§ 14. Рационал сандарды қосудың қасиеттері

Математика, 6 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2018). 2 тарау: Рационал сандар және оларға амалдар қолдану. 102–105-беттер.

Нені үйренесің

• Қосылғыштардың ішінде теріс сандар болса да, олардың орнын ауыстыруды.
• Жақшаны өзіңе ыңғайлы етіп қоюды.
• Ұзын қосындыдан қарама-қарсы сандарды тауып, «сызып тастауды».
• $-15 + x + 7$ сияқты өрнектерді ықшамдауды.

Ой қозғау

Бұл — өткен сабақтағы № 461–463 тапсырмалары. Жауап бер, сосын жауабын аш.

• $19\frac{7}{9} + \left|-\frac{2}{9}\right|$ неге тең? $19\frac{7}{9} + \frac{2}{9} =$ 20.
• $27{,}26$; $67{,}64$; $32{,}36$ сандарының қайсысы «дөңгелек» қосынды береді? $67{,}64 + 32{,}36 =$ 100.
• $148\frac{3}{17} + \frac{14}{17}$ неше болады? $\frac{3}{17} + \frac{14}{17} = 1$, барлығы — 149.
• Ал $993{,}8 + 50{,}2$ ше? 1044.

💡 Барлық мысалда біз тәртібімен санаған жоқпыз, «дос жұптарды» іздедік. Бүгін теріс сандармен де солай істеуге бола ма, соны анықтаймыз. Алдын ала айтайын: болады!

Тақырыпты талдаймыз

Орнын ауыстырамыз — ештеңе бұзылмайды

Сен бастауыш сыныптан білесің: $3 + 5 = 5 + 3$. Минустармен де осылай ма? Тексерейік.

$(-4{,}1) + (-6{,}3) = -10{,}4$ және $(-6{,}3) + (-4{,}1) = -10{,}4$. Сәйкес келді!

$-10{,}7 + 4{,}5 = -6{,}2$ және $4{,}5 + (-10{,}7) = -6{,}2$. Тағы да сәйкес келді.

📌 Ауыстырымдылық қасиеті. Кез келген рационал сандар үшін $a + b = b + a$.

Жақша — қалаған жеріңе

$-3$, $10$ және $-9$ сандарын екі тәсілмен қосайық.

📌 Терімділік қасиеті. Кез келген рационал сандар үшін $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Бұл екі қасиет бірге зор күш береді: қосылғыштардың орнын ауыстыруға және қалағанымызша топтауға болады.

«Нөл жұптарын» аулау

Ұзын қосынды алайық: $(-1{,}9) + (-3{,}2) + 10{,}7 + (-3) + (-7) + 3{,}2 + 1{,}2$.

1. $-3{,}2$ және $3{,}2$ — қарама-қарсы сандарды көреміз. Олардың қосындысы 0, сызып тастаймыз.
2. Минустарын жинаймыз: $(-1{,}9) + (-3) + (-7) = -11{,}9$.
3. Плюстерін жинаймыз: $10{,}7 + 1{,}2 = 11{,}9$.
4. $-11{,}9 + 11{,}9 = 0$.

Жауабы — 0. Бірде-бір қиын есептеусіз!

💡 Ұзын қосындыларға арналған жоспар: 1) қарама-қарсы сандарды сызып таста; 2) барлық оң сандарды қос; 3) барлық теріс сандарды қос; 4) екі нәтижені қос.

Өзің де байқап көр: қосындысы нөл беретін барлық жұпты белгіле.

Жұптар жойылды, $-0{,}6 + 1{,}7 = 1{,}1$ қалды. Бүкіл қосынды осы!

⚠️ Жиі кететін қате. Қосылғыштың орнын ауыстырғанда оның таңбасын «жоғалтып» алады. Минус әрқашан санмен бірге жүреді: $5 - 8 + 3$ өрнегінде қосылғыштар — $5$, $-8$ және $3$. Демек, $5 - 8 + 3 = 5 + 3 - 8$, ал $5 + 8 - 3$ емес.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан әр санды алдындағы таңбасымен бірге қоршап сызуын сұраңыз — «вагонша» сияқты. Вагондардың орнын ауыстыруға болады, ал таңба вагоннан ажырамайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Екі қосылғыштың қосындысы қашан нөлге тең болады? Қосылғыштар қарама-қарсы сандар болғанда, мысалы, $-4$ және $4$.
• $m$, $n$, $k$ рационал сандарын қалай қосуға болады? Кез келген тәсілмен: $(m + n) + k$, $m + (n + k)$, $(m + k) + n$ — нәтиже бір.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 464

Қосындының мәнін табыңдар: 1) $-0{,}37 + (0{,}37 + (-5{,}5))$; 2) $-17{,}8 + (9{,}9 + 17{,}8)$; 3) $(-45{,}6 + 7{,}7) + 45{,}6$; 4) $(4{,}4 + (-85{,}9)) + 85{,}9$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда бір жұп қарама-қарсы сан бар. Жақшаны қайта топта, сонда ол жұп «жойылады».

Шешуі.

1. $(-0{,}37 + 0{,}37) + (-5{,}5) = -5{,}5$.
2. $(-17{,}8 + 17{,}8) + 9{,}9 = 9{,}9$.
3. $(-45{,}6 + 45{,}6) + 7{,}7 = 7{,}7$.
4. $4{,}4 + (-85{,}9 + 85{,}9) = 4{,}4$.

Жауабы: $-5{,}5$; 9,9; 7,7; 4,4.

№ 465

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-0{,}49 + (-13{,}2 + 0{,}49)$; 2) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-6\frac{3}{8}\right)\right) + 6{,}375$; 3) $0{,}52 + (-0{,}25 + 1{,}1)$; 4) $\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-5\frac{3}{7}\right) + (-0{,}0625)$.

Қалай ойлаймыз. $6\frac{3}{8} = 6{,}375$ және $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} = 0{,}0625$. Жұптарды көріп тұрсың ба?

Шешуі.

1. $(-0{,}49 + 0{,}49) + (-13{,}2) = -13{,}2$.
2. $-6\frac{3}{8} + 6{,}375 = 0$, қалғаны $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
3. $0{,}52 + 0{,}85 = 1{,}37$.
4. $\frac{1}{16} + (-0{,}0625) = 0$, қалғаны $-5\frac{3}{7}$.

Жауабы: $-13{,}2$; $\frac{4}{9}$; 1,37; $-5\frac{3}{7}$.

№ 466

1) $a = 3{,}8$, $b = -5{,}5$, $c = -4{,}5$; 2) $a = -25{,}6$, $b = 18{,}2$, $c = -14{,}4$; 3) $a = \frac{1}{6}$, $b = \frac{2}{3}$, $c = -\frac{5}{8}$; 4) $a = 2\frac{3}{8}$, $b = 5\frac{1}{4}$, $c = -3\frac{5}{12}$ болса, $(a + b) + c$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a + (b + c)$ немесе $(a + c) + b$ деп есептеуге болады — қайсысы ыңғайлы.

Шешуі.

1. $b + c = -5{,}5 + (-4{,}5) = -10$; $3{,}8 + (-10) = -6{,}2$.
2. $a + c = -25{,}6 + (-14{,}4) = -40$; $-40 + 18{,}2 = -21{,}8$.
3. $\frac{4}{24} + \frac{16}{24} - \frac{15}{24} = \frac{5}{24}$.
4. $2\frac{9}{24} + 5\frac{6}{24} = 7\frac{15}{24}$; $7\frac{15}{24} - 3\frac{10}{24} = 4\frac{5}{24}$.

Жауабы: $-6{,}2$; $-21{,}8$; $\frac{5}{24}$; $4\frac{5}{24}$.

№ 467

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $-15 + x + 7$; 2) $a + (-27) + 48$; 3) $y + 43 + (-36)$; 4) $5{,}6 + (-4{,}7) - c$.

Қалай ойлаймыз. Әріп өз орнында тұра берсін, ал сандарды өзара қосамыз.

Шешуі.

1. $-15 + 7 = -8$: $x - 8$ шығады.
2. $-27 + 48 = 21$: $a + 21$.
3. $43 + (-36) = 7$: $y + 7$.
4. $5{,}6 + (-4{,}7) = 0{,}9$: $0{,}9 - c$.

Жауабы: $x - 8$; $a + 21$; $y + 7$; $0{,}9 - c$.

№ 468

Өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1) $-1{,}4$ және $3{,}7$ сандарының қосындысына $5{,}3$ және $-7{,}6$ сандарын қосыңдар; 2) $7{,}24$ және $5{,}16$ сандарының қосындысына $-15{,}3$ және $-6{,}2$ сандарын қосыңдар; 3) $40{,}2$ және $-8{,}4$ сандарының қосындысына $5{,}2$ және $2{,}4$ сандарын қосыңдар; 4) $11{,}1$ және $3{,}9$ сандарының айырымына $-25{,}6$ және $-61{,}6$ сандарын қосыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда «санды қосу» — әр санды кезекпен қосу деген сөз. 4-тармақта алдымен айырымды табамыз, сосын екі санды қосамыз.

Шешуі.

1. $(-1{,}4 + 3{,}7) + 5{,}3 + (-7{,}6) = 2{,}3 + 5{,}3 + (-7{,}6) = 2{,}3 + (-2{,}3) = 0$.
2. $(7{,}24 + 5{,}16) + (-15{,}3) + (-6{,}2) = 12{,}4 + (-21{,}5) = -9{,}1$.
3. $(40{,}2 + (-8{,}4)) + 5{,}2 + 2{,}4 = 31{,}8 + 7{,}6 = 39{,}4$.
4. $(11{,}1 - 3{,}9) + (-25{,}6) + (-61{,}6) = 7{,}2 + (-87{,}2) = -80$.

Жауабы: 0; $-9{,}1$; 39,4; $-80$.

№ 469

Өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1) $-19$ және $62$ сандарының қосындысына $88$ санын қосыңдар; 2) $1256$ және $874$ сандарының айырымына $-346$ санын қосыңдар; 3) $-405$ және $-607$ сандарының қосындысына $358$ санын қосыңдар; 4) $411$ санына $318$ және $-404$ санының қосындысын қосыңдар; 5) $-649$ санына $273$ және $-528$ санының қосындысын қосыңдар; 6) $-921$ санына $405$ және $217$ сандарының айырымын қосыңдар.

Шешуі.

1. $(-19 + 62) + 88 = 43 + 88 = 131$.
2. $(1256 - 874) + (-346) = 382 - 346 = 36$.
3. $(-405 + (-607)) + 358 = -1012 + 358 = -654$.
4. $411 + (318 + (-404)) = 411 + (-86) = 325$.
5. $-649 + (273 + (-528)) = -649 + (-255) = -904$.
6. $-921 + (405 - 217) = -921 + 188 = -733$.

Жауабы: 131; 36; $-654$; 325; $-904$; $-733$.

№ 470

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-\frac{5}{8} + \frac{1}{4} + \frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{5} + \left(-\frac{1}{7}\right) + \frac{2}{9}$; 3) $-\frac{1}{8} + \frac{3}{9} + \left(-\frac{5}{36}\right)$; 4) $\frac{7}{8} + \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-1\frac{1}{20}\right)$; 5) $-\frac{11}{18} + \frac{5}{12} + 7\frac{1}{9}$; 6) $2\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \left(-5\frac{1}{6}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Үш бөлшекті бір бөлімге келтіреміз, сосын алымдарын таңбаларымен қосамыз.

Шешуі.

1. Бөлімі 24: $\frac{-15 + 6 + 14}{24} = \frac{5}{24}$.
2. Бөлімі 315: $\frac{63 - 45 + 70}{315} = \frac{88}{315}$.
3. Бөлімі 72: $\frac{-9 + 24 - 10}{72} = \frac{5}{72}$.
4. Бөлімі 40: $\frac{35 - 32 - 42}{40} = -\frac{39}{40}$.
5. Бөлімі 36: $-\frac{22}{36} + \frac{15}{36} = -\frac{7}{36}$; $7\frac{4}{36} - \frac{7}{36} = 6\frac{33}{36} = 6\frac{11}{12}$.
6. Бөлімі 30: $2\frac{8}{30} + \frac{12}{30} = 2\frac{20}{30}$; $2\frac{20}{30} - 5\frac{5}{30} = -2\frac{15}{30} = -2\frac{1}{2}$.

Жауабы: $\frac{5}{24}$; $\frac{88}{315}$; $\frac{5}{72}$; $-\frac{39}{40}$; $6\frac{11}{12}$; $-2\frac{1}{2}$.

B деңгейі

№ 471

Есептеңдер: 1) $-6{,}6 + \frac{4}{5} + \left(-1\frac{2}{3}\right) + 3{,}4$; 2) $-3\frac{8}{31} + 4{,}1 + (-6) + 2{,}9$; 3) $28 + \left(-3\frac{5}{12}\right) + 7{,}95 + 4{,}05$; 4) $4{,}6 + 1\frac{11}{15} + (-2{,}3)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен «ыңғайлы» сандарды қосамыз, ыңғайсыз бөлшекті — ең соңында.

Шешуі.

1. $-6{,}6 + 3{,}4 + 0{,}8 = -2{,}4$; $-2{,}4 + (-1\frac{2}{3}) = -(2\frac{6}{15} + 1\frac{10}{15}) = -4\frac{1}{15}$.
2. $4{,}1 + 2{,}9 + (-6) = 1$; $1 + (-3\frac{8}{31}) = -2\frac{8}{31}$.
3. $28 + 7{,}95 + 4{,}05 = 40$; $40 - 3\frac{5}{12} = 36\frac{7}{12}$.
4. $4{,}6 + (-2{,}3) = 2{,}3$; $2\frac{9}{30} + 1\frac{22}{30} = 3\frac{31}{30} = 4\frac{1}{30}$.

Жауабы: $-4\frac{1}{15}$; $-2\frac{8}{31}$; $36\frac{7}{12}$; $4\frac{1}{30}$.

№ 472

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $-3{,}1 + (2{,}8 + (-0{,}9))$; 2) $\left(-2\frac{3}{7} + 5\frac{1}{14}\right) + (-3{,}2)$.

Шешуі.

1. $2{,}8 + (-0{,}9) = 1{,}9$; $-3{,}1 + 1{,}9 = -1{,}2$.
2. $5\frac{1}{14} - 2\frac{6}{14} = 2\frac{9}{14}$; $3{,}2 = 3\frac{1}{5}$; $2\frac{45}{70} - 3\frac{14}{70} = -\frac{39}{70}$.

Жауабы: $-1{,}2$; $-\frac{39}{70}$.

№ 473

Өрнек құрастырып, мәнін табыңдар: 1) $-4{,}2$ және $6\frac{1}{3}$ сандарының қосындысына $-2{,}8$ санын қосыңдар; 2) $-3\frac{2}{9}$ және $4{,}5$ сандарының қосындысына $-2\frac{7}{9}$ санын қосыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қасиеттер алдымен «ұқсас» сандарды қосуға мүмкіндік береді: ондықты ондықпен, тоғыздан бірлерді тоғыздан бірлермен.

Шешуі.

1. $(-4{,}2 + 6\frac{1}{3}) + (-2{,}8) = (-4{,}2 + (-2{,}8)) + 6\frac{1}{3} = -7 + 6\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$.
2. $(-3\frac{2}{9} + 4{,}5) + (-2\frac{7}{9}) = (-3\frac{2}{9} + (-2\frac{7}{9})) + 4{,}5 = -6 + 4{,}5 = -1{,}5$.

Жауабы: $-\frac{2}{3}$; $-1{,}5$.

№ 474

Өрнек құрастырып, оның мәнін табыңдар: 1) $-2\frac{3}{4}$ және $0{,}7$ сандарының қосындысына $1{,}3$ санын қосыңдар; 2) $-5\frac{5}{6}$ және $8{,}9$ сандарының қосындысына $-3\frac{1}{6}$ санын қосыңдар.

Шешуі.

1. $-2\frac{3}{4} + (0{,}7 + 1{,}3) = -2{,}75 + 2 = -0{,}75$.
2. $(-5\frac{5}{6} + (-3\frac{1}{6})) + 8{,}9 = -9 + 8{,}9 = -0{,}1$.

Жауабы: $-0{,}75$; $-0{,}1$.

C деңгейі

№ 475

Өрнектің мәнін тиімді тәсілмен табыңдар: 1) $\left(-1\frac{3}{4} - 3\frac{5}{14} + 5{,}4\right) + \left(1{,}75 + 2\frac{6}{7} - 5{,}4\right)$; 2) $\left(-\frac{5}{6} + 0{,}375 - 123{,}4\right) + \left(\frac{5}{8} - \frac{1}{6} + 123{,}4\right)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды ашып, жұптарды іздейміз: қарама-қарсы сандарды және бөлімдері бірдей сандарды.

Шешуі.

1. $-1\frac{3}{4} + 1{,}75 = 0$; $5{,}4 - 5{,}4 = 0$; қалғаны $-3\frac{5}{14} + 2\frac{12}{14} = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
2. $-123{,}4 + 123{,}4 = 0$; $-\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = -1$; $0{,}375 + \frac{5}{8} = 1$; $-1 + 1 = 0$.

Жауабы: $-0{,}5$; 0.

№ 476

Қосудың қасиетін қолданып қосындының мәнін табыңдар: 1) $-\frac{5}{8} + 8{,}34 + (-9{,}84) + 0{,}625 + 1{,}5 + (-2{,}2)$; 2) $-0{,}17 + 34{,}2 + (-9{,}83) + 6{,}2 + 5{,}8 + (-2{,}2)$.

Шешуі.

1. $-\frac{5}{8} + 0{,}625 = 0$; $8{,}34 + (-9{,}84) = -1{,}5$; $-1{,}5 + 1{,}5 = 0$; қалғаны $-2{,}2$.
2. $-0{,}17 + (-9{,}83) = -10$; $34{,}2 + (-2{,}2) = 32$; $6{,}2 + 5{,}8 = 12$; $-10 + 32 + 12 = 34$.

Жауабы: $-2{,}2$; 34.

Қайталаймыз

№ 477

Бір баспа тапсырманы 2 күнде, екінші баспа 8 күнде орындайды. Екі баспа бірігіп жұмысты қанша күнде орындайды?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл тапсырма — 1. Бір күнде бірінші баспа $\frac{1}{2}$, екіншісі $\frac{1}{8}$ тапсырма орындайды.

Шешуі.

1. Бірге бір күнде: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ тапсырма.
2. Уақыты: $1 : \frac{5}{8} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ күн.

Жауабы: 1,6 күнде.

№ 478

1) $\frac{x}{17} = \frac{102}{3{,}4}$ пропорциясынан $x$-тің мәнін табыңдар. Ол мән жасыл өсімдіктердің бір жылда бөліп шығаратын оттектің массасын (тоннамен алынған) көрсетеді; 2) $\frac{266}{38} = \frac{105}{x}$ пропорциясынан $x$-тің мәнін табыңдар. Ол мән 1 га егістіктегі жүгерінің бір жылда бөліп шығаратын оттектің тоннамен алынған массасын береді. Бұл оттек 30 адамның демалуына жетеді.

Шешуі.

1. $\frac{102}{3{,}4} = 30$, демек $x = 17 \cdot 30 = 510$.
2. $\frac{266}{38} = 7$, демек $x = 105 : 7 = 15$.

Жауабы: 510 т; 15 т.

🌟 Бір гектар жүгері бір жылда 30 адамға жететін оттек бөледі. Егістікке жаман емес!

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 479

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $100 - 87\frac{1}{7} - 6{,}5 - 0{,}01$; 2) $13{,}79 - 2\frac{1}{3} - 1{,}29 - \frac{5}{6}$.

Шешуі.

1. $100 - 6{,}5 - 0{,}01 = 93{,}49$; $93{,}49 - 87\frac{1}{7} = 6\frac{49}{100} - \frac{1}{7} = 6\frac{343 - 100}{700} = 6\frac{243}{700}$.
2. $13{,}79 - 1{,}29 = 12{,}5$; $2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} = 3\frac{1}{6}$; $12\frac{1}{2} - 3\frac{1}{6} = 9\frac{1}{3}$.

Жауабы: $6\frac{243}{700}$; $9\frac{1}{3}$.

№ 480

Өрнектің мәні натурал сан болатынын тексеріңдер: 1) $202{,}5 - \left(79\frac{1}{7} - 8\frac{1}{2}\right) - 3\frac{6}{7}$; 2) $38\frac{2}{19} - 17{,}2 - \left(\frac{2}{9} - \frac{1}{5}\right)$.

Шешуі.

1. $202{,}5 - 79\frac{1}{7} + 8{,}5 - 3\frac{6}{7} = (202{,}5 + 8{,}5) - (79\frac{1}{7} + 3\frac{6}{7}) = 211 - 83 = 128$ — натурал сан.
2. $\frac{2}{9} - \frac{1}{5} = \frac{1}{45}$; $38\frac{2}{19} - 17{,}2 = 20\frac{86}{95}$; $20\frac{86}{95} - \frac{1}{45} = 20\frac{151}{171}$ — натурал сан емес.

Жауабы: 1) иә, 128; 2) жоқ, $20\frac{151}{171}$ шығады.

Жадынама

• Қосылғыштардың орнын ауыстыруға және қалағанымызша топтауға болады.
• Алдымен қарама-қарсы сандарды сызып таста.
• Сосын барлық плюстерді және барлық минустарды бөлек қос.
• Бөлімдері бірдей бөлшектерді бірге жина.
• Санның орнын ауыстырғанда оның таңбасын жоғалтпа.

Шағын тест