7.1. Бұрыш. Бұрыштың градустық өлшемі

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VII тарау: Бұрыштар. Көпбұрыштар. 133–137-беттер.

Нені үйренесің

• Бұрышты танып білуді: бір нүктеден шығатын екі сәуле.
• Бұрышты дұрыс атауды: төбесі ортада тұратындай етіп, $\angle AOB$.
• Градус деген не екенін және жазыңқы бұрыштың неге $180^\circ$ болатынын түсінуді.
• Бұрышты биссектрисамен тең екіге бөлуді.
• Басқа бұрыштарды қосып, азайту арқылы бұрышты табуды.

Ой қозғау

• Сынып тақтасының неше бұрышы бар? Ал төртбұрышты үстелдің ше? Екеуінде де 4-тен.
• $O$ нүктесін қойып, одан екі сәуле жүргіз. Не шықты? Бұрыш! Оның екі қабырғасы (бұл сәулелер) және бір төбесі ($O$ нүктесі) бар.
• Екі бұрышты салыстыруға бола ма? Болады: бір бұрыш «кеңірек», екіншісі «тарырақ». Оларды қалай салыстыруды және өлшеуді осы және келесі сабақтарда білесің.

Тақырыпты талдаймыз

Бұрыш — бір нүктеден шығатын екі сәуле

Қайшыны ашып қара. Екі жүзі бір бұрандадан шығады: міне, бұрыш. Математикада жүздердің орнында — сәулелер, ал бұранданың орнында — төбе.

$O$ нүктесін қойып, $OA$ және $OB$ сәулелерін жүргіз. $OA$ және $OB$ сәулелері — бұрыштың қабырғалары, ал $O$ нүктесі — оның төбесі.

💡 Бұрыштың қабырғалары — кесінді емес, сәулелер. Суретте біз оларды қысқа етіп саламыз, бірақ ойша олар шексіз алысқа кетеді.

Бұрышты қалай атаймыз да, адаспаймыз

«Бұрыш» сөзінің орнына $\angle$ белгісін жазады. Екі тәсіл бар:

1. Үш әріппен: $\angle AOB$. Бірінші әріп — бір қабырғадағы нүкте, ортаңғысы — төбесі, соңғысы — екінші қабырғадағы нүкте. $\angle BOA$ — сол бұрыштың өзі.
2. Төбесіндегі бір әріппен: $\angle O$. Мұндай жазуға төбеден тек екі сәуле шыққанда ғана болады.

⚠️ Жиі кететін қате. $\angle OAB$ деп жазып, төбені бірінші қояды. Бірақ бұл мүлде басқа бұрыш: оның төбесі $A$ нүктесінде! Ереже қарапайым: төбе әрқашан ортада тұрады.

Бұрыштың «ашықтығын» немен өлшейміз

Бұрышты өзің бұра: қозғалатын сәуледегі дөңгелекшеден тарт. Санның қалай өзгеретінін қара.

Байқадың ба? Сәулелердің ұзындығы өзгермейді, ал бұрыш өседі. Демек, бұрышты ұзындықпен емес, қабырғалары қаншалықты кең ашылғанымен өлшейді.

Жазыңқы бұрыш және градус

Түзуде $O$ нүктесін қой. Ол түзуді қарама-қарсы жаққа қараған екі сәулеге бөледі. Мұндай сәулелерді толықтауыш сәулелер деп атайды, ал олардың арасындағы бұрышты — жазыңқы бұрыш дейді. Ол ашылып, үстелге жайылып жатқан кітапқа ұқсайды.

Енді басты құпия. Жазыңқы бұрышты ойша 180 бірдей кішкентай бөлікке бөлейік. Сондай бір бөлік — бір градус, оны $1^\circ$ деп жазады.

📌 Жазыңқы бұрыш $180^\circ$-қа тең. Бұрыштың градустармен өрнектелген шамасын градустық өлшем дейді: мысалы, $\angle AOB = 60^\circ$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Кітапты ашып, үстелге жайып қойыңыз — бұл $180^\circ$. Жартылай жабыңыз — шамамен $90^\circ$. Осылай бала бұрыштың — қабырғалар арасындағы «ашықтық» екенін, ал олардың ұзындығы емес екенін сезінеді.

Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі

Досыңмен әділ бөлісуге тиіс торттың бір кесегін елестет. Төбесінен жүргізілген, бұрышты екі тең бөлікке бөлетін кесік биссектриса деп аталады. Сөз латыннан шыққан: bis — екіге, seco — қиюшы.

Мысалы, $\angle EOK = 52^\circ$, ал $OF$ — биссектриса. Сонда $\angle EOF = \angle FOK = 52^\circ : 2 = 26^\circ$.

Керісінше де болады: егер жартысы $30^\circ$ болса, бүкіл бұрыш $30^\circ \cdot 2 = 60^\circ$.

Бұрыштар торт кесектеріндей қосылады

$B$ нүктесінен үш сәуле шығады: $BA$, $BD$ және $BC$, және $BD$ — ортасында. Сонда үлкен бұрыш екі кішкентай бұрыштан тұрады:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$.

Егер $\angle ABD = 55^\circ$ және $\angle DBC = 30^\circ$ болса, онда $\angle ABC = 55^\circ + 30^\circ = 85^\circ$. Ал белгісіз бөлікті азайту арқылы табады: $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$.

⚠️ Жиі кететін қате. Суретте нүктесі бар түзуді көріп, онда $180^\circ$-тық жазыңқы бұрыш «жасырынып» тұрғанын ұмытады. Түзудің бір жағындағы барлық бұрыштар бірігіп $180^\circ$ береді.

Циферблаттың құпиясы

Сағат циферблаты — тұтас шеңбер, $360^\circ$. Көрші сандардың арасы (мысалы, 12 мен 1) — $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Минуттық тіл бір минутта $360^\circ : 60 = 6^\circ$ жүреді. Ал сағаттық тіл бір сағатта $30^\circ$ жүреді, яғни бір минутта тек $30^\circ : 60 = 0{,}5^\circ$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бұрыш деген не? Оны қалай белгілейді? Бір нүктеден шығатын екі сәуле. Үш әріппен, төбесі ортада ($\angle AOB$), немесе төбесіндегі бір әріппен ($\angle O$) жазады.
• Бұрыштың қабырғалары деп, төбесі деп нені айтады? Қабырғалары — бұрышты құрайтын сәулелер. Төбесі — олардың ортақ бастауы.
• Бұрыштың өлшем бірлігі қалай аталады? Градус ($1^\circ$).
• Биссектриса дегеніміз не? Бұрыштың төбесінен басталып, оны өзара тең екі бұрышқа бөлетін сәуле.
• Қандай бұрыш жазыңқы бұрыш деп аталады? Қабырғалары толықтауыш сәулелер болатын бұрыш: олар бір түзуде жатады және қарама-қарсы жаққа қарайды. Ол $180^\circ$-қа тең.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1185

7.5-суретте $NOP$ бұрышы, $A$, $B$, $C$, $D$ және $E$ нүктелері кескінделген. $NOP$ бұрышына тиісті нүктелерді, тиісті емес нүктелерді атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Суретке қараймыз: $A$ және $B$ нүктелері боялған бөліктің ішінде, $C$ нүктесі — дәл $OP$ қабырғасында, ал $D$ және $E$ — сыртта.

Шешуі. Нүкте бұрышқа тиісті болады, егер ол ішінде немесе қабырғасында жатса. $A$, $B$ және $C$ сәйкес келеді. $D$ және $E$ нүктелері тиісті емес.

Жауабы: бұрышқа тиісті (ішінде немесе қабырғасында жатқан) нүктелер — $A$, $B$, $C$; тиісті емес нүктелер — $D$ және $E$.

A деңгейі

№ 1186

7.6-суретте кескінделген бұрыштарды оқып, белгіленуімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрыштың төбесін тауып, оның әрпін жазудың ортасына қой.

Шешуі.

1. Төбесі $O$, қабырғалары $OA$ және $OB$: $\angle AOB$ (немесе $\angle O$). Тік бұрышқа ұқсайды.
2. Төбесі $O$, қабырғалары $OD$ және $OE$: $\angle DOE$ (немесе $\angle O$). Сүйір.
3. Төбесі $L$, қабырғалары $LK$ және $LN$: $\angle KLN$ (немесе $\angle L$). Доғал.

Жауабы: $\angle AOB$, $\angle DOE$, $\angle KLN$.

№ 1187

$PS$ және $ST$ сәулелерін толықтауыш сәулелер түрінде кескіндеңдер. Жазыңқы бұрышты белгілеп, оның төбесін, қабырғаларын көрсетіп жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Толықтауыш сәулелер бір нүктеден шығып, бір түзуде қарама-қарсы жаққа жатады. Ортақ бастауы — $S$ нүктесі, ал сәулелер — $SP$ және $ST$ болсын.

Шешуі.

1. Түзу жүргізіп, оған $S$ нүктесін белгіле.
2. $S$-тің сол жағына $P$ нүктесін, оң жағына $T$ нүктесін қой.
3. $SP$ және $ST$ сәулелері — толықтауыш сәулелер. Олар бірге $PST$ жазыңқы бұрышын береді.

Жауабы: жазыңқы бұрыш $\angle PST = 180^\circ$; төбесі — $S$ нүктесі; қабырғалары — $SP$ және $ST$ сәулелері.

№ 1188

$AB$, $AC$ және $AD$ сәулелерін сызыңдар. Пайда болған үш бұрышты белгіленулерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш сәуле де $A$ нүктесінен шығады, демек $A$ — әр бұрыштың төбесі. Сәулелердің жұптарын санап шығу қалды.

Шешуі. Жұптар: $AB$ және $AC$; $AC$ және $AD$; $AB$ және $AD$.

Жауабы: $\angle BAC$, $\angle CAD$, $\angle BAD$.

№ 1189

7.7, а, ә-суреттегі $DOF$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар: а) $O$ нүктесі $EF$ түзуінде, $\angle DOE = 40^\circ$; ә) $O$ нүктесінен $OD$, $ON$, $OK$, $OF$ сәулелері шығады, және $\angle DON = 40^\circ$, $\angle NOK = 50^\circ$, $\angle KOF = 20^\circ$.

Қалай ойлаймыз. а) тармағында жазыңқы бұрыш — $EF$ түзуі жасырынған. ә) тармағында үлкен бұрыш үш бөліктен құралған.

Шешуі.

• а) $\angle EOF = 180^\circ$. $OD$ сәулесі оны екі бөлікке бөледі: $\angle DOF = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
• ә) Бөліктерді қосамыз: $\angle DOF = 40^\circ + 50^\circ + 20^\circ = 110^\circ$.

Жауабы: а) $140^\circ$; ә) $110^\circ$.

№ 1190

1) $OC$ сәулесі $AOB$ бұрышының биссектрисасы және $\angle AOC = 45^\circ$. $AOB$ бұрышының (7.8-сурет) градустық өлшемін табыңдар. 2) Берілген бұрыштың биссектрисасы оның қабырғасымен $35^\circ$ құрайды. Берілген бұрыш неше градус?

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі. Жартысын білсең — 2-ге көбейт.

Шешуі.

1. $\angle AOB = 45^\circ \cdot 2 = 90^\circ$.
2. $35^\circ \cdot 2 = 70^\circ$.

Жауабы: 1) $90^\circ$; 2) $70^\circ$.

B деңгейі

№ 1191

Сағат 6-ны көрсеткенде оның сағаттық тілі мен минуттық тілі неше градус бұрышпен орналасады? Ол бұрыш қалай аталады?

Қалай ойлаймыз. Минуттық тіл 12-ге, сағаттық тіл 6-ға қарайды. Олардың арасындағы аралықтарды санайық.

Шешуі. Тілдер бір түзуде қарама-қарсы жаққа қарап жатыр. 12-ден 6-ға дейін $30^\circ$-тан 6 аралық: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$.

Жауабы: $180^\circ$, жазыңқы бұрыш.

№ 1192

(Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңдар.) $MOK$ бұрышы $120^\circ$-қа тең (7.9-сурет), оның ішінен $OD$ сәулесі жүргізілген. $MOD$ бұрышы $DOK$ бұрышынан $50^\circ$ үлкен. $DOK$ бұрышы неше градус?

Қалай ойлаймыз. Екі бөлік бірге $120^\circ$ береді, және бірі екіншісінен $50^\circ$ үлкен. Бұл теңдеу құруды сұрап тұр.

Шешуі.

1. $\angle DOK = x^\circ$ болсын. Сонда $\angle MOD = (x + 50)^\circ$.
2. Бірге олар $\angle MOK$-ны береді: $x + x + 50 = 120$.
3. $2x = 70$, $x = 35$.

Тексеру: $\angle MOD = 85^\circ$; $85^\circ + 35^\circ = 120^\circ$, ал $85^\circ - 35^\circ = 50^\circ$. Бәрі сәйкес келеді.

Жауабы: $\angle DOK = 35^\circ$.

№ 1193

7.10-суреттегі $\angle EOP = 110^\circ$ және $\angle NOF = 130^\circ$. $NOP$ бұрышының градустық өлшемі неше градус?

Қалай ойлаймыз. $EOF$ бұрышы — жазыңқы. Шеткі бөліктерді табамыз, ал ортаңғысы — $180^\circ$-тан қалғаны.

Шешуі.

1. $\angle POF = 180^\circ - \angle EOP = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. $\angle EON = 180^\circ - \angle NOF = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
3. $\angle NOP = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

Одан қысқа жол бар. $EOP$ және $NOF$ бұрыштары бірге бүкіл жазыңқы бұрышты жауып тұр, ал $NOP$ бұрышы екеуіне де кіріп кеткен — екі рет есептелген. Сондықтан $\angle NOP = 110^\circ + 130^\circ - 180^\circ = 60^\circ$.

Жауабы: $\angle NOP = 60^\circ$.

№ 1194

$\angle EOF = 90^\circ$. $OD$ сәулесі $EOF$ бұрышын $EOD$ және $DOF$ бұрыштарына бөледі (7.11-сурет). $EOD$ бұрышының градустық өлшемі $DOF$ бұрышынан 2 есе кем. $EOD$ бұрышы, $DOF$ бұрышы неше градус?

Қалай ойлаймыз. Кішкентай бөлік — бір үлес, үлкені — екі үлес. $90^\circ$-қа барлығы үш тең үлес.

Шешуі.

1. $\angle EOD = x^\circ$ болсын, сонда $\angle DOF = 2x^\circ$.
2. $x + 2x = 90$, $3x = 90$, $x = 30$.
3. $\angle DOF = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Жауабы: $\angle EOD = 30^\circ$, $\angle DOF = 60^\circ$.

№ 1195

7.12-суретте кескінделген $\angle EOD = 80^\circ$, ал $\angle AOE = \angle DOB$. $AOE$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жазыңқы бұрыш үш бөлікке бөлінген. Ортаңғысы белгілі, ал екі шеткісі — егіздер.

Шешуі.

1. $\angle AOB = 180^\circ$. $EOD$ бұрышын алып тастағанда $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ қалады.
2. Бұл $100^\circ$-ты $\angle AOE$ мен $\angle DOB$ арасында тең бөлеміз: $100^\circ : 2 = 50^\circ$.

Жауабы: $\angle AOE = 50^\circ$.

C деңгейі

№ 1196

Бөлмедегі сағат қазір 1 сағ 25 минутты көрсетіп тұр. Сағаттың сағаттық тілі мен минуттық тілі арасындағы бұрыш неше градус?

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Айласы мынада: сағаттық тіл де баяу жылжиды, сондықтан 1:25-те ол дәл «1»-де тұрмайды. Әр тілді 12 санынан бастап санаймыз.

Шешуі.

1. Минуттық тіл 25 минутта: 12-ден $25 \cdot 6^\circ = 150^\circ$.
2. Сағаттық тіл 1 сағатта $30^\circ$ жүрді, 25 минутта тағы $25 \cdot 0{,}5^\circ = 12{,}5^\circ$. Барлығы 12-ден $42{,}5^\circ$.
3. Тілдердің арасы: $150^\circ - 42{,}5^\circ = 107{,}5^\circ$.

Жауабы: $107{,}5^\circ$.

№ 1197

7.13-суреттегі $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle BOC = 70^\circ$. $AOB$ бұрышының биссектрисасы мен $BOC$ бұрышының биссектрисасының арасындағы бұрыштың градустық өлшемін табыңдар. A. $55^\circ$; B. $48^\circ$; C. $60^\circ$; D. $65^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Әр биссектриса ортақ $OB$ қабырғасынан өз бұрышының жартысын қиып алады.

Шешуі.

1. $AOB$ бұрышының биссектрисасы $OB$-дан $50^\circ : 2 = 25^\circ$ қашықтықта.
2. $BOC$ бұрышының биссектрисасы — екінші жаққа $70^\circ : 2 = 35^\circ$ қашықтықта.
3. Биссектрисалардың арасы: $25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$.

Әдемі: бұл бүкіл $AOC$ бұрышының дәл жартысы: $(50^\circ + 70^\circ) : 2 = 60^\circ$.

Жауабы: C. $60^\circ$.

№ 1198

7.14-суретте $\angle AOB = 110^\circ$ және $OC$, $OD$ сәулелері кескінделген ($OB$-дан бастап: $OD$, сосын $OC$, сосын $OA$). $\angle AOD = 80^\circ$, $\angle COB = 50^\circ$. $COD$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AOD$ және $COB$ бұрыштары бір-бірінің үстіне түседі: екеуінің ішінде де $COD$ бұрышы бар.

Шешуі.

1. $\angle AOD + \angle COB = 80^\circ + 50^\circ = 130^\circ$.
2. Бұл бүкіл $AOB$ бұрышынан дәл $\angle COD$-ға артық, өйткені оны екі рет есептедік: $\angle COD = 130^\circ - 110^\circ = 20^\circ$.

Тексеру: $\angle AOC = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$, $\angle DOB = 50^\circ - 20^\circ = 30^\circ$; $60^\circ + 20^\circ + 30^\circ = 110^\circ$. Дұрыс.

Жауабы: $\angle COD = 20^\circ$.

№ 1199

$DOB$ бұрышының градустық өлшемі $AOB$ бұрышының градустық өлшемінің $25%$-іне тең (7.15-сурет). $EOD$ бұрышы $DOB$ бұрышынан $15^\circ$ артық. $AOE$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $\angle AOB$ — жазыңқы бұрыш, ал $25%$ — төрттен бір.

Шешуі.

1. $\angle AOB = 180^\circ$.
2. $\angle DOB = 180^\circ : 4 = 45^\circ$.
3. $\angle EOD = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$.
4. $\angle AOE = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

Жауабы: $\angle AOE = 75^\circ$.

Жадынама

• Бұрыш — ортақ бастауы бар екі сәуле. Сәулелер — қабырғалары, бастауы — төбесі.
• $\angle AOB$ жазуында төбесі — ортаңғы әріп.
• Жазыңқы бұрыш $180^\circ$-қа тең; $1^\circ$ — оның $\frac{1}{180}$ бөлігі.
• Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі.
• Егер сәуле бұрыштың ішінде жатса, үлкен бұрыш екі бөліктің қосындысына тең.

Шағын тест