§ 9. Санның модулі

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 74–78-беттер.

Нені үйренесің

• Модульді нөлден нүктеге дейінгі қашықтық ретінде түсінуді.
• Кез келген санның модулін табуды: $|-7| = 7$, $|0| = 0$.
• $|-2{,}5| = 2{,}5$ сияқты жазуларды дауыстап оқуды.
• Модульдері бар өрнектерді есептеуді.
• $|x| = 11$ түріндегі теңдеулерді шешіп, екінші түбірді жоғалтпауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 312–314 тапсырмалары.

• Түзуге $-6$; $-8$; 3; 5; $-1$ сандарын орналастыр. Қай сан бәрінен солда тұрады? $-8$. Солдан оңға қарай реті: $-8$; $-6$; $-1$; 3; 5.
• $A(4)$ нүктесі. Одан 3 бірлікке оңда тұрған нүктенің координатасы қандай? $4 + 3 = 7$.
• Ал 7 бірлікке солда тұрғанының ше? $4 - 7 = -3$.
• Нөлден $-3$ нүктесіне дейін неше бірлік? Ал 3 нүктесіне дейін ше? Екеуіне де 3 бірліктен.

💡 $-3$ және 3 сандары әртүрлі, ал нөлге дейінгі қашықтықтары бірдей. Осы қашықтық — бүгінгі сабақтың басты кейіпкері.

Тақырыпты талдаймыз

Қашықтық теріс болмайды

Кесіндінің ұзындығы — оның ұштарының арасындағы қашықтық. Ол «минус бес сантиметр» бола алмайды. Қашықтық әрқашан оң немесе нөлге тең.

$A(-3)$ және $B(3)$ нүктелерін белгілейік. Нөлден әрқайсысына дейін дәл 3 бірлік кесінді бар.

Модуль дегеніміз не

📌 $a$ санының модулі (немесе абсолют мәні) — координаталар басынан координатасы $a$-ға тең нүктеге дейінгі қашықтық. Оны $|a|$ деп жазады.

$|a|$ былай оқылады: «$a$ санының модулі» немесе «$a$ санының абсолют мәні». Демек:

$|-3| = 3$, $|3| = 3$, $|5| = |-5| = 5$, $\left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}$, $|0| = 0$.

Модульді бір секундта қалай табамыз

📌 Оң санның және нөлдің модулі — санның өзі. Теріс санның модулі — оған қарама-қарсы оң сан.

Қарапайым айтқанда: модуль минусты өшіреді. $|153| = 153$, $\left|-7\frac{8}{13}\right| = 7\frac{8}{13}$.

$|-2{,}5| = 2{,}5$ жазуы былай оқылады: «минус екі бүтін оннан бестің модулі екі бүтін оннан беске тең».

⚠️ Жиі кететін қате. «$|x| = 11$, демек, $x = 11$». Екінші жауапты ұмытып кетті! Нөлден 11 қадамға оңға да, солға да кетуге болады. Сондықтан $x = 11$ немесе $x = -11$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Модульді лифт арқылы түсіндіру ыңғайлы. 1-қабаттан 4-қабатқа және 1-қабаттан $-2$-қабатқа (тұрақ) жүру — әртүрлі қабаттар, бірақ бала түймені қанша қабат өтетініне қарап «көреді». Сұраңыз: «Нөлден $-5$-ке дейін неше қабат жүресің?» — бұл дәл $|-5|$.

Модуль және қарама-қарсы сандар

Қарама-қарсы сандардың модульдері тең: $|-8| = |8|$. Бұл түсінікті: қарама-қарсы сандар нөлден бірдей қашықтықта тұр. Сондықтан модулі 10 болатын сан дәл екеу: 10 және $-10$. Ал модулі 0 болатын сан біреу: 0-нің өзі.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Санның модулі теріс сан бола ма? Жоқ. Модуль — қашықтық, ол әрқашан оң немесе нөлге тең.
• Санның абсолют мәні ондық бөлшек бола ала ма? Иә: $|-8{,}3| = 8{,}3$.
• $a$ теріс сан болса, $|a|$ неге тең? Қарама-қарсы санға: $|a| = -a$. Мысалы, $a = -5$ болса, $|a| = -(-5) = 5$.
• Модулі 10-ға тең қанша сан бар? Екеу: 10 және $-10$.
• Санның модулі 2-ден кіші болса, ол қандай сан болады? Осындай алты санды ата. $-2$ мен 2 арасындағы кез келген сан. Мысалы: $-1{,}9$; $-1$; $-0{,}5$; 0; 0,7; 1,5.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 315

Берілген жазуды оқыңдар: 1) $|-50| = 50$; 2) $|111| = 111$; 3) $|-8{,}3| = 8{,}3$; 4) $\left|-\frac{2}{13}\right| = \frac{2}{13}$; 5) $\left|\frac{7}{20}\right| = \frac{7}{20}$; 6) $\left|-8\frac{5}{31}\right| = -8\frac{5}{31}$.

Қалай ойлаймыз. Үлгі: «(санның) модулі … -ге тең». Сандардың жалғауын дұрыс жалға.

Шешуі.

1. Минус елудің модулі елуге тең.
2. Жүз он бірдің модулі жүз он бірге тең.
3. Минус сегіз бүтін оннан үштің модулі сегіз бүтін оннан үшке тең.
4. Минус он үштен екінің модулі он үштен екіге тең.
5. Жиырмадан жеттің модулі жиырмадан жетіге тең.
6. Минус сегіз бүтін отыз бірден бестің абсолют мәні сегіз бүтін отыз бірден беске тең (дұрыс жазылуы: $8\frac{5}{31}$, минус таңбасынсыз).

Жауабы: жоғарыда оқылды.

📕 Оқулықта 6-тармақтың оң жағына $-8\frac{5}{31}$ деп жазылған, бірақ модуль теріс бола алмайды: дұрысы $\left|-8\frac{5}{31}\right| = 8\frac{5}{31}$.

№ 316

38; $-\frac{6}{35}$; $-406$; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $-7\frac{8}{41}$; 4,58; 900 сандарының әрқайсысының модулін табыңдар.

Шешуі. 38; $\frac{6}{35}$; 406; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $7\frac{8}{41}$; 4,58; 900.

Жауабы: 38; $\frac{6}{35}$; 406; 0,23; $3\frac{19}{28}$; $7\frac{8}{41}$; 4,58; 900.

№ 317

32; $2\frac{1}{8}$; $-1\frac{1}{2}$; $-2{,}5$; $-32$; $32\frac{1}{3}$; $-2\frac{1}{2}$; $-2{,}125$; $2\frac{1}{16}$; $-2\frac{3}{16}$; $2\frac{1}{8}$ сандарының арасынан модулі: 1) 32; 2) 2,5; 3) 2,125; 4) 0,375 санына тең сандарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді ондыққа айналдыр: $2\frac{1}{8} = 2{,}125$, $2\frac{1}{2} = 2{,}5$, $\frac{3}{8} = 0{,}375$. Сосын әр саннан «минусты өшіріп», салыстыр.

Шешуі.

1. Модулі 32: 32 және $-32$.
2. Модулі 2,5: $-2{,}5$ және $-2\frac{1}{2}$.
3. Модулі 2,125: $2\frac{1}{8}$ (ол екі рет кездеседі) және $-2{,}125$.
4. Модулі 0,375: барлық сандардың бүтін бөлігі кемінде 1, сондықтан мұндай сан жоқ. Қақпан!

Жауабы: 1) 32; $-32$; 2) $-2{,}5$; $-2\frac{1}{2}$; 3) $2\frac{1}{8}$; $-2{,}125$; 4) мұндай сандар жоқ.

№ 318

$A(5)$; $B(-8)$; $C\left(-\frac{8}{15}\right)$; $D(6{,}4)$; $F\left(9\frac{3}{8}\right)$ нүктесінен координаталар басына дейінгі қашықтықты табыңдар.

Шешуі. Қашықтық = координатаның модулі: 5; 8; $\frac{8}{15}$; 6,4; $9\frac{3}{8}$.

Жауабы: 5; 8; $\frac{8}{15}$; 6,4; $9\frac{3}{8}$.

№ 319

Есептеңдер: 1) $|-200| + |-76| + |23|$; 2) $|-343| - |299| + |-88|$; 3) $|901| + |-252| - |-348|$; 4) $|116| + |-304| + |-64|$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр модульді табамыз, сосын әдеттегідей есептейміз.

Шешуі.

1. $200 + 76 + 23 = 299$.
2. $343 - 299 + 88 = 132$.
3. $901 + 252 - 348 = 805$.
4. $116 + 304 + 64 = 484$.

Жауабы: 1) 299; 2) 132; 3) 805; 4) 484.

№ 320

Есептеңдер: 1) $|-73{,}3| + |9{,}24| - |23|$; 2) $|-66{,}4| - |-8{,}6| + |-23{,}2|$; 3) $|3{,}375| + |-5{,}625| - |-9|$; 4) $|35{,}2| - \left|-2\frac{5}{6}\right| + \left|-29\frac{19}{30}\right|$.

Шешуі.

1. $73{,}3 + 9{,}24 - 23 = 59{,}54$.
2. $66{,}4 - 8{,}6 + 23{,}2 = 81$.
3. $3{,}375 + 5{,}625 - 9 = 0$.
4. $29\frac{19}{30} - 2\frac{25}{30} = 26\frac{24}{30} = 26{,}8$; $35{,}2 + 26{,}8 = 62$.

Жауабы: 1) 59,54; 2) 81; 3) 0; 4) 62.

№ 321

Есептеңдер: 1) $|345| : |-69|$; 2) $|-0{,}101| \cdot |33|$; 3) $\left|-\frac{40}{81}\right| \cdot \left|-\frac{27}{55}\right|$; 4) $\left|\frac{125}{169}\right| : \left|-\frac{25}{26}\right|$; 5) $|-3{,}8| \cdot \left|-\frac{5}{57}\right|$; 6) $\left|-\frac{35}{93}\right| : |-3{,}72|$.

Шешуі.

1. $345 : 69 = 5$.
2. $0{,}101 \cdot 33 = 3{,}333$.
3. $\frac{40}{81} \cdot \frac{27}{55} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{8}{33}$.
4. $\frac{125}{169} \cdot \frac{26}{25} = \frac{5 \cdot 2}{13} = \frac{10}{13}$.
5. $3{,}8 = \frac{19}{5}$; $\frac{19}{5} \cdot \frac{5}{57} = \frac{19}{57} = \frac{1}{3}$.
6. $3{,}72 = \frac{93}{25}$; $\frac{35}{93} \cdot \frac{25}{93} = \frac{875}{8649}$.

Жауабы: 1) 5; 2) 3,333; 3) $\frac{8}{33}$; 4) $\frac{10}{13}$; 5) $\frac{1}{3}$; 6) $\frac{875}{8649}$.

№ 322

Амалдарды орындаңдар: 1) $|805| : |-161| + |-53|$; 2) $|-1026| : |-38| + |-27|$; 3) $|-49| \cdot |202| - |-888|$; 4) $|13111| - |-426| \cdot |-29|$.

Қалай ойлаймыз. Амалдар реті әдеттегідей: алдымен көбейту мен бөлу.

Шешуі.

1. $805 : 161 = 5$; $5 + 53 = 58$.
2. $1026 : 38 = 27$; $27 + 27 = 54$.
3. $49 \cdot 202 = 9898$; $9898 - 888 = 9010$.
4. $426 \cdot 29 = 12,354$; $13,111 - 12,354 = 757$.

Жауабы: 1) 58; 2) 54; 3) 9010; 4) 757.

№ 323

Амалдарды орындаңдар: 1) $|-106| + |-8{,}2| \cdot \left|-\frac{25}{41}\right|$; 2) $|-1| + |-0{,}85| \cdot \left|\frac{16}{17}\right|$; 3) $\left|-\frac{55}{81}\right| : \left|-\frac{44}{135}\right| + \left|8\frac{11}{12}\right|$; 4) $\left|-2\frac{2}{7}\right| - \left|\frac{303}{400}\right| : \left|-\frac{707}{800}\right|$.

Шешуі.

1. $8{,}2 = \frac{41}{5}$; $\frac{41}{5} \cdot \frac{25}{41} = 5$; $106 + 5 = 111$.
2. $0{,}85 = \frac{17}{20}$; $\frac{17}{20} \cdot \frac{16}{17} = \frac{16}{20} = 0{,}8$; $1 + 0{,}8 = 1{,}8$.
3. $\frac{55}{81} \cdot \frac{135}{44} = \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$; $2\frac{1}{12} + 8\frac{11}{12} = 11$.
4. $\frac{303}{400} \cdot \frac{800}{707} = \frac{606}{707} = \frac{6}{7}$ (101-ге қысқарттық); $2\frac{2}{7} - \frac{6}{7} = \frac{16}{7} - \frac{6}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Жауабы: 1) 111; 2) 1,8; 3) 11; 4) $1\frac{3}{7}$.

№ 324

Амалдарды орындаңдар: 1) $|2002| + |-640| \cdot \left|-\frac{33}{64}\right| - |-2300|$; 2) $|-820| : |-4{,}1| - |-8{,}9| \cdot |-1{,}5|$; 3) $|342| \cdot |-0{,}05| - |-16{,}9| + |-93{,}1|$; 4) $|-6{,}8| \cdot |-1{,}25| : |-170| - |-0{,}005|$.

Шешуі.

1. $640 \cdot \frac{33}{64} = 330$; $2002 + 330 - 2300 = 32$.
2. $820 : 4{,}1 = 200$; $8{,}9 \cdot 1{,}5 = 13{,}35$; $200 - 13{,}35 = 186{,}65$.
3. $342 \cdot 0{,}05 = 17{,}1$; $17{,}1 - 16{,}9 + 93{,}1 = 93{,}3$.
4. $6{,}8 \cdot 1{,}25 = 8{,}5$; $8{,}5 : 170 = 0{,}05$; $0{,}05 - 0{,}005 = 0{,}045$.

Жауабы: 1) 32; 2) 186,65; 3) 93,3; 4) 0,045.

№ 325

$x$-тің қандай мәндерінде теңдік тура болады: 1) $|x| = 11$; 2) $|-x| = 6{,}2$; 3) $|-x| = 0{,}07$; 4) $|x| = 29\frac{14}{15}$?

Қалай ойлаймыз. $|-x| = |x|$, өйткені $x$ және $-x$ нөлден бірдей қашықтықта тұр. Демек, барлық жерде екі қарама-қарсы санды іздейміз.

Шешуі.

1. $x = 11$ немесе $x = -11$.
2. $x = 6{,}2$ немесе $x = -6{,}2$.
3. $x = 0{,}07$ немесе $x = -0{,}07$.
4. $x = 29\frac{14}{15}$ немесе $x = -29\frac{14}{15}$.

Жауабы: 1) $-11$ және 11; 2) $-6{,}2$ және 6,2; 3) $-0{,}07$ және 0,07; 4) $-29\frac{14}{15}$ және $29\frac{14}{15}$.

№ 326

1) $c = -25{,}4$ және $k = 300$; 2) $c = 31{,}75$ және $k = -525$ болса, $|-c| : |12{,}7| + |-7500| : |-k|$ өрнегінің мәні қандай?

Қалай ойлаймыз. $|-c| = |c|$ және $|-k| = |k|$, сондықтан $c$ мен $k$ таңбалары ештеңеге әсер етпейді.

Шешуі.

1. $25{,}4 : 12{,}7 = 2$; $7500 : 300 = 25$; $2 + 25 = 27$.
2. $31{,}75 : 12{,}7 = 2{,}5$; $7500 : 525 = \frac{100}{7} = 14\frac{2}{7}$; $2\frac{1}{2} + 14\frac{2}{7} = 16\frac{11}{14}$.

Жауабы: 1) 27; 2) $16\frac{11}{14}$.

№ 327

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{108}{125} \cdot |-2{,}5| + |-14{,}464| : 1{,}6 + |-1760| : |-200|$; 2) $|-36{,}504| : 7{,}2 + \left|-1\frac{151}{200}\right| \cdot |-300| - |-0{,}7719| \cdot 300$.

Шешуі.

1. $\frac{108}{125} \cdot 2{,}5 = 2{,}16$; $14{,}464 : 1{,}6 = 9{,}04$; $1760 : 200 = 8{,}8$; $2{,}16 + 9{,}04 + 8{,}8 = 20$.
2. $36{,}504 : 7{,}2 = 5{,}07$; $1\frac{151}{200} = 1{,}755$, $1{,}755 \cdot 300 = 526{,}5$; $0{,}7719 \cdot 300 = 231{,}57$; $5{,}07 + 526{,}5 - 231{,}57 = 300$.

Жауабы: 1) 20; 2) 300.

№ 328

Теңдеуді шешіңдер: 1) $|x| = 28$; 2) $|x| = 4{,}5$; 3) $|x| = 1{,}3$; 4) $|x| = \frac{10}{19}$.

Шешуі. Әр теңдеудің екі түбірі бар: 1) $\pm 28$; 2) $\pm 4{,}5$; 3) $\pm 1{,}3$; 4) $\pm \frac{10}{19}$.

Жауабы: 1) $-28$ және 28; 2) $-4{,}5$ және 4,5; 3) $-1{,}3$ және 1,3; 4) $-\frac{10}{19}$ және $\frac{10}{19}$.

№ 329

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $|-x| = 3{,}1$; 2) $|-x| = 82$; 3) $|-x| = \frac{5}{32}$; 4) $|-x| = 17\frac{20}{23}$.

Шешуі. $|-x| = |x|$, сондықтан: 1) $\pm 3{,}1$; 2) $\pm 82$; 3) $\pm \frac{5}{32}$; 4) $\pm 17\frac{20}{23}$.

Жауабы: 1) $-3{,}1$ және 3,1; 2) $-82$ және 82; 3) $-\frac{5}{32}$ және $\frac{5}{32}$; 4) $-17\frac{20}{23}$ және $17\frac{20}{23}$.

№ 330

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $2{,}05 \cdot |-4{,}8| + \frac{42}{55} \cdot \left|-2\frac{3}{4}\right| + |-89{,}06| = 101$; 2) $|-17{,}6| \cdot 3{,}5 - \left|-5\frac{13}{22}\right| : \left|\frac{3}{110}\right| + |-196{,}4| = 53$.

Қалай ойлаймыз. «Дәлелдеу» — сол жағын есептеп, оның оң жағына тең екенін көру.

Шешуі.

1. $2{,}05 \cdot 4{,}8 = 9{,}84$; $\frac{42}{55} \cdot \frac{11}{4} = \frac{42}{20} = 2{,}1$; $9{,}84 + 2{,}1 + 89{,}06 = 101$ ✓.
2. $17{,}6 \cdot 3{,}5 = 61{,}6$; $\frac{123}{22} \cdot \frac{110}{3} = 41 \cdot 5 = 205$; $61{,}6 - 205 + 196{,}4 = 258 - 205 = 53$ ✓.

Жауабы: екі теңдіктің сол жағы оң жағына тең: 101 және 53.

B деңгейі

№ 331

Модулі: 1) 3; 2) 0,5; 3) $4\frac{1}{2}$; 4) 7,5 санына тең сандарды координаталық түзуде кескіндеңдер.

Шешуі. Әр модуль үшін нөлге қатысты симметриялы екі нүкте бар: $\pm 3$; $\pm 0{,}5$; $\pm 4{,}5$; $\pm 7{,}5$.

Жауабы: $-3$ және 3; $-0{,}5$ және 0,5; $-4\frac{1}{2}$ және $4\frac{1}{2}$; $-7{,}5$ және 7,5.

№ 332

$\left|-32\frac{4}{7}\right| - \left|5\frac{11}{15}\right| : \left|-3\frac{14}{27}\right| \cdot \left|20\frac{5}{6}\right| : \left|-59\frac{31}{76}\right| + |0{,}28| + |-19{,}72|$ өрнегінің мәні бүтін оң сан болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бөлу мен көбейтуден тұратын бүкіл тізбек, сосын қосу мен азайту. Сандар дәл осылай таңдалған: барлығы дерлік қысқарады.

Шешуі. Қадамдарды қара: мәні 52-ге тең.

Жауабы: 52 — бүтін оң сан.

№ 333

$|-2{,}43| : 11 : \frac{4}{7} \cdot \left|2\frac{6}{7}\right| + |-9{,}875| : |-1{,}25| - 1{,}05$ өрнегінің мәні бүтін сан болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай ретімен есептейміз. $\frac{4}{7}$-ге бөлу — $\frac{7}{4}$-ке көбейту.

Шешуі.

1. $2{,}43 : 11 \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{20}{7} = \frac{2{,}43 \cdot 5}{11} = \frac{12{,}15}{11} \approx 1{,}105$.
2. $9{,}875 : 1{,}25 = 7{,}9$.
3. Барлығы $\frac{12{,}15}{11} + 7{,}9 - 1{,}05 \approx 7{,}95$.

Берілген сандармен бүтін сан шықпайды. Шартта қате басылған болуы мүмкін. Мысалы, 2,43 орнына 2,42 тұрса, бірінші қосылғыш дәл $2{,}42 \cdot 5 : 11 = 1{,}1$ болар еді.

Жауабы: берілген сандармен ≈ 7,95; шартты мұғалімнен тексер.

📕 Оқулықтағы шарт бойынша өрнектің мәні бүтін сан болуы керек, бірақ есептесек шамамен 7,95 шығады. Ең болмағанда бір сан қате басылған сияқты.

№ 334

Амалдарды орындаңдар: 1) $\left|-44\frac{4}{7}\right| : \left|-1\frac{31}{35}\right| : \left|-3\frac{5}{33}\right| + \left|-20\frac{3}{13}\right| - \left|-17\frac{8}{13}\right|$; 2) $\left|-23\frac{1}{18}\right| : \left|-9\frac{2}{9}\right| : \left|-2\frac{17}{54}\right| + \left|-2\frac{18}{35}\right| : \left|-1\frac{13}{42}\right|$.

Шешуі.

1. $\frac{312}{7} \cdot \frac{35}{66} = \frac{260}{11}$; $\frac{260}{11} \cdot \frac{33}{104} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$.
2. $20\frac{3}{13} - 17\frac{8}{13} = 2\frac{8}{13}$; $7\frac{1}{2} + 2\frac{8}{13} = 9\frac{29}{26} = 10\frac{3}{26}$.
3. Екіншісінде: $\frac{415}{18} \cdot \frac{9}{83} = \frac{5}{2}$; $\frac{5}{2} \cdot \frac{54}{125} = \frac{27}{25}$.
4. $\frac{88}{35} \cdot \frac{42}{55} = \frac{48}{25}$; $\frac{27}{25} + \frac{48}{25} = 3$.

Жауабы: 1) $10\frac{3}{26}$; 2) 3.

№ 335

Теңдеуді шешіңдер: 1) $7|x| - 5|x| = 13$; 2) $1{,}1|x| + 4{,}9|x| = 27$; 3) $\frac{2}{3}|x| - 8{,}5 + \frac{1}{7}|x| = 0$; 4) $\frac{5}{12}|x| - 3{,}8 + \frac{1}{9}|x| = 0$.

Қалай ойлаймыз. $|x|$-ті бір «қорап» деп ал. Қораптарды қосып, біреуінің неге тең екенін тап. Сосын $x$ — екі қарама-қарсы сан екенін есіңе түсір.

Шешуі.

1. $2|x| = 13$, $|x| = 6{,}5$, $x = \pm 6{,}5$.
2. $6|x| = 27$, $|x| = 4{,}5$, $x = \pm 4{,}5$.
3. $\frac{14}{21}|x| + \frac{3}{21}|x| = \frac{17}{21}|x| = 8{,}5$; $|x| = \frac{17}{2} \cdot \frac{21}{17} = 10{,}5$; $x = \pm 10{,}5$.
4. $\frac{15}{36}|x| + \frac{4}{36}|x| = \frac{19}{36}|x| = 3{,}8$; $|x| = 3{,}8 \cdot \frac{36}{19} = 7{,}2$; $x = \pm 7{,}2$.

Жауабы: 1) $\pm 6{,}5$; 2) $\pm 4{,}5$; 3) $\pm 10{,}5$; 4) $\pm 7{,}2$.

C деңгейі

№ 336

Теңдеудің теріс таңбалы түбірін табыңдар: 1) $8|x| - 5|x| - 17 + 10|x| = 0$; 2) $49|x| - 32|x| = 28{,}7 + 22{,}3$.

Шешуі.

1. $13|x| = 17$, $|x| = \frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}$. Теріс түбір: $-1\frac{4}{13}$.
2. $17|x| = 51$, $|x| = 3$. Теріс түбір: $-3$.

Жауабы: 1) $-1\frac{4}{13}$; 2) $-3$.

№ 337

Теңдеудің оң таңбалы түбірін табыңдар: 1) $56{,}36|x| - 110{,}1 + 3{,}64|x| - 59|x| = 89{,}9$; 2) $16{,}877|x| + 0{,}123|x| - 405{,}4 - 15|x| = 84{,}6$.

Шешуі.

1. $(56{,}36 + 3{,}64 - 59)|x| = 1 \cdot |x|$; $|x| = 89{,}9 + 110{,}1 = 200$. Оң түбір 200.
2. $(16{,}877 + 0{,}123 - 15)|x| = 2|x|$; $2|x| = 84{,}6 + 405{,}4 = 490$; $|x| = 245$.

Жауабы: 1) 200; 2) 245.

№ 338

1) $-|-|-|-k||| = k$; 2) $-|-|-|-k||| = -k$ теңдігі тура болатындай $k$-ның орнына қоюға болатын сандар жұбының екеуін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ішінен бастап ашамыз. $|-k| = |k|$. Әрі қарай әр модуль өзінің алдындағы минусты «жейді», ал соңғы минус сыртта қалады. Бұл — күрделілігі жоғары есеп.

Шешуі.

1. Ішінен: $|-k| = |k|$; $|-|k|| = |k|$; $|-|k|| = |k|$. Сыртта бір минус: бүкіл өрнек $-|k|$-ға тең.
2. 1-жағдай: $-|k| = k$. Бұл $k$ теріс немесе нөл болғанда орындалады. Мысалы, $k = -3$: $-|-3| = -3$ ✓.
3. 2-жағдай: $-|k| = -k$, яғни $|k| = k$. Бұл $k$ оң немесе нөл болғанда орындалады. Мысалы, $k = 5$.

Жауабы: 1) мысалы, $-3$ және $-10$; 2) мысалы, 5 және 8 (екі жағдайда да 0 жарайды).

Қайталау

№ 339

$\dfrac{11\frac{4}{9} : 10{,}3}{x} = \dfrac{2{,}137 + 17{,}863}{43}$ пропорциясының белгісіз мүшесін табыңдар.

Шешуі.

1. $11\frac{4}{9} = \frac{103}{9}$, $10{,}3 = \frac{103}{10}$; $\frac{103}{9} \cdot \frac{10}{103} = \frac{10}{9}$.
2. $2{,}137 + 17{,}863 = 20$.
3. $\frac{10}{9} : x = \frac{20}{43}$, демек, $x = \frac{10}{9} \cdot \frac{43}{20} = \frac{43}{18} = 2\frac{7}{18}$.

Жауабы: $2\frac{7}{18}$.

№ 340

Қайық өзен ағысы бойымен 3 сағ және өзен ағысына қарсы 4 сағ жүзді. Өзен ағысының жылдамдығы 3 км/сағ, қайықтың меншікті жылдамдығы 8 км/сағ болса, қайықтың қанша километр жүзгенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жылдамдық меншікті жылдамдыққа ағыс жылдамдығын қосқанға тең, ағысқа қарсы — одан азайтқанға тең.

Шешуі.

1. Ағыспен: $8 + 3 = 11$ км/сағ.
2. Ағысқа қарсы: $8 - 3 = 5$ км/сағ.
3. Жол: $11 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 33 + 20 = 53$ км.

Жауабы: 53 км.

№ 341

$\left(8\frac{2}{3} - 2{,}5y\right) : 9\frac{8}{11} = \frac{55}{214}$ теңдеуін шешіңдер.

Шешуі.

1. Бөлінгіш = бөлінді · бөлгіш: $8\frac{2}{3} - 2{,}5y = \frac{55}{214} \cdot \frac{107}{11} = \frac{5}{2} = 2{,}5$.
2. $2{,}5y = 8\frac{2}{3} - 2\frac{1}{2} = 6\frac{1}{6} = \frac{37}{6}$.
3. $y = \frac{37}{6} : \frac{5}{2} = \frac{37}{15} = 2\frac{7}{15}$.

Жауабы: $2\frac{7}{15}$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 342

1102 және 1012; 6,37 және 6,037; $8\frac{4}{5}$ және $8\frac{1}{7}$ сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Разрядтар бойынша солдан оңға қарай салыстырамыз. Бүтін бөліктері бірдей бөлшектерде бөлшек бөліктерін салыстырамыз.

Шешуі.

1. $1102 > 1012$: жүздік 1 мен 0.
2. $6{,}37 > 6{,}037$: ондық 3 пен 0.
3. $\frac{4}{5} > \frac{1}{7}$, демек, $8\frac{4}{5} > 8\frac{1}{7}$.

Жауабы: $1102 > 1012$; $6{,}37 > 6{,}037$; $8\frac{4}{5} > 8\frac{1}{7}$.

№ 343

1) 2,5; $3\frac{1}{3}$; 17; $2\frac{1}{6}$; 16,9; 3,3 сандарын өсу ретімен орналастырыңдар. 2) 0,05; $\frac{1}{2}$; 14,07; $3\frac{1}{7}$; $4\frac{1}{4}$; 4,3 сандарын кему ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бүтін бөлігі бойынша, сосын бөлшек бөліктерін салыстырамыз: $\frac{1}{6} < 0{,}5$, $0{,}3 < \frac{1}{3}$, $\frac{1}{4} = 0{,}25 < 0{,}3$.

Шешуі.

1. $2\frac{1}{6}$; 2,5; 3,3; $3\frac{1}{3}$; 16,9; 17.
2. 14,07; 4,3; $4\frac{1}{4}$; $3\frac{1}{7}$; $\frac{1}{2}$; 0,05.

Жауабы: 1) $2\frac{1}{6} < 2{,}5 < 3{,}3 < 3\frac{1}{3} < 16{,}9 < 17$; 2) $14{,}07 > 4{,}3 > 4\frac{1}{4} > 3\frac{1}{7} > \frac{1}{2} > 0{,}05$.

Жадынама

• Оң санның және нөлдің модулі — санның өзі.
• Теріс санның модулі — оған қарама-қарсы сан: «модуль минусты өшіреді».
• Қарама-қарсы сандардың модульдері тең: $|-a| = |a|$.
• $a > 0$ болғанда $|x| = a$ теңдеуінің екі түбірі бар: $a$ және $-a$.
• Өрнектерде алдымен модульдерді табамыз, сосын әдеттегі ережемен есептейміз.

Шағын тест