6.1. Проценттер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VI тарау: Проценттер. 111–116-беттер.

Нені үйренесің

• $1%$ — жүзден бір бөлік, ал бүкіл бүтін — $100%$ екенін түсінуді.
• Проценттерді бөлшекке айналдыруды: $25% = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
• Бөлшектер мен сандарды процентке айналдыруды: $\frac{3}{5} = 60%$, $2 = 200%$.
• Есепте нені $100%$ деп алғанды табуды және «қалдықты» санауды.

Ой қозғау

• 1 метрде неше сантиметр бар? 100. Демек, 1 см — метрдің жүзден бір бөлігі.
• 1 теңгеде неше тиын бар? 100. Бір тиын — теңгенің жүзден бір бөлігі.
• $\frac{7}{100}$ бөлшегін ондық бөлшекпен жаз. $0{,}07$.
• $\frac{3}{4} \cdot 100$ неге тең? $75$.

💡 Жүзден бір бөліктер бізді қоршап тұр: сантиметрлер, тиындар. Жүзден бір бөліктің өзінің қысқа аты бар — процент.

Тақырыпты талдаймыз

Процент — «жүзден бірі»

Өндірісте межеленген жоспардың орындалуы, заттың бағасының өсуі (кемуі), оқушылардың үлгерімі және т.с.с. шамалардың өзгеруі процент түрінде беріледі.

Сөз латын тілінен шыққан: pro centum — «жүзге». Кез келген нәрсені 100 тең бөлікке бөл — бір бөлік бір процент болады. $%$ белгісі «0/0» жазуына да ұқсайды — бөлімі 100 болатын бөлшек.

📌 $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Бүкіл бүтін — $100%$.

Шаршыны 100 торкөзге бөліп, оның 9 торкөзін бояйық. Шаршының $9%$-і боялған, ал бояусыз торкөздер: $100% - 9% = 91%$. Сол 100 торкөзді жолақ етіп қатарға тізейік:

Ал бөлік саны 10 болса?

Әр оныншы бөлік — $10$ жүзден бір бөлік, яғни $10%$. Алымдағы «+» батырмасын бас та қара: 10-ның 3 бөлігі — $30%$, 5 бөлігі — $50%$, барлық 10-ы — $100%$.

Проценттен бөлшекке

Процент санын 100-ге бөлеміз. Үтір екі таңба солға қарай секіреді.

• $7% = \frac{7}{100} = 0{,}07$;
• $15% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} = 0{,}15$;
• $300% = \frac{300}{100} = 3$.

Мына жұптарды көбейту кестесіндей жаттап алған жөн:

Бөлшектен процентке

100-ге көбейтіп, $%$ белгісін қоямыз. Үтір екі таңба оңға қарай секіреді.

Мысал. Мектеп кітапханасындағы кітаптардың $\frac{3}{5}$-і оқулықтар. Барлық кітап — $100%$, бестен бірі — $100% : 5 = 20%$, бестен үші — $3 \cdot 20% = 60%$. Қысқаша: $\frac{3}{5} \cdot 100% = 60%$.

Тағы мысалдар: $0{,}4 = 40%$; $\frac{2}{5} = 40%$; $2 = 200%$; $1{,}3 = 130%$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бағытын шатастырып, $7% = 0{,}7$ деп жазады. Тексеру: проценттен бөлшекке көшкенде сан 100 есе кемиді. $7% = 0{,}07$, ал $0{,}7 = 70%$.

Жүз проценттен көп те болады!

Үй тапсырмасының бәрін орындадың — бұл $100%$. Тағы жоспардан тыс жұлдызшалы есепті де шығардың — бұл $100%$-тен көп. Жұмысшы жоспарды $18%$-ке артық орындады — демек, $118%$ орындады. Бағаны $10%$-ке көтерді — жаңа баға ескі бағаның $110%$-ін құрайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Осы тараудың әр есебінде сұраңыз: «Мұнда жүз процент деп нені алдық?» Бала жауап бере алса («бүкіл жол», «бүкіл кітап», «ескі баға»), есеп дерлік шешілді.

⚠️ Жиі кететін қате. «Бағаны $20%$-ке көтерді, сосын $20%$-ке түсірді — баға бұрынғыдай болды». Жоқ! Екінші рет $20%$ жаңа, үлкен бағадан алынады. № 1109-ды қара.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бір процент деп нені айтады? Бүтіннің жүзден бір бөлігін: $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Берілген санның 1%-ін қалай табады? Санды 100-ге бөледі. Мысалы, 350 санының $1%$-і — $350 : 100 = 3{,}5$.
• Процент бөлшекпен қалай жазылады? Процент санын 100-ге бөледі: $35% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0{,}35$.
• Бөлшек процентпен қалай жазылады? 100-ге көбейтіп, $%$ қояды: $\frac{7}{20} \cdot 100 = 35$, демек, $\frac{7}{20} = 35%$.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1085

6.2, а, ә, б-суреттегі фигура ауданының неше проценті боялған? а) 10 тең секторға бөлінген дөңгелектің 3 секторы боялған; ә) 6 тең үшбұрышқа бөлінген алтыбұрыштың 3 үшбұрышы боялған; б) 5 тең үшбұрышқа бөлінген бесбұрыштың 1 үшбұрышы боялған.)

Қалай ойлаймыз. Алдымен фигураның қандай бөлігі боялғанын табамыз. Сосын бұл бөлшекті $100%$-ке көбейтеміз.

Шешуі.

• а) $\frac{3}{10} \cdot 100% = 30%$;
• ә) $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50%$;
• б) $\frac{1}{5} \cdot 100% = 20%$.

Жауабы: а) $30%$; ә) $50%$; б) $20%$.

A деңгейі

№ 1086

Сөйлемнің мағынасын түсіндіріңдер: 1) Қарбыздың $98%$-і су; 2) құлпынайдың $6%$-і қант.

Қалай ойлаймыз. Жидекті массасы бойынша 100 тең кесекке бөлгендей елестетіп, олардың нешеуі су (немесе қант) екенін қарайық.

Шешуі.

1. Қарбыздың массасының 100 бөлігінің 98-і — су. Массасы 1 кг (1000 г) қарбызда 980 г су бар. Дерлік тек шырын!
2. Құлпынайдың массасының 100 бөлігінің 6-ы — қант. 100 г құлпынайда 6 г қант бар.

Жауабы: $100%$ ретінде жидектің бүкіл массасы алынған; су (қант) — осы массаның жүзден $98$ ($6$) бөлігі.

№ 1087

1) Процентті ондық бөлшекпен жазыңдар: $1%$; $6%$; $10%$; $25%$; $50%$; $75%$; $120%$; $170%$. 2) Процентті жай бөлшекпен жазыңдар: $2%$; $5%$; $20%$; $60%$; $80%$; $140%$; $180%$.

Қалай ойлаймыз. 100-ге бөлеміз: үтір екі таңба солға кетеді. Жай бөлшекті кейін қысқартамыз.

Шешуі.

1. $1% = 0{,}01$; $6% = 0{,}06$; $10% = 0{,}1$; $25% = 0{,}25$; $50% = 0{,}5$; $75% = 0{,}75$; $120% = 1{,}2$; $170% = 1{,}7$.
2. $2% = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$; $5% = \frac{1}{20}$; $20% = \frac{1}{5}$; $60% = \frac{3}{5}$; $80% = \frac{4}{5}$; $140% = \frac{140}{100} = 1\frac{2}{5}$; $180% = 1\frac{4}{5}$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1088

Бөлшектерді процентпен жазыңдар: 1) $\frac{9}{100}$; $\frac{51}{100}$; $\frac{93}{100}$; $\frac{1}{10}$; $\frac{1}{20}$; 2) $\frac{1}{25}$; $\frac{3}{5}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{50}$; 3) 0,1; 0,01; 0,08; 0,8; 1,6; 4) 0,91; 1,5; 2; 2,7; 3,2.

Қалай ойлаймыз. 100-ге көбейтеміз. Ыңғайлы тәсіл — бөлімін 100-ге жеткізу: $\frac{1}{20} = \frac{5}{100}$, $\frac{1}{25} = \frac{4}{100}$.

Шешуі.

1. $9%$; $51%$; $93%$; $10%$; $5%$;
2. $4%$; $60%$; $30%$; $75%$; $2%$;
3. $10%$; $1%$; $8%$; $80%$; $160%$;
4. $91%$; $150%$; $200%$; $270%$; $320%$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1089

Егер берілген санның $1%$-і: 1) $\frac{3}{4}$; $\frac{7}{20}$; $\frac{9}{25}$; $1\frac{3}{10}$; $3\frac{1}{2}$; $5\frac{1}{4}$; 2) 1,8; 0,27; 0,05; 6,72; 9,03; 9,9 болса, оның $100%$-і неге тең?

Қалай ойлаймыз. $100%$ — $1%$-тен 100 есе көп. Жай ғана 100-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} \cdot 100 = 75$; $\frac{7}{20} \cdot 100 = 35$; $\frac{9}{25} \cdot 100 = 36$; $1\frac{3}{10} \cdot 100 = 130$; $3\frac{1}{2} \cdot 100 = 350$; $5\frac{1}{4} \cdot 100 = 525$.
2. $1{,}8 \cdot 100 = 180$; $27$; $5$; $672$; $903$; $990$.

Жауабы: 1) 75; 35; 36; 130; 350; 525. 2) 180; 27; 5; 672; 903; 990.

№ 1090

Ыдыстың $\frac{7}{10}$-іне су құйылған. Ыдыстың неше процентіне су құйылған? Ыдыстың неше проценті бос? $100%$ үшін қандай шама алынған?

Шешуі.

1. Су құйылған: $\frac{7}{10} \cdot 100% = 70%$.
2. Бос: $100% - 70% = 30%$.
3. $100%$ ретінде ыдыстың бүкіл көлемі алынған.

Жауабы: $70%$-іне су құйылған, $30%$-і бос; $100%$ — ыдыстың көлемі.

№ 1091

Туристер баруға тиісті қашықтықтың $70%$-ін автобуспен жүріп, қалғанын пойызбен жүрді. Туристер баруға тиісті қашықтықтың неше процентін пойызбен жүрді? $100%$ үшін қандай шаманы алу керек?

Шешуі. Бүкіл жол — $100%$. Пойызбен: $100% - 70% = 30%$.

Жауабы: $30%$; бүкіл жол.

№ 1092

Жеміс сусынын дайындау үшін алынған кептірілген жемістердің $35%$-і алма, $30%$-і алмұрт, $25%$-і өрік, қалғаны алхоры. Кептірілген жемістердің неше проценті алхоры?

Қалай ойлаймыз. Барлық кептірілген жеміс бірге — $100%$. Біз білетінімізді алып тастаймыз.

Шешуі.

1. Алма, алмұрт және өрік: $35% + 30% + 25% = 90%$.
2. Алхоры: $100% - 90% = 10%$.

$100%$ ретінде кептірілген жемістердің бүкіл массасы алынған.

Жауабы: $10%$; кептірілген жемістердің бүкіл массасы.

№ 1093

1) 1 метрдің $1%$-і, $7%$-і, $40%$-і неше сантиметр? 2) 1 центнердің $1%$-і, $15%$-і, $75%$-і неше килограмм? 3) 1 килограмның $1%$-і, $3%$-і, $10%$-і неше грамм?

Қалай ойлаймыз. 1 м = 100 см, 1 ц = 100 кг, 1 кг = 1000 г. Алдымен $1%$-ін табамыз, сосын көбейтеміз.

Шешуі.

1. 100 см-дің $1%$-і — 1 см; $7%$-і — 7 см; $40%$-і — 40 см.
2. 100 кг-ның $1%$-і — 1 кг; $15%$-і — 15 кг; $75%$-і — 75 кг.
3. 1000 г-ның $1%$-і — $1000 : 100 = 10$ г; $3%$-і — 30 г; $10%$-і — 100 г.

Жауабы: 1) 1 см; 7 см; 40 см. 2) 1 кг; 15 кг; 75 кг. 3) 10 г; 30 г; 100 г.

⚠️ Жиі кететін қате. Килограмда 100 емес, 1000 грамм бар. Сондықтан 1 кг-ның $1%$-і — 10 г, 1 г емес.

B деңгейі

№ 1094

Процентті жай бөлшекпен жазыңдар: $15%$; $6{,}4%$; $35%$; $116%$; $105%$; $220%$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімі 100 болатын бөлшек жазып, қысқартамыз. $100%$-тен көп болса, аралас сан шығады.

Шешуі.

• $15% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$;
• $6{,}4% = \frac{6{,}4}{100} = \frac{64}{1000} = \frac{8}{125}$;
• $35% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$;
• $116% = \frac{116}{100} = 1\frac{16}{100} = 1\frac{4}{25}$;
• $105% = 1\frac{5}{100} = 1\frac{1}{20}$;
• $220% = 2\frac{20}{100} = 2\frac{1}{5}$.

Жауабы: $\frac{3}{20}$; $\frac{8}{125}$; $\frac{7}{20}$; $1\frac{4}{25}$; $1\frac{1}{20}$; $2\frac{1}{5}$.

№ 1095

Бөлшектерді процентпен жазыңдар: $\frac{17}{20}$; $\frac{11}{25}$; $\frac{21}{50}$; 0,05; 0,74; $1\frac{1}{2}$; $1\frac{3}{5}$; $2\frac{3}{25}$.

Шешуі.

• $\frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 85%$;
• $\frac{11}{25} = \frac{44}{100} = 44%$;
• $\frac{21}{50} = \frac{42}{100} = 42%$;
• $0{,}05 = 5%$; $0{,}74 = 74%$;
• $1\frac{1}{2} = 1{,}5 = 150%$;
• $1\frac{3}{5} = 1{,}6 = 160%$;
• $2\frac{3}{25} = 2{,}12 = 212%$.

Жауабы: $85%$; $44%$; $42%$; $5%$; $74%$; $150%$; $160%$; $212%$.

№ 1096

1) Шеңбердің радиусы оның диаметрінің неше процентін құрайды? 2) Квадраттың қабырғасының ұзындығы оның периметрінің неше процентін құрайды?

Шешуі.

1. Радиус — диаметрдің жартысы: $\frac{1}{2} = 50%$.
2. Квадраттың периметрі — 4 қабырға. Бір қабырға — периметрдің $\frac{1}{4}$-і, яғни $25%$.

Жауабы: 1) $50%$; 2) $25%$.

№ 1097

1) Алманың $\frac{17}{20}$-сі су. Алманың неше проценті су? 2) Орамжапырақтың $\frac{9}{10}$-ы су. Орамжапырақтың неше проценті су?

Шешуі.

1. $\frac{17}{20} \cdot 100% = 85%$.
2. $\frac{9}{10} \cdot 100% = 90%$.

Жауабы: 1) $85%$; 2) $90%$.

№ 1098

1) Теңіз суының $5%$-і тұз. Теңіз суының неше бөлігі тұз? 2) Жер бетінің шамамен $71%$-ін мұхиттар алып жатыр. Мұхиттар Жер бетінің қандай бөлігін алып жатыр?

Шешуі.

1. $5% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$.
2. $71% = \frac{71}{100}$ — қысқартуға болмайды.

Жауабы: 1) $\frac{1}{20}$; 2) $\frac{71}{100}$.

🌟 Планетамыздың шамамен төрттен үш бөлігін су алып жатыр. Сондықтан Жер ғарыштан көгілдір болып көрінеді.

№ 1099

1) Жұмысшы күндік тапсырманы $18%$-ке артық орындады. Жұмысшы күндік тапсырманы неше процент орындады? 2) Комбайншы комбайнның ақауы болғандықтан, күндік тапсырманы межелегеннен $12%$-ке кем орындады. Комбайншы күндік тапсырманы неше процент орындады?

Шешуі. Бүкіл тапсырма — $100%$.

1. $100% + 18% = 118%$.
2. $100% - 12% = 88%$.

Жауабы: 1) $118%$; 2) $88%$.

№ 1100

Сыныптағы ұлдар қыздардан $20%$-ке артық. Сынып оқушыларының неше проценті ұлдар, неше проценті қыздар?

Қалай ойлаймыз. Мұндағы $20%$ — қыздардың санынан. Демек, алдымен қыздарды $100%$ деп аламыз, сосын бүкіл сыныпқа қайта есептейміз.

Шешуі.

1. Қыздар 100 бөлік болсын. Онда ұлдар 120 бөлік, барлығы 220 бөлік.
2. Ұлдар: $\frac{120}{220} = \frac{6}{11}$ сыныптың, $\frac{6}{11} \cdot 100% = \frac{600}{11}% = 54\frac{6}{11}%$.
3. Қыздар: $\frac{100}{220} = \frac{5}{11}$ сыныптың, $45\frac{5}{11}%$.

Тексеру: $54\frac{6}{11} + 45\frac{5}{11} = 100$.

Жауабы: ұлдар $54\frac{6}{11}%$ (шамамен $54{,}5%$), қыздар $45\frac{5}{11}%$ (шамамен $45{,}5%$).

⚠️ Жиі кететін қате. «Ұлдар $60%$, қыздар $40%$» деген жауап. Онда ұлдар $50%$-ке артық болар еді ($60 : 40 = 1{,}5$). Процент неден алынғаны маңызды.

№ 1101

Тиісті сандарды тауып, сиқырлы квадраттың бос торкөздерін толтырыңдар. (Сиқырлы квадрат 3 × 3: әр жолдағы, әр бағандағы және диагональдардағы сандардың қосындысы тең. 1) жоғарғы жолдың шеттерінде 14 және 12, ортасында 15, оң жақ төменгі бұрышында 16; 2) ортасында 9, төменгі жолда 15, 5, 7; 3) оң жақ жоғарғы бұрышында 1,6, ортаңғы жолда 1,3; 1,2; 1,1.)

Қалай ойлаймыз. Тек бір саны жетіспейтін сызықты тауып, оны қажетті қосындыға дейін толықтырамыз. Кеңес: 3 × 3 квадратта сызықтың қосындысы ортадағы санның 3 есесіне тең.

Шешуі.

1. Қосынды $3 \cdot 15 = 45$ (диагональ бойынша тексеру: $14 + 15 + 16 = 45$).

1. Жоғарғы жол: $45 - 14 - 12 = 19$.
2. 12-ден шығатын диагональ: $45 - 12 - 15 = 18$ (сол жақ төменгі бұрыш).
3. Сол жақ баған: $45 - 14 - 18 = 13$.
4. Ортаңғы жол: $45 - 13 - 15 = 17$.
5. Төменгі жол: $45 - 18 - 16 = 11$.

2. Қосынды $15 + 5 + 7 = 27$.

1. Ортаңғы баған: $27 - 9 - 5 = 13$.
2. 15-тен шығатын диагональ: $27 - 15 - 9 = 3$ (оң жақ жоғарғы бұрыш).
3. 7-ден шығатын диагональ: $27 - 7 - 9 = 11$ (сол жақ жоғарғы бұрыш).
4. Сол жақ баған: $27 - 11 - 15 = 1$; ортаңғы жол: $27 - 1 - 9 = 17$.

3. Қосынды $1{,}3 + 1{,}2 + 1{,}1 = 3{,}6$.

1. 1,6-дан шығатын диагональ: $3{,}6 - 1{,}6 - 1{,}2 = 0{,}8$ (сол жақ төменгі бұрыш).
2. Сол жақ баған: $3{,}6 - 1{,}3 - 0{,}8 = 1{,}5$.
3. Екінші диагональ: $3{,}6 - 1{,}5 - 1{,}2 = 0{,}9$ (оң жақ төменгі бұрыш).
4. Жоғарғы жол: $3{,}6 - 1{,}5 - 1{,}6 = 0{,}5$; ортаңғы баған: $3{,}6 - 0{,}5 - 1{,}2 = 1{,}9$.

Жауабы: кестелерді қара.

№ 1102

$AD$ кесіндісінің ұзындығы $AB$ кесіндісі ұзындығының $75%$-іне тең. $CB$ кесіндісінің ұзындығы $AB$ кесіндісі ұзындығының $60%$-іне тең (6.3-сурет; $AB$ кесіндісінде $A$, $C$, $D$, $B$ нүктелері осы ретпен тұр). $CD$ кесіндісінің ұзындығы $AB$ кесіндісі ұзындығының неше процентіне тең?

Қалай ойлаймыз. $AD$ және $CB$ кесінділері дәл $CD$ бөлігінде бір-біріне «мініп» тұр. Оларды қосқанда $CD$ екі рет саналады.

Шешуі.

1. $AD + CB = 75% + 60% = 135%$.
2. Бұл — бүкіл $AB$ және тағы бір рет $CD$: $CD = 135% - 100% = 35%$.

Жауабы: $35%$.

№ 1103

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $0{,}9x + \frac{3}{4}x - 1{,}15x$, мұндағы $x = 3$; 2) $5\frac{3}{8}y + 2{,}25y - 1\frac{9}{16}y$, мұндағы $y = 4$; 3) $1\frac{5}{6}x - \frac{2}{3}x + 0{,}25x$, мұндағы $x = 6$; 4) $6{,}12y + 1\frac{2}{5}y - 0{,}32y$, мұндағы $y = 5$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық «иксті» біреуге жинаймыз: коэффициенттерін қосамыз. Сосын санды қоямыз.

Шешуі.

1. $0{,}9 + 0{,}75 - 1{,}15 = 0{,}5$; $0{,}5x = 0{,}5 \cdot 3 = 1{,}5$.
2. $5{,}375 + 2{,}25 - 1{,}5625 = 6{,}0625$; $6{,}0625 \cdot 4 = 24{,}25$.
3. $\frac{11}{6} - \frac{4}{6} + \frac{1}{4} = \frac{7}{6} + \frac{1}{4} = \frac{14}{12} + \frac{3}{12} = \frac{17}{12}$; $\frac{17}{12} \cdot 6 = \frac{17}{2} = 8{,}5$.
4. $6{,}12 + 1{,}4 - 0{,}32 = 7{,}2$; $7{,}2 \cdot 5 = 36$.

Жауабы: 1) 1,5; 2) 24,25; 3) 8,5; 4) 36.

C деңгейі

№ 1104

6.4-суреттегі фигуралар ауданының неше проценті боялған? (а) параллелограмм; ә) шыршаның суреті; б) «бантик» тәрізді фигура.)

Қалай ойлаймыз. Бүкіл фигурадағы және боялған бөліктегі торкөздерді санаймыз. Жартылай торкөздерді (үшбұрыштарды) екіден қосамыз — бүтін торкөздер шығады.

Шешуі.

а) Параллелограмм: табаны 8 торкөз, биіктігі 5 торкөз, ауданы $8 \cdot 5 = 40$ торкөз. Боялғаны: әр бүйір қабырғасының бойында 5-тен жарты торкөз — барлығы $10$ жарты, яғни 5 торкөз, және тағы 3 бүтін торкөз. Барлығы $5 + 3 = 8$ торкөз. Үлесі: $\frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 20%$.

ә) Шырша: тәжі үш қабаттан тұрады (үшбұрыштар), оның астында діңі бар. Қабаттар: ұшы жоғарыда, табаны 4, 6 және 8 торкөз, биіктіктері 2, 3 және 4 торкөз; бір қабат екіншісінің үстіне түседі. Тәждің ауданын қатар-қатармен санаймыз: $1 + 3 + 3 + 5 + 5 + 7 = 24$ торкөз. Діңі: $2 \cdot 2 = 4$ торкөз. Бүкіл фигура: $24 + 4 = 28$ торкөз. Ортасындағы ені 2 торкөз, биіктігі 5 торкөз бояусыз жолақ: $2 \cdot 5 = 10$ торкөз (діңі де бояусыз). Боялғаны: $24 - 10 = 14$ торкөз. Үлесі: $\frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 50%$.

б) «Бантик»: ортаңғы тік бөлігі — ені 3, биіктігі 6 торкөз; көлденең бөлігі — ені 9, биіктігі 2 торкөз; олардың ортақ бөлігі $3 \cdot 2 = 6$ торкөз. Бірігуі: $18 + 18 - 6 = 30$ торкөз. Тік бөліктің жоғарғы және төменгі жағында екі-екіден үшбұрышты «құлақ» бар (әрқайсысы 1 торкөз, барлығы 4), ал көлденең бөліктің екі шетінде үшбұрышты тістеме бар (әрқайсысы 1 торкөз, барлығы 2 торкөз алынып тасталған). Бүкіл фигура: $30 + 4 - 2 = 32$ торкөз. Боялғаны: ені 1 торкөз тік жолақ (6 торкөз) және ортадағы $3 \times 2$ квадрат (6 торкөз), олардың ортақ бөлігі 2 торкөз — бірге $6 + 6 - 2 = 10$; төрт «құлақ» — 4; екі шеттегі боялған бөліктер — $1 + 1 = 2$. Барлығы $10 + 4 + 2 = 16$ торкөз. Үлесі: $\frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 50%$.

Жауабы: а) $20%$; ә) $50%$; б) $50%$.

№ 1105

1) Тік төртбұрыштың ауданы: а) $200%$-ке; ә) $300%$-ке артты. Тік төртбұрыштың ауданы неше есе өсті? 2) Квадраттың ауданы 2 есе өсті. Квадраттың ауданы неше процентке артты?

Шешуі.

1. а) Болғаны $100%$, болды $100% + 200% = 300%$ — 3 есе көп. ә) $100% + 300% = 400%$ — 4 есе.
2. 2 есе көп — бұл $200%$. Қосқаны: $200% - 100% = 100%$.

Жауабы: 1) а) 3 есе; ә) 4 есе. 2) $100%$-ке.

⚠️ Жиі кететін қате. «$200%$-ке арттыру» мен «2 есе арттыруды» шатастырады. $200%$-ке — яғни тағы екі осындай ауданды қосу керек. Нәтижесінде 3 есе көп болады.

№ 1106

Егер заттың бағасы: 1) $5%$-ке, $10%$-ке, $15%$-ке қымбаттаса; 2) $10%$-ке, $15%$-ке, $20%$-ке арзандаса, оның соңғы бағасы алғашқы бағасының неше процентін құрайды?

Шешуі. Ескі баға — $100%$.

1. $105%$; $110%$; $115%$.
2. $90%$; $85%$; $80%$.

Жауабы: 1) $105%$, $110%$, $115%$; 2) $90%$, $85%$, $80%$.

№ 1107

Тік төртбұрыштың ұзындығын $15%$-ке кемітіп, енін $20%$-ке ұзартқанда, оның ауданы неше процентке өзгереді?

Қалай ойлаймыз. Жаңа ұзындығы — ескісінің $85% = 0{,}85$-і, жаңа ені — ескісінің $120% = 1{,}2$-сі. Ауданы — ұзындық пен еннің көбейтіндісі.

Шешуі.

1. Жаңа аудан $= 0{,}85 \cdot 1{,}2 = 1{,}02$ ескісінің.
2. $1{,}02 = 102%$ — $2%$-ке көп.

Сандармен тексеру: болғаны 100 × 100, ауданы 10 000. Болды 85 × 120, ауданы 10 200. 200-ге көбейді — бұл 10 000-нан $2%$.

Жауабы: $2%$-ке артады.

№ 1108

1) Квадраттың қабырғасының ұзындығын $30%$-ке арттырса, оның ауданы неше процентке артады? 2) Квадраттың қабырғасының ұзындығын $10%$-ке кемітсе, оның ауданы неше процент кемиді?

Шешуі.

1. Қабырғасы — ескісінің $1{,}3$-і, ауданы — $1{,}3 \cdot 1{,}3 = 1{,}69$, яғни $169%$. $69%$-ке артты.
2. Қабырғасы — ескісінің $0{,}9$-ы, ауданы — $0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81 = 81%$. $19%$-ке кеміді.

Жауабы: 1) $69%$-ке; 2) $19%$-ке.

№ 1109

Бұйымның бағасы бірінші айда $20%$-ке қымбаттады, екінші айда соңғы бағасы $20%$-ке арзандады. Бұйымның бағасы неше процентке қалай өзгерді?

Қалай ойлаймыз. $20%$ екі рет, бірақ әртүрлі сандардан. Ең оңайы — бағаны 100 теңге деп алу.

Шешуі. Баға 100 теңге болсын.

1. Қымбаттағаннан кейін: $100 + 20 = 120$ теңге.
2. 120-ның $20%$-і — $120 \cdot 0{,}2 = 24$ теңге. Арзандағаннан кейін: $120 - 24 = 96$ теңге.
3. $96$ теңге — бастапқы бағаның $96%$-і, яғни $4%$-ке кем.

Жауабы: $4%$-ке арзандады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға жауапты басқа бағамен тексертіңіз, мысалы 500 теңгемен: 480 теңге шығады, тағы $4%$-ке кем. Осылайша «әртүрлі саннан» алынған проценттерді қосуға болмайтынына сену оңайырақ.

№ 1110

Сәуле бірінші күні кітаптың $25%$-ін оқыды. Ол екінші күні бірінші күнге қарағанда кітаптың $\frac{3}{20}$-ін артық оқыды. Қалғанын келесі күндерде оқуға қалдырды. Сәуле екінші күні кітаптың неше процентін оқыды? Сәуле кітаптың неше процентін келесі күндерде оқуға қалдырды?

Қалай ойлаймыз. $\frac{3}{20}$ бөлшегін процентке айналдырайық — сонда бәрі бір өлшемде болады.

Шешуі.

1. $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15%$.
2. Екінші күні: $25% + 15% = 40%$.
3. Келесі күндері: $100% - 25% - 40% = 35%$.

Жауабы: екінші күні $40%$, келесі күндері $35%$.

№ 1111

Сүттің $8%$-і қаймақ, қаймақтың $25%$-і май. Сүттің неше проценті май?

Қалай ойлаймыз. Май — қаймақтың $25%$-і, ал қаймақ — сүттің $8%$-і. $8%$-тің $25%$-ін аламыз.

Шешуі. $0{,}08 \cdot 0{,}25 = 0{,}02 = 2%$. Сандармен: 100 кг сүтте 8 кг қаймақ бар, онда $8 \cdot 0{,}25 = 2$ кг май бар, бұл 100 кг-ның $2%$-і.

Жауабы: $2%$.

№ 1112

Мирас тақтаға 3-ке бөлінетін, 5-ке бөлінетін сандарды жазды. Ол тақтаға жазған сандардың $50%$-і 3-ке бөлінеді, $70%$-і 5-ке бөлінеді. Мирас тақтаға жазған сандардың неше проценті 15-ке бөлінеді?

Қалай ойлаймыз. Тақтадағы әр сан 3-ке немесе 5-ке бөлінеді. 15-ке бөлінетін сан екі топқа да түсті — оны екі рет санап жіберді.

Шешуі.

1. $50% + 70% = 120%$ — бұл барлық саннан көп.
2. Артық $120% - 100% = 20%$ — екі рет саналған сандар, яғни 15-ке бөлінетіндер.

Жауабы: $20%$.

№ 1113*

Балықшылар аулаған сазан мен көксерке 37, шортан мен көксерке 19, алабұға мен шортан 25. Балықшылар аулаған сазан мен алабұға нешеу? A. 43; B. 52; C. 48; D. 50.

Қалай ойлаймыз. Бірінші және үшінші қосындыны қосып, екіншісін алып тастаймыз — көксерке мен шортан «кетіп қалады».

Шешуі. (сазан + көксерке) + (алабұға + шортан) − (шортан + көксерке) = сазан + алабұға.

$37 + 25 - 19 = 43$.

Жауабы: 43 (A нұсқасы).

Жадынама

• $1% = \frac{1}{100} = 0{,}01$; бүкіл бүтін — $100%$.
• Проценттен бөлшекке: 100-ге бөлеміз. $35% = 0{,}35 = \frac{7}{20}$.
• Бөлшектен процентке: 100-ге көбейтеміз. $\frac{3}{5} = 60%$, $1{,}3 = 130%$.
• Жоспарды $18%$-ке артық орындады — бұл $118%$; $12%$-ке кем орындады — бұл $88%$.
• Шама өзгергеннен кейін проценттерді жаңа шамадан есептейді.

Шағын тест