8.3. Статистикалық деректерді көрсету тәсілдері. Бағанды, сызықтық, дөңгелек және графиктік диаграммалар. Кестелер
Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). VIII тарау: Диаграммалар. 165–173-беттер.
Нені үйренесің
- Диаграммалардың төрт түрін танып, қашан жай кесте жететінін түсінуді: бағанды, сызықтық, дөңгелек және график.
- Диаграммаға қарап оқуды: ең көбі қайда, ең азы қайда, қайсысы шамамен бірдей.
- Масштабты таңдап, бағандарды диаграмма «өтірік айтпайтындай» етіп салуды.
- Проценттерді градусқа айналдырып ($1% = 3{,}6^\circ$), дөңгелек диаграмма сызуды.
Ой қозғау
Ойша жауап бер, сосын жауабын ашып қара.
- Толық дөңгелекте неше градус бар? $360^\circ$ — бұл толық бұрыш.
- 360-тың 25%-і қанша болады? $25% = \frac{1}{4}$, ал $360 : 4 = $ 90.
- Ал 360-тың 10%-і ше? $360 : 10 = $ 36.
- Сызбада 1 см — 1000 км. 3000 км неше сантиметр алады? $3000 : 1000 = $ 3 см.
💡 25% туралы жауапты есте сақта: дөңгелектің ширегі — тік бұрыш, $90^\circ$. Ол әлі талай рет керек болады.
Тақырыпты талдаймыз
Бір қарағаннан көрінетін сандар
Міне, төрт өзеннің ұзындығы: 4200 км, 2500 км, 2400 км, 2200 км. Қайсысы ұзын және қаншаға? Әбден үңілуге тура келеді. Ал енді төмендегі суретке қара — жауап бірден көрінеді. Мұндай сурет диаграмма деп аталады: ол сандарды көрнекі етіп көрсетеді.
Бағанды диаграмма: бағандардың жарысы
Әр мәннің өз бағаны бар. Барлығының ені бірдей, араларындағы қашықтық та бірдей. Тек биіктігі маңызды: сан неғұрлым үлкен болса, баған соғұрлым биік.
Қағазға қалай саламыз:
- Тік бұрыш сыз. Төменге аттарын, сол жаққа сандарды жазасың.
- Масштабты таңда, мысалы, 1 см — 1000 км.
- Әр бағанның биіктігін тап: мәнді масштабқа бөл.
- Бағандарды сызып, оларға жазба жаз.
Өзендер үшін: Ертіс $4200 : 1000 = 4{,}2$ см, Есіл 2,5 см, Жайық 2,4 см, Сырдария 2,2 см.
⚠️ Жиі кететін қате. Бағандарды «көзбен шамалап» сызу. Сонда 2500 км баған 4200 км бағаннан биік шығып, диаграмма өтірік айтады. Алдымен биіктіктерді масштаб бойынша есепте, сосын тексер: сан үлкен болса — баған биік.
Сызықтық диаграмма: бағандардың орнына таяқшалар
Бәрі бағанды диаграммадағыдай, тек енді баған емес, кесінділер сызылады. Кесіндінің ұзындығы — мәннің өзі. Мысалы, таулар: Абай шыңы шамамен 4000 м, Талғар шамамен 5000 м, Хан Тәңірі шамамен 7000 м, Жамбыл шыңы шамамен 4400 м. Егер 1 см — 1500 м болса, Хан Тәңірі үшін кесінді $7000 : 1500 \approx 4{,}7$ см болады.
Дөңгелек диаграмма: пирогты бөлеміз
Дөңгелек диаграмма тұтас бір нәрсенің қандай бөліктерден тұратынын көрсетеді. Бүкіл дөңгелек — 100%. Үлес неғұрлым үлкен болса, сектор соғұрлым кең.
📌 Бүкіл дөңгелек — $360^\circ$, сондықтан дөңгелектің $1%$-і $= 360^\circ : 100 = 3{,}6^\circ$. Сектордың бұрышын табу үшін процентті $3{,}6^\circ$-қа көбейт.
Мысал: қоспаның 15%-і мыс, 60%-і қалайы, қалғаны — сурьма. Сурьма $100% - 15% - 60% = 25%$. Секторды бас — оның бұрышын көресің.
Бұрыштарды есептейміз: мыс $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$, қалайы $3{,}6^\circ \cdot 60 = 216^\circ$, сурьма $360^\circ - 54^\circ - 216^\circ = 90^\circ$. Тексеру: $54 + 216 + 90 = 360$. Енді дөңгелек сызып, радиус жүргіземіз де, транспортирмен бұрыштарды бірінен соң бірін өлшеп саламыз.
👨👩👧 Ата-анаға. Бұрыштар есептелген соң, баладан оларды қостырыңыз. Дәл $360^\circ$ шығуы керек. Шықпаса — есепте қате бар, оны транспортирге дейін тапқан жөн.
График: уақыт өте қалай өзгереді
График бір нәрсенің қалай өзгеретінін көрсетеді. Көлденеңінен — уақыт, тігінен — мән. Әр өлшеу — бір нүкте, нүктелер кесінділермен қосылады, сынық сызық шығады.
Міне, Астанадағы 15 шілдедегі температура. Нүктелерді бас та, ең суық және ең ыстық уақытты тап.
Ең суық — түнгі сағат 2-де, $16^\circ$C, ең ыстық — сағат 15-те, $30^\circ$C. Сынық сызық жоғары өрлесе — жылынады, төмен түссе — суынады.
📕 Оқулықтағы қате. 8.21-суретке жазба оқулықта «1916 ж. 15 шілдедегі Астана қаласындағы температура» деп басылған. Бірақ 1916 жылы Астана деген қала болмаған, сондықтан бұл — 2016 жыл деп оқылуы керек басылым қатесі.
Кесте: дәл әрі ретімен
Ең әдеттегі тәсіл — кесте. Асқар 10 сәуір күні ауа температурасын әр 2 сағат сайын жазып отырды:
| уақыт, сағ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| температура, °C | 0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | 13 | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
Жазбалар бірдей аралықпен — 2 сағат сайын жүреді. Оны кестенің қадамы деп атайды. Кестеден график жасау оңай:
Қандай диаграмманы таңдаймыз
| нені көрсеткің келеді | нені таңдайсың |
|---|---|
| бірнеше шаманы салыстыру | бағанды немесе сызықтық |
| тұтас бір нәрсенің қандай бөліктерден тұратыны | дөңгелек |
| шаманың уақыт өте қалай өзгеретіні | график |
| нақты мәндер | кесте |
Қалай түсінгеніңді тексер
Өзіңді тексер
- Бағанды диаграмма қалай салынады? Тік бұрыш сызып, масштабты таңдайды. Әр шама үшін ені бірдей баған сызады; оның биіктігі — масштаб бойынша мән.
- Дөңгелек диаграмма не үшін қажет? Ол тұтас нәрсенің бөліктерін — секторларға бөлінген дөңгелекпен — көрсетеді. Әр процентке $3{,}6^\circ$ келеді.
- Графиктік диаграмма қалай кескінделеді? Деректерді нүктелермен белгілеп, кесінділермен қосады. Шаманың қалай өзгеретінін көрсететін сынық сызық шығады.
- Статистикалық деректерді көрсетудің қандай тәсілдерін білесіңдер? Бағанды, сызықтық, дөңгелек және графиктік диаграммалар, сонымен қатар кестелер.
Жаттығуларды шығарамыз
Ауызша есептеу
№ 1290
Ауызша есептеңдер: 1) $(36{,}27 + 8{,}73) : 9$; 2) $(18 - 12{,}45) : 5$; 3) $(24 - 2{,}4) : 6$; 4) $(5{,}4 + 2{,}3) : 7$; 5) $(32{,}8 + 7{,}2) : 8$; 6) $(9{,}3 + 7{,}1) : 4$.
Қалай ойлаймыз. Алдымен жақша, сосын бөлу. Бірінші және бесінші мысалдарда жақша дөңгелек сан береді — бұл сыйлық.
Шешуі.
| мысал | жақшада | жауабы |
|---|---|---|
| 1) $(36{,}27 + 8{,}73) : 9$ | 45 | 5 |
| 2) $(18 - 12{,}45) : 5$ | 5,55 | 1,11 |
| 3) $(24 - 2{,}4) : 6$ | 21,6 | 3,6 |
| 4) $(5{,}4 + 2{,}3) : 7$ | 7,7 | 1,1 |
| 5) $(32{,}8 + 7{,}2) : 8$ | 40 | 5 |
| 6) $(9{,}3 + 7{,}1) : 4$ | 16,4 | 4,1 |
Жауабы: 1) 5; 2) 1,11; 3) 3,6; 4) 1,1; 5) 5; 6) 4,1.
A деңгейі
№ 1291
8.22-суретте Меркурий, Шолпан, Жер, Марс планеталарының радиустарын көрсететін бағанды диаграмма сызылған. Бағанды диаграмма бойынша сұрақтарға жауап беріңдер: 1) Кестедегі радиустары берілген планеталардың ең үлкені қайсысы? Ең кішісі қайсысы? 2) Қай планеталардың радиустары шамалас?
Қалай ойлаймыз. Баған биік болса — радиус үлкен — планета үлкен.
Шешуі.
- Ең биік баған — Жердікі (шамамен 6300 км), ең аласасы — Меркурийдікі (шамамен 2500 км).
- Шолпан (шамамен 6000 км) мен Жердің бағандары шамамен бірдей биіктікте.
Жауабы: 1) ең үлкені — Жер, ең кішісі — Меркурий; 2) Шолпан мен Жердің радиустары шамамен бірдей.
№ 1292
8.23-суреттегі дөңгелек диаграммада Жер бетіндегі құрлықтың және Әлем мұхитының алып жатқан аудандары процентпен көрсетілген. Дөңгелек диаграммада Жер бетіндегі: 1) құрлықтың ауданына; 2) судың ауданына неше градустық сектор сәйкес келеді? (Құрлық — 29%, су — 71%.)
Қалай ойлаймыз. Әр процент — $3{,}6^\circ$.
Шешуі.
- Құрлық: $3{,}6^\circ \cdot 29 = 104{,}4^\circ$.
- Су: $3{,}6^\circ \cdot 71 = 255{,}6^\circ$.
- Тексеру: $104{,}4^\circ + 255{,}6^\circ = 360^\circ$ ✓.
Жауабы: 1) $104{,}4^\circ$; 2) $255{,}6^\circ$.
№ 1293
Кестені пайдаланып, сұрақтарға жауап беріңдер. 5 қабатты үйдің әрбір қабатында 4 пәтерден бар. Асқар, Сәуле, Төлеген және Нұрлан осы үйдің бірінші кіре берісінде тұрса, олар нешінші пәтерлерде тұрады? (Асқар 2-қабатта 2-пәтерде, Сәуле 4-қабатта 1-пәтерде, Төлеген 4-қабатта 3-пәтерде, Нұрлан 5-қабатта 4-пәтерде.)
| қабат реті \ бір қабаттағы пәтер реті | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||
| 2 | Асқар | |||
| 3 | ||||
| 4 | Сәуле | Төлеген | ||
| 5 | Нұрлан |
Қалай ойлаймыз. Алдымен төмендегі қабаттарда неше пәтер бар екенін сана, сосын қабаттағы пәтер реті бойынша қос. 2-қабаттан төмен — 4 пәтер, 4-қабаттан төмен — $3 \cdot 4 = 12$, 5-қабаттан төмен — $4 \cdot 4 = 16$.
Шешуі.
- Асқар: $4 + 2 = 6$.
- Сәуле: $12 + 1 = 13$.
- Төлеген: $12 + 3 = 15$.
- Нұрлан: $16 + 4 = 20$.
Тексеру: кіре берісте барлығы $5 \cdot 4 = 20$ пәтер. Нұрлан 5-қабаттағы соңғы пәтерде тұрады ✓.
Жауабы: Асқар — 6-пәтер, Сәуле — 13-пәтер, Төлеген — 15-пәтер, Нұрлан — 20-пәтер.
№ 1294
Кестеде өзен ұзындықтары берілген. Кестеде берілген өзен ұзындықтарының сызықтық диаграммасын сызыңдар. Ұзындығы 1 см бірлік кесінді 200 км ұзындықты кескіндейді. Аягөз 492 км, Іле 1439 км, Тобыл 1600 км, Шу 1186 км, Талас 420 км. Қай өзеннің ұзындығы ұзын? Қай өзеннің ұзындығы қысқа? Қай өзендердің ұзындықтары шамалас?
Қалай ойлаймыз. Әр кесіндінің ұзындығын 200-ге бөліп табамыз да, сантиметрдің ондық үлесіне дейін дөңгелектейміз.
Шешуі.
| өзен | ұзындығы, км | кесінді, см |
|---|---|---|
| Аягөз | 492 | $492 : 200 \approx 2{,}5$ |
| Іле | 1439 | $1439 : 200 \approx 7{,}2$ |
| Тобыл | 1600 | $1600 : 200 = 8$ |
| Шу | 1186 | $1186 : 200 \approx 5{,}9$ |
| Талас | 420 | $420 : 200 = 2{,}1$ |
Қалай саламыз:
- Тік бұрыш сыз. Тік қабырғасында әр 1 см сайын бөлік белгіле: 200, 400, 600, …, 1600 км.
- Төменге бірдей қашықтықта бес нүкте белгілеп, өзендердің аттарын жаз.
- Әр нүктеден жоғары қарай кестедегі ұзындықтағы кесінді жүргіз.
Міне, нәтиже осындай болуы керек (өз суретіңмен салыстыр):
Жауабы: 1) ең ұзыны — Тобыл; 2) ең қысқасы — Талас; 3) Аягөз бен Талас шамалас (2,5 см және 2,1 см), сондай-ақ Іле мен Тобыл да жақын.
📕 Оқулықтағы қате. Есептің шартында бірлік кесінді «200 м» ұзындықты кескіндейді деп жазылған, ал кестедегі ұзындықтар километрмен берілген. Мағынасына қарай бұл — 200 км, ал 200 м болса, Тобылдың кесіндісі 80 м болып кетер еді.
№ 1295
Дәрігерлердің кеңестері бойынша тәуліктік тамақтанудың 4 кезеңі белгіленген. Онда барлық тамақтану мөлшерінің таңертең 25%-ін, екінші тамақтануда — 15%-ін, түсте — 45%-ін, кешке — 15%-ін пайдалану керек. Тәуліктік тамақтану мөлшерінің дөңгелек диаграммасын салыңдар.
Қалай ойлаймыз. Әр процентті градусқа айналдырамыз, сосын бұрыштарды транспортирмен өлшеп саламыз.
Шешуі.
| тамақтану | % | сектордың бұрышы |
|---|---|---|
| таңертеңгі ас | 25 | $3{,}6^\circ \cdot 25 = 90^\circ$ |
| екінші тамақтану | 15 | $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$ |
| түскі ас | 45 | $3{,}6^\circ \cdot 45 = 162^\circ$ |
| кешкі ас | 15 | $3{,}6^\circ \cdot 15 = 54^\circ$ |
Тексеру: $90 + 54 + 162 + 54 = 360$ ✓.
Қалай сызамыз:
- Дөңгелек сызып, радиус жүргіз.
- Одан $90^\circ$ өлшеп, екінші радиус жүргіз — бұл таңертеңгі ас.
- Екінші радиустан $54^\circ$, сосын $162^\circ$ өлше. Қалған бөлік дәл $54^\circ$ болады.
- Секторларды боя да, жазба жаз.
Былай болуы керек:
Жауабы: секторлардың бұрыштары $90^\circ$, $54^\circ$, $162^\circ$ және $54^\circ$.
№ 1296
8.24-суретте көйлектің, пальтоның және қолшатырдың сатылым санының жыл мезгілдеріне тәуелділігі графиктік диаграммамен берілген. Сұрақтарға жауап беріңдер. 1) Жылдың қай мезгілінде: а) көйлек; ә) пальто көп сатылады? 2) Жылдың қай мезгілінде: а) көйлек; ә) пальто аз сатылады? 3) Жылдың қай мезгілінде қолшатырға сұраныс көп болады? Не себепті?
Қалай ойлаймыз. Әр сызықтан ең жоғарғы және ең төменгі нүктені іздеп көр.
Шешуі. Мәндерді кестеге көшірейік:
| күз | қыс | көктем | жаз | |
|---|---|---|---|---|
| көйлек | 200 | 100 | 200 | 500 |
| пальто | 400 | 500 | 300 | 100 |
| қолшатыр | 300 | 200 | 500 | 200 |
- Ең көп: көйлек — жазда (500), пальто — қыста (500).
- Ең аз: көйлек — қыста (100), пальто — жазда (100).
- Қолшатырды ең көп көктемде алады (500): көктемде жиі жаңбыр жауады.
Жауабы: 1) а) жазда; ә) қыста; 2) а) қыста; ә) жазда; 3) көктемде, өйткені көктемде жаңбыр көп жауады.
№ 1297
8.25-суретте сынып оқушыларының математикадан бақылау жұмысының нәтижелері бағанды диаграммамен көрсетілген. Бағанды диаграммада берілгендерді пайдаланып, сұрақтарға жауап беріңдер. 1) Бақылау жұмысын неше оқушы: «5»-ке; «4»-ке; «3»-ке; «2»-ге жазды? 2) Сынып оқушыларының неше проценті бақылау жұмысын «5»-ке және «4»-ке жазды?
Қалай ойлаймыз. Процент — бүкіл сыныптың бөлігі. Демек, алдымен барлығы неше оқушы екенін табу керек.
Шешуі.
- Бағандар бойынша: «5» — 5 оқушы, «4» — 13, «3» — 10, «2» — 2.
- Барлығы: $5 + 13 + 10 + 2 = 30$.
- «5»-ке және «4»-ке: $5 + 13 = 18$, бұл $\frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 60%$.
- Бөлек керек болса: «5»-ке — $\frac{5}{30} \approx 16{,}7%$, «4»-ке — $\frac{13}{30} \approx 43{,}3%$.
Жауабы: 1) 5, 13, 10 және 2 оқушы; 2) «5»-ке және «4»-ке — сыныптың 60%-і («5»-ке шамамен 16,7%, «4»-ке шамамен 43,3%).
№ 1298
Тірі организмнің өмір сүруі үшін организмдегі судың қалыпты мөлшері сақталуы қажет. Адамның массасының 65%-і, жануарлар массасының 50%-і, үй жануарлары массасының 59%-і, үйректер массасының 70%-і, балықтар массасының 75%-і және медуза массасының 99%-і су. Аталған организмдердегі судың проценттік мөлшерін бағанды диаграммада көрсетіңдер. Организмдегі су мөлшері оның өмір сүрген ортасына байланысты ма, әлде байланыссыз ба?
Қалай ойлаймыз. Ыңғайлы масштаб: 1 см — 10%. Сонда баған биіктігі сантиметрмен — процентті 10-ға бөлгенге тең.
Шешуі.
| организм | су, % | баған биіктігі, см |
|---|---|---|
| адам | 65 | 6,5 |
| жануарлар | 50 | 5 |
| үй жануарлары | 59 | 5,9 |
| үйрек | 70 | 7 |
| балық | 75 | 7,5 |
| медуза | 99 | 9,9 |
Тік бұрыш сызып, сол жағына 1 см сайын 10%, 20%, …, 100% белгіле. Ені бірдей алты баған сыз. Салыстыр:
Жауабы: байланысты: суда (медуза, балық) немесе су жағасында (үйрек) өмір сүретіндерде организмдегі су көбірек.
🌟 Медуза дерлік түгелдей судан тұрады. Оны күннің астына шығарып қойсаң, одан жұқа ғана қабық қалады!
№ 1299
Отынның қызулығы оның құрамындағы көміртегінің мөлшерімен өлшенеді. 8.26-суретте көрсетілген бағанды диаграмма бойынша сұрақтарға жауап беріңдер: 1) Қай отынның жылулығы аз? Көміртегі неше процент? 2) Қай отынның жылулығы көп? Көміртегі неше процент? 3) Қыста үйді жылыту үшін не себепті таскөмір пайдаланылады?
Қалай ойлаймыз. Отында көміртегі неғұрлым көп болса, ол жанғанда соғұрлым көп жылу береді.
Шешуі.
- Көміртегі ең аз — ағашта, шамамен 50%. Ол ең аз жылу береді.
- Ең көбі — антрацитте, шамамен 95%. Ол ең көп жылу береді.
- Таскөмірде көміртегі шамамен 90%: ол көп жылу береді және ұзақ жанады. Қазақстанда оны көп өндіреді (мысалы, Қарағандыда және Екібастұзда), сондықтан ол қолжетімді.
Жауабы: 1) ағаш, шамамен 50%; 2) антрацит, шамамен 95%; 3) таскөмір көп жылу береді (көміртегі шамамен 90%) және қолжетімді.
№ 1300
8.27-суретте аңшы итінің, түлкінің және қоянның жылдамдықтарының бағанды диаграммасы берілген (аңшы ит — 18 м/с, түлкі — 10 м/с, қоян — 16 м/с). Мына сұрақтарға жауап беріңдер: 1) Түлкінің жылдамдығы көп пе, әлде қоянның жылдамдығы көп пе? Қайсысының жылдамдығы шамамен қанша көп? 2) Аңшы итінің түлкіні қуып жету мүмкіндігі көп пе, әлде қоянды қуып жету мүмкіндігі көп пе?
Қалай ойлаймыз. Ит қайсысын тезірек қуып жетеді? Ол бір секундта кімге көбірек жақындайды.
Шешуі.
- Диаграммадан: ит — 18 м/с, түлкі — 10 м/с, қоян — 16 м/с. Қоян түлкіден жылдам: $16 - 10 = 6$ м/с.
- Әр секунд сайын ит түлкіге $18 - 10 = 8$ м, ал қоянға — $18 - 16 = 2$ м жақындайды.
- Екеуі де бірдей қашықтықтан қашса, итке түлкіні қуып жету оңай: ол 4 есе тезірек жетеді.
Жауабы: 1) қоян, 6 м/с-қа; 2) түлкіні.
№ 1301
Тәуліктің қандай бөлігінде мектепте боласың, үй тапсырмасын орындайсың, үй жұмысына көмектесесің, ойнайсың, ұйықтайсың? Дөңгелек диаграмманы жасаңдар.
Қалай ойлаймыз. Тәулік — 24 сағат, ал бүкіл дөңгелек — $360^\circ$. 1 сағатқа $360^\circ : 24 = 15^\circ$ келеді.
Шешуі. Әркімнің сағаттары өзіне тән. Міне, мысал:
| іс | сағат | сектордың бұрышы |
|---|---|---|
| мектеп | 6 | $6 \cdot 15^\circ = 90^\circ$ |
| үй тапсырмасы | 2 | $30^\circ$ |
| үй жұмысына көмек | 1 | $15^\circ$ |
| ойын, серуен | 3 | $45^\circ$ |
| ұйқы | 9 | $135^\circ$ |
| қалғаны (ас, жол) | 3 | $45^\circ$ |
Тексеру: $6 + 2 + 1 + 3 + 9 + 3 = 24$ сағат және $90 + 30 + 15 + 45 + 135 + 45 = 360^\circ$ ✓. Одан әрі дөңгелек сызып, бұрыштарды транспортирмен № 1295-тегідей өлшеп саламыз.
Жауабы: әркімдікі әртүрлі; бастысы — сағаттардың қосындысы 24, бұрыштардың қосындысы $360^\circ$ (1 сағат = $15^\circ$).
👨👩👧 Ата-анаға. Баламен бірге оның шынайы күні бойынша кесте жасаңыз. Оның ұйқысы мен серуені жеткілікті ме, соны талқылауға жақсы себеп.
Жадынама
- Алдымен масштаб, сосын бағандардың ұзындығы: мән $:$ масштаб.
- Сектордың бұрышы = процент $\cdot\ 3{,}6^\circ$; барлық бұрыш бірге $360^\circ$ береді.
- Тұтас — тәулік болса, 1 сағат = $15^\circ$.
- График жоғары өрлесе — шама өседі, төмен түссе — кемиді.