§ 12. Теріс рационал сандарды қосу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 91–95-беттер.

Нені үйренесің

• Екі және одан да көп теріс санды координаталық түзусіз қосуды.
• Теріс сандардың қосындысы неге әрқашан теріс болатынын түсіндіруді.
• Теріс ондық және жай бөлшектерді қосуды.
• Суыту, су деңгейінің төмендеуі, санның кемуі туралы есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 393–395 тапсырмалары: қосуды қалай ыңғайлы жасауға болатынын еске түсіреміз.

• $1212 + 1098 + 688 + 102$ неше болады? Топтаймыз: $(1212 + 688) + (1098 + 102) = 1900 + 1200 = 3100$.
• Ал $6\frac{1}{6} + 18{,}15 + 100\frac{5}{6} + 2\frac{19}{20}$ ше? $\left(6\frac{1}{6} + 100\frac{5}{6}\right) + (18{,}15 + 2{,}95) = 107 + 21{,}1 = 128{,}1$.
• $A(7)$, $B(-3)$, $C(-1{,}5)$, $D(0{,}5)$ нүктелері түзуде қайда орналасады? $A$ — нөлден оңға қарай 7, $B$ — солға қарай 3, $C$ — $-2$ мен $-1$ дәл ортасында, $D$ — 0 мен 1 дәл ортасында.
• $1{,}32 + |47{,}15| + 8{,}68 + |-2{,}85| + |-60|$ неше болады? Модульдерді ашып, топтаймыз: $10 + 50 + 60 = 120$.
• Ал $\left|15\frac{7}{11}\right| + 97\frac{4}{11} + 2\frac{13}{21} + \left|-84\frac{8}{21}\right|$ ше? $113 + 87 = 200$.

💡 Қосылғыштардың орнын ауыстыруға және топтауға теріс сандармен де ыңғайлы. Бұл жуырда қажет болады.

Тақырыпты талдаймыз

Минус плюс минус

$-2$ және $-4$ сандарын түзуде қосайық. $-2$ нүктесіне тұрып, солға қарай 4 қадам жасаймыз. Өзің де байқап көр.

$-6$ шықты. Енді назар аудар: $2 + 4 = 6$. Жауап сол, тек алдында «минус» тұр.

📌 Екі теріс санды қосу үшін:

1. олардың модульдерін қосамыз;
2. шыққан санның алдына минус қоямыз.

Мысалы: $-1{,}5 + (-2{,}5) = -(1{,}5 + 2{,}5) = -4$. Және $-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

Неліктен солай

Екі қосылғыш та солға тартады. Біз нөлдің сол жағынан бастап, одан да солға кетіп бара жатырмыз. Нөлге қайта оралуға не оңға өтуге ештеңе жоқ. Сондықтан теріс сандардың қосындысы әрқашан теріс, және ол нөлден модульдердің қосындысындай қашықтыққа кетеді.

💡 Қарыздар салынған әмиянды елестет. Досыңа 200 тг қарыздар болдың, сосын тағы 300 тг қарызға алдың. Барлық қарыз — 500 тг: $-200 + (-300) = -500$.

⚠️ Жиі кететін қате. Екі минусты көріп: «минус пен минус плюс береді» деп ойлайды. Бұл ереже көбейту туралы, оны кейін үйренесің. Қосқанда екі минус минус береді: $-3 + (-5) = -8$, ал 8 емес.

Қалай оқимыз

$(-9) + (-5)$ жазуы былай оқылады: «минус тоғыз бен минус бестің қосындысы» немесе «минус тоғызға минус бесті қосу». Бірінші санның айналасындағы жақшаны жиі жазбайды: $-9 + (-5)$. Ал екіншісінің айналасына жақша міндетті түрде қойылады: қатар тұрған екі таңбаны, «$+ -$», жазбайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан дауыстап айтқызыңыз: «Екеуі де теріс — модульдерін қосамын, минус қоямын». Бірнеше мысалдан кейін ереже әдетке айналады, таңбамен қателесу азаяды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Теріс сандарды қосқанда неліктен теріс сан шығады? Біз нөлдің сол жағынан бастап, одан да солға жылжимыз. Демек, нәтиже де нөлдің сол жағында.
• Теріс сандарды қосқанда оң сан немесе нөл шығуы мүмкін бе? Жоқ. Оның модулі модульдердің қосындысына тең, ал таңбасы әрқашан «минус».

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 396

Есептеңдер: 1) $(-36) + (-27)$; 2) $(-29) + (-83)$; 3) $(-15) + (-97)$; 4) $(-56) + (-87)$; 5) $(-316) + (-28)$; 6) $(-206) + (-29)$.

Қалай ойлаймыз. Модульдерін қосамыз, минус қоямыз.

Шешуі.

1. $36 + 27 = 63$ → $-63$.
2. $29 + 83 = 112$ → $-112$.
3. $15 + 97 = 112$ → $-112$.
4. $56 + 87 = 143$ → $-143$.
5. $316 + 28 = 344$ → $-344$.
6. $206 + 29 = 235$ → $-235$.

Жауабы: $-63$; $-112$; $-112$; $-143$; $-344$; $-235$.

№ 397

Сандарды қосыңдар: $-8876$ және $-7789$; $-7676$ және $-4545$; $-7676$ және $-8989$; $-2345$ және $-6789$; $-5432$ және $-2345$; $-9876$ және $-6789$.

Шешуі.

1. $8876 + 7789 = 16,665$ → $-16,665$.
2. $7676 + 4545 = 12,221$ → $-12,221$.
3. $7676 + 8989 = 16,665$ → $-16,665$.
4. $2345 + 6789 = 9134$ → $-9134$.
5. $5432 + 2345 = 7777$ → $-7777$.
6. $9876 + 6789 = 16,665$ → $-16,665$.

Жауабы: $-16,665$; $-12,221$; $-16,665$; $-9134$; $-7777$; $-16,665$.

🌟 Үш жауап — $-16,665$! Сандарға қарашы: бұл жұптарда әр разрядтың цифрларының қосындысы 15 шығады (8 + 7, 8 + 7, 7 + 8, 6 + 9). Әдемі заңдылық.

№ 398

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $-3{,}77 + (-7{,}89)$; 2) $-76{,}7 + (-46{,}7)$; 3) $-9{,}7 + (-89{,}85)$; 4) $-23{,}45 + (-6{,}772)$; 5) $-54{,}32 + (-5{,}679)$; 6) $-10{,}28 + (-678{,}6)$.

Қалай ойлаймыз. Ондық бөлшектерді қосқанда үтірді үтірдің астына жазамыз. Қажет болса, нөл қосып жазамыз.

Шешуі.

1. $3{,}77 + 7{,}89 = 11{,}66$ → $-11{,}66$.
2. $76{,}7 + 46{,}7 = 123{,}4$ → $-123{,}4$.
3. $9{,}70 + 89{,}85 = 99{,}55$ → $-99{,}55$.
4. $23{,}450 + 6{,}772 = 30{,}222$ → $-30{,}222$.
5. $54{,}320 + 5{,}679 = 59{,}999$ → $-59{,}999$.
6. $10{,}28 + 678{,}60 = 688{,}88$ → $-688{,}88$.

Жауабы: $-11{,}66$; $-123{,}4$; $-99{,}55$; $-30{,}222$; $-59{,}999$; $-688{,}88$.

№ 399

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-\frac{3}{4} + \left(-5\frac{1}{4}\right)$; 2) $-11\frac{3}{4} + \left(-5\frac{3}{4}\right)$; 3) $-\frac{7}{8} + \left(-\frac{1}{4}\right)$; 4) $-\frac{9}{11} + \left(-4\frac{3}{11}\right)$; 5) $-\frac{3}{17} + \left(-\frac{11}{34}\right)$; 6) $-\frac{7}{12} + \left(-8\frac{1}{6}\right)$.

Шешуі.

1. $\frac{3}{4} + 5\frac{1}{4} = 6$ → $-6$.
2. $11\frac{3}{4} + 5\frac{3}{4} = 16\frac{6}{4} = 17\frac{1}{2}$ → $-17\frac{1}{2}$.
3. $\frac{7}{8} + \frac{2}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$ → $-1\frac{1}{8}$.
4. $\frac{9}{11} + 4\frac{3}{11} = 4\frac{12}{11} = 5\frac{1}{11}$ → $-5\frac{1}{11}$.
5. $\frac{6}{34} + \frac{11}{34} = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}$ → $-\frac{1}{2}$.
6. $\frac{7}{12} + 8\frac{2}{12} = 8\frac{9}{12} = 8\frac{3}{4}$ → $-8\frac{3}{4}$.

Жауабы: $-6$; $-17\frac{1}{2}$; $-1\frac{1}{8}$; $-5\frac{1}{11}$; $-\frac{1}{2}$; $-8\frac{3}{4}$.

№ 400

$x$-тің мәні: 1) $-1{,}7$; 2) $-81{,}7$; 3) $18{,}3$; 4) $-31\frac{7}{10}$ болса, $(-15{,}2) + x + (-3{,}1)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі белгілі санды қосамыз: $-15{,}2 + (-3{,}1) = -18{,}3$. Енді $x$-ті қосу ғана қалды.

Шешуі.

1. $-18{,}3 + (-1{,}7) = -20$.
2. $-18{,}3 + (-81{,}7) = -100$.
3. $-18{,}3 + 18{,}3 = 0$ — қарама-қарсы сандар!
4. $-31\frac{7}{10} = -31{,}7$; $-18{,}3 + (-31{,}7) = -50$.

Жауабы: $-20$; $-100$; 0; $-50$.

№ 401

Кестені толтырыңдар: $m = -72{,}35$, $n = -27{,}65$; $m = -27\frac{13}{18}$, $n = -22\frac{5}{18}$; $m = -22{,}625$, $n = -2\frac{3}{8}$; $m = -0{,}9375$, $n = -\frac{1}{4}$ жұптары үшін $m + n$ табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер бір сан ондық, ал екіншісі жай бөлшек болса, бөлшекті ондыққа айналдыр: $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $\frac{1}{4} = 0{,}25$.

Шешуі.

Жауабы: $-100$; $-50$; $-25$; $-1{,}1875$.

№ 402

312,1; $-312{,}1$; 276,5; $-276{,}5$ сандарының қайсысы $-17{,}8 + x = -294{,}3$ теңдеуінің түбірі болады?

Қалай ойлаймыз. $-294{,}3$ қосындысы теріс және нөлден $-17{,}8$ санынан гөрі алысырақ. Демек, $x$ те теріс. Оның модулі: $294{,}3 - 17{,}8 = 276{,}5$.

Шешуі. $x = -276{,}5$ санын тексерейік: $-17{,}8 + (-276{,}5) = -(17{,}8 + 276{,}5) = -294{,}3$ ✓.

Жауабы: $-276{,}5$.

№ 403

1) $x - (-84{,}6) = -15{,}4$; 2) $x - \left(-4\frac{1}{3}\right) = -5\frac{2}{3}$; 3) $x - \left(-8\frac{5}{6}\right) = -1\frac{1}{6}$; 4) $x - \left(-48\frac{7}{13}\right) = -51\frac{6}{13}$ болса, белгісіз азайғышты табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 5-сыныптағы ереже мұнда да орындалады: азайғыш = айырым + азайтқыш. Ал екі теріс санды қосуды біз қазір білеміз.

Шешуі.

1. $x = -15{,}4 + (-84{,}6) = -100$.
2. $x = -5\frac{2}{3} + \left(-4\frac{1}{3}\right) = -10$.
3. $x = -1\frac{1}{6} + \left(-8\frac{5}{6}\right) = -10$.
4. $x = -51\frac{6}{13} + \left(-48\frac{7}{13}\right) = -100$.

Жауабы: $-100$; $-10$; $-10$; $-100$.

№ 404

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - (-14{,}7) = -55{,}3$; 2) $x - \left(-64\frac{2}{3}\right) = -5\frac{1}{3}$; 3) $x - \left(-82\frac{5}{7}\right) = -7\frac{2}{7}$; 4) $x - \left(-4\frac{5}{12}\right) = -55\frac{7}{12}$.

Шешуі. № 403-тегідей: $x$ = айырым + азайтқыш.

1. $x = -55{,}3 + (-14{,}7) = -70$.
2. $x = -5\frac{1}{3} + \left(-64\frac{2}{3}\right) = -70$.
3. $x = -7\frac{2}{7} + \left(-82\frac{5}{7}\right) = -90$.
4. $x = -55\frac{7}{12} + \left(-4\frac{5}{12}\right) = -60$.

Жауабы: $-70$; $-70$; $-90$; $-60$.

№ 405

$-34{,}5$ санына: 1) $-5{,}5$; 2) $-65{,}5$; 3) $-15{,}5$ санын қосыңдар.

Шешуі. 1) $-(5{,}5 + 34{,}5) = -40$; 2) $-(65{,}5 + 34{,}5) = -100$; 3) $-(15{,}5 + 34{,}5) = -50$.

Жауабы: $-40$; $-100$; $-50$.

№ 406

1) $a = -8{,}36$ және $b = -1{,}64$; 2) $a = -17{,}6$ және $b = -12{,}4$; 3) $a = -4{,}75$ және $b = -5{,}25$; 4) $a = -17{,}2$ және $b = -92{,}8$ болса, $a + b$ өрнегінің мәні қандай?

Шешуі. 1) $-(8{,}36 + 1{,}64) = -10$; 2) $-(17{,}6 + 12{,}4) = -30$; 3) $-(4{,}75 + 5{,}25) = -10$; 4) $-(17{,}2 + 92{,}8) = -110$.

Жауабы: $-10$; $-30$; $-10$; $-110$.

№ 407

Температура дүйсенбі күні $-1{,}5$ °C-қа, сейсенбі күні $-2$ °C-қа, сәрсенбі күні $-0{,}5$ °C-қа, бейсенбі күні $-2{,}8$ °C-қа, жұма күні $-1{,}7$ °C, сенбі күні $-1{,}9$ °C-қа, жексенбі күні $-1{,}3$ °C-қа өзгерді. Апта бойына температура қалай өзгерді?

Қалай ойлаймыз. Барлық өзгеріс теріс — модульдерін қосып, минус қоямыз. Ыңғайлы жұптарды топтаймыз.

Шешуі. $(1{,}5 + 0{,}5) + 2 + (2{,}8 + 1{,}7) + (1{,}9 + 1{,}3) = 2 + 2 + 4{,}5 + 3{,}2 = 11{,}7$. Демек, өзгеріс — $-11{,}7$ °C.

Жауабы: $-11{,}7$ °C-қа (11,7 °C-қа суыды).

№ 408

Өзен суының деңгейі бірінші күні $-0{,}25$ м-ге, екінші күні $-0{,}1$ м-ге, үшінші күні $-0{,}07$ м-ге өзгерді. Үш күнде өзен суының деңгейі қалай өзгерді?

Шешуі. $-(0{,}25 + 0{,}1 + 0{,}07) = -0{,}42$ м. Бір метрде 100 см: $-0{,}42$ м $= -42$ см.

Жауабы: $-42$ см-ге (су деңгейі 42 см төмендеді).

№ 409

Сан алдымен $-4{,}3$-ке, одан кейін $-1{,}6$-ға өзгертілді. Соңынан сан тағы $-0{,}1$-ге өзгертілді. Бастапқы сан көбейді ме, әлде азайды ма және қаншаға өзгерді?

Шешуі. Жалпы өзгеріс: $-4{,}3 + (-1{,}6) + (-0{,}1) = -6$. Өзгеріс теріс, демек, сан азайды.

Жауабы: 6-ға азайды.

B деңгейі

№ 410

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(-2{,}25 + (-1{,}75)) + \left(-2\frac{2}{3} + \left(-3\frac{1}{3}\right)\right)$; 2) $\left(-327{,}8 + \left(-72\frac{1}{5}\right)\right) + \left(-539\frac{11}{15} + \left(-60\frac{4}{15}\right)\right)$; 3) $\left(-789\frac{3}{5} + (-101{,}4)\right) + \left(-27{,}04 + \left(-72\frac{24}{25}\right)\right)$; 4) $\left(-0{,}16 + \left(-\frac{21}{25}\right)\right) + \left(-0{,}875 + \left(-\frac{1}{8}\right)\right)$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшада сандар модульдерінің қосындысы «дөңгелек» шығатындай етіп таңдалған. Бөлшектерді ыңғайлы түрге келтір.

Шешуі.

1. $-(2{,}25 + 1{,}75) = -4$; $-\left(2\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3}\right) = -6$; барлығы $-4 + (-6) = -10$.
2. $72\frac{1}{5} = 72{,}2$: $-(327{,}8 + 72{,}2) = -400$; $-\left(539\frac{11}{15} + 60\frac{4}{15}\right) = -600$; барлығы $-1000$.
3. $-891 + (-100) = -991$ (жоғарыдағы қадамдарды қара).
4. $\frac{21}{25} = 0{,}84$, $\frac{1}{8} = 0{,}125$: $-(0{,}16 + 0{,}84) = -1$; $-(0{,}875 + 0{,}125) = -1$; барлығы $-2$.

Жауабы: $-10$; $-1000$; $-991$; $-2$.

№ 411

Өрнектің мәніне қарама-қарсы санды табыңдар: 1) $-2\frac{1}{3} + \left(-5\frac{1}{4}\right)$; 2) $-14{,}27 + (-16{,}5)$; 3) $-33{,}2 + \left(-11\frac{2}{7}\right)$; 4) $-39{,}05 + \left(-5\frac{1}{4}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қосындыны табамыз — ол теріс. Қарама-қарсы сан — сол модульді минуссыз жазу.

Шешуі.

1. $2\frac{4}{12} + 5\frac{3}{12} = 7\frac{7}{12}$; қосынды $-7\frac{7}{12}$, қарама-қарсы сан $7\frac{7}{12}$.
2. $14{,}27 + 16{,}5 = 30{,}77$; қарама-қарсы сан 30,77.
3. $33\frac{1}{5} + 11\frac{2}{7} = 44 + \frac{7}{35} + \frac{10}{35} = 44\frac{17}{35}$; қарама-қарсы сан $44\frac{17}{35}$.
4. $39{,}05 + 5{,}25 = 44{,}3$; қарама-қарсы сан 44,3.

Жауабы: $7\frac{7}{12}$; 30,77; $44\frac{17}{35}$; 44,3.

№ 412

Берілген санды әртүрлі екі санның қосындысы түрінде жазыңдар: 1) $-6$; 2) $-208$; 3) $-11$; 4) $-1{,}4$; 5) $-6{,}2$; 6) $-10{,}2$.

Қалай ойлаймыз. Модульді екіге бөлеміз, екі қосылғыш та теріс болады. (Мұнда екі қосылғышты тең етіп алу ең оңай жол.)

Шешуі.

1. $-6 = -3 + (-3)$.
2. $-208 = -104 + (-104)$.
3. $-11 = -5{,}5 + (-5{,}5)$.
4. $-1{,}4 = -0{,}7 + (-0{,}7)$.
5. $-6{,}2 = -3{,}1 + (-3{,}1)$.
6. $-10{,}2 = -5{,}1 + (-5{,}1)$.

Жауабы: қосылғыштар $-3$; $-104$; $-5{,}5$; $-0{,}7$; $-3{,}1$; $-5{,}1$. Басқа нұсқалар да болады.

№ 413

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $-267 + (-415)$; 2) $-392 + (-108)$; 3) $-2345 + (-687)$; 4) $-8346 + (-458)$; 5) $-0{,}26 + (-0{,}74)$; 6) $-0{,}485 + (-0{,}52)$.

Шешуі.

1. $-(267 + 415) = -682$.
2. $-(392 + 108) = -500$.
3. $-(2345 + 687) = -3032$.
4. $-(8346 + 458) = -8804$.
5. $-(0{,}26 + 0{,}74) = -1$.
6. $-(0{,}485 + 0{,}520) = -1{,}005$.

Жауабы: $-682$; $-500$; $-3032$; $-8804$; $-1$; $-1{,}005$.

№ 414

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-569 + (-587)$; 2) $-778 + (-354)$; 3) $-366 + (-278)$; 4) $-255 + (-167)$; 5) $-7{,}08 + (-4{,}39)$; 6) $-99{,}9 + (-7{,}77)$.

Шешуі.

1. $-(569 + 587) = -1156$.
2. $-(778 + 354) = -1132$.
3. $-(366 + 278) = -644$.
4. $-(255 + 167) = -422$.
5. $-(7{,}08 + 4{,}39) = -11{,}47$.
6. $-(99{,}90 + 7{,}77) = -107{,}67$.

Жауабы: $-1156$; $-1132$; $-644$; $-422$; $-11{,}47$; $-107{,}67$.

№ 415

Есептеңдер: 1) $-5{,}79 + (-3{,}84)$; 2) $-2{,}76 + (-0{,}64)$; 3) $-7{,}64 + (-16{,}8)$; 4) $-7{,}788 + (-5{,}412)$; 5) $-86{,}9 + (-6{,}362)$; 6) $-2{,}785 + (-13{,}865)$.

Шешуі.

1. $-(5{,}79 + 3{,}84) = -9{,}63$.
2. $-(2{,}76 + 0{,}64) = -3{,}4$.
3. $-(7{,}64 + 16{,}80) = -24{,}44$.
4. $-(7{,}788 + 5{,}412) = -13{,}2$.
5. $-(86{,}900 + 6{,}362) = -93{,}262$.
6. $-(2{,}785 + 13{,}865) = -16{,}65$.

Жауабы: $-9{,}63$; $-3{,}4$; $-24{,}44$; $-13{,}2$; $-93{,}262$; $-16{,}65$.

№ 416

Есептеңдер: 1) $-\frac{25}{28} + \left(-\frac{18}{35}\right)$; 2) $-\frac{40}{63} + \left(-\frac{35}{72}\right)$; 3) $-\frac{29}{54} + \left(-\frac{13}{42}\right)$; 4) $-\frac{19}{60} + \left(-\frac{11}{24}\right)$; 5) $-\frac{35}{81} + \left(-\frac{25}{72}\right)$; 6) $-\frac{23}{36} + \left(-\frac{31}{48}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Басты жұмыс — ең кіші ортақ бөлімді табу. Бөлімдерді көбейткіштерге жікте: $28 = 4 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$, демек ЕКОЕ $= 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Шешуі.

1. ЕКОЕ (28; 35) = 140: $\frac{125}{140} + \frac{72}{140} = \frac{197}{140} = 1\frac{57}{140}$ → $-1\frac{57}{140}$.
2. ЕКОЕ (63; 72) = 504: $\frac{320}{504} + \frac{245}{504} = \frac{565}{504} = 1\frac{61}{504}$ → $-1\frac{61}{504}$.
3. ЕКОЕ (54; 42) = 378: $\frac{203}{378} + \frac{117}{378} = \frac{320}{378} = \frac{160}{189}$ → $-\frac{160}{189}$.
4. ЕКОЕ (60; 24) = 120: $\frac{38}{120} + \frac{55}{120} = \frac{93}{120} = \frac{31}{40}$ → $-\frac{31}{40}$.
5. ЕКОЕ (81; 72) = 648: $\frac{280}{648} + \frac{225}{648} = \frac{505}{648}$ → $-\frac{505}{648}$.
6. ЕКОЕ (36; 48) = 144: $\frac{92}{144} + \frac{93}{144} = \frac{185}{144} = 1\frac{41}{144}$ → $-1\frac{41}{144}$.

Жауабы: $-1\frac{57}{140}$; $-1\frac{61}{504}$; $-\frac{160}{189}$; $-\frac{31}{40}$; $-\frac{505}{648}$; $-1\frac{41}{144}$.

№ 417

Есептеңдер: 1) $-0{,}4 + \left(-\frac{1}{6}\right)$; 2) $-0{,}25 + \left(-\frac{3}{8}\right)$; 3) $-4{,}125 + \left(-\frac{5}{12}\right)$; 4) $-6{,}75 + \left(-8\frac{7}{12}\right)$; 5) $-11\frac{1}{3} + (-9{,}5)$; 6) $-7\frac{1}{6} + (-9{,}375)$; 7) $-0{,}75 + \left(-5\frac{5}{6}\right)$; 8) $-0{,}8 + \left(-4\frac{3}{7}\right)$; 9) $-6\frac{1}{6} + (-17{,}375)$.

Қалай ойлаймыз. $\frac{1}{6}$ немесе $\frac{5}{12}$ сияқты бөлшектер ақырлы ондық бөлшекке айналмайды. Сондықтан ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырамыз: $0{,}4 = \frac{2}{5}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}125 = \frac{1}{8}$, $0{,}375 = \frac{3}{8}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$.

Шешуі.

1. $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$ → $-\frac{17}{30}$.
2. $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ → $-\frac{5}{8}$.
3. $4\frac{1}{8} + \frac{5}{12} = 4\frac{3}{24} + \frac{10}{24} = 4\frac{13}{24}$ → $-4\frac{13}{24}$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 3-тармаққа $4\frac{13}{24}$ минуссыз жазылған, ал дұрысы — $-4\frac{13}{24}$: екі теріс санның қосындысы әрқашан теріс.

4. $6\frac{9}{12} + 8\frac{7}{12} = 14\frac{16}{12} = 15\frac{4}{12} = 15\frac{1}{3}$ → $-15\frac{1}{3}$.
5. $11\frac{2}{6} + 9\frac{3}{6} = 20\frac{5}{6}$ → $-20\frac{5}{6}$.
6. $7\frac{4}{24} + 9\frac{9}{24} = 16\frac{13}{24}$ → $-16\frac{13}{24}$.
7. $\frac{9}{12} + 5\frac{10}{12} = 5\frac{19}{12} = 6\frac{7}{12}$ → $-6\frac{7}{12}$.
8. $\frac{4}{5} + 4\frac{3}{7} = 4 + \frac{28}{35} + \frac{15}{35} = 4\frac{43}{35} = 5\frac{8}{35}$ → $-5\frac{8}{35}$.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 8-тармаққа $5\frac{8}{35}$ минуссыз жазылған, ал дұрысы — $-5\frac{8}{35}$: екі теріс санның қосындысы теріс.

9. $6\frac{4}{24} + 17\frac{9}{24} = 23\frac{13}{24}$ → $-23\frac{13}{24}$.

Жауабы: $-\frac{17}{30}$; $-\frac{5}{8}$; $-4\frac{13}{24}$; $-15\frac{1}{3}$; $-20\frac{5}{6}$; $-16\frac{13}{24}$; $-6\frac{7}{12}$; $-5\frac{8}{35}$; $-23\frac{13}{24}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Модульді есептеп, минус қоюды ұмытып кетеді. Жауапты жазбас бұрын өзіңнен сұра: «Қосылғыштар теріс пе? Демек, жауап та минуспен».

C деңгейі

№ 418

1) $a = -12{,}3$; 2) $a = -61{,}4$; 3) $a = -902{,}4$; 4) $a = -32\frac{2}{5}$ болса, $a + (-38{,}6)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $-(12{,}3 + 38{,}6) = -50{,}9$.
2. $-(61{,}4 + 38{,}6) = -100$.
3. $-(902{,}4 + 38{,}6) = -941$.
4. $32\frac{2}{5} = 32{,}4$; $-(32{,}4 + 38{,}6) = -71$.

Жауабы: $-50{,}9$; $-100$; $-941$; $-71$.

№ 419

1) $a = -\frac{4}{15}$, $b = -0{,}4$; 2) $a = -0{,}4375$, $b = -\frac{5}{12}$; 3) $a = -3\frac{11}{18}$, $b = -6\frac{5}{6}$; 4) $a = -18\frac{3}{14}$, $b = -6\frac{17}{21}$ болса, $a + b + (-0{,}5)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Үш қосылғыштың үшеуі де теріс. Үш модульді қосамыз, минус қоямыз. Ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырамыз: $0{,}4 = \frac{2}{5}$, $0{,}5 = \frac{1}{2}$, $0{,}4375 = \frac{7}{16}$.

Шешуі.

1. $\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{8}{30} + \frac{12}{30} + \frac{15}{30} = \frac{35}{30} = 1\frac{1}{6}$ → $-1\frac{1}{6}$.
2. $\frac{7}{16} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} = \frac{21}{48} + \frac{20}{48} + \frac{24}{48} = \frac{65}{48} = 1\frac{17}{48}$ → $-1\frac{17}{48}$.
3. $3\frac{11}{18} + 6\frac{15}{18} + \frac{9}{18} = 9\frac{35}{18} = 10\frac{17}{18}$ → $-10\frac{17}{18}$.
4. $18\frac{9}{42} + 6\frac{34}{42} + \frac{21}{42} = 24\frac{64}{42} = 25\frac{22}{42} = 25\frac{11}{21}$ → $-25\frac{11}{21}$.

Жауабы: $-1\frac{1}{6}$; $-1\frac{17}{48}$; $-10\frac{17}{18}$; $-25\frac{11}{21}$.

Қайталаймыз

№ 420

Еліміздегі жапырақты ағаштардың алып жатқан ауданы орманды алқаптың барлық ауданының 61,8%-ын құрайды. Оның ішінде шыршалар 15,5%, бұталар 22,7%. Осы мәліметтерді қолданып дөңгелек диаграмма салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл дөңгелек — 100% — бұл 360°. Демек, 1% — бұл 3,6°.

Шешуі.

1. Жапырақты ағаштар: $61{,}8 \cdot 3{,}6 = 222{,}48° \approx 222°$.
2. Шыршалар: $15{,}5 \cdot 3{,}6 = 55{,}8° \approx 56°$.
3. Бұталар: $22{,}7 \cdot 3{,}6 = 81{,}72° \approx 82°$. Тексеру: $222 + 56 + 82 = 360$ ✓. Дөңгелек саламыз, радиустан бастап транспортирмен бұрыштарды кезекпен саламыз.

Жауабы: секторлар шамамен 222°, 56° және 82°.

№ 421

6 км/сағ жылдамдықпен жүріп отырып, арақашықтығы 18 км болатын бір елді мекеннен екінші елді мекенге қанша уақытта жетуге болады? Жылдамдықты: 1) 2 есе; 2) 3 есе; 3) 6 есе; 4) 12 есе арттырғанда қанша уақытта жетуге болады?

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық неше есе артса, уақыт сонша есе азаяды.

Шешуі. $18 : 6 = 3$ сағ. Одан әрі: 1) $3 : 2 = 1{,}5$ сағ; 2) $3 : 3 = 1$ сағ; 3) $3 : 6 = 0{,}5$ сағ; 4) $3 : 12 = 0{,}25$ сағ.

Жауабы: 3 сағ; 1,5 сағ; 1 сағ; 0,5 сағ; 0,25 сағ.

№ 422

Теңдеудегі белгісіз қосылғышты табыңдар: 1) $x + (|-15| + 15{,}4) = 31$; 2) $\left|7\frac{2}{3}\right| + \left|-2\frac{1}{3}\right| + x = 100$.

Шешуі.

1. $|-15| + 15{,}4 = 15 + 15{,}4 = 30{,}4$. Сонда $x = 31 - 30{,}4 = 0{,}6$.
2. $7\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 10$. Сонда $x = 100 - 10 = 90$.

Жауабы: 1) 0,6; 2) 90.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 423

Қосындының қасиеттерін қолданып қосындының мәнін табыңдар: 1) $-|-700| + |500| + |-200| + \frac{3}{4} + 0{,}25$; 2) $|199{,}25| + |-55{,}3| + 44{,}7 + 0{,}75 - |-300|$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен модульдерді абайлап ашамыз. Назар аудар: $-|-700|$ — бұл модульден алынған минус, яғни $-700$.

Шешуі.

1. $-700 + 500 + 200 + \frac{3}{4} + 0{,}25$. $500 + 200 = 700$ және $-700$ — қарама-қарсы сандар, олардың қосындысы 0. Қалғаны $0{,}75 + 0{,}25 = 1$.
2. $(199{,}25 + 0{,}75) + (55{,}3 + 44{,}7) - 300 = 200 + 100 - 300 = 0$.

Жауабы: 1) 1; 2) 0.

№ 424

Координаталық түзуде берілген нүктелерді белгілеңдер: 1) $A(-4)$, $B(-6)$, $C(-1)$, $K(3)$, $M(5)$, $P(8)$; 2) $A(-0{,}4)$, $B(-0{,}7)$, $C(-0{,}9)$, $K(0{,}4)$, $M(1{,}1)$, $P(1{,}3)$; 3) $A\left(-\frac{1}{3}\right)$, $B\left(-2\frac{1}{3}\right)$, $C\left(-1\frac{2}{3}\right)$, $K\left(\frac{2}{3}\right)$, $M(3)$, $P(2)$.

Қалай ойлаймыз. Бірлік кесіндіні сандарға лайықтап таңдаймыз. 1-тармақта бірлікке 1 торкөз жетеді. 2-тармақта 10 торкөз ыңғайлы (бір торкөз — 0,1). 3-тармақта — 3 торкөз (бір торкөз — $\frac{1}{3}$).

Шешуі.

1. Бірлік — 1 торкөз. $B$ — нөлден солға қарай 6 торкөз, $A$ — 4, $C$ — 1. $K$, $M$, $P$ — оңға қарай 3, 5 және 8 торкөз.
2. Бірлік — 10 торкөз. $C$, $B$, $A$ — нөлден солға қарай 9, 7 және 4 торкөз. $K$ — оңға қарай 4 торкөз, $M$ — 11, $P$ — 13.
3. Бірлік — 3 торкөз. $A$ — нөлден солға қарай 1 торкөз, $C$ — 5, $B$ — 7. $K$ — оңға қарай 2 торкөз, $P$ — 6, $M$ — 9.

Жауабы: нүктелер сипаттамаға сай белгіленді.

Жадынама

• Екі қосылғыш та теріс — модульдерін қосамыз да, минус қоямыз.
• Теріс сандардың қосындысы ешқашан оң немесе нөл болмайды.
• Теріс қосылғыш көп болса — барлық модульдерді бірден қосамыз, ыңғайлы жұптарды топтаймыз.
• Бір мысалдағы ондық және жай бөлшектерді бір түрге келтіреміз.
• «Суыды», «төмендеді», «азайтылды» — бұлар теріс өзгерістер.

Шағын тест