8.2. Дөңгелек сектор

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VIII тарау: Диаграммалар. 162–164-беттер.

Нені үйренесің

• Дөңгелек секторды танып, үш әріппен атауды.
• Басты ережені есте сақтауды: дөңгелектің барлық секторларының бұрыштарының қосындысы — $360^\circ$.
• Қалған секторлар белгілі болса, соңғы сектордың бұрышын табуды.
• Дөңгелекті транспортирмен қажетті бұрышты секторларға бөлуді.

Ой қозғау

• Толық бұрышта неше градус бар? $360^\circ$ — бұл тұтас айналым.
• Ал жазыңқы бұрышта ше? $180^\circ$.
• Ал тік бұрышта ше? $90^\circ$.
• $360 - 110$ неге тең? 250.

Тақырыпты талдаймыз

Пицца тілімі — бұл сектор

Центрі $O$ болатын дөңгелек сызып, центрден $OA$, $OB$ және $OC$ радиустарын жүргіз. Дөңгелек пицца тілімдеріне ұқсас бөліктерге бөлінеді. Әр бөлік — дөңгелек сектор, немесе қысқаша сектор.

📌 Сектор — дөңгелектің екі радиус пен олардың ұштарын қосатын доға шектейтін бөлігі.

Секторды үш әріппен атайды, центр ортасында тұрады: $AOB$, $BOC$, $AOC$.

Сектордың бұрышы

Сектордың бұрышы — оның радиустарының арасындағы бұрыш, төбесі дөңгелектің центрінде жатады. Барлық секторлардың бұрыштарын қоссаң, толық бұрыш шығады:

$55^\circ + 80^\circ + 225^\circ = 360^\circ$.

Осыдан сабақтың басты тәсілі шығады: біреуінен басқа барлық бұрышты білесің бе? Соңғысы $= 360^\circ$ минус белгілілердің қосындысы.

Мысал. Дөңгелек екі секторға бөлінген, біреуі — $110^\circ$. Екіншісі: $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.

⚠️ Жиі кететін қате. $360^\circ$ орнына $180^\circ$-тан азайту. $180^\circ$ — тек жарты дөңгелек. Бүкіл дөңгелек — $360^\circ$. Тексеру: барлық бұрышты қос, дәл 360 шығуы керек.

Ширек және жарты

Дөңгелектің ширегі — бұрышы тік, $90^\circ$ болатын сектор. Дөңгелектің жартысы — бұрышы жазыңқы, $180^\circ$ болатын сектор.

Секторды транспортирмен саламыз

1. Дөңгелек сызып, $OA$ радиусын жүргіз.
2. Транспортирдің центрін $O$-ға, нөлін $OA$ радиусының бойына қой.
3. Қажетті градус санында нүкте белгіле де, сол нүкте арқылы екінші радиус жүргіз.
4. Келесі секторды екінші радиустан бастап дәл солай сал.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Дөңгелек торт немесе пицца алыңыз. Сұраңыз: «4 тең бөлікке кесеміз — әр бөліктің бұрышы қанша?» ($90^\circ$.) «Ал 6 бөлікке ше?» ($60^\circ$.) Осылайша бүкіл дөңгелектің — 360 екені тез есте қалады. Бұл келесі сабақта, дөңгелек диаграммаларда керек болады.

Қалай түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Дөңгелек сектор дегеніміз не? Дөңгелектің екі радиусы мен осы радиустар арасындағы доғамен шектелген бөлігі.
• Дөңгелекті құрайтын секторлардың бұрыштарының қосындысы неше градус? $360^\circ$ — бұл толық бұрыш.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1276

Ауызша есептеңдер, төрт тізбек (әр әрекетті алдыңғысының нәтижесімен орындаймыз): 1) $350 \cdot 2 - 280 : 21 \cdot 7 + 190$; 2) $264 + 136 : 25 + 94 \cdot 8 - 120$; 3) $185 - 35 \cdot 4 + 360 : 32 + 170$; 4) $200 : 25 \cdot 70 - 140 : 60 + 93$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — әдеттегі мысал емес, тізбек: әр қадам алдыңғы қадамның нәтижесімен орындалады.

Шешуі.

1. $350 \cdot 2 = 700$; $700 - 280 = 420$; $420 : 21 = 20$; $20 \cdot 7 = 140$; $140 + 190 = 330$.
2. $264 + 136 = 400$; $400 : 25 = 16$; $16 + 94 = 110$; $110 \cdot 8 = 880$; $880 - 120 = 760$.
3. $185 - 35 = 150$; $150 \cdot 4 = 600$; $600 + 360 = 960$; $960 : 32 = 30$; $30 + 170 = 200$.
4. $200 : 25 = 8$; $8 \cdot 70 = 560$; $560 - 140 = 420$; $420 : 60 = 7$; $7 + 93 = 100$.

Жауабы: 1) 330; 2) 760; 3) 200; 4) 100.

№ 1277

1) Дөңгелекте тік бұрышты неше сектор бар? 2) Дөңгелекте жазыңқы бұрышты неше сектор бар?

Шешуі.

1. $360^\circ : 90^\circ = 4$.
2. $360^\circ : 180^\circ = 2$ (екі жарты дөңгелек).

Жауабы: 1) 4; 2) 2.

A деңгейі

№ 1278

8.15-суреттегі дөңгелек неше секторға бөлінген? Секторларды жазыңдар. (Центрі $O$ болатын дөңгелекте $OA$, $OB$, $OC$ радиустары және $OB$-ны жалғастыратын төмен қарай радиус жүргізілген; оның ұшын $D$ деп белгілейміз.)

Қалай ойлаймыз. Секторды көрші екі радиус шектейді. Дөңгелекті радиустар қанша бөлікке бөлгенін санаймыз.

Шешуі.

1. Дөңгелекте 4 радиус жүргізілген: $OA$, $OB$, $OC$ және $OD$. Олар дөңгелекті 4 бөлікке бөледі.
2. Секторлар (көрші радиустардың арасында): $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$.

Жауабы: 4 сектор: $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$.

💡 Қосымша сұрақ. Егер көрші бірнеше секторды біріктіріп алсақ, одан да көп сектор шығады: мысалы, $AOC$ ($AOB$ мен $BOC$-тан), жарты дөңгелек $BOD$. Сабақта дөңгелек қанша бөлікке бөлінгенін санаймыз.

№ 1279

Центрі $O$ нүктесі болатын дөңгелек сызып, оны градустық өлшемдері өзара тең 4 секторға бөліңдер. Әрбір сектордың бұрышы неше градус?

Шешуі.

1. Әр сектордың бұрышы $360^\circ : 4 = 90^\circ$.
2. Дөңгелек сызып, диаметр жүргіз.
3. $O$ нүктесінде үшбұрышты сызғышпен (немесе транспортирмен) диаметрге тік бұрыш салып, екінші диаметрді жүргіз.
4. Өзара перпендикуляр екі диаметр дөңгелекті 4 тең секторға бөледі.

Жауабы: әрқайсысы $90^\circ$.

№ 1280

$NOP$ секторының, $POR$ секторының бұрыштарын өлшеңдер (8.16-сурет). $NOR$ секторының бұрышының градустық өлшемін есептеп табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $NOR$ секторы $NOP$ және $POR$ секторларынан құралған, сондықтан оның бұрышы — екеуінің қосындысы.

Шешуі.

1. Транспортирмен $NOP$ бұрышын өлше: сурет бойынша шамамен $85^\circ$.
2. $POR$ бұрышы: шамамен $40^\circ$.
3. $\angle NOR = 85^\circ + 40^\circ = 125^\circ$.

Жауабы: шамамен $125^\circ$ (нақты мәні сенің өлшеуіңе байланысты).

№ 1281

Дөңгелек екі секторға бөлінген. Бірінші сектордың бұрышы толық бұрыштың 30%-іне тең. Екінші сектордың градустық өлшемін табыңдар.

Шешуі.

1. $360^\circ$-тың 30%-і: $360 \cdot 0{,}3 = 108^\circ$.
2. Екінші сектор: $360^\circ - 108^\circ = 252^\circ$.

Бірден де табуға болады: екіншісі — $100% - 30% = 70%$, $360 \cdot 0{,}7 = 252^\circ$.

Жауабы: $252^\circ$.

№ 1282

Аулада күшіктер ойнап жүр. Олардың аяқтары бастарынан 18-ге артық. Аулада неше күшік ойнап жүр?

Қалай ойлаймыз. Күшіктің 1 басы және 4 аяғы бар — аяғы 3-ке артық. Әр күшік айырмаға 3 қосады.

Шешуі. $18 : 3 = 6$ күшік. Тексеру: 6 бас, 24 аяқ, $24 - 6 = 18$ ✓.

Жауабы: 6 күшік.

B деңгейі

№ 1283

Дөңгелекте градустық өлшемдері $40^\circ$, $130^\circ$ және $60^\circ$ үш сектор сызып, оларды әртүрлі түспен бояңдар. Боялмаған сектордың бұрышының градустық өлшемін табыңдар.

Шешуі.

1. $OA$ радиусын жүргіз. Транспортирмен одан $40^\circ$ өлшеп, $OB$ радиусын жүргіз.
2. $OB$-дан $130^\circ$ өлшеп — $OC$ радиусы. $OC$-дан $60^\circ$ өлшеп — $OD$ радиусы.
3. Үш секторды әртүрлі түспен боя. $OD$ мен $OA$ арасында боялмаған сектор қалды.
4. Оның бұрышы: $360^\circ - (40^\circ + 130^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$.

Жауабы: $130^\circ$.

№ 1284

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Оның бірінші секторының бұрышы жазыңқы бұрыштың 80%-іне тең, ал екінші секторының бұрышы тік бұрыштың $\frac{2}{3}$-сіне тең. Үшінші сектордың бұрышы неше градус?

Шешуі.

1. Біріншісі: $180^\circ$-тың 80%-і: $180 \cdot 0{,}8 = 144^\circ$.
2. Екіншісі: $90^\circ$-тың $\frac{2}{3}$-сі: $90 : 3 \cdot 2 = 60^\circ$.
3. Үшіншісі: $360^\circ - 144^\circ - 60^\circ = 156^\circ$.

Жауабы: $156^\circ$.

№ 1285

Дөңгелек төрт секторға бөлінген. Секторлардың градустық өлшемдері: $x^\circ$, $2x^\circ$, $5x^\circ$, $4x^\circ$ (8.17-сурет). Секторлар бұрыштарының әрқайсысының градустық өлшемдерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлық «иксті» қосқанда бүкіл дөңгелек, яғни $360^\circ$ шығады.

Шешуі.

1. $x + 2x + 5x + 4x = 360$, $12x = 360$, $x = 30$.
2. Бұрыштары: $30^\circ$, $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$, $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
3. Тексеру: $30 + 60 + 150 + 120 = 360$ ✓.

Жауабы: $30^\circ$, $60^\circ$, $150^\circ$, $120^\circ$.

№ 1286

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\dfrac{25}{\frac{2}{3}x + 0{,}25} = 4$; 2) $\dfrac{36}{7 - \frac{5}{6}x} = 8$; 3) $\dfrac{27}{5\frac{1}{3} + \frac{1}{9}x} = 4{,}5$.

Қалай ойлаймыз. Белгісіз — бөлгіш: бөлгіш $=$ бөлінгіш $:$ бөлінді. Сосын қалғанын шешеміз.

Шешуі.

1. $\frac{2}{3}x + 0{,}25 = 25 : 4 = 6{,}25$; $\frac{2}{3}x = 6$; $x = 6 : \frac{2}{3} = 9$.
2. $7 - \frac{5}{6}x = 36 : 8 = 4{,}5$; $\frac{5}{6}x = 2{,}5 = \frac{5}{2}$; $x = \frac{5}{2} : \frac{5}{6} = 3$.
3. $5\frac{1}{3} + \frac{1}{9}x = 27 : 4{,}5 = 6$; $\frac{1}{9}x = 6 - 5\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$; $x = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.

Жауабы: 1) 9; 2) 3; 3) 6.

№ 1287

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Бірінші сектордың бұрышы екінші сектордың бұрышынан 3 есе үлкен болса, үшінші сектордың бұрышынан 2 есе кіші. Секторлардың әрқайсысының бұрыштары неше градус? Дәптерге секторларды салып көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Ең кішісі — екінші сектор, оны $x$ деп аламыз.

Шешуі.

1. Екіншісі $x$, біріншісі $3x$, үшіншісі $3x \cdot 2 = 6x$.
2. $x + 3x + 6x = 360$, $10x = 360$, $x = 36$.
3. Біріншісі $108^\circ$, екіншісі $36^\circ$, үшіншісі $216^\circ$. Тексеру: $108 + 36 + 216 = 360$.
4. Салу: радиус жүргіз, транспортирмен $108^\circ$ өлше, жаңа радиустан — $36^\circ$; қалған сектор $216^\circ$ болады (оны өлшемейміз — ол жазыңқы бұрыштан үлкен).

Жауабы: $108^\circ$, $36^\circ$, $216^\circ$.

№ 1288

Дөңгелек үш секторға бөлінген. Бірінші және екінші секторлардың бұрыштарының қосындысы $200^\circ$. Екінші және үшінші секторлардың бұрыштарының қосындысы $290^\circ$. Екінші сектордың бұрышы неше градус?

Қалай ойлаймыз. Екі қосындыны қосайық: екінші сектор екі рет саналады, ал бірінші мен үшіншісі — бір реттен.

Шешуі.

1. $200^\circ + 290^\circ = 490^\circ$ — бұл үш сектордың бәрі және тағы бір рет екіншісі.
2. Үш сектор бірге — $360^\circ$. Екіншісі: $490^\circ - 360^\circ = 130^\circ$.
3. Тексеру: біріншісі $200 - 130 = 70^\circ$, үшіншісі $290 - 130 = 160^\circ$, $70 + 130 + 160 = 360$ ✓.

Жауабы: $130^\circ$.

№ 1289

2 мысық 2 минутта 2 тышқан ұстайды. 4 мысық 4 минутта неше тышқан ұстайды? 3 мысық 3 тышқанды неше минутта ұстайды?

Қалай ойлаймыз. Тапқырлыққа есеп. Алдымен бір мысық қанша ұстайтынын білеміз: 2 мысық 2 минутта 2 тышқан ұстаса, бір мысық 2 минутта бір тышқан ұстайды.

Шешуі.

1. 4 минутта бір мысық 2 тышқан ұстайды. Төрт мысық: $4 \cdot 2 = 8$ тышқан.
2. Үш мысық 2 минутта әрқайсысы бір тышқаннан ұстайды — барлығы 3 тышқан.

Жауабы: 8 тышқан; 2 минутта.

⚠️ Жиі кететін қате. Екінші сұраққа «3 минут» деп жауап беру, жай ғана 3 санын қайталап. Мысықтар бір мезгілде ұстайды, әрқайсысына тышқанға сол 2 минут керек.

Жадынама

• Секторды үш әріппен атайды, центр ортасында: $AOB$.
• Секторды транспортирмен саламыз: нөл — бірінші радиустың бойында.
• $180^\circ$-тан үлкен секторды дөңгелектің қалған бөлігі ретінде аламыз.

Шағын тест