7.2. Транспортир. Бұрыштарды өлшеу, бұрыштарды салу

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VII тарау: Бұрыштар. Көпбұрыштар. 139–142-беттер.

Нені үйренесің

• Транспортирдің құрылысын түсінуді: $0^\circ$-тан $180^\circ$-қа дейінгі шкаласы бар жарты шеңбер және оның центрі.
• Бұрышты өлшеп, дұрыс сандар қатарын таңдауды.
• Қажетті шамадағы бұрышты салуды: $30^\circ$, $45^\circ$, $140^\circ$ — кез келгенін.
• Сағат тілдерінің арасындағы бұрыштарды табуды.

Ой қозғау

• $EOD$ бұрышын өлше: $OD$ қабырғасы оңға, $OE$ қабырғасы жоғары және сәл солға қарайды. Бұрыш тік бұрыштан сәл үлкен. Транспортирдің центрін $O$ нүктесіне, нөлді $OD$ сәулесіне қой. $90^\circ$-тан біраз артық шығуы керек (шамамен $105^\circ$).
• $\angle ABC = 80^\circ$ бұрышын қалай салады? $BA$ сәулесін жүргіз. Транспортирдің центрін $B$ нүктесіне, нөлді $BA$ сәулесіне қой. Сол қатардан $80$-ді тауып, $C$ нүктесін белгіле де, $BC$ сәулесін жүргіз. Бұрыш сүйір: тік бұрышқа $10^\circ$ жетпейді.

Тақырыпты талдаймыз

Транспортир қалай жасалған

Транспортир — сызғыш пен жарты шеңбер. Жарты шеңберде $0^\circ$-тан $180^\circ$-қа дейінгі шкала бар. Ең ұсақ бөлігі — $1^\circ$, $5^\circ$-тық бөліктер ұзынырақ, ал әрбір $10^\circ$ сайын сандар тұр.

Сызғышта жарты шеңбердің центрін көрсететін кішкентай сызық (штрих) бар. Оны әрқашан бұрыштың төбесіне қояды.

💡 Шкалада сандардың екі қатары бар: біреуі $0$-ден $180$-ге дейін солдан оңға, екіншісі — оңнан солға қарай жүреді. Осылай оңға да, солға да ашылған бұрыштарды өлшеуге болады.

Бұрышты 4 қадаммен өлшейміз

$\angle AOB$ бұрышын өлшеу керек болсын.

1. Транспортирдің центрін $O$ төбесіне қой.
2. Транспортирді нөл сызығы $OA$ қабырғасында жататындай етіп бұр.
3. Екінші $OB$ қабырғасы қай штрихтан өтетінін қара. Санақты нөл $OA$ қабырғасында тұрған қатар бойынша жүргіз.
4. Жауабын жаз, мысалы: $\angle AOB = 60^\circ$.

Егер қабырғасы қысқа болып, шкалаға жетпесе, оны сызғышпен ұзарт.

⚠️ Жиі кететін қате. Дұрыс емес қатарды оқып, $60^\circ$ орнына $120^\circ$ деп жазады. $60$ және $120$ сандары бір штрихта тұр! Шамалау құтқарады: сүйір бұрыш (дәптер бұрышынан тарырақ) $90^\circ$-тан кіші, доғал бұрыш — үлкен.

Бұрышты өзіміз саламыз

$\angle ABC = 120^\circ$ бұрышын салу керек болсын.

1. $BA$ сәулесін жүргіз.
2. Транспортирді қой: центрі — $B$ нүктесінде, нөл сызығы — $BA$ сәулесі бойында.
3. Нөл $BA$-да тұрған қатардан $120$-ны тауып, штрихтың қасына $C$ нүктесін қой.
4. Транспортирді алып тастап, $BC$ сәулесін жүргіз.

Доғал $ABC = 120^\circ$ бұрышы шықты. Енді өзің байқап көр: қозғалатын сәулені тарт:

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан бір сәуледен $40^\circ$ бұрыш, сосын $140^\circ$ бұрыш сызуын сұраңыз. Егер екеуі де «көзбен» бірдей шықса, бала екі рет бір қатарды оқыған. Неліктен $140^\circ$ — доғал бұрыш екенін өзі түсіндіріп берсін.

Бұрыштар сағатта жасырынған

Тілдің толық айналымы — $360^\circ$. Циферблаттағы көрші сандардың арасы — $30^\circ$. 15 минутта (айналымның төрттен бірінде) минуттық тіл $90^\circ$-қа бұрылады, жарты сағатта — $180^\circ$-қа.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Транспортир не үшін қажет? Бұрыштарды өлшеу және қажетті шамадағы бұрыштарды салу үшін.
• Транспортирдің шкаласы неше бөлікке бөлінген? $1^\circ$-тан 180 бөлікке.
• Транспортирді пайдаланып, бұрыштың градустық өлшемі қалай табылады? Центрін төбеге, шкаланың нөлін бір қабырғаға қою; екінші қабырға сол қатар бойынша шамасын көрсетеді.
• Транспортирді пайдаланып, градустық өлшемі берілген бұрышты қалай салуға болады? Сәуле жүргізіп, транспортирді центрімен сәуленің басына, нөлімен сәуле бойына қою, қажетті санның қасына нүкте қойып, ол арқылы екінші сәуле жүргізу.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1200

Есептеңдер (ауызша): төрт тізбек: 7, 9, 5 немесе 6 санынан бастап, амалдарды кезекпен орындаңдар, әрқайсысын алдыңғы нәтижеге қолданыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді бірден ондық бөлшекке айналдырған ыңғайлы: $\frac{3}{5} = 0{,}6$, $\frac{4}{5} = 0{,}8$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $2\frac{1}{2} = 2{,}5$.

Шешуі.

Жауабы: 12; 5; 4,2; 2.

A деңгейі

№ 1201

7.20-суретте кескінделген бұрыштарды транспортирмен өлшеп, градустық өлшемдерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрышты бір ережемен өлшейміз: центр — төбеде, нөл — көлденең қабырғада, екінші қабырғадағы штрихты оқимыз. Алдымен шамала: сүйір ме, тік пе, доғал ма?

Шешуі.

1. $\angle ABC$: $BC$ қабырғасы солға, $BA$ — солға жоғары қарайды. Бұрыш сүйір, шамамен $30^\circ$.
2. $\angle DOE$: $OD$ қабырғасы оңға, $OE$ — солға жоғары қарайды. Бұрыш доғал, $90^\circ$-тан үлкен, шамамен $125^\circ$; нөл $OD$-да тұрған қатар бойынша оқимыз.
3. $\angle EOF$: қабырғалары жоғары және оңға қарайды — тік бұрыш, $90^\circ$.

Жауабы: 1) шамамен $30^\circ$; 2) доғал бұрыш, шамамен $125^\circ$; 3) $90^\circ$.

№ 1202

1) Дәптерге $AOB$ бұрышын салыңдар. Транспортирмен оның градустық өлшемін табыңдар. Өлшеу нәтижесін белгілеп жазыңдар. 2) Транспортирді пайдаланып, дәптерге мына бұрыштарды салыңдар: $\angle AOB = 30^\circ$; $\angle DEF = 45^\circ$; $\angle KLN = 140^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Әрқашан бірдей саламыз: бірінші сәуле, центрі төбеде және нөлі сәуле бойында жататын транспортир, қажетті санның қасындағы нүкте, екінші сәуле.

Шешуі.

1. $O$ нүктесінен кез келген екі $OA$ және $OB$ сәулелерін жүргізіп, бұрышты өлше. Мысалы, $\angle AOB = 65^\circ$ — әркімде өз саны болады.
2. Төбеден бірінші сәулені жүргіз ($OA$, $ED$, $LK$), транспортирді қойып, $30$, $45$ немесе $140$ санының қасына нүкте белгіле. Екінші сәулені жүргіз.
   • $\angle AOB = 30^\circ$ — тар сүйір бұрыш;
   • $\angle DEF = 45^\circ$ — тік бұрыштың жартысы;
   • $\angle KLN = 140^\circ$ — доғал, жазыңқы бұрышқа дейін $40^\circ$ жетпейді.

Жауабы: $30^\circ$, $45^\circ$, $140^\circ$ бұрыштары салынды; әрқайсысын қайта өлшеп тексеріңдер.

№ 1203

Градустық өлшемі $120^\circ$-қа тең $DOE$ бұрышын салыңдар. $OF$ және $OL$ сәулелерімен $DOE$ бұрышын градустық өлшемдері тең үш бұрышқа бөліңдер. $FOL$ бұрышын градустық өлшемімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $120^\circ$-тан үш тең бөлік — әрқайсысы $120^\circ : 3$. Ал салуға бір сәуледен бастаған ыңғайлы: $40^\circ$, $80^\circ$, $120^\circ$.

Шешуі.

1. Үш бұрыштың әрқайсысы: $120^\circ : 3 = 40^\circ$.
2. $OD$ сәулесін сыз. Транспортирмен одан $40^\circ$ ($OF$ сәулесі), $80^\circ$ ($OL$ сәулесі) және $120^\circ$ ($OE$ сәулесі) белгіле.
3. $\angle FOL$ — ортаңғы бөлік: $80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$.

Жауабы: $\angle FOL = 40^\circ$.

№ 1204

Транспортирді пайдаланып, 7.21-суретте кескінделген $ABC$ үшбұрышының әрбір бұрышының градустық өлшемін табыңдар. $ABC$ үшбұрышының барлық бұрыштарының қосындысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрышты жеке өлшейміз: транспортирдің центрі — оның төбесінде. Үшбұрыштың қабырғалары — бұрыштың қабырғалары.

Шешуі. Суретте $A$ бұрышы тіктен сәл кем (шамамен $87^\circ$), $B$ бұрышы кішкентай сүйір (шамамен $25^\circ$), $C$ бұрышы сүйір (шамамен $68^\circ$). Өлшеп, қос. $180^\circ$ шығуы керек — немесе оған өте жақын, мысалы $179^\circ$ немесе $181^\circ$: транспортир өте дәл емес.

🌟 Бұл кездейсоқтық емес! Кез келген үшбұрыштың — кішкентай, үлкен, қисық — бұрыштарының қосындысы әрқашан $180^\circ$. Үш түрлі үшбұрышта тексер.

Жауабы: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Бұл кез келген үшбұрыш үшін дұрыс.

№ 1205

Жұлдызшалардың орындарына теңдік тура болатындай тиісті сандарды қойып жазыңдар: 1) $\frac{7}{} - \frac{}{4} = \frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{} + \frac{3}{} - \frac{4}{5} = \frac{1}{2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектер жауаптың бөліміне оңай келетіндей етіп бөлімдерін іріктейміз.

Шешуі.

1. Жауаптың бөлімі 8. $\frac{7}{8}$ деп көрейік: $\frac{7}{8} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Демек, $\frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$. Цифрлармен басқа нұсқа жоқ.
2. Алдымен алғашқы екі бөлшектің қосындысын табамыз: $\frac{1}{2} + \frac{4}{5} = \frac{5}{10} + \frac{8}{10} = \frac{13}{10}$. $\frac{7}{} + \frac{3}{} = \frac{13}{10}$ болуы керек. $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} = \frac{7}{10} + \frac{6}{10} = \frac{13}{10}$ сәйкес келеді. Мұндағы бірінші «жұлдызша» — 10 саны: тек бір таңбалы сандармен теңдік шықпайды.

2. тармағын тексеру: $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{7}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Дұрыс.

Жауабы: 1) $\frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$; 2) $\frac{7}{10} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{2}$.

B деңгейі

№ 1206

Сағат 2-ні көрсетіп тұр. Егер минуттық тіл $90^\circ$-қа, $180^\circ$-қа бұрылса, сағат қай уақытты көрсетеді (7.22-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Минуттық тіл бір минутта $6^\circ$-қа бұрылады. Қажетті бұрылысқа неше минут «сыятынын» тапсақ болғаны.

Шешуі.

1. $90^\circ : 6^\circ = 15$ минут. Уақыт 2 сағ 15 мин.
2. $180^\circ : 6^\circ = 30$ минут. Уақыт 2 сағ 30 мин.

Жауабы: 1) 2 сағ 15 мин; 2) 2 сағ 30 мин.

№ 1207

$\angle AOB = 87^\circ$. Осы бұрыштың ішінен $OC$ сәулесі жүргізілген. $\angle BOC = 52^\circ$ болса, $AOC$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар. Дәптерге есептің шартына сәйкес суретін салыңдар.

Шешуі.

1. Сурет: $\angle AOB = 87^\circ$ бұрышын сал, ал $OB$ сәулесінен ішке қарай $52^\circ$ қой — бұл $OC$ сәулесі.
2. $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 87^\circ - 52^\circ = 35^\circ$.

Жауабы: $\angle AOC = 35^\circ$.

№ 1208

7.23-суретте кескінделген $KOL$, $KON$ және $NOL$ бұрыштарын өлшеңдер. Мұндағы $\angle KOL - \angle KON = \angle NOL$ теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бүтін минус бір бөлік — бұл екінші бөлік. $\angle KOL$ — бүтін екенін көру қалды.

Шешуі.

1. $\angle KOL$ — тік және көлденең сәулелердің арасында, ол $90^\circ$.
2. $\angle KON$ және $\angle NOL$ бұрыштарын өлше. Суретте шамамен $\angle KON = 54^\circ$ болса, онда $\angle NOL = 36^\circ$ шығуы керек.
3. Неге әрқашан солай: $ON$ сәулесі $\angle KOL$ ішінде жатыр және оны екі бөлікке бөледі. Демек, $\angle KOL = \angle KON + \angle NOL$. Бір бөлікті алып таста — екіншісі қалады: $\angle KOL - \angle KON = \angle NOL$.

Жауабы: $\angle KOL = 90^\circ$; $\angle KON + \angle NOL = 90^\circ$, сондықтан теңдік орындалады.

№ 1209

Қай тұжырымдама дұрыс? 1) Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғасының ұзындығына тәуелді. 2) Бұрышты градустық өлшемдері тең екі бұрышқа бөлетін сәуле биссектриса деп аталады. 3) Бұрыштың қабырғалары — сәулелер. 4) Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғасының ұзындығына тәуелді емес. 5) Бұрыштың қабырғалары — кесінділер.

Шешуі.

1. Қате. Қабырғаларын ұзарт — бұрыш өзгермейді.
2. Дұрыс. Биссектриса дегеніміз осы.
3. Дұрыс. Бұрыштың қабырғалары — сәулелер.
4. Дұрыс. 1-тармақты жоққа шығаратыны осы.
5. Қате. Қабырғалары — сәулелер, кесінділер емес.

Жауабы: 2, 3, 4-тұжырымдар дұрыс.

№ 1210

7.24-суретте кескінделген $ABCD$ төртбұрышының әрбір бұрышының градустық өлшемдерін транспортирмен өлшеп табыңдар. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$ қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрышты өлшейміз, транспортирдің центрін төбеге қоямыз. 1204-есептегі кеңес: төртбұрышты екі үшбұрышқа бөлуге болады.

Шешуі. Суретте $A$ бұрышы шамамен $64^\circ$, $B$ — шамамен $114^\circ$, $C$ мен $D$ — тік бұрышқа жақын (шамамен $89^\circ$ және $93^\circ$). Төрт нәтижені қоссаң, $360^\circ$ шығуы керек (кішкентай қателікпен).

Неге $360^\circ$: $AC$ диагоналі төртбұрышты екі үшбұрышқа бөледі, ал әр үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы $180^\circ$. $180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.

Жауабы: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

№ 1211

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $2(x + 7) + 4x$, мұндағы $x = 5$; 2) $9(3 - y) + 15$, мұндағы $y = 2$; 3) $1{,}5(y + 9) + 3{,}5$, мұндағы $y = 4$; 4) $\frac{3}{4}(x - 6) + 2$, мұндағы $x = 8$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз, ұқсас қосылғыштарды жинаймыз, сосын санды қоямыз.

Шешуі.

1. $2(x + 7) + 4x = 2x + 14 + 4x = 6x + 14$; $x = 5$ болғанда: $30 + 14 = 44$.
2. $9(3 - y) + 15 = 27 - 9y + 15 = 42 - 9y$; $y = 2$ болғанда: $42 - 18 = 24$.
3. $1{,}5(y + 9) + 3{,}5 = 1{,}5y + 13{,}5 + 3{,}5 = 1{,}5y + 17$; $y = 4$ болғанда: $6 + 17 = 23$.
4. $\frac{3}{4}(x - 6) + 2 = \frac{3}{4}x - 4{,}5 + 2 = \frac{3}{4}x - 2{,}5$; $x = 8$ болғанда: $6 - 2{,}5 = 3{,}5$.

Жауабы: 1) 44; 2) 24; 3) 23; 4) 3,5.

C деңгейі

№ 1212

7.25-сурет бойынша: $EOK$, $KOL$, $LON$, $NOF$ бұрыштарының градустық өлшемдерін белгіленуімен жазыңдар. Мұндағы $\angle EOK + \angle KOL + \angle LON + \angle NOF = 180^\circ$ теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Транспортир керек қалпында жатыр: центрі $O$ нүктесінде, сызғыш $EF$ бойында. Нөл $OE$ сәулесінде тұрған қатар бойынша оқимыз. Әр бұрыш — көрші белгілердің айырмасы.

Шешуі.

1. Сәулелердің белгілерін $OE$-ден бастап қатар бойынша жаз: $OK$ — $k$ саны, $OL$ — $l$ саны, $ON$ — $n$ саны, $OF$ — $180$.
2. Сонда $\angle EOK = k$, $\angle KOL = l - k$, $\angle LON = n - l$, $\angle NOF = 180 - n$.
3. Қосамыз: $k + (l - k) + (n - l) + (180 - n) = 180$. Барлық аралық сандар қысқарып кетті.

Міне, дәлелдеу: төрт бұрыш бірге $EOF$ жазыңқы бұрышын толтырады, ал ол $180^\circ$-қа тең.

Суретте шамамен: $\angle EOK \approx 35^\circ$, $\angle KOL \approx 35^\circ$, $\angle LON \approx 70^\circ$, $\angle NOF \approx 40^\circ$; қосындысы $180^\circ$.

Жауабы: төрт бұрыштың қосындысы $180^\circ$-қа тең; бұрыштардың өздері — суреттегі белгілер бойынша.

№ 1213

Өзара қиылысатын $a$ және $b$ түзулері жүргізілген (7.26-сурет). Транспортирді пайданып, $\angle 1$-тің градустық өлшемін өлшеп табыңдар. $\angle 2$, $\angle 3$ және $\angle 4$ бұрыштардың градустық өлшемдерін есептеп табыңдар. Қай бұрыштардың градустық өлшемдері тең?

Қалай ойлаймыз. Қиылысатын түзулердің екі көрші бұрышы бірге жазыңқы бұрыш, яғни $180^\circ$ береді. Біреуін өлшесек жеткілікті, қалғандарын есептеп шығарамыз.

Шешуі.

1. Транспортирмен $\angle 1$-ді өлше. Ол сүйір, шамамен $60^\circ$.
2. 1 және 2 бұрыштары $a$ түзуінде көршілес: $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$.
3. 2 және 3 бұрыштары $b$ түзуінде көршілес: $\angle 3 = 180^\circ - \angle 2 = \angle 1$.
4. 3 және 4 бұрыштары $a$ түзуінде көршілес: $\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = \angle 2$.

Мысалы, егер $\angle 1 = 60^\circ$ болса, онда $\angle 2 = 120^\circ$, $\angle 3 = 60^\circ$, $\angle 4 = 120^\circ$.

Жауабы: $\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$, $\angle 3 = \angle 1$, $\angle 4 = \angle 2$; тең жұптар: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$.

№ 1214

Тілдердің арасындағы бұрышты табыңдар: 1) сағат 9-дан 10 минут өткенде (A. $145^\circ$; B. $150^\circ$; C. $130^\circ$; D. $125^\circ$); 2) сағат 10-нан 34 минут өткенде (A. $145^\circ$; B. $113^\circ$; C. $160^\circ$; D. $135^\circ$).

Қалай ойлаймыз. Күрделілігі жоғары есеп. Әр тілді 12-ден сағат тілінің бағытымен санаймыз. Минуттық тіл: минутына $6^\circ$. Сағаттық тіл: әр сағатына $30^\circ$ және әр минутына тағы $0{,}5^\circ$.

Шешуі.

1. 9 сағат 10 минут.
   • Минуттық тіл: $10 \cdot 6^\circ = 60^\circ$.
   • Сағаттық тіл: $9 \cdot 30^\circ + 10 \cdot 0{,}5^\circ = 270^\circ + 5^\circ = 275^\circ$.
   • Айырмасы: $275^\circ - 60^\circ = 215^\circ$. Бұл $180^\circ$-тан үлкен, сондықтан екінші жағынан аламыз: $360^\circ - 215^\circ = 145^\circ$.
2. 10 сағат 34 минут.
   • Минуттық тіл: $34 \cdot 6^\circ = 204^\circ$.
   • Сағаттық тіл: $10 \cdot 30^\circ + 34 \cdot 0{,}5^\circ = 300^\circ + 17^\circ = 317^\circ$.
   • Айырмасы: $317^\circ - 204^\circ = 113^\circ$.

Жауабы: 1) A. $145^\circ$; 2) B. $113^\circ$.

№ 1215

Ұзындығы 480 м пойыз бағдаршамның тұсынан 32 секундта, ал көпірден 52 секундта өтті. Көпірдің ұзындығы неше метр? A. 400 м; B. 350 м; C. 300 м; D. 380 м.

Қалай ойлаймыз. Бағдаршамның тұсынан өткенде пойыз өз ұзындығына тең жолды жүреді. Ал көпірден өткенде — көпірдің ұзындығын қосқан өз ұзындығын: бастың көпірге кіргенінен соңғы вагонның шыққанына дейін.

Шешуі.

1. Пойыздың жылдамдығы: $480 : 32 = 15$ м/с.
2. 52 секундта пойыз $15 \cdot 52 = 780$ м жүреді.
3. Көпірдің ұзындығы: $780 - 480 = 300$ м.

Жауабы: C. 300 м.

Жадынама

• Транспортирдің центрі — бұрыштың төбесінде, нөл сызығы — бір қабырғаның бойында.
• Нөл осы қабырғада жатқан қатарды оқимыз.
• Шамалау: сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші, доғал бұрыш — үлкен.
• Бұрыш салу үшін сәуле жүргізіп, қажетті санның қасына нүкте белгілеп, екінші сәуле жүргіземіз.
• Сағатта: көрші сандардың арасы $30^\circ$; минуттық тіл — минутына $6^\circ$, сағаттық тіл — минутына $0{,}5^\circ$.

Шағын тест