8.1. Шеңбер. Дөңгелек

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VIII тарау: Диаграммалар. 157–161-беттер.

Нені үйренесің

• Циркульмен қажетті радиусы бар шеңбер сызуды.
• Шеңберді (сызықты) дөңгелектен (жазықтықтың бөлігінен) ажыратуды.
• Радиус пен диаметрді бір-бірі арқылы табуды: $D = 2R$.
• Нүкте қайда жатқанын: шеңбердің бойында ма, дөңгелектің ішінде ме, әлде сыртында ма — анықтауды.
• Екі шеңбер қалай орналаса алатынын түсінуді.

Ой қозғау

Төрт фигураға қара, әрқайсысының ішінде бір нүкте бар: $A$ — центрі $O$ болатын шеңбер, $B$ — $E$ нүктесі бар алтыбұрыш, $C$ — центрі $K$ болатын боялған дөңгелек, $D$ — $L$ нүктесі бар тік төртбұрыш.

• Қай фигураның барлық нүктелері белгіленген нүктеден бірдей қашықтықта жатыр? Тек $A$ шеңберінің. Алтыбұрыш пен тік төртбұрыштың төбелері қабырғаларының ортасынан гөрі центрден алыс.
• $A$ фигурасының $C$ фигурасынан айырмашылығы неде? $A$ — тек сызық, ал $C$ — сызық пен оның ішіндегі боялған бөліктің бәрі (бұл — дөңгелек).
• $A$ фигурасының $B$ және $D$ фигураларынан айырмашылығы неде? $A$ — бұрыштары жоқ қисық сызық, оның барлық нүктелері центрден бірдей қашықтықта. $B$ мен $D$ — кесінділерден тұратын, төбелері бар көпбұрыштар.

Тақырыпты талдаймыз

Циркуль шеңбер сызады

Циркульдің инесін $O$ нүктесіне қой да, ашасын өзгертпей, қарындашты толық бір айналдыр. Тұйық сызық шығады — шеңбер. Оның әр нүктесі $O$-дан бірдей қашықтықта тұр — циркульдің ашасындай.

📌 Шеңбер — жазықтықтың бір нүктеден — центрден — бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелері.

Шеңбер жазықтықты екі бөлікке бөледі: ішкі және сыртқы аймақтарға.

Радиус және диаметр

Радиус $R$ — центрден шеңбердің кез келген нүктесіне дейінгі кесінді. Бір шеңбердің барлық радиустары тең: бұл — циркульдің ашасы.

Диаметр $D$ — центр арқылы өтетін, шеңбердің бір шетінен екінші шетіне дейінгі кесінді. Ол екі радиустан тұрады:

$D = 2R$, $R = D : 2$.

$R = 15$ мм болса, $D = 30$ мм. $D = 8$ см болса, $R = 4$ см.

⚠️ Жиі кететін қате. Есепте радиус пен диаметрді шатастыру. Радиус — центрден шетіне дейін. Диаметр — центр арқылы бір шетінен екінші шетіне дейін. Тексеру: диаметр әрқашан екі есе ұзын.

Білезік пен тиын

Дөңгелек — шеңбер мен оның ішіндегі барлық нәрсе. Шеңбер — білезік сияқты, дөңгелек — тиын сияқты. Центрі, радиусы және диаметрі олар үшін ортақ. Кез келген диаметр дөңгелекті екі тең жарты дөңгелекке бөледі.

Екі шеңбер (екі дөңгелек) бір-біріне салғанда беттессе, олар тең болады. Бұл радиустары тең болғанда болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Сұраңыз: «Центр шеңберге тиісті ме? Ал дөңгелекке ше?» Дұрысы: шеңберге — жоқ (центр сызықта жатпайды), дөңгелекке — иә. Бұл сұрақ баланың айырмашылықты түсінген-түсінбегенін жақсы көрсетеді.

Нүкте қайда жатыр?

Нүктеден центрге дейінгі қашықтықты радиуспен салыстыр:

• $R$-ге тең — нүкте шеңбердің бойында (және дөңгелектің де құрамында);
• $R$-ден кіші — дөңгелектің ішінде;
• $R$-ден үлкен — дөңгелектің сыртында.

Доға

Екі нүкте шеңберді екі бөлікке бөледі. Әр бөлік — доға, оның екі ұшы бар. «Доға» сөзінің орнына белгі жазады: $\cup AB$. Екі әріппен әдетте екі доғаның кішісін атайды. Доғалар мен шеңберлер айналамызда жиі кездеседі: сағат циферблатының жиегі, доңғалақтың жиегі, таразы шкаласы.

Екі шеңбер: кездесе ме, жоқ па

Радиустары $R_1$ және $R_2$, центрлерінің арақашықтығы $d$:

• $d$ саны $R_1 + R_2$-ден үлкен — шеңберлердің ортақ нүктесі жоқ, бірі екіншісінің сыртында жатады;
• $d = R_1 + R_2$ — сырттай бір нүктеде жанасады;
• $d$ саны $R_1 + R_2$-ден кіші (бірақ центрлері тым жақын емес) — екі нүктеде қиылысады.

💡 Доңғалақ бір айналғанда өзінің сыртқы шеңберінің ұзындығындай жол жүреді. Демек, айналым саны $=$ жол $:$ шеңбердің ұзындығы.

Уақытты да еске түсірейік

1 тәулік $= 24$ сағат, 1 сағат $= 60$ минут, 1 минут $= 60$ секунд, 1 сағат $= 3600$ секунд. Жер бір тәулікте өз осінен бір рет айналады, бір жылда Күнді бір рет айналады.

🌟 Бір жыл шамамен 365 тәулік 6 сағатқа созылады. 4 жылда «артық» сағаттар тұтас бір тәулікке жиналады. Сондықтан жыл ретін көрсететін сан 4-ке бөлінетін жыл — кібісе жыл: онда 366 күн, ал ақпан айында 29 күн болады.

Тарихи мәліметтер

«Дөңгелек» ұғымы алғаш рет ежелгі гректерде қалыптасқан. «Диаметр» сөзі латынның diametros — «көлденеңдік» сөзінен алынған. Үнділер мен вавилондықтар дөңгелектің ең негізгі элементі радиус деп есептеген. Радиус латынның radius — «доңғалақтың сым шабағы» сөзінен шыққан.

🌟 Қазақтың тұрмыс-тіршілігінде де шеңбер мен дөңгелек тәрізді нәрселер кең қолданылған: түрлі әшекейлік бұйымдар және киіз үй. Киіз үйдің толық құрылысы шеңбер мен дөңгелек тәрізді фигуралардан құралған. Киіз үйдің табаны дөңгелек болса, керегелерінің жиегі доға пішіндес болғандықтан, шеңбер жасайды. Шаңырақтың жиегі де шеңбер тәрізді. Киіз үйдің шеңбер бойымен керілген керегелеріне уықтары байланады да, уықтарының бір ұшы шаңырақтағы ұяшықтарға бекітіледі. Киіз үй — шеңбер мен дөңгелектерден тұратын қазақтың ұлттық өнерінің ерекшелігін бейнелейтін құрылыс.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай фигура шеңбер деп аталады? Жазықтықтың бір нүктеден — центрден — бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелері.
• Қандай кесінді шеңбердің радиусы деп аталады? Диаметрі ше? Радиус — центрден шеңбердің нүктесіне дейінгі кесінді. Диаметр — шеңбердің екі нүктесін қосатын, центр арқылы өтетін кесінді.
• Диаметр радиустан неше есе ұзын? 2 есе: $D = 2R$.
• Дөңгелек деген не? Шеңбер мен оның ішіндегі барлық нәрсе.
• Дөңгелектің шеңберден өзгешелігі неде? Шеңбер — тек сызық. Дөңгелек — сызық және оның ішіндегінің бәрі.
• Шеңбер мен дөңгелекті қайда кездестіреміз? Шеңбер: білезік, сақина, тәрелкенің жиегі, циферблаттың жиегі. Дөңгелек: теңге, нан, қазанның түбі, шаңырақты диск ретінде қарасаң.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 1255

8.6-суреттегі нүктелердің қайсысы: а) шеңбердің бойында; ә) дөңгелекте; б) дөңгелектің сыртында жатыр? (Суретте центрі $O$ болатын дөңгелек және $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $K$, $L$, $O$ нүктелері бар.)

Қалай ойлаймыз. Шеңбердің бойындағы нүктелер де дөңгелекке тиісті — бауырсақтың жиегі де бауырсақ!

Шешуі. Сурет бойынша: $B$ және $D$ — шеңбердің бойында; $C$, $O$, $E$ — ішінде; $A$, $K$, $L$ — сыртында.

Жауабы: а) $B$, $D$; ә) $B$, $C$, $D$, $E$, $O$; б) $A$, $K$, $L$.

№ 1256

Дәптерге $O$ нүктесін белгілеңдер. Ұзындығы дәптердің 4 торкөзінің ұзындығына тең $AO$ кесіндісін салыңдар. Циркульді пайдаланып, центрі $O$ нүктесі болатын радиусы $OA$ кесіндісіне тең шеңбер салыңдар.

Шешуі.

1. $O$ нүктесін торкөз сызықтарының қиылысында белгіле. Оңға қарай 4 торкөз сана — бұл $A$ нүктесі. $OA$ кесіндісін жүргіз (ол 2 см).
2. Циркульдің инесін $O$-ға, қарындашын $A$-ға қой.
3. Ашасын өзгертпей, толық бір айналдыр.

Жауабы: радиусы 2 см шеңбер шығады (диаметрі 4 см, яғни 8 торкөз); $A$ нүктесі оның бойында жатады.

№ 1257

1. Шеңбердің радиусы 11 см. Шеңбердің диаметрін табыңдар. 2. Айдың диаметрі 3476 км. Айдың радиусын табыңдар.

Шешуі.

1. $D = 2R = 2 \cdot 11 = 22$ см.
2. $R = D : 2 = 3476 : 2 = 1738$ км.

Жауабы: 1) 22 см; 2) 1738 км.

№ 1258

Жерге қазық қағылып, оған ұзындығы 3 м жіппен ит байланған. Иттің жүгіру аймағын кескіндеңдер (1 метрді 1 сантиметрге сәйкестендіріңдер). Иттің жүгіру аймағының ең шеткі нүктелерінің арақашықтығы неше метр?

Қалай ойлаймыз. Ит жіптің ұзындығынан әрі кете алмайды — ешбір бағытта. Демек, шекара — центрі қазықта болатын шеңбер.

Шешуі.

1. Қазықты белгіле. Циркульдің ашасы 3 см. Шеңбер сызып, дөңгелекті боя — бұл иттің жүгіру аймағы.
2. Шекарадағы ең алыс екі нүкте — диаметрдің ұштары: $D = 2 \cdot 3 = 6$ м.

Жауабы: аймақ — радиусы 3 м дөңгелек (суретте 3 см); ең үлкен арақашықтық 6 м.

№ 1259

Центрлері ортақ $O$ нүктесі болатын радиустары 2 см-ге тең, 3 см-ге тең екі шеңбер сызыңдар. Жазықтықтың екі шеңбер аралығындағы бөлігін бояңдар. Оны қалай атар едіңдер?

Шешуі.

1. $O$ нүктесін белгіле. 2 см ашамен бірінші шеңберді сыз.
2. Инені қозғамай, ашаны 3 см-ге келтіріп, екінші шеңберді сыз.
3. Екі шеңбердің арасындағы жолақты боя. Оның ені барлық жерде $3 - 2 = 1$ см.

Жауабы: боялған бөлік сақинаға ұқсайды — оны сақина деп атайды.

№ 1260

Ұзындығы 18 м шілтерді өлшеуіш құралдарды пайдаланбай, қалайша ұзындықтары 15 м және 3 м бөліктерге бөлуге болады?

Қалай ойлаймыз. $18 : 3 = 6$, яғни 3 м — шілтердің алтыдан бір бөлігі. Ал алтыдан бір бөлікті бүктеу арқылы оңай алуға болады.

Шешуі.

1. Шілтерді гармошкадай үшке бүк — әр бөлік $18 : 3 = 6$ м.
2. Осындай бір бөлікті (6 м) екіге бүк — 3 м шығады.
3. Осы 3 м-ді кес. Қалғаны $18 - 3 = 15$ м.

Басқа тәсіл: бәрін екіге бүгіп (9 м), сосын үшке бүгу (3 м).

Жауабы: шілтерді алтыдан бір бөлігі (3 м) шығатындай етіп бүгіп, оны кесу; қалғаны — 15 м.

№ 1261

Шеңбер бойындағы 8 нүктені екі-екіден неше кесіндімен қосуға болады?

Қалай ойлаймыз. Әр нүктеден қалған 7 нүктенің әрқайсысына кесінді шығады.

Шешуі.

1. $8 \cdot 7 = 56$ — бұл жолы әр кесінді екі рет саналды (екі ұшынан).
2. $56 : 2 = 28$.

Жауабы: 28 кесінді.

№ 1262

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $3(x + 5) + 4x$; 2) $8(7 + x) - 3x$; 3) $9(x - 7) + 6x$; 4) $5(x + 8) - 11$; 5) $2(13 + x) - 15$; 6) $6(x + 5) + 2x$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаны ашамыз — санды әр қосылғышқа көбейтеміз. Сосын «иксті» иксқа, санды санға қосамыз.

Шешуі.

1. $3x + 15 + 4x = 7x + 15$.
2. $56 + 8x - 3x = 5x + 56$.
3. $9x - 63 + 6x = 15x - 63$.
4. $5x + 40 - 11 = 5x + 29$.
5. $26 + 2x - 15 = 2x + 11$.
6. $6x + 30 + 2x = 8x + 30$.

Жауабы: 1) $7x + 15$; 2) $5x + 56$; 3) $15x - 63$; 4) $5x + 29$; 5) $2x + 11$; 6) $8x + 30$.

B деңгейі

№ 1263

8.7-суретте центрі $A$ нүктесі болатын бірінші дөңгелек және центрі $B$ нүктесі болатын екінші дөңгелек кескінделген. Белгіленген нүктелердің қайсысы: 1) бірінші дөңгелекке де, екінші дөңгелекке де тиісті; 2) бірінші дөңгелекке ғана тиісті; екінші дөңгелекке ғана тиісті?

Шешуі. Сурет бойынша: ортақ бөлікте $E$ және $L$; тек бірінші дөңгелекте — $K$ және центр $A$; $P$ нүктесі бірінші дөңгелектің шеңберінде жатыр және екіншінің сыртында; тек екінші дөңгелекте — $F$ және центр $B$.

Жауабы: 1) $E$, $L$; 2) $A$, $K$, $P$; $B$, $F$.

№ 1264

Жердің диаметрі шамамен 12 700 км. Жердің диаметрі Юпитердің диаметрінен 11 есе кем (8.8-сурет). Юпитердің радиусын табыңдар.

Шешуі.

1. Юпитердің диаметрі: $12,700 \cdot 11 = 139,700$ км.
2. Радиусы: $139,700 : 2 = 69,850$ км.

Жауабы: шамамен 69 850 км.

№ 1265

Центрлерінің арақашықтығы: 1) 5 см; 2) 4 см; 3) 8 см болатын радиустары 2 см-ге тең және 3 см-ге тең екі шеңбер сызыңдар. Шеңберлер өзара қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Центрлердің арақашықтығын радиустардың қосындысымен салыстырамыз: $2 + 3 = 5$ см.

Шешуі. Әр жағдай үшін ұзындығы қажетті $O_1O_2$ кесіндісін жүргіз, $O_1$-ден радиусы 2 см шеңбер, $O_2$-ден радиусы 3 см шеңбер сыз.

1. 5 см радиустардың қосындысына тең — шеңберлер бір нүктеде жанасады (центрлердің арасындағы кесіндіде).
2. 4 см саны 5 см-ден кіші — шеңберлер екі нүктеде қиылысады.
3. 8 см саны 5 см-ден үлкен — шеңберлер қиылыспайды, бірі екіншісінің сыртында жатады; араларында $8 - 5 = 3$ см аралық бар.

Жауабы: 1) сырттай жанасады; 2) қиылысады; 3) ортақ нүктелері жоқ.

№ 1266

8.9-суреттегі центрі $A$ нүктесі болатын шеңбердің диаметрі 6 см. $A$ және $B$ нүктелерінің арақашықтығы 5 см. $D$ нүктесі екі шеңберге де ортақ. Центрі $B$ нүктесі болатын шеңбердің диаметрі неше сантиметр? Шеңберлер өзара қалай орналасқан?

Шешуі.

1. Бірінші шеңбердің радиусы $AD = 6 : 2 = 3$ см.
2. $D$ нүктесі $A$ мен $B$ арасында жатыр, сондықтан $BD = AB - AD = 5 - 3 = 2$ см — бұл екіншісінің радиусы.
3. Екінші шеңбердің диаметрі $2 \cdot 2 = 4$ см.

Жауабы: 4 см; шеңберлер $D$ нүктесінде сырттай жанасады.

№ 1267

Ұзындығы 6 см $AB$ кесіндісін сызыңдар. Центрі $A$ нүктесі, радиусы 5 см шеңбер сызыңдар. Центрі $B$ нүктесі, радиусы 3 см шеңбер сызыңдар. Шеңберлердің қиылысу нүктелерін $C$ және $D$ әріптерімен белгілеңдер. $ACB$ үшбұрышының периметрі неше сантиметр?

Қалай ойлаймыз. $C$ нүктесі екі шеңберде де жатыр. Демек, $AC$ және $BC$ — радиустар.

Шешуі.

1. $AB = 6$ см кесіндісін сал, екі шеңберді де сыз, қиылысу нүктелерін $C$ және $D$ деп белгіле.
2. $C$ бірінші шеңберде жатыр, демек, $AC = 5$ см. $C$ екіншісінде жатыр, демек, $BC = 3$ см.
3. $P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 3 = 14$ см.

Жауабы: 14 см.

№ 1268

1) Велосипедші 200 м/мин жылдамдықпен 3 мин жүргенде, оның шеңберінің ұзындығы 2 м-ге тең доңғалағы неше айналым жасайды? 2) Жүріп келе жатқан жеңіл машинаның доңғалағы 47 с уақытта 400 айналым жасайды. Оның доңғалағы жиегінің ұзындығы 2 м 35 см. Жеңіл машинаның қозғалыс жылдамдығы секундына неше метр?

Қалай ойлаймыз. Доңғалақ бір айналғанда өз шеңберінің ұзындығындай жол жүреді.

Шешуі.

1. Жол: $200 \cdot 3 = 600$ м. Айналым саны: $600 : 2 = 300$.
2. 2 м 35 см $= 2{,}35$ м. Жол: $2{,}35 \cdot 400 = 940$ м. Жылдамдық: $940 : 47 = 20$ м/с.

Жауабы: 1) 300 айналым; 2) 20 м/с.

№ 1269

Сыйымдылықтары 7 л және 3 л ыдыстарды пайдаланып, өзеннен сыйымдылығы кіші ыдыспен 2 л суды қалай құйып алуға болады?

Қалай ойлаймыз. Кіші ыдысты толтырып, үлкені толғанша соған құямыз.

Шешуі.

1. 3 литрлік ыдысты толтырып, 7 литрлік ыдысқа құямыз. Үлкенінде 3 л.
2. 3 литрлік ыдысты тағы толтырып, құямыз. Үлкенінде 6 л.
3. 3 литрлік ыдысты үшінші рет толтырып, үлкенін толғанша құямыз. Тек $7 - 6 = 1$ л сияды.
4. 3 литрлік ыдыста $3 - 1 = 2$ л қалады.

Жауабы: 3 литрлік ыдысты үш рет толтырып, 7 литрлікке құя беру; үшінші реттен кейін кіші ыдыста 2 л қалады.

№ 1270

Оқушы дәптерге екі шеңбер сызып, олардың ішкі аймақтарында барлығы 5 нүктені белгілейді. Сонда ол бірінші шеңбердің ішкі аймағына 4 нүктені, екінші шеңбердің ішкі аймағына 3 нүктені белгілепті. Бұл қалай? Сызып көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. $4 + 3 = 7$, ал нүкте тек 5. Демек, кейбір нүктелер екі рет саналған — олар екі шеңбердің де ішінде жатыр.

Шешуі.

1. $7 - 5 = 2$ нүкте бірден екі шеңбердің де ішінде жатыр.
2. Қиылысатын екі шеңбер сызамыз. Ортақ бөлікке 2 нүкте, тек біріншісінің бөлігіне — 2, тек екіншісінің бөлігіне — 1 нүкте қоямыз.
3. Тексеру: біріншінің ішінде $2 + 2 = 4$, екіншінің ішінде $2 + 1 = 3$, барлығы $2 + 2 + 1 = 5$.

Жауабы: шеңберлер қиылысады; ортақ бөлікте 2 нүкте, тек біріншісінде — 2, тек екіншісінде — 1.

C деңгейі

№ 1271

Дәптерге 8.10-суретте кескінделген суретті салып, ондағы гүл жапырақтарын бір түсті фломастермен бояңдар. Суретті түсіндіріңдер. (Бірдей радиусты шеңберлерден «гүл» жасалған: ортасында бір шеңбер, оның бойында центрлері бар алты шеңбер.)

Шешуі.

1. Циркульдің ашасын таңда, мысалы, 3 см. Центрі $O$ болатын шеңбер сыз.
2. Инені осы шеңбердің кез келген нүктесіне қойып, сол ашамен екінші шеңбер сыз. Ол $O$ арқылы өтіп, біріншісін екі нүктеде қияды.
3. Инені жаңа қиылысу нүктесіне қойып, қайталай бер. Сол ашамен шеңбер дәл 6 тең бөлікке бөлінеді, сондықтан алты қадамнан кейін бастапқы нүктеге қайта ораласың.
4. Орталық шеңбердің ішінде доғалар 6 бірдей жапырақ құрайды. Оларды боя.

Жауабы: гүл шығады, өйткені радиус өз шеңберінде дәл 6 рет сияды.

№ 1272

Центрі $A$ нүктесі болатын шеңбердің радиусы 2 см (8.11-сурет). Центрі $O$ нүктесі болатын шеңбердің диаметрін табыңдар. (Кіші шеңбер $O$ арқылы өтеді және үлкен шеңбермен іштей жанасады.)

Шешуі.

1. Кіші шеңбер $O$ арқылы өтеді, демек, $AO = 2$ см.
2. Жанасу нүктесі $OA$ түзуінде, $A$ нүктесінен кейін, $A$-дан 2 см қашықтықта жатыр. Үлкен шеңбердің радиусы $2 + 2 = 4$ см. Басқаша айтқанда, үлкеннің радиусы кішінің диаметріне тең.
3. Үлкен шеңбердің диаметрі $4 \cdot 2 = 8$ см.

Жауабы: 8 см.

№ 1273

8.12-суретте центрлері $A$ нүктесі және $O$ нүктесі болатын өзара қиылысатын екі шеңбер кескінделген. Центрі $A$ нүктесі болатын шеңбердің диаметрі 10 см, центрі $O$ нүктесі болатын шеңбердің радиусы 3 см. $ABOC$ төртбұрышының периметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $ABOC$-ның барлық төрт қабырғасы — радиустар!

Шешуі.

1. $AB$ және $AC$ — бірінші шеңбердің радиустары: $10 : 2 = 5$ см.
2. $OB$ және $OC$ — екінші шеңбердің радиустары: 3 см.
3. $P = 5 + 3 + 3 + 5 = 16$ см.

Жауабы: 16 см.

№ 1274

Арбаның алдыңғы доңғалағы сыртқы шеңберінің ұзындығы 2 м, ал артқы доңғалағы сыртқы шеңберінің ұзындығы 3 м. Арба қанша қашықтықты жүргенде оның алдыңғы доңғалағы артқы доңғалағынан 1200 айналым артық айналады?

Қалай ойлаймыз. Екі доңғалақ та бірдей жол жүрді.

Шешуі.

1. Алдыңғысының айналымы: $S : 2$, артқысының: $S : 3$.
2. Әр 6 м жолда алдыңғы доңғалақ 3 айналым, артқысы — 2 айналым жасайды, айырмасы 1 айналым.
3. Айырма 1200 айналым: $S = 6 \cdot 1200 = 7200$ м.
4. Тексеру: $7200 : 2 = 3600$, $7200 : 3 = 2400$, $3600 - 2400 = 1200$ ✓.

Жауабы: 7 км 200 м.

№ 1275

Әрқайсысының ұзындығы 4 м болатын 20 бөрене ағашты ұзындықтары 25 сантиметрден кесіп, бөліктерге бөлу керек. Барлық бөрене неше рет кесіледі?

Қалай ойлаймыз. Таяқты $n$ бөлікке бөлу үшін $n - 1$ рет кесу керек.

Шешуі.

1. 4 м $= 400$ см; бір бөренеден $400 : 25 = 16$ бөлік шығады.
2. Бір бөрене үшін кесу саны: $16 - 1 = 15$.
3. 20 бөрене үшін: $15 \cdot 20 = 300$.

Жауабы: 300 рет кесіледі.

⚠️ Жиі кететін қате. «320» деп жауап беру — бөліктер санына қарай. Соңғы бөлік алдыңғысынан бір кесумен бөлінеді. Таяқпен тексер: оны 2 бөлікке бөлу үшін 1 рет кесу керек.

Жадынама

• Шеңбердің бойындағы нүкте: центрге дейінгі қашықтық $= R$; ішінде — одан кіші; сыртында — одан үлкен.
• $d > R_1 + R_2$ — кездеспейді; $d = R_1 + R_2$ — жанасады; $d < R_1 + R_2$ — қиылысады.
• Кібісе жыл: 366 күн, жыл ретін көрсететін сан 4-ке бөлінеді.

Шағын тест