5.4. Жиындарға есептер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). V тарау: Жиындар. 107–108-беттер.

Нені үйренесің

• «Адамдар туралы» есепті жиындар тіліне аударуды: $A$ қайда, $B$ қайда, $A \cap B$ қайда.
• Есепке екі дөңгелек салып, әр бөлікке санды жазуды.
• Ортақ бөлікті табуды: $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$.
• «Тек $A$-да» және «тек $B$-да» неше адам екенін санауды.

Тақырыпты талдаймыз

Ең бастысын еске түсірейік

• Қиылысу $A \cap B$ — ортақ элементтер.
• Бірігу $A \cup B$ — кем дегенде бір жиында бар барлық элементтер.
• Формула: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Олимпиада: қатесіз санаймыз

Олимпиадада 5-сынып оқушыларының 38-і арифметикалық есепті, 25-і геометриялық есепті шығарды, ал олардың 20-сы екеуін де шығарды. Барлығы неше қатысушы болды?

Қадамдап қарайық:

1. $A$ — арифметиканы шығарғандар, $B$ — геометрияны шығарғандар. $n(A) = 38$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 20$.
2. Екі дөңгелек саламыз. Бірінші болып ортақ бөлікті толтырамыз: 20.
3. Тек арифметиканы шығарғандар: $38 - 20 = 18$. Тек геометрияны шығарғандар: $25 - 20 = 5$.
4. Барлығы: $18 + 20 + 5 = 43$. Формула бойынша да сол: $38 + 25 - 20 = 43$.

Неге $38 + 25 = 63$ емес? Өйткені екі есепті де шығарған 20 бала 38-де де, 25-те де бар. Оларды екі рет санап жіберіппіз!

⚠️ Жиі кететін қате. Сол жақ бөлікке 38 санын, ортасына 20 санын жазады. Сонда $A$ дөңгелегінде $38 + 20 = 58$ адам болып шығады — бұл дұрыс емес. Ереже: алдымен ортасы, сосын әр саннан ортасын алып тастаймыз.

Кері есеп: ортасын іздейміз

Керісінше де болады: барлығы неше адам екені белгілі, ал ортасы белгісіз. Сонда сол формула «төңкеріліп» қолданылады:

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$.

Топта 10 бала бар. 7-сі алманы, 6-сы алмұртты жақсы көреді, әрқайсысы бірдеңені жақсы көреді. Екеуін де жақсы көретіндер неше бала? $7 + 6 = 13$ — бұл балалардан көп! Артық $13 - 10 = 3$ — екі рет санап алынғандар.

💡 Ал егер есепте «ол да емес, бұл да емес» дейтіндер болса, олар екі дөңгелектің де сыртында тұрады. Алдымен оларды жалпы саннан алып таста.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Формулаға асықпаңыз. Бала әр есепке екі дөңгелек сызып, үш бөлікке де сан жазсын. Тексеру: «өз бөлігі + ортасы» шартта берілген санды беруі керек. Дөңгелектер өздігінен шыға бастағанда, формула жаттамай-ақ түсінікті болады.

Түсінгеніңді тексер

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1069

Сынып оқушыларының жиыны — $L$. Сыныптағы «Жеңіл атлетика» үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны — $K$. $K$ және $L$ жиындарының арақатынастарын Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үйірмеге қатысатын әрбір бала — осы сыныптың оқушысы. Демек, $K$ — $L$ жиынының бөлігі.

Шешуі. Үлкен $L$ дөңгелегін саламыз, оның ішіне кіші $K$ дөңгелегін. $K$ ішінде — жеңіл атлеттер, $L$ ішінде, бірақ $K$ сыртында — сыныптың қалған оқушылары.

Жауабы: $K \subset L$, $K$ дөңгелегі $L$ дөңгелегінің ішінде.

№ 1070

Сыныпта 17 ұл бала бар. Олардың 14-і бос уақытында футбол ойнағанды ұнатады, 9-ы шахмат ойнағанды ұнатады. Бұл ойындарға сыныптағы барлық ұл балалар қатысады. Сыныптағы неше ұл бала бос уақытында футбол ойнағанды да, шахмат ойнағанды да ұнатады?

Қалай ойлаймыз. Әр ұл бала кем дегенде бір дөңгелекте тұр, демек, 17 — бірігу. Ортасын іздейміз.

Шешуі.

1. $A$ — футболшылар, $B$ — шахматшылар. $n(A) = 14$, $n(B) = 9$, $n(A \cup B) = 17$ (әр ұл бала кем дегенде бір дөңгелекте тұр).
2. $n(A \cap B) = 14 + 9 - 17 = 6$.
3. Дөңгелектерде: тек футбол — $14 - 6 = 8$, екі ойын да — 6, тек шахмат — $9 - 6 = 3$. Тексеру: $8 + 6 + 3 = 17$.

Жауабы: 6 ұл бала.

№ 1071

Бір аптада дүкеннен 19 адам теледидар сатып алды, 13 адам мұздатқыш сатып алды. Олардың 8-і мұздатқыш та, теледидар да сатып алды. Неше адам теледидар ғана сатып алды? Неше адам мұздатқыш қана сатып алды?

Шешуі.

1. Дөңгелектердің ортақ бөлігіне 8 жазамыз.
2. Тек теледидар: $19 - 8 = 11$.
3. Тек мұздатқыш: $13 - 8 = 5$.

Жауабы: 1) 11 адам; 2) 5 адам.

№ 1072

Бір топтағы туристердің 10-ы қазақ тілін біледі, 8-і орыс тілін біледі, олардың 3-еуі қазақ тілін де, орыс тілін де біледі. Топта барлығы неше турист бар? A. 12 турист; B. 11 турист; C. 15 турист; D. 17 турист.

Шешуі.

1. Тек қазақ тілі: $10 - 3 = 7$; екі тіл де: 3; тек орыс тілі: $8 - 3 = 5$.
2. Барлығы: $7 + 3 + 5 = 15$. Формула бойынша: $10 + 8 - 3 = 15$.

Жауабы: 15 турист, C нұсқасы.

№ 1073

Объектіні өз қалауларыңмен таңдап алып, 5.19-сурет бойынша есеп құрастырыңдар. Сұрақтарға жауап беріңдер. (Суретте: $n(P) = 12$, $n(T) = 7$; тек $P$ жиынында — 9, ортасында және тек $T$ жиынында — сұрақ белгілері; $n(P \cup T)$ табу керек.)

Қалай ойлаймыз. Алдымен $P$ дөңгелегінен ортасын тап: онда барлығы 12, соның 9-ы — «тек $P$».

Шешуі. Есептің үлгісі: «12 оқушы бассейнге ($P$), 7 оқушы теннистің секциясына ($T$) қатысады. Тек бассейнге 9 оқушы қатысады. Неше оқушы екеуіне де қатысады? Неше оқушы тек теннисқе қатысады? Барлығы неше бала спортпен шұғылданады?»

1. Ортақ бөлікте: $12 - 9 = 3$.
2. Тек $T$ жиынында: $7 - 3 = 4$.
3. Барлығы: $9 + 3 + 4 = 16$. Формула бойынша тексеру: $12 + 7 - 3 = 16$.

Жауабы: ортақ бөлікте 3, тек $T$ жиынында — 4, $n(P \cup T) = 16$.

№ 1074

Сыныптағы 15 оқушы көркемөнерпаздар үйірмесіне қатысады. Олардың ішінде 9 оқушы домбыра тартады, 10 оқушы өлең айтады. Неше оқушы домбыра да тартады, өлең де айтады? Осыны Эйлер–Венн дөңгелектері арқылы кескіндеңдер.

Шешуі.

1. $n(\text{домбыра} \cap \text{өлең}) = 9 + 10 - 15 = 4$.
2. Дөңгелектерде: тек домбыра — $9 - 4 = 5$; екі үйірме де — 4; тек өлең — $10 - 4 = 6$. Тексеру: $5 + 4 + 6 = 15$.

Жауабы: 4 оқушы.

№ 1075

Сыныпта 32 оқушы бар. Олардың ішінде 17 оқушы маркалар жинаса, 12 оқушы төсбелгілер жинайды. Сыныптағы 8 оқушы коллекция жинаумен айналыспайды. Сынып оқушыларының нешеуі маркаларды да, төсбелгілерді де жинайды?

Қалай ойлаймыз. Ештеңе жинамайтын 8 оқушы екі дөңгелектің де сыртында тұр. Алдымен солардан құтылайық.

Шешуі.

1. Кем дегенде бірдеңе жинайтындар: $32 - 8 = 24$ оқушы. Бұл — бірігу.
2. Ортақ бөлік: $17 + 12 - 24 = 5$.
3. Тексеру: тек маркалар $17 - 5 = 12$, екеуін де — 5, тек төсбелгілер $12 - 5 = 7$; $12 + 5 + 7 + 8 = 32$.

Жауабы: 5 оқушы.

№ 1076

Нысандарды өз қалауларыңмен таңдап алып, 5.20-сурет бойынша есеп құрастырыңдар. Суреттегі сұрақтарға жауап беріңдер. (Суретте: $n(C) = 11$, $n(D) = 15$, ортасында 5; «тек $C$», «тек $D$» және $n(C \cup D)$ табу керек.)

Шешуі. Есептің үлгісі: «11 оқушы ғарыш туралы кітап оқыды ($C$), 15 оқушы динозавр туралы кітап оқыды ($D$), 5 оқушы екеуін де оқыды. Неше оқушы тек бір кітап оқыды? Барлығы неше оқырман бар?»

1. Тек $C$ жиынында: $11 - 5 = 6$.
2. Тек $D$ жиынында: $15 - 5 = 10$.
3. Барлығы: $6 + 5 + 10 = 21$. Формула бойынша: $11 + 15 - 5 = 21$.

Жауабы: тек $C$ жиынында — 6, тек $D$ жиынында — 10, $n(C \cup D) = 21$.

№ 1077

Себетте алма, алмұрт және шабдалы бар. Осы жемістердің әрбір екеуінің ғана массаларының қосындысы 450 г, 350 г және 400 г. Себеттегі жемістердің әрқайсысының массасы неше грамм?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Үш жұпта әр жеміс дәл екі рет кездеседі. Демек, үш санның қосындысы — үш жемістің екі еселенген массасы. Жұптар мына ретпен деп аламыз: алма мен алмұрт, алма мен шабдалы, алмұрт пен шабдалы.

Шешуі.

1. $450 + 350 + 400 = 1200$ г — әр жеміс екі рет санап алынған.
2. Үш жеміс бірге: $1200 : 2 = 600$ г.
3. Шабдалы: $600 - 450 = 150$ г (алма мен алмұртсыз).
4. Алмұрт: $600 - 350 = 250$ г (алма мен шабдалысыз).
5. Алма: $600 - 400 = 200$ г (алмұрт пен шабдалысыз).

Тексеру: $200 + 250 = 450$, $200 + 150 = 350$, $250 + 150 = 400$. Дұрыс.

Жауабы: алма 200 г, алмұрт 250 г, шабдалы 150 г.

Жадынама

• Екі дөңгелек сызып, барлық бөлікке сан жаз.
• Тексеру: «өз бөлігі + ортасы» = шарттағы сан.
• Егер екі санның қосындысы адамдардың жалпы санынан көп болса, айырмасы — ортасы.

Шағын тест