§ 13. Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 96–101-беттер.

Нені үйренесің

• Координаталық түзуде оң және теріс санды қосуды.
• Мұндай сандарды суретсіз, модульдер ережесі бойынша қосуды.
• Жауаптың таңбасын бірден көре білуді.
• Температура, аудан және жылдамдық туралы, сандар «минусқа кететін» есептерді шығаруды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 423 және 424 тапсырмалары. Алдымен ойша жауап бер, сосын жауабын аш.

• $-|-700| + |500| + |-200| + \frac{3}{4} + 0{,}25$ неге тең? Модульдер: $-700 + 500 + 200 = 0$, ал $\frac{3}{4} + 0{,}25 = 1$. Барлығы — 1.
• Ал $|199{,}25| + |-55{,}3| + 44{,}7 + 0{,}75 - |-300|$ ше? $199{,}25 + 0{,}75 = 200$, $55{,}3 + 44{,}7 = 100$, $300 - 300 =$ 0.
• Координаталық түзуде $B(-6)$ нүктесі $C(-1)$ нүктесінен солда ма, әлде оңда ма? Солда: $-6 < -1$.
• Қай нүкте нөлден алыс: $A(-0{,}4)$ ба, әлде $P(1{,}3)$ пе? $P$: оның модулі 1,3, ол 0,4-тен үлкен.

💡 Байқадың ба? Бірінші мысалда $-700$ және $+700$ бір-бірін «жеп қойды». Бүгін минус пен плюс кездескенде не болатынын анықтаймыз.

Тақырыпты талдаймыз

Түзу бойымен қадам басамыз

Санды қосу — координаталық түзу бойымен қадам басу. Плюс — оңға қадам, минус — солға қадам. $-8$ санынан бастап, оңға қарай 5 қадам жасайық.

$(-8) + 5 = -3$ шықты. Ал 5-тен бастап солға қарай 8 қадам жасасақ ше? Дәл сол жерге барамыз: $5 + (-8) = -3$. Қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді.

Енді $(-3) + 7$: $-3$ нүктесінен оңға қарай жеті қадам — бұл 4. Және $7 + (-3) = 4$.

Кім күшті — сол жеңеді

Арқан тартысты елестет. Сол жақта 8 адам тартады, оң жақта — 5. Кім жеңді? Сол жақтағылар, бірақ артықшылығы небәрі 3 адам. Ереже де дәл осы!

📌 Таңбалары әртүрлі екі санды қосу үшін:

1. үлкен модульден кіші модульді азайт;
2. модулі үлкен санның таңбасын қой.

Мысалдар: $-70 + 50 = -(70 - 50) = -20$. $70 + (-40) = +(70 - 40) = 30$. $-15{,}9 + 3{,}8 = -(15{,}9 - 3{,}8) = -12{,}1$.

💡 Ал модульдері тең болса ше? Онда күштер тең, ал қосынды — нөл: $-53 + 53 = 0$. Қарама-қарсы сандар осылай қосылады.

⚠️ Жиі кететін қате. $-12 + 5$ өрнегінде модульдерді қосып, $-17$ деп жазады. Олай емес! Модульдерді тек таңбалары бірдей болғанда қосады. Мұнда таңбалары әртүрлі — модульдерді азайтамыз: $12 - 5 = 7$, таңбасы минус. Жауабы — $-7$.

Таңбаны тез қалай табамыз

Таңбасыз қай сан «ауырырақ» екенін қара. Жауаптың таңбасы — сол санның таңбасындай. $-1{,}5 + 2{,}5$ өрнегінде 2,5 ауыр, демек жауабы оң: 1. Ал $1 + 0 = 1$: нөлді қосу — ештеңені өзгертпеу.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Әр мысалдың алдында баладан алдымен жауаптың таңбасын, содан кейін санды айтуын сұраңыз. Мысалы: «$-30 + 12$ — минус, он сегіз». Бұл сабақтағы қателердің дерлік бәрін жояды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Неліктен $m + (-n)$ және $(-n) + m$ қосындыларының мәндері тең болады? Қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді. Түзуде екі жол да бір нүктеге әкеледі.
• $m$ мен $n$ — натурал сандар және $m < n$ болса, $m + (-n)$ қосындысы мәнінің таңбасы қандай болады? Минус. $-n$ санының модулі үлкен, сондықтан таңбасын одан аламыз.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 425

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $(-5) + 13$; 2) $(-8) + 15$; 3) $6 + (-13)$; 4) $7 + (-12)$; 5) $(-53) + 53$; 6) $17 + (-17)$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен модульден кішісін азайтамыз, таңбасы — «ауыр» санның таңбасындай.

Шешуі. 1) $13 - 5 = 8$; 2) $15 - 8 = 7$; 3) $-(13 - 6) = -7$; 4) $-(12 - 7) = -5$; 5) және 6) қарама-қарсы сандар — 0.

Жауабы: 8; 7; $-7$; $-5$; 0; 0.

№ 426

Сандарды қосыңдар: 1) $-18$ және 33; 2) 65 және $-37$; 3) $-49$ және 25; 4) 31 және $-12$; 5) $-58$ және 39; 6) 46 және $-74$.

Шешуі.

1. $-18 + 33 = 33 - 18 = 15$.
2. $65 + (-37) = 65 - 37 = 28$.
3. $-49 + 25 = -(49 - 25) = -24$.
4. $31 + (-12) = 19$.
5. $-58 + 39 = -(58 - 39) = -19$.
6. $46 + (-74) = -(74 - 46) = -28$.

Жауабы: 15; 28; $-24$; 19; $-19$; $-28$.

№ 427

Есептеңдер: 1) $\frac{2}{3} + \left(-10\frac{1}{3}\right)$; 2) $-\frac{3}{8} + \frac{4}{7}$; 3) $\frac{3}{5} + \left(-1\frac{5}{6}\right)$; 4) $\frac{2}{9} + \left(-1\frac{5}{6}\right)$; 5) $\frac{4}{5} + \left(-\frac{2}{7}\right)$; 6) $-9 + \frac{2}{9}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектермен де ереже сол. Алдымен ортақ бөлімге келтіреміз, сосын модульдерді азайтамыз.

Шешуі.

1. $-(10\frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = -9\frac{2}{3}$.
2. $\frac{4}{7} - \frac{3}{8} = \frac{32}{56} - \frac{21}{56} = \frac{11}{56}$.
3. $-(1\frac{25}{30} - \frac{18}{30}) = -1\frac{7}{30}$.
4. $-(1\frac{15}{18} - \frac{4}{18}) = -1\frac{11}{18}$.
5. $\frac{28}{35} - \frac{10}{35} = \frac{18}{35}$.
6. $-(9 - \frac{2}{9}) = -8\frac{7}{9}$.

Жауабы: $-9\frac{2}{3}$; $\frac{11}{56}$; $-1\frac{7}{30}$; $-1\frac{11}{18}$; $\frac{18}{35}$; $-8\frac{7}{9}$.

№ 428

Амалдарды орындаңдар: 1) $\frac{11}{20} + \left(-2\frac{11}{15}\right)$; 2) $-\frac{2}{5} + 6\frac{3}{4}$; 3) $-\frac{7}{12} + 5\frac{1}{16}$; 4) $\frac{5}{12} + \left(-\frac{4}{15}\right)$.

Шешуі.

1. Ортақ бөлім 60: $-(2\frac{44}{60} - \frac{33}{60}) = -2\frac{11}{60}$.
2. $6\frac{15}{20} - \frac{8}{20} = 6\frac{7}{20} = 6{,}35$.
3. Бөлімі 48: $5\frac{3}{48} - \frac{28}{48} = 4\frac{51}{48} - \frac{28}{48} = 4\frac{23}{48}$.
4. $\frac{25}{60} - \frac{16}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.

Жауабы: $-2\frac{11}{60}$; 6,35; $4\frac{23}{48}$; $\frac{3}{20}$.

№ 429

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-12{,}64 + 53{,}24$; 2) $-3{,}21 + 10{,}91$; 3) $-33{,}04 + 43{,}54$; 4) $21{,}19 + (-11{,}29)$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде модулі үлкені — оң сан, сондықтан жауаптар оң болады.

Шешуі. 1) $53{,}24 - 12{,}64 = 40{,}6$; 2) $10{,}91 - 3{,}21 = 7{,}7$; 3) $43{,}54 - 33{,}04 = 10{,}5$; 4) $21{,}19 - 11{,}29 = 9{,}9$.

Жауабы: 40,6; 7,7; 10,5; 9,9.

№ 430

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $\frac{4}{5} + (-0{,}81)$; 2) $-19{,}8 + 5\frac{4}{5}$; 3) $-\frac{4}{5} + 1{,}8$; 4) $12{,}75 + \left(-12\frac{3}{4}\right)$; 5) $-5{,}7 + 4\frac{3}{10}$; 6) $8{,}57 + \left(-1\frac{1}{2}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы бөлшектер ондық бөлшекке оңай айналады: $\frac{4}{5} = 0{,}8$, $\frac{3}{4} = 0{,}75$, $\frac{3}{10} = 0{,}3$, $\frac{1}{2} = 0{,}5$.

Шешуі.

1. $0{,}8 - 0{,}81 = -0{,}01$.
2. $-19{,}8 + 5{,}8 = -14$.
3. $-0{,}8 + 1{,}8 = 1$.
4. $12{,}75 - 12{,}75 = 0$.
5. $-5{,}7 + 4{,}3 = -1{,}4$.
6. $8{,}57 - 1{,}5 = 7{,}07$.

Жауабы: $-0{,}01$; $-14$; 1; 0; $-1{,}4$; 7,07.

№ 431

Қосуды орындаңдар: 1) $474 + (-326)$; 2) $-22 + 188$; 3) $-295 + 105$; 4) $175 + (-135)$; 5) $942 + (-158)$; 6) $-345 + 155$.

Шешуі. 1) $474 - 326 = 148$; 2) $188 - 22 = 166$; 3) $-(295 - 105) = -190$; 4) $175 - 135 = 40$; 5) $942 - 158 = 784$; 6) $-(345 - 155) = -190$.

Жауабы: 148; 166; $-190$; 40; 784; $-190$.

№ 432

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $-89 + (-11) + 273$; 2) $(-73) + 873 + 88$; 3) $-126 + 26 + (-72)$; 4) $105 + (-65) + (-75)$.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай екеуден қосамыз. «Дөңгелек» сан беретін жұптарды іздеп көр.

Шешуі.

1. $-89 + (-11) = -100$; $-100 + 273 = 173$.
2. $-73 + 873 = 800$; $800 + 88 = 888$.
3. $-126 + 26 = -100$; $-100 + (-72) = -172$.
4. $105 + (-65) = 40$; $40 + (-75) = -35$.

Жауабы: 173; 888; $-172$; $-35$.

№ 433

Амалдарды орындаңдар: 1) $-0{,}75 + 0{,}55$; 2) $-3{,}19 + 5{,}49$; 3) $7{,}68 + (-0{,}98)$; 4) $10{,}89 + (-0{,}9)$; 5) $-8{,}6 + 7{,}62$; 6) $3{,}64 + (-1{,}46)$.

Шешуі. 1) $-(0{,}75 - 0{,}55) = -0{,}2$; 2) $5{,}49 - 3{,}19 = 2{,}3$; 3) $7{,}68 - 0{,}98 = 6{,}7$; 4) $10{,}89 - 0{,}9 = 9{,}99$; 5) $-(8{,}6 - 7{,}62) = -0{,}98$; 6) $3{,}64 - 1{,}46 = 2{,}18$.

Жауабы: $-0{,}2$; 2,3; 6,7; 9,99; $-0{,}98$; 2,18.

⚠️ Жиі кететін қате. $10{,}89 + (-0{,}9)$ өрнегінде разрядтармен қателесу оңай. Нөл жазып қой: $0{,}9 = 0{,}90$. Сонда $10{,}89 - 0{,}90 = 9{,}99$.

№ 434

Есептеңдер: 1) $168{,}25 + (-32{,}25) + (736{,}4)$; 2) $-234{,}11 + 52{,}11 + 82$; 3) $-74{,}5 + (-3{,}54) + 842{,}04$; 4) $-12{,}76 + 0{,}66 + (-8{,}9)$.

Шешуі.

1. $168{,}25 - 32{,}25 = 136$; $136 + 736{,}4 = 872{,}4$.
2. $-234{,}11 + 52{,}11 = -182$; $-182 + 82 = -100$.
3. $-74{,}5 + (-3{,}54) = -78{,}04$; $-78{,}04 + 842{,}04 = 764$.
4. $-12{,}76 + 0{,}66 = -12{,}1$; $-12{,}1 + (-8{,}9) = -21$.

Жауабы: 872,4; $-100$; 764; $-21$.

№ 435

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $\frac{7}{12} + (-0{,}35)$; 2) $-0{,}375 + \frac{3}{8}$; 3) $-\frac{4}{21} + \frac{3}{14}$; 4) $1{,}3 + \left(-1\frac{7}{15}\right)$; 5) $4\frac{5}{9} + \left(-4\frac{4}{15}\right)$; 6) $-2\frac{4}{75} + 3{,}07$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшек «әдемі» ондыққа айналмаса (мысалы, $\frac{7}{12}$), ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдыр.

Шешуі.

1. $0{,}35 = \frac{7}{20}$; $\frac{35}{60} - \frac{21}{60} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30}$.
2. $\frac{3}{8} = 0{,}375$, сандар қарама-қарсы — 0.
3. $\frac{9}{42} - \frac{8}{42} = \frac{1}{42}$.
4. $1{,}3 = 1\frac{9}{30}$; $-(1\frac{14}{30} - 1\frac{9}{30}) = -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6}$.
5. $4\frac{25}{45} - 4\frac{12}{45} = \frac{13}{45}$.
6. $3{,}07 = 3\frac{21}{300}$, $2\frac{4}{75} = 2\frac{16}{300}$; $3\frac{21}{300} - 2\frac{16}{300} = 1\frac{5}{300} = 1\frac{1}{60}$.

Жауабы: $\frac{7}{30}$; 0; $\frac{1}{42}$; $-\frac{1}{6}$; $\frac{13}{45}$; $1\frac{1}{60}$.

№ 436

Кестені толтырыңдар: $a = -2\frac{2}{5}$, $b = 1{,}4$; $a = 3\frac{12}{50}$, $b = -5{,}24$; $a = -2\frac{1}{4}$, $b = 3{,}25$; $a = 3\frac{4}{9}$, $b = -3\frac{2}{7}$; $a = -3{,}4$, $b = 13\frac{2}{5}$ жұптары үшін $a + b$ табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мүмкін болған жерде бөлшектерді ондыққа айналдыр: $2\frac{2}{5} = 2{,}4$, $3\frac{12}{50} = 3{,}24$, $2\frac{1}{4} = 2{,}25$, $13\frac{2}{5} = 13{,}4$.

Шешуі.

Жауабы: $-1$; $-2$; 1; $\frac{10}{63}$; 10.

B деңгейі

№ 437

Есептеңдер: 1) $-0{,}12 + \frac{3}{4}$; 2) $1{,}15 + \left(-1\frac{1}{4}\right)$; 3) $-8{,}2 + 9\frac{3}{7}$; 4) $-8\frac{3}{8} + 7{,}75$; 5) $5{,}2 + \left(-4\frac{1}{3}\right)$; 6) $3\frac{2}{7} + (-1{,}25)$.

Шешуі.

1. $0{,}75 - 0{,}12 = 0{,}63$.
2. $1{,}15 - 1{,}25 = -0{,}1$.
3. $-8\frac{7}{35} + 9\frac{15}{35} = 1\frac{8}{35}$.
4. $-8{,}375 + 7{,}75 = -0{,}625 = -\frac{5}{8}$.
5. $5\frac{3}{15} - 4\frac{5}{15} = \frac{13}{15}$.
6. $3\frac{8}{28} - 1\frac{7}{28} = 2\frac{1}{28}$.

Жауабы: 0,63; $-0{,}1$; $1\frac{8}{35}$; $-\frac{5}{8}$; $\frac{13}{15}$; $2\frac{1}{28}$.

№ 438

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(-2{,}6 + 4{,}5) + (2{,}8 + (-0{,}9))$; 2) $\left(-5\frac{3}{7} + 5\frac{1}{14}\right) + \left(\frac{5}{7} + \left(-\frac{5}{14}\right)\right)$.

Шешуі.

1. $1{,}9 + 1{,}9 = 3{,}8$.
2. $-5\frac{6}{14} + 5\frac{1}{14} = -\frac{5}{14}$; $\frac{10}{14} - \frac{5}{14} = \frac{5}{14}$; $-\frac{5}{14} + \frac{5}{14} = 0$.

Жауабы: 3,8; 0.

№ 439

Төмендегі сөйлемнен өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1) $-0{,}0625$ және $6\frac{1}{16}$ сандарының қосындысына $-\frac{9}{16}$ санын қосыңдар; 2) $3\frac{2}{9}$ және $-\frac{5}{9}$ сандарының қосындысына $-2\frac{2}{3}$ санын қосыңдар.

Қалай ойлаймыз. $0{,}0625 = \frac{1}{16}$ — бұл қажет болады.

Шешуі.

1. $(-0{,}0625 + 6\frac{1}{16}) + (-\frac{9}{16}) = 6 + (-\frac{9}{16}) = 5\frac{7}{16}$.
2. $(3\frac{2}{9} + (-\frac{5}{9})) + (-2\frac{2}{3}) = 2\frac{6}{9} + (-2\frac{6}{9}) = 0$.

Жауабы: $5\frac{7}{16}$; 0.

№ 440

Төмендегі сөйлемнен өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1) $-2\frac{3}{4}$ және 0,7 сандарының қосындысына 1,35 санын қосыңдар; 2) 8,6 және $-5{,}9$ сандарының қосындысына $-2\frac{7}{10}$ санын қосыңдар.

Шешуі.

1. $(-2{,}75 + 0{,}7) + 1{,}35 = -2{,}05 + 1{,}35 = -0{,}7$.
2. $(8{,}6 + (-5{,}9)) + (-2{,}7) = 2{,}7 + (-2{,}7) = 0$.

Жауабы: $-0{,}7$; 0.

№ 441

$-9$; 9; 3,4 сандарының қайсысы $-6{,}2 + x = -2{,}8$ теңдеуінің түбірі болады?

Шешуі. $-6{,}2 + (-9) = -15{,}2$ — жоқ. $-6{,}2 + 9 = 2{,}8$ — жоқ, таңбасы басқа. $-6{,}2 + 3{,}4 = -2{,}8$ — иә!

Жауабы: 3,4.

№ 442

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $x + (-2) = 7$; 2) $-6 + y = 3$; 3) $x + 2 = -3$; 4) $4 + m = 2$; 5) $x + (-4) = 8$; 6) $-2 + m = 1$; 7) $m + 1 = -2$; 8) $9 + y = 4$; 9) $y + (-7) = 10$.

Қалай ойлаймыз. Түзуді елестет: қажетті нүктеге жету үшін қайдан бастау керек (немесе қайда қадам жасау керек)?

Шешуі. 1) $9 + (-2) = 7$, $x = 9$; 2) $-6 + 9 = 3$, $y = 9$; 3) $-5 + 2 = -3$, $x = -5$; 4) $4 + (-2) = 2$, $m = -2$; 5) $x = 12$; 6) $m = 3$; 7) $m = -3$; 8) $y = -5$; 9) $y = 17$.

Жауабы: 9; 9; $-5$; $-2$; 12; 3; $-3$; $-5$; 17.

№ 443

1) $m = -5{,}4$ және $n = 2$; 2) $m = 2{,}3$ және $n = -4$; 3) $m = -4$ және $n = 9{,}25$ болса, $m + n$ қосындысының мәнін табыңдар.

Шешуі. 1) $-(5{,}4 - 2) = -3{,}4$; 2) $-(4 - 2{,}3) = -1{,}7$; 3) $9{,}25 - 4 = 5{,}25$.

Жауабы: $-3{,}4$; $-1{,}7$; 5,25.

№ 444

1) $a = 4{,}8$ және $b = -7\frac{5}{9}$; 2) $a = 5\frac{2}{7}$ және $b = -6{,}4$; 3) $a = -1{,}4$ және $b = \frac{1}{5}$ болса, $a + b$ қосындысының мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды бөлікпен қосқан ыңғайлы: бүтін бөліктерін бөлек, бөлшек бөліктерін бөлек.

Шешуі.

1. $4{,}8 = 4\frac{36}{45}$, $7\frac{5}{9} = 7\frac{25}{45}$. $-(7\frac{25}{45} - 4\frac{36}{45}) = -(6\frac{70}{45} - 4\frac{36}{45}) = -2\frac{34}{45}$.
2. $6{,}4 = 6\frac{14}{35}$, $5\frac{2}{7} = 5\frac{10}{35}$. $-(6\frac{14}{35} - 5\frac{10}{35}) = -1\frac{4}{35}$.
3. $-1{,}4 + 0{,}2 = -1{,}2$.

Жауабы: $-2\frac{34}{45}$; $-1\frac{4}{35}$; $-1{,}2$.

№ 445

Теңдеудегі белгісіз азайғышты табыңдар: 1) $x - 2{,}76 = -4$; 2) $x - 8\frac{1}{4} = -3{,}2$; 3) $y - 2\frac{7}{9} = -8$.

Қалай ойлаймыз. Азайғыш = айырым + азайтқыш. Енді біз таңбалары әртүрлі сандарды қоса аламыз.

Шешуі.

1. $x = -4 + 2{,}76 = -1{,}24$.
2. $x = -3{,}2 + 8{,}25 = 5{,}05$.
3. $y = -8 + 2\frac{7}{9} = -5\frac{2}{9}$.

Жауабы: $-1{,}24$; 5,05; $-5\frac{2}{9}$.

№ 446

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - 7{,}21 = -8\frac{1}{20}$; 2) $m - 1\frac{3}{4} = -3{,}7$; 3) $y - 2 = -4\frac{1}{3}$.

Шешуі. 1) $x = -8{,}05 + 7{,}21 = -0{,}84$; 2) $m = -3{,}7 + 1{,}75 = -1{,}95$; 3) $y = -4\frac{1}{3} + 2 = -2\frac{1}{3}$.

Жауабы: $-0{,}84$; $-1{,}95$; $-2\frac{1}{3}$.

№ 447

Қосуды орындаңдар: 1) $-2\frac{1}{6} + 3\frac{1}{15}$; 2) $-4\frac{7}{9} + \frac{5}{6}$; 3) $5\frac{2}{7} + \left(-3\frac{7}{8}\right)$.

Шешуі.

1. $3\frac{2}{30} - 2\frac{5}{30} = 2\frac{32}{30} - 2\frac{5}{30} = \frac{27}{30} = 0{,}9$.
2. $-(4\frac{14}{18} - \frac{15}{18}) = -(3\frac{32}{18} - \frac{15}{18}) = -3\frac{17}{18}$.
3. $5\frac{16}{56} - 3\frac{49}{56} = 4\frac{72}{56} - 3\frac{49}{56} = 1\frac{23}{56}$.

Жауабы: 0,9; $-3\frac{17}{18}$; $1\frac{23}{56}$.

№ 448

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - 4\frac{1}{2} = -2\frac{1}{4}$; 2) $-x - 6\frac{4}{5} = -3\frac{1}{2}$; 3) $-x - 11\frac{1}{2} = -4\frac{7}{8}$.

Қалай ойлаймыз. 2-ші және 3-ші теңдеуде алдымен $-x$ табамыз, сосын қарама-қарсы санды аламыз.

Шешуі.

1. $x = -2{,}25 + 4{,}5 = 2{,}25$.
2. $-x = -3{,}5 + 6{,}8 = 3{,}3$, демек $x = -3{,}3$.
3. $-x = -4{,}875 + 11{,}5 = 6{,}625$, демек $x = -6{,}625$.

Жауабы: 2,25; $-3{,}3$; $-6{,}625$.

№ 449

1) $x = 8{,}75$; $y = -13{,}25$; 2) $x = -3{,}49$; $y = 4{,}48$; 3) $x = -39{,}57$; $y = 31{,}8$; 4) $x = 79{,}35$; $y = -82{,}65$ болса, $x + y$ қосындысының мәні қандай?

Шешуі. 1) $-(13{,}25 - 8{,}75) = -4{,}5$; 2) $4{,}48 - 3{,}49 = 0{,}99$; 3) $-(39{,}57 - 31{,}8) = -7{,}77$; 4) $-(82{,}65 - 79{,}35) = -3{,}3$.

Жауабы: $-4{,}5$; 0,99; $-7{,}77$; $-3{,}3$.

№ 450

Таңертең температура $-13$ °C болды. Күні бойы температура $x$ °C-қа өзгерді. Таңертең температура қандай болды? Өрнек құрастырып, оның: 1) $x = 2$ °C; 2) $x = 4$ °C; 3) $x = 5$ °C; 4) $x = 8$ °C болғандағы мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Өрнек: $-13 + x$. Жылыну — термометр бойымен оңға қадам. Сұрақ «күні бойы өзгергеннен кейінгі» температураны сұрайды.

Шешуі. 1) $-13 + 2 = -11$; 2) $-13 + 4 = -9$; 3) $-13 + 5 = -8$; 4) $-13 + 8 = -5$.

Жауабы: $-11$ °C; $-9$ °C; $-8$ °C; $-5$ °C.

📕 Оқулықтағы № 450 сұрағында «Таңертең температура қандай болды?» деп басылған, бірақ таңертеңгі температура шартта берілген ($-13$ °C). Сұрақ күні бойы өзгергеннен кейінгі температура туралы болуы керек.

№ 451

18 000 жыл бұрын Канададағы мұздықтардың ауданы 11,89 млн км² болды. 3000 жылдан кейін ол 0,1 млн км², тағы 3000 жылдан кейін ол 3,2 млн км², тағы 3000 жылдан кейін 1,05 млн км² өзгерді. Қазіргі кезде Канададағы мұздықтардың ауданы 0,15 млн км². 1) 15 000 жыл бұрын; 2) 12 000 жыл бұрын; 3) 9000 жыл бұрын Канададағы мұздықтардың ауданы қандай болған? 18 000 жыл ішінде Канададағы мұздықтар ауданы қалай өзгерген?

Қалай ойлаймыз. «$-0{,}1$-ге өзгерді» — теріс санды қосты деген сөз, яғни аудан азайды.

Шешуі.

1. 15 000 жыл бұрын: $11{,}89 + (-0{,}1) = 11{,}79$ млн км².
2. 12 000 жыл бұрын: $11{,}79 + (-3{,}2) = 8{,}59$ млн км².
3. 9000 жыл бұрын: $8{,}59 + (-1{,}05) = 7{,}54$ млн км².
4. 18 000 жылдағы өзгеріс: 11,89-дан 0,15-ке дейін. $0{,}15 - 11{,}89 = -11{,}74$ млн км².

Жауабы: 11,79; 8,59; 7,54 млн км²; $-11{,}74$ млн км²-ге өзгерген (11,74 млн км²-ге азайған).

🌟 Бір кездері Канаданың дерлік бүкіл жерін мұз басып жатқан! Қазір мұздықтар бұрынғысының шамамен 1%-ы ғана қалды.

C деңгейі

№ 452

2003 жылы елімізде қант қызылшасын өсіретін егістік ауданы 22,2 мың га болды. Келесі жылдардан бастап ол $(22{,}2 + x)$ мың гектарды құрады. $x$-тің мәні: 1) 0,1; 2) $-0{,}1$; 3) $-0{,}1$; 4) $-0{,}1$; 5) $-16$ болса, қант қызылшасын өсіретін егістік ауданы қанша мың гектарды құраған?

📕 Шартта $x = -0{,}1$ мәні қатарынан үш рет (2–4-тармақтар) басылып кеткен, бұл — оқулықтағы қате болса керек. Біз шартта жазылғандай шештік.

Шешуі. 1) $22{,}2 + 0{,}1 = 22{,}3$; 2)–4) $22{,}2 + (-0{,}1) = 22{,}1$ (үш рет бірдей өзгеріс); 5) $22{,}2 + (-16) = 6{,}2$.

Жауабы: 22,3; 22,1; 22,1; 22,1; 6,2 мың га.

№ 453

2004 жылы мақта өсіретін егістік ауданы 223,7 мың га болды. Келесі жылдардан бастап $(223{,}7 + x)$ мың гектарды құрады. $x$-тің мәні: 1) $-19{,}5$; 2) $-23{,}6$; 3) $-23{,}8$; 4) $-49{,}1$ болса, мақта өсіретін егістік ауданы қанша мың гектарды құраған?

Шешуі. 1) $223{,}7 - 19{,}5 = 204{,}2$; 2) $223{,}7 - 23{,}6 = 200{,}1$; 3) $223{,}7 - 23{,}8 = 199{,}9$; 4) $223{,}7 - 49{,}1 = 174{,}6$.

Жауабы: 204,2; 200,1; 199,9; 174,6 мың га.

№ 454

2004 жылы көкөніс өсіретін егістік ауданы 111,3 мың га болды. Келесі жылдардан бастап ол $(111{,}3 + x)$ мың гектарды құрады. $x$-тің мәні: 1) $-0{,}7$; 2) $-9{,}1$; 3) $-7{,}1$; 4) 1,6 болса, көкөніс өсіретін егістік ауданы қанша мың гектарды құраған?

Шешуі. 1) $111{,}3 - 0{,}7 = 110{,}6$; 2) $111{,}3 - 9{,}1 = 102{,}2$; 3) $111{,}3 - 7{,}1 = 104{,}2$; 4) $111{,}3 + 1{,}6 = 112{,}9$.

Жауабы: 110,6; 102,2; 104,2; 112,9 мың га.

№ 455

0 м биіктіктегі температура 15 °C. Әрбір 1000 м-ден кейін температура $x$ °C-қа өзгерсе, төменде көрсетілген биіктіктердегі температураны табыңдар: 1) 1000 м-де $x = -6{,}5$ °C; 2) 2000 м-де $x = -13$ °C; 3) 3000 м-де $x = -19{,}5$ °C; 4) 4000 м-де $x = -26$ °C; 5) 5000 м-де $x = -32{,}5$ °C; 6) 6000 м-де $x = -39$ °C.

Қалай ойлаймыз. Әр мың метр — минус 6,5°. $15 + (\text{өзгеріс})$ есептейміз.

Шешуі.

Жауабы: 8,5°; 2°; $-4{,}5$°; $-11$°; $-17{,}5$°; $-24$ °C.

🌟 Алматыда жаз ыстығында да Іле Алатауының шыңдарында қар жатуының себебі осы!

Қайталаймыз

№ 456

Теплоходтың меншікті жылдамдығы $v_т = 32{,}5$ км/сағ, өзендегі $v$ жылдамдығы: 1) 35 км/сағ; 2) 30 км/сағ. Осы жылдамдықтардың қайсысы теплоходтың өзен ағысы бойымен және өзен ағысына қарсы жылдамдығын береді?

Қалай ойлаймыз. Ағыс бойымен өзен «көмектеседі», жылдамдық меншікті жылдамдықтан артық болады. Ағысқа қарсы — кем.

Шешуі.

1. $35 > 32{,}5$ — ағыс бойымен. Ағыс жылдамдығы: $35 - 32{,}5 = 2{,}5$ км/сағ.
2. $30 < 32{,}5$ — ағысқа қарсы. Ағыс жылдамдығы: $32{,}5 - 30 = 2{,}5$ км/сағ.

Жауабы: 1) өзен ағысы бойымен; 2) өзен ағысына қарсы.

№ 457

Катердің меншікті жылдамдығы 15,2 км/сағ, өзен ағысының жылдамдығы: 1) 2,7 км/сағ; 2) 2,9 км/сағ; 3) 3,1 км/сағ; 4) $3\frac{1}{5}$ км/сағ болса, катердің өзен ағысы бойымен жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Ағыс бойымен жылдамдық: $v_{\text{ағыс}}$ қосылады.

Шешуі. Ағыс бойымен: $15{,}2 + v_{\text{ағыс}}$. 1) $15{,}2 + 2{,}7 = 17{,}9$; 2) $15{,}2 + 2{,}9 = 18{,}1$; 3) $15{,}2 + 3{,}1 = 18{,}3$; 4) $15{,}2 + 3{,}2 = 18{,}4$.

Жауабы: 17,9; 18,1; 18,3; 18,4 км/сағ.

№ 458

Қайықтың меншікті жылдамдығы 11,1 км/сағ, өзен ағысының жылдамдығы: 1) 2,7 км/сағ; 2) 2,9 км/сағ; 3) 3,1 км/сағ; 4) $3\frac{1}{5}$ км/сағ болса, қайықтың өзен ағысына қарсы жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Ағысқа қарсы жүргенде өзен кедергі жасайды: ағыс жылдамдығын азайтамыз.

Шешуі. Ағысқа қарсы: $11{,}1 - v_{\text{ағыс}}$. 1) $11{,}1 - 2{,}7 = 8{,}4$; 2) $11{,}1 - 2{,}9 = 8{,}2$; 3) $11{,}1 - 3{,}1 = 8$; 4) $11{,}1 - 3{,}2 = 7{,}9$.

Жауабы: 8,4; 8,2; 8; 7,9 км/сағ.

№ 459

Координаталары $A$, $B$, $C$ нүктелерінің координаталарына қарама-қарсы болатын $F$, $L$, $D$ нүктелерін координаталық түзуде кескіндеңдер: 1) $A(2)$, $B(7)$, $C(10)$; 2) $A\left(-\frac{1}{3}\right)$, $B\left(1\frac{1}{3}\right)$, $C\left(\frac{2}{3}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы санның тек таңбасы өзгереді. Нүктелер нөлден бірдей қашықтықта, әртүрлі жақта жатады.

Шешуі.

1. $F(-2)$, $L(-7)$, $D(-10)$. 1 торкөзді бірлік етіп алған ыңғайлы.
2. $F\left(\frac{1}{3}\right)$, $L\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $D\left(-\frac{2}{3}\right)$. Мұнда 3 торкөзді бірлік етіп ал, сонда үштен бір — бір торкөз.

Жауабы: 1) $F(-2)$, $L(-7)$, $D(-10)$; 2) $F\left(\frac{1}{3}\right)$, $L\left(-1\frac{1}{3}\right)$, $D\left(-\frac{2}{3}\right)$.

№ 460

1) 30%-ы 40 санына; 2) 96%-ы 12 санына тең санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Санды оның пайызы бойынша табу: бөлікті үлеске бөлеміз.

Шешуі.

1. $40 : 0{,}3 = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$.
2. $12 : 0{,}96 = 12{,}5$.

Жауабы: $133\frac{1}{3}$; 12,5.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 461

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x - \left(19\frac{7}{9} + \left|-\frac{2}{9}\right|\right) = 30{,}8$; 2) $x - 12{,}5 = |241{,}6 - 242{,}1|$.

Шешуі.

1. Жақшада $19\frac{7}{9} + \frac{2}{9} = 20$. $x = 30{,}8 + 20 = 50{,}8$.
2. Оң жағы $|-0{,}5| = 0{,}5$. $x = 0{,}5 + 12{,}5 = 13$.

Жауабы: 50,8; 13.

№ 462

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(27{,}26 + 67{,}64) + 191{,}5 + (32{,}36 + 8{,}5)$; 2) $777{,}07 + (77{,}13 + 68{,}53) + (23{,}93 + 23{,}87)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ауыстыруға болады — қосындысы «дөңгелек» шығатын жұптарды іздеп көр.

Шешуі.

1. $191{,}5 + 8{,}5 = 200$; $67{,}64 + 32{,}36 = 100$; $200 + 100 + 27{,}26 = 327{,}26$.
2. $777{,}07 + 23{,}93 = 801$; $77{,}13 + 23{,}87 = 101$; $801 + 101 + 68{,}53 = 970{,}53$.

Жауабы: 327,26; 970,53.

№ 463

Қосудың ережелерін қолданып өрнектің мәнін табыңдар: 1) $148\frac{3}{17} + \left|37\frac{7}{13}\right| + 151\frac{6}{13} + \left|-\frac{14}{17}\right| - |-338|$; 2) $993{,}8 + 50{,}96 + \left|-50\frac{1}{5}\right| + |5{,}04| - |-1000|$.

Шешуі.

1. $148\frac{3}{17} + \frac{14}{17} = 149$; $37\frac{7}{13} + 151\frac{6}{13} = 189$; $149 + 189 - 338 = 0$.
2. $993{,}8 + 50{,}2 = 1044$; $50{,}96 + 5{,}04 = 56$; $1044 + 56 - 1000 = 100$.

Жауабы: 0; 100.

Жадынама

• Таңбалары әртүрлі — модульдерді азайтамыз.
• Жауаптың таңбасы — модулі бойынша «ауыр» санның таңбасындай.
• Модульдері тең — қосынды нөлге тең.
• Қосылғыштардың орны маңызды емес: $5 + (-8) = (-8) + 5$.
• Тексеру: түзу немесе термометр бойымен қадамдарды елестет.

Шағын тест