VI тарауды қайталауға арналған жаттығулар. Проценттерге есептер

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VI тарау: Проценттер. 130–132-беттер.

Нені қайталаймыз

• Процент деген не, процентті бөлшекке және бөлшекті процентке қалай айналдырады, нені $100%$ деп алады — 6.1-тармақ (№ 1173, 1174, 1175).
• Санның проценті $b = a \cdot \frac{P}{100}$, бірнеше процентке арттыру және кеміту, қатарынан өзгерістер — 6.2-тармақ (№ 1171, 1176, 1178, 1180–1184).
• Проценті бойынша сан $a = b : \frac{P}{100}$ — 6.3-тармақ (№ 1172, 1177, 1179).

📌 Әр есептің алдында өзіңнен сұра: мұнда нені $100%$ деп аламыз? Бүкіл сан белгілі болса — көбейтеміз. Оның бөлігі белгілі болса — бөлеміз.

Жаттығу жасайық: көбейту керек пе, бөлу керек пе?

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1171

Сыныптағы 28 оқушының $75%$-і спортпен айналысады. Сыныптағы оқушылардың нешеуі спортпен айналысады?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл сан (бүкіл сынып) белгілі, бөлігін іздейміз — көбейтеміз. $75%$ — бұл төрттен үш.

Шешуі. $28 \cdot 0{,}75 = 21$.

Жауабы: 21 оқушы.

№ 1172

Сыныптағы 18 оқушы спортпен айналысады. Бұл сыныптағы оқушылардың $60%$-і. Сыныпта барлығы неше оқушы оқиды?

Қалай ойлаймыз. Енді бөлігі белгілі, ал бүкіл санды іздейміз — бөлеміз.

Шешуі. $18 : 0{,}6 = 30$.

Жауабы: 30 оқушы.

№ 1173

Алмұрт кептенде алғашқы массасының $80%$-ін жоғалтады. Жаңа терілген 30 кг алмұрттан неше килограмм кепкен алмұрт алынады?

Қалай ойлаймыз. Жоғалғаны туралы емес, қалғаны туралы сұралып тұр.

Шешуі.

1. Массаның $100% - 80% = 20%$-і қалады.
2. $30 \cdot 0{,}2 = 6$ кг.

Жауабы: 6 кг.

№ 1174

Қоланың $10%$-і қалайы, қалғаны мыс. 28 кг қоланың құрамында неше килограмм мыс бар?

Шешуі.

1. Мыс — $100% - 10% = 90%$.
2. $28 \cdot 0{,}9 = 25{,}2$ кг.

Жауабы: 25,2 кг.

№ 1175

Бірінші көбейткішті $30%$-ке арттырып, екінші көбейткішті $30%$-ке кеміткенде көбейтінді қалай өзгереді? Неше процентке өзгереді?

Қалай ойлаймыз. Ештеңе өзгермейтіндей көрінеді ме? Тексерейік! Жаңа көбейткіштер — ескілерінің $1{,}3$ және $0{,}7$ бөлігі. Демек, көбейтінді $1{,}3 \cdot 0{,}7$-ге көбейтіледі.

Шешуі.

1. $1{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}91 = 91%$.
2. $100% - 91% = 9%$.

Сандармен тексеру: $10 \cdot 10 = 100$; $13 \cdot 7 = 91$.

Жауабы: $9%$-ке кемиді.

B деңгейі

№ 1176

Заттың бағасы 760 тг: 1) егер заттың бағасы $15%$-ке қымбаттаса, оның қымбаттатылған бағасы неше теңге? 2) егер заттың бағасы $30%$-ке арзандатылса, оның арзандатылған бағасы неше теңге?

Шешуі.

1. $760 \cdot 1{,}15 = 874$ тг.
2. $760 \cdot 0{,}7 = 532$ тг.

Жауабы: 1) 874 тг; 2) 532 тг.

№ 1177

Меншікті жылдамдығы 15,3 км/сағ катер ағыс жылдамдығы 2,4 км/сағ өзенде ағыспен 2 сағ жүзді. Сонда ол $A$ және $B$ айлақтарының арақашықтығының $30%$-ін жүзіп өтті. $A$ және $B$ айлақтарының арақашықтығы неше километр? A. 120 км; B. 118 км; C. 125 км; D. 110 км.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қозғалысқа есеп, сосын — проценті бойынша санды табу.

Шешуі.

1. Ағыспен жылдамдығы: $15{,}3 + 2{,}4 = 17{,}7$ км/сағ.
2. 2 сағатта: $17{,}7 \cdot 2 = 35{,}4$ км. Бұл арақашықтықтың $30%$-і.
3. Арақашықтық: $35{,}4 : 0{,}3 = 118$ км.

Жауабы: 118 км (B нұсқасы).

№ 1178

Матаның алғашқы бағасы 600 тг. Матаның бағасы бірінші ретте $10%$-ке, екінші ретте соңғы бағасы $20%$-ке арзандады. 3 м мата соңғы бағамен неше теңге тұрады?

Шешуі.

1. Бірінші арзандатудан кейін: $600 \cdot 0{,}9 = 540$ тг.
2. Екіншіден кейін: $540 \cdot 0{,}8 = 432$ тг.
3. 3 м үшін: $432 \cdot 3 = 1296$ тг.

Жауабы: 1296 тг.

№ 1179

Автобус бірінші сағатта барлық жолдың $40%$-ін жүргенде, тағы да жүруге тиісті 90 км жол қалды. Барлық жолдың ұзындығы неше километр?

Шешуі.

1. Жолдың $60%$-і қалды — бұл 90 км.
2. $90 : 0{,}6 = 150$ км.

Жауабы: 150 км.

№ 1180

Бағасы 3750 теңгелік зат бірінші ретте $14%$-ке арзандады, екінші ретте соңғы бағасы $8%$-ке қымбаттады. Заттың соңғы бағасы неше теңге болды?

Шешуі.

1. $3750 \cdot 0{,}86 = 3225$ тг.
2. $3225 \cdot 1{,}08 = 3483$ тг.

Жауабы: 3483 тг.

⚠️ Жиі кететін қате. «$-14% + 8% = -6%$» деп санап, $3750 \cdot 0{,}94 = 3525$ тг деп жауап беру. Екінші өзгеріс жаңа баға 3225 тг-ден есептеледі, сондықтан жауап басқа.

C деңгейі

№ 1181

Қаңтар айындағы шананың бағасы 6400 тг. Оның бағасы ақпан айында $15%$-ке арзандатылып, наурыз айында соңғы бағасы тағы да $20%$-ке арзандатылды. Шананың наурыз айындағы бағасы неше теңге? Егер сен шананы наурыз айында сатып алсаң, оның қаңтар айындағы бағасына қарағанда неше теңге үнемдер едің?

Шешуі.

1. Ақпан: $6400 \cdot 0{,}85 = 5440$ тг.
2. Наурыз: $5440 \cdot 0{,}8 = 4352$ тг.
3. Үнемдеу: $6400 - 4352 = 2048$ тг.

Жауабы: наурызда 4352 тг; 2048 тг үнемдейсің.

№ 1182

Мұнай қоймасына әрқайсысы $16\frac{1}{2}$ т-дан 30 цистерна мұнай әкелінді. Бірінші күні әкелінген мұнайдың $30%$-і, екінші күні қалған мұнайдың $80%$-і сатуға жіберілді. Қоймада қанша мұнай қалды?

Қалай ойлаймыз. Екінші күні $100%$ — енді бүкіл мұнай емес, қалдық.

Шешуі.

1. Барлық мұнай: $30 \cdot 16{,}5 = 495$ т.
2. Бірінші күннен кейін $70%$ қалды: $495 \cdot 0{,}7 = 346{,}5$ т.
3. Екінші күннен кейін осының $20%$-і қалды: $346{,}5 \cdot 0{,}2 = 69{,}3$ т.

Жауабы: 69,3 т.

№ 1183

Орманшы 850 га жерге ағаш отырғызды. Оның $60%$-іне қайың, қалған жердің $70%$-іне терек, одан қалған жердің $\frac{2}{3}$-сіне қарағай отырғызды. Соңында қалған жерге жеміс ағаштарын отырғызды. Жеміс ағаштары қанша ауданға отырғызылды? A. 38 га; B. 34 га; C. 32 га; D. 35 га.

Шешуі.

1. Қайың: $850 \cdot 0{,}6 = 510$ га. Қалғаны $850 - 510 = 340$ га.
2. Терек: $340 \cdot 0{,}7 = 238$ га. Қалғаны $340 - 238 = 102$ га.
3. Қарағай: $102 \cdot \frac{2}{3} = 68$ га. Қалғаны $102 - 68 = 34$ га.

Жауабы: 34 га (B нұсқасы).

№ 1184

Банкке депозитке 3 000 000 тг салынды. Оның бір бөлігі жылдық $5%$-тік өсіммен, қалғаны $4%$-тік өсіммен салынды. Жыл соңында салынған ақша 3 138 000 тг болды. Неше теңге ақша депозитке $5%$-тік жылдық өсіммен салынды?

Қалай ойлаймыз. Барлық ақшаны $4%$-пен салдық деп елестетіп, табыстың қанша «жетпейтінін» қарайық.

Шешуі.

1. Жылдық табыс: $3,138,000 - 3,000,000 = 138,000$ тг.
2. Егер бәрі $4%$-пен жатса: $3,000,000 \cdot 0{,}04 = 120,000$ тг.
3. Артық $138,000 - 120,000 = 18,000$ тг-ні $5%$-тік салым берді: онда жыл сайын $1%$ артық түседі.
4. Осы салымның $1%$-і — 18 000 тг, бүкіл салым: $18,000 \cdot 100 = 1,800,000$ тг.

Тексеру: $1,800,000 \cdot 0{,}05 + 1,200,000 \cdot 0{,}04 = 90,000 + 48,000 = 138,000$ тг.

Жауабы: 1 800 000 тг.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Бәрі бірдей деп елестетіп, айырмасын табайық» тәсілі 1167-есепте де кездеседі. Бала қиналса, қарапайым мысал қарастырыңыз: 5 және 10 теңгелік 10 тиын, барлығы 70 тг. Егер бәрі 5 теңгелік болса — 50 тг. Артық 20 тг-ні 10 теңгелік тиындар береді, әрқайсысы 5-ке артық, демек олар 4 дана.