9.1. Тік бұрышты параллелепипед. Тік бұрышты параллелепипедтің жазбасы

Математика, 5 сынып. Оқулық: Алдамұратова Т.А. және т.б. (Атамұра, 2017). IX тарау: Кеңістіктік фигуралардың жазбалары. 174–177-беттер.

Нені үйренесің

• Қораптың жақтарын, қырларын және төбелерін санауды (олар 6, 12 және 8).
• Ұзындығын, енін және биіктігін атап, қораптар арасынан кубты тануды.
• Жазба дегеніміздің не екенін түсініп, одан қарама-қарсы жақтарды табуды.
• Параллелепипедтің және кубтың қырларының қосындысын, бетінің ауданын және көлемін табуды.

Ой қозғау

Алдымен ойша жауап бер, содан кейін жауабын ашып қара.

• Қабырғалары 5 см және 3 см тік төртбұрыштың ауданы қандай? $5 \cdot 3 = $ 15 см$^2$.
• Қабырғасы 4 см квадраттың ауданы қандай? $4 \cdot 4 = $ 16 см$^2$.
• Өлшемдері 2 см × 3 см × 4 см қораптың көлемі қандай? $V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 3 \cdot 4 = $ 24 см$^3$.
• Қыры 3 см кубтың көлемі қандай? $3 \cdot 3 \cdot 3 = $ 27 см$^3$.

Тақырыпты талдаймыз

Қорап, кірпіш және шкаф — бәрі бір фигура

Сіріңке қорабы, кірпіш, шкаф, аяқ киім қорабы — мұның бәрі тік бұрышты параллелепипед. Сөзі ұзын болғанымен, фигурасы өте таныс: оның беті 6 тік төртбұрыштан тұрады. Осы тік төртбұрыштарды жақтары деп атайды.

• Қыр — екі жақ түйісетін сызық.
• Төбе — үш қыр түйісетін нүкте.

📌 Тік бұрышты параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары тең. Яғни жақтары жұп-жұптан тұрады: үсті мен асты, алды мен арты, сол жағы мен оң жағы.

Ұзындығы, ені, биіктігі

Әр төбеден үш қыр шығады. Олардың ұзындығын ұзындығы, ені және биіктігі деп атайды, ал үшеуін бірге өлшемдері дейді. Оларды $a$, $b$, $c$ әріптерімен белгілейміз.

Он екі қыр бірдей төрттіктерге бөлінеді: үш төрттік. Сондықтан үш формула шығады:

• барлық қырларының қосындысы: $4 \cdot (a + b + c)$;
• бетінің ауданы: $S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$;
• көлемі: $V = a \cdot b \cdot c$.

Мысал: қорап 5 см × 3 см × 2 см. Қырлары: $4 \cdot (5 + 3 + 2) = 40$ см. Беті: $2 \cdot (15 + 6 + 10) = 62$ см$^2$. Көлемі: $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$ см$^3$.

⚠️ Жиі кететін қате. Беттің ауданы мен көлемді шатастырады. Бетінің ауданы — қорапты қаптау үшін қанша қағаз кететінін көрсетеді (см$^2$). Көлем — оның ішіне қанша зат сыятынын көрсетеді (см$^3$). Және де қырларының қосындысын табғанда 4-ке көбейтуді ұмытады.

Куб — ең «әділ» қорап

Куб — барлық өлшемдері өзара тең тік бұрышты параллелепипед. Оның 6 жағының бәрі бірдей квадрат. Қыры $a$ кубтың қырларының қосындысы $12a$, бетінің ауданы $6a^2$, көлемі $a^3$.

Жазба: қиып жіберілген қорап

Қорапты бірнеше қыры бойынша қи да, ол кесек-кесек болып ыдырамай, жалпақ жатсын. Сонда жазба шығады: алты жақтың бәрі бір-біріне жапсырылып тұрады. Әдетте төрт бүйір жақ қатарласып тұрады да, жоғарыда және төменде екі «қақпақ» болады.

Міне, өлшемдері 4 × 2 × 3 тор көз болатын қорап жазбасы. Тең жақтар бір түспен боялған:

Кубтың жазбасы — 6 бірдей квадрат. Мұндай жазбалардың дәл 11 түрі бар! Ең танымалы — «крест». Бүктегенде бір түсті жақтар бір-біріне қарама-қарсы тұрады:

Жазбадан қарама-қарсы жақтарды қалай табамыз

1. Төрт жақтан тұратын қатарда қарама-қарсы жақтар біреуден кейін тұрады: 1-ші мен 3-ші, 2-ші мен 4-ші.
2. Қатардың үстіне және астына жапсырылған екі жақ та жұп болады (үсті мен асты).
3. Жазбада қатар тұрған көрші жақтар ешқашан қарама-қарсы болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Мұнда ең жақсы көмекші — қайшы мен торкөзді қағаз. Баламен бірге кубтың жазбасын сызып, қиып алып, бүктеңіздер. Екі-үш рет жасағаннан кейін бала бүктемелерді ойша «көре» бастайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Тік бұрышты параллелепипедке не ұқсайды? Кірпіш, сіріңке қорабы, шкаф, кітап, аяқ киім қорабы, аквариум.
• Оның неше жағы бар? 6.
• Неше қыры, неше төбесі бар? 12 қыры және 8 төбесі.
• Қандай тік бұрышты параллелепипедті куб деп атайды? Ұзындығы, ені және биіктігі тең параллелепипедті.
• Жазба деген не? Дененің барлық жақтарынан тұратын жазық фигура. Ол беттің кейбір қырларын қиып, жайғанда шығады.

Жаттығуларды шығарамыз

Ауызша есептеу

№ 1302

Ауызша есептеңдер: 1) $808 : 4$; $1515 : 3$; $1212 : 6$. 2) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$; $36{,}36 : 18$; $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$. 3) $70{,}7 : 7$; $\frac{2}{5} - \frac{1}{10}$; $45{,}45 : 9$. 4) $\frac{2}{3} : \frac{4}{9}$; $21{,}7 : 7$; $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}$.

Қалай ойлаймыз. 808, 1515, 36,36 сияқты сандар «бөлек-бөлек» бөлінеді: $808 : 4$ — бұл $800 : 4$ және $8 : 4$. Бөлшектерді қосқанда ортақ бөлімге келтіреміз.

Шешуі.

1. $808 : 4 = $ 202; $1515 : 3 = $ 505; $1212 : 6 = $ 202.
2. $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = $ $\frac{3}{4}$; $36{,}36 : 18 = $ 2,02; $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = $ $\frac{1}{2}$.
3. $70{,}7 : 7 = $ 10,1; $\frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} - \frac{1}{10} = $ $\frac{3}{10}$; $45{,}45 : 9 = $ 5,05.
4. $\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} = $ $1\frac{1}{2}$; $21{,}7 : 7 = $ 3,1; $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{60} = $ $\frac{1}{4}$.

Жауабы: 1) 202; 505; 202. 2) $\frac{3}{4}$; 2,02; $\frac{1}{2}$. 3) 10,1; $\frac{3}{10}$; 5,05. 4) $1\frac{1}{2}$; 3,1; $\frac{1}{4}$.

A деңгейі

№ 1303

Қыры 15 см кубтың қаңқасын дайындау үшін ұзындығы неше метр және сантиметр сым керек?

Қалай ойлаймыз. Қаңқа — барлық қырлары, жануардың сүйек қаңқасы сияқты. Кубтың 12 бірдей қыры бар.

Шешуі. $12 \cdot 15 = 180$ см.

Жауабы: 180 см, яғни 1 м 80 см.

№ 1304

9.6-суретте кубтың жазбасы кескінделген. Егер кубтың жоғарғы жағы боялған болса, қай жағы табаны болады? Қай жақтары сол жақ, оң жақ бүйір жақтары болады?

Қалай ойлаймыз. Төрт жақтан тұратын қатарда қарама-қарсы жақтар біреуден кейін тұрады. Боялған жақ қатарда 2-ші, демек, оған қарама-қарсы 4-ші жақ.

Шешуі.

1. Боялған жақ үстінде тұр. Қатарды оның айналасында төмен қарай бүктейміз.
2. Дөңгелек (боялған жақтың сол жағында) төмен түсіп, сол жақ бүйір жағы болады.
3. Жұлдыз (боялған жақтың оң жағында) оң жақ бүйір жағы болады.
4. Қатардың 4-ші жағы — үшбұрыш — кубтың астына түсіп, табаны болады.
5. «Етік» пен жарты ай — алдыңғы және артқы жақтар, олар бір-біріне қарама-қарсы.

Кубты басқа жағымен өзіңе қаратсаң, сол және оң жақтар орындарымен ауысады. Бірақ «дөңгелек — жұлдыз» жұбы әрқашан қарама-қарсы тұрады.

Жауабы: табаны — үшбұрыш; сол жағы — дөңгелек; оң жағы — жұлдыз (етік пен жарты ай — алдыңғы және артқы жақтар).

B деңгейі

№ 1305

Кубтың бір жағының периметрі 32 см. Кубтың бетінің ауданын табыңдар. Кубтың көлемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кубтың жағы — квадрат. Квадраттың периметрі бойынша оның қабырғасын табамыз, ол кубтың қыры болады.

Шешуі.

1. Қыры: $32 : 4 = 8$ см.
2. Бір жағының ауданы: $8 \cdot 8 = 64$ см$^2$.
3. Бетінің ауданы: $6 \cdot 64 = 384$ см$^2$.
4. Көлемі: $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ см$^3$.

Жауабы: 384 см$^2$; 512 см$^3$.

№ 1306

Тік бұрышты параллелепипедтің (9.7, a-сурет) жазбасы 9.7, ә-суретте кескінделген. Жазбадағы дәптердің 2 торкөзінің ұзындығы 1 см-ге тең деп есептеу керек. 1) Тік бұрышты параллелепипедтің жазбасынан оның ұзындығын, енін және биіктігін табыңдар. 2) Тік бұрышты параллелепипедтің бетінің ауданы неше шаршы сантиметр? (4 торкөз 1 см$^2$ деп есептеңдер.)

Қалай ойлаймыз. Жазбадағы торкөздерді санап, 2-ге бөлсек, сантиметр шығады.

Шешуі. Жазбада:

• үш тік төртбұрыш 4 × 8 торкөзден, яғни 2 см × 4 см;
• екі квадрат 4 × 4 торкөзден, яғни 2 см × 2 см;
• бір тік төртбұрыш 8 × 4 торкөзден, яғни 4 см × 2 см.

1. Ең ұзын қыры — 4 см, қалған екеуі — 2 см-ден. Ұзындығы 4 см, ені 2 см, биіктігі 2 см.
2. Төрт жағы $4 \cdot 2 = 8$ см$^2$-тан және екі жағы $2 \cdot 2 = 4$ см$^2$-тан.
3. Бетінің ауданы: $4 \cdot 8 + 2 \cdot 4 = 32 + 8 = 40$ см$^2$.

Формуламен тексеру: $2 \cdot (4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot 20 = 40$ см$^2$ ✓.

Жауабы: 1) ұзындығы 4 см, ені 2 см, биіктігі 2 см; 2) 40 см$^2$.

№ 1307

Дәптерге қыры 2 см кубтың жазбасын салыңдар. Жазба бойынша берілген кубтың бетінің ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең ыңғайлысы — «крест»: қатарда төрт квадрат, оның үстінде және астында бір-бір квадрат.

Шешуі.

1. Қатарласа қабырғасы 2 см 4 квадрат сыз (торкөзді дәптерде әрқайсысы 4 × 4 торкөз). 8 см × 2 см жолақ шығады.
2. Екінші квадраттың үстіне және астына 2 см × 2 см-ден тағы бір квадрат сыз. «Крест» шығады.
3. Бір жағының ауданы: $2 \cdot 2 = 4$ см$^2$.
4. Бетінің ауданы: $6 \cdot 4 = 24$ см$^2$.

Дәптерде былай болуы керек (1 торкөз — 0,5 см):

Жауабы: 24 см$^2$.

C деңгейі

№ 1308

Тік бұрышты параллелепипедтің барлық қырларының қосындысы кубтың барлық қырларының қосындысына тең. Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 13 см, 8 см және 6 см. Кубтың көлемін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сым бір екен: алдымен оның ұзындығын параллелепипед бойынша табамыз, содан кейін кубтың 12 қырына бөлеміз.

Шешуі.

1. Параллелепипедтің қырларының қосындысы: $4 \cdot (13 + 8 + 6) = 4 \cdot 27 = 108$ см.
2. Кубтың қыры: $108 : 12 = 9$ см.
3. Кубтың көлемі: $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ см$^3$.

Жауабы: 729 см$^3$.

№ 1309

9.8-суретте кесінделген фигуралардың қайсысы кубтың жазбасы бола алады?

Қалай ойлаймыз. Фигураны ойша бүктейміз. Егер екі жақ бір орынға түссе — бұл жазба емес. Ыңғайлы белгі: төрт квадраттан тұратын «жолаққа» әр жағынан бір-бір квадрат жапсыруға болады, бірақ бір жағынан қатарынан екі квадрат жапсыруға болмайды.

Шешуі.

1. №1 фигура: C, D, E, F бағаны және D-ның сол жағында қатарынан екі квадрат — B және A. B бүйір «қақпақ» болады, ал A бағанның бір жағының үстіне түседі. Жазба емес.
2. №2 фигура: B, D, E, F қатары, D-ның үстінде — C, B-ның астында — A. Қатар сақина болып бүктеледі, C мен A оны үстінен және астынан жабады. Жазба.
3. №3 фигура: B, D, F қатары, B-ның үстінде — A, астында — C, F-тің үстінде — E. Егер B — түбі болса, онда A, C, D — бүйірлері, F — үсті, ал F-ке A-мен бір жағынан жапсырылған E, A-ның орнына түседі. Жазба емес.
4. №4 фигура: «баспалдақ» A; B, C, D; E, F. Бүктейміз: B — түбі, A, C — бүйірлері, D — A-ға қарсы бүйірі, E — үсті, F — қалған бүйірі. Барлық жағы әртүрлі. Жазба.

Жауабы: кубтың жазбасы — №2 және №4.

№ 1310

Тік бұрышты параллелепипедтің барлық қырларының қосындысы 112 см. Оның ұзындығы мен биіктігінің қосындысы 19 см, ал биіктігі мен енінің қосындысы 13 см. Тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңдар. A. 540 см$^3$; B. 432 см$^3$; C. 405 см$^3$; D. 420 см$^3$.

Қалай ойлаймыз. Қырларының қосындысы — (ұзындығы + ені + биіктігі) санының 4 еселенгені. Осы қосындыны тауып, өлшемдерді бір-бірлеп «тартып аламыз».

Шешуі.

1. $a + b + c = 112 : 4 = 28$ см.
2. Ені: $28 - (a + c) = 28 - 19 = 9$ см.
3. Биіктігі: $13 - 9 = 4$ см.
4. Ұзындығы: $19 - 4 = 15$ см.
5. Көлемі: $15 \cdot 9 \cdot 4 = 540$ см$^3$.

Тексеру: $4 \cdot (15 + 9 + 4) = 112$ ✓.

Жауабы: A. 540 см$^3$.

№ 1311

9.9, a-суретте кубтың (9.9, ә-сурет) жазбасы кескінделген. Егер жазбаны ойша бүктеп, куб құрастырсақ: 1) жазбадағы $D$, $E$, $K$, $L$ нүктелері қай нүктелермен беттеседі? 2) жазбаның $DE$ қабырғасы қай қабырғамен беттесіп, кубтың қырын құрайды? (Жазба: қатарында MBAO, BCSA, CFNS, FKLN квадраттары; CFNS-тің үстінде — DEFC квадраты, астында — SNPR.)

Қалай ойлаймыз. CFNS квадраты кубтың түбі болсын. Қалған квадраттарды жоғары көтереміз. Жоғарғы жақтың бір төбесіне түсетін нүктелер бір-бірімен беттеседі.

Шешуі.

1. BCSA квадраты CS бойымен көтеріледі: B нүктесі C-ның үстіне, A нүктесі S-тің үстіне келеді.
2. FKLN квадраты FN бойымен көтеріледі: K нүктесі F-тің үстіне, L нүктесі N-нің үстіне келеді.
3. DEFC квадраты CF бойымен көтеріледі: D нүктесі C-ның үстіне, E нүктесі F-тің үстіне келеді.
4. SNPR квадраты SN бойымен көтеріледі: R нүктесі S-тің үстіне, P нүктесі N-нің үстіне келеді.
5. MBAO квадраты қақпақ болып үстіне жатады: M нүктесі F-тің үстіне, O нүктесі N-нің үстіне келеді.

Нүктелерді жоғарғы жақтың төбелері бойынша жинаймыз:

• C-ның үстінде: D және B;
• F-тің үстінде: E, K және M;
• N-нің үстінде: L, O және P;
• S-тің үстінде: A және R.

DE қабырғасы «C-ның үстіндегі» төбеден «F-тің үстіндегі» төбеге қарай өтеді. MBAO квадратында дәл осындай қабырға — BM.

Жауабы: 1) D нүктесі B-мен беттеседі; E — M және K-мен; K — M және E-мен; L — O және P-мен. 2) DE қабырғасымен MB қабырғасы беттеседі.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл есепті қолмен шығару ең оңай: жазбаны қағазға қайта сызып, төбелерін әріппен белгілеп, қиып алып, бүктеңіздер. Беттескен әріптер бір бұрышқа келеді.

№ 1312

1) 9.10-суретте жолақ қағаздан қыры 2 см кубты құрастыру көрсетілген. Жолақ қағаздың ені 2 см, ал ұзындығы 14 см. Осындай жолақ қағазды қиып алып, одан куб дайындаңдар. 2) №1, №2, №3 кубтардың қайсысы суретте көрсетілген жолақ қағаздан дайындалған? (Жолақ 7 квадраттан тұрады: A, B-ның жартысы, C, D, E, B-ның жартысы, F; екінші және алтыншы квадраттар диагональ бойымен бүгіледі.)

Қалай ойлаймыз. Жолақтың ауданы $2 \cdot 14 = 28$ см$^2$, ал кубтың беті $6 \cdot 2 \cdot 2 = 24$ см$^2$. Артық 4 см$^2$ — бүккенде ішке кететін, жазусыз екі жарты үшбұрыш. B-ның екі жартысы бірігіп, B жағын толық құрайды.

Шешуі.

1. 2 см × 14 см жолақты қиып алып, 7 квадратқа бөл. 2-ші және 6-шы квадраттарда суреттегідей диагональдар жүргіз.
2. Жолақты осы диагональдар бойымен бүк. Жазық фигура шығады: C, D, E қатары, оның ұштарынан $\frac{1}{2}B$ үшбұрыштары шығып тұр, төменде сол жақта A квадраты, жоғарыда оң жақта F квадраты.
3. C, D, E қатарын сақина етіп бүк: екі $\frac{1}{2}B$ үшбұрышы түйісіп, төртінші бүйір жақты жабады. A мен F жоғарғы және төменгі қақпақ болады.
4. Қарама-қарсы жақтар былай шығады: A және F, B және D, C және E.
5. Демек, кубта A мен F, немесе B мен D, немесе C мен E жақтары бір мезгілде ешқашан көрінбейді. Суреттермен салыстырамыз: №2 кубта D мен B көрінеді — олар қарама-қарсы емес, көрші жатыр, бұл мүмкін емес. №1 және №3 кубтарда тек көрші жақтар көрінеді (№1-де B, C, F; №3-те A, B, E). Бұл екеуін ажырату үшін бір төбеге түйісетін үш жақтың айналу бағытына қарау керек. Оқулықтың жауабы бойынша — №3.

Ең сенімдісі — тәжірибеде тексеру: жолақтан куб құрастырып, суреттермен салыстырып көр.

Жауабы: 1) жолақты екі диагональ бойымен бүктеп, куб құрастырады; 2) №3 куб (қарама-қарсы жақтар: A–F, B–D, C–E).

Жадынама

• Параллелепипедтің қарама-қарсы жақтары тең.
• Жазбадағы төрт жақтан тұратын қатарда қарама-қарсы жақтар біреуден кейін тұрады.
• Қатардың шетіндегі екі «қақпақ» та қарама-қарсы жақтар.
• Жазбада көрші жақтар ешқашан қарама-қарсы болмайды.

Шағын тест