5.2. Ішкі жиын

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). V тарау: Жиындар. 97–101-беттер.

Нені үйренесің

• Ішкі жиынның не екенін түсініп, оны $\subset$ белгісімен жазуды.
• Бір қарағаннан-ақ «бөлігі ме, жоқ па» деп тексеруді.
• Элементтері араласып кетсе де, тең жиындарды таныуды.
• Барлық ішкі жиындарды жазып, бос жиын мен жиынның өзін ұмытпауды.
• Ішкі жиынды Эйлер–Венн дөңгелектерімен бейнелеуді.

Тақырыпты талдаймыз

Қорап ішіндегі қорап

Кәмпит салынған қорапты елестет: онда шоколад, карамель және ирис бар. Сен тек шоколадтарын алып, кішкентай қорапшаға салдың. Қорапшадағы әрбір кәмпит үлкен қорапта да бар, демек, қорапша — үлкен қораптың бөлігі.

Математикада мұндай бөлікті ішкі жиын дейді. Енді сандармен көрейік. $L = {3, 6, 9, 12, 15, 18}$ жиынын алып, оның 6-ға еселік сандарын таңдайық. Сонда $K = {6, 12, 18}$ шығады.

📌 $K$ жиынының әрбір элементі $L$ жиынына да тиісті болса, $K$ жиыны $L$ жиынының ішкі жиыны деп аталады. Былай жазады: $K \subset L$, былай оқиды: «$K$ жиыны $L$ жиынының ішкі жиыны».

Дөңгелектерге қара. «Тек K» батырмасын бас: ол бос! $K$ жиынының бірде-бір элементі $L$ жиынынан тысқары шықпайды. Ішкі жиынның белгісі — осы.

💡 Дәптерге ішкі жиынды одан да қарапайым етіп салады: кіші $K$ дөңгелегі үлкен $L$ дөңгелегінің ішінде тұрады. 6, 12, 18 сандары кіші дөңгелектің ішінде, ал 3, 9, 15 сандары үлкен дөңгелектің ішінде, бірақ кішісінің сыртында.

Өмірден мысалдар:

• аққулар жиыны — құстар жиынының ішкі жиыны;
• үшбұрыштар жиыны — көпбұрыштар жиынының ішкі жиыны;
• 28 санының бөлгіштер жиыны — 84 санының бөлгіштер жиынының ішкі жиыны (өйткені $84 = 28 \cdot 3$, ал 28-ді бөлетін сан 84-ті де бөледі).

Ал егер бір элемент болса да «сыртқа шығып кетсе», онда бұл ішкі жиын емес. Мұны $D \not\subset E$ деп жазады.

⚠️ Жиі кететін қате. $\in$ және $\subset$ белгілерін шатастырады. $\in$ белгісін санмен жиынның арасына қояды: $6 \in L$. $\subset$ белгісін екі жиынның арасына қояды: ${6} \subset L$. $6 \subset L$ деп жазу — қате. Тексеру оңай: сол жақта фигуралы жақшасыз жалғыз сан тұрса, онда $\in$ қажет.

Араластырдық, бірақ жиын сол күйінде

Егер $X \subset Y$ және сонымен бірге $Y \subset X$ болса, онда екеуінде де бірдей элементтер бар. Мұндай жиындар тең: $X = Y$.

Реттің маңызы жоқ! ${1, 2, 3}$ және ${3, 1, 2}$ — бір жиын. Сенің сөмкең сияқты: қалам, дәптер, сызғышты қалай салсаң да, сөмке сол сөмке.

Барлығы неше ішкі жиын бар

Кез келген жиынның екі «ерекше» ішкі жиыны болады: бос жиын $\varnothing$ (ештеңе алмадық) және жиынның өзі (бәрін алдық). Яғни $F \subset F$ және $\varnothing \subset F$.

${a, b, c}$ жиынының барлық ішкі жиындарын жазайық. Элементтер санына қарай жүрген ыңғайлы:

• ешқайсысы жоқ: $\varnothing$;
• біреуден: ${a}$, ${b}$, ${c}$;
• екіден: ${a, b}$, ${a, c}$, ${b, c}$;
• үшеуі де: ${a, b, c}$.

Барлығы 8. Әдемі ереже бар: құрамында $n$ элементі бар жиынның дәл $2^n$ ішкі жиыны болады. 1 элементтіден — 2, 2 элементтіден — 4, 3 элементтіден — 8, 4 элементтіден — 16.

🌟 Неге $2^n$? Әр элемент үшін екі жол бар: «аламын» немесе «алмаймын». Үш элемент болса, $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ жол шығады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан ${1, 2}$ жиынының барлық ішкі жиындарын жаздырыңыз. Дұрыс жауабы — төртеу: $\varnothing$, ${1}$, ${2}$, ${1, 2}$. Көбіне бос жиынды және жиынның өзін ұмытып кетеді. Сұраңыз: «Ештеңе алмауға бола ма? Бәрін бірден алуға ше?»

⚠️ Жиі кететін қате. ${a, b}$ және ${b, a}$ жиындарын екі басқа жиын деп жазады. Бұл — бір ғана ішкі жиын! Қайталамау үшін әріптерді әліпби бойынша, сандарды өсу ретімен жаз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Ішкі жиын деп қандай жиынды айтады? Әрбір элементі берілген жиынға тиісті болатын жиынды.
• Қандай жиындар тең жиындар деп аталады? Бірдей элементтерден тұратын жиындар.
• Тең жиындардың бір-бірінен қандай айырмашылығы болуы мүмкін? Тек жазылу ретімен ғана. Элементтері бірдей.
• $B \subset A$ жазуын қалай түсінесіңдер? $B \not\subset A$ жазуын ше? Біріншісі: $B$ жиынының барлық элементтері $A$ жиынында бар. Екіншісі: $B$ жиынында $A$ жиынында жоқ кемінде бір элемент бар.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1033

Мынаны оқыңдар: $C \subset D$; $E \not\subset F$; $a \in B$; $b \notin L$.

Шешуі.

1. $C \subset D$ — «$C$ жиыны $D$ жиынының ішкі жиыны».
2. $E \not\subset F$ — «$E$ жиыны $F$ жиынының ішкі жиыны емес».
3. $a \in B$ — «$a$ элементі $B$ жиынына тиісті» (немесе «$a$ — $B$ жиынының элементі»).
4. $b \notin L$ — «$b$ элементі $L$ жиынына тиісті емес».

Жауабы: әр жазудың оқылуы жоғарыда көрсетілген.

A деңгейі

№ 1034

Мына жиындардың қайсысы ішкі жиын болады? Ішкі жиынды белгіленуімен жазыңдар. 1) $A$ — музыканттар жиыны, $B$ — скрипкашылар жиыны; 2) $L$ — еліміздегі қалалар жиыны, $K$ — облыс орталықтары қалаларының жиыны; 3) $C$ — жай сандар жиыны, $D$ — натурал сандар жиыны.

Қалай ойлаймыз. «Бөлікті» іздейміз. Әрбір скрипкашы — музыкант, бірақ әрбір музыкант скрипкада ойнамайды (домбырашылар да бар ғой!).

Шешуі.

1. Әрбір скрипкашы — музыкант: $B \subset A$.
2. Әрбір облыс орталығы — елдегі қала: $K \subset L$.
3. Әрбір жай сан — натурал сан: $C \subset D$.

Жауабы: 1) $B \subset A$; 2) $K \subset L$; 3) $C \subset D$.

№ 1035

$A = {1, 3}$; $B = {3, 6, 9}$; $C = {5, 10, 15}$ және $D = {14, 21}$ жиындарының қайсысы $F = {1, 3, 6, 9, 12, 15}$ жиынының ішкі жиыны? Белгіленуін пайдаланып жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр элементтің $F$ жиынында бар-жоғын тексереміз. Бір «бөгде» элемент жеткілікті — жиын ішкі жиын болмайды.

Шешуі.

1. $A$: 1 және 3 саны $F$ жиынында бар — сәйкес келеді.
2. $B$: 3, 6, 9 сандары $F$ жиынында бар — сәйкес келеді.
3. $C$: 5 саны $F$ жиынында жоқ — сәйкес келмейді.
4. $D$: 14 және 21 сандары $F$ жиынында жоқ — сәйкес келмейді.

Жауабы: $A \subset F$; $B \subset F$; $C \not\subset F$; $D \not\subset F$.

№ 1036

5.6-суретте $A$ және $B$ жиындары кескінделген (үлкен $A$ дөңгелегінде әртүрлі төртбұрыштар — трапециялар, параллелограмм, еркін төртбұрыш; оның ішінде екі шаршысы бар кіші $B$ дөңгелегі бар). 1) $A$ жиынының элементтеріне қандай қасиет ортақ? 2) $B$ жиынының элементтеріне қандай қасиет ортақ? 3) Не себепті $B$ жиыны $A$ жиынының ішкі жиыны болып табылады? Белгіленуін пайдаланып жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үлкен дөңгелектегі әр фигураның қабырғасын санап шық. Кіші дөңгелектегі фигуралардың ерекшелігі неде?

Шешуі.

1. $A$ дөңгелегіндегі барлық фигуралардың төрт қабырғасы бар. $A$ — төртбұрыштар жиыны.
2. $B$ дөңгелегіндегі фигуралар — шаршылар. $B$ — шаршылар жиыны.
3. Кез келген шаршы — төртбұрыш та. Демек, $B$ жиынының әрбір элементі $A$ жиынында бар.

Жауабы: 1) $A$ — төртбұрыштар жиыны; 2) $B$ — шаршылар жиыны; 3) әрбір шаршы — төртбұрыш, сондықтан $B \subset A$.

№ 1037

Тең жиындарды «=» белгісімен жазыңдар: $A = {a, b, c}$; $B = {4, 5, 6}$; $E = {6, 5, 4}$; $C = {x, y, z}$; $D = {c, b, a}$; $F = {m, n, x}$.

Қалай ойлаймыз. Тең жиындар — бірдей элементтерден тұратын жиындар. Ретінің маңызы жоқ.

Шешуі.

1. $A$ және $D$ жиындарында бірдей $a, b, c$ әріптері бар.
2. $B$ және $E$ жиындарында бірдей 4, 5, 6 сандары бар.
3. $C$ және $F$ жиындарына ортақ тек $x$ әрпі, олар бір-біріне де, басқаларына да тең емес.

Жауабы: $A = D$; $B = E$.

№ 1038

$D$ жиынының ішкі жиындарын жазыңдар: 1) $D = {7}$; 2) $D = {5; 9}$; 3) $D = \left{\frac{2}{5}; \frac{1}{3}\right}$.

Қалай ойлаймыз. Бос жиын мен жиынның өзі — міндетті. 1 элементтіден — 2 ішкі жиын, 2 элементтіден — 4.

Шешуі.

1. $\varnothing$, ${7}$.
2. $\varnothing$, ${5}$, ${9}$, ${5; 9}$.
3. $\varnothing$, $\left{\frac{2}{5}\right}$, $\left{\frac{1}{3}\right}$, $\left{\frac{2}{5}; \frac{1}{3}\right}$.

Жауабы: 1) 2 ішкі жиын; 2) 4 ішкі жиын; 3) 4 ішкі жиын (жоғарыда жазылған).

№ 1039

Теңдеуді шешіңдер: 1) $5(x - 0{,}2) = 0$; 2) $0{,}8(y - 7) = 0$; 3) $5x - \frac{1}{8} = 3$; 4) $4x - 1\frac{4}{5} = 5{,}4$; 5) $7\frac{3}{5} + 2x = 10{,}6$; 6) $10 + 3\frac{1}{4}x = 23$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды ондық бөлшекке ($1\frac{4}{5} = 1{,}8$) немесе бұрыс бөлшекке ($3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$) айналдырған ыңғайлы. Одан әрі әдеттегідей: белгісіз қосылғышты немесе көбейткішті табамыз.

Шешуі.

1. Көбейтінді нөлге тең, ал $5 \ne 0$, демек $x - 0{,}2 = 0$, $x = 0{,}2$.
2. Көбейтінді нөлге тең, ал $0{,}8 \ne 0$, демек $y - 7 = 0$, $y = 7$.
3. $5x = 3 + \frac{1}{8} = \frac{25}{8}$, $x = \frac{25}{8} : 5 = \frac{5}{8}$.
4. $1\frac{4}{5} = 1{,}8$. $4x = 5{,}4 + 1{,}8 = 7{,}2$, $x = 1{,}8$.
5. $7\frac{3}{5} = 7{,}6$. $2x = 10{,}6 - 7{,}6 = 3$, $x = 1{,}5$.
6. $3\frac{1}{4}x = 23 - 10 = 13$. $x = 13 : \frac{13}{4} = 13 \cdot \frac{4}{13} = 4$.

6. үшін тексеру: $10 + 3\frac{1}{4} \cdot 4 = 10 + 13 = 23$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 0,2; 2) 7; 3) $\frac{5}{8}$; 4) 1,8; 5) 1,5; 6) 4.

B деңгейі

№ 1040

Жиындардың арақатынастарын белгіленуімен жазыңдар: 1) $A$ — тік төртбұрыштар жиыны, $B$ — квадраттар жиыны; 2) $C$ — центрі $O$ нүктесі болатын дөңгелек нүктелерінің жиыны, $D$ — центрі сол $O$ нүктесі болатын шеңбер бойындағы нүктелердің жиыны.

Қалай ойлаймыз. Шаршы — барлық қабырғасы тең тік төртбұрыш. Шеңбер — дөңгелектің жиегі, оның нүктелері де дөңгелектің құрамында.

Шешуі.

1. Әрбір шаршы — тік төртбұрыш: $B \subset A$.
2. Шеңбердің әрбір нүктесі дөңгелекте жатыр (оның жиегінде): $D \subset C$.

Жауабы: 1) $B \subset A$; 2) $D \subset C$.

№ 1041

5.7-суретте Эйлер–Венн дөңгелектерімен $A$ және $B$ жиындары кескінделген (үлкен $A$ дөңгелегінің ішінде 1, 2, 3, 5, 6 сандары бар кіші $B$ дөңгелегі; $A$ дөңгелегінде $B$-ның сыртында 15, 10, 30). 1. $A$ және $B$ жиындарын элементтерімен жазыңдар. 2. $A$ жиынының элементтеріне қандай қасиет ортақ? 3. $A$ және $B$ жиындарының арақатынастарын белгіленуімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ жиынына үлкен дөңгелектегі барлық сан кіреді, кіші дөңгелектегілер де.

Шешуі.

1. $A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$; $B = {1, 2, 3, 5, 6}$.
2. Бұл сандардың бәрі 30-ды қалдықсыз бөледі, ал 30-дың басқа бөлгіші жоқ. $A$ — 30 санының бөлгіштері жиыны.
3. $B$ дөңгелегі $A$ дөңгелегінің ішінде жатыр: $B \subset A$.

Жауабы: 1) $A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}$, $B = {1, 2, 3, 5, 6}$; 2) 30 санының бөлгіштері; 3) $B \subset A$.

№ 1042

$A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ жиынының элементтерінен 6 санының бөлгіштерінің $B$ жиынын құрастырыңдар. $A$ және $B$ жиындарының арақатынастарын белгіленуімен жазыңдар.

Шешуі. 6 санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 6. Олардың бәрі $A$ жиынында бар. $B = {1, 2, 3, 6}$.

Жауабы: $B = {1, 2, 3, 6}$; $B \subset A$.

№ 1043

$D$ жиынының ішкі жиындары: $\varnothing$, ${6}$; ${7}$; ${8}$; ${6; 7}$; ${6; 8}$; ${7; 8}$; ${6; 7; 8}$. $D$ жиынын элементтерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жиынның өзі — оның ең үлкен ішкі жиыны.

Шешуі. Тізімдегі ең үлкен ішкі жиын — ${6; 7; 8}$. Тексеру: 3 элементті жиынның $2^3 = 8$ ішкі жиыны болады, тізімде дәл 8 жиын бар.

Жауабы: $D = {6; 7; 8}$.

№ 1044

$A = {x, y, z}$ жиынының ішкі жиындарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Қабаттап» жүр: алдымен элементсіз, сосын біреуден, екіден және үшеуін де.

Шешуі.

• элементсіз: $\varnothing$;
• біреуден: ${x}$, ${y}$, ${z}$;
• екіден: ${x, y}$, ${x, z}$, ${y, z}$;
• үшеуі де: ${x, y, z}$.

Жауабы: 8 ішкі жиын: $\varnothing$, ${x}$, ${y}$, ${z}$, ${x, y}$, ${x, z}$, ${y, z}$, ${x, y, z}$.

C деңгейі

№ 1045

$F$ — 25 санының бөлгіштер жиыны. $F$ жиынын элементтерімен жазыңдар. $F$ жиынының ішкі жиындарын жазыңдар.

Шешуі.

1. $25 = 1 \cdot 25 = 5 \cdot 5$. Бөлгіштері: 1, 5, 25. $F = {1, 5, 25}$.
2. $F$ жиынында үш элемент бар, демек ішкі жиындар саны $2^3 = 8$: $\varnothing$, ${1}$, ${5}$, ${25}$, ${1, 5}$, ${1, 25}$, ${5, 25}$, ${1, 5, 25}$.

Жауабы: $F = {1, 5, 25}$; ішкі жиындары жоғарыда жазылған (8 жиын).

№ 1046

Бос ($\square$) орындарға тиісті белгіні қойыңдар: $A = {3, 6, 9}$; $E = {6, 9}$; $F = {4, 8}$. 1) $E$ □ $A$; 2) $F$ □ $A$; 3) 6 □ $A$; 4) 9 □ $F$.

Қалай ойлаймыз. Екі жиынның арасына — $\subset$ немесе $\not\subset$. Сан мен жиынның арасына — $\in$ немесе $\notin$.

Шешуі.

1. 6 және 9 саны $A$ жиынында бар: $E \subset A$.
2. 4 және 8 саны $A$ жиынында жоқ: $F \not\subset A$.
3. 6 саны $A$ жиынында бар: $6 \in A$.
4. 9 саны $F$ жиынында жоқ: $9 \notin F$.

Жауабы: 1) $E \subset A$; 2) $F \not\subset A$; 3) $6 \in A$; 4) $9 \notin F$.

№ 1047

$B$ — бірдей цифрлармен жазылатын екі таңбалы сандар жиыны. $D$ — 66 санының екі таңбалы санмен жазылатын бөлгіштерінің жиыны. 1) $B$ және $D$ жиындарын элементтерімен жазыңдар. 2) $B$ және $D$ жиындарының арақатынастарын белгіленуімен жазыңдар.

Шешуі.

1. $B = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}$.
2. 66 санының бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. Олардың екі таңбалылары: $D = {11, 22, 33, 66}$.
3. $D$ жиынының барлық элементі $B$ жиынында бар.

Жауабы: $B = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}$, $D = {11, 22, 33, 66}$; $D \subset B$.

№ 1048*

1. $A$, $B$ және $C$ жиындарын 5.8-суреттегідей кескіндеп дәптерге салыңдар: $C$ — натурал сандарды 4-ке бөлгендегі қалдықтар жиыны; $B$ — натурал сандарды 6-ға бөлгендегі қалдықтар жиыны; $A$ — натурал сандарды 9-ға бөлгендегі қалдықтар жиыны. 2. Дөңгелектер ішінде $A$ жиынына, $B$ жиынына, $C$ жиынына тиісті сандарды белгілеңдер. 3. $A$, $B$ және $C$ жиындары арақатынастарын белгіленуімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қалдық әрқашан бөлгіштен кіші. Ол нөлге де тең болуы мүмкін — сан қалдықсыз бөлінсе.

Шешуі.

1. $C = {0, 1, 2, 3}$.
2. $B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$.
3. $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$.
4. Суретте: ең кіші $C$ дөңгелегіне 0, 1, 2, 3 жазамыз; $B$ дөңгелегіне, $C$-ның сыртына — 4 және 5; $A$ дөңгелегіне, $B$-ның сыртына — 6, 7, 8.

Жауабы: $C \subset B$, $B \subset A$, $C \subset A$.

№ 1049

$A = {x \mid x = 5n,\ n \in N}$; $B = {x \mid x = 3n,\ n \in N}$; $C = {x \mid x = 6n,\ n \in N}$; $D = {x \mid x = 15n,\ n \in N}$ жиындары берілген. Берілген жиынның ішкі жиынын тауып, оны белгіленуімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ — 5-ке еселік барлық сан; $B$ — 3-ке еселік; $C$ — 6-ға еселік; $D$ — 15-ке еселік. Сан 6-ға еселік болса, ол 3-ке де еселік, өйткені $6 = 3 \cdot 2$.

Шешуі.

1. $6n = 3 \cdot (2n)$ — $C$ жиынындағы кез келген сан 3-ке еселік: $C \subset B$.
2. $15n = 5 \cdot (3n)$ — $D$ жиынындағы кез келген сан 5-ке еселік: $D \subset A$.
3. $15n = 3 \cdot (5n)$ — $D$ жиынындағы кез келген сан 3-ке еселік: $D \subset B$.
4. Қалған жұптар сәйкес келмейді. Мысалы, $10 \in A$, бірақ $10 \notin B$; $6 \in C$, бірақ $6 \notin D$.

Жауабы: $C \subset B$; $D \subset A$; $D \subset B$.

№ 1050*

Иттің 3 рет секіру ұзындығы қоянның 5 рет секіру ұзындығына тең. Ит 4 рет секірген уақытта қоян 6 рет секіреді. Ит қоянды қуып жете ала ма?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Секірулер әртүрлі, оларды тікелей салыстыра алмаймыз. Бәрін бірдей кішкентай «қадамдармен» өлшейік.

Шешуі.

1. Қоянның бір секіруі — 3 қадам делік. Сонда қоянның 5 секіруі — 15 қадам, иттің 3 секіруі де 15 қадам. Иттің бір секіруі — 5 қадам.
2. Бір уақыт ішінде ит 4 рет секіреді: $4 \cdot 5 = 20$ қадам.
3. Қоян сол уақытта 6 рет секіреді: $6 \cdot 3 = 18$ қадам.
4. $20 > 18$: ит әр жолы қоянға 2 қадам жақындайды.

Жауабы: қуып жетеді.

Жадынама

• $B \subset A$: суретте $B$ дөңгелегі $A$ дөңгелегінің ішінде тұр.
• $6 \in A$, бірақ ${6} \subset A$.
• ${1, 2, 3} = {3, 2, 1}$.
• Кез келген $F$ үшін $\varnothing \subset F$ және $F \subset F$.
• $n$ элементті жиынның $2^n$ ішкі жиыны бар.

Шағын тест