп жазамыз.

Шешуі.

1. $0{,}42 : 0{,}06 = 42 : 6 = 7$;
2. $0{,}036 : 0{,}09 = 3{,}6 : 9 = 0{,}4$;
3. $1{,}23 : 0{,}41 = 123 : 41 = 3$;
4. $0{,}056 : 0{,}08 = 5{,}6 : 8 = 0{,}7$;
5. $0{,}975 : 1{,}95 = 97{,}5 : 195 = 0{,}5$;
6. $5{,}85 : 3{,}25 = 585 : 325 = 1{,}8$;
7. $4{,}92 : 16{,}4 = 49{,}2 : 164 = 0{,}3$;
8. $3{,}2 : 0{,}25 = 320 : 25 = 12{,}8$;
9. $9{,}9 : 4{,}5 = 99 : 45 = 2{,}2$.

Жауабы: 1) 7; 2) 0,4; 3) 3; 4) 0,7; 5) 0,5; 6) 1,8; 7) 0,3; 8) 12,8; 9) 2,2.

№ 919

Амалдарды орындаңдар: 1) $(12{,}33 + 7{,}3) : 6{,}5$; 2) $(6 - 2{,}43) : 4\frac{1}{4}$; 3) $9{,}75 : \left(4\frac{1}{2} - 2{,}55\right)$; 4) $15{,}96 : \left(\frac{9}{25} + 2{,}04\right)$; 5) $\left(4\frac{1}{5} - 3{,}93\right) : 4{,}5$; 6) $1 : (0{,}54 + 1{,}96)$.

Қалай ойлаймыз. Жай бөлшектерді алдымен ондыққа айналдырамыз: $4\frac{1}{4} = 4{,}25$; $4\frac{1}{2} = 4{,}5$; $\frac{9}{25} = 0{,}36$; $4\frac{1}{5} = 4{,}2$. Содан кейін — жақша, одан соң бөлу.

Шешуі.

1. $12{,}33 + 7{,}3 = 19{,}63$; $19{,}63 : 6{,}5 = 196{,}3 : 65 = 3{,}02$;
2. $6 - 2{,}43 = 3{,}57$; $3{,}57 : 4{,}25 = 357 : 425 = 0{,}84$;
3. $4{,}5 - 2{,}55 = 1{,}95$; $9{,}75 : 1{,}95 = 975 : 195 = 5$;
4. $0{,}36 + 2{,}04 = 2{,}4$; $15{,}96 : 2{,}4 = 159{,}6 : 24 = 6{,}65$;
5. $4{,}2 - 3{,}93 = 0{,}27$; $0{,}27 : 4{,}5 = 2{,}7 : 45 = 0{,}06$;
6. $0{,}54 + 1{,}96 = 2{,}5$; $1 : 2{,}5 = 10 : 25 = 0{,}4$.

Жауабы: 1) 3,02; 2) 0,84; 3) 5; 4) 6,65; 5) 0,06; 6) 0,4.

№ 920

Көбейту амалын орындамай-ақ, өрнектердің мәндерін салыстырыңдар. Нәтижесін салыстыру белгісімен («>», «<», «=») жазыңдар: 1) $12{,}25 \cdot 122{,}6$ және $1{,}225 \cdot 1226$; 2) $12{,}26 \cdot 1{,}227$ және $122{,}6 \cdot 12{,}27$; 3) $122{,}7 \cdot 1{,}228$ және $1{,}227 \cdot 12{,}28$; 4) $1{,}228 \cdot 122{,}9$ және $1{,}228 \cdot 1229$.

Қалай ойлаймыз. Бір көбейткіш 10 есе артып, екіншісі 10 есе кемісе — көбейтінді өзгермейді. Әр көбейткіштің қанша есе өзгергенін қара.

Шешуі.

1. $12{,}25 = 1{,}225 \cdot 10$, ал $122{,}6 = 1226 : 10$. Бір көбейткіш 10 есе артық, екіншісі 10 есе кем — көбейтінділер тең.
2. Екінші көбейтіндіде екі көбейткіш те 10 есе үлкен: $122{,}6 = 12{,}26 \cdot 10$, $12{,}27 = 1{,}227 \cdot 10$. Екіншісі 100 есе үлкен, демек, біріншісі кіші.
3. $122{,}7 = 1{,}227 \cdot 100$, ал $12{,}28 = 1{,}228 \cdot 10$. Бірінші көбейтінді екіншісінен 10 есе үлкен.
4. Бірінші көбейткіштер бірдей, ал $122{,}9 < 1229$, демек, бірінші көбейтінді кіші.

Жауабы: 1) $=$; 2)

№ 921

1) Қараөрік кептірілгеннен кейін алғашқы массасының 0,7-сін жоғалтады. 4,8 кг кептірілген қараөрік алу үшін неше килограмм қараөрік жинау керек? A. 25 кг; B. 18 кг; C. 16 кг; D. 19 кг. 2) Трактор жасайтын зауыт тапсырманың 0,8-ін орындады. Зауыт тапсырманы толық орындауы үшін тағы да 48 трактор шығаруы керек. Зауыт тапсырма бойынша барлығы неше трактор жасауы керек?

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі сан қандай үлеске сәйкес келетінін тап: кеткені емес, қалғаны.

Шешуі.

1. Кептірілген қараөрік — жас қараөріктің массасының $1 - 0{,}7 = 0{,}3$ бөлігі. Жас қараөрік: $4{,}8 : 0{,}3 = 48 : 3 = 16$ кг. Бұл — C нұсқасы.
2. Тапсырманың $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ бөлігі қалды, бұл 48 трактор. Бүкіл тапсырма: $48 : 0{,}2 = 480 : 2 = 240$ трактор.

Жауабы: 1) C. 16 кг; 2) 240 трактор.

⚠️ Жиі кететін қате. 4,8-ді 0,7-ге бөледі. Бірақ 0,7 — бұл буланып кеткені, ал 4,8 кг — қалғаны. Қалған 0,3 үлеске бөлу керек.

№ 922

Пойыз екі қала арасындағы қашықтықтың 0,32-сін жүргенде орта жолға жеткенше әлі 72 км қалды. Екі қаланың арақашықтығы неше километр?

Қалай ойлаймыз. Жолдың ортасы — 0,5. Пойыз бен орта жолдың арасы жолдың қандай үлесі екенін тап.

Шешуі.

1. Жолдың ортасы — бүкіл жолдың 0,5-і.
2. Орта жолға дейін $0{,}5 - 0{,}32 = 0{,}18$ жол қалды, бұл — 72 км.
3. Бүкіл жол: $72 : 0{,}18 = 7200 : 18 = 400$ км.

Жауабы: 400 км.

№ 923

Елді мекеннен станцияға бара жатқан салт атты адамға велосипедші кездесті. Кездескеннен кейін $\frac{3}{4}$ сағ өткен соң, олардың арақашықтықтары 20,85 км болды. Велосипедшінің жылдамдығы 12,6 км/сағ болса, салт атты адамның жылдамдығы қандай болғаны?

Қалай ойлаймыз. Екеуі қарама-қарсы бағытқа жүргенде, арақашықтық олардың жылдамдықтарының қосындысына тең жылдамдықпен артады.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4}$ сағ $= 0{,}75$ сағ.
2. Алыстау жылдамдығы: $20{,}85 : 0{,}75 = 2085 : 75 = 27{,}8$ км/сағ.
3. Салт атты адамның жылдамдығы: $27{,}8 - 12{,}6 = 15{,}2$ км/сағ.

Жауабы: 15,2 км/сағ.

№ 924

Квадрат пішінді бөлменің әрбір қабырғасының тұсына 4 үстелден қойып, 12 үстелді қалай орналастыруға болады?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Бұрыштағы үстел бірден екі қабырғаның тұсында тұрады!

Шешуі. 4 бұрыштың әрқайсысына бір-бірден үстел қоямыз (суретте — «Б»). Содан кейін әр қабырғаның ортасына тағы 2-ден үстел қоямыз: $4 + 4 \cdot 2 = 12$ үстел. Әр қабырғаның тұсында: 2 бұрыштағы + 2 ортадағы = 4 үстел.

Жауабы: әр бұрышқа бір-бірден және әр қабырғаның ортасына екі-екіден үстел қоямыз.

№ 925

Ұзындығы 490 м пойыз 20 м/с жылдамдықпен жүріп келеді. Пойыз 8 телеграф бағанының тұсынан қанша уақытта өтіп болады? Әрбір қатар тұрған екі бағанның арасы 50 м.

Қалай ойлаймыз. 8 бағанның арасында — 7 аралық (8 таяқша қойып, араларындағы саңылауларды санап көр). Пойыздың соңғы вагоны соңғы бағаннан өткенде, ол барлық бағаннан өтіп болады. Осы уақытта пойыздың басы бірінші бағаннан соңғы бағанға дейінгі жолды және пойыздың ұзындығын жүріп өтеді.

Шешуі.

1. Бірінші бағаннан соңғы бағанға дейін: $7 \cdot 50 = 350$ м.
2. Пойыз басының жүрген жолы: $350 + 490 = 840$ м.
3. Уақыты: $840 : 20 = 42$ с.

Жауабы: 42 секундта.

№ 926

Шаруашылық бірлестігі бидай егілген жерден 1158 ц бидай өнімін алды. Бидай егілген жер барлық егістік жердің $\frac{4}{5}$-індей. Егер 1 га жерден 19,3 ц бидай өнімі алынса, шаруашылық бірлестігінің барлық егістік жерінің ауданы неше гектар?

Қалай ойлаймыз. Алдымен бидай астындағы жердің неше гектар екенін табамыз, содан кейін бөлігі $\frac{4}{5}$ бойынша бүтінді табамыз.

Шешуі.

1. Бидай астындағы жер: $1158 : 19{,}3 = 11,580 : 193 = 60$ га.
2. 60 га — бұл жердің $\frac{4}{5}$-і. Жердің $\frac{1}{5}$-і: $60 : 4 = 15$ га.
3. Барлық жер: $15 \cdot 5 = 75$ га.

Жауабы: 75 га.

Үйреніп алыңдар

Алымы да, бөлімі де ондық бөлшектердің көбейтіндісі түрінде берілген бөлшектерді қысқарту

Бөлшектердің алымында да, бөлімінде де көбейткіштер ондық бөлшек түрінде берілсе, оларды натурал санға келтіріп алып, есептеуге болады. Ол үшін:

1. бөлшектің алымындағы ондық таңбалар санын және бөліміндегі ондық таңбалар санын жеке-жеке санау керек;
2. табылған ондық таңбалардың ең көп санындай нөлдері бар разряд бірліктеріне бөлшектің алымын да, бөлімін де көбейту керек. Сол кезде бөлшектің алымындағы және бөліміндегі ондық бөлшектердің орнына натурал сандар шығады;
3. қажет болған жағдайда бөлшектерді қысқарту ережесі бойынша қысқарту керек.

Мысалы, $\frac{8{,}7 \cdot 5{,}1 \cdot 0{,}75}{1{,}7 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}9}$ бөліндісін табу үшін, алымындағы көбейткіштерде 4 ондық таңба, ал бөліміндегі көбейткіштерде 3 ондық таңба бар. Онда алымын да, бөлімін де төрт нөлі бар разряд бірлігіне, яғни 10 000-ға көбейтеміз. Сонда

$\frac{8{,}7 \cdot 5{,}1 \cdot 0{,}75}{1{,}7 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}9} = \frac{8{,}7 \cdot 5{,}1 \cdot 0{,}75 \cdot 10000}{1{,}7 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}9 \cdot 10000} = \frac{87 \cdot 51 \cdot 75}{17 \cdot 150 \cdot 29} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4{,}5$.

C деңгейі

№ 927

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $\frac{0{,}7}{2{,}2 + 1{,}3}$; 2) $\frac{1{,}6}{10 - 3{,}6}$; 3) $\frac{2{,}8 + 1{,}7}{3{,}5 - 2{,}6}$; 4) $\frac{17{,}5 - 5{,}9}{4{,}7 - 1{,}8}$; 5) $\frac{18{,}3 - 7{,}5}{1 - 0{,}64}$; 6) $\frac{14{,}2 - 4{,}7}{0{,}16 + 0{,}03}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек сызығы — бөлу таңбасы. Алдымен алымы мен бөлімін есептейміз, содан кейін бөлеміз.

Шешуі.

1. $\frac{0{,}7}{3{,}5} = \frac{7}{35} = 0{,}2$;
2. $\frac{1{,}6}{6{,}4} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0{,}25$;
3. $\frac{4{,}5}{0{,}9} = \frac{45}{9} = 5$;
4. $\frac{11{,}6}{2{,}9} = \frac{116}{29} = 4$;
5. $\frac{10{,}8}{0{,}36} = \frac{1080}{36} = 30$;
6. $\frac{9{,}5}{0{,}19} = \frac{950}{19} = 50$.

Жауабы: 1) 0,2; 2) 0,25; 3) 5; 4) 4; 5) 30; 6) 50.

№ 928

Тиімді тәсілмен есептеңдер: 1) $\frac{1{,}3 \cdot 0{,}45 \cdot 7{,}2}{1{,}5 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}65}$; 2) $\frac{1{,}7 \cdot 4{,}5 \cdot 6{,}9 \cdot 1{,}1}{0{,}23 \cdot 6{,}8 \cdot 0{,}9 \cdot 5{,}5}$; 3) $\frac{0{,}25 \cdot 3{,}6 \cdot 0{,}76}{0{,}45 \cdot 0{,}19 \cdot 0{,}5}$; 4) $\frac{0{,}25 \cdot 18{,}6 \cdot 4{,}2 \cdot 5{,}7}{1{,}9 \cdot 1{,}26 \cdot 3{,}1 \cdot 0{,}5}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейту ұзақ. Алымы мен бөліміндегі жақсы бөлінетін «жұптарды» таңдаймыз — жуылған шұлықтарды жұптағандай.

Шешуі.

1. $\frac{1{,}3}{0{,}65} = 2$; $\frac{0{,}45}{1{,}5} = 0{,}3$; $\frac{7{,}2}{1{,}2} = 6$. Қорытынды: $2 \cdot 0{,}3 \cdot 6 = 3{,}6$.
2. $\frac{1{,}7}{6{,}8} = 0{,}25$; $\frac{4{,}5}{0{,}9} = 5$; $\frac{6{,}9}{0{,}23} = 30$; $\frac{1{,}1}{5{,}5} = 0{,}2$. Қорытынды: $0{,}25 \cdot 5 \cdot 30 \cdot 0{,}2 = 7{,}5$.
3. $\frac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5$; $\frac{3{,}6}{0{,}45} = 8$; $\frac{0{,}76}{0{,}19} = 4$. Қорытынды: $0{,}5 \cdot 8 \cdot 4 = 16$.
4. $\frac{18{,}6}{3{,}1} = 6$; $\frac{5{,}7}{1{,}9} = 3$; $\frac{4{,}2}{1{,}26} = \frac{420}{126} = \frac{10}{3}$; $\frac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5$. Қорытынды: $6 \cdot 3 \cdot \frac{10}{3} \cdot 0{,}5 = 30$.

Жауабы: 1) 3,6; 2) 7,5; 3) 16; 4) 30.

№ 929

Дүкенге сатуға әкелінген көгөністің бірінші күні $\frac{1}{4}$-і сатылды. Екінші күні қалғанының 0,4-і сатылды, одан қалғаны үшінші күні сатылды. Үшінші күні екінші күнге қарағанда 570 кг көгөніс артық сатылды. Дүкенге сатуға неше тонна көгөніс әкелінген?

Қалай ойлаймыз. Барлық көгөністі 1 деп алайық. Әр күннің сатылымын үлеспен өрнектейміз, 570 кг қандай үлеске тең екенін тауып, бүтінді қалпына келтіреміз.

Шешуі.

1. Бірінші күннен кейін барлық көгөністің $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$ бөлігі қалды.
2. Екінші күні: $0{,}4 \cdot 0{,}75 = 0{,}3$ барлық көгөніс.
3. Үшінші күні: $0{,}75 - 0{,}3 = 0{,}45$ барлық көгөніс.
4. Айырмасы: $0{,}45 - 0{,}3 = 0{,}15$ — бұл 570 кг.
5. Барлық көгөніс: $570 : 0{,}15 = 57,000 : 15 = 3800$ кг $= 3{,}8$ т.

Жауабы: 3,8 т.

№ 930

Оқулық компьютерде теру үшін үш терушіге берілді. Бірінші теруші оқулықтың $\frac{7}{20}$-сін, екінші теруші қалғанының 0,6-сын, үшінші теруші қалғанын терді. Үшінші теруші бірінші және екінші терушілердің терген беттерінің қосындысынан 120 бетті кем терді. Компьютерде терілген оқулықта неше бет болған?

Қалай ойлаймыз. № 929-дағы тәсіл: бүкіл оқулық — 1, әр терушіге оның үлесі.

Шешуі.

1. Бірінші: $\frac{7}{20} = 0{,}35$ оқулық. Қалғаны $1 - 0{,}35 = 0{,}65$.
2. Екінші: $0{,}6 \cdot 0{,}65 = 0{,}39$ оқулық.
3. Үшінші: $0{,}65 - 0{,}39 = 0{,}26$ оқулық.
4. Бірінші және екінші бірге: $0{,}35 + 0{,}39 = 0{,}74$. Үшіншімен айырмасы: $0{,}74 - 0{,}26 = 0{,}48$ — бұл 120 бет.
5. Бүкіл оқулық: $120 : 0{,}48 = 12,000 : 48 = 250$ бет.

Жауабы: 250 бет.

№ 931

Фермер екі учаскеге жүзім және құлпынай екті. Ол бірінші учаскедегі 5 га ауданға жүзім егіп, 3 га ауданға құлпынай екті. Фермер екінші учаскенің 3 гектарына жүзім егіп, 5 гектарына құлпынай екті. Фермер бірінші учаскеден 55,5 ц жүзім және құлпынай өнімін алса, екінші учаскеден 54,1 ц жүзім және құлпынай өнімін алды. Фермер 1 га ауданнан неше центнер жүзім алды? 1 га ауданнан неше центнер құлпынай алды?

Қалай ойлаймыз. Екі учаскені қосайық — «бір гектар жүзім + бір гектар құлпынайдың» өнімін білеміз. Учаскелерді салыстырайық — жүзімнің қанша артық өнім беретінін білеміз.

Шешуі.

1. Бірге: 8 га жүзім және 8 га құлпынай $55{,}5 + 54{,}1 = 109{,}6$ ц берді. Демек, 1 га жүзім + 1 га құлпынай $109{,}6 : 8 = 13{,}7$ ц береді.
2. Бірінші учаскеде екіншіге қарағанда жүзім 2 га артық, құлпынай 2 га кем. Өнім айырмасы $55{,}5 - 54{,}1 = 1{,}4$ ц. Демек, 1 га жүзім 1 га құлпынайдан $1{,}4 : 2 = 0{,}7$ ц артық береді.
3. Құлпынай: $(13{,}7 - 0{,}7) : 2 = 6{,}5$ ц; жүзім: $6{,}5 + 0{,}7 = 7{,}2$ ц.

Тексеру: $5 \cdot 7{,}2 + 3 \cdot 6{,}5 = 36 + 19{,}5 = 55{,}5$ ✓.

Жауабы: жүзім — 1 га-дан 7,2 ц, құлпынай — 1 га-дан 6,5 ц.

№ 932

Есепті тиімді тәсілмен шығарыңдар. Оқушы кітапты үш күн оқыды. Ол бірінші күні кітаптың 0,2-сін және 5 бетін оқыды. Екінші күні кітаптың қалған беттерінің 0,4-ін және 7 бетін оқыды. Үшінші күні кітаптың одан қалған беттерінің 0,8-ін және қалған 10 бетін оқыды. Оқушы оқыған кітапта неше бет болған?

Қалай ойлаймыз. Басынан шешу қиын: үлестерді неден алу керегі белгісіз. Ал соңынан бәрі түсінікті: соңғы күнді біз дерлік толық білеміз.

Шешуі.

1. Үшінші күн: 10 бет — қалғанының $1 - 0{,}8 = 0{,}2$ бөлігі. Үшінші күннің алдындағы қалдық: $10 : 0{,}2 = 50$ бет.
2. Екінші күн: қалғанының $0{,}6$-сы $= 50 + 7 = 57$ бет. Екінші күннің алдындағы қалдық: $57 : 0{,}6 = 95$ бет.
3. Бірінші күн: кітаптың $0{,}8$-і $= 95 + 5 = 100$ бет. Бүкіл кітап: $100 : 0{,}8 = 125$ бет.

Тексеру: 1-ші күні $25 + 5 = 30$, 95 қалды; 2-ші күні $38 + 7 = 45$, 50 қалды; 3-ші күні $40 + 10 = 50$. Дұрыс!

Жауабы: 125 бет.

№ 933

Жеңіл мәшине екі қала арасындағы қашықтықтың бірінші сағатта 6 километрі кем 0,4-ін жүрді. Екінші сағатта қалған қашықтықтың 10 километрі кем 0,6-сын жүргенде, қалаға дейін 70 км қалды. Екі қаланың арақашықтығы неше километр? Жеңіл мәшине бірінші сағатта неше километр жүрді?

Қалай ойлаймыз. Тағы да соңынан бастаймыз. «6 км кем» дегеніміз — «6 км-ге аз».

Шешуі.

1. Бірінші сағаттан кейін $R$ км қалсын. Екінші сағатта $0{,}6R - 10$ жүрді, демек, $R - (0{,}6R - 10) = 0{,}4R + 10 = 70$ км қалды. Мұнан $0{,}4R = 60$, $R = 150$ км.
2. Бірінші сағаттан кейін қалғаны: жолдың $0{,}6$-сы $+ 6$ км $= 150$ км. Демек, жолдың $0{,}6$-сы $= 144$ км, бүкіл жол $144 : 0{,}6 = 240$ км.
3. Бірінші сағатта: $0{,}4 \cdot 240 - 6 = 96 - 6 = 90$ км.

Тексеру: екінші сағатта $0{,}6 \cdot 150 - 10 = 80$ км; $90 + 80 + 70 = 240$ ✓.

Жауабы: арақашықтық 240 км; бірінші сағатта — 90 км.

№ 934

Амалдарды тиімді тәсілмен орындаңдар: 1) $\dfrac{\left(30\frac{4}{5} + 27{,}4\right) \cdot 0{,}9}{\left(31{,}64 - 12\frac{6}{25}\right) \cdot 1{,}2}$; 2) $\dfrac{(3 : 2{,}5 + 4{,}3) \cdot 0{,}35}{\left(6{,}35 - 15{,}4 \cdot \frac{1}{4}\right) \cdot 1{,}1}$.

Қалай ойлаймыз. Жай бөлшектерді ондыққа айналдырамыз, жақшаларды есептейміз, содан кейін алым мен бөлімдегі «жұптарды» қайта іздейміз.

Шешуі.

1. $30\frac{4}{5} = 30{,}8$; $30{,}8 + 27{,}4 = 58{,}2$. $12\frac{6}{25} = 12{,}24$; $31{,}64 - 12{,}24 = 19{,}4$. Бөлшек: $\frac{58{,}2}{19{,}4} \cdot \frac{0{,}9}{1{,}2} = 3 \cdot 0{,}75 = 2{,}25$.
2. Алымы: $3 : 2{,}5 = 1{,}2$; $1{,}2 + 4{,}3 = 5{,}5$. Бөлімі: $15{,}4 \cdot \frac{1}{4} = 3{,}85$; $6{,}35 - 3{,}85 = 2{,}5$. Бөлшек: $\frac{5{,}5}{1{,}1} \cdot \frac{0{,}35}{2{,}5} = 5 \cdot 0{,}14 = 0{,}7$.

Жауабы: 1) 2,25; 2) 0,7.

Жадынама

• Бөлгіш натурал сан болуы керек — үтірді сол үшін жылжытамыз.
• Үтірді бөлінгіште де, бөлгіште де бірдей жылжытамыз.
• Бөлінгіште таңба жетпесе — нөл тіркеп жазамыз.
• 1-ден кіші санға бөлсек — жауап артады; 1-ден үлкен санға бөлсек — кемиді.
• Санды оның үлесі бойынша табу: бөліктің мәні : үлес.

Шағын тест