§ 10. Рационал сандарды салыстыру

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 79–84-беттер.

Нені үйренесің

• Кез келген рационал сандарды салыстыруды: оң, теріс сандарды және нөлді.
• Екі теріс санды олардың модульдері арқылы салыстыруды.
• $a > 0$, $a < 0$, $a \le 0$, $a \ge 0$ теңсіздіктерін оқуды және жазуды.
• Теңсіздікке жарайтын (оны қанағаттандыратын) сандарды табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 342 және 343 тапсырмалары. Әдеттегі сандар мен бөлшектерді қалай салыстыратыныңды еске түсір.

• Қайсысы үлкен: 1102 ме, әлде 1012 ме? 1102: жүздіктер разрядында оның 1-і бар, ал 1012-де — 0.
• Қайсысы үлкен: 6,37 ме, әлде 6,037 ме? 6,37. Ондықтарды салыстырамыз: 3 саны 0-ден үлкен.
• Қайсысы үлкен: $8\frac{4}{5}$ пе, әлде $8\frac{1}{7}$ ге? $8\frac{4}{5}$: бүтін бөліктері тең, ал $\frac{4}{5}$ — бірге жақын, $\frac{1}{7}$ — өте кішкентай бөлік.
• 2,5; $3\frac{1}{3}$; 17; $2\frac{1}{6}$; 16,9; 3,3 сандарын өсу ретімен орналастыр. $2\frac{1}{6}$; 2,5; 3,3; $3\frac{1}{3}$; 16,9; 17. (Есіңде болсын: $3\frac{1}{3} = 3{,}333…$ — 3,3-тен сәл үлкен.)
• 0,05; $\frac{1}{2}$; 14,07; $3\frac{1}{7}$; $4\frac{1}{4}$; 4,3 сандарын кему ретімен орналастыр. 14,07; 4,3; $4\frac{1}{4}$; $3\frac{1}{7}$; $\frac{1}{2}$; 0,05.

💡 Оң сандар үшін бәрі таныс. Ал минустармен қайтеміз? Жауапты координаталық түзу айтады.

Тақырыпты талдаймыз

Кім солда — сол кіші

Термометрді жатқызып қойғанын елестет. Сынап бағанасы қаншалықты солда болса, соншалықты суық. Координаталық түзуде де солай: екі саннан солда тұрғаны кіші, оңда тұрғаны үлкен.

Осыдан бірден үш ереже шығады:

📌 Кез келген оң сан нөлден үлкен. Кез келген теріс сан нөлден кіші. Кез келген оң сан кез келген теріс саннан үлкен.

$-9 < 0$, ал $5 > 0$ неге? Өйткені $-9$ нөлден солда жатыр, ал 5 — оңда. Сондықтан $0{,}001 > -1000$: кішкентай оң сан да алып теріс саннан оңда тұр.

Екі минус: модульге қара

$-4$ пен $-3$ санын салыстырайық. $-4$ — солда, демек, $-4 < -3$. Бірақ $-4$-тің модулі үлкен: $|-4| = 4$, ал $|-3| = 3$. Бұл әрқашан солай болады.

📌 Екі теріс саннан модулі кіші сан үлкен.

Ауа райымен есте сақтау оңай: −2 °C −9 °C-тан жылырақ. «Екі градус» аяз «тоғыз градус» аяздан әлсіз.

⚠️ Жиі кететін қате. «9 саны 2-ден үлкен, демек, $-9 > -2$». Жоқ! Теріс сандарда бәрі керісінше: $-9 < -2$. Өзіңді мына сұрақпен тексер: «Түзуде кім солда?»

Қысқаша жазу: $a > 0$, $a \le 0$

«$a$ — оң сан» деген сөйлемді қысқаша жазады: $a > 0$. «$a$ — теріс сан» дегенді $a < 0$ деп жазады. Кез келген рационал сан не нөлден үлкен, не нөлден кіші, не нөлге тең.

Сонымен қатар қатаң емес теңсіздіктер бар:

• $a \le 0$ былай оқылады: «$a$ нөлден кіші немесе тең» немесе «$a$ — оң емес сан». Барлық теріс сандар және нөлдің өзі жарайды.
• $a \ge 0$ былай оқылады: «$a$ нөлден үлкен немесе тең» немесе «$a$ — теріс емес сан». Барлық оң сандар және нөл жарайды.

💡 Дұрыс айтып үйрен. «Оң емес» — «теріс» деген сөз емес. Нөл де оң емес! Және теріс емес те.

Қандай сандар «жарайды»

Әріпі бар теңсіздікке сандар қоюға болады. Әріптің орнына қойылған сан әріптің мәні деп аталады. Тура теңсіздік шықса, сан теңсіздікті қанағаттандырады дейді.

Мысалы, $a \le 10$ үшін 10, 4, 0, $-3$ жарайды. Ал 11 жарамайды: $11 \le 10$ — тура емес. $a \ge -5$ үшін $-5$, $-1$, 4 жарайды.

$0 < 7$ — тура теңсіздік, ал $8 < 7$ — тура емес. Неліктен? Нөл жетіден солда, ал сегіз оңда.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Қыстағы апталық ауа райы болжамын алып, баладан күндерді ең суықтан ең жылыға қарай орналастыруын сұраңыз. Бұл — теріс сандарды салыстырудың дәл өзі, тек өмірден алынған.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $m$ саны теріс те, оң да емес. Ол неге тең? Нөлге. Тек нөл бір мезгілде $\le 0$ және $\ge 0$.
• $c$ және $a$ — оң сандар, $c$-ның модулі үлкен. $c$ қайда тұр? $a$-дан оңда: оң сандарда модуль санның өзімен бірдей, сондықтан $c > a$.
• $c$ және $a$ — теріс сандар, $c$-ның модулі үлкен. $c$ қайда тұр? $a$-дан солда: теріс санның модулі қанша үлкен болса, ол солға соншалықты алыс. Демек, $c < a$.
• $m$ теріс сан болса, $-m > 0$ дұрыс па? $n$ оң сан болса, $n > 0$ ше? $n$ натурал сан болса, $n < 0$ ше? Біріншісі дұрыс: теріс санға қарама-қарсы сан оң. Екіншісі дұрыс. Үшіншісі бұрыс: натурал сандар оң.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 344

1) $-5$; 2) $-7{,}8$; 3) $-10\frac{2}{3}$ санынан үлкен бес санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Үлкен» — түзуде оңда деген сөз. Барлық оң сандар, нөл және модулі кіші теріс сандар жарайды.

Шешуі. Жауап көп, міне мысалдар.

1. $-5$-тен үлкен: $-4$; $-1$; 0; 2; 10.
2. $-7{,}8$-ден үлкен: $-7{,}7$; $-7$; $-3$; 0; 5.
3. $-10\frac{2}{3}$-тен үлкен: $-10{,}5$; $-10$; $-6$; 0; 1.

Жауабы: мысалы, 1) $-4$; $-1$; 0; 2; 10; 2) $-7{,}7$; $-7$; $-3$; 0; 5; 3) $-10{,}5$; $-10$; $-6$; 0; 1.

№ 345

1) $-23$; 2) $-1{,}9$; 3) $-25\frac{6}{23}$ санынан кіші бес санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Теріс саннан кіші» — одан да солда, модулі үлкен деген сөз.

Шешуі.

1. $-23$-тен кіші: $-24$; $-25$; $-30$; $-50$; $-100$.
2. $-1{,}9$-дан кіші: $-2$; $-2{,}5$; $-3$; $-10$; $-100$.
3. $-25\frac{6}{23}$-тен кіші: $-25{,}5$; $-26$; $-27$; $-30$; $-40$. Мұнда $\frac{6}{23}$ шамамен 0,26, сондықтан $-25{,}5$ одан солда тұр.

Жауабы: мысалы, шешудегідей.

№ 346

1) $-4$; 2) $-0{,}1$; 3) $-16\frac{1}{3}$ санынан кіші төрт теріс санды жазыңдар.

Шешуі.

1. $-5$; $-6$; $-7$; $-10$.
2. $-0{,}2$; $-0{,}5$; $-1$; $-3$.
3. $-16{,}5$; $-17$; $-18$; $-20$.

Жауабы: мысалы, шешудегідей.

№ 347

1) $-9$; 2) $-3{,}3$; 3) $-1\frac{5}{7}$ санынан үлкен төрт теріс санды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Берілген саннан оңда, бірақ нөлден солда болуы керек. Нөлді де, оң сандарды да алуға болмайды.

Шешуі.

1. $-8$; $-5$; $-1$; $-0{,}5$.
2. $-3{,}2$; $-3$; $-2$; $-1$.
3. $-1{,}5$; $-1$; $-0{,}5$; $-0{,}1$. Мұнда $\frac{5}{7} \approx 0{,}71$, сондықтан $-1{,}5$ саны $-1\frac{5}{7}$-ден оңда тұр.

Жауабы: мысалы, шешудегідей.

№ 348

Сандарды салыстырыңдар: 1) 6 және $-8$; 2) $-15$ және 25; 3) 45 және $-45$; 4) $-0{,}09$ және 0,5; 5) $-32$ және 11; 6) $-100$ және 1.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде сандардың таңбалары әртүрлі. Оң сан әрқашан теріс саннан үлкен — ештеңе есептеудің қажеті жоқ.

Шешуі. $6 > -8$; $-15 < 25$; $45 > -45$; $-0{,}09 < 0{,}5$; $-32 < 11$; $-100 < 1$.

Жауабы:

№ 349

Сандарды салыстырыңдар: 1) $-2$ және $-9$; 2) $-13$ және $-11$; 3) $-9$ және $-10$; 4) $-0{,}8$ және $-0{,}7$; 5) $-60$ және $-63$; 6) $-8{,}7$ және 8,9.

Қалай ойлаймыз. Екі теріс сан: модулі кіші сан үлкен. Соңғы жұпта таңбалары әртүрлі.

Шешуі. $-2 > -9$, өйткені $2 < 9$. Әрі қарай солай: $-13 < -11$; $-9 > -10$; $-0{,}8 < -0{,}7$; $-60 > -63$; $-8{,}7 < 8{,}9$.

Жауабы:

№ 350

Теңсіздік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына

Шешуі. $17 > -1$; $-20 < 35$; $-12 < 0$; $1{,}9 > -0{,}8$; $51 > -50$; $0 > -1000$.

Жауабы:

№ 351

Теңсіздік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына

Қалай ойлаймыз. Модульдерін салыстыр да, таңбаны «аудар».

Шешуі. $-4 > -9$; $-30 > -40$; $-91 > -92$; $-0{,}15 > -0{,}7$ (өйткені $0{,}15 < 0{,}70$); $-4{,}4 > -6{,}5$; $-18{,}4 < 18{,}1$ (таңбалары әртүрлі).

Жауабы:

⚠️ Жиі кететін қате. $-0{,}15$ және $-0{,}7$ жұбында 15 саны 7-ден үлкен сияқты көрінеді. Бірақ 0,15 пен 0,70 салыстырылады: 0,15-тің модулі кіші, демек, $-0{,}15$ үлкен.

№ 352

Сандарды салыстырыңдар: 1) $-\frac{5}{7}$ және $-\frac{3}{7}$; 2) $-\frac{1}{3}$ және $-\frac{2}{3}$; 3) $-\frac{2}{9}$ және $-\frac{7}{9}$; 4) $-5\frac{5}{7}$ және $-4\frac{3}{7}$; 5) $-1\frac{1}{3}$ және $-1\frac{2}{3}$; 6) $-8\frac{2}{9}$ және $-3\frac{7}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарда алдымен модульдің бүтін бөлігіне, сосын бөлшек бөлігіне қара.

Шешуі.

1. $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$, демек, $-\frac{5}{7} < -\frac{3}{7}$.
2. $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, демек, $-\frac{1}{3} > -\frac{2}{3}$.
3. $\frac{2}{9} < \frac{7}{9}$, демек, $-\frac{2}{9} > -\frac{7}{9}$.
4. $5\frac{5}{7} > 4\frac{3}{7}$ (5 бүтін 4-тен үлкен), демек, $-5\frac{5}{7} < -4\frac{3}{7}$.
5. Бүтін бөліктері тең, $\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$, демек, $-1\frac{1}{3} > -1\frac{2}{3}$.
6. $8 > 3$, демек, $-8\frac{2}{9} < -3\frac{7}{9}$.

Жауабы:

№ 353

1) $-10$; $-13$; $-8$; $-21$; $-4$ сандарын өсу ретімен; 2) $-5{,}26$; $-5{,}3$; $-6{,}1$; $-4{,}8$; $-4{,}3$ сандарын кему ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Өсу ретімен — ең солдағыдан, яғни модулі ең үлкенінен бастаймыз.

Шешуі.

1. Модульдері: 21 — ең үлкені, сосын 13, 10, 8, 4. Демек: $-21 < -13 < -10 < -8 < -4$.
2. Кему ретімен — ең оңдағыдан, оның модулі ең кіші: $-4{,}3 > -4{,}8 > -5{,}26 > -5{,}3 > -6{,}1$. Назар аудар: $5{,}26 < 5{,}30$, сондықтан $-5{,}26$ бұрын тұрады.

Жауабы: 1) $-21$; $-13$; $-10$; $-8$; $-4$; 2) $-4{,}3$; $-4{,}8$; $-5{,}26$; $-5{,}3$; $-6{,}1$.

№ 354

1) $-5{,}3$; 6,1; $-13$; $-0{,}8$; 0,7; 8,9; $-9{,}1$ сандарының қайсылары $-9$ санынан үлкен, бірақ 8,8 санынан кіші; 2) $-4{,}3$; $-2{,}5$; 3,8; 16; $-3$; 14,9; $-3{,}01$ сандарының қайсылары $-3{,}1$ санынан үлкен, бірақ 15 санынан кіші болады?

Қалай ойлаймыз. Сан түзуде екі шекараның арасында жатуы керек. Біртіндеп тексереміз: сол шекарадан оңда және оң шекарадан солда.

Шешуі.

1. $-13$ және $-9{,}1$ сандары $-9$-дан солда — жарамайды. 8,9 саны 8,8-ден оңда — ол да жоқ. $-5{,}3$; 6,1; $-0{,}8$; 0,7 қалады.
2. $-4{,}3$ саны $-3{,}1$-ден солда — жоқ. 16 саны 15-тен үлкен — жоқ. Ал $-3{,}01 > -3{,}1$, өйткені $3{,}01 < 3{,}10$, — жарайды. $-3{,}01$; $-3$; $-2{,}5$; 3,8; 14,9 қалады.

Жауабы: 1) $-5{,}3$; 6,1; $-0{,}8$; 0,7; 2) $-3{,}01$; $-3$; $-2{,}5$; 3,8; 14,9.

B деңгейі

№ 355

Сандарды салыстырыңдар: 1) $-\frac{5}{6}$ және $-\frac{3}{8}$; 2) $-\frac{2}{7}$ және $-\frac{2}{3}$; 3) $-\frac{5}{9}$ және $-\frac{3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Модульдерін салыстырамыз — әдеттегі бөлшектер. Ортақ бөлімге келтіреміз. Ал алымдары тең болса, бөлімдерін салыстырамыз.

Шешуі.

1. $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$, $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$. Біріншісінің модулі үлкен, демек, $-\frac{5}{6} < -\frac{3}{8}$.
2. Алымдары тең, ал жетіден бір бөліктері үштен бірден ұсақ: $\frac{2}{7} < \frac{2}{3}$. Демек, $-\frac{2}{7} > -\frac{2}{3}$.
3. $\frac{5}{9} = \frac{20}{36}$, $\frac{3}{4} = \frac{27}{36}$. Демек, $-\frac{5}{9} > -\frac{3}{4}$.

Жауабы: 1)

№ 356

Сандарды салыстырыңдар: 1) $-4\frac{1}{12}$ және $-4\frac{1}{18}$; 2) $-9\frac{5}{6}$ және $-9\frac{4}{9}$; 3) $-10\frac{2}{15}$ және $-10\frac{1}{6}$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін бөліктері бірдей — модульдердің бөлшек бөліктері шешеді.

Шешуі.

1. $\frac{1}{12} > \frac{1}{18}$, біріншісінің модулі үлкен: $-4\frac{1}{12} < -4\frac{1}{18}$.
2. $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$, $\frac{4}{9} = \frac{8}{18}$: $-9\frac{5}{6} < -9\frac{4}{9}$.
3. $\frac{2}{15} = \frac{4}{30}$, $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$. Біріншісінің модулі кіші: $-10\frac{2}{15} > -10\frac{1}{6}$.

Жауабы: 1)

№ 357

Сандарды салыстырыңдар: 1) $-\frac{7}{8}$ және $-0{,}153$; 2) $-4{,}767$ және $-4\frac{3}{4}$; 3) $-9\frac{3}{8}$ және $-9{,}389$; 4) $-19\frac{9}{16}$ және $-19{,}5725$.

Қалай ойлаймыз. Жай бөлшекті ондыққа айналдыр — әрі қарай салыстыру оңай.

Шешуі.

1. $\frac{7}{8} = 0{,}875 > 0{,}153$, демек, $-\frac{7}{8} < -0{,}153$.
2. $4\frac{3}{4} = 4{,}75 < 4{,}767$, демек, $-4{,}767 < -4\frac{3}{4}$.
3. $9\frac{3}{8} = 9{,}375 < 9{,}389$, демек, $-9\frac{3}{8} > -9{,}389$.
4. $\frac{9}{16} = 0{,}5625$, ал $19{,}5625 < 19{,}5725$. Демек, $-19\frac{9}{16} > -19{,}5725$.

Жауабы: 1)

№ 358

Теңсіздік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына цифр қойыңдар: 1) $-4{,}5{}2 < -4{,}512$; 2) $-8{,}712 < -8{,}{}12$; 3) $-0{,}9{}8 < -0{,}988$; 4) $-18{,}23 < -1{}{,}23$.

Қалай ойлаймыз. Модульдеріне көшеміз, ал теңсіздік белгісін төңкереміз. Мысалы, $-4{,}5{*}2 < -4{,}512$ дегені $4{,}5{*}2 > 4{,}512$ дегенді білдіреді.

Шешуі.

1. $4{,}5{*}2 > 4{,}512$ — 1-ден үлкен цифр керек. 2-ден 9-ға дейінгі кез келгені жарайды, мысалы, 2: $-4{,}522 < -4{,}512$.
2. $8{,}712 > 8{,}{*}12$ — 7-ден кіші цифр, 0-ден 6-ға дейін. Мысалы, 5: $-8{,}712 < -8{,}512$.
3. $0{,}9{*}8 > 0{,}988$ — 8-ден үлкен цифр, тек 9: $-0{,}998 < -0{,}988$.
4. $18{,}23 > 1{*}{,}23$ — 8-ден кіші цифр, 0-ден 7-ге дейін. Мысалы, 5: $-18{,}23 < -15{,}23$.

Жауабы: 1) 2–9 арасындағы кез келгені; 2) 0–6 арасындағы кез келгені; 3) 9; 4) 0–7 арасындағы кез келгені.

№ 359

Берілген теңсіздікті тура теңдікке айналдыратын барлық бүтін оң сандарды жазыңдар: 1) $-9{,}1 \le x < 5$; 2) $-3{,}5 < x \le 4$; 3) $-3 \le x \le 2{,}9$; 4) $-2 < x < 2$.

Қалай ойлаймыз. Бүтін оң сандар — 1, 2, 3… Мұнда сол шекара теріс, сондықтан тек оң шекара маңызды. Таңбаның қатаң немесе қатаң емес екеніне қара.

Шешуі.

1. $x < 5$: 1; 2; 3; 4.
2. $x \le 4$: 1; 2; 3; 4. 4 саны жарайды — таңба қатаң емес.
3. $x \le 2{,}9$: 1; 2.
4. $x < 2$: тек 1.

Жауабы: 1) 1; 2; 3; 4; 2) 1; 2; 3; 4; 3) 1; 2; 4) 1.

№ 360

Берілген қостенсіздікті тура теңдікке айналдыратын барлық бүтін теріс сандарды жазыңдар: 1) $-8{,}2 \le x \le 4$; 2) $-3 < x \le 7$; 3) $-7 \le x < 1{,}2$; 4) $-5 < x \le 3$.

Қалай ойлаймыз. Енді сол шекара маңызды: одан $-1$-ге дейін оңға қарай жүреміз.

Шешуі.

1. $-8{,}2$-ден кіші емес ең солдағы бүтін сан — $-8$. $-8$; $-7$; $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$ жарайды.
2. $x > -3$ қатаң, сондықтан $-3$-ті алмаймыз: $-2$; $-1$.
3. $x \ge -7$: $-7$; $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$.
4. $x > -5$: $-4$; $-3$; $-2$; $-1$.

Жауабы: 1) $-8$; $-7$; $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$; 2) $-2$; $-1$; 3) $-7$; $-6$; $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$; 4) $-4$; $-3$; $-2$; $-1$.

№ 361

Берілген сан қандай екі бүтін санның арасында орналасқан: 1) $-8{,}06$; 2) $-15{,}1$; 3) $-0{,}07$; 4) $-1001$?

Қалай ойлаймыз. Теріс бөлшек «өзінің» бүтін санымен солға қарайғы келесі бүтін санның арасында жатады: $-8{,}06$ саны $-8$-ден сәл солда.

Шешуі.

1. $-9 < -8{,}06 < -8$.
2. $-16 < -15{,}1 < -15$.
3. $-1 < -0{,}07 < 0$.
4. $-1001$ — бүтін санның өзі. Оның көршілері: $-1002 < -1001 < -1000$.

Жауабы: 1) $-9$ және $-8$; 2) $-16$ және $-15$; 3) $-1$ және 0; 4) $-1002$ және $-1000$.

№ 362

Қостенсіздік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $-80 < * < -46$; 2) $-1 \le * \le 0$; 3) $-29 < * < -19$; 4) $-10 \le * \le -7$.

Шешуі. Шекаралардың арасындағы кез келген сан жарайды. Мысалы:

1. $-80 < -60 < -46$; 2) $-1 \le -0{,}5 \le 0$; 3) $-29 < -25 < -19$; 4) $-10 \le -8 \le -7$.

Жауабы: мысалы, $-60$; $-0{,}5$; $-25$; $-8$.

№ 363

Қостенсіздік тура болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $-21 < * < -20$; 2) $-44{,}9 \le * \le -44{,}8$; 3) $-0{,}83 < * < -0{,}829$; 4) $-3{,}145 \le * \le -3{,}045$.

Қалай ойлаймыз. Екі түрлі санның арасында әрқашан ондық бөлшек табылады: үтірден кейін тағы бір таңба жаз.

Шешуі.

1. $-21 < -20{,}5 < -20$.
2. $-44{,}9 \le -44{,}85 \le -44{,}8$.
3. Нөлдер жазайық: $-0{,}8300$ және $-0{,}8290$. Олардың арасында, мысалы, $-0{,}8295$.
4. $-3{,}145 \le -3{,}1 \le -3{,}045$.

Жауабы: мысалы, $-20{,}5$; $-44{,}85$; $-0{,}8295$; $-3{,}1$.

C деңгейі

№ 364

$x$-тің орнына қойғанда берілген теңсіздікті тура теңсіздікке айналдыратын бірнеше санды атаңдар: 1) $|x| < 3$; 2) $|x| \le 8$; 3) $|x| \le 1{,}56$; 4) $|x| < 2{,}6$.

Қалай ойлаймыз. $|x| < 3$ дегені: сан нөлден 3-тен жақын қашықтықта тұр. Бұл — $-3$ пен 3 арасындағы барлық сандар.

Шешуі.

1. $-2$; $-0{,}5$; 0; 1; 2,9.
2. $-8$; $-3$; 0; 5; 8. Шекаралар жарайды — таңба қатаң емес.
3. $-1{,}56$; $-1$; 0; 1,5.
4. $-2{,}5$; $-1$; 0; 2.

Жауабы: мысалы, шешудегідей.

№ 365

$x$-тің орнына қойғанда берілген теңсіздікті тура теңсіздікке айналдыратын барлық бүтін сандарды атаңдар: 1) $|x| \le 3{,}2$; 2) $|x| < 1{,}9$; 3) $|x| \le 5{,}78$; 4) $|x| < 0{,}89$.

Қалай ойлаймыз. Модулі 3,2-ден аспайтын бүтін сандар — модулі 0, 1, 2 немесе 3 болатындар. Нөлден өзге әр модуль екі сан береді: плюсімен және минусімен.

Шешуі.

1. $-3$; $-2$; $-1$; 0; 1; 2; 3.
2. $-1$; 0; 1.
3. $-5$; $-4$; $-3$; $-2$; $-1$; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
4. Тек 0: басқа бүтін сандардың модулі кемінде 1.

Жауабы: 1) $-3$; $-2$; $-1$; 0; 1; 2; 3; 2) $-1$; 0; 1; 3) $-5$-тен 5-ке дейін (11 сан); 4) 0.

№ 366

$a$ және $c$ — оң сандар, $b$ және $d$ теріс сандар екені белгілі. Сандарды салыстырыңдар: 1) $a$ және 0; 2) $b$ және 0; 3) $c$ және 0; 4) $d$ және 0; 5) $a$ және $b$; 6) $d$ және $c$; 7) $c$ және $b$; 8) $d$ және $a$.

Қалай ойлаймыз. Сандардың өзін білмейміз, бірақ таңбалары белгілі. Бұл жеткілікті: оң сан нөлден де, кез келген теріс саннан да үлкен.

Шешуі. $a > 0$; $b < 0$; $c > 0$; $d < 0$; $a > b$; $d < c$; $c > b$; $d < a$.

Жауабы:

Қайталаймыз

№ 367

1) а) $\dfrac{y - 3{,}5}{8\frac{5}{6}} = \dfrac{\frac{3}{53}}{5}$; ә) $\dfrac{7}{9\frac{5}{11}} = \dfrac{\frac{33}{104}}{y - 3{,}5}$ пропорциясындағы $y$-тің мәнін табыңдар. 2) $\left(111\frac{8}{11} - 2x\right) \cdot \frac{89}{110} - 56{,}127 = 32{,}873$ теңдеуін шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Пропорцияда шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғы мүшелердің көбейтіндісіне тең. Теңдеуде жақшаларды сырттан ішке қарай «ашамыз».

Шешуі.

1. а) Оң жағы: $\frac{3}{53} : 5 = \frac{3}{265}$. Сонда $y - 3{,}5 = 8\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{265} = \frac{53}{6} \cdot \frac{3}{265} = \frac{1}{10} = 0{,}1$. Демек, $y = 3{,}6$. ә) $9\frac{5}{11} = \frac{104}{11}$, сондықтан сол жағы $7 : \frac{104}{11} = \frac{77}{104}$. Осыдан $y - 3{,}5 = \frac{33}{104} : \frac{77}{104} = \frac{33}{77} = \frac{3}{7}$. Демек, $y = 3\frac{7}{14} + \frac{6}{14} = 3\frac{13}{14}$.
2. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $x = \frac{19}{22}$.

Жауабы: 1) а) 3,6; ә) $3\frac{13}{14}$; 2) $\frac{19}{22}$.

№ 368

Жергілікті жердің планы 1 : 5000 масштабымен берілген. Пландағы екі елді мекеннің аралығы 6,4 см. Осы елді мекеннің нақты арақашықтығын табыңдар.

Шешуі. Пландағы 1 см — жердегі 5000 см. $6{,}4 \cdot 5000 = 32,000$ см $= 320$ м.

Жауабы: 320 м.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 369

$A(2)$ нүктесінен: 1) 6 бірлікке оңға қарай; 2) 3,5 бірлікке солға қарай; 3) 4,5 бірлікке оңға қарай; 4) 10 бірлікке солға қарай орналасқан нүктенің координатасын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Оңға қарай — координата өседі, солға қарай — кемиді. Нөлден өтіп кетсек, теріс сан шығады.

Шешуі.

1. $2 + 6 = 8$.
2. 2-ден солға 2 бірлік — бұл 0, тағы 1,5 бірлік — бұл $-1{,}5$.
3. $2 + 4{,}5 = 6{,}5$.
4. 2-ден солға 2 бірлік — 0, тағы 8 бірлік — бұл $-8$.

Жауабы: 1) 8; 2) $-1{,}5$; 3) 6,5; 4) $-8$.

№ 370

1) $A(-3{,}3)$ және $B(6{,}7)$; 2) $C(-0{,}9)$ және $D(1{,}5)$ нүктелерінің арасында орналасқан координатасы бүтін сан болатын екі нүктені атаңдар.

Қалай ойлаймыз. $-3{,}3$ пен 6,7 арасында $-3$-тен 6-ға дейінгі бүтін сандар жатыр. Кез келген екеуін ал.

Шешуі.

1. $-3$; $-2$; …; 6 жарайды. Мысалы, $-2$ және 5.
2. $-0{,}9$ бен 1,5 арасында тек 0 және 1 жатыр.

Жауабы: 1) мысалы, $-2$ және 5; 2) 0 және 1.

Жадынама

• Теріс сандар < 0 < оң сандар.
• Екі теріс саннан нөлге жақыны үлкен: $-2 > -9$.
• Теріс бөлшектерді салыстырғанда модульдерін салыстырып, таңбаны төңкер.
• $\le$ және $\ge$ шекараны қосады,
  lt;$ және
  gt;$ қоспайды.
• $|x| < 3$ — бұл $-3$ пен 3 арасындағы барлық сандар.

Шағын тест