6.2. Берілген санның процентін табу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VI тарау: Проценттер. 117–122-беттер.

Нені үйренесің

• Саннан процентін табуды: 60-тың $20%$-і — $60 \cdot 0{,}2 = 12$.
• Проценттің негізгі формуласын қолдануды: $b = a \cdot \frac{P}{100}$.
• Бастапқы саннан бірнеше процентке артық немесе кем санды табуды.
• Проценттерді микрокалькуляторда санауды және проценттер қатар бірнеше рет алынатын есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Ормандағы 800 ағаштың $25%$-і шырша, $45%$-і қарағай. Неше шырша, неше қарағай бар?

• Мұнда $100%$ деп нені аламыз? Орманның барлық ағашын — 800.
• $1%$-ке неше ағаш келеді? $800 : 100 = 8$.
• Неше шырша? $8 \cdot 25 = 200$.
• Неше қарағай? $8 \cdot 45 = 360$.

💡 Қорытынды: саннан процентін табу үшін алдымен $1%$-ін тап (100-ге бөл), сосын қажетті процент санына көбейт.

Тақырыпты талдаймыз

Бір процент арқылы

Алманың $85%$-і су. 4 кг алмада неше килограмм су бар?

1. Барлық 4 кг — $100%$.
2. $1%$: $4 : 100 = 0{,}04$ кг.
3. $85%$: $0{,}04 \cdot 85 = 3{,}4$ кг.

Алма дерлік түгелдей судан тұрады екен! Бүкіл шешімді бір жолға сыйғызуға болады: $(4 : 100) \cdot 85 = 4 \cdot \frac{85}{100} = 4 \cdot 0{,}85 = 3{,}4$.

Қысқа жол: бөлшекке көбейту

Байқадың ба? Санның $85%$-ін табу — оны $0{,}85$-ке көбейтумен бірдей.

📌 Саннан процентін табу үшін: 1) процентті бөлшекпен өрнектеу; 2) берілген санды осы бөлшекке көбейту керек.

Көрмеге 60 мысық әкелінді, олардың $20%$-і — сиам мысықтары. $20% = \frac{1}{5} = 0{,}2$, демек, сиам мысықтары $60 \cdot 0{,}2 = 12$. Суретке қара: жолақ — барлық 60 мысық. 10 бөліктің әрқайсысы — $10%$, яғни 6 мысық. Екі бөлік — 12 мысық.

Проценттің негізгі формуласы

$b = a \cdot \frac{P}{100}$

Мұндағы $a$ — бастапқы сан (ол $100%$), $P$ — процент саны, $b$ — осы $P%$ неге тең екені.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Ауызша жаттықтырыңыз: $10%$ — 10-ға бөлеміз, $50%$ — екіге, $25%$ — төртке. Мысалы: 350-нің $10%$-і? 80-нің $25%$-і? Мұндай есептеу тараудағы барлық есепті едәуір жылдамдатады.

Неше процентке артық немесе кем

Баға 90 теңге болды, $30%$-ке өсті. Жаңа баға — ескінің $100% + 30% = 130%$-і: $90 \cdot 1{,}3 = 117$ теңге.

Баға 56 теңге болды, $15%$-ке түсті. Жаңа баға — ескінің $100% - 15% = 85%$-і: $56 \cdot 0{,}85 = 47{,}6$ теңге.

⚠️ Жиі кететін қате. 90-нан $30%$-ін тапты (ол 27) да, жаңа бағаны сұрап тұрса да, 27-ні жауап етіп жазды. Сұрақты қайта оқы: «қаншаға өзгерді» ме, әлде «қандай болды» ма? Егер «қандай болды» болса — табылғанды қос (немесе алып таста) немесе бірден $1{,}3$-ке ($0{,}85$-ке) көбейт.

Проценттер микрокалькуляторда

$%$ пернесі бар қарапайым микрокалькуляторда:

• 45-тің $20%$-і: 4 5 × 2 0 % → 9;
• 90-ды $30%$-ке арттыру: 9 0 + 3 0 % → 117;
• 56-ны $15%$-ке кеміту: 5 6 − 1 5 % → 47,6.

Телефонда ретті басқаша болуы мүмкін. Ең сенімді тәсіл — ондық бөлшекке көбейту: $45 \cdot 0{,}2$.

Банктегі ақша өседі

Банк сен оған ақшаңды сақтауға бергенің үшін проценттер төлейді. Егер проценттер әр жолы бастапқы соманың өзінен есептелсе, бұл — жай проценттік өсім. $n$ жылдан (айдан) кейін сома мынаған тең болады:

$S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P \cdot n}{100}\right),$

мұндағы $S$ — алғашқы салым, $P$ — жылдық (айлық) процент. Мысалы, 1 000 000 теңге жылына $5%$-пен 3 жылдан кейін: $1,000,000 \cdot (1 + 0{,}15) = 1,150,000$ теңге.

⚠️ Жиі кететін қате. «Алдымен $20%$-ке артты, сосын тағы $15%$-ке — барлығы $35%$-ке артты». Олай болмайды: екінші рет $15%$ жаңа шамадан алынады. Қадамдап есепте (№ 1137, № 1132).

🌟 Проценттер туралы алғашқы түсініктер V ғасырда Үндістанда пайда болған. Вавилондықтар алпыстық санау жүйесін пайдаланғанда, берген қарыздан алған өсімді қарыздың алпыстық бөліктерімен есептеген. Кейін «процент» латынның «pro centum» сөзінен шықты. Қолжазбаларда ол «cento» (жүз), одан әрі «cto» деп қысқартылып жазылған. 1685 жылы Парижде басылған коммерциялық арифметикаға нұсқау кітабын теруші қателесіп, «cto» орнына «%» белгісін терген — осыдан кейін процентті «%» белгісімен жазу бастау алған. Нидерландиялық математик Симон Стевин 1584 жылы өзінің «Арифметика» кітабына алғашқы проценттік кестені енгізген.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Берілген санның проценті қалай табылады? Процентті бөлшекпен жазып, санды сол бөлшекке көбейтеді. 70-тің $30%$-і: $70 \cdot 0{,}3 = 21$.
• Проценттің негізгі формуласы қандай? $b = a \cdot \frac{P}{100}$: $a$ — бастапқы сан ($100%$), $P$ — процент саны, $b$ — $P%$-ке сәйкес сан.
• Микрокалькуляторда $a$ санының $P%$-ін табу үшін қандай пернелерді басамыз? $a$ санын теріп, «×» пернесін басамыз, $P$ санын теріп, «%» пернесін басамыз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1114

Процентін табыңдар: 1) 30, 57, 125, 200, 250, 310 сандарының $10%$-ін; 2) 16, 24, 72, 96, 114, 400 сандарының $50%$-ін; 3) 28, 36, 68, 100, 232, 360 сандарының $25%$-ін.

Қалай ойлаймыз. $10%$ — 10-ға бөлеміз; $50%$ — екіге; $25%$ — 4-ке бөлеміз (екі рет екіге).

Шешуі.

1. 3; 5,7; 12,5; 20; 25; 31.
2. 8; 12; 36; 48; 57; 200.
3. 7; 9; 17; 25; 58; 90.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1115

1) Құлпынайдың $6%$-і қант. 35 кг құлпынайда неше килограмм қант бар? 2) Картоптың $18%$-і крахмал. 25 кг картопта неше килограмм крахмал бар?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл масса — $100%$. Оны бөлшекпен жазылған процентке көбейтеміз.

Шешуі.

1. $35 \cdot 0{,}06 = 2{,}1$ кг.
2. $25 \cdot 0{,}18 = 4{,}5$ кг.

Жауабы: 1) 2,1 кг; 2) 4,5 кг.

№ 1116

1) Шиеден қайнатылған тосаптың $40%$-і шие, қалғаны қант. 8 кг шие тосабының неше килограмы қант? 2) Теңіз суының $95%$-і ғана таза су, қалғаны тұз. 6 т теңіз суында қанша тұз бар?

Қалай ойлаймыз. «Қалғаны» туралы сұрап тұр. Демек, алдымен оның неше процент екенін табамыз.

Шешуі.

1. Қант: $100% - 40% = 60%$; $8 \cdot 0{,}6 = 4{,}8$ кг.
2. Тұз: $100% - 95% = 5%$; $6 \cdot 0{,}05 = 0{,}3$ т.

Жауабы: 1) 4,8 кг; 2) 0,3 т.

№ 1117

Сыныпта 30 оқушы бар. Математикадан бақылау жұмысын сынып оқушыларының $20%$-і «5»-ке жазды, $50%$-і «4»-ке жазды. Сыныптың неше оқушысы бақылау жұмысын «5» пен «4»-ке жазды?

Шешуі.

1. «5»-ке: $30 \cdot 0{,}2 = 6$ оқушы.
2. «4»-ке: $30 \cdot 0{,}5 = 15$ оқушы.
3. Бірге: $6 + 15 = 21$ оқушы.

Жауабы: «5»-ке — 6 оқушы, «4»-ке — 15, барлығы 21.

№ 1118

$a$ санының $P%$-і болатын $b$ санын тауып, кестені толтырыңдар: $a$ саны — 15, 80, 120, 7,5, 9,6, $\frac{8}{15}$; $P%$ — 8, 40, 75, 20, 50, 75.

Қалай ойлаймыз. $b = a \cdot \frac{P}{100}$ формуласына қоямыз. Ыңғайлы жерінде жай бөлшекті аламыз: $75% = \frac{3}{4}$, $50% = \frac{1}{2}$.

Шешуі.

Жауабы: 1,2; 32; 90; 1,5; 4,8; $\frac{2}{5}$.

№ 1119

Бұйымның бағасы $12%$-ке қымбаттады. Егер осы бұйымның алғашқы бағасы: 1) 2000 теңге; 2) 5000 теңге; 3) 8000 теңге болса, оның қымбаттаған бағасы неше теңге?

Қалай ойлаймыз. Жаңа баға — ескінің $112% = 1{,}12$-сі.

Шешуі.

1. $2000 \cdot 1{,}12 = 2240$ теңге.
2. $5000 \cdot 1{,}12 = 5600$ теңге.
3. $8000 \cdot 1{,}12 = 8960$ теңге.

Жауабы: 1) 2240 теңге; 2) 5600 теңге; 3) 8960 теңге.

№ 1120

Мұздатқыштың бағасы $15%$-ке арзандатылды. Егер мұздатқыштың алғашқы бағасы: 1) 58 000 теңге; 2) 62 000 теңге; 3) 70 000 теңге болса, оның арзандаған бағасы неше теңге?

Қалай ойлаймыз. Жаңа баға — ескінің $85% = 0{,}85$-і.

Шешуі.

1. $58,000 \cdot 0{,}85 = 49,300$ теңге.
2. $62,000 \cdot 0{,}85 = 52,700$ теңге.
3. $70,000 \cdot 0{,}85 = 59,500$ теңге.

Жауабы: 1) 49 300 теңге; 2) 52 700 теңге; 3) 59 500 теңге.

№ 1121

Берілген шаманың процентін табыңдар: 1) 3,2 метрдің; 8,6 дециметрдің; 6,4 сантиметрдің $35%$-ін; 2) 9 тоннаның; 710 килограмның; 180 грамның $62%$-ін.

Шешуі.

1. $3{,}2 \cdot 0{,}35 = 1{,}12$ м; $8{,}6 \cdot 0{,}35 = 3{,}01$ дм; $6{,}4 \cdot 0{,}35 = 2{,}24$ см.
2. $9 \cdot 0{,}62 = 5{,}58$ т; $710 \cdot 0{,}62 = 440{,}2$ кг; $180 \cdot 0{,}62 = 111{,}6$ г.

Жауабы: 1) 1,12 м; 3,01 дм; 2,24 см. 2) 5,58 т; 440,2 кг; 111,6 г.

№ 1122

Санның процентін табуды микрокалькуляторда орындаңдар: 1) 970-тің $25%$-ін; 310-ның $16%$-ін; 220-ның $18%$-ін табыңдар; 2) 36 санынан $15%$-ке; $20%$-ке, $30%$-ке артық санды табыңдар; 3) 120 санынан $10%$-ке; $25%$-ке, $30%$-ке кем санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «$15%$-ке артық» — $1{,}15$-ке көбейтеміз. «$10%$-ке кем» — $0{,}9$-ға көбейтеміз.

Шешуі.

1. $970 \cdot 0{,}25 = 242{,}5$; $310 \cdot 0{,}16 = 49{,}6$; $220 \cdot 0{,}18 = 39{,}6$.
2. $36 \cdot 1{,}15 = 41{,}4$; $36 \cdot 1{,}2 = 43{,}2$; $36 \cdot 1{,}3 = 46{,}8$.
3. $120 \cdot 0{,}9 = 108$; $120 \cdot 0{,}75 = 90$; $120 \cdot 0{,}7 = 84$.

Жауабы: 1) 242,5; 49,6; 39,6. 2) 41,4; 43,2; 46,8. 3) 108; 90; 84.

№ 1123

Есептеңдер: Г. $(5{,}23 + 6{,}47) : 78$; А. $(6{,}25 + 0{,}18) \cdot 100$; Ц. $(6{,}51 - 4{,}16) : 0{,}47$; И. $(9{,}07 - 3{,}91) \cdot 0{,}25$; Й. $7{,}28 : (4{,}65 - 3{,}74)$; К. $7{,}74 : 5{,}16 \cdot 10$; М. $9{,}5 : (3{,}54 + 1{,}46)$; Н. $0{,}34 \cdot (27{,}17 : 4{,}18)$. Кестеде берілген өрнектің жауабымен бір бағанға өрнектің тұсындағы әріпті қойыңдар (кесте: 1,9; 643; 0,15; 2,21; 1,29; 5; 15; 1,29; 8). Сонда орыстың тұңғыш «Арифметика, яғни есептеу ғылымы» атты оқулығының авторы кім екенін білесіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — шифр! Әр өрнекті есептеп, әрпін өз санының астына қоямыз.

Шешуі.

• Г: $(5{,}23 + 6{,}47) : 78 = 11{,}7 : 78 = 0{,}15$;
• А: $(6{,}25 + 0{,}18) \cdot 100 = 6{,}43 \cdot 100 = 643$;
• Ц: $(6{,}51 - 4{,}16) : 0{,}47 = 2{,}35 : 0{,}47 = 5$;
• И: $(9{,}07 - 3{,}91) \cdot 0{,}25 = 5{,}16 \cdot 0{,}25 = 1{,}29$;
• Й: $7{,}28 : (4{,}65 - 3{,}74) = 7{,}28 : 0{,}91 = 8$;
• К: $7{,}74 : 5{,}16 \cdot 10 = 1{,}5 \cdot 10 = 15$;
• М: $9{,}5 : (3{,}54 + 1{,}46) = 9{,}5 : 5 = 1{,}9$;
• Н: $0{,}34 \cdot (27{,}17 : 4{,}18) = 0{,}34 \cdot 6{,}5 = 2{,}21$.

Жауабы: МАГНИЦКИЙ (Леонтий Магницкий, «Арифметика», 1703 жыл).

🌟 Ұлы ғалым Михаил Ломоносов Магницкийдің «Арифметикасы» бойынша оқыған. Ол бұл кітапты «өз ғылымының қақпасы» деп атаған.

B деңгейі

№ 1124

Бағасы 420 тг ойыншық мәшинелер $15%$-ке арзандатылып сатылды. Балалар бақшасы 7 ойыншық мәшинені арзандатылған бағамен сатып алса, неше теңге үнемделеді?

Қалай ойлаймыз. Үнем — бұл жеңілдік. Бір мәшинедегі жеңілдікті тауып, 7-ге көбейтеміз.

Шешуі.

1. Бір мәшинедегі жеңілдік: $420 \cdot 0{,}15 = 63$ тг.
2. Жетеуіне: $63 \cdot 7 = 441$ тг.

Жауабы: 441 тг.

№ 1125

Тік төртбұрыштың ені 6 см, ұзындығы одан $75%$ ұзын. Тік төртбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $6 \cdot 1{,}75 = 10{,}5$ см.
2. Ауданы: $10{,}5 \cdot 6 = 63$ см².

Жауабы: 63 см².

№ 1126

Қоланың $85%$-і мыс, қалғаны қалайы. 5 кг қоланың құрамындағы мыс қалайыдан неше килограмм артық?

Шешуі.

1. Мыс: $5 \cdot 0{,}85 = 4{,}25$ кг.
2. Қалайы: $5 - 4{,}25 = 0{,}75$ кг.
3. Айырма: $4{,}25 - 0{,}75 = 3{,}5$ кг.

Қысқасы: айырма $85% - 15% = 70%$, $5 \cdot 0{,}7 = 3{,}5$ кг.

Жауабы: 3,5 кг артық.

№ 1127

$AB$ қабырғасының ұзындығы $ABC$ үшбұрышы периметрінің $35%$-іне, ал $BC$ қабырғасының ұзындығы $25%$-іне тең. Егер $ABC$ үшбұрышының периметрі 24 см болса, оның $AC$ қабырғасының ұзындығы неше сантиметр?

Шешуі.

1. $AC$ — периметрдің $100% - 35% - 25% = 40%$-і.
2. $AC = 24 \cdot 0{,}4 = 9{,}6$ см.

Жауабы: 9,6 см.

№ 1128

Ауылдағы 620 үйдің $80%$-інде ит бар, $50%$-інде мысық бар. Ауылдағы неше үйде ит те, мысық та бар?

Қалай ойлаймыз. $80% + 50% = 130%$ — бұл барлық үйден көп. Демек, кейбір үйлер екі рет саналған: онда ит те, мысық та бар. Әр үйде кем дегенде бір жануар бар деп аламыз.

Шешуі.

1. Иті барлар: $620 \cdot 0{,}8 = 496$ үй.
2. Мысығы барлар: $620 \cdot 0{,}5 = 310$ үй.
3. $496 + 310 - 620 = 186$ үй екі рет саналған.

Жауабы: 186 үйде.

№ 1129

Банкке $5%$-тік жылдық өсіммен 3 750 000 теңге салынды. Банкке салынған ақша бір жылдан соң неше теңге болады?

Шешуі. $3,750,000 \cdot 1{,}05 = 3,937,500$ теңге. (Проценттердің өзі: $3,750,000 \cdot 0{,}05 = 187,500$ теңге.)

Жауабы: 3 937 500 теңге.

№ 1130

Тік төртбұрыштың ұзындығы $20%$-ке кемиді. Оның ауданы өзгермеу үшін енін неше процентке ұзарту керек?

Қалай ойлаймыз. Мұнда әріптер керек емес — ыңғайлы сандарды аламыз: ұзындығы 10, ені 10, ауданы 100.

Шешуі.

1. Жаңа ұзындығы: $10 \cdot 0{,}8 = 8$.
2. Аудан 100 болып қалуы үшін ені $100 : 8 = 12{,}5$ болуы керек.
3. Ені 10-нан 12,5-ке өсті, яғни 2,5-ке. Бұл $\frac{2{,}5}{10} = 25%$.

Жауабы: $25%$-ке.

№ 1131

Райхан 145 санын $60%$-ке арттырып, оның $25%$-ін есептеп тапты. Райхан қандай санды есептеп тапты? A. 58; B. 42; C. 52; D. 49.

Шешуі.

1. $145 \cdot 1{,}6 = 232$.
2. $232 \cdot 0{,}25 = 58$.

Жауабы: 58 (A нұсқасы).

C деңгейі

№ 1132*

Бақтағы нарғыз гүлі раушан гүлінен $20%$ кем, ал жасмин гүлі нарғыз гүлінен $25%$ кем. Бақтағы жасмин гүлі раушан гүлінен неше процент кем?

Қалай ойлаймыз. $20%$ пен $25%$-ті қосуға болмайды: олар әртүрлі сандардан алынған. Раушан 100 болсын — осылай санау ең оңай.

Шешуі.

1. Нарғыз: $100 \cdot 0{,}8 = 80$.
2. Жасмин: $80 \cdot 0{,}75 = 60$.
3. $100 - 60 = 40$, яғни раушаннан $40%$ кем.

Жауабы: $40%$-ке кем.

№ 1133

Квадрат пен үшбұрыштың ауданы 15 см². Квадраттың ауданы үшбұрыштың ауданынан $50%$ артық. Квадраттың қабырғасының ұзындығы неше сантиметр?

Шешуі.

1. Үшбұрыш — $100%$ болса, квадрат — $150%$, бірге $250% = 2{,}5$ үшбұрыш ауданы.
2. Үшбұрыш: $15 : 2{,}5 = 6$ см².
3. Квадрат: $15 - 6 = 9$ см².
4. $3 \cdot 3 = 9$, демек, қабырғасы 3 см.

Жауабы: 3 см.

№ 1134

Назерке бөлмеге қою үшін гүл салынған 5 гүлсалғыш әкелді. Ол бөлменің әрбір қабырғасының тұсына 2 гүлсалғыштан қойды. Назерке гүлсалғыштарды қалай орналастырды?

Қалай ойлаймыз. Бұл — тапқырлыққа есеп. Бұрыштағы гүлсалғыш бірден екі қабырғаның тұсында тұрады!

Шешуі. Төрт гүлсалғышты төрт бұрышқа қоямыз. Сонда әр қабырғаның тұсында 2 гүлсалғыштан болады — оның әр бұрышында біреуден. Бесіншісін бөлменің ортасына (немесе ортадағы үстелге) қоямыз: ол бірде-бір қабырғаның тұсында тұрмайды.

Жауабы: 4 гүлсалғыш бұрыштарда, бесіншісі — бөлменің ортасында.

№ 1135

Жай проценттік өсім формуласын пайдаланып есептеңдер. Банкке айына $P%$-тік өсіммен $S$ тг ақша салынды. Банкке салынған ақша $n$ айдан соң неше теңге болады? Мұндағы: 1) $P = 3$, $S = 2,000,000$ тг, $n = 4$; 2) $P = 8$, $S = 3,000,000$ тг, $n = 3$.

📌 Жай проценттік өсімде әрбір реттегі проценттік өсім шаманың алғашқы мәнінен есептеледі. Формула: $S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P n}{100}\right)$, мұндағы $S$ — банкке салынған ақша, $P$ — проценттік өсім саны, $n$ — ай (жыл) саны, $S_n$ — өсіммен есептелген соңғы ақша.

Шешуі. $S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P n}{100}\right)$.

1. $2,000,000 \cdot \left(1 + \frac{3 \cdot 4}{100}\right) = 2,000,000 \cdot 1{,}12 = 2,240,000$ теңге.
2. $3,000,000 \cdot \left(1 + \frac{8 \cdot 3}{100}\right) = 3,000,000 \cdot 1{,}24 = 3,720,000$ теңге.

Жауабы: 1) 2 240 000 теңге; 2) 3 720 000 теңге.

№ 1136

Банкке $7%$-тік жылдық өсіммен 4 800 000 теңге салынды. Банкке салынған ақша 2 жылдан соң неше теңге болады?

Қалай ойлаймыз. Жай проценттік өсім: әр жыл сайын бастапқы соманың $7%$-і қосылады. 2 жылда — $14%$.

Шешуі. $4,800,000 \cdot \left(1 + \frac{7 \cdot 2}{100}\right) = 4,800,000 \cdot 1{,}14 = 5,472,000$ теңге.

Жауабы: 5 472 000 теңге.

№ 1137

Әрбір гектардан бірінші жылы 75 ц картоп жиналса, екінші жылы одан $20%$ артық жиналды. Үшінші жылы екінші жылғыға қарағанда $15%$-ке артық картоп жиналды. Әрбір гектардан үшінші жылы неше центнер картоп жиналды?

Қалай ойлаймыз. Қадамдап жүреміз: әр жолы проценттерді өткен жылғы өнімнен есептейміз.

Шешуі.

1. Екінші жылы: $75 \cdot 1{,}2 = 90$ ц.
2. Үшінші жылы: $90 \cdot 1{,}15 = 103{,}5$ ц.

Жауабы: 103,5 ц (әрбір гектардан).

№ 1138

Саяхатшылар межеленген 180 км қашықтықтың $40%$-ін автомашинемен, ал қалған қашықтықтың $95%$-ін мотоциклмен жүрді. Одан қалған жолды орман ішімен өтетін болғандықтан, жаяу жүрді. Саяхатшылар неше километр қашықтықты жаяу жүрді?

Қалай ойлаймыз. Екінші процент бүкіл жолдан емес, қалғанынан алынады. Демек, есеп барысында $100%$ өзгереді.

Шешуі.

1. Машинемен: $180 \cdot 0{,}4 = 72$ км. Қалғаны $180 - 72 = 108$ км.
2. Жаяу жүргені қалғанның $100% - 95% = 5%$-і: $108 \cdot 0{,}05 = 5{,}4$ км.

Жауабы: 5,4 км.

№ 1139

Әңгімедегі сөздердің $35%$-і етістіктер. Ондағы зат есімдер етістіктердің $80%$-індей, ал сын есімдер зат есімдердің $75%$-індей, қалғаны — әртүрлі сөз таптары. Әңгімедегі сөздердің неше проценті әртүрлі сөз таптары?

Шешуі.

1. Зат есімдер: $35% \cdot 0{,}8 = 28%$ мәтіннің.
2. Сын есімдер: $28% \cdot 0{,}75 = 21%$ мәтіннің.
3. Бірге: $35% + 28% + 21% = 84%$.
4. Қалғаны: $100% - 84% = 16%$.

Жауабы: $16%$.

№ 1140

Есептеңдер: 1) $\left(3{,}65 - 2\frac{3}{4}\right) : 3 + \frac{17}{40} \cdot 12$; 2) $\left(9{,}4 + 1\frac{17}{20}\right) : 1\frac{7}{8} + 24 \cdot \frac{3}{8}$; 3) $\left(15\frac{1}{3} - 8\frac{5}{18}\right) \cdot 2\frac{4}{7} : 6\frac{1}{21} - 2\frac{5}{8}$; 4) $8{,}25 : 1{,}1 - \left(3 - 2{,}8 \cdot \frac{3}{7}\right) : 0{,}6$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшалар, сосын көбейту мен бөлу, соңында қосу мен азайту. $2\frac{3}{4}$ сияқты бөлшектерді бірден ондық бөлшекке айналдырған ыңғайлы.

Шешуі.

1. $3{,}65 - 2{,}75 = 0{,}9$; $0{,}9 : 3 = 0{,}3$; $\frac{17}{40} \cdot 12 = \frac{204}{40} = 5{,}1$; $0{,}3 + 5{,}1 = 5{,}4$.
2. $9{,}4 + 1{,}85 = 11{,}25$; $11{,}25 : 1{,}875 = 6$; $24 \cdot \frac{3}{8} = 9$; $6 + 9 = 15$.
3. $15\frac{6}{18} - 8\frac{5}{18} = 7\frac{1}{18} = \frac{127}{18}$; $\frac{127}{18} \cdot \frac{18}{7} = \frac{127}{7}$; $\frac{127}{7} : \frac{127}{21} = \frac{127}{7} \cdot \frac{21}{127} = 3$; $3 - 2\frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
4. $8{,}25 : 1{,}1 = 7{,}5$; $2{,}8 \cdot \frac{3}{7} = 1{,}2$; $3 - 1{,}2 = 1{,}8$; $1{,}8 : 0{,}6 = 3$; $7{,}5 - 3 = 4{,}5$.

Жауабы: 1) 5,4; 2) 15; 3) $\frac{3}{8}$; 4) 4,5.

№ 1141*

АКТ көздерін пайдаланып, Жер беті ауданын (млн км² есебімен) жазып алыңдар. Жер беті ауданының $71%$-ін су алып жатыр. Жер бетіндегі құрлықтың ауданын есептеп табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Құрлық — судан басқаның бәрі. Анықтама үшін (дереккөзден тексер): Жер беті ауданы шамамен 510 млн км².

Шешуі.

1. Құрлық — $100% - 71% = 29%$.
2. $510 \cdot 0{,}29 = 147{,}9$ млн км².

Жауабы: шамамен 148 млн км² (Жер беті ауданы 510 млн км² болғанда).

Жадынама

• $a$ санының $P%$-і: $b = a \cdot \frac{P}{100}$. Мысалы, 75-тің $20%$-і — $75 \cdot 0{,}2 = 15$.
• $P%$-ке арттыру — $\left(1 + \frac{P}{100}\right)$-ге көбейту.
• $P%$-ке кеміту — $\left(1 - \frac{P}{100}\right)$-ге көбейту.
• Жай проценттік өсім: $S_n = S \cdot \left(1 + \frac{P n}{100}\right)$.

Шағын тест