5.3. Жиындардың қиылысуы. Жиындардың бірігуі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). V тарау: Жиындар. 102–106-беттер.

Нені үйренесің

• Екі жиынның ортақ элементтерін табуды — қиылысуы $A \cap B$.
• Барлық элементтерді бір жерге жинауды — бірігуі $A \cup B$.
• Екеуін де Эйлер–Венн дөңгелектерімен көрсетуді.
• Бірігудегі элементтерді санауды: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• Қиылысу қашан бос болатынын түсінуді.

Тақырыпты талдаймыз

Қиылысу: «екеуінде де бар»

12 және 16 сандарының бөлгіштерін тауып көрейік.

• $F$ — 12 санының бөлгіштері: $F = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$.
• $N$ — 16 санының бөлгіштері: $N = {1, 2, 4, 8, 16}$.

1, 2, 4 сандары екі жиында да бар. Олардан жаңа жиын құралады — қиылысу: $F \cap N = {1, 2, 4}$, оның 3 элементі бар, $n(F \cap N) = 3$.

📌 $A$ және $B$ жиындарының қиылысуы $A \cap B$ — $A$ жиынына да, $B$ жиынына да бір мезгілде тиісті элементтер. Суретте — дөңгелектердің ортақ бөлігі.

Фигураларда да солай. Үшбұрышты дөңгелектің үстіне қойып көр: қиылысу — екеуі де бірдей жауып тұрған бөлік.

Ал ортақ элемент мүлде болмауы да мүмкін. Тақ цифрлар $E = {1, 3, 5, 7, 9}$ және жұп цифрлар $F = {0, 2, 4, 6, 8}$ жиындарында бірде-бір ортақ цифр жоқ. Сонда $E \cap F = \varnothing$, ал дөңгелектерді бөлек, бір-біріне тигізбей саламыз.

Бірігу: «бәрін бір себетке сал»

715 326 санының цифрлары: $A = {1, 2, 3, 5, 6, 7}$. 827 905 санының цифрлары: $B = {0, 2, 5, 7, 8, 9}$.

Алдымен $A$ жиынындағының бәрін жазамыз, сосын $B$ жиынынан әлі жоқтарын қосамыз: 0, 8, 9. Мұны бірігу дейді: $A \cup B = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}$.

📌 $A$ және $B$ жиындарының бірігуі $A \cup B$ — кем дегенде біреуіне тиісті элементтер: $A$ жиынына, $B$ жиынына немесе екеуіне де.

⚠️ Жиі кететін қате. Ортақ элементтерді екі рет жазады: ${1, 2, 3, 5, 6, 7, 0, 2, 5, 7, 8, 9}$. Болмайды! Жиында әр элемент бір реттен ғана жазылады. 2, 5, 7 цифрлары екеуінде де бар, бірақ бірігуде олар бір реттен тұрады.

💡 Белгілерді қалай шатастырмауға болады? $\cup$ тостағанға ұқсайды — оған бәрін құяды (бірігу). $\cap$ — төңкерілген тостаған, оның астына азырақ сияды (қиылысу).

Бірігуде неше элемент бар

Мысалда $n(A) = 6$ және $n(B) = 6$, ал бірігуде 12 емес, 9 элемент. Үшеуі қайда кетті? Ортақ 2, 5, 7 сандары $6 + 6$ қосқанда екі рет санап алынған. Артық көшірмелерін алып тастаймыз:

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 6 - 3 = 9$.

Ортақ элемент жоқ болса, алатын ештеңе жоқ. Мысалы, $N = {a, b, c, d}$, $P = {n, x, y}$: $n(N \cup P) = 4 + 3 = 7$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Отбасылық дөңгелектер» ойынын ойнаңыздар. Үйде кім шайды жақсы көреді? Ал кім кофені? Екеуін де жақсы көретіндер — қиылысу. Шай да, кофе де болса, кімді қонаққа шақыруға болады — бұл бірігу. Бала екі дөңгелек сызып, есімдерді жазсын.

Бір дөңгелек екіншісінің ішінде болса

$B \subset A$ болса, ортақ бөлік — $B$ түгелімен, ал екеуін қосқанда $A$ түгелімен шығады: $A \cap B = B$, $A \cup B = A$.

Мысалы, $A = {1, 2, 3, 4}$, $B = {2, 3}$: $A \cap B = {2, 3}$, $A \cup B = {1, 2, 3, 4}$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай жиынды екі жиынның қиылысуы деп атайды? Екеуіне де бір мезгілде тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды.
• Қандай жиынды екі жиынның бірігуі деп атайды? Екі жиынның кем дегенде біреуіне тиісті элементтерден ғана тұратын жиынды.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1051

Қиылысуы қандай фигура: 1) екі түзудің; 2) тік төртбұрыш құрайтын екі квадраттың? Барлық мүмкін жағдайды қарастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Фигуралардың қалай орналасуы мүмкін екенін елестетіп, ортақ бөлігіне қара.

Шешуі.

1. Екі түзу:
   • қиылысады — ортақ нүкте;
   • параллель — ортақ нүкте жоқ, қиылысуы — бос жиын;
   • беттеседі — қиылысуы — түзудің өзі.
2. Екі бірдей квадратты қатар қойғанда тік төртбұрыш шықты. Олардың ортақ бөлігі — ортақ қабырға, яғни кесінді. Квадраттарды бір-біріне ішінара үстіне қойсақ, ортақ бөлігі тік төртбұрыш болады.

Жауабы: 1) нүкте, бос жиын немесе түзу; 2) кесінді (ортақ қабырға), ал үстіне қойғанда — тік төртбұрыш.

A деңгейі

№ 1052

Дәптерге 5.15-суреттегі жиындардың кескіндерін салыңдар. 1) Жиындардың қиылысуын көк түспен бояп көрсетіңдер. 2) Бірігуін қызыл түспен бояңдар. (Үш жұп фигура: 1) $A$ және $B$ үшбұрыштары ішінара бір-бірінің үстіне түскен; 2) $C$ және $D$ үшбұрыштарының ортақ қабырғасы бар, бір-біріне түспейді; 3) $E$ және $F$ үшбұрыштары бір төбесімен түйіседі.)

Қалай ойлаймыз. Қиылысу — екі фигура да жауып тұрған бөлік. Бірігу — кем дегенде біреуі жауып тұрған бәрі.

Шешуі.

1. $A$ және $B$: екеуі бір-біріне түсіп тұрған шағын үшбұрышты көкке бояймыз. Қызылмен — екі үшбұрыш бірге жауып тұрған бүкіл фигураны.
2. $C$ және $D$: ортақ бөлігі — тек ортақ қабырға. Осы кесіндіні көкпен жүргіземіз. Қызылмен екі үшбұрышты да бояймыз.
3. $E$ және $F$: ортақ бөлігі — бір нүкте (төбе). Осы нүктені көкпен белгілейміз. Қызылмен екі үшбұрышты да бояймыз.

Жауабы: қиылысуы: 1) үшбұрыш; 2) кесінді; 3) нүкте. Бірігуі барлық жағдайда — екі үшбұрыштан тұратын бүкіл фигура.

№ 1053

24 264 санындағы цифрлардың $E$ жиынын және 45 695 санындағы цифрлардың $F$ жиынын элементтерімен жазыңдар: 1) $E$ және $F$ жиындарының қиылысуын элементтерімен жазыңдар; 2) $E$ және $F$ жиындарының бірігуін элементтерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен цифрларды қайталамай жаз — жиында әр цифр бір рет қана болады.

Шешуі.

1. 24 264 санының цифрлары — 2, 4, 6 (қайталануын жазбаймыз): $E = {2, 4, 6}$.
2. 45 695 санының цифрлары — 4, 5, 6, 9: $F = {4, 5, 6, 9}$.
3. Ортақтары: 4 және 6. $E \cap F = {4, 6}$.
4. Бәрі бірге: $E \cup F = {2, 4, 5, 6, 9}$.

Жауабы: 1) $E \cap F = {4, 6}$; 2) $E \cup F = {2, 4, 5, 6, 9}$.

№ 1054

5.16-суретте Эйлер–Венн дөңгелектерімен $A$ және $B$ жиындары кескінделген (тек $A$ жиынында — 4, 20; ортақ бөлікте — 1, 5, 2, 10; тек $B$ жиынында — 25, 50). а) $A$ жиынын; ә) $B$ жиынын; б) $A \cap B$; в) $A \cup B$ элементтерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ жиынына «өз» бөлігіндегі сандар және ортақ бөліктегі сандар кіреді.

Шешуі.

• а) $A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}$. Бұл — 20 санының бөлгіштері.
• ә) $B = {1, 2, 5, 10, 25, 50}$. Бұл — 50 санының бөлгіштері.
• б) $A \cap B = {1, 2, 5, 10}$.
• в) $A \cup B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50}$.

Жауабы: а) ${1, 2, 4, 5, 10, 20}$; ә) ${1, 2, 5, 10, 25, 50}$; б) ${1, 2, 5, 10}$; в) ${1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50}$.

№ 1055

Қиылысуы: а) нүкте; ә) кесінді; б) бос жиын болатын $EF$ және $KL$ кесінділерін жүргізіңдер.

Қалай ойлаймыз. Кесінділердің қиылысуы — олардың ортақ нүктелері. Ортақ нүкте қанша болуы мүмкін екенін ойла: біреу, көп немесе мүлде жоқ.

Шешуі.

1. Нүкте: кесінділерді «Х» әрпі сияқты айқастырып сыз. Ортақ нүкте — қиылысқан жері. (Тағы бір жолы: ортақ ұшы бар кесінділер, «Г» әрпі сияқты.)
2. Кесінді: екі кесіндіні бір түзудің бойына, ішінара бір-біріне түсіретіндей етіп сыз. Мысалы, сызғышта $EF$ — 0-ден 5 см-ге дейін, $KL$ — 3-тен 8 см-ге дейін. Ортақ бөлігі — 3-тен 5 см-ге дейінгі кесінді.
3. Бос жиын: кесінділерді бір-біріне тигізбей, бөлек сыз, мысалы, параллель.

Жауабы: а) кесінділер айқасады; ә) бір түзудің бойында жатып, ішінара бір-бірін жабады; б) ортақ нүктесі жоқ.

№ 1056

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2x + 9{,}8 = 13{,}6$; 2) $10{,}36 - 3x = 5{,}86$; 3) $4{,}2x - 6 = 3{,}66$; 4) $19{,}5 - 0{,}3x = 15{,}9$; 5) $(7 - 0{,}2x) \cdot 1{,}4 = 7{,}56$; 6) $(6{,}1x - 13{,}2) : 1{,}7 = 3$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалы теңдеуде алдымен жақшаның бүкіл мәнін табамыз, сосын оның ішіндегі $x$-ті.

Шешуі.

1. $2x = 13{,}6 - 9{,}8 = 3{,}8$, $x = 1{,}9$.
2. $3x = 10{,}36 - 5{,}86 = 4{,}5$, $x = 1{,}5$.
3. $4{,}2x = 3{,}66 + 6 = 9{,}66$, $x = 9{,}66 : 4{,}2 = 2{,}3$.
4. $0{,}3x = 19{,}5 - 15{,}9 = 3{,}6$, $x = 12$.
5. $7 - 0{,}2x = 7{,}56 : 1{,}4 = 5{,}4$; $0{,}2x = 7 - 5{,}4 = 1{,}6$; $x = 8$.
6. $6{,}1x - 13{,}2 = 3 \cdot 1{,}7 = 5{,}1$; $6{,}1x = 18{,}3$; $x = 3$.

5. үшін тексеру: $(7 - 1{,}6) \cdot 1{,}4 = 5{,}4 \cdot 1{,}4 = 7{,}56$. Дұрыс.

Жауабы: 1) 1,9; 2) 1,5; 3) 2,3; 4) 12; 5) 8; 6) 3.

B деңгейі

№ 1057

«Марс» және «Уран» сөздеріндегі әріптерден: 1) $A$ жиынын және $B$ жиынын құрастырып жазыңдар; 2) $A$ және $B$ жиындарының қиылысуын жазыңдар; 3) $A$ және $B$ жиындарының бірігуін жазыңдар.

Шешуі.

1. $A = {м, а, р, с}$, $B = {у, р, а, н}$.
2. Ортақ әріптер — «а» және «р»: $A \cap B = {а, р}$, $n(A \cap B) = 2$.
3. $A \cup B = {м, а, р, с, у, н}$, $n(A \cup B) = 4 + 4 - 2 = 6$.

Жауабы: 1) $A = {м, а, р, с}$, $B = {у, р, а, н}$; 2) ${а, р}$; 3) ${м, а, р, с, у, н}$.

№ 1058

Қиылысуы: 1) төртбұрыш; 2) бесбұрыш болатын екі үшбұрыш салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір үшбұрыш екіншісінің бұрыштарын «қиып тастағанда» ортақ бөлік пайда болады. Қиылған әр бұрыш бір қабырға қосады.

Шешуі.

1. Төртбұрыш. Үлкен үшбұрыш сыз. Екіншісін біріншісінің бір бұрышынан басқасының бәрін жауып тұратындай етіп қой: оның бір қабырғасы біріншісінің екі қабырғасын төбесіне жақын жерден қияды. Ортақ бөлік — бұрышы қиылған үшбұрыш, яғни төртбұрыш.
2. Бесбұрыш. Екінші үшбұрышты оның екі қабырғасы біріншісінің екі бұрышын қиып, үшінші қабырғасы ары өтіп кететіндей етіп қоямыз. Сонда біріншісінің $3 + 2 = 5$ қабырғасы қалады — бесбұрыш.

Тексеру үшін кеңес: егер екі үшбұрышты «жұлдызша» етіп қойсақ (әрқайсысы екіншісінің үш бұрышын да қияды), алтыбұрыш шығады. Бір үшбұрышты сәл жылжытсаң, бір бұрыш қиылмай қалады да, бесбұрыш шығады.

Жауабы: салуын қара; қиылысуы — 1) бір бұрышы қиылған үшбұрыш; 2) екі бұрышы қиылған үшбұрыш.

№ 1059

56 санының бөлгіштерінің $X$ жиынын, 32 санының бөлгіштерінің $Y$ жиынын элементтерімен жазыңдар. $X$ және $Y$ жиындарының қиылысуындағы ең үлкен сан 56 және 32 сандары үшін қалай аталады?

Шешуі.

1. $X = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}$.
2. $Y = {1, 2, 4, 8, 16, 32}$.
3. $X \cap Y = {1, 2, 4, 8}$.
4. Қиылысу — 56 және 32 сандарының ортақ бөлгіштері. Олардың ең үлкені 8 — ең үлкен ортақ бөлгіш: ЕҮОБ(56; 32) = 8.

Жауабы: $X \cap Y = {1, 2, 4, 8}$; 8 саны — 56 және 32 сандарының ЕҮОБ-і.

💡 ЕҮОБ мұнда жасырынып жатыр екен: бұл — бөлгіштер жиындарының қиылысуындағы ең үлкен сан!

№ 1060

$C$ жиынында 5 элемент, $D$ жиынында 7 элемент, ал олардың қиылысуында 3 элемент бар. $C$ және $D$ жиындарының бірігуінде неше элемент бар? Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескіндеңдер.

Шешуі.

1. $n(C \cup D) = n(C) + n(D) - n(C \cap D) = 5 + 7 - 3 = 9$.
2. Дөңгелектерде: ортақ бөлікте — 3 элемент; тек $C$ жиынында — $5 - 3 = 2$; тек $D$ жиынында — $7 - 3 = 4$. Тексеру: $2 + 3 + 4 = 9$.

Жауабы: $n(C \cup D) = 9$.

№ 1061

Бір ауылда 435 телефон бар. Онымен телефон байланысы болмаған екінші ауылда 271 телефон бар. Бірінші ауылдағы телефонның әрқайсысын екінші ауылдағы телефонның әрқайсысымен сыммен байланыстыратын телефон байланысын орнатуға бола ма?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Шартты сөзбе-сөз түсінеміз: бірінші ауылдағы әр телефон екінші ауылдағы әр телефонмен жеке сыммен жалғануы керек. Сымдарды санап көрейік.

Шешуі.

1. Әр жұп үшін бір сым қажет: бірінші ауылдағы телефон да, екінші ауылдағы телефон да.
2. Жұптар саны: $435 \cdot 271 = 117,885$.
3. Демек, 117 885 сым қажет. Бұл — бүтін сан, сондықтан сымдарды тарту мүмкін (ұзын да болса).

Жауабы: болады: 117 885 сым қажет.

📕 Оқулықтың жауаптарында: «Графтың қырларының саны $\frac{435 \cdot 271}{2}$-ге тең. Демек, бүтін сан емес. Мұндай жағдайда телефон байланысын орнату мүмкін емес». Бірақ шартта әр телефон тек басқа ауылдың телефондарымен жалғанады, сондықтан әр сымның бір ұшы бірінші ауылда, екіншісі екінші ауылда болады, жұптар екі рет есептелмейді, 2-ге бөлудің қажеті жоқ: $435 \cdot 271 = 117,885$ сым. 2-ге бөлу тек әр телефон басқалардың бәрімен (ауылға қарамай) жалғанатын жағдайда ғана керек болар еді. Сондықтан берілген шарт бойынша жауап — «болады».

Ескерту. «Әр телефон дәл 271 басқа телефонмен жалғансын» деп түсінсек, жауап басқаша болады: $435 \cdot 271$ — тақ сан, ал сымның екі ұшы болатындықтан ұштардың жалпы саны жұп болуы керек, сондықтан бұл жағдайда мүмкін емес.

№ 1062

Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңдар. Теплоходтың меншікті жылдамдығы ағыс жылдамдығынан 9 есе артық. Егер теплоход ағыспен жүзсе, 1 сағ 15 мин уақытта 45 км қашықтыққа барады. Теплоходтың ағысқа қарсы жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүргенде өзен көмектеседі: жылдамдық = өз жылдамдығы + ағыс жылдамдығы. Ағысқа қарсы жүргенде кедергі келтіреді: өз жылдамдығы − ағыс жылдамдығы.

Шешуі.

1. Ағыс жылдамдығы $x$ км/сағ болсын, онда меншікті жылдамдығы $9x$ км/сағ.
2. Ағыспен жүргендегі жылдамдығы: $9x + x = 10x$ км/сағ.
3. 1 сағ 15 мин = $1\frac{1}{4}$ сағ = 1,25 сағ. Теңдеу: $10x \cdot 1{,}25 = 45$, $12{,}5x = 45$, $x = 3{,}6$.
4. Меншікті жылдамдығы $9 \cdot 3{,}6 = 32{,}4$ км/сағ.
5. Ағысқа қарсы: $32{,}4 - 3{,}6 = 28{,}8$ км/сағ.

Жауабы: 28,8 км/сағ.

C деңгейі

№ 1063

1) Жай сандар жиынының, құрама сандар жиынының және 1 саны жиынының бірігуінен тұратын жиын қалай аталады? Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескіндеңдер. 2) $K$ — жай сандар жиыны, $L$ — құрама сандар жиыны. $K$ және $L$ жиындарының қиылысуы қандай жиын?

Қалай ойлаймыз. II тарауды еске түсір: натурал сандар қандай болады?

Шешуі.

1. Кез келген натурал сан — не бір, не жай, не құрама сан. Үшеуі бірге барлық натурал сандарды береді — $N$ жиыны.
2. Сан бір мезгілде жай да, құрама да бола алмайды. Ортақ элемент жоқ.

Жауабы: 1) натурал сандар жиыны $N$; 2) $K \cap L = \varnothing$.

№ 1064

$N$ және $P$ жиындарында барлығы 5 элемент бар ($n(N \cup P) = 5$). $N$ және $P$ жиындарының қиылысуын Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескіндеңдер. Мұндағы: 1) жиындардың әрқайсысында 4 элементтен; 2) $N$ жиынында 3 элемент, ал $P$ жиынында 4 элемент; 3) $N$ жиынында 4 элемент, ал $P$ жиынында 5 элемент бар.

Қалай ойлаймыз. Ортақ элементтер саны: $n(N \cap P) = n(N) + n(P) - 5$. 5-ке «сыймай» қалғанның бәрі — ортақ бөлік.

Шешуі. 1, 2, 3, 4, 5 элементтерін аламыз.

• 1. $4 + 4 - 5 = 3$ ортақ. $N = {1, 2, 3, 4}$, $P = {2, 3, 4, 5}$. Суретте: тек $N$ жиынында — 1; ортақ бөлікте — 2, 3, 4; тек $P$ жиынында — 5.
• 2. $3 + 4 - 5 = 2$ ортақ. $N = {1, 2, 3}$, $P = {2, 3, 4, 5}$. Тек $N$ жиынында — 1; ортақ бөлікте — 2, 3; тек $P$ жиынында — 4, 5.
• 3. $4 + 5 - 5 = 4$ ортақ. $N = {1, 2, 3, 4}$, $P = {1, 2, 3, 4, 5}$. $N$ жиынының барлық элементі $P$ жиынында жатыр: $N$ дөңгелегін $P$ дөңгелегінің ішіне саламыз, 5 элементі $P$ жиынында, бірақ $N$-нің сыртында. Мұнда $N \subset P$ және $N \cap P = N$.

Жауабы: қиылысуында 1) 3 элемент; 2) 2 элемент; 3) 4 элемент ($N \subset P$).

№ 1065

$F$ — 4 санына еселік болатын алғашқы алты натурал сандар жиыны; $K$ — 6 санына еселік болатын алғашқы бес натурал сандар жиыны. $F$ және $K$ жиындарының қиылысуын белгілеп, оны элементтерімен жазыңдар. $F \cap K$-дағы ең кіші сан 4 және 6 сандары үшін қалай аталады?

Шешуі.

1. $F = {4, 8, 12, 16, 20, 24}$.
2. $K = {6, 12, 18, 24, 30}$.
3. $F \cap K = {12; 24}$.
4. Бұл — 4 және 6 сандарының ортақ еселіктері. Ең кішісі 12 — ең кіші ортақ еселік: ЕКОЕ(4; 6) = 12.

Жауабы: $F \cap K = {12; 24}$; 12 — ЕКОЕ(4; 6).

№ 1066

$A$ — $6 < x < 12$ теңсіздігінің шешімі болатын натурал сандар жиыны; $B$ — $8 < y < 15$ теңсіздігінің шешімі болатын натурал сандар жиыны. Элементтерімен жазыңдар: 1) $A$ және $B$ жиындарының қиылысуын; 2) $A$ және $B$ жиындарының бірігуін. Элементтер санын көрсетіңдер.

Шешуі.

1. $A = {7, 8, 9, 10, 11}$ (6 және 12 кірмейді: теңсіздіктер қатаң).
2. $B = {9, 10, 11, 12, 13, 14}$.
3. $A \cap B = {9, 10, 11}$ — 3 элемент.
4. $A \cup B = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}$ — 8 элемент. Тексеру: $5 + 6 - 3 = 8$.

Жауабы: 1) ${9, 10, 11}$, 3 элемент; 2) ${7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}$, 8 элемент.

№ 1067

5.17-суретте Эйлер–Венн дөңгелектерімен кескінделген жиындарды элементтерімен жазыңдар: 1) $A$, $B$, $C$; 2) $A \cap B$; 3) $B \cup C$. (Суретте: $x$ — тек $A$ жиынында; $y$ — тек $B$ жиынында; $c$ — $A$ және $B$ жиындарында, бірақ $C$ жиынында жоқ; $a$, $b$ — үшеуінде де бар; $d$ — $B$ және $C$ жиындарында, бірақ $A$ жиынында жоқ.)

Қалай ойлаймыз. Элемент жиынға тиісті болады, егер ол оның дөңгелегінің ішінде кез келген жерде тұрса, тіпті басқа дөңгелек өтіп жатқан жерде болса да.

Шешуі.

1. $A = {a, b, c, x}$; $B = {a, b, c, d, y}$; $C = {a, b, d}$.
2. $A \cap B = {a, b, c}$.
3. $B \cup C = {a, b, c, d, y}$. $C$ жиынының барлық элементі $B$ жиынында бар, сондықтан $B \cup C = B$.

Жауабы: 1) $A = {a, b, c, x}$, $B = {a, b, c, d, y}$, $C = {a, b, d}$; 2) ${a, b, c}$; 3) ${a, b, c, d, y}$.

№ 1068

Есептеңдер: $\left(\frac{7{,}5}{0{,}6} - 2{,}5\right) : \left(\frac{\left(68 : 2\frac{5}{6} - 42 \cdot 0{,}1\right) : 1{,}1}{\frac{2}{3} \cdot 0{,}375 + 2{,}68 : 0{,}8}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен мысал — бірнеше кішкентай мысалдан тұрады. Бөлшектеп есепте де, аралық жауаптарды жазып отыр.

Шешуі.

1. $7{,}5 : 0{,}6 = 12{,}5$; $12{,}5 - 2{,}5 = 10$.
2. $68 : 2\frac{5}{6} = 68 : \frac{17}{6} = \frac{68 \cdot 6}{17} = 24$.
3. $42 \cdot 0{,}1 = 4{,}2$; $24 - 4{,}2 = 19{,}8$; $19{,}8 : 1{,}1 = 18$.
4. $\frac{2}{3} \cdot 0{,}375 = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{4} = 0{,}25$; $2{,}68 : 0{,}8 = 3{,}35$; $0{,}25 + 3{,}35 = 3{,}6$.
5. Екінші жақшадағы бөлшек: $18 : 3{,}6 = 5$.
6. $10 : 5 = 2$.

Жауабы: 2.

Жадынама

• Қиылысу — дөңгелектердің ортақ бөлігі.
• Бірігу — дөңгелектер жауып тұрған бәрі; әр элементті бір реттен жазамыз.
• ЕҮОБ — бөлгіштер қиылысуындағы ең үлкен сан, ЕКОЕ — еселіктер қиылысуындағы ең кіші сан.
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Шағын тест