7.3. Бұрыштарды салыстыру. Бұрыштардың түрлері. Үшбұрышты сызғыш

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VII тарау: Бұрыштар. Көпбұрыштар. 143–149-беттер.

Нені үйренесің

• Бұрыштарды салыстыруды: беттестіру арқылы және градустары бойынша.
• Сүйір, тік, доғал, жазыңқы және толық бұрыштарды ажырата білуді.
• Үшбұрышты сызғышпен тік бұрыш салуды.
• Жанында тік, жазыңқы немесе толық бұрыш болса, белгісіз бұрышты табуды.

Ой қозғау

• Үш бұрышты өлше. $\angle AOB$ шаршымен белгіленген — бұл $90^\circ$. $\angle EKD$ бұрышының $KE$ қабырғасы солға, $KD$ қабырғасы оңға жоғары қарайды, демек бұрыш доғал ($90^\circ$-тан үлкен), шамамен $130^\circ$. $\angle NOF$ — сүйір ($90^\circ$-тан кіші), шамамен $33^\circ$. Нақты сандарды транспортир көрсетеді.
• Оларды салыстыр. $\angle AOB < \angle EKD$; $\angle AOB > \angle NOF$.
• Қайсысы тік бұрыштан үлкен, қайсысы кіші? $AOB$ бұрышынан үлкені — $EKD$ бұрышы, кішісі — $NOF$ бұрышы.

Тақырыпты талдаймыз

Қай бұрыштың үлкен екенін қалай білеміз

Екі тәсіл бар.

Беттестіру арқылы. Бір бұрышты калькаға көшір де, көшірмесін екінші бұрыштың үстіне қой: төбесі төбесіне, қабырғасы қабырғасына. Екінші қабырғаға қара:

• сәйкес келсе — бұрыштар тең;
• көшірме екінші бұрыштың ішіне кіріп кетсе — көшірілген бұрыш кіші.

Градустары бойынша. Екі бұрышты да өлше. Градусы көп болғаны — үлкен. Мысалы, $\angle AOB = 30^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, демек $\angle AOB < \angle AOC$.

Сызбада тең бұрыштар бірдей санды доғалармен белгіленеді: екеуінде де біреуден немесе екеуінде де екеуден.

⚠️ Жиі кететін қате. Қабырғалары ұзынырақ немесе доғасы үлкенірек бұрышты үлкен деп ойлайды. Олай емес! Бұрыштың шамасы тек қабырғалардың қаншалықты ашылғанына байланысты.

Бұрыштардың бес «мінезі»

Жазыңқы бұрышты қабырғалары беттесетіндей етіп қағазда екіге бүк. Бүктеген сызық $180^\circ$-ты $90^\circ$-тан екі тең бөлікке бөледі. Әрқайсысы — тік бұрыш. Сызбада оны шаршымен белгілейді.

Енді барлық бұрыштар сөреге қойылғандай болады. Сәулені бұрып, жазудың қалай өзгеретінін қара:

Толық бұрыш — бұл екі жазыңқы бұрыш, түзудің үстінде және астында: $180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$. Нүктенің айналасындағы бүкіл шеңбер.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. «Бұрыш тап» ойынын ойнаңыз: бала бөлмеден тік бұрышты (үстелдің, кітаптың бұрышы), сүйір бұрышты (ашылған қайшы), доғал бұрышты (жартылай ашылған жиналмалы орындықтың арқалығы) көрсетсін. Транспортирсіз тік бұрышты немен тексеруге болатынын сұраңыз: қағаздың бұрышымен немесе үшбұрышты сызғышпен.

⚠️ Жиі кететін қате. Жазыңқы бұрышты да доғал бұрыштарға жатқызады, өйткені ол да тік бұрыштан үлкен. Бірақ доғал бұрыш $180^\circ$-тан кіші. Жазыңқы бұрыш — жеке түр.

Үшбұрышты сызғыш — тез тік бұрыш

Үшбұрышты сызғыштың бір бұрышы тік. Онымен тік бұрышты бір сәтте саласың.

$OD$ қабырғасы бар тік бұрышты былай саламыз:

1. Үшбұрышты қой: тік бұрыштың төбесі — $O$ нүктесінде, бір қабырғасы — $OD$ сәулесі бойында.
2. Қарындашпен екінші қабырғасы бойымен $OC$ сәулесін жүргіз.

Дайын: $\angle COD = 90^\circ$.

Суреттегі «кеңестері» бар есептерді қалай шығарамыз

Шаршы — онда $90^\circ$. Қабырғалары бір түзуде — $180^\circ$. Бұрыштар нүктенің айналасындағы бүкіл шеңберді толтырса — $360^\circ$. Одан әрі белгісіз бұрышты қосу немесе азайту арқылы табамыз.

Мысал: $\angle AOE = 110^\circ$ — доғал, $\angle BOE = 90^\circ$ — тік, $\angle DOE = 30^\circ$ — сүйір. Және бірден көрінеді: $\angle DOE < \angle BOE < \angle AOE$.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай бұрыш тік бұрыш деп аталады? Онда неше градус бар? Жазыңқы бұрыштың жартысына тең бұрыш; онда $90^\circ$ бар.
• Қандай бұрыш доғал бұрыш деп аталады? Градустық өлшемі $90^\circ$-тан артық, бірақ $180^\circ$-тан кем бұрыш.
• Қандай бұрыш сүйір бұрыш деп аталады? Градустық өлшемі $90^\circ$-тан кем бұрыш.
• Қандай бұрыштар тең бұрыштар деп аталады? Бір-бірімен беттесетін бұрыштар; олардың градустық өлшемдері де тең.
• Өз бетіңше орында: суреттегі $\angle PKN$, $\angle AOB$ және $\angle DEF$ бұрыштарын салыстыр. $\angle PKN = 40^\circ$ (сүйір), $\angle AOB = 90^\circ$ (тік), $\angle DEF = 110^\circ$ (доғал). Сондықтан $\angle PKN < \angle AOB < \angle DEF$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1216

1) 7.34-суреттегі тік бұрышты, доғал бұрышты, сүйір бұрышты атаңдар. 2) Градустық өлшемін өздеріңше таңдап алып, сүйір бұрыш, доғал бұрыш салып, оларды градустық өлшемдерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тік бұрышты шаршысынан немесе «жоғары және оңға» қарағанынан танисың. Сүйір бұрыш — дәптер бұрышынан тарырақ, доғал — кеңірек.

Шешуі.

1. $\angle AOB$ — қабырғалары жоғары және оңға қарайды, бұл — тік бұрыш. $\angle CFN$ — сәулелер оңға жоғары және оңға төмен тар ашылады, бұл — сүйір бұрыш. $\angle PNK$ — бір сәуле солға, екіншісі оңға жоғары, бұл — доғал бұрыш.
2. Мысалы, $\angle ABC = 50^\circ$ (сүйір, $90^\circ$-тан кіші) және $\angle MNK = 130^\circ$ (доғал, $90^\circ$-тан үлкен, $180^\circ$-тан кіші) салыңдар. Транспортирмен 7.2-сабақтағыдай саламыз.

Жауабы: 1) тік — $\angle AOB$, сүйір — $\angle CFN$, доғал — $\angle PNK$; 2) әркімде өз бұрыштары болады, сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші, доғал — $90^\circ$-тан $180^\circ$-қа дейін.

№ 1217

Калькаңы немесе түссіз пленканы пайдаланып, беттестіру әдісімен 7.35-суреттен тең бұрыштарды табыңдар. Тең бұрыштарды теңдік белгісімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір бұрышты калькаға көшіріп, қалғандарына қойып көр: төбесі төбесіне, қабырғасы қабырғасына. Немесе алтауын да транспортирмен өлшеуге болады.

Шешуі. Суретте: $\angle AOB$ және $\angle XYZ$ — сүйір, шамамен $55^\circ$; $\angle KLM$ және $\angle NRS$ — доғал, шамамен $110^\circ$. $\angle DEF$ (шамамен $50^\circ$) және $\angle PQR$ (шамамен $40^\circ$) бұрыштарының жұбы жоқ.

Жауабы: $\angle AOB = \angle XYZ$; $\angle KLM = \angle NRS$.

№ 1218

1) Үшбұрышты сызғышты пайдаланып, $AOB$ тік бұрышын салыңдар. Оның $OC$ биссектрисасын жүргізіңдер. $AOC$ бұрышы неше градус? 2) $EOK$ жазыңқы бұрышын салып, оның $OF$ биссектрисасын жүргізіңдер. $EOF$ бұрышы неше градус? Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны қандай бұрыштарға бөледі?

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі: $90^\circ$-ты және $180^\circ$-ты 2-ге бөлеміз.

Шешуі.

1. Үшбұрышты сызғышпен $AOB$ тік бұрышын сал. Биссектрисаны транспортирмен жүргіз: $OA$-дан $45$ санын белгіле. $\angle AOC = 90^\circ : 2 = 45^\circ$.
2. Түзу жүргізіп, оған $O$ нүктесін және ұштары $E$ мен $K$ нүктелерін белгіле. Биссектриса $180^\circ$-ты тең екіге бөледі: $\angle EOF = 180^\circ : 2 = 90^\circ$. $EOF$ және $FOK$ бұрыштарының екеуі де — тік бұрыштар. Мұндай биссектрисаны үшбұрышты сызғышпен де салуға болады.

Жауабы: 1) $\angle AOC = 45^\circ$; 2) $\angle EOF = 90^\circ$, екі тік бұрыш шықты. Қорытынды: жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны екі тік бұрышқа бөледі.

№ 1219

7.36-суреттегі $AOB$ бұрышы — жазыңқы бұрыш. $\angle AOC = 50^\circ$. $COB$ бұрышы неше градус? $COB$ бұрышымен: 1) $AOC$ бұрышын; 2) $AOB$ бұрышын салыстырыңдар.

Шешуі.

1. $\angle COB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
2. $50^\circ < 130^\circ$, демек $\angle AOC < \angle COB$.
3. $180^\circ > 130^\circ$, демек $\angle AOB > \angle COB$.

Жауабы: $\angle COB = 130^\circ$; 1) $\angle AOC < \angle COB$; 2) $\angle AOB > \angle COB$.

B деңгейі

№ 1220

Сағаттың минуттық тілі мен сағаттық тілі қандай бұрыш жасайды: сағат 3-те; 4-те; 6-да (7.37-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Минуттық тіл дәл сағатта 12-де тұрады. Сағаттық тілге дейінгі аралықтарды санаймыз: әрқайсысы $30^\circ$.

Шешуі.

• 3 сағат: үш аралық, $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ — тік бұрыш.
• 4 сағат: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ — доғал бұрыш.
• 6 сағат: $6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$ — жазыңқы бұрыш.

Жауабы: 3 сағатта — тік ($90^\circ$), 4 сағатта — доғал ($120^\circ$), 6 сағатта — жазыңқы ($180^\circ$).

№ 1221

Калькаңы немесе түссіз пленканы пайдаланып, немесе көзбен 7.38-суреттегі бұрыштарды салыстырыңдар. Нәтижесін теңсіздік белгілерімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең тар бұрыштың көшірмесін қалғандарына қой немесе үшеуін де транспортирмен өлше.

Шешуі. Суретте ең тар бұрыш — төбесі $E$ болатыны (шамамен $30^\circ$), одан кейін төбесі $D$ болатыны (шамамен $37^\circ$), ең кеңі — төбесі $A$ болатыны (шамамен $40^\circ$).

Жауабы: $\angle E < \angle D < \angle A$ (немесе $\angle A > \angle D > \angle E$).

№ 1222

$EFK$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар. 1) 7.39, а-суреттегі $EFN$ бұрышы — тік бұрыш. $\angle KFN = 55^\circ$. 2) 7.39, ә-суреттегі $PFK$ бұрышының градустық өлшемі $115^\circ$. $PFE$ бұрышы — тік бұрыш.

Қалай ойлаймыз. «Бүтін» бұрышты және белгілі бөлікті іздейміз. 1) тармағында бүтін — тік бұрыш, 2) тармағында бүтін — $115^\circ$, ал тік бұрыш — оның бөлігі.

Шешуі.

1. $EFN$ тік бұрышы $\angle EFK$ және $\angle KFN$ бұрыштарынан тұрады: $\angle EFK = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
2. $PFK$ бұрышы $\angle PFE$ тік бұрышынан және $\angle EFK$ бұрышынан тұрады: $\angle EFK = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ$.

Жауабы: 1) $35^\circ$; 2) $25^\circ$.

№ 1223

$DBE$ бұрышының градустық өлшемін табыңдар. 1) 7.40, а-суреттегі $ABC$ бұрышы — тік бұрыш; 2) 7.40, ә-суреттегі $CBD$ бұрышы — тік бұрыш. Суретті дәптерге көшіріп салыңдар.

Қалай ойлаймыз. 1) тармағында бүтін — үш бөліктен тұратын тік бұрыш. 2) тармағында бүтін — жазыңқы бұрыш, ол да үш бөліктен тұрады.

Шешуі.

1. Тік бұрыш үш бөлікке бөлінген ($\angle ABD = 25^\circ$, $\angle EBC = 40^\circ$): $\angle DBE = 90^\circ - 25^\circ - 40^\circ = 25^\circ$.
2. $ABE$ бұрышы жазыңқы, ол да үш бөліктен тұрады ($\angle ABC = 25^\circ$, $\angle CBD = 90^\circ$): $\angle DBE = 180^\circ - 25^\circ - 90^\circ = 65^\circ$.

1. суреті: үшбұрышты сызғышпен $ABC$ тік бұрышын сал, $BA$-дан транспортирмен $25^\circ$ (оны $BD$ сәулесі), $BC$-дан $40^\circ$ ($BE$ сәулесі) қой. 2) суреті: $AE$ түзуін және оған $B$ нүктесін белгіле, $BA$-дан $25^\circ$ ($BC$ сәулесі) қой, сосын $BC$-дан үшбұрышты сызғышпен тік бұрыш ($BD$ сәулесі) сал.

Жауабы: 1) $\angle DBE = 25^\circ$; 2) $\angle DBE = 65^\circ$.

№ 1224

Қай тұжырымдама дұрыс? 1) Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны бір сүйір бұрышқа және бір доғал бұрышқа бөледі. 2) Кез келген сүйір бұрыш кез келген доғал бұрыштан кіші. 3) Кез келген екі сәуле бұрыш деп аталатын фигураны құрайды. 4) Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны екі тік бұрышқа бөледі. 5) Бұрыш — бір нүктеден басталатын екі сәуледен құралған фигура.

Шешуі.

1. Қате. Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны $90^\circ$-тан екі тең бұрышқа бөледі, сүйір және доғал бұрышқа емес.
2. Дұрыс. Сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші, доғал бұрыш $90^\circ$-тан үлкен.
3. Қате. Сәулелердің ортақ бастауы болуы керек.
4. Дұрыс. $180^\circ : 2 = 90^\circ$.
5. Дұрыс. Бұрышқа осылай анықтама береді.

Жауабы: 2, 4, 5-тұжырымдар дұрыс.

№ 1225

Ұлу биіктігі 11 м бағанмен күндіз 3 метрге көтеріліп, түнде 2 метрге төмен түседі. Ұлу нешінші күні және оның қай мезгілінде баған төбесіне жетеді?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Тәулігіне ұлу $3 - 2 = 1$ м көтеріледі. Бірақ соңғы күні ол төбеге күндіз жетеді — сонда төмен түсудің қажеті жоқ. Көпшілігі «11-ші күні» деп жауап беріп, қақпанға түседі.

Шешуі.

1. Әр таңда ұлу өткен тәулік санына тең биіктікте болады: 2-ші күні таңертең — 1 м, 3-ші күні таңертең — 2 м, …, 9-шы күні таңертең — 8 м.
2. 9-шы күні ол 3 м көтеріледі: $8 + 3 = 11$ м. Бұл — төбе!
3. 8-ші күнді тексерейік: таңертең 7 м, күндіз $7 + 3 = 10$ м — төбеге әлі жетпейді.

Жауабы: 9-шы күні, күндіз.

C деңгейі

№ 1226

7.41-суретте төбесі шеңбердің центрі болатын толық бұрыш $AOB$, $BOC$ және $AOC$ бұрыштарына бөлінген. Мұндағы $\angle AOB + \angle BOC = 220^\circ$; $\angle BOC + \angle AOC = 290^\circ$. $AOB$, $BOC$ және $AOC$ бұрыштарының әрқайсысының градустық өлшемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш бұрыш бірге толық бұрыш болады, $360^\circ$. Екеуінің қосындысын білсең, үшіншісі — қалғаны.

Шешуі.

1. $\angle AOC = 360^\circ - (\angle AOB + \angle BOC) = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.
2. $\angle AOB = 360^\circ - (\angle BOC + \angle AOC) = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.
3. $\angle BOC = 220^\circ - 70^\circ = 150^\circ$.

Тексеру: $70^\circ + 150^\circ + 140^\circ = 360^\circ$. Дұрыс.

Жауабы: $\angle AOB = 70^\circ$, $\angle BOC = 150^\circ$, $\angle AOC = 140^\circ$.

№ 1227

$\angle EKF = 120^\circ$. $EKF$ бұрышының ішінен $KL$ және $KN$ сәулелері жүргізілген. $KN$ сәулесі — $LKF$ бұрышының биссектрисасы. Егер $NKF$ бұрышы $37^\circ$ болса, $EKL$ бұрышы неше градус? A. $48^\circ$; B. $46^\circ$; C. $42^\circ$; D. $53^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бүкіл $LKF$ бұрышын табуға көмектеседі, ал $120^\circ$-тан қалғаны — ізделген бұрыш.

Шешуі.

1. $\angle LKF = 37^\circ \cdot 2 = 74^\circ$.
2. $\angle EKL = 120^\circ - 74^\circ = 46^\circ$.

Жауабы: B. $46^\circ$.

№ 1228

$OC$ сәулесі — $AOB$ жазыңқы бұрышының биссектрисасы (7.42-сурет). $EOF$ бұрышы — тік бұрыш. $\angle EOC = 30^\circ$. $AOE$, $COF$ және $FOB$ бұрыштарының градустық өлшемдерін табыңдар. Тең бұрыштарды тауып, теңдік белгісімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны екі тік бұрышқа бөледі: $\angle AOC = \angle COB = 90^\circ$. Суреттегі сәулелер ретімен жүреді: $OA$, $OE$, $OC$, $OF$, $OB$.

Шешуі.

1. $\angle AOE = \angle AOC - \angle EOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. $\angle COF = \angle EOF - \angle EOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
3. $\angle FOB = \angle COB - \angle COF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Тексеру: $60^\circ + 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 180^\circ$. Дұрыс.

Жауабы: $\angle AOE = 60^\circ$, $\angle COF = 60^\circ$, $\angle FOB = 30^\circ$. Тең бұрыштар: $\angle AOE = \angle COF$, $\angle EOC = \angle FOB$.

№ 1229

7.43-суреттегі $OE$ сәулесі — $AOB$ бұрышының, ал $OK$ сәулесі — $AOC$ бұрышының биссектрисалары, $\angle AOE = 65^\circ$, $\angle KOE = 90^\circ$. $BOD$ және $KOD$ бұрыштарының градустық өлшемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AD$ және $BC$ түзулері $O$ нүктесінде қиылысады, әр түзу — $180^\circ$-тық жазыңқы бұрыш. Ал биссектрисалар бүтін бұрыштарды жартыларына қарай табуға көмектеседі.

Шешуі.

1. $\angle AOB = 65^\circ \cdot 2 = 130^\circ$.
2. $OA$ және $OD$ сәулелері жазыңқы бұрыш береді. $\angle BOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
3. $OB$ және $OC$ сәулелері де жазыңқы бұрыш береді. $\angle AOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
4. $OK$ — биссектриса: $\angle AOK = 50^\circ : 2 = 25^\circ$. (Тексеру: $\angle KOE = 25^\circ + 65^\circ = 90^\circ$ — шартқа сәйкес.)
5. $\angle KOD = \angle KOC + \angle COD = 25^\circ + 130^\circ = 155^\circ$ (өйткені $\angle COD = \angle AOB = 130^\circ$).

Жауабы: $\angle BOD = 50^\circ$, $\angle KOD = 155^\circ$.

№ 1230

Теңдеудің шешімін табыңдар: 1) $a : (8 + 5x) = 6$, мұндағы $a = 108$; 2) $18 \cdot (b - 7x) = 90$, мұндағы $b = 40$; 3) $(3x + c) : 14 = 5$, мұндағы $c = 58$.

Қалай ойлаймыз. Санды қой да, белгісіз компонентті іздеу: бөлгішті, көбейткішті немесе бөлінгішті. Жақшаны бір «терезе» деп есепте.

Шешуі.

1. $108 : (8 + 5x) = 6$. Бөлгіш: $8 + 5x = 108 : 6 = 18$. $5x = 10$, $x = 2$.
2. $18 \cdot (40 - 7x) = 90$. Көбейткіш: $40 - 7x = 90 : 18 = 5$. $7x = 35$, $x = 5$.
3. $(3x + 58) : 14 = 5$. Бөлінгіш: $3x + 58 = 5 \cdot 14 = 70$. $3x = 12$, $x = 4$.

Жауабы: 1) 2; 2) 5; 3) 4.

Жадынама

• Тең бұрыштар беттескенде сәйкес келеді және градустық өлшемі бірдей.
• Градусы көп бұрыш үлкен; қабырғаларының ұзындығы роль атқармайды.
• Сүйір < $90^\circ$; тік = $90^\circ$; доғал — $90^\circ$-тан $180^\circ$-қа дейін; жазыңқы = $180^\circ$; толық = $360^\circ$.
• Тік бұрышты үшбұрышты сызғышпен немесе транспортирмен салады.
• Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны екі тік бұрышқа бөледі.

Шағын тест