§ 2. Пропорция. Пропорцияның негізгі қасиеті

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 1 тарау: Қатынас және пропорция. 24–31-беттер.

Нені үйренесің

• Теңдіктердің ішінен пропорцияны тануды.
• Пропорцияның шеткі және ортанғы мүшелерін атауды.
• Пропорцияны «айқастыра» — негізгі қасиеті арқылы тексеруді.
• Пропорцияның белгісіз мүшесін табуды және осындай теңдеулерді шығаруды.
• Бір пропорциядан бірнеше жаңа пропорция құрауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 108–110 тапсырмалары, олар бүгін керек нәрсені қыздырып алады.

• $259 \cdot 804$ неге тең? $207,200 + 1036 = $ 208 236.
• Ал $\frac{87}{100} \cdot 6\frac{26}{29}$ ше? $\frac{87}{100} \cdot \frac{200}{29} = $ 6.
• Қайсысы үлкен: $0{,}15 \cdot 6{,}6$ па, әлде $0{,}003 \cdot 33$ пе? Біріншісі: $0{,}99 > 0{,}099$.
• $2x \cdot 0{,}25 = 64$ теңдеуін шеш. $0{,}5x = 64$, $x = 128$.
• $15 : 3$ және $30 : 6$ неге тең? Екі қатынас та 5-ке тең.

💡 Соңғы сұрақ — белгі. Екі түрлі қатынас тең болып шықты. Бүгінгі сабақтың кейіпкері осы теңдік.

Тақырыпты талдаймыз

Екі тең қатынас

2 стақан күріш үшін 4 стақан су алады. 3 стақан күріш үшін — 6 стақан су. $2 : 4$ және $3 : 6$ қатынастары тең: екеуі де $\frac{1}{2}$-ге тең.

📌 Пропорция — екі қатынастың тура теңдігі: $a : b = c : d$ немесе $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Мұндағы басты сөз — «тура». $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ — пропорция: екі бөлшек те 0,75-ке тең. Ал $\frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ — олай емес: $0{,}75 \ne 0{,}8333\ldots$ Мұндай теңдік жай ғана дұрыс емес.

Пропорцияны былай оқиды: «$a$-ның $b$-ға бөліндісі $c$-ның $d$-ға бөліндісіне тең» немесе «$a$-ның $b$-ға қатынасы $c$-ның $d$-ға қатынасына тең».

🌟 Пропорциялар тағам рецептерінде, дәрілерде, карталарда, сәулетте, тіпті адам жүзінің кескінінде де бар. Суретшілер баяғыда байқаған: көз бастың биіктігін шамамен екіге бөледі.

Шеткі және ортанғы мүшелер

$a : b = c : d$ жазуында:

• $a$ және $d$ шетте тұр — бұлар шеткі мүшелер;
• $b$ және $c$ ортада тұр — бұлар ортанғы мүшелер.

💡 Қалай есте сақтаймыз: пропорцияны жолмен оқы. Кім «шетте» тұр, сол шеткі. Кім «ортада» тұр, сол ортанғы.

Басты құпия: айқастыра көбейту

$3 : 5 = 6 : 10$ алайық. Шеткі мүшелерін көбейтеміз: $3 \cdot 10 = 30$. Ортанғы мүшелерін көбейтеміз: $5 \cdot 6 = 30$. Сәйкес келді! Тағы тексерейік: $7{,}2 : 6 = 36 : 30$ болса, $7{,}2 \cdot 30 = 216$ және $6 \cdot 36 = 216$.

📌 Пропорцияның негізгі қасиеті. Шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортанғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең: егер $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ болса, онда $a \cdot d = b \cdot c$.

Неге ол әрдайым солай? $\frac{a}{b}$ және $\frac{c}{d}$ бөлшектерін $bd$ ортақ бөлімге келтіреміз: $\frac{ad}{bd} = \frac{cb}{bd}$ шығады. Бөлімдері бірдей, бөлшектер тең — демек, алымдары да тең: $ad = bc$.

Бөлшектерде бұл крест сияқты көрінеді: бір бөлшектің алымын екінші бөлшектің бөліміне көбейтеміз.

Тексеру: пропорция ма, жоқ па?

$\frac{7}{9{,}1} = \frac{10}{13}$: $7 \cdot 13 = 91$ және $9{,}1 \cdot 10 = 91$. Тең — бұл пропорция.

$\frac{7}{9{,}1} = \frac{9}{1{,}7}$: $7 \cdot 1{,}7 = 11{,}9$, ал $9{,}1 \cdot 9 = 81{,}9$. Тең емес — бұл пропорция емес.

Белгісіз мүшені іздейміз

$\frac{28}{49} = \frac{4}{x}$ теңдеуін шешейік. Қасиет бойынша: $28 \cdot x = 49 \cdot 4$, яғни $28x = 196$, және $x = 196 : 28 = 7$.

📌 Қысқа ереже. Белгісіз шеткі мүше = ортанғы мүшелерінің көбейтіндісі : белгілі шеткі мүше. Белгісіз ортанғы мүше = шеткі мүшелерінің көбейтіндісі : белгілі ортанғы мүше.

⚠️ Жиі кететін қате. Көрші сандарды көлденең көбейтеді: $28 \cdot 4$. Олай емес! Диагональ бойынша көбейтеміз: сол жақ бөлшектің алымын оң жақ бөлшектің бөліміне.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Есепті шығарған соң баладан табылған санды қойып, айқастыра тексеруін сұраңыз. Бес секунд — және қате жоқ. Бұл әдет 7-сыныпта көп көмектеседі.

Бір пропорция — төрт нұсқа

$\frac{13}{14} = \frac{39}{42}$ пропорциясынан білеміз: $13 \cdot 42 = 14 \cdot 39$. Осы теңдікті басқа пропорциялар да береді:

• $\frac{13}{39} = \frac{14}{42}$ — ортанғы мүшелерінің орнын ауыстырдық;
• $\frac{42}{14} = \frac{39}{13}$ — шеткі мүшелерінің орнын ауыстырдық;
• $\frac{42}{39} = \frac{14}{13}$ — екеуін де ауыстырдық.

Екі бөлшекті де төңкерсек, тағы сонша шығады. Барлығы бір пропорциядан 8 жазба алынады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ неге пропорция, ал $\frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ неге емес? Бірінші теңдікте $3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$, теңдік дұрыс. Екіншісінде $3 \cdot 6 = 18$, ал $4 \cdot 5 = 20$ — теңдік дұрыс емес.
• $3 : 5 = 6 : 10$ және $7{,}2 : 6 = 36 : 30$ пропорцияларында шеткі және ортанғы мүшелердің көбейтінділері неге тең? Біріншіде екі көбейтінді де 30-ға, екіншіде 216-ға тең. Олар сәйкес келеді.
• Екі қатынастың кез келген теңдігі пропорция бола ма? Жоқ, тек тура теңдік қана. Дұрыс емес теңдікті пропорция демейді.
• Пропорция болмайтын екі қатынастың теңдігіне мысал келтір. $2 : 3 = 4 : 5$: себебі $2 \cdot 5 = 10$, ал $3 \cdot 4 = 12$.
• Бір пропорциядан басқаларын қалай алады? Ортанғы мүшелерінің, шеткі мүшелерінің немесе екеуінің де орнын ауыстырады. Сондай-ақ екі бөлшекті де төңкеруге болады.
• $\frac{42}{14} = \frac{39}{13}$ және $\frac{42}{39} = \frac{14}{13}$ пропорциялары $\frac{13}{14} = \frac{39}{42}$ пропорциясынан несімен ерекшеленеді? Біріншісінде 13 және 42 шеткі мүшелерінің орны ауыстырылған. Екіншісінде шеткі де, ортанғы да мүшелерінің орны ауыстырылған.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 111

Мына теңдік пропорция бола ма: 1) $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$; 2) $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$; 3) $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$; 4) $\frac{3}{4} = \frac{12}{20}$?

Қалай ойлаймыз. Айқастыра тексереміз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 10 = 20$, $5 \cdot 4 = 20$ — иә.
2. $4 \cdot 14 = 56$, $7 \cdot 8 = 56$ — иә.
3. $5 \cdot 18 = 90$, $6 \cdot 15 = 90$ — иә.
4. $3 \cdot 20 = 60$, $4 \cdot 12 = 48$ — жоқ.

Жауабы: 1), 2), 3) — пропорциялар; 4) — жоқ.

№ 112

$b$-ның қандай мәнінде: 1) $\frac{3}{4} = \frac{b}{12}$; 2) $\frac{b}{5} = \frac{6}{15}$; 3) $\frac{2}{9} = \frac{8}{b}$; 4) $\frac{10}{b} = \frac{30}{33}$ теңдігі пропорция болады?

Шешуі.

1. $4b = 3 \cdot 12 = 36$, $b = 9$.
2. $15b = 5 \cdot 6 = 30$, $b = 2$.
3. $2b = 9 \cdot 8 = 72$, $b = 36$.
4. $30b = 10 \cdot 33 = 330$, $b = 11$.

Жауабы: 1) 9; 2) 2; 3) 36; 4) 11.

№ 113

Төмендегі сөйлеммен берілген екі қатынастың теңдігін екі тәсілмен жазыңдар: 1) 5-тің 10-ға қатынасы 3-тің 6-ға қатынасындай; 2) 7-нің 2-ге қатынасы 28-дің 8-ге қатынасына тең; 3) 9 саны 4-тен неше есе артық болса, 45 саны 20-дан сонша есе артық; 4) 14 саны 22-нің қандай бөлігін құраса, 7 саны да 11-дің сонша бөлігін құрайды. Шыққан теңдіктердің пропорция болатынын тексеріңдер.

Шешуі.

1. $5 : 10 = 3 : 6$ немесе $\frac{5}{10} = \frac{3}{6}$. Тексеру: $5 \cdot 6 = 30 = 10 \cdot 3$ ✓.
2. $7 : 2 = 28 : 8$ немесе $\frac{7}{2} = \frac{28}{8}$. $7 \cdot 8 = 56 = 2 \cdot 28$ ✓.
3. $45 : 20 = 9 : 4$ немесе $\frac{45}{20} = \frac{9}{4}$. $45 \cdot 4 = 180 = 20 \cdot 9$ ✓.
4. $7 : 11 = 14 : 22$ немесе $\frac{7}{11} = \frac{14}{22}$. $7 \cdot 22 = 154 = 11 \cdot 14$ ✓.

Жауабы: төрт теңдік те — пропорциялар.

№ 114

Теңдіктің пропорция болатынын екі тәсілмен тексеріңдер: 1) $2{,}5 : 8 = 5 : 16$; 2) $0{,}14 : 3 = 0{,}42 : 9$; 3) $13 : 1{,}7 = 26 : 3{,}4$; 4) $0{,}04 : 10 = 0{,}2 : 50$.

Қалай ойлаймыз. 1-тәсіл — екі қатынасты да есептеу. 2-тәсіл — шеткі және ортанғы мүшелердің көбейтінділерін салыстыру.

Шешуі.

Жауабы: төрт теңдік те — пропорциялар.

№ 115

1) 3; 4; 2; 6; 2) 2; 3; 6; 9; 3) 4; 5; 15; 12; 4) 0,6; 1,5; 2; 5 сандарынан мүмкіндігіне қарай пропорция құрыңдар.

Қалай ойлаймыз. Көбейтінділері тең екі жұп іздейміз. Бір жұп шеткі мүшелер, екіншісі ортанғы мүшелер болады.

Шешуі.

1. $3 \cdot 4 = 12 = 2 \cdot 6$ → $3 : 2 = 6 : 4$.
2. $2 \cdot 9 = 18 = 3 \cdot 6$ → $2 : 3 = 6 : 9$.
3. $4 \cdot 15 = 60 = 5 \cdot 12$ → $4 : 5 = 12 : 15$.
4. $0{,}6 \cdot 5 = 3 = 1{,}5 \cdot 2$ → $0{,}6 : 1{,}5 = 2 : 5$.

Жауабы: барлық жағдайда құруға болады, мысалы: $3 : 2 = 6 : 4$; $2 : 3 = 6 : 9$; $4 : 5 = 12 : 15$; $0{,}6 : 1{,}5 = 2 : 5$.

№ 116

Қатынасының мәні: 1) 5; 2) 6; 3) 9; 4) 10 санына тең болатын екі пропорция құрыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кез келген санды алып, қажетті мәнге көбейтеміз — қатынас шығады. Жауаптары көп, мына жерде мысалдар бар.

Шешуі.

1. $10 : 2 = 15 : 3$; $25 : 5 = 40 : 8$.
2. $12 : 2 = 18 : 3$; $36 : 6 = 6 : 1$.
3. $18 : 2 = 27 : 3$; $45 : 5 = 90 : 10$.
4. $20 : 2 = 50 : 5$; $100 : 10 = 7 : 0{,}7$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағылар.

№ 117

Жұлдызшаның орнына пропорцияның жеткіліксіз мүшесін жазыңдар: 1) $115 : * = 46 : 2$; 2) $87 : 3 = * : 10$; 3) $ : 19 = 55 : 11$; 4) $208 : * = 28 : 7$.*

Шешуі.

1. $* = 115 \cdot 2 : 46 = 5$.
2. $* = 87 \cdot 10 : 3 = 290$.
3. $* = 19 \cdot 55 : 11 = 95$.
4. $* = 208 \cdot 7 : 28 = 52$.

Жауабы: 1) 5; 2) 290; 3) 95; 4) 52.

№ 118

Жұлдызшаның орнына пропорцияның жеткіліксіз мүшесін жазыңдар: 1) $3{,}5 : * = 2 : 0{,}4$; 2) $0{,}56 : 80 = * : 1000$; 3) $ : 4{,}4 = 6 : 12$; 4) $9{,}63 : * = 4{,}5 : 0{,}15$.*

Шешуі.

1. $* = 3{,}5 \cdot 0{,}4 : 2 = 0{,}7$.
2. $* = 0{,}56 \cdot 1000 : 80 = 7$.
3. $* = 4{,}4 \cdot 6 : 12 = 2{,}2$.
4. $* = 9{,}63 \cdot 0{,}15 : 4{,}5 = 0{,}321$.

Жауабы: 1) 0,7; 2) 7; 3) 2,2; 4) 0,321.

№ 119

Берілген пропорциядан бірнеше жаңа пропорция құрыңдар: 1) $24 : 8 = 4{,}8 : 1{,}6$; 2) $58 : 2{,}9 = 5 : 0{,}25$; 3) $7{,}2 : 36 = 8 : 40$; 4) $7{,}07 : 101 = 28 : 400$.

Қалай ойлаймыз. Ортанғы, шеткі немесе екеуінің де орнын ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $24 : 4{,}8 = 8 : 1{,}6$; $1{,}6 : 8 = 4{,}8 : 24$; $1{,}6 : 4{,}8 = 8 : 24$.
2. $58 : 5 = 2{,}9 : 0{,}25$; $0{,}25 : 2{,}9 = 5 : 58$; $0{,}25 : 5 = 2{,}9 : 58$.
3. $7{,}2 : 8 = 36 : 40$; $40 : 36 = 8 : 7{,}2$; $40 : 8 = 36 : 7{,}2$.
4. $7{,}07 : 28 = 101 : 400$; $400 : 101 = 28 : 7{,}07$; $400 : 28 = 101 : 7{,}07$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағы пропорциялар.

№ 120

Берілген пропорциядан бірнеше жаңа пропорция құрыңдар: 1) $\frac{15}{17} = \frac{30}{34}$; 2) $\frac{8}{30} = \frac{0{,}4}{1{,}5}$; 3) $\frac{0{,}9}{7{,}1} = \frac{9}{71}$; 4) $\frac{0{,}6}{1{,}3} = \frac{3{,}6}{7{,}8}$.

Шешуі.

1. $\frac{15}{30} = \frac{17}{34}$; $\frac{34}{17} = \frac{30}{15}$; $\frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
2. $\frac{8}{0{,}4} = \frac{30}{1{,}5}$; $\frac{1{,}5}{30} = \frac{0{,}4}{8}$; $\frac{1{,}5}{0{,}4} = \frac{30}{8}$.
3. $\frac{0{,}9}{9} = \frac{7{,}1}{71}$; $\frac{71}{7{,}1} = \frac{9}{0{,}9}$; $\frac{71}{9} = \frac{7{,}1}{0{,}9}$.
4. $\frac{0{,}6}{3{,}6} = \frac{1{,}3}{7{,}8}$; $\frac{7{,}8}{1{,}3} = \frac{3{,}6}{0{,}6}$; $\frac{7{,}8}{3{,}6} = \frac{1{,}3}{0{,}6}$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағы пропорциялар.

№ 121

Тура теңдігінен пропорция құрыңдар: 1) $21 \cdot 4 = 7 \cdot 12$; 2) $3{,}2 \cdot 5 = 10 \cdot 1{,}6$; 3) $19 \cdot 3{,}3 = 0{,}11 \cdot 570$; 4) $0{,}48 \cdot 3 = 2{,}4 \cdot 0{,}6$.

Қалай ойлаймыз. Сол жақ бөліктің көбейткіштерін шеткі, оң жақтың көбейткіштерін ортанғы мүше етеміз. Мысалы, $ad = bc$ теңдігінен $a : b = c : d$ шығады.

Шешуі.

1. $21 : 7 = 12 : 4$; $21 : 12 = 7 : 4$; $4 : 7 = 12 : 21$; $4 : 12 = 7 : 21$.
2. $3{,}2 : 10 = 1{,}6 : 5$; $3{,}2 : 1{,}6 = 10 : 5$; $5 : 10 = 1{,}6 : 3{,}2$; $5 : 1{,}6 = 10 : 3{,}2$.
3. $19 : 0{,}11 = 570 : 3{,}3$; $19 : 570 = 0{,}11 : 3{,}3$; $3{,}3 : 0{,}11 = 570 : 19$; $3{,}3 : 570 = 0{,}11 : 19$.
4. $0{,}48 : 2{,}4 = 0{,}6 : 3$; $0{,}48 : 0{,}6 = 2{,}4 : 3$; $3 : 2{,}4 = 0{,}6 : 0{,}48$; $3 : 0{,}6 = 2{,}4 : 0{,}48$.

Жауабы: мысалы, жоғарыдағы пропорциялар.

№ 122

Тура теңдігінен пропорция құрыңдар және шыққан пропорция мүшелерінің орнын ауыстырудың барлық мүмкін жағдайларын қарастырыңдар: 1) $13 \cdot 20 = 26 \cdot 10$; 2) $52 \cdot 6 = 39 \cdot 8$; 3) $3{,}8 \cdot 8 = 1{,}9 \cdot 16$; 4) $6{,}8 \cdot 9 = 3{,}6 \cdot 17$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен 4 пропорция, мұнда шеткі мүшелер — сол жақ бөліктің көбейткіштері. Содан кейін тағы 4, мұнда шеткі мүшелер — оң жақ бөліктің көбейткіштері.

Шешуі.

1. Жоғарыда қадам-қадаммен көрсетілген.

2. $52 : 39 = 8 : 6$; $52 : 8 = 39 : 6$; $6 : 39 = 8 : 52$; $6 : 8 = 39 : 52$; $39 : 52 = 6 : 8$; $39 : 6 = 52 : 8$; $8 : 52 = 6 : 39$; $8 : 6 = 52 : 39$.

3. $3{,}8 : 1{,}9 = 16 : 8$; $3{,}8 : 16 = 1{,}9 : 8$; $8 : 1{,}9 = 16 : 3{,}8$; $8 : 16 = 1{,}9 : 3{,}8$; $1{,}9 : 3{,}8 = 8 : 16$; $1{,}9 : 8 = 3{,}8 : 16$; $16 : 3{,}8 = 8 : 1{,}9$; $16 : 8 = 3{,}8 : 1{,}9$.

4. $6{,}8 : 3{,}6 = 17 : 9$; $6{,}8 : 17 = 3{,}6 : 9$; $9 : 3{,}6 = 17 : 6{,}8$; $9 : 17 = 3{,}6 : 6{,}8$; $3{,}6 : 6{,}8 = 9 : 17$; $3{,}6 : 9 = 6{,}8 : 17$; $17 : 6{,}8 = 9 : 3{,}6$; $17 : 9 = 6{,}8 : 3{,}6$.

Жауабы: әр тармақта 8 пропорциядан (жоғарыда жазылған).

№ 123

Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар: 1) $15 : 3 = x : 6$; 2) $y : 9 = 50 : 5$; 3) $26 : 2 = 39 : z$; 4) $66 : t = 24 : 4$.

Шешуі.

1. $x = 15 \cdot 6 : 3 = 30$.
2. $y = 9 \cdot 50 : 5 = 90$.
3. $z = 2 \cdot 39 : 26 = 3$.
4. $t = 66 \cdot 4 : 24 = 11$.

Жауабы: 1) 30; 2) 90; 3) 3; 4) 11.

№ 124

Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар: 1) $n : 4{,}7 = 82 : 4{,}1$; 2) $5{,}8 : 29 = m : 3{,}4$; 3) $60 : k = 46 : 2{,}3$; 4) $4{,}2 : 7 = 9{,}6 : t$.

Қалай ойлаймыз. Кейде алдымен белгілі қатынасты есептеген оңай. Мысалы, $82 : 4{,}1 = 20$.

Шешуі.

1. $82 : 4{,}1 = 20$, демек, $n = 4{,}7 \cdot 20 = 94$.
2. $5{,}8 : 29 = 0{,}2$, демек, $m = 3{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}68$.
3. $46 : 2{,}3 = 20$, демек, $k = 60 : 20 = 3$.
4. $4{,}2 : 7 = 0{,}6$, демек, $t = 9{,}6 : 0{,}6 = 16$.

Жауабы: 1) 94; 2) 0,68; 3) 3; 4) 16.

№ 125

Пропорцияның белгісіз мүшесін табыңдар: 1) $\frac{4}{a} = \frac{16}{20}$; 2) $\frac{c}{8} = \frac{25}{40}$; 3) $\frac{39}{27} = \frac{b}{9}$; 4) $\frac{49}{32} = \frac{12}{d}$.

Шешуі.

1. $16a = 4 \cdot 20 = 80$, $a = 5$.
2. $40c = 8 \cdot 25 = 200$, $c = 5$.
3. $27b = 39 \cdot 9 = 351$, $b = 13$.
4. $49d = 32 \cdot 12 = 384$, $d = \frac{384}{49} = 7\frac{41}{49}$.

Жауабы: 1) 5; 2) 5; 3) 13; 4) $7\frac{41}{49}$.

№ 126

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x : 1{,}5 = 35 : 7$; 2) $9{,}1 : y = 65 : 5$; 3) $40 : 0{,}2 = z : 3$; 4) $54 : 2{,}7 = 50 : x$.

Шешуі.

1. $35 : 7 = 5$, $x = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$.
2. $65 : 5 = 13$, $y = 9{,}1 : 13 = 0{,}7$.
3. $40 : 0{,}2 = 200$, $z = 200 \cdot 3 = 600$.
4. $54 : 2{,}7 = 20$, $x = 50 : 20 = 2{,}5$.

Жауабы: 1) 7,5; 2) 0,7; 3) 600; 4) 2,5.

№ 127

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{34}{112} = \frac{y}{56}$; 2) $\frac{y}{4{,}2} = \frac{15}{21}$; 3) $\frac{2{,}7}{4{,}8} = \frac{9}{y}$; 4) $\frac{6{,}8}{y} = \frac{0{,}4}{1{,}3}$.

Шешуі.

1. $y = 34 \cdot 56 : 112 = 17$.
2. $y = 4{,}2 \cdot 15 : 21 = 3$.
3. $2{,}7y = 4{,}8 \cdot 9 = 43{,}2$, $y = 16$.
4. $0{,}4y = 6{,}8 \cdot 1{,}3 = 8{,}84$, $y = 22{,}1$.

Жауабы: 1) 17; 2) 3; 3) 16; 4) 22,1.

№ 128

Теңдеуді шешіңдер: 1) $120 : 9 = z : 18$; 2) $304 : z = 76 : 3$; 3) $14{,}4 : 6 = 1{,}2 : z$; 4) $z : 8{,}8 = 3{,}3 : 8$.

Шешуі.

1. $z = 120 \cdot 18 : 9 = 240$.
2. $76z = 304 \cdot 3 = 912$, $z = 12$.
3. $14{,}4z = 6 \cdot 1{,}2 = 7{,}2$, $z = 0{,}5$.
4. $8z = 8{,}8 \cdot 3{,}3 = 29{,}04$, $z = 3{,}63$.

Жауабы: 1) 240; 2) 12; 3) 0,5; 4) 3,63.

№ 129

36 және 5 сандары — пропорцияның ортанғы мүшелері. Қандай сандар осы пропорцияның шеткі мүшелері болуы мүмкін? Мысал келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Шеткі мүшелерінің көбейтіндісі $36 \cdot 5 = 180$-ге тең болуы керек. Көбейтіндісі 180 болатын кез келген жұп сан жарайды.

Шешуі. Мысалы, 9 және 20: $9 : 36 = 5 : 20$ (екі қатынас та 0,25-ке тең). Басқа нұсқалар: 18 және 10, 4 және 45, 1 және 180.

Жауабы: көбейтіндісі 180 болатын кез келген екі сан, мысалы $9 : 36 = 5 : 20$.

№ 130

1,6 және 2,5 сандары — пропорцияның шеткі мүшелері. Ортанғы мүшелері натурал сан болатын пропорцияны жазыңдар.

Шешуі. $1{,}6 \cdot 2{,}5 = 4$. Көбейтіндісі 4 болатын натурал сандар: 1 және 4 немесе 2 және 2. Мысалы, $1{,}6 : 2 = 2 : 2{,}5$ (екі қатынас та 0,8-ге тең) немесе $1{,}6 : 4 = 1 : 2{,}5$.

Жауабы: мысалы, $1{,}6 : 2 = 2 : 2{,}5$.

B деңгейі

№ 131

Теңдеуді шешіңдер: 1) $75 : (2x) = 15 : 25$; 2) $44 : 99 = 4 : (3x)$; 3) $(5x) : 13 = 8 : 52$; 4) $10{,}5 : 21 = (4x) : 20$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен пропорцияның бүкіл мүшесін ($2x$, $3x$…) табамыз, сосын $x$-тің өзін.

Шешуі.

1. $15 \cdot 2x = 75 \cdot 25$, $30x = 1875$, $x = 62{,}5$.
2. $44 \cdot 3x = 99 \cdot 4$, $132x = 396$, $x = 3$.
3. $52 \cdot 5x = 13 \cdot 8$, $260x = 104$, $x = 0{,}4$.
4. $21 \cdot 4x = 10{,}5 \cdot 20$, $84x = 210$, $x = 2{,}5$.

Жауабы: 1) 62,5; 2) 3; 3) 0,4; 4) 2,5.

№ 132

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{2{,}5}{7y} = \frac{5}{42}$; 2) $\frac{9{,}3}{15} = \frac{3{,}1}{4y}$; 3) $\frac{169}{100} = \frac{13}{2y}$; 4) $\frac{5{,}7}{20} = \frac{0{,}5y}{40}$.

Шешуі.

1. $5 \cdot 7y = 2{,}5 \cdot 42$, $35y = 105$, $y = 3$.
2. $9{,}3 \cdot 4y = 15 \cdot 3{,}1$, $37{,}2y = 46{,}5$, $y = 1{,}25$.
3. $169 \cdot 2y = 100 \cdot 13$, $338y = 1300$, $y = \frac{1300}{338} = \frac{50}{13} = 3\frac{11}{13}$.
4. $20 \cdot 0{,}5y = 5{,}7 \cdot 40$, $10y = 228$, $y = 22{,}8$.

Жауабы: 1) 3; 2) 1,25; 3) $3\frac{11}{13}$; 4) 22,8.

№ 133

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{3}{7} : k = 5 : 2\frac{1}{3}$; 2) $k : \frac{5}{9} = 1{,}8 : 6$; 3) $5{,}5 : 8 = k : \frac{2}{11}$; 4) $20 : 3{,}25 = \frac{4}{13} : k$.

Қалай ойлаймыз. Барлық тармақта екі белгілі мүшенің көбейтіндісі 1-ге тең болып шығады. Өте ыңғайлы!

Шешуі.

1. $5k = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = 1$, $k = 0{,}2$.
2. $6k = \frac{5}{9} \cdot 1{,}8 = 1$, $k = \frac{1}{6}$.
3. $8k = 5{,}5 \cdot \frac{2}{11} = 1$, $k = \frac{1}{8}$.
4. $20k = 3{,}25 \cdot \frac{4}{13} = \frac{13}{4} \cdot \frac{4}{13} = 1$, $k = 0{,}05$.

Жауабы: 1) 0,2; 2) $\frac{1}{6}$; 3) $\frac{1}{8}$; 4) 0,05.

№ 134

Сәйкес шамалардың мәндерінен әртүрлі пропорция құрыңдар: 1) тіктөртбұрыштың ұзындығы 16 м және ауданы 40 м²; 2) 8 қарындаш және оның бағасы 128 тг; 3) жүрілген жол 36 км және оған кеткен уақыт 6 сағ; 4) 234 тетік және оларды дайындауға кеткен уақыт 8 сағ деп алып.

Қалай ойлаймыз. Екі шаманың қатынасы үшіншісін береді: енін, бағаны, жылдамдықты, өнімділікті. Сондай-ақ «екі шаманы да екі есе көп» деп алуға болады — қатынас өзгермейді.

Шешуі.

1. Ені $40 : 16 = 2{,}5$ м, сондықтан $40 : 16 = 2{,}5 : 1$. Ені сол күйінде, ал ұзындығы екі есе көп болса: $40 : 16 = 80 : 32$.
2. Бағасы $128 : 8 = 16$ тг, сондықтан $128 : 8 = 16 : 1$; тағы $128 : 8 = 256 : 16$ (16 қарындаш 256 тг тұрады).
3. Жылдамдығы $36 : 6 = 6$ км/сағ, сондықтан $36 : 6 = 6 : 1$; тағы $36 : 6 = 18 : 3$ (3 сағатта — 18 км).
4. Бір сағатта $234 : 8 = 29{,}25$ тетік, сондықтан $234 : 8 = 29{,}25 : 1$; тағы $234 : 8 = 117 : 4$ (4 сағатта — 117 тетік).

Жауабы: мысалы, жоғарыдағы пропорциялар.

№ 135

Пропорциядан $y$-тің мәнін табыңдар: 1) $\frac{y + 5}{110} = \frac{42}{660}$; 2) $\frac{25}{17 - y} = \frac{200}{56}$; 3) $\frac{77}{800} = \frac{7{,}7}{y + 53}$; 4) $\frac{1}{1{,}8} = \frac{40 - y}{32{,}4}$.

Шешуі.

1. $660(y + 5) = 110 \cdot 42 = 4620$, $y + 5 = 7$, $y = 2$.
2. Жоғарыдағы қадамдар бойынша: $y = 10$.
3. $77(y + 53) = 800 \cdot 7{,}7 = 6160$, $y + 53 = 80$, $y = 27$.
4. $1{,}8(40 - y) = 32{,}4$, $40 - y = 18$, $y = 22$.

Жауабы: 1) 2; 2) 10; 3) 27; 4) 22.

№ 136

Пропорциядан $y$-тің мәнін табыңдар: 1) $(3y - 7) : 5 = 33 : 15$; 2) $35 : (21 - 5y) = 5 : 2$; 3) $64 : 72 = (7y + 3) : 9$; 4) $53 : 4 = 212 : (6y - 8)$.

Шешуі.

1. $15(3y - 7) = 5 \cdot 33$, $3y - 7 = 11$, $3y = 18$, $y = 6$.
2. $5(21 - 5y) = 35 \cdot 2$, $21 - 5y = 14$, $5y = 7$, $y = 1{,}4$.
3. $72(7y + 3) = 64 \cdot 9$, $7y + 3 = 8$, $7y = 5$, $y = \frac{5}{7}$.
4. $53(6y - 8) = 4 \cdot 212$, $6y - 8 = 16$, $6y = 24$, $y = 4$.

Жауабы: 1) 6; 2) 1,4; 3) $\frac{5}{7}$; 4) 4.

№ 137

Пропорциядан $y$-тің мәнін табыңдар: 1) $\frac{11y}{20} = 16 : 80$; 2) $5{,}1 : 8{,}7 = \frac{34y}{29}$; 3) $7{,}2 : 2{,}7 = \frac{32y}{3}$.

Шешуі.

1. $16 : 80 = 0{,}2$; $11y = 4$; $y = \frac{4}{11}$.
2. $8{,}7 \cdot 34y = 5{,}1 \cdot 29$, $295{,}8y = 147{,}9$, $y = 0{,}5$.
3. $7{,}2 : 2{,}7 = \frac{8}{3}$, демек, $\frac{32y}{3} = \frac{8}{3}$, $32y = 8$, $y = 0{,}25$.

Жауабы: 1) $\frac{4}{11}$; 2) 0,5; 3) 0,25.

C деңгейі

№ 138

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ пропорциясы берілген. Осы пропорцияның үш мүшесі координаталық сәуледе көрсетілген (3-сурет). Координаталық сәуледе пропорцияның төртінші мүшесінің орналасуын көрсетіңдер.

Суретте бөліктері тең, сандары жоқ сәуле: $a$ — 4-бөлікте, $c$ — 12-бөлікте, $d$ — 15-бөлікте.

Қалай ойлаймыз. Ортанғы мүше $b$ белгісіз. Бөліктермен есептейміз: $b = a \cdot d : c$.

Шешуі. $b = 4 \cdot 15 : 12 = 5$. Тексеру: $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$ ✓. Бөліктің ұзындығы қандай болса да, бұл дұрыс, себебі барлық сан бірдей есе артады.

Жауабы: $b$ нүктесі — басынан есептегенде 5-бөлікте.

№ 139

Ауада шамамен азоттың 4 бөлігі және оттектің 1 бөлігі бар. 1) 60 кг ауада қанша азот бар? 2) 50 кг ауада қанша оттек бар?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл ауа — $4 + 1 = 5$ тең бөлік.

Шешуі.

1. $60 : 5 = 12$ кг — бір бөлік; азот $12 \cdot 4 = 48$ кг.
2. $50 : 5 = 10$ кг — бір бөлік, бұл оттектің өзі.

Жауабы: 1) 48 кг; 2) 10 кг.

№ 140

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x + 5{,}6) : 15\frac{2}{3} = 3{,}2 : 5\frac{2}{9}$; 2) $(16 - x) : 13\frac{4}{7} = \frac{7}{9} : 10\frac{5}{9}$.

Шешуі.

1. $x + 5{,}6 = 15\frac{2}{3} \cdot 3{,}2 : 5\frac{2}{9} = \frac{47}{3} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{9}{47} = \frac{48}{5} = 9{,}6$. $x = 9{,}6 - 5{,}6 = 4$.
2. $16 - x = \frac{95}{7} \cdot \frac{7}{9} : \frac{95}{9} = \frac{95}{9} \cdot \frac{9}{95} = 1$. $x = 15$.

Жауабы: 1) 4; 2) 15.

№ 141

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\left(9\frac{2}{3} - x\right) : 3{,}5 = \frac{17}{35} : 1{,}02$; 2) $(6{,}5 + x) : 0{,}475 = 1\frac{11}{19} : \frac{3}{28}$.

Шешуі.

1. $9\frac{2}{3} - x = 3{,}5 \cdot \frac{17}{35} : 1{,}02 = 1{,}7 : 1{,}02 = \frac{170}{102} = \frac{5}{3}$. $x = 9\frac{2}{3} - 1\frac{2}{3} = 8$.
2. $6{,}5 + x = 0{,}475 \cdot \frac{30}{19} \cdot \frac{28}{3} = 0{,}475 \cdot \frac{280}{19} = 0{,}025 \cdot 280 = 7$. $x = 0{,}5$.

Жауабы: 1) 8; 2) 0,5.

№ 142

Теңдеуді шешіңдер: 1) $\frac{y - 8}{11\frac{4}{7}} = \frac{\frac{8}{27}}{5\frac{1}{3}}$; 2) $\frac{\frac{3}{20}}{\frac{10}{33}} = \frac{19\frac{4}{5}}{x - 15}$; 3) $\frac{5\frac{5}{9}}{2{,}5} = \frac{x - 19}{7\frac{1}{5}}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен сандардан тұратын «дайын» қатынасты есепте, содан кейін жақшаны тап.

Шешуі.

1. $\frac{8}{27} : \frac{16}{3} = \frac{1}{18}$. Сонда $y - 8 = \frac{81}{7} \cdot \frac{1}{18} = \frac{9}{14}$, $y = 8\frac{9}{14}$.
2. $\frac{3}{20} : \frac{10}{33} = \frac{99}{200}$. Сонда $x - 15 = \frac{99}{5} : \frac{99}{200} = 40$, $x = 55$.
3. $\frac{50}{9} : \frac{5}{2} = \frac{20}{9}$. Сонда $x - 19 = \frac{20}{9} \cdot \frac{36}{5} = 16$, $x = 35$.

Жауабы: 1) $8\frac{9}{14}$; 2) 55; 3) 35.

Хабарлама дайындаңдар

№ 143

Қатынас және пропорция теориясын «Бастамалар» кітабында қолданған Евклид туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш сұраққа жауап бер: кім, қашан, не істеді. Бір қызықты деталь мен өмірден бір мысал қос.

Шешуі. Қысқа хабарламаның үлгісі:

Қатынастар мен пропорцияларды ертедегі Грецияда зерттеген. Б.з.б. IV ғасырда олар туралы ілім айтарлықтай дамыды. Шамамен б.з.б. 300 жылы грек математигі Евклид өз заманының білімін «Бастамалар» кітабына жинады. Оның тұтас бір бөлімі қатынастар мен пропорцияларға арналған. «Бастамалар» бойынша екі мыңнан астам жыл бойы бүкіл әлемнің мектептерінде геометрия оқытылды. Пропорциялар бүгін де қажет: рецептерде, карталарда, сызбаларда және сәулетте.

Жауабы: жоғарыда хабарлама үлгісі берілген; даталарды энциклопедиямен салыстыр.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 144

5 қаламның құны 650 тг. 1) Бір қаламның бағасы қанша? 2) Осындай жеті қаламның құны қанша?

Шешуі.

1. $650 : 5 = 130$ тг.
2. $130 \cdot 7 = 910$ тг.

Жауабы: 1) 130 тг; 2) 910 тг.

№ 145

$x = 0{,}8$ және $y = 0{,}25$ болса, $x$ және $y$-тің бөліндісін табыңдар. Неше қатынас құруға болады?

Шешуі. Бөлінді екеу:

• $x : y = 0{,}8 : 0{,}25 = 3{,}2$;
• $y : x = 0{,}25 : 0{,}8 = 0{,}3125$.

Олар өзара кері: $3{,}2 \cdot 0{,}3125 = 1$.

Жауабы: екі бөлінді: 3,2 және 0,3125.

№ 146

Тігінші 3 сағатта 9 бұйым тігеді. Тігінші осындай өнімділікпен жұмыс атқарса, 4 сағатта қанша бұйым дайындайды? 2 сағатта және 4 сағатта дайындалған бұйымдардың санын салыстырыңдар. Қорытынды жасаңдар.

Шешуі.

1. 1 сағатта: $9 : 3 = 3$ бұйым.
2. 4 сағатта: $3 \cdot 4 = 12$ бұйым.
3. 2 сағатта: $3 \cdot 2 = 6$ бұйым.
4. $12 : 6 = 2$, ал уақыт $4 : 2 = 2$.

Жауабы: 12 және 6 бұйым. Қорытынды: жұмыс уақыты неше есе көп болса, бұйым да сонша есе көп.

💡 Бұл — тура пропорционалдылық, келесі сабақтардың тақырыбы.

№ 147

Шаршының периметрі 17 см. Қабырғасының ұзындығы берілген қабырғаның ұзындығынан 8 есе артық екінші шаршының ауданын табыңдар.

Шешуі.

1. Бірінші шаршының қабырғасы: $17 : 4 = 4{,}25$ см.
2. Екінші шаршының қабырғасы: $4{,}25 \cdot 8 = 34$ см.
3. Екінші шаршының ауданы: $34 \cdot 34 = 1156$ см².

Жауабы: 1156 см².

Жадынама

• Пропорция — қатынастардың тура теңдігі.
• Тексеру: айқастыра, $ad = bc$.
• Белгісіз мүше: $x$ жоқ «диагональді» көбейтіп, қалған санға бөл.
• Ортанғы мүшелердің, шеткі мүшелердің немесе екеуінің де орнын ауыстыруға болады.
• Шығарған соң жауапты қойып тексер.

Шағын тест