6.3. Проценті бойынша санды табу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VI тарау: Проценттер. 124–129-беттер.

Нені үйренесің

• Бірнеше проценті белгілі болса, санның өзін ($100%$) табуды.
• $a = b : \frac{P}{100}$ формуласын қолданып, оны өткен сабақпен шатастырмауды.
• «Жеңілдіктен кейін ... болды», «жоспарды артық орындады» түріндегі есептерді шығаруды.
• Проценттер бірнеше рет алынған кезде есепті «соңынан бастап» шығаруды.

Ой қозғау

Дүкенде 560 кг көкөніс сатылды. Бұл дүкендегі барлық көкөністің $70%$-ы. Дүкенде бастапқыда неше килограмм көкөніс болған?

• Бір процентіне неше килограмм келеді? $560 : 70 = 8$ кг.
• Барлық көкөніс ($100%$) неше килограмм болған? $8 \cdot 100 = 800$ кг.

💡 800 кг жауабы 560 кг-нан үлкен. Солай болуы керек: өйткені сатылғаны — тек бір бөлігі.

Тақырыпты талдаймыз

Екі егіз есеп

Өткен сабақта біз бүкіл санды біліп, оның бөлігін іздедік. Енді керісінше: бөлігін және ол неше процент екенін білеміз. Бүкіл санды табу керек.

Бір проценті арқылы

Мектептің бастауыш сыныптарында 480 оқушы оқиды. Бұл мектептегі барлық оқушылардың $60%$-і. Мектепте барлығы неше оқушы оқиды?

Мектепті 10 бөліктен тұратын жолақ деп елестет. Әр бөлік — $10%$. Алты бөлік — 480 оқушы, демек бір бөлік — $480 : 6 = 80$ оқушы, ал 10 бөліктің бәрі — 800.

Бір проценті арқылы: $1%$ — бұл $480 : 60 = 8$ оқушы, $100%$ — $8 \cdot 100 = 800$. Бір жолға жинасақ: $480 : \frac{60}{100} = 480 : 0{,}6 = 800$.

Ереже

📌 Проценті бойынша санды табу үшін: 1) процентті жай бөлшекпен немесе ондық бөлшекпен өрнекте; 2) берілген санды осы бөлшекке бөл.

Формуласы: $a = b : \frac{P}{100}$. Мұндағы $b$ — белгілі бөлік, $P$ — ол неше процент екенін көрсететін сан, $a$ — санның өзі ($100%$-ке сәйкес сан).

Мысал. Қант қызылшасының $18%$-і қант. 162 кг қант алу үшін неше килограмм қант қызылшасы қажет? $18% = 0{,}18$; $162 : 0{,}18 = 900$ кг.

⚠️ Жиі кететін қате. Бөлудің орнына көбейту: $162 \cdot 0{,}18 = 29{,}16$. Ақылға салып тексер: қызылшадағы қант қызылшаның өзінен аз. Демек, жауап 162-ден үлкен болуы керек. Егер $P < 100$ болса, бүкіл сан белгілі бөліктен үлкен болады.

Жеңілдік және жоспарды артық орындау

«$10%$ арзандатылғаннан кейін мұздатқыш 72 900 тг тұрады». Жаңа баға — ескі бағаның $90%$-і. Ескі баға: $72,900 : 0{,}9 = 81,000$ тг.

«Шебер жоспарды $18%$-ке артық орындап, 295 бөлшек дайындады». 295 — жоспардың $118%$-і. Жоспар: $295 : 1{,}18 = 250$ бөлшек.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есепті шығармас бұрын бала дауыстап айтсын: «Белгілі сан неше процент?» Жеңілдік пен артық орындау есептерінде бұл шартта жазылған сан емес: $10%$ емес, $90%$; $18%$ емес, $118%$.

Микрокалькулятор

$25%$-і 175-ке тең санды іздейміз: 1 7 5 ÷ 2 5 % → 700. Егер калькулятордың құрылысы басқаша болса, бөлшекке бөл: $175 : 0{,}25 = 700$.

Есепті соңынан бастап шығарамыз

Егер проценттер бірнеше рет алынып, соңында қалдық белгілі болса, соңынан басына қарай жүр. Әр қадамда өзіңнен сұра: «Бұл алдыңғы шаманың неше проценті?» — да бөл. Осылай 1162, 1163, 1169-есептер шығарылады.

⚠️ Жиі кететін қате. Баға $5%$-ке өсіп, сосын $20%$-ке түсті де, 8400 тг болды. «$15%$-ке түсті» деп санауға болмайды. Жаңа баға — ескі бағаның $1{,}05 \cdot 0{,}8 = 0{,}84$ бөлігі, сондықтан ескі баға $8400 : 0{,}84 = 10,000$ тг.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Проценті бойынша санды қалай табады? Процентті бөлшекпен өрнектеп, белгілі санды сол бөлшекке бөледі. Егер санның $30%$-і 75-ке тең болса, сан $75 : 0{,}3 = 250$.
• Микрокалькуляторда проценті бойынша санды табу үшін қандай реттілікпен басу керек? $P%$-і $b$-ға тең санды табу үшін: $b$ санын теріп, «÷» басады, $P$ санын теріп, «%» басады.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1142

Проценті бойынша санды табыңдар (ауызша): 1) $1%$-і 8-ге тең; 2,6-ға тең; 2) $2%$-і 6-ға тең; 3,4-ке тең; 3) $10%$-і 0,8-ге тең; 2,2-ге тең; 4) $20%$-і 12-ге тең; 30-ға тең; 5) $25%$-і 8-ге тең; 12-ге тең; 6) $50%$-і 90-ға тең; 0,3-ке тең.

Қалай ойлаймыз. $1%$ болса — 100-ге көбейтеміз; $2%$ — 50-ге; $10%$ — 10-ға; $20%$ — 5-ке; $25%$ — 4-ке; $50%$ — 2-ге.

Шешуі.

1. 800; 260.
2. 300; 170.
3. 8; 22.
4. 60; 150.
5. 32; 48.
6. 180; 0,6.

Жауабы: шешуін қара.

A деңгейі

№ 1143

Проценті бойынша санды (100%-ін) табыңдар: 1) $3%$-і 12; 15; 21; 24; 36; 2) $10%$-і 0,4; 8,5; 9,25; 12,7; 28; 3) $60%$-і 42; 72; 84; 102; 114.

Шешуі.

1. $0{,}03$-ке бөлеміз (немесе 3-ке бөліп, 100-ге көбейтеміз): 400; 500; 700; 800; 1200.
2. 10-ға көбейтеміз: 4; 85; 92,5; 127; 280.
3. $0{,}6$-ға бөлеміз: $42 : 0{,}6 = 70$; 120; 140; 170; 190.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1144

1) Фермер 72 га жерге алма ағаштарын отырғызды. Бұл — оның барлық жерінің $40%$-і. Фермердің барлық жерінің ауданы неше гектар? 2) Мектеп кітапханасында 2890 оқулық бар. Бұл — ондағы барлық кітаптың $85%$-і. Мектеп кітапханасында барлығы неше кітап бар? 3) Сыныпта 12 қыз бар. Бұл — сыныптағы барлық оқушылардың $40%$-і. Сыныпта неше оқушы оқиды?

Шешуі.

1. $72 : 0{,}4 = 180$ га.
2. $2890 : 0{,}85 = 3400$ кітап.
3. $12 : 0{,}4 = 30$ оқушы.

Жауабы: 1) 180 га; 2) 3400 кітап; 3) 30 оқушы.

№ 1145

Шебер 295 бөлшек дайындап, жоспарды $18%$-ке артық орындады. Шебер неше бөлшек дайындауды жоспарлаған еді?

Шешуі. 295 бөлшек — жоспардың $100% + 18% = 118%$-і. $295 : 1{,}18 = 250$ бөлшек.

Жауабы: 250 бөлшек.

№ 1146

Мұздатқыштың $10%$-ке арзандатылғаннан кейінгі бағасы 72 900 тг. Мұздатқыштың арзандатылғанға дейінгі бағасы неше теңге?

Шешуі. 72 900 тг — ескі бағаның $90%$-і. $72,900 : 0{,}9 = 81,000$ тг.

Жауабы: 81 000 тг.

№ 1147

Саяхатшылар баруға тиісті $A$ пунктіне дейінгі қашықтықтың түске дейін $74%$-ін жүргенде, жүрілмеген 65 км қалды. $A$ пунктіне дейінгі қашықтық неше километр?

Шешуі.

1. Жолдың $100% - 74% = 26%$-і қалды.
2. $65 : 0{,}26 = 250$ км.

Жауабы: 250 км.

№ 1148

Сатушы сатып алған көкөністі 14 758 теңгеге сатып, $6%$ зиян шекті. Ол көкөністі неше теңгеге сатып алған?

Қалай ойлаймыз. Зиян $6%$ болса, түскен ақша жұмсалған ақшадан $6%$-ке аз. Сатып алу сомасын $100%$ деп аламыз.

Шешуі. 14 758 тг — сатып алу сомасының $94%$-і. $14,758 : 0{,}94 = 15,700$ тг.

Тексеру: $15,700 \cdot 0{,}94 = 14,758$.

Жауабы: 15 700 тг.

№ 1149

Микрокалькуляторды пайдаланып, санды табыңдар: 1) $12%$-і 10,8-ге тең; 2) $15%$-і 8,4-ке тең; 3) $40%$-і 22,4-ке тең; 4) $60%$-і 45-ке тең; 5) $110%$-і 93,5-ке тең; 6) $180%$-і 64,8-ге тең.

Қалай ойлаймыз. 5) және 6) жаттығуларына назар аудар: процент 100-ден артық, сондықтан жауап белгілі саннан кіші болады.

Шешуі.

1. $10{,}8 : 0{,}12 = 90$;
2. $8{,}4 : 0{,}15 = 56$;
3. $22{,}4 : 0{,}4 = 56$;
4. $45 : 0{,}6 = 75$;
5. $93{,}5 : 1{,}1 = 85$;
6. $64{,}8 : 1{,}8 = 36$.

Жауабы: 90; 56; 56; 75; 85; 36.

№ 1150

Осыдан 3 жыл бұрын ағасы мен қарындасының жастарының қосындысы 15 жас болды. Осыдан кейін 9 жылдан соң олардың жастарының қосындысы қанша болады?

Қалай ойлаймыз. Бір жылда әрқайсысы 1 жасқа ержетеді, ал екі жастың қосындысы 2-ге артады.

Шешуі.

1. Қазір: $15 + 3 \cdot 2 = 21$ жас.
2. 9 жылдан кейін: $21 + 9 \cdot 2 = 39$ жас.

Жауабы: 39 жас.

B деңгейі

№ 1151

Проценті бойынша шаманы табыңдар: 1) $12%$-і 18 м-ге тең; 75 м-ге тең; 2) $8%$-і 5,6 кг-ға тең; 4 кг-ға тең; 3) $15%$-і 12 см-ге тең; 2,7 см-ге тең; 4) $24%$-і 9,6 т-ға тең; 42 т-ға тең; 5) $35%$-і 21 км-ге тең; 11,2 км-ге тең; 6) $75%$-і 15 ц-ге тең; 90 ц-ге тең.

Шешуі.

1. $18 : 0{,}12 = 150$ м; $75 : 0{,}12 = 625$ м.
2. $5{,}6 : 0{,}08 = 70$ кг; $4 : 0{,}08 = 50$ кг.
3. $12 : 0{,}15 = 80$ см; $2{,}7 : 0{,}15 = 18$ см.
4. $9{,}6 : 0{,}24 = 40$ т; $42 : 0{,}24 = 175$ т.
5. $21 : 0{,}35 = 60$ км; $11{,}2 : 0{,}35 = 32$ км.
6. $15 : 0{,}75 = 20$ ц; $90 : 0{,}75 = 120$ ц.

Жауабы: шешуін қара.

№ 1152

Қандай натурал санды $40%$-ке өсіргенде ол 3,2-ге артады?

Қалай ойлаймыз. Қосымша — санның дәл сол $40%$-і.

Шешуі. 3,2 — санның $40%$-і. $3{,}2 : 0{,}4 = 8$.

Тексеру: $8 \cdot 1{,}4 = 11{,}2 = 8 + 3{,}2$.

Жауабы: 8.

№ 1153

Тік төртбұрыштың ені 6 см, бұл оның ұзындығының $75%$-індей. Тік төртбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Ұзындығы: $6 : 0{,}75 = 8$ см.
2. Ауданы: $8 \cdot 6 = 48$ см².

Жауабы: 48 см².

№ 1154

Шофер 5 күндік жоспарын $15%$-ке артық орындап, 133,4 т бидай тасыды. Шофер бір күнде жоспардан артық неше тонна бидай тасыды?

Шешуі.

1. 133,4 т — жоспардың $115%$-і. Жоспар: $133{,}4 : 1{,}15 = 116$ т (5 күнде).
2. Жоспардан артығы: $133{,}4 - 116 = 17{,}4$ т (5 күнде).
3. Бір күнде: $17{,}4 : 5 = 3{,}48$ т.

Жауабы: 3,48 т артық.

№ 1155

Теңдеулердің натурал сан түбірін бөлгіштер жұбын іріктеу тәсілімен табыңдар: $x \cdot (x + 5) = 36$; $x \cdot (x - 1) = 42$; $x \cdot (x + 1) = 56$.

Қалай ойлаймыз. Айырмасы 5 (1) болатын санның екі бөлгішін іздейміз. Бірінші және үшінші теңдеуде $x$ — кішісі, екіншісінде — үлкені.

Шешуі.

1. $36 = 4 \cdot 9$, айырмасы 5: $x = 4$.
2. $42 = 7 \cdot 6$, айырмасы 1: $x = 7$ ($7 - 1 = 6$).
3. $56 = 7 \cdot 8$, айырмасы 1: $x = 7$.

Жауабы: 4; 7; 7.

№ 1156

Автотуристер бірінші күні барлық жолдың $36%$-ін, екінші күні $39%$-ін, үшінші күні қалған 180 км жолды жүрді. Автотуристер барлығы неше километр жол жүрді?

Шешуі.

1. Үшінші күні: $100% - 36% - 39% = 25%$.
2. $180 : 0{,}25 = 720$ км.

Жауабы: 720 км.

№ 1157

Оқушының үй кітапханасындағы кітаптардың $\frac{1}{4}$-і бірінші сөреге, $40%$-і екінші сөреге қойылған. Қалған 28 кітап үшінші сөреге қойылған. Оқушының үй кітапханасында неше кітап бар?

Қалай ойлаймыз. $\frac{1}{4}$ бөлігін процентке айналдырайық, сонда бәрі бір өлшемде болады.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} = 25%$. Алғашқы екі сөреде $25% + 40% = 65%$.
2. Үшіншісінде: $35%$ — бұл 28 кітап.
3. $28 : 0{,}35 = 80$ кітап.

Жауабы: 80 кітап.

№ 1158

Құйманың $80%$-і алюминий, қалғаны мыс. Құймадағы алюминий мыстан 300 г артық. Құйманың массасы қандай?

Шешуі.

1. Мыс — $20%$. Айырмасы $80% - 20% = 60%$ — бұл 300 г.
2. $300 : 0{,}6 = 500$ г.

Жауабы: 500 г.

№ 1159

Бөлшектерді қысқартыңдар: 1) $\frac{12 \cdot 35 \cdot 72}{25 \cdot 54 \cdot 28}$; 2) $\frac{62 \cdot 5 + 62 \cdot 15}{31 \cdot 35 - 31 \cdot 15}$; 3) $\frac{5a + 6a + 7a}{24a - 15a}$.

Қалай ойлаймыз. Көбейтінділерді көбейтпейміз, бөлшектеп қысқартамыз. Қосындыларда алдымен ортақ көбейткішті жақшаның алдына шығарамыз.

Шешуі.

1. 35 пен 28-ді 7-ге қысқартамыз: $\frac{12 \cdot 5 \cdot 72}{25 \cdot 54 \cdot 4}$. 5 пен 25-ті 5-ке, 12 мен 4-ті 4-ке қысқартамыз: $\frac{3 \cdot 72}{5 \cdot 54}$. 72 мен 54-ті 18-ге қысқартамыз: $\frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5}$.
2. Ортақ көбейткіштерді шығарамыз: $\frac{62 \cdot (5 + 15)}{31 \cdot (35 - 15)} = \frac{62 \cdot 20}{31 \cdot 20} = 2$.
3. $\frac{18a}{9a} = 2$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{5}$; 2) 2; 3) 2.

C деңгейі

№ 1160

Салыстырыңдар: 1) $15%$-і 60-қа тең сан мен $60%$-і 15-ке тең санды; 2) $20%$-і 16-ға тең сан мен $16%$-і 20-ға тең санды; 3) $4%$-і 20-ға тең сан мен $8%$-і 40-қа тең санды; 4) $35%$-і 56-ға тең сан мен $56%$-і 35-ке тең санды.

Шешуі.

1. $60 : 0{,}15 = 400$; $15 : 0{,}6 = 25$. $400 > 25$.
2. $16 : 0{,}2 = 80$; $20 : 0{,}16 = 125$. $80 < 125$.
3. $20 : 0{,}04 = 500$; $40 : 0{,}08 = 500$. Сандар тең.
4. $56 : 0{,}35 = 160$; $35 : 0{,}56 = 62{,}5$. $160 > 62{,}5$.

Жауабы: 1) $400 > 25$; 2) $80 < 125$; 3) $500 = 500$; 4) $160 > 62{,}5$.

№ 1161

Берілген проценті бойынша санды табыңдар: 1) $5%$-і 12-нің $40%$-іне тең; 2) $75%$-і 80-нің $30%$-іне тең; 3) $20%$-і 72-нің $25%$-іне тең; 4) $90%$-і 240-тың $15%$-іне тең; 5) $40%$-і 320-нің $20%$-іне тең; 6) $150%$-і 25-тің $30%$-іне тең.

Қалай ойлаймыз. Екі қадам: алдымен белгілі саннан проценті (көбейтеміз), сосын проценті бойынша санды (бөлеміз) табамыз.

Шешуі.

1. $12 \cdot 0{,}4 = 4{,}8$; $4{,}8 : 0{,}05 = 96$.
2. $80 \cdot 0{,}3 = 24$; $24 : 0{,}75 = 32$.
3. $72 \cdot 0{,}25 = 18$; $18 : 0{,}2 = 90$.
4. $240 \cdot 0{,}15 = 36$; $36 : 0{,}9 = 40$.
5. $320 \cdot 0{,}2 = 64$; $64 : 0{,}4 = 160$.
6. $25 \cdot 0{,}3 = 7{,}5$; $7{,}5 : 1{,}5 = 5$.

Жауабы: 1) 96; 2) 32; 3) 90; 4) 40; 5) 160; 6) 5.

№ 1162

Қызанақтың тамыз айындағы бағасы қазан айында $25%$-ке қымбаттады, ал оның соңғы бағасы қараша айында тағы да $40%$-ке қымбаттап, 140 теңге болды. Қызанақтың тамыз айындағы бағасы неше теңге? A. 80 тг; B. 75 тг; C. 90 тг; D. 60 тг.

Қалай ойлаймыз. Соңынан бастаймыз: қарашадан қазанға, қазаннан тамызға.

Шешуі.

1. 140 тг — қазан бағасының $140%$-і: $140 : 1{,}4 = 100$ тг қазанда.
2. 100 тг — тамыз бағасының $125%$-і: $100 : 1{,}25 = 80$ тг.

Жауабы: 80 тг (A нұсқасы).

№ 1163

Тігін фабрикасы киімнің алғашқы бағасын $5%$-ке қымбаттатты да, жыл соңында $20%$-ке арзандатып, 8400 теңгеге сатты. Киімнің қымбаттатқанға дейінгі алғашқы бағасы неше теңге?

Шешуі.

1. Соңынан бастаймыз: 8400 тг — қымбаттатылған бағаның $80%$-і: $8400 : 0{,}8 = 10,500$ тг.
2. 10 500 тг — алғашқы бағаның $105%$-і: $10,500 : 1{,}05 = 10,000$ тг.

Жауабы: 10 000 тг.

№ 1164

Сатып алынған сырдың $40%$-і бірінші бөлмені, қалғанының $60%$-і екінші бөлмені сырлауға жұмсалды. Одан қалған 1,8 кг сыр үшінші бөлмені сырлауға жұмсалды. Үш бөлмені сырлауға неше килограмм сыр жұмсалды?

Қалай ойлаймыз. «Қалғанының $60%$-і» — бұл бүкіл сырдың проценті емес. Оны бүкіл сырдан алынған процентке айналдырайық.

Шешуі.

1. Бірінші бөлмеден кейін бүкіл сырдың $60%$-і қалды.
2. Екінші бөлмеге осы $60%$-тің $60%$-і кетті: $0{,}6 \cdot 60% = 36%$.
3. Үшінші бөлмеге қалғаны: $100% - 40% - 36% = 24%$ — бұл 1,8 кг.
4. Барлығы: $1{,}8 : 0{,}24 = 7{,}5$ кг.

Жауабы: 7,5 кг.

№ 1165

Күріштің $75%$-і крахмал, сұлының $60%$-ы крахмал. 9 кг күріштен алынатын крахмалды неше килограмм сұлыдан алуға болады?

Шешуі.

1. Күріштегі крахмал: $9 \cdot 0{,}75 = 6{,}75$ кг.
2. Бұл сұлы массасының $60%$-і: $6{,}75 : 0{,}6 = 11{,}25$ кг.

Жауабы: 11,25 кг.

№ 1166

Мирас 9 жаста. Бұл оның әкесінің жасының $25%$-індей. Ал әкесінің жасы атасының жасының $60%$-індей. Атасы неше жаста?

Шешуі.

1. Әкесі: $9 : 0{,}25 = 36$ жас.
2. Атасы: $36 : 0{,}6 = 60$ жас.

Жауабы: 60 жаста.

№ 1167

425 ц қант қызылшасының бір бөлігінің $19%$-і, ал қалғанының $16%$-і қант болды. Қант қызылшасынан барлығы 74 ц қант алынды. Неше центнер қант қызылшасының $19%$-і қант болды? A. 280 ц; B. 250 ц; C. 200 ц; D. 210 ц.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл қызылшадан $16%$-тен қант шықты деп елестетейік, сосын бірінші бөліктің «артық» $3%$-ін қосамыз.

Шешуі.

1. Егер бүкіл қызылшадан $16%$ қант шықса: $425 \cdot 0{,}16 = 68$ ц қант.
2. Шындығында $74 - 68 = 6$ ц артық алынды. Бұл бірінші бөліктің артық $19% - 16% = 3%$-і.
3. Бірінші бөлік: $6 : 0{,}03 = 200$ ц.

Тексеру: $200 \cdot 0{,}19 + 225 \cdot 0{,}16 = 38 + 36 = 74$ ц.

Жауабы: 200 ц (C нұсқасы).

№ 1168

Катер бірінші сағатта $A$ айлағына дейінгі қашықтықтың $30%$-ін, екінші сағатта қалған қашықтықтың $60%$-ін жүзді. Одан қалған қашықтықты соңғы үшінші сағатта жүзді. Катер екінші сағатта үшінші сағаттағыға қарағанда 7,7 км-ді артық жүзді. $A$ айлағына дейінгі қашықтық неше километр?

Шешуі.

1. Бірінші сағаттан кейінгі қалғаны: $70%$.
2. Екінші сағат: $0{,}6 \cdot 70% = 42%$. Үшінші: $70% - 42% = 28%$.
3. Айырмасы $42% - 28% = 14%$ — бұл 7,7 км.
4. Бүкіл жол: $7{,}7 : 0{,}14 = 55$ км.

Жауабы: 55 км.

№ 1169

Есепті тиімді тәсілмен шығарыңдар. Оқырман бірінші күні кітаптың $20%$-ін және 8 бетін оқыды. Екінші күні кітаптың қалған беттерінің $40%$-ін және 8 бетін оқыды. Ол үшінші күні кітаптың одан қалған беттерінің $20%$-ін оқығанда, кітаптың оқылмаған 32 беті қалды. • Кітапта барлығы неше бет болған? • Оқырман бірінші күні кітаптың неше бетін оқыды?

Қалай ойлаймыз. Ең ыңғайлы тәсіл — соңынан бастап шығару.

Шешуі.

1. Үшінші күні қалдықтың $20%$-ін оқыды, $80%$-і қалды — бұл 32 бет. Үшінші күннің алдындағы қалдық: $32 : 0{,}8 = 40$ бет.
2. Екінші күні «қалдықтың $40%$-інен» кейін $60%$-і қалды, сосын тағы 8 бет оқылды. Демек, екінші күннің алдындағы қалдықтың $60%$-і $= 40 + 8 = 48$. Қалдық: $48 : 0{,}6 = 80$ бет.
3. Бірінші күні де солай: кітаптың $80%$-і $= 80 + 8 = 88$. Кітап: $88 : 0{,}8 = 110$ бет.
4. Бірінші күні: $110 \cdot 0{,}2 + 8 = 22 + 8 = 30$ бет.

Тексеру: $110 - 30 = 80$; екінші күні $32 + 8 = 40$, қалғаны 40; үшінші күні 8, қалғаны 32.

Жауабы: кітапта барлығы 110 бет болған; бірінші күні 30 бет оқылған.

№ 1170

Амалдарды орындаңдар: 1) $\dfrac{\left(7\frac{3}{20} - 5\frac{1}{12}\right) \cdot 1{,}5}{6\frac{3}{7} \cdot 1{,}4 : 1{,}8}$; 2) $\dfrac{\left(5{,}7 : 0{,}3 - 8\frac{1}{3}\right) \cdot 0{,}75}{\left(2\frac{1}{8} + 1{,}75\right) : 15{,}5}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы мен бөлімін бөлек есептейміз, сосын біреуін екіншісіне бөлеміз.

Шешуі.

1. Алымы: $7\frac{9}{60} - 5\frac{5}{60} = 2\frac{4}{60} = 2\frac{1}{15} = \frac{31}{15}$; $\frac{31}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{31}{10} = 3{,}1$. Бөлімі: $\frac{45}{7} \cdot \frac{7}{5} = 9$; $9 : 1{,}8 = 5$. Мәні: $3{,}1 : 5 = 0{,}62$.
2. Алымы: $5{,}7 : 0{,}3 = 19$; $19 - 8\frac{1}{3} = 10\frac{2}{3} = \frac{32}{3}$; $\frac{32}{3} \cdot \frac{3}{4} = 8$. Бөлімі: $2{,}125 + 1{,}75 = 3{,}875$; $3{,}875 : 15{,}5 = 0{,}25$. Мәні: $8 : 0{,}25 = 32$.

Жауабы: 1) 0,62; 2) 32.

Жадынама

• Белгілі $b$ бөлігі және оның $P$ проценті болса, бүкіл сан: $a = b : \frac{P}{100}$.
• Санның $140%$-і 182-ге тең — сан $182 : 1{,}4 = 130$.
• Өткен сабақта — көбейтеміз, бұл сабақта — бөлеміз.
• Бірінен соң бірі бірнеше өзгеріс болса — соңынан бастаймыз, әр қадамда бөлеміз.

Шағын тест